Pagtuturo

Bago simulan ang patunay, siguraduhin na ang mga linya ay nasa parehong eroplano at maaaring iguhit dito. Ang pinakasimpleng paraan ng patunay ay ang paraan ng pagsukat gamit ang ruler. Upang gawin ito, gumamit ng isang ruler upang sukatin ang distansya sa pagitan ng mga tuwid na linya sa ilang mga lugar hangga't maaari. Kung ang distansya ay nananatiling pareho, ang mga ibinigay na linya ay parallel. Ngunit ang pamamaraang ito ay hindi sapat na tumpak, kaya mas mahusay na gumamit ng iba pang mga pamamaraan.

Gumuhit ng pangatlong linya upang mag-intersect ito sa magkaparehong linya. Ito ay bumubuo ng apat na panlabas at apat na panloob na sulok kasama nila. Isaalang-alang ang mga panloob na sulok. Ang mga nakahiga sa secant line ay tinatawag na cross-lying. Ang mga nakahiga sa isang tabi ay tinatawag na isang panig. Gamit ang isang protractor, sukatin ang dalawang panloob na diagonal na sulok. Kung sila ay pantay, kung gayon ang mga linya ay magkatulad. Kung may pagdududa, sukatin ang isang panig na panloob na mga anggulo at idagdag ang mga resultang halaga. Magiging parallel ang mga linya kung ang kabuuan ng isang panig na panloob na anggulo ay katumbas ng 180º.

Kung wala kang protractor, gumamit ng 90º square. Gamitin ito upang bumuo ng isang patayo sa isa sa mga linya. Pagkatapos nito, ipagpatuloy ang patayo na ito sa paraang nagsa-intersect ito sa isa pang linya. Gamit ang parehong parisukat, tingnan kung saang anggulo ang perpendikular na ito ay nagsalubong dito. Kung ang anggulong ito ay katumbas din ng 90º, kung gayon ang mga linya ay parallel sa bawat isa.

Kung sakaling ang mga linya ay ibinigay sa Cartesian coordinate system, hanapin ang kanilang mga gabay o normal na vectors. Kung ang mga vector na ito ay, ayon sa pagkakabanggit, ay magkakaugnay sa isa't isa, kung gayon ang mga linya ay magkatulad. Dalhin ang equation ng mga linya sa isang pangkalahatang anyo at hanapin ang mga coordinate ng normal na vector ng bawat isa sa mga linya. Ang mga coordinate nito ay katumbas ng coefficients A at B. Kung ang ratio ng kaukulang mga coordinate ng mga normal na vectors ay pareho, sila ay collinear, at ang mga linya ay parallel.

Halimbawa, ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation na 4x-2y+1=0 at x/1=(y-4)/2. Ang unang equation ay pangkalahatang anyo, ang pangalawa ay kanonikal. Dalhin ang pangalawang equation sa isang pangkalahatang anyo. Gamitin ang panuntunan ng proporsyon ng conversion para dito, at magkakaroon ka ng 2x=y-4. Pagkatapos ng pagbawas sa isang pangkalahatang anyo, kumuha ng 2x-y + 4 = 0. Dahil ang pangkalahatang equation para sa anumang linya ay nakasulat na Ax + Vy + C = 0, pagkatapos ay para sa unang linya: A = 4, B = 2, at para sa pangalawang linya A = 2, B = 1. Para sa unang direktang coordinate ng normal na vector (4;2), at para sa pangalawa - (2;1). Hanapin ang ratio ng kaukulang mga coordinate ng mga normal na vectors 4/2=2 at 2/1=2. Ang mga numerong ito ay pantay, na nangangahulugang ang mga vector ay collinear. Dahil ang mga vector ay collinear, ang mga linya ay parallel.

Ang artikulong ito ay tungkol sa parallel lines at tungkol sa parallel lines. Una, ang kahulugan ng magkatulad na linya sa eroplano at sa espasyo ay ibinigay, ang notasyon ay ipinakilala, ang mga halimbawa at mga graphic na ilustrasyon ng parallel na linya ay ibinigay. Dagdag pa, sinusuri ang mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo ng mga tuwid na linya. Sa konklusyon, ang mga solusyon ay ipinapakita para sa mga tipikal na problema ng pagpapatunay ng parallelism ng mga tuwid na linya, na ibinibigay ng ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.

Pag-navigate sa pahina.

Parallel lines - pangunahing impormasyon.

Kahulugan.

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel kung wala silang common points.

Kahulugan.

Dalawang linya sa tatlong dimensyon ang tinatawag parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Tandaan na ang sugnay na "kung nakahiga sila sa parehong eroplano" sa kahulugan ng mga parallel na linya sa espasyo ay napakahalaga. Linawin natin ang puntong ito: ang dalawang tuwid na linya sa three-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi magkatulad, ngunit skew.

Narito ang ilang mga halimbawa ng parallel lines. Ang kabaligtaran na mga gilid ng notebook sheet ay nakahiga sa mga parallel na linya. Ang mga tuwid na linya kung saan ang eroplano ng dingding ng bahay ay nagsalubong sa mga eroplano ng kisame at sahig ay magkatulad. Ang mga riles ng tren sa patag na lupa ay maaari ding ituring na magkatulad na linya.

Ang simbolo na "" ay ginagamit upang tukuyin ang magkatulad na mga linya. Iyon ay, kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari mong maikli ang pagsulat ng isang b.

Tandaan na kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari nating sabihin na ang linya a ay parallel sa linya b, at gayundin ang linyang b ay parallel sa linya a.

Let us voice a statement that plays a important role in the study of parallel lines in the plane: through a point not lying on a given line, there pass the only line parallel to the given one. Ang pahayag na ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan (hindi ito mapapatunayan sa batayan ng mga kilalang axioms ng planimetry), at ito ay tinatawag na axiom ng parallel lines.

Para sa kaso sa kalawakan, ang teorama ay totoo: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong isang solong linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang theorem na ito ay madaling mapatunayan gamit ang axiom ng parallel lines na ibinigay sa itaas (makikita mo ang patunay nito sa geometry textbook para sa grade 10-11, na nakalista sa dulo ng artikulo sa bibliograpiya).

Para sa kaso sa kalawakan, ang teorama ay totoo: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong isang solong linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang teorama na ito ay madaling napatunayan gamit ang axiom ng mga parallel na linya na ibinigay sa itaas.

Paralelismo ng mga linya - mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo.

Isang tanda ng magkatulad na linya ay isang sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya, iyon ay, tulad ng isang kondisyon, ang katuparan nito ay ginagarantiyahan ang magkatulad na mga linya. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat na upang sabihin ang katotohanan na ang mga linya ay magkatulad.

Mayroon ding kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga parallel na linya sa eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.

Ipaliwanag natin ang kahulugan ng pariralang "kailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya".

Napag-usapan na namin ang sapat na kundisyon para sa mga parallel na linya. At ano ang "kinakailangang kundisyon para sa mga parallel na linya"? Sa pamamagitan ng pangalang "kailangan" ay malinaw na ang katuparan ng kundisyong ito ay kinakailangan para ang mga linya ay magkatulad. Sa madaling salita, kung ang kinakailangang kondisyon para sa mga parallel na linya ay hindi nasiyahan, kung gayon ang mga linya ay hindi parallel. Sa ganitong paraan, kailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang mga linya ay isang kondisyon, ang katuparan nito ay parehong kinakailangan at sapat para sa magkatulad na linya. Iyon ay, sa isang banda, ito ay isang tanda ng parallel na mga linya, at sa kabilang banda, ito ay isang pag-aari na mayroon ang mga parallel na linya.

Bago ipahayag ang kinakailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang mga linya, kapaki-pakinabang na alalahanin ang ilang pantulong na kahulugan.

secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Sa intersection ng dalawang linya ng isang secant, walong hindi naka-deploy ang nabuo. Ang tinatawag na nakahiga crosswise, kaukulang at isang panig na sulok. Ipakita natin sila sa drawing.

Teorama.

Kung ang dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ay tinawid ng isang secant, kung gayon para sa kanilang parallelism ito ay kinakailangan at sapat na ang mga crosswise lying na anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees .

Ipakita natin ang isang graphical na paglalarawan ng kinakailangan at sapat na kondisyong ito para sa magkatulad na linya sa eroplano.

Makakahanap ka ng mga patunay ng mga kundisyong ito para sa mga parallel na linya sa mga aklat-aralin sa geometry para sa mga baitang 7-9.

Tandaan na ang mga kundisyong ito ay maaari ding gamitin sa tatlong-dimensional na espasyo - ang pangunahing bagay ay ang dalawang linya at ang secant ay nasa parehong eroplano.

Narito ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga linya.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng tampok na ito ay sumusunod mula sa axiom ng mga parallel na linya.

Mayroong katulad na kondisyon para sa mga parallel na linya sa tatlong-dimensional na espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa espasyo ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng tampok na ito ay isinasaalang-alang sa mga aralin sa geometry sa grade 10.

Ilarawan natin ang mga tinig na theorems.

Magbigay tayo ng isa pang theorem na nagpapahintulot sa atin na patunayan ang paralelismo ng mga linya sa eroplano.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay patayo sa isang ikatlong linya, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Mayroong katulad na teorama para sa mga linya sa espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa three-dimensional na espasyo ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Gumuhit tayo ng mga larawan na naaayon sa mga teorema na ito.

Ang lahat ng theorems na nabuo sa itaas, mga palatandaan at kinakailangan at sapat na mga kondisyon ay ganap na angkop para sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang parallelism ng dalawang ibinigay na mga linya, kinakailangan upang ipakita na sila ay kahanay sa ikatlong linya, o upang ipakita ang pagkakapantay-pantay ng mga cross-lying na anggulo, atbp. Marami sa mga problemang ito ay nalutas sa mga aralin sa geometry sa mataas na paaralan. Gayunpaman, dapat tandaan na sa maraming mga kaso ito ay maginhawa upang gamitin ang paraan ng mga coordinate upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo. Bumuo tayo ng kailangan at sapat na mga kundisyon para sa parallelism ng mga linya na ibinibigay sa isang rectangular coordinate system.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system.

Sa seksyong ito ng artikulo, bubuo tayo kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga parallel na linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng mga equation na tumutukoy sa mga linyang ito, at magbibigay din kami ng mga detalyadong solusyon sa mga karaniwang problema.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallelism ng dalawang linya sa eroplano sa rectangular coordinate system na Oxy . Ang kanyang patunay ay batay sa kahulugan ng nagdidirekta na vector ng linya at ang kahulugan ng normal na vector ng linya sa eroplano.

Teorama.

Para magkaparehas ang dalawang linyang hindi magkatugma sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa normal. vector ng pangalawang linya.

Malinaw, ang kondisyon ng parallelism ng dalawang linya sa eroplano ay bumababa sa (mga vector ng direksyon ng mga linya o normal na mga vector ng mga linya) o sa (vektor ng direksyon ng isang linya at normal na vector ng pangalawang linya). Kaya, kung at ang mga vector ng direksyon ng mga linyang a at b, at at ay ang mga normal na vector ng mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya a at b ay maaaring isulat bilang , o , o , kung saan ang t ay ilang tunay na numero. Sa turn, ang mga coordinate ng pagdidirekta at (o) normal na mga vector ng mga tuwid na linya a at b ay matatagpuan mula sa mga kilalang equation ng mga tuwid na linya.

Sa partikular, kung ang linya a sa rectangular coordinate system na Oxy sa eroplano ay tumutukoy sa pangkalahatang equation ng linya ng form , at ang tuwid na linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay may mga coordinate at ayon sa pagkakabanggit, at ang kondisyon ng parallelism ng mga linyang a at b ay isusulat bilang .

Kung ang tuwid na linya a ay tumutugma sa equation ng tuwid na linya na may slope coefficient ng form . Samakatuwid, kung ang mga tuwid na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay parallel at maaaring ibigay ng mga equation ng mga tuwid na linya na may mga slope coefficient, kung gayon ang mga slope coefficient ng mga linya ay magiging pantay. At kabaligtaran: kung ang hindi magkakatulad na mga tuwid na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring ibigay ng mga equation ng isang tuwid na linya na may pantay na mga coefficient ng slope, kung gayon ang mga tuwid na linya ay parallel.

Kung ang linya a at ang linya b sa isang rectangular coordinate system ay tumutukoy sa mga canonical equation ng linya sa eroplano ng form at , o mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ng form at ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay may mga coordinate at , at ang parallelism na kondisyon para sa mga linyang a at b ay nakasulat bilang .

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa.

Parallel ba ang mga linya? at ?

Solusyon.

Isinulat namin muli ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya: . Ngayon ay makikita natin na ang normal na vector ng tuwid na linya , at ang normal na vector ng tuwid na linya. Ang mga vector na ito ay hindi collinear, dahil walang tunay na numero t kung saan ang pagkakapantay-pantay ( ). Dahil dito, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng mga linya sa eroplano ay hindi nasiyahan, samakatuwid, ang mga ibinigay na mga linya ay hindi parallel.

Sagot:

Hindi, ang mga linya ay hindi parallel.

Halimbawa.

Ang mga linya at parallel ba?

Solusyon.

Dinadala namin ang canonical equation ng isang tuwid na linya sa equation ng isang tuwid na linya na may slope: . Malinaw, ang mga equation ng mga linya at ay hindi pareho (sa kasong ito, ang mga ibinigay na linya ay magiging pareho) at ang mga slope ng mga linya ay pantay, samakatuwid, ang orihinal na mga linya ay parallel.

Ang pangalawang solusyon.

Una, ipakita natin na ang mga orihinal na linya ay hindi nag-tutugma: kumuha ng anumang punto ng linya, halimbawa, (0, 1) , ang mga coordinate ng puntong ito ay hindi nakakatugon sa equation ng linya, samakatuwid, ang mga linya ay hindi nag-tutugma. Ngayon suriin natin ang katuparan ng kondisyon ng paralelismo ng mga linyang ito. Ang normal na vector ng linya ay ang vector, at ang direksyon ng vector ng linya ay ang vector. Kalkulahin natin at: . Dahil dito, ang mga vectors at ay patayo, na nangangahulugan na ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga ibinigay na linya ay nasiyahan. Kaya ang mga linya ay parallel.

Sagot:

Ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo, ang sumusunod na kinakailangan at sapat na kundisyon ay ginagamit.

Teorama.

Para sa mga di-nagkataon na linya na magkatulad sa tatlong-dimensional na espasyo, kinakailangan at sapat na ang kanilang mga vector ng direksyon ay magka-collinear.

Kaya, kung ang mga equation ng mga linya sa isang rectangular coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo ay kilala at kailangan mong sagutin ang tanong kung ang mga linyang ito ay kahanay o hindi, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga linyang ito at suriin ang katuparan ng kondisyon ng collinearity ng mga vectors ng direksyon. Sa madaling salita, kung at - mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya may mga coordinate at . kasi , pagkatapos . Kaya, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa dalawang linya na magkatulad sa espasyo ay nasiyahan. Pinatutunayan nito ang paralelismo ng mga linya at .

Bibliograpiya.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometry. Baitang 7 - 9: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometry. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng mataas na paaralan.
• Pogorelov A.V., Geometry. Teksbuk para sa mga baitang 7-11 ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mas Mataas na Matematika. Unang Volume: Mga Elemento ng Linear Algebra at Analytic Geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytic geometry.

Sa artikulong ito, pag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel na linya, magbigay ng mga kahulugan, italaga ang mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo. Para sa kalinawan ng teoretikal na materyal, gagamitin namin ang mga guhit at ang solusyon ng mga tipikal na halimbawa.

Kahulugan 1

Parallel lines sa eroplano ay dalawang tuwid na linya sa eroplano na walang mga karaniwang puntos.

Kahulugan 2

Mga parallel na linya sa 3D space- dalawang tuwid na linya sa tatlong-dimensional na espasyo na nasa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Dapat pansinin na upang matukoy ang magkatulad na mga linya sa kalawakan, ang paglilinaw na "nakahiga sa parehong eroplano" ay napakahalaga: dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi parallel, ngunit intersecting.

Upang tukuyin ang mga parallel na linya, karaniwang gamitin ang simbolo ∥ . Iyon ay, kung ang mga ibinigay na linya a at b ay magkatulad, ang kundisyong ito ay dapat na maikli na isulat tulad ng sumusunod: a ‖ b . Sa salita, ang parallelism ng mga linya ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod: ang mga linya a at b ay parallel, o linya a ay parallel sa linya b, o linya b ay parallel sa linya a.

Bumuo tayo ng isang pahayag na may mahalagang papel sa paksang pinag-aaralan.

Axiom

Sa pamamagitan ng isang punto na hindi kabilang sa isang ibinigay na linya, mayroon lamang isang linya na parallel sa ibinigay na linya. Ang pahayag na ito ay hindi maaaring patunayan sa batayan ng mga kilalang axioms ng planimetry.

Sa kaso pagdating sa espasyo, ang theorem ay totoo:

Teorama 1

Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo na hindi kabilang sa isang ibinigay na linya, magkakaroon lamang ng isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang theorem na ito ay madaling patunayan batay sa itaas na axiom (geometry program para sa mga grado 10-11).

Ang tanda ng parallelism ay isang sapat na kondisyon kung saan ang mga parallel na linya ay ginagarantiyahan. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat na upang kumpirmahin ang katotohanan ng paralelismo.

Sa partikular, may mga kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa eroplano at sa kalawakan. Ipaliwanag natin: kinakailangan ay nangangahulugan ng kondisyon, ang katuparan nito ay kinakailangan para sa magkatulad na linya; kung hindi ito nasiyahan, ang mga linya ay hindi parallel.

Ang pagbubuod, ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya ay isang kondisyon, ang pagsunod sa kung saan ay kinakailangan at sapat upang ang mga linya ay magkatulad sa bawat isa. Sa isang banda, ito ay isang tanda ng paralelismo, sa kabilang banda, isang ari-arian na likas sa magkatulad na mga linya.

Bago magbigay ng isang tumpak na pagbabalangkas ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon, naaalala namin ang ilang karagdagang mga konsepto.

Kahulugan 3

secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Sa interseksyon ng dalawang tuwid na linya, ang secant ay bumubuo ng walong hindi pinalawak na mga anggulo. Upang bumalangkas ng kinakailangan at sapat na kondisyon, gagamitin namin ang mga uri ng mga anggulo gaya ng cross-lying, kaukulang, at one-sided. Ipakita natin ang mga ito sa ilustrasyon:

Teorama 2

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay nag-intersect sa isang secant, kung gayon para sa mga ibinigay na mga linya ay parallel ito ay kinakailangan at sapat na ang mga crosswise lying na anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees.

Ilarawan natin nang graphical ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na linya sa eroplano:

Ang patunay ng mga kundisyong ito ay nasa geometry program para sa mga baitang 7-9.

Sa pangkalahatan, ang mga kundisyong ito ay naaangkop din para sa tatlong-dimensional na espasyo, sa kondisyon na ang dalawang linya at ang secant ay nabibilang sa parehong eroplano.

Ituro natin ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit sa pagpapatunay ng katotohanan na ang mga linya ay parallel.

Teorama 3

Sa isang eroplano, dalawang linya na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa. Ang tampok na ito ay pinatunayan sa batayan ng axiom ng parallelism na binanggit sa itaas.

Teorama 4

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang linya na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa.

Ang patunay ng katangian ay pinag-aralan sa 10th grade geometry program.

Nagbibigay kami ng isang paglalarawan ng mga theorems na ito:

Ipahiwatig natin ang isa pang pares ng theorems na nagpapatunay sa paralelismo ng mga linya.

Teorama 5

Sa isang eroplano, ang dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay parallel sa bawat isa.

Bumuo tayo ng isang katulad para sa isang three-dimensional na espasyo.

Teorama 6

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay parallel sa isa't isa.

Ilarawan natin:

Ang lahat ng mga theorems sa itaas, mga palatandaan at kundisyon ay ginagawang posible upang maginhawang patunayan ang paralelismo ng mga linya sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang paralelismo ng mga linya, maaaring ipakita ng isa na ang mga katumbas na anggulo ay pantay, o ipakita ang katotohanan na ang dalawang ibinigay na linya ay patayo sa pangatlo, at iba pa. Ngunit tandaan namin na madalas na mas maginhawang gamitin ang paraan ng coordinate upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system

Sa isang ibinigay na rectangular coordinate system, ang isang tuwid na linya ay tinutukoy ng equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ng isa sa mga posibleng uri. Katulad nito, ang isang tuwid na linya na ibinigay sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa tatlong-dimensional na espasyo ay tumutugma sa ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Isulat natin ang kailangan at sapat na kundisyon para sa parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng equation na naglalarawan sa mga ibinigay na linya.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallel lines sa eroplano. Ito ay batay sa mga kahulugan ng vector ng direksyon ng linya at ang normal na vector ng linya sa eroplano.

Teorama 7

Para ang dalawang di-nagkataon na linya ay parallel sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa ang normal na vector ng kabilang linya.

Ito ay nagiging malinaw na ang kondisyon ng parallel lines sa eroplano ay batay sa kondisyon ng collinear vectors o ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors. Iyon ay, kung ang a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ang mga vector ng direksyon ng mga linya a at b ;

at n b → = (n b x , n b y) ay mga normal na vector ng mga linyang a at b , pagkatapos ay isusulat namin ang kinakailangan at sapat na kondisyon sa itaas tulad ng sumusunod: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y o n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y o a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , kung saan ang t ay ilang totoong numero. Ang mga coordinate ng nagdidirekta o direktang mga vector ay tinutukoy ng mga ibinigay na equation ng mga linya. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing halimbawa.

1. Ang linya a sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng pangkalahatang equation ng linya: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linya b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Pagkatapos ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay magkakaroon ng mga coordinate (A 1 , B 1) at (A 2 , B 2) ayon sa pagkakabanggit. Isinulat namin ang kondisyon ng paralelismo tulad ng sumusunod:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Ang tuwid na linya a ay inilalarawan ng equation ng isang tuwid na linya na may slope ng anyong y = k 1 x + b 1 . Tuwid na linya b - y \u003d k 2 x + b 2. Pagkatapos ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay magkakaroon ng mga coordinate (k 1 , - 1) at (k 2 , - 1), ayon sa pagkakabanggit, at isusulat namin ang parallelism na kondisyon tulad ng sumusunod:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Kaya, kung ang mga parallel na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system ay ibinibigay ng mga equation na may slope coefficients, kung gayon ang slope coefficient ng mga ibinigay na linya ay magiging pantay. At ang kabaligtaran na pahayag ay totoo: kung ang mga di-nagtutugmang linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay tinutukoy ng mga equation ng isang linya na may parehong mga coefficient ng slope, kung gayon ang mga ibinigay na linya ay parallel.

1. Ang mga linya a at b sa isang rectangular coordinate system ay ibinibigay ng mga canonical equation ng linya sa eroplano: x - x 1 a x = y - y 1 a y at x - x 2 b x = y - y 2 b y o ang mga parametric equation ng linya sa eroplano: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y at x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Kung gayon ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya ay magiging: a x , a y at b x , b y ayon sa pagkakabanggit, at isinusulat namin ang parallelism na kondisyon tulad ng sumusunod:

a x = t b x a y = t b y

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Ibinigay ang dalawang linya: 2 x - 3 y + 1 = 0 at x 1 2 + y 5 = 1 . Kailangan mong matukoy kung sila ay parallel.

Solusyon

Isinulat namin ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Nakikita natin na ang n a → = (2 , - 3) ay ang normal na vector ng linya 2 x - 3 y + 1 = 0 , at n b → = 2 , 1 5 ay ang normal na vector ng linya x 1 2 + y 5 = 1 .

Ang mga resultang vectors ay hindi collinear, dahil walang ganoong halaga ng t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Kaya, ang kinakailangan at sapat na kondisyon ng parallelism ng mga linya sa eroplano ay hindi nasiyahan, na nangangahulugan na ang mga ibinigay na linya ay hindi parallel.

Sagot: ang mga binigay na linya ay hindi parallel.

Halimbawa 2

Given lines y = 2 x + 1 at x 1 = y - 4 2 . Parallel ba sila?

Solusyon

Ibahin natin ang canonical equation ng tuwid na linya x 1 \u003d y - 4 2 sa equation ng isang tuwid na linya na may slope:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Nakikita natin na ang mga equation ng mga linyang y = 2 x + 1 at y = 2 x + 4 ay hindi pareho (kung hindi man, ang mga linya ay magiging pareho) at ang mga slope ng mga linya ay pantay, na nangangahulugan na ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan. Una, sinusuri namin kung ang mga ibinigay na linya ay nag-tutugma. Ginagamit namin ang anumang punto ng linya y \u003d 2 x + 1, halimbawa, (0, 1) , ang mga coordinate ng puntong ito ay hindi tumutugma sa equation ng linya x 1 \u003d y - 4 2, na nangangahulugang hindi nagtutugma ang mga linya.

Ang susunod na hakbang ay upang matukoy ang katuparan ng kondisyon ng paralelismo para sa mga ibinigay na linya.

Ang normal na vector ng linyang y = 2 x + 1 ay ang vector n a → = (2 , - 1) , at ang vector ng direksyon ng pangalawang ibinigay na linya ay b → = (1 , 2) . Ang scalar product ng mga vector na ito ay zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Kaya, ang mga vector ay patayo: ito ay nagpapakita sa amin ng katuparan ng kinakailangan at sapat na kondisyon para ang orihinal na mga linya ay magkatulad. Yung. ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Sagot: ang mga linyang ito ay parallel.

Upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo, ang sumusunod na kinakailangan at sapat na kundisyon ay ginagamit.

Teorama 8

Para magkaparehas ang dalawang di-nagkataon na linya sa tatlong-dimensional na espasyo, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay collinear.

Yung. para sa mga ibinigay na equation ng mga linya sa tatlong-dimensional na espasyo, ang sagot sa tanong: sila ba ay magkatulad o hindi, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya, pati na rin ang pagsuri sa kondisyon ng kanilang collinearity. Sa madaling salita, kung ang a → = (a x, a y, a z) at b → = (b x, b y, b z) ay ang mga vector ng direksyon ng mga linyang a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon upang maging magkatulad ang mga ito, ang pagkakaroon ng gayong tunay na bilang t ay kinakailangan, upang ang pagkakapantay-pantay ay may:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Halimbawa 3

Given lines x 1 = y - 2 0 = z + 1-3 at x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3-6 λ . Kinakailangang patunayan ang paralelismo ng mga linyang ito.

Solusyon

Ang mga kondisyon ng problema ay ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo at ang parametric equation ng isa pang tuwid na linya sa espasyo. Mga vector ng direksyon a → at b → ang mga ibinigay na linya ay may mga coordinate: (1 , 0 , - 3) at (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , pagkatapos ay a → = 1 2 b → .

Samakatuwid, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa mga parallel na linya sa espasyo ay nasiyahan.

Sagot: napatunayan ang paralelismo ng mga ibinigay na linya.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mga parallel na linya. Mga katangian at palatandaan ng magkatulad na linya

1. Axiom ng parallel. Sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto, hindi hihigit sa isang tuwid na linya ay maaaring iguguhit parallel sa ibinigay na isa.

2. Kung ang dalawang linya ay parallel sa parehong linya, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

3. Dalawang linya na patayo sa parehong linya ay magkatulad.

4. Kung ang dalawang magkatulad na linya ay intersected ng isang pangatlo, pagkatapos ay ang panloob na cross-lying na mga anggulo na nabuo sa parehong oras ay pantay; ang mga katumbas na anggulo ay pantay; ang panloob na isang panig na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°.

5. Kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya ang pangatlo ay bumubuo ng pantay na panloob na crosswise lying na mga anggulo, kung gayon ang mga tuwid na linya ay parallel.

6. Kung sa intersection ng dalawang linya ang pangatlong anyo ay katumbas ng kaukulang mga anggulo, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

7. Kung sa intersection ng dalawang linya ng pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180 °, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

Teorama ni Thales. Kung ang pantay na mga segment ay inilatag sa isang gilid ng anggulo at ang mga parallel na tuwid na linya ay iguguhit sa kanilang mga dulo, na nagsalubong sa pangalawang bahagi ng anggulo, pagkatapos ay ang mga pantay na segment ay idedeposito din sa pangalawang bahagi ng anggulo.

Theorem sa proporsyonal na mga segment. Parallel straight lines intersecting ang mga gilid ng anggulo cut proportional segments sa kanila.

Tatsulok. Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

1. Kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

2. Kung ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay magkapareho sa gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

3. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

1. Sa dalawang paa.

2. Kasama ang binti at hypotenuse.

3. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle.

4. Kasama ang binti at isang matinding anggulo.

Ang teorama sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok at ang mga kahihinatnan nito

1. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang tatsulok ay 180°.

2. Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang panloob na anggulo na hindi katabi nito.

3. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok n-gon ay

4. Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang ga-gon ay 360°.

5. Ang mga anggulo na may magkabilang panig na patayo ay pantay-pantay kung pareho silang talamak o parehong mahina.

6. Ang anggulo sa pagitan ng mga bisector ng mga katabing anggulo ay 90°.

7. Ang mga bisector ng panloob na isang panig na anggulo na may magkatulad na linya at isang secant ay patayo.

Ang mga pangunahing katangian at palatandaan ng isang isosceles triangle

1. Ang mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle ay pantay.

2. Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

3. Sa isang isosceles triangle, ang median, bisector at taas na iginuhit sa base ay pareho.

4. Kung ang anumang pares ng mga segment mula sa triple - median, bisector, taas - nag-tutugma sa isang tatsulok, kung gayon ito ay isosceles.

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok at ang mga kahihinatnan nito

1. Ang kabuuan ng dalawang panig ng isang tatsulok ay mas malaki kaysa sa ikatlong panig nito.

2. Ang kabuuan ng mga link ng putol na linya ay mas malaki kaysa sa segment na kumukonekta sa simula

ang unang link na may dulo ng huli.

3. Sa tapat ng mas malaking anggulo ng tatsulok ay matatagpuan ang mas malaking bahagi.

4. Laban sa mas malaking bahagi ng tatsulok ay namamalagi ang isang mas malaking anggulo.

5. Ang hypotenuse ng right triangle ay mas malaki kaysa sa binti.

6. Kung ang patayo at hilig ay iguguhit mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, kung gayon

1) ang patayo ay mas maikli kaysa sa mga hilig;

2) ang isang mas malaking slope ay tumutugma sa isang mas malaking projection at vice versa.

Ang gitnang linya ng tatsulok.

Ang segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay tinatawag na midline ng tatsulok.

Triangle midline theorem.

Ang median na linya ng tatsulok ay parallel sa gilid ng tatsulok at katumbas ng kalahati nito.

Triangle median theorems

1. Ang mga median ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto at hatiin ito sa isang ratio na 2: 1, pagbibilang mula sa itaas.

2. Kung ang median ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng gilid kung saan ito iginuhit, kung gayon ang tatsulok ay right-angled.

3. Ang median ng right triangle na iginuhit mula sa vertex ng right angle ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Property ng perpendicular bisectors sa mga gilid ng isang tatsulok. Ang mga perpendicular bisector sa mga gilid ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, na siyang sentro ng bilog na nakapaligid sa tatsulok.

Triangle altitude theorem. Ang mga linya na naglalaman ng mga altitude ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Triangle bisector theorem. Ang mga bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, na siyang sentro ng bilog na nakasulat sa tatsulok.

Bisector property ng isang tatsulok. Hinahati ng bisector ng isang tatsulok ang gilid nito sa mga segment na proporsyonal sa iba pang dalawang panig.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok

1. Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay magkapareho sa dalawang anggulo ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

2. Kung ang dalawang gilid ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakasunod-sunod na proporsyonal sa dalawang panig ng isa pa, at ang mga anggulo na nakapaloob sa pagitan ng mga panig na ito ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

3. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakasunod-sunod na proporsyonal sa tatlong panig ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

Mga Lugar ng Magkatulad na Triangles

1. Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

2. Kung ang dalawang tatsulok ay may pantay na mga anggulo, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga produkto ng mga panig na nakapaloob sa mga anggulong ito.

Sa isang kanang tatsulok

1. Ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at ang sine ng kabaligtaran o ang cosine ng matinding anggulo na katabi ng binti na ito.

2. Ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabilang binti na pinarami ng padaplis ng kabaligtaran o ang cotangent ng matinding anggulo na katabi ng binti na ito.

3. Ang binti ng isang kanang tatsulok na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30 ° ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

4. Kung ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse, kung gayon ang anggulo sa tapat ng binti na ito ay 30°.

5. R = ; g \u003d, kung saan ang a, b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse ng isang right triangle; Ang r at R ay ang radii ng inscribed at circumscribed na bilog, ayon sa pagkakabanggit.

Ang Pythagorean theorem at ang kabaligtaran ng Pythagorean theorem

1. Ang parisukat ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

2. Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nito, kung gayon ang tatsulok ay right-angled.

Ang ibig sabihin ng mga proporsyonal sa isang tamang tatsulok.

Ang taas ng right triangle, na iginuhit mula sa vertex ng right angle, ay ang average na proporsyonal sa mga projection ng mga binti papunta sa hypotenuse, at ang bawat binti ay ang average na proporsyonal sa hypotenuse at ang projection nito sa hypotenuse.

Mga metric ratio sa isang tatsulok

1. Theorem ng cosine. Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nang hindi dinodoble ang produkto ng mga panig na iyon sa pag-uulit ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

2. Corollary mula sa cosine theorem. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito.

3. Formula para sa median ng isang tatsulok. Kung ang m ay ang median ng tatsulok na iginuhit sa gilid c, kung gayon m = kung saan ang a at b ay ang natitirang mga gilid ng tatsulok.

4. Sine theorem. Ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga sine ng magkasalungat na anggulo.

5. Generalized sine theorem. Ang ratio ng isang gilid ng isang tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo ay katumbas ng diameter ng bilog na pumapalibot sa tatsulok.

Mga formula ng lugar ng tatsulok

1. Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base at ang taas.

2. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng dalawang panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

3. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng semiperimeter nito at ang radius ng inscribed na bilog.

4. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng tatlong panig nito na hinati ng apat na beses ang radius ng circumscribed na bilog.

5. Formula ng Heron: S=, kung saan ang p ay ang semiperimeter; a, b, c - mga gilid ng tatsulok.

Mga elemento ng isang equilateral triangle. Hayaang ang h, S, r, R ay ang taas, lugar, radii ng inscribed at circumscribed na bilog ng isang equilateral triangle na may gilid a. Pagkatapos
Quadrilaterals

Paralelogram. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkaparehas na magkatulad.

Mga katangian at tampok ng paralelogram.

1. Hinahati ng dayagonal ang paralelogram sa dalawang pantay na tatsulok.

2. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay magkapares.

3. Ang magkasalungat na mga anggulo ng paralelogram ay magkapares.

4. Ang mga diagonal ng parallelogram ay nagsalubong at naghahati sa punto ng intersection.

5. Kung ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay sa mga pares, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

6. Kung ang dalawang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay at parallel, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

7. Kung ang mga dayagonal ng isang may apat na gilid ay nahahati ng intersection point, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Pag-aari ng mga midpoint ng mga gilid ng isang quadrilateral. Ang mga midpoint ng mga gilid ng anumang quadrilateral ay ang mga vertices ng isang parallelogram na ang lugar ay kalahati ng lugar ng quadrilateral.

Parihaba. Ang parihaba ay isang paralelogram na may tamang anggulo.

Mga katangian at palatandaan ng isang parihaba.

1. Ang mga dayagonal ng isang parihaba ay pantay.

2. Kung ang mga diagonal ng isang parallelogram ay pantay, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang parihaba.

Square. Ang parisukat ay isang parihaba na ang lahat ng panig nito ay pantay.

Rhombus. Ang rhombus ay isang quadrilateral na ang lahat ng panig ay pantay.

Mga katangian at palatandaan ng isang rhombus.

1. Ang mga dayagonal ng rhombus ay patayo.

2. Hinahati ng mga diagonal ng rhombus ang mga sulok nito.

3. Kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay patayo, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus.

4. Kung ang mga diagonal ng isang parallelogram ay hatiin ang mga anggulo nito sa kalahati, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus.

Trapeze. Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan dalawang magkabilang panig lamang (mga base) ang magkatulad. Ang median na linya ng isang trapezoid ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga hindi magkatulad na panig (mga gilid ng gilid).

1. Ang median line ng trapezoid ay parallel sa mga base at katumbas ng kanilang half-sum.

2. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base.

Kapansin-pansing pag-aari ng isang trapezoid. Ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, ang punto ng intersection ng mga extension ng mga gilid at ang mga midpoint ng mga base ay namamalagi sa parehong tuwid na linya.

Isosceles trapezium. Ang isang trapezoid ay tinatawag na isosceles kung ang mga gilid nito ay pantay.

Mga katangian at palatandaan ng isang isosceles trapezoid.

1. Ang mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

2. Ang mga dayagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

3. Kung ang mga anggulo sa base ng trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

4. Kung ang mga diagonal ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

5. Ang projection ng lateral side ng isang isosceles trapezoid papunta sa base ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base, at ang projection ng diagonal ay kalahati ng kabuuan ng mga base.

Mga formula para sa lugar ng isang quadrilateral

1. Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base at taas.

2. Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

3. Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng dalawang magkatabing gilid nito.

4. Ang lugar ng isang rhombus ay kalahati ng produkto ng mga diagonal nito.

5. Ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas.

6. Ang lugar ng quadrilateral ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

7. Ang formula ng Heron para sa isang may apat na gilid kung saan maaaring ilarawan ang isang bilog:

S \u003d, kung saan ang a, b, c, d ay ang mga gilid ng quadrilateral na ito, ang p ay ang semi-perimeter, at ang S ay ang lugar.

Mga katulad na figure

1. Ang ratio ng mga katumbas na linear na elemento ng magkatulad na figure ay katumbas ng similarity coefficient.

2. Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na mga numero ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

regular na polygon.

Hayaang ang a n ang gilid ng isang regular na n-gon, at ang r n at R n ang radii ng inscribed at circumscribed na bilog. Pagkatapos

Bilog.

Ang bilog ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano na nasa parehong positibong distansya mula sa isang naibigay na punto, na tinatawag na sentro ng bilog.

Mga pangunahing katangian ng isang bilog

1. Ang diameter na patayo sa chord ay naghahati sa chord at ang mga arc na binabawasan nito sa kalahati.

2. Ang diameter na dumadaan sa gitna ng chord na hindi diameter ay patayo sa chord na iyon.

3. Ang median na patayo sa chord ay dumadaan sa gitna ng bilog.

4. Ang mga pantay na chord ay tinanggal mula sa gitna ng bilog sa pantay na distansya.

5. Ang mga chord ng isang bilog na katumbas ng layo mula sa gitna ay pantay.

6. Ang bilog ay simetriko na may paggalang sa alinman sa mga diameter nito.

7. Ang mga arko ng isang bilog na nakapaloob sa pagitan ng magkatulad na mga kuwerdas ay pantay.

8. Sa dalawang chord, mas malaki ang hindi gaanong layo sa gitna.

9. Ang diameter ay ang pinakamalaking chord ng isang bilog.

Tangent sa bilog. Ang isang linya na may isang punto na karaniwan sa isang bilog ay tinatawag na isang padaplis sa bilog.

1. Ang tangent ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact.

2. Kung ang linyang a na dumadaan sa isang punto sa bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa puntong ito, kung gayon ang linya a ay padaplis sa bilog.

3. Kung ang mga linyang dumadaan sa puntong M ay dumampi sa bilog sa mga puntong A at B, pagkatapos ay MA = MB at ﮮAMO = ﮮBMO, kung saan ang puntong O ay ang sentro ng bilog.

4. Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang anggulo ay nasa bisector ng anggulong ito.

padaplis na bilog. Dalawang bilog ang sinasabing magkadikit kung mayroon silang iisang karaniwang punto (tangent point).

1. Ang punto ng pakikipag-ugnay ng dalawang bilog ay nasa kanilang linya ng mga sentro.

2. Ang mga bilog ng radii r at R na may mga sentro O 1 at O ​​2 ay kumakapit sa labas kung at kung R + r \u003d O 1 O 2 lamang.

3. Mga bilog ng radii r at R (r

4. Ang mga bilog na may mga sentrong O 1 at O ​​2 ay kumakapit sa labas sa puntong K. Ang ilang tuwid na linya ay dumadampi sa mga bilog na ito sa magkaibang mga punto A at B at nagsasalubong sa isang karaniwang tangent na dumadaan sa puntong K sa puntong C. Pagkatapos ﮮAK B \u003d 90 ° at ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Ang segment ng karaniwang panlabas na tangent sa dalawang tangent na bilog ng radii r at R ay katumbas ng segment ng karaniwang panloob na tangent na nakapaloob sa pagitan ng mga karaniwang panlabas. Pareho sa mga segment na ito ay pantay.

Ang mga anggulo na nauugnay sa isang bilog

1. Ang halaga ng arko ng isang bilog ay katumbas ng halaga ng gitnang anggulo batay dito.

2. Ang isang inscribed na anggulo ay katumbas ng kalahati ng angular magnitude ng arko kung saan ito nakapatong.

3. Ang mga nakasulat na anggulo batay sa parehong arko ay pantay.

4. Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng magkasalungat na arko na pinutol ng mga chord.

5. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang secant na nagsasalubong sa labas ng bilog ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga arko na pinutol ng mga secant sa bilog.

6. Ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang chord na iginuhit mula sa punto ng contact ay katumbas ng kalahati ng angular na halaga ng arc cut sa bilog sa pamamagitan ng chord na ito.

Mga katangian ng mga chord ng bilog

1. Ang linya ng mga sentro ng dalawang intersecting na bilog ay patayo sa kanilang karaniwang chord.

2. Ang mga produkto ng mga haba ng mga segment ng chords AB at CD ng bilog na intersecting sa punto E ay pantay, iyon ay, AE EB \u003d CE ED.

Inscribed at circumscribed circles

1. Ang mga sentro ng inscribed at circumscribed na bilog ng isang regular na tatsulok ay nag-tutugma.

2. Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok ay ang midpoint ng hypotenuse.

3. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng magkabilang panig nito ay pantay.

4. Kung ang isang may apat na gilid ay maaaring isulat sa isang bilog, kung gayon ang kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito ay 180°.

5. Kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang may apat na gilid ay 180°, kung gayon ang isang bilog ay maaaring bilugan sa paligid nito.

6. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon ang lateral na bahagi ng trapezoid ay makikita mula sa gitna ng bilog sa isang tamang anggulo.

7. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon ang radius ng bilog ay ang average na proporsyonal sa mga segment kung saan ang tangent point ay naghahati sa lateral na bahagi.

8. Kung ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang polygon, kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng produkto ng semiperimeter ng polygon at ang radius ng bilog na ito.

Ang tangent at secant theorem at ang kaakibat nito

1. Kung ang isang tangent at isang secant ay iginuhit mula sa isang punto patungo sa bilog, kung gayon ang produkto ng buong secant sa pamamagitan ng panlabas na bahagi nito ay katumbas ng parisukat ng padaplis.

2. Ang produkto ng buong secant sa pamamagitan ng panlabas na bahagi nito para sa isang naibigay na punto at isang ibinigay na bilog ay pare-pareho.

Ang circumference ng isang bilog na may radius R ay C= 2πR

KABANATA III.
PARALLEL LINES

§ 35. MGA ALAMAT NG PARALLELITY NG DALAWANG DIREKTA NA LINYA.

Ang teorama na ang dalawang patayo sa isang linya ay parallel (§ 33) ay nagbibigay ng senyales na ang dalawang linya ay parallel. Posibleng makakuha ng mas pangkalahatang mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya.

1. Ang unang tanda ng paralelismo.

Kung, sa intersection ng dalawang linya na may isang pangatlo, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel.

Hayaang mag-intersect ang mga linyang AB at CD sa linyang EF at / 1 = / 2. Kunin ang punto O - ang gitna ng segment KL ng secant EF (Fig. 189).

Ibagsak natin ang perpendikular na OM mula sa puntong O hanggang sa linyang AB at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa linyang CD, AB_|_MN. Patunayan natin na ang CD_|_MN.
Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang tatsulok: MOE at NOK. Ang mga tatsulok na ito ay katumbas ng bawat isa. talaga: / 1 = / 2 sa pamamagitan ng kondisyon ng teorama; OK = OL - sa pamamagitan ng konstruksiyon;
/ MOL = / NOK bilang mga patayong sulok. Kaya, ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok; Dahil dito, /\ MOL = /\ NOK, at samakatuwid
/ LMO = / kno pero / Direkta ang LMO, samakatuwid, at / Direkta rin ang KNO. Kaya, ang mga linyang AB at CD ay patayo sa parehong linya MN, samakatuwid sila ay parallel (§ 33), na dapat patunayan.

Tandaan. Ang intersection ng mga linyang MO at CD ay maaaring maitatag sa pamamagitan ng pag-ikot ng tatsulok na MOL sa paligid ng puntong O ng 180°.

2. Ang pangalawang tanda ng paralelismo.

Tingnan natin kung ang mga linyang AB at CD ay parallel kung, sa intersection ng kanilang ikatlong linya EF, ang mga katumbas na anggulo ay pantay.

Hayaang magkapantay ang ilang kaukulang mga anggulo, halimbawa / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, dahil ang mga sulok ay patayo; ibig sabihin, / 2 ay magiging pantay / 1. Ngunit ang mga anggulo 2 at 1 ay mga panloob na crosswise na anggulo, at alam na natin na kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya ng isang ikatlo, ang panloob na crosswise lying na mga anggulo ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel. Samakatuwid, AB || CD.

Kung sa intersection ng dalawang linya ng pangatlo ang kaukulang mga anggulo ay pantay, kung gayon ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

Ang pagtatayo ng mga parallel na linya sa tulong ng isang ruler at isang drawing triangle ay batay sa property na ito. Ginagawa ito bilang mga sumusunod.

Ilakip natin ang tatsulok sa ruler gaya ng ipinapakita sa drawing 191. Ililipat natin ang tatsulok upang ang isa sa mga gilid nito ay dumulas sa ruler, at gumuhit ng ilang tuwid na linya sa alinmang panig ng tatsulok. Magiging parallel ang mga linyang ito.

3. Ang ikatlong tanda ng paralelismo.

Ipaalam sa amin na sa intersection ng dalawang linya AB at CD ng ikatlong linya, ang kabuuan ng anumang panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d(o 180°). Magiging parallel ba ang mga linyang AB at CD sa kasong ito (Fig. 192).

Hayaan / 1 at / 2 panloob na isang panig na anggulo at magdagdag ng hanggang 2 d.
Pero / 3 + / 2 = 2d bilang magkatabing mga anggulo. Dahil dito, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Mula rito / 1 = / 3, at ang mga sulok na ito ay nasa loob na nakahiga sa crosswise. Samakatuwid, AB || CD.

Kung sa intersection ng dalawang linya ng isang pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d, pagkatapos ay magkapareho ang dalawang linya.

Isang ehersisyo.

Patunayan na ang mga linya ay parallel:
a) kung ang mga panlabas na cross-lying na anggulo ay pantay (Fig. 193);
b) kung ang kabuuan ng mga panlabas na unilateral na anggulo ay 2 d(demonyo 194).