Sa ngayon, isinasaalang-alang namin ang mga equation ng mga linya sa eroplano, na direktang nauugnay sa kasalukuyang mga coordinate ng mga punto ng mga linyang ito. Gayunpaman, ang isa pang paraan ng pagtukoy ng linya ay madalas na ginagamit, kung saan ang kasalukuyang mga coordinate ay itinuturing bilang mga function ng isang ikatlong variable.

Hayaang ibigay ang dalawang function ng isang variable

isinasaalang-alang para sa parehong mga halaga ng t. Pagkatapos ang alinman sa mga halagang ito ng t ay tumutugma sa isang tiyak na halaga at isang tiyak na halaga ng y, at, dahil dito, sa isang tiyak na punto. Kapag ang variable t ay tumatakbo sa lahat ng mga value mula sa function definition area (73), ang punto ay naglalarawan ng ilang linya С sa eroplano. Ang mga equation (73) ay tinatawag na parametric equation ng linyang ito, at ang variable ay tinatawag na isang parameter.

Ipagpalagay na ang function ay may kabaligtaran na pag-andar Ang pagpapalit ng function na ito sa pangalawa ng mga equation (73), makuha natin ang equation

pagpapahayag ng y bilang isang function

Sumang-ayon tayo na sabihin na ang function na ito ay ibinibigay sa parametrically ng mga equation (73). Ang paglipat mula sa mga equation na ito sa equation (74) ay tinatawag na pag-aalis ng parameter. Kapag isinasaalang-alang ang mga function na tinukoy sa parametrically, ang pagbubukod ng parameter ay hindi lamang hindi kinakailangan, ngunit hindi rin palaging halos posible.

Sa maraming mga kaso, ito ay mas maginhawa, bibigyan ng iba't ibang mga halaga ng parameter, upang pagkatapos ay kalkulahin, gamit ang mga formula (73), ang kaukulang mga halaga ng argumento at function na y.

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

Halimbawa 1. Hayaan ay isang di-makatwirang punto ng isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan at radius R. Ang Cartesian coordinate x at y ng puntong ito ay ipinahayag sa mga tuntunin ng kanyang polar radius at polar angle, na tinutukoy namin dito sa pamamagitan ng t, tulad ng sumusunod ( tingnan ang Ch. I, § 3, aytem 3):

Ang mga equation (75) ay tinatawag na parametric equation ng bilog. Ang parameter sa kanila ay ang polar angle, na nag-iiba mula 0 hanggang.

Kung ang mga equation (75) ay squared at idinagdag ang term sa pamamagitan ng term, kung gayon, dahil sa pagkakakilanlan, ang parameter ay aalisin at ang circle equation sa Cartesian coordinate system ay makukuha, na tumutukoy sa dalawang elementarya na function:

Ang bawat isa sa mga function na ito ay tinukoy sa parametrically ng mga equation (75), ngunit ang mga hanay ng pagkakaiba-iba ng parameter para sa mga function na ito ay iba. Para sa una; ang graph ng function na ito ay ang itaas na kalahating bilog. Para sa pangalawang function, ang graph nito ay ang mas mababang kalahating bilog.

Halimbawa 2. Isaalang-alang ang isang ellipse sa parehong oras

at isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan at radius a (Larawan 138).

Sa bawat punto M ng ellipse, iniuugnay namin ang isang punto N ng bilog, na may parehong abscissa bilang punto M, at matatagpuan kasama nito sa parehong bahagi ng axis ng Ox. Ang posisyon ng point N, at samakatuwid ang point M, ay ganap na tinutukoy ng polar angle t ng point. Sa kasong ito, para sa kanilang karaniwang abscissa, nakuha namin ang sumusunod na expression: x \u003d a. Nahanap namin ang ordinate sa punto M mula sa equation ng ellipse:

Ang sign ay pinili dahil ang ordinate sa point M at ang ordinate sa point N ay dapat magkaroon ng parehong mga sign.

Kaya, ang mga sumusunod na parametric equation ay nakuha para sa ellipse:

Dito nagbabago ang parameter t mula 0 hanggang .

Halimbawa 3. Isaalang-alang ang isang bilog na may sentro sa punto a) at radius a, na, malinaw naman, ay humahawak sa x-axis sa pinanggalingan (Larawan 139). Ipagpalagay na ang bilog na ito ay gumulong nang hindi nadulas sa x-axis. Pagkatapos ang punto M ng bilog, na nag-tutugma sa paunang sandali sa pinagmulan, ay naglalarawan ng isang linya, na tinatawag na cycloid.

Nakukuha namin ang mga parametric equation ng cycloid, na kinukuha bilang parameter t ang anggulo ng pag-ikot ng bilog na MSW kapag inililipat ang nakapirming punto nito mula sa posisyon O patungo sa posisyon M. Pagkatapos ay para sa mga coordinate at y ng punto M nakukuha namin ang mga sumusunod na expression:

Dahil sa ang katunayan na ang bilog ay gumulong sa kahabaan ng axis nang hindi dumudulas, ang haba ng segment na OB ay katumbas ng haba ng arc VM. Dahil ang haba ng VM arc ay katumbas ng produkto ng radius a at ang gitnang anggulo t, kung gayon . Kaya . Ngunit, samakatuwid,

Ang mga equation na ito ay ang mga parametric equation ng cycloid. Kapag binago ang parameter t mula 0 sa bilog ay gagawa ng isang kumpletong rebolusyon. Ilalarawan ng Point M ang isang arko ng cycloid.

Ang pagbubukod ng parameter t ay humahantong dito sa masalimuot na mga expression at halos hindi praktikal.

Ang parametric na kahulugan ng mga linya ay kadalasang ginagamit sa mekanika, at ang oras ay gumaganap ng papel ng isang parameter.

Halimbawa 4. Tukuyin natin ang tilapon ng isang projectile na pinaputok mula sa isang baril na may paunang bilis sa isang anggulo a sa abot-tanaw. Ang paglaban ng hangin at mga sukat ng projectile, na isinasaalang-alang ito bilang isang materyal na punto, ay napapabayaan.

Pumili tayo ng coordinate system. Para sa pinagmulan ng mga coordinate, kinukuha namin ang punto ng pag-alis ng projectile mula sa muzzle. Idirekta natin ang Ox axis nang pahalang, at ang Oy axis - patayo, ilagay ang mga ito sa parehong eroplano na may nguso ng baril. Kung walang gravitational force, kung gayon ang projectile ay lilipat sa isang tuwid na linya na gagawa ng isang anggulo a sa Ox axis, at sa oras na t ang projectile ay maglalakbay sa layo. Dahil sa gravity ng earth, ang projectile sa sandaling ito ay dapat na patayong bumaba ng isang value. Samakatuwid, sa katotohanan, sa oras na t, ang mga coordinate ng projectile ay tinutukoy ng mga formula:

Ang mga equation na ito ay mga pare-pareho. Kapag nagbago ang t, magbabago rin ang mga coordinate ng projectile trajectory point. Ang mga equation ay parametric equation ng projectile trajectory, kung saan ang parameter ay oras

Pagpapahayag mula sa unang equation at pagpapalit nito sa

ang pangalawang equation, nakuha natin ang equation ng projectile trajectory sa anyo Ito ang equation ng isang parabola.

Isaalang-alang natin ang kahulugan ng isang linya sa eroplano, kung saan ang mga variable na x, y ay mga function ng ikatlong variable t (tinatawag na parameter):

Para sa bawat halaga t mula sa ilang agwat ay tumutugma sa ilang mga halaga x at y, at, kaya isang tiyak na punto M(x, y) ng eroplano. Kailan t tumatakbo sa lahat ng mga halaga mula sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ay ang punto M (x, y) ay naglalarawan ng ilang linya L. Ang mga equation (2.2) ay tinatawag na parametric equation ng linya L.

Kung ang function na x = φ(t) ay may kabaligtaran na t = Ф(x), pagkatapos ay palitan ang expression na ito sa equation na y = g(t), makuha namin ang y = g(Ф(x)), na tumutukoy y bilang isang katangian ng x. Sa kasong ito, ang mga equation (2.2) ay sinasabing tumutukoy sa function y parametrically.

Halimbawa 1 Hayaan M (x, y) ay isang arbitrary na punto ng bilog ng radius R at nakasentro sa pinanggalingan. Hayaan t- ang anggulo sa pagitan ng axis baka at radius OM(Tingnan ang Larawan 2.3). Pagkatapos x, y ipinahayag sa pamamagitan ng t:

Ang mga equation (2.3) ay mga parametric equation ng bilog. Huwag nating isama ang parameter t mula sa mga equation (2.3). Upang gawin ito, parisukat namin ang bawat isa sa mga equation at idagdag ito, nakukuha namin: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) o x 2 + y 2 \u003d R 2 - ang bilog na equation sa Cartesian coordinate system. Tinutukoy nito ang dalawang function: Ang bawat isa sa mga function na ito ay ibinibigay ng mga parametric equation (2.3), ngunit para sa unang function , at para sa pangalawa .

Halimbawa 2. Parametric equation

tukuyin ang isang ellipse na may mga semiax a, b(Larawan 2.4). Pag-aalis ng parameter mula sa mga equation t, nakukuha natin ang canonical equation ng ellipse:

Halimbawa 3. Ang cycloid ay isang linya na inilalarawan ng isang puntong nakahiga sa isang bilog kung ang bilog na ito ay gumulong nang hindi nadudulas sa isang tuwid na linya (Larawan 2.5). Ipakilala natin ang mga parametric equation ng cycloid. Hayaang maging ang radius ng umiikot na bilog a, tuldok M, na naglalarawan sa cycloid, sa simula ng kilusan ay kasabay ng pinagmulan.

Tukuyin natin ang mga coordinate x, y puntos M pagkatapos umikot ang bilog sa isang anggulo t
(Larawan 2.5), t = ÐMCB. Haba ng arko MB katumbas ng haba ng segment OB, dahil ang bilog ay gumulong nang hindi nadulas, kaya

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - gastos).

Kaya, ang mga parametric equation ng cycloid ay nakuha:

Kapag binabago ang parameter t mula 0 hanggang 2π ang bilog ay pinaikot ng isang rebolusyon, habang ang punto M inilalarawan ang isang arko ng cycloid. Tinutukoy ng mga equation (2.5). y bilang isang katangian ng x. Bagaman ang pag-andar x = a(t - sint) ay may kabaligtaran na pag-andar, ngunit hindi ito ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, kaya ang pag-andar y = f(x) ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya function.

Isaalang-alang ang pagkita ng kaibhan ng function na ibinigay parametrically ng mga equation (2.2). Ang function na x = φ(t) sa isang tiyak na pagitan ng pagbabago t ay may kabaligtaran na function t = Ф(x), pagkatapos y = g(Ф(x)). Hayaan x = φ(t), y = g(t) may mga derivatives, at x"t≠0. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function y"x=y"t×t"x. Batay sa inverse function differentiation rule, samakatuwid:

Ang resultang formula (2.6) ay nagpapahintulot sa isa na mahanap ang derivative para sa isang function na ibinigay parametrically.

Halimbawa 4. Hayaan ang function y, depende sa x, ay nakatakda nang parametric:

Desisyon. .
Halimbawa 5 Maghanap ng Slope k padaplis sa cycloid sa puntong M 0 na tumutugma sa halaga ng parameter .
Desisyon. Mula sa cycloid equation: y" t = asint, x" t = a(1 - gastos), kaya lang

Slope ng tangent sa isang punto M0 katumbas ng halaga sa t 0 \u003d π / 4:

FUNCTION DIFFERENTIAL

Hayaan ang function sa isang punto x0 may derivative. A-priory:
samakatuwid, sa pamamagitan ng mga katangian ng limitasyon (Sec. 1.8) , kung saan a ay walang katapusang maliit sa ∆x → 0. Mula rito

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Bilang Δx → 0, ang pangalawang termino sa pagkakapantay-pantay (2.7) ay isang infinitesimal na mas mataas na pagkakasunud-sunod, kung ihahambing sa , samakatuwid Δy at f "(x 0) × Δx ay katumbas, infinitesimal (para sa f "(x 0) ≠ 0).

Kaya, ang pagtaas ng function na Δy ay binubuo ng dalawang termino, kung saan ang unang f "(x 0) × Δx ay pangunahing bahagi increments Δy, linear na may kinalaman sa Δx (para sa f "(x 0) ≠ 0).

Differential ang function na f(x) sa puntong x 0 ay tinatawag na pangunahing bahagi ng pagtaas ng function at ipinapahiwatig: dy o df(x0). Kaya naman,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Halimbawa 1 Hanapin ang kaugalian ng isang function dy at ang pagtaas ng function Δy para sa function y \u003d x 2 kapag:
1) arbitraryo x at Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

Desisyon

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Kung x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1, pagkatapos ay Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy = 40×0.1= 4.

Sinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (2.7) sa anyo:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Ang pagtaas ng Δy ay naiiba sa kaugalian dy sa isang infinitesimal na mas mataas na order, kumpara sa Δx, samakatuwid, sa tinatayang mga kalkulasyon, ang tinatayang pagkakapantay-pantay Δy ≈ dy ay ginagamit kung ang Δx ay sapat na maliit.

Isinasaalang-alang na Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), nakakuha kami ng tinatayang formula:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Halimbawa 2. Kalkulahin ang humigit-kumulang.

Desisyon. Isaalang-alang:

Gamit ang formula (2.10), nakukuha natin ang:

Samakatuwid, ≈ 2.025.

Isaalang-alang ang geometric na kahulugan ng kaugalian df(x0)(Larawan 2.6).

Gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = f (x) sa puntong M 0 (x0, f (x 0)), hayaang φ ang anggulo sa pagitan ng tangent KM0 at ng axis na Ox, pagkatapos ay f "(x 0) ) = tgφ. Mula sa ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Ngunit ang PN ay ang pagtaas ng tangent ordinate kapag ang x ay nagbabago mula sa x 0 hanggang x 0 + Δx.

Samakatuwid, ang pagkakaiba ng function na f(x) sa puntong x 0 ay katumbas ng pagtaas ng tangent ordinate.

Hanapin natin ang differential ng function
y=x. Dahil (x)" = 1, kung gayon dx = 1 × Δx = Δx. Ipinapalagay namin na ang pagkakaiba ng independent variable x ay katumbas ng pagtaas nito, ibig sabihin, dx = Δx.

Kung ang x ay isang di-makatwirang numero, kung gayon mula sa pagkakapantay-pantay (2.8) makuha natin ang df(x) = f "(x)dx, kung saan .
Kaya, ang derivative para sa function na y = f(x) ay katumbas ng ratio ng differential nito sa differential ng argument.

Isaalang-alang ang mga katangian ng kaugalian ng isang function.

Kung ang u(x), v(x) ay mga differentiable function, ang mga sumusunod na formula ay valid:

Upang patunayan ang mga formula na ito, ginagamit ang mga derivative formula para sa kabuuan, produkto, at quotient. Patunayan natin, halimbawa, ang formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Isaalang-alang ang kaugalian ng isang kumplikadong function: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Pagkatapos dy = y" t dt, ngunit y" t = y" x ×x" t , kaya dy =y" x x" t dt. Isinasaalang-alang,

na x" t = dx, makuha namin ang dy = y" x dx =f "(x)dx.

Kaya, ang kaugalian ng isang kumplikadong function na y \u003d f (x), kung saan ang x \u003d φ (t), ay may anyo na dy \u003d f "(x) dx, katulad ng kapag ang x ay isang independent variable. Ang property na ito ay tinatawag na hugis invariant differential a.

Logarithmic differentiation

Mga derivatives ng elementary functions

Mga pangunahing patakaran ng pagkita ng kaibhan

Pagkakaiba ng pag-andar

Pangunahing linear na bahagi ng pagtaas ng function A D x sa kahulugan ng differentiability ng isang function

D f=f(x)-f(x 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

ay tinatawag na differential ng function f(x) sa punto x 0 at may denotasyon

df(x 0)=f¢(x 0)D x= A D x.

Ang pagkakaiba ay depende sa punto x 0 at mula sa pagtaas D x. Sa D x habang tinitingnan ito bilang isang malayang variable, kaya na sa bawat punto ang differential ay isang linear function ng increment D x.

Kung isasaalang-alang natin bilang isang function f(x)=x, pagkatapos makuha namin dx= D x, dy=Adx. Ito ay pare-pareho sa Leibniz notation

Geometrical na interpretasyon ng differential bilang isang pagtaas ng tangent ordinate.

kanin. 4.3

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Bunga. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 at ang derivative ay umiiral, kung gayon f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Para sa kaiklian, kami ay magsasaad u=u(x), ikaw 0 =u(x 0), pagkatapos

Pagpasa sa limitasyon sa D x® 0 nakukuha natin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

5) Derivative ng isang kumplikadong function.

Teorama. Kung mayroong f¢(x 0), g¢(x 0)at x 0 =g(t 0), pagkatapos ay sa ilang kapitbahayan t 0 isang kumplikadong function f(g(t)), ito ay naiba sa puntong t 0 at

Patunay.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng ( t - t 0) at pumasa sa limitasyon sa t®t 0 .

6) Pagkalkula ng derivative ng inverse function.

Teorama. Hayaang tuluy-tuloy ang f at mahigpit na naka-on[a,b]. Hayaan sa puntong x 0 Î( a,b)umiiral f¢(x 0)¹ 0 , pagkatapos ay ang inverse function na x=f -1 (y)ay nasa puntong y 0 derivative katumbas ng

Patunay. Naniniwala kami f mahigpit na monotonically pagtaas, pagkatapos f -1 (y) ay tuloy-tuloy, monotonically tumataas sa [ f(a),f(b)]. Ilagay natin y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0=D x,

y-y 0=D y. Dahil sa pagpapatuloy ng inverse function D y®0 Þ D x®0, mayroon kami

Ang pagpasa sa limitasyon, nakuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

7) Ang derivative ng even function ay odd, ang derivative ng odd function ay even.

Sa katunayan, kung x®-x 0 , tapos- x® x 0 , kaya lang

Para sa isang even function para sa isang kakaibang function

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)=a x ,(isang x)¢ = x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x ,

Bunga. (ang derivative ng even function ay kakaiba)

7) (x m )¢= m x m-1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (kasalanan x)¢= cos x,

9) (cos x)¢=- kasalanan x,(cos x)¢= (kasalanan( x+ p/2)) ¢= kasi( x+ p/2)=-kasalanan x.

10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -1/kasalanan2 x.

16) sh x, ch x.

f(x),, kung saan sinusundan iyon f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .

Ang parehong formula ay maaaring makuha nang iba f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.

Halimbawa. Kalkulahin ang derivative ng isang function f=x x .

=x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

Locus ng mga punto sa isang eroplano

ay tatawaging graph ng function, ibinigay parametrically. Pinag-uusapan din nila ang tungkol sa parametric na kahulugan ng isang function.

Puna 1. Kung ang x, y tuloy-tuloy sa [a,b] at x(t) mahigpit na monotoniko sa segment (halimbawa, mahigpit na monotonically pagtaas), pagkatapos ay sa [ a,b], a=x(a) ,b=x(b) tinukoy ang function f(x)=y(t(x)), kung saan t(x) – function na baligtad sa x(t). Ang graph ng function na ito ay kapareho ng graph ng function

Kung ang saklaw Ang function na tinukoy ng parametric ay maaaring hatiin sa isang may hangganan na bilang ng mga segment ,k= 1,2,…,n, sa bawat isa kung saan ang function x(t) ay mahigpit na monotoniko, pagkatapos ang parametrically na tinukoy na function ay nabubulok sa isang limitadong bilang ng mga ordinaryong function fk(x)=y(t -1 (x)) may mga saklaw [ x(a k), x(b k)] para sa mga pataas na lugar x(t) at may mga domain [ x(b k), x(a k)] para sa mga pababang seksyon ng function x(t). Ang mga function na nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag na single-valued na mga sangay ng isang parametrically tinukoy na function.

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function

Gamit ang napiling parametrization, ang domain ng kahulugan ay nahahati sa limang seksyon ng mahigpit na monotonicity ng function na sin(2 t), eksakto: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , at, nang naaayon, hahati-hati ang graph sa limang sangay na may iisang halaga na naaayon sa mga seksyong ito.

kanin. 4.4

kanin. 4.5

Maaari kang pumili ng isa pang parametrization ng parehong locus ng mga puntos

Sa kasong ito, magkakaroon lamang ng apat na mga sangay. Sila ay tumutugma sa mga lugar na may mahigpit na monotonicity tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ mga function kasalanan(2 t).

kanin. 4.6

Apat na seksyon ng monotonicity ng function na sin(2 t) sa isang segment na mahaba.

kanin. 4.7

Ang imahe ng parehong mga graph sa isang figure ay nagbibigay-daan sa iyo upang humigit-kumulang na ilarawan ang graph ng isang parametrically na ibinigay na function, gamit ang monotonicity na mga lugar ng parehong mga function.

Isaalang-alang, halimbawa, ang unang sangay na tumutugma sa segment tÎ . Sa dulo ng seksyong ito, ang function x= kasalanan(2 t) kinukuha ang mga halaga -1 at 1 , kaya ang sangay na ito ay tutukuyin sa [-1,1] . Pagkatapos nito, kailangan mong tingnan ang mga lugar ng monotonicity ng pangalawang function y= kasi( t), meron siyang dalawang lugar ng monotonicity . Ito ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang unang sangay ay may dalawang mga segment ng monotonicity. Kapag nahanap mo na ang mga dulo ng graph, maaari mong ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya upang maipahiwatig ang likas na katangian ng monotony ng graph. Matapos magawa ito sa bawat sangay, nakakakuha kami ng mga lugar ng monotonicity ng mga single-valued na sangay ng graph (sa figure na sila ay naka-highlight sa pula)

kanin. 4.8

Unang solong sangay f 1 (x)=y(t(x)) , naaayon sa seksyon ay matutukoy para sa xн[-1,1] . Unang solong sangay tÎ , xО[-1,1].

Ang lahat ng iba pang tatlong sangay ay magkakaroon din ng set [-1,1] bilang kanilang domain .

kanin. 4.9

Pangalawang sangay tÎ xО[-1,1].

kanin. 4.10

Pangatlong sangay tÎ xн[-1,1]

kanin. 4.11

Pang-apat na sangay tÎ xн[-1,1]

kanin. 4.12

Magkomento 2. Ang parehong function ay maaaring magkaroon ng iba't ibang parametric na takdang-aralin. Ang mga pagkakaiba ay maaaring may kinalaman sa parehong mga pag-andar mismo x(t),y(t) , at mga domain ng kahulugan mga function na ito.

Halimbawa ng iba't ibang parametric na pagtatalaga ng parehong function

at tн[-1, 1] .

Puna 3. Kung ang x,y ay tuloy-tuloy sa , x(t)- mahigpit na monotoniko sa segment at may mga derivatives y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, pagkatapos ay mayroon f¢(x 0)= .

Talaga, .

Ang huling pahayag ay umaabot din sa mga single-valued na sangay ng isang parametrically na tinukoy na function.

4.2 Derivatives at differentials ng mas mataas na mga order

Mas mataas na derivatives at differentials. Differentiation ng mga function na ibinigay parametrically. Leibniz formula.

Hayaang ibigay ang function sa parametric na paraan:
(1)
kung saan ang ilang variable ay tinatawag na parameter. At hayaan ang mga function at magkaroon ng mga derivatives sa ilang halaga ng variable . Bukod dito, ang function ay mayroon ding inverse function sa ilang kapitbahayan ng point . Pagkatapos ang function (1) ay may derivative sa punto, na, sa parametric form, ay tinutukoy ng mga formula:
(2)

Narito at ang mga derivatives ng mga function at may paggalang sa variable (parameter) . Madalas silang nakasulat sa sumusunod na anyo:
;
.

Pagkatapos ang system (2) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Patunay

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang function ay may inverse function. Tukuyin natin ito bilang
.
Kung gayon ang orihinal na function ay maaaring katawanin bilang isang kumplikadong function:
.
Hanapin natin ang derivative nito sa pamamagitan ng paglalapat ng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan ng kumplikado at kabaligtaran na mga pag-andar:
.

Napatunayan na ang tuntunin.

Patunay sa pangalawang paraan

Hanapin natin ang derivative sa pangalawang paraan, batay sa kahulugan ng derivative ng function sa punto :
.
Ipakilala natin ang notasyon:
.
Pagkatapos ang nakaraang formula ay tumatagal ng form:
.

Gamitin natin ang katotohanan na ang function ay may kabaligtaran na function , sa paligid ng punto .
Ipakilala natin ang notasyon:
; ;
; .
Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng:
.
Sa , . Pagkatapos
.

Napatunayan na ang tuntunin.

Derivatives ng mas mataas na mga order

Upang makahanap ng mga derivatives ng mas mataas na mga order, kinakailangan na magsagawa ng pagkita ng kaibhan nang maraming beses. Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang pangalawang derivative ng isang function na ibinigay sa parametric na paraan, ng sumusunod na form:
(1)

Ayon sa formula (2), makikita natin ang unang derivative, na tinutukoy din sa parametrically:
(2)

Tukuyin ang unang derivative sa pamamagitan ng variable:
.
Pagkatapos, upang mahanap ang pangalawang derivative ng function na may paggalang sa variable , kailangan mong hanapin ang unang derivative ng function na may paggalang sa variable . Ang dependence ng isang variable sa isang variable ay tinukoy din sa parametric na paraan:
(3)
Ang paghahambing ng (3) sa mga formula (1) at (2), makikita natin:

Ngayon ipahayag natin ang resulta sa mga tuntunin ng mga pag-andar at . Upang gawin ito, pinapalitan at inilalapat namin ang formula para sa derivative ng isang fraction:
.
Pagkatapos
.

Mula dito nakuha namin ang pangalawang derivative ng function na may paggalang sa variable:

Ibinibigay din ito sa parametric form. Tandaan na ang unang linya ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:
.

Sa pagpapatuloy ng proseso, posible na makakuha ng mga derivatives ng mga function mula sa isang variable ng ikatlo at mas mataas na mga order.

Tandaan na posibleng hindi ipakilala ang notasyon para sa derivative . Maaari itong isulat tulad nito:
;
.

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function na ibinigay sa parametric na paraan:

Desisyon

Nakahanap kami ng mga derivatives ng at may kinalaman sa .
Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
;
.
Nag-a-apply kami:

.
Dito .

.
Dito .

Ninanais na derivative:
.

Sagot

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng function na ipinahayag sa pamamagitan ng parameter:

Desisyon

Buksan natin ang mga bracket gamit ang mga formula para sa mga power function at ugat:
.

Nahanap namin ang derivative:

.

Nahanap namin ang derivative. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable at inilapat ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.

.

Nahanap namin ang nais na derivative:
.

Sagot

Halimbawa 3

Hanapin ang pangalawa at pangatlong derivative ng function na ibinigay sa parametrically sa halimbawa 1:

Desisyon

Sa halimbawa 1, nakita namin ang first order derivative:

Ipakilala natin ang notasyon. Kung gayon ang function ay ang derivative na may paggalang sa . Ito ay itinakda nang parametric:

Upang mahanap ang pangalawang derivative na may kinalaman sa , kailangan nating hanapin ang unang derivative na may kinalaman sa .

Nag-iiba tayo tungkol sa .
.
Natagpuan namin ang derivative sa halimbawa 1:
.
Ang pangalawang order derivative patungkol sa ay katumbas ng unang order derivative patungkol sa:
.

Kaya, nakita namin ang pangalawang-order na derivative na may paggalang sa parametric form:

Ngayon nakita namin ang derivative ng ikatlong order. Ipakilala natin ang notasyon. Pagkatapos ay kailangan nating hanapin ang unang derivative ng function , na ibinibigay sa parametric na paraan:

Nahanap namin ang derivative na may paggalang sa . Upang gawin ito, muling isusulat namin sa isang katumbas na anyo:
.
Mula sa
.

Ang pangatlong order derivative patungkol sa ay katumbas ng unang order derivative patungkol sa:
.

Magkomento

Posibleng hindi magpakilala ng mga variable at , na mga derivatives ng at , ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ay maaari mong isulat ito tulad nito:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Sagot

Sa parametric na representasyon, ang pangalawang order derivative ay may sumusunod na anyo:

Derivative ng ikatlong order.

Maaaring tukuyin ang function sa maraming paraan. Depende ito sa panuntunang ginagamit kapag itinatakda ito. Ang tahasang anyo ng kahulugan ng function ay y = f (x) . May mga kaso kapag ang paglalarawan nito ay imposible o hindi maginhawa. Kung mayroong isang set ng mga pares (x; y) na kailangang kalkulahin para sa parameter na t sa pagitan ng (a; b). Upang malutas ang sistema x = 3 cos t y = 3 sin t na may 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Kahulugan ng parametric function

Kaya't mayroon tayong x = φ (t) , y = ψ (t) ay tinukoy sa para sa halagang t ∈ (a ; b) at may inverse function t = Θ (x) para sa x = φ (t) , pagkatapos pinag-uusapan natin ang pagtatakda ng parametric equation ng isang function ng form na y = ψ (Θ (x)) .

May mga kaso kung kailan, upang pag-aralan ang isang function, kinakailangan na hanapin ang derivative na may paggalang sa x. Isaalang-alang ang formula para sa derivative ng isang parametrically given function ng form y x " = ψ " (t) φ " (t) , pag-usapan natin ang derivative ng ika-2 at ika-2 na order.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang parametrically given function

Mayroon kaming na x = φ (t) , y = ψ (t) , tinukoy at naiba para sa t ∈ a ; b , kung saan ang x t " = φ " (t) ≠ 0 at x = φ (t) , pagkatapos ay mayroong kabaligtaran na function ng form na t = Θ (x) .

Upang magsimula, dapat kang lumipat mula sa isang parametric na gawain patungo sa isang tahasang gawain. Upang gawin ito, kailangan mong makakuha ng isang kumplikadong function ng form y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , kung saan mayroong isang argument x .

Batay sa panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, nakuha namin na y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Ipinapakita nito na ang t = Θ (x) at x = φ (t) ay mga inverse function mula sa inverse function formula Θ "(x) = 1 φ" (t) , pagkatapos ay y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang paglutas ng ilang mga halimbawa gamit ang isang talahanayan ng mga derivatives ayon sa tuntunin ng pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative para sa function na x = t 2 + 1 y = t .

Desisyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon tayong φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, kaya't nakuha natin na φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Kinakailangang gamitin ang hinangong pormula at isulat ang sagot sa anyo:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Sagot: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Kapag nagtatrabaho sa derivative ng isang function, tinutukoy ng parameter t ang expression ng argument x sa pamamagitan ng parehong parameter t upang hindi mawala ang koneksyon sa pagitan ng mga value ng derivative at parametrically specified function na may argumento kung saan ang mga ito. katumbas ng mga halaga.

Upang matukoy ang second-order derivative ng isang parametrically given function, kailangan mong gamitin ang formula para sa first-order derivative sa resultang function, pagkatapos ay makuha natin iyon

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Halimbawa 2

Hanapin ang 2nd at 2nd order derivatives ng ibinigay na function x = cos (2 t) y = t 2 .

Desisyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, nakukuha natin na φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Pagkatapos pagkatapos ng pagbabago

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - kasalanan (2 t) 2 t " \u003d - 2 kasalanan (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Kasunod nito na y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Nakukuha namin na ang anyo ng derivative ng 1st order ay x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Upang malutas ito, kailangan mong ilapat ang second-order derivative formula. Nakakakuha tayo ng expression na parang

y x "" \u003d - t kasalanan (2 t) φ "t \u003d - t " kasalanan (2 t) - t (kasalanan (2 t)) " kasalanan 2 (2 t) - 2 kasalanan (2 t) = = 1 kasalanan (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Pagkatapos ay itakda ang 2nd order derivative gamit ang parametric function

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Ang isang katulad na solusyon ay maaaring malutas sa pamamagitan ng isa pang pamamaraan. Pagkatapos

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - kasalanan (2 t) 2 t " \u003d - 2 kasalanan (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 kasalanan (2 t) " \u003d - 2 kasalanan (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Kaya nakukuha namin iyon

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 kasalanan 2 t 3 \u003d \u003d kasalanan (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Sagot: y "" x \u003d kasalanan (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Katulad nito, matatagpuan ang mga derivatives ng mas mataas na pagkakasunud-sunod na may mga function na tinukoy sa parametric.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter