Sa domain ng power function na y = x p, ang mga sumusunod na formula ay mayroong:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Mga katangian ng mga function ng kapangyarihan at ang kanilang mga graph
Power function na may exponent na katumbas ng zero, p = 0
Kung ang exponent ng power function y = x p ay katumbas ng zero, p = 0 , kung gayon ang power function ay tinukoy para sa lahat ng x ≠ 0 at pare-pareho, katumbas ng isa:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Power function na may natural odd exponent, p = n = 1, 3, 5, ...
Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural na kakaibang exponent n = 1, 3, 5, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k + 1, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3, ... ay isang non-negative integer. Nasa ibaba ang mga katangian at graph ng mga naturang function.
Graph ng power function na y = x n na may natural na kakaibang exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 1, 3, 5, ... .
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0
выпукла вверх
sa 0< x < ∞
выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 1 , ang function ay kabaligtaran sa sarili nito: x = y
para sa n ≠ 1, ang inverse function ay isang ugat ng degree n:
Power function na may natural even exponent, p = n = 2, 4, 6, ...
Isaalang-alang ang power function na y = x p = x n na may natural even exponent n = 2, 4, 6, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero. Ang mga katangian at mga graph ng naturang mga function ay ibinigay sa ibaba.
Graph ng power function na y = x n na may natural even exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 2, 4, 6, ... .
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
para sa x ≤ 0 monotonically bumababa
para sa x ≥ 0 monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa, x=0, y=0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 2, square root:
para sa n ≠ 2, ugat ng degree n:
Power function na may integer negative exponent, p = n = -1, -2, -3, ...
Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may negatibong integer exponent n = -1, -2, -3, ... . Kung ilalagay natin ang n = -k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero, kung gayon maaari itong katawanin bilang:
Graph ng power function na y = x n na may negatibong integer exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = -1, -2, -3, ... .
Kakaibang exponent, n = -1, -3, -5, ...
Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may kakaibang negatibong exponent n = -1, -3, -5, ... .
Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0
:
выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -1,
para sa n< -2
,
Kahit exponent, n = -2, -4, -6, ...
Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may pantay na negatibong exponent n = -2, -4, -6, ... .
Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
:
монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -2,
para sa n< -2
,
Power function na may rational (fractional) exponent
Isaalang-alang ang isang power function na y = x p na may rational (fractional) exponent , kung saan ang n ay isang integer, ang m > 1 ay isang natural na numero. Bukod dito, ang n, m ay walang mga karaniwang divisors.
Ang denominator ng fractional indicator ay kakaiba
Hayaang kakaiba ang denominator ng fractional exponent: m = 3, 5, 7, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay tinukoy para sa parehong positibo at negatibong mga halaga ng x. Isaalang-alang ang mga katangian ng naturang mga function ng kapangyarihan kapag ang exponent p ay nasa loob ng ilang mga limitasyon.
p ay negatibo, p< 0
Hayaang ang rational exponent (na may kakaibang denominator m = 3, 5, 7, ... ) ay mas mababa sa zero: .
Mga graph ng exponential function na may rational negative exponent para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.
Kakaibang numerator, n = -1, -3, -5, ...
Narito ang mga katangian ng power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent , kung saan ang n = -1, -3, -5, ... ay isang kakaibang negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.
Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0
:
выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
Kahit numerator, n = -2, -4, -6, ...
Mga katangian ng power function na y = x p na may rasyonal na negatibong exponent, kung saan ang n = -2, -4, -6, ... ay isang kahit na negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero .
Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
:
монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
Ang p-value ay positibo, mas mababa sa isa, 0< p < 1
Graph ng power function na may rational exponent (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Kakaibang numerator, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < +∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0
:
выпукла вниз
para sa x > 0 : matambok pataas
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Kahit numerator, n = 2, 4, 6, ...
Ang mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent , na nasa loob ng 0 ay ipinakita.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< +∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
:
монотонно убывает
para sa x > 0 : monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok paitaas sa x ≠ 0
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda: para sa x ≠ 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Ang exponent p ay mas malaki sa isa, p > 1
Graph ng power function na may rational exponent (p > 1 ) para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.
Kakaibang numerator, n = 5, 7, 9, ...
Mga katangian ng power function y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 5, 7, 9, ... ay isang kakaibang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0
выпукла вверх
sa 0< x < ∞
выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Kahit numerator, n = 4, 6, 8, ...
Mga katangian ng power function y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 4, 6, 8, ... ay isang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.
Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0
монотонно убывает
para sa x > 0 monotonically tumataas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:
Ang denominator ng fractional indicator ay pantay
Hayaang maging pantay ang denominator ng fractional exponent: m = 2, 4, 6, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay hindi tinukoy para sa mga negatibong halaga ng argumento. Ang mga katangian nito ay nag-tutugma sa mga katangian ng isang power function na may hindi makatwirang exponent (tingnan ang susunod na seksyon).
Power function na may hindi makatwirang exponent
Isaalang-alang ang isang power function y = x p na may hindi makatwirang exponent p . Ang mga katangian ng naturang mga pag-andar ay naiiba sa mga isinasaalang-alang sa itaas dahil hindi sila tinukoy para sa mga negatibong halaga ng x argument. Para sa mga positibong halaga ng argumento, ang mga katangian ay nakadepende lamang sa halaga ng exponent p at hindi nakadepende sa kung ang p ay integer, rational, o hindi makatwiran.
y = x p para sa iba't ibang mga halaga ng exponent p .
Power function na may negatibong p< 0
Domain: x > 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Monotone: bumababa nang monotoniko
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Mga limitasyon: ;
pribadong halaga: Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1
Power function na may positibong exponent p > 0
Ang tagapagpahiwatig ay mas mababa sa isang 0< p < 1
Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1
Ang indicator ay mas malaki sa isang p > 1
Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
Alalahanin ang mga katangian at graph ng mga power function na may negatibong integer exponent.
Para sa kahit n, :
Halimbawa ng function:
Ang lahat ng mga graph ng naturang mga function ay dumadaan sa dalawang nakapirming punto: (1;1), (-1;1). Ang isang tampok ng mga pag-andar ng ganitong uri ay ang kanilang pagkakapare-pareho, ang mga graph ay simetriko na may paggalang sa op-y axis.
kanin. 1. Graph ng isang function
Para sa kakaibang n, :
Halimbawa ng function:
Ang lahat ng mga graph ng naturang mga function ay dumadaan sa dalawang nakapirming punto: (1;1), (-1;-1). Ang isang tampok ng mga pag-andar ng ganitong uri ay ang kanilang kakaiba, ang mga graph ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan.
kanin. 2. Function Graph
Alalahanin natin ang pangunahing kahulugan.
Ang antas ng isang hindi negatibong numero a na may rasyonal na positibong exponent ay tinatawag na isang numero.
Ang antas ng isang positibong numero a na may rasyonal na negatibong exponent ay tinatawag na isang numero.
Para sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:
Halimbawa: 
; - ang expression ay hindi umiiral sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong rational exponent; umiiral, dahil ang exponent ay isang integer, 
Bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng mga function ng kapangyarihan na may rasyonal na negatibong exponent.
Halimbawa:
Upang i-plot ang function na ito, maaari kang gumawa ng table. Kung hindi man ay gagawin natin: una, bubuo at pag-aaralan natin ang graph ng denominator - alam natin ito (Figure 3).
kanin. 3. Graph ng isang function
Ang graph ng denominator function ay dumadaan sa isang nakapirming punto (1;1). Kapag gumagawa ng isang graph ng orihinal na function, ang puntong ito ay nananatili, kapag ang ugat ay nagiging zero din, ang function ay may posibilidad na infinity. At, sa kabaligtaran, habang ang x ay may posibilidad na infinity, ang function ay nagiging zero (Figure 4).
kanin. 4. Function Graph
Isaalang-alang ang isa pang function mula sa pamilya ng mga function na pinag-aaralan.
Ito ay mahalaga na sa pamamagitan ng kahulugan
Isaalang-alang ang graph ng function sa denominator: , alam natin ang graph ng function na ito, tumataas ito sa domain ng kahulugan nito at dumadaan sa punto (1; 1) (Figure 5).
kanin. 5. Function Graph
Kapag gumagawa ng graph ng orihinal na function, ang punto (1; 1) ay nananatili, kapag ang ugat ay nagiging zero din, ang function ay may posibilidad na infinity. At, sa kabaligtaran, habang ang x ay may posibilidad na infinity, ang function ay nagiging zero (Figure 6).
kanin. 6. Function Graph
Ang mga itinuturing na halimbawa ay nakakatulong upang maunawaan kung paano napupunta ang graph at kung ano ang mga katangian ng function na pinag-aaralan - isang function na may negatibong rational exponent.
Ang mga graph ng mga function ng pamilyang ito ay dumadaan sa punto (1;1), bumababa ang function sa buong domain ng kahulugan.
Saklaw ng function: 
Ang function ay hindi bounded mula sa itaas, ngunit bounded mula sa ibaba. Ang function ay walang maximum o minimum na halaga.
Ang function ay tuloy-tuloy, ito ay tumatagal ng lahat ng mga positibong halaga mula sa zero hanggang plus infinity.
Convex Down Function (Figure 15.7)
Ang mga puntos A at B ay kinuha sa curve, isang segment ang iginuhit sa pamamagitan ng mga ito, ang buong curve ay nasa ibaba ng segment, ang kundisyong ito ay nasiyahan para sa arbitrary na dalawang puntos sa curve, samakatuwid ang function ay convex pababa. kanin. 7.
kanin. 7. Convexity ng isang function
Mahalagang maunawaan na ang mga tungkulin ng pamilyang ito ay nililimitahan mula sa ibaba ng zero, ngunit wala silang pinakamaliit na halaga.
Halimbawa 1 - hanapin ang maximum at minimum ng function sa pagitan at mga pagtaas saX at bumababa saX }
