Sa artikulong ito, ipapakilala namin ang konsepto ng ugat ng isang numero. Kami ay kikilos nang sunud-sunod: magsisimula kami sa square root, mula dito ay magpapatuloy kami sa paglalarawan ng cube root, pagkatapos nito ay i-generalize namin ang konsepto ng root sa pamamagitan ng pagtukoy sa root ng nth degree. Kasabay nito, ipapakilala namin ang mga kahulugan, notasyon, magbibigay ng mga halimbawa ng mga ugat at magbibigay ng mga kinakailangang paliwanag at komento.

Square root, arithmetic square root

Upang maunawaan ang kahulugan ng ugat ng isang numero, at partikular na ang square root, dapat mayroon ang isa . Sa puntong ito, madalas nating makakaharap ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero - ang parisukat ng isang numero.

Magsimula tayo sa mga kahulugan ng square root.

Kahulugan

Ang square root ng a ay ang bilang na ang parisukat ay a .

Para madala mga halimbawa ng square roots, kumuha ng ilang numero, halimbawa, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , at parisukat ang mga ito, makuha namin ang mga numero 25 , 0.09 , 0.09 at 0 ayon sa pagkakabanggit (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 at 0 2 =0 0=0 ). Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan sa itaas, ang 5 ay ang square root ng 25, −0.3 at 0.3 ang square roots ng 0.09, at ang 0 ay ang square root ng zero.

Dapat tandaan na hindi para sa anumang numero ang isang umiiral , na ang parisukat ay katumbas ng isang . Ibig sabihin, para sa anumang negatibong numero a, walang tunay na numero b na ang parisukat ay katumbas ng a. Sa katunayan, ang pagkakapantay-pantay a=b 2 ay imposible para sa anumang negatibong a , dahil ang b 2 ay isang di-negatibong numero para sa anumang b . kaya, sa hanay ng mga tunay na numero ay walang square root ng isang negatibong numero. Sa madaling salita, sa hanay ng mga tunay na numero, ang square root ng isang negatibong numero ay hindi tinukoy at walang kahulugan.

Ito ay humahantong sa isang lohikal na tanong: "Mayroong square root ba ang a para sa anumang hindi negatibong a"? Ang sagot ay oo. Ang katwiran para sa katotohanang ito ay maaaring ituring na isang nakabubuo na pamamaraan na ginamit upang mahanap ang halaga ng square root.

Pagkatapos ay lumitaw ang sumusunod na lohikal na tanong: "Ano ang bilang ng lahat ng square roots ng isang ibinigay na hindi negatibong numero a - isa, dalawa, tatlo, o higit pa"? Narito ang sagot dito: kung ang a ay zero, kung gayon ang tanging square root ng zero ay zero; kung ang a ay ilang positibong numero, kung gayon ang bilang ng mga square root mula sa numerong a ay katumbas ng dalawa, at ang mga ugat ay . Patunayan natin ito.

Magsimula tayo sa kaso a=0 . Ipakita muna natin na ang zero ay talagang square root ng zero. Ito ay sumusunod mula sa halatang pagkakapantay-pantay 0 2 =0·0=0 at ang kahulugan ng square root.

Ngayon patunayan natin na ang 0 ay ang tanging square root ng zero. Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay natin na mayroong ilang di-zero na numero b na parisukat na ugat ng zero. Kung gayon ang kundisyon b 2 =0 ay dapat matugunan, na imposible, dahil para sa anumang di-zero b ang halaga ng expression na b 2 ay positibo. Dumating tayo sa isang kontradiksyon. Ito ay nagpapatunay na ang 0 ay ang tanging square root ng zero.

Lumipat tayo sa mga kaso kung saan ang a ay isang positibong numero. Sa itaas, sinabi namin na palaging may square root ng anumang hindi negatibong numero, hayaang b ang square root ng a. Sabihin natin na mayroong isang numero c , na siya ring square root ng a . Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng square root, ang mga pagkakapantay-pantay b 2 =a at c 2 =a ay wasto, kung saan sumusunod na b 2 −c 2 =a−a=0, ngunit dahil b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , pagkatapos ay (b−c) (b+c)=0 . Ang nagresultang pagkakapantay-pantay sa puwersa mga katangian ng mga aksyon na may tunay na mga numero posible lamang kapag b−c=0 o b+c=0 . Kaya ang mga numero b at c ay pantay o kabaligtaran.

Kung ipagpalagay natin na mayroong isang numerong d, na isa pang square root ng numero a, kung gayon sa pamamagitan ng pangangatwiran na katulad ng mga naibigay na, ito ay pinatunayan na ang d ay katumbas ng bilang b o ang bilang c. Kaya, ang bilang ng mga square root ng isang positibong numero ay dalawa, at ang mga square root ay kabaligtaran na mga numero.

Para sa kaginhawaan ng pagtatrabaho sa mga square root, ang negatibong ugat ay "hiniwalay" mula sa positibo. Para sa layuning ito, ipinakilala nito kahulugan ng arithmetic square root.

Kahulugan

Arithmetic square root ng isang di-negatibong numero a ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng isang .

Para sa arithmetic square root ng numero a, tinatanggap ang notasyon. Ang tanda ay tinatawag na arithmetic square root sign. Tinatawag din itong tanda ng radikal. Samakatuwid, maaari mong bahagyang marinig ang parehong "ugat" at "radikal", na nangangahulugan ng parehong bagay.

Ang numero sa ilalim ng arithmetic square root sign ay tinatawag numero ng ugat, at ang expression sa ilalim ng root sign - radikal na pagpapahayag, habang ang terminong "radical number" ay kadalasang pinapalitan ng "radical expression". Halimbawa, sa notasyon, ang numerong 151 ay isang radikal na numero, at sa notasyon, ang ekspresyong a ay isang radikal na pagpapahayag.

Kapag nagbabasa, ang salitang "aritmetika" ay madalas na tinanggal, halimbawa, ang entry ay binabasa bilang "ang parisukat na ugat ng pitong punto dalawampu't siyam na daan." Ang salitang "arithmetic" ay binibigkas lamang kapag gusto nilang bigyang-diin na pinag-uusapan natin ang positibong square root ng isang numero.

Sa liwanag ng ipinakilalang notasyon, ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng arithmetic square root na para sa anumang di-negatibong numero a .

Ang mga square root ng isang positive number a ay isinusulat gamit ang arithmetic square root sign bilang at . Halimbawa, ang mga square root ng 13 ay at . Ang arithmetic square root ng zero ay zero, iyon ay, . Para sa mga negatibong numero a, hindi namin ilalagay ang kahulugan sa mga entry hangga't hindi kami nag-aaral kumplikadong mga numero. Halimbawa, ang mga expression at walang kahulugan.

Batay sa kahulugan ng isang square root, ang mga katangian ng square roots ay napatunayan, na kadalasang ginagamit sa pagsasanay.

Upang tapusin ang subsection na ito, tandaan namin na ang mga square root ng isang numero ay mga solusyon sa anyong x 2 =a na may kinalaman sa variable x .

cube root ng

Kahulugan ng cube root ng numerong a ay ibinibigay sa katulad na paraan sa kahulugan ng square root. Ito lamang ay batay sa konsepto ng isang kubo ng isang numero, hindi isang parisukat.

Kahulugan

Ang cube root ng a ang isang numero na ang kubo ay katumbas ng a ay tinatawag.

Dalhin natin mga halimbawa ng cube roots. Upang gawin ito, kumuha ng ilang numero, halimbawa, 7 , 0 , −2/3 , at i-cube ang mga ito: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Pagkatapos, batay sa kahulugan ng cube root, maaari nating sabihin na ang numero 7 ay ang cube root ng 343, 0 ay ang cube root ng zero, at −2/3 ay ang cube root ng −8/27.

Maaari itong ipakita na ang cube root ng numero a, hindi katulad ng square root, ay palaging umiiral, at hindi lamang para sa hindi negatibong a, kundi pati na rin para sa anumang tunay na numero a. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang parehong paraan na binanggit namin kapag pinag-aaralan ang square root.

Bukod dito, mayroon lamang isang cube root ng isang naibigay na numero a. Patunayan natin ang huling pahayag. Upang gawin ito, isaalang-alang ang tatlong kaso nang hiwalay: a ay isang positibong numero, a=0 at a ay isang negatibong numero.

Madaling ipakita na para sa positive a, ang cube root ng a ay hindi maaaring maging negatibo o zero. Sa katunayan, hayaan ang b ang cube root ng a , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay b 3 =a . Malinaw na ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi maaaring totoo para sa negatibong b at para sa b=0, dahil sa mga kasong ito ang b 3 =b·b·b ay magiging negatibong numero o sero, ayon sa pagkakabanggit. Kaya ang cube root ng isang positibong numero a ay isang positibong numero.

Ngayon ipagpalagay na bilang karagdagan sa numero b ay may isa pang cube root mula sa numerong a, sabihin natin itong c. Pagkatapos c 3 =a. Samakatuwid, b 3 −c 3 =a−a=0 , ngunit b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ito ang pinaikling pormula ng pagpaparami pagkakaiba ng mga cube), saan (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Ang resultang pagkakapantay-pantay ay posible lamang kapag b−c=0 o b 2 +b c+c 2 =0 . Mula sa unang pagkakapantay-pantay mayroon tayong b=c , at ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon, dahil ang kaliwang bahagi nito ay positibong numero para sa anumang positibong numero b at c bilang kabuuan ng tatlong positibong termino b 2 , b c at c 2 . Ito ay nagpapatunay sa pagiging natatangi ng cube root ng isang positibong numero a.

Para sa a=0, ang tanging cube root ng a ay zero. Sa katunayan, kung ipagpalagay natin na mayroong isang numero b , na isang non-zero cube root ng zero, kung gayon ang pagkakapantay-pantay na b 3 =0 ay dapat hawakan, na posible lamang kapag b=0 .

Para sa negatibong a , ang isa ay maaaring magtaltalan katulad ng kaso para sa positibong a . Una, ipinapakita namin na ang cube root ng isang negatibong numero ay hindi maaaring katumbas ng alinman sa isang positibong numero o zero. Pangalawa, ipinapalagay namin na mayroong pangalawang cube root ng isang negatibong numero at ipinapakita na ito ay kinakailangang magkasabay sa una.

Kaya, palaging mayroong isang cube root ng anumang ibinigay na tunay na numero a, at isa lamang.

Pagbigyan natin kahulugan ng arithmetic cube root.

Kahulugan

Arithmetic cube root ng isang non-negative na numero a ang isang hindi negatibong numero na ang kubo ay katumbas ng a ay tinatawag.

Ang arithmetic cube root ng isang non-negative number a ay tinutukoy bilang , ang sign ay tinatawag na sign ng arithmetic cube root, ang number 3 sa notation na ito ay tinatawag tagapagpahiwatig ng ugat. Ang numero sa ilalim ng root sign ay numero ng ugat, ang expression sa ilalim ng root sign ay radikal na pagpapahayag.

Bagama't ang arithmetic cube root ay tinukoy lamang para sa mga di-negatibong numero a, ito ay maginhawa ring gumamit ng mga entry kung saan ang mga negatibong numero ay nasa ilalim ng arithmetic cube root sign. Mauunawaan natin ang mga ito tulad ng sumusunod: , kung saan ang a ay isang positibong numero. Halimbawa, .

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga katangian ng mga ugat ng kubo sa pangkalahatang mga katangian ng artikulo ng mga ugat.

Ang pagkalkula ng halaga ng isang ugat ng kubo ay tinatawag na pagkuha ng isang ugat ng kubo, ang aksyon na ito ay tinalakay sa artikulong pagkuha ng mga ugat: mga pamamaraan, mga halimbawa, mga solusyon.

Upang tapusin ang subsection na ito, sinasabi namin na ang cube root ng a ay isang solusyon ng anyong x 3 =a.

Nth root, arithmetic root ng n

Ginagawa naming pangkalahatan ang konsepto ng isang ugat mula sa isang numero - ipinakilala namin pagpapasiya ng nth root para sa n.

Kahulugan

nth root ng a ay isang numero na ang ika-n kapangyarihan ay katumbas ng a.

Mula sa kahulugan na ito ay malinaw na ang ugat ng unang degree mula sa numero a ay ang numero a mismo, dahil kapag pinag-aaralan ang degree na may natural na tagapagpahiwatig, kinuha namin ang isang 1 = a.

Sa itaas, isinasaalang-alang namin ang mga espesyal na kaso ng ugat ng ika-n degree para sa n=2 at n=3 - ang square root at ang cube root. Iyon ay, ang square root ay ang ugat ng pangalawang degree, at ang cube root ay ang ugat ng ikatlong degree. Upang pag-aralan ang mga ugat ng nth degree para sa n=4, 5, 6, ..., ito ay maginhawa upang hatiin ang mga ito sa dalawang grupo: ang unang grupo - ang mga ugat ng kahit na degree (iyon ay, para sa n=4, 6 , 8, ...), ang pangalawang pangkat - ang mga ugat na kakaibang kapangyarihan (iyon ay, para sa n=5, 7, 9, ... ). Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga ugat ng kahit na degree ay katulad ng square root, at ang mga ugat ng kakaibang degree ay katulad ng cubic root. Sabay-sabay nating harapin ang mga ito.

Magsimula tayo sa mga ugat, ang mga kapangyarihan nito ay ang mga numerong 4, 6, 8, ... Gaya ng nasabi na natin, ang mga ito ay katulad ng square root ng numero a. Ibig sabihin, ang ugat ng anumang kahit na antas mula sa numerong a ay umiiral lamang para sa hindi negatibong a. Bukod dito, kung a=0, kung gayon ang ugat ng a ay natatangi at katumbas ng sero, at kung a>0, kung gayon mayroong dalawang ugat ng pantay na antas mula sa bilang a, at sila ay magkasalungat na mga numero.

Bigyan natin ng katwiran ang huling pahayag. Hayaang ang b ay isang ugat ng pantay na antas (tinutukoy namin ito bilang 2·m, kung saan ang m ay ilang natural na numero) mula sa a. Ipagpalagay na mayroong isang numero c - isa pang 2 m na ugat ng isang . Pagkatapos b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ngunit alam natin ang anyo b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), pagkatapos ay (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na b−c=0 , o b+c=0 , o b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Ang unang dalawang pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ang mga numero b at c ay pantay o b at c ay magkasalungat. At ang huling pagkakapantay-pantay ay wasto lamang para sa b=c=0 , dahil ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng isang expression na hindi negatibo para sa anumang b at c bilang kabuuan ng mga hindi negatibong numero.

Tulad ng para sa mga ugat ng nth degree para sa kakaibang n, sila ay katulad ng cube root. Iyon ay, ang ugat ng anumang kakaibang antas mula sa numerong a ay umiiral para sa anumang tunay na numero a, at para sa isang ibinigay na numero a ito ay natatangi.

Ang pagiging natatangi ng ugat ng kakaibang digri 2·m+1 mula sa bilang na a ay pinatutunayan ng pagkakatulad sa patunay ng pagiging kakaiba ng cube root mula sa isang . Dito lamang sa halip na pagkakapantay-pantay a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) isang pagkakapantay-pantay ng anyo b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ang expression sa huling panaklong ay maaaring muling isulat bilang b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Halimbawa, para sa m=2 mayroon tayo b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Kapag ang a at b ay parehong positibo o parehong negatibo, ang kanilang produkto ay isang positibong numero, kung gayon ang expression na b 2 +c 2 +b·c , na nasa panaklong ng pinakamataas na antas ng nesting, ay positibo bilang kabuuan ng positibo numero. Ngayon, ang sunud-sunod na paglipat sa mga expression sa mga bracket ng mga nakaraang antas ng nesting, tinitiyak namin na positibo rin ang mga ito bilang mga kabuuan ng mga positibong numero. Bilang resulta, nakuha namin na ang pagkakapantay-pantay b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posible lamang kapag b−c=0 , iyon ay, kapag ang bilang b ay katumbas ng bilang c .

Panahon na upang harapin ang notasyon ng mga ugat ng ika-n degree. Para dito, ibinibigay pagpapasiya ng arithmetic root ng nth degree.

Kahulugan

Ang arithmetic root ng nth degree ng isang non-negative na numero a isang hindi-negatibong numero ang tinatawag, ang ika-n kapangyarihan nito ay katumbas ng a.

kasama at natural na numero n 2 .

Kumplikadong numero Z tinawag ugatn– c, kung Z n = c.

Hanapin ang lahat ng root value n– ika degree mula sa isang kumplikadong numero kasama. Hayaan c=| c|·(cos Arg c+ i· kasalanan Argkasama), a Z = | Z|·(kasama angos Arg Z + i· kasalanan Arg Z) , saan Z ugat n- ika degree mula sa isang kumplikadong numero kasama. Pagkatapos ay dapat na = c = | c|·(cos Arg c+ i· kasalanan Argkasama). Kaya naman sinusunod iyon
at n· Arg Z = Argkasama
Arg Z =
(k=0,1,…) . Kaya naman, Z =
(cos
+ i· kasalanan
), (k=0,1,…) . Ito ay madaling makita na ang alinman sa mga halaga
, (k=0,1,…) naiiba sa isa sa mga katumbas na halaga
,(k = 0,1,…, n-1) sa maramihan 2π. kaya , (k = 0,1,…, n-1) .

Halimbawa.

Kalkulahin ang ugat ng (-1).

, malinaw naman |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· kasalanan π )

, (k = 0, 1).

= i

Degree na may arbitrary rational exponent

Kumuha ng arbitrary complex number kasama. Kung ang n natural na numero, kung gayon kasama n = | c| n ·(kasama angos nArgmay +i· kasalanan nArgkasama)(6). Ang formula na ito ay totoo rin sa kaso n = 0 (c≠0)
. Hayaan n < 0 at n Z at c ≠ 0, pagkatapos

kasama n =
(cos nArgkasama+nagkasala ako nArgkasama) = (cos nArgkasama+ nagkasala ako nArgkasama) . Kaya, ang formula (6) ay may bisa para sa alinman n.

Kumuha tayo ng rational number , saan q natural na numero, at R ay isang integer.

Tapos sa ilalim degree c r unawain natin ang bilang
.

Nakukuha namin iyon ,

(k = 0, 1, …, q-1). Ang mga halagang ito q piraso, kung ang fraction ay hindi nabawasan.

Lecture №3 Ang limitasyon ng isang sequence ng complex number

Ang isang kumplikadong pinahahalagahan na function ng isang natural na argumento ay tinatawag pagkakasunud-sunod ng mga kumplikadong numero at ipinapahiwatig (kasama ang n ) o kasama 1 , kasama ang 2 , ..., kasama n . kasama n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) kumplikadong mga numero.

kasama 1 , kasama ang 2 , … - mga miyembro ng sequence; kasama n - karaniwang miyembro

Kumplikadong numero kasama = a+ b· i tinawag limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (c n ) , saan kasama n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , kung saan para sa anumang

, para sa lahat yan n > N ang hindi pagkakapantay-pantay
. Ang pagkakasunod-sunod na may hangganan na limitasyon ay tinatawag nagtatagpo pagkakasunod-sunod.

Teorama.

Upang magkaroon ng pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (na may n ) (kasama ang n = a n + b n · i) converged sa isang numero na may = a+ b· i, ay kinakailangan at sapat para sa pagkakapantay-pantaylim a n = a, lim b n = b.

Patunay.

Patunayan natin ang theorem batay sa sumusunod na halatang dobleng hindi pagkakapantay-pantay

, saan Z = x + y· i (2)

Kailangan. Hayaan lim(kasama ang n ) = kasama. Ipakita natin na ang pagkakapantay-pantay lim a n = a at lim b n = b (3).

Malinaw (4)

Bilang
, kailan n → ∞ , pagkatapos ay sumusunod mula sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (4) na
at
, kailan n → ∞ . samakatuwid ang pagkakapantay-pantay (3) ay hawak. Ang pangangailangan ay napatunayan.

Kasapatan. Ngayon, hayaan ang mga pagkakapantay-pantay (3). Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay (3) na
at
, kailan n → ∞ , samakatuwid, dahil sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (4), ito ay magiging
, kailan n→∞ , ibig sabihin lim(kasama ang n )=s. Ang kasapatan ay napatunayan na.

Kaya, ang tanong ng convergence ng isang sequence ng mga kumplikadong numero ay katumbas ng convergence ng dalawang real number sequence, samakatuwid, ang lahat ng mga pangunahing katangian ng mga limitasyon ng real number sequence ay nalalapat sa mga sequence ng complex number.

Halimbawa, para sa mga pagkakasunud-sunod ng mga kumplikadong numero, ang pamantayan ng Cauchy ay wasto: para sa pagkakasunod-sunod ng mga kumplikadong numero (na may n ) pinagtagpo, ito ay kinakailangan at sapat na para sa alinman

, na para sa anumangn, m > Nang hindi pagkakapantay-pantay
.

Teorama.

Hayaan ang isang pagkakasunud-sunod ng mga kumplikadong numero (na may n ) at (z n ) magkakaugnay na may atz, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantaylim(kasama ang n z n ) = c z, lim(kasama ang n · z n ) = c· z. Kung ito ay kilala para sa tiyak nazay hindi katumbas ng 0, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay
.

Ang artikulong ito ay isang koleksyon ng detalyadong impormasyon na tumatalakay sa paksa ng mga katangian ng mga ugat. Isinasaalang-alang ang paksa, magsisimula tayo sa mga katangian, pag-aralan ang lahat ng mga pormulasyon at magbigay ng mga patunay. Upang pagsama-samahin ang paksa, isasaalang-alang namin ang mga katangian ng nth degree.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga Katangian ng Root

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga ari-arian.

1. Ari-arian pinarami ang mga numero a at b, na kinakatawan bilang pagkakapantay-pantay na a · b = a · b . Maaari itong katawanin bilang mga multiplier, positibo o katumbas ng zero a 1 , a 2 , … , a k bilang isang 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. mula sa pribadong a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, maaari rin itong isulat sa anyong ito a b = a b ;
3. Ari-arian mula sa kapangyarihan ng isang numero a na may pantay na exponent na 2 m = a m para sa anumang numero a, halimbawa, isang property mula sa parisukat ng isang numero a 2 = a .

Sa alinman sa mga ipinakitang equation, maaari mong palitan ang mga bahagi bago at pagkatapos ng dash sign, halimbawa, ang pagkakapantay-pantay na a · b = a · b ay binago bilang a · b = a · b . Ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay ay kadalasang ginagamit upang pasimplehin ang mga kumplikadong equation.

Ang patunay ng mga unang katangian ay batay sa kahulugan ng square root at ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may natural na exponent. Upang patunayan ang ikatlong pag-aari, kinakailangang sumangguni sa kahulugan ng modulus ng isang numero.

Una sa lahat, kinakailangang patunayan ang mga katangian ng square root a · b = a · b . Ayon sa kahulugan, kinakailangang isaalang-alang na ang a b ay isang numero, positibo o katumbas ng zero, na magiging katumbas ng a b sa panahon ng pagtatayo sa isang parisukat. Ang halaga ng expression na a · b ay positibo o katumbas ng zero bilang isang produkto ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng antas ng pinarami na mga numero ay nagpapahintulot sa amin na kumatawan sa pagkakapantay-pantay sa anyo (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Sa pamamagitan ng kahulugan ng square root a 2 \u003d a at b 2 \u003d b, pagkatapos ay isang b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Sa katulad na paraan, mapapatunayan ng isa iyon mula sa produkto k mga multiplier a 1 , a 2 , … , a k ay magiging katumbas ng produkto ng square roots ng mga salik na ito. Sa katunayan, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ito na a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Tingnan natin ang ilang halimbawa upang palakasin ang paksa.

Halimbawa 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 at 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Kinakailangang patunayan ang ari-arian ng arithmetic square root ng quotient: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Pinapayagan ka ng property na isulat ang pagkakapantay-pantay a: b 2 \u003d a 2: b 2, at a 2: b 2 \u003d a: b, habang ang a: b ay isang positibong numero o katumbas ng zero. Ang ekspresyong ito ang magiging patunay.

Halimbawa, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 at 30, 121 = 30, 121.

Isaalang-alang ang pag-aari ng square root ng square ng isang numero. Maaari itong isulat bilang isang pagkakapantay-pantay bilang isang 2 = a Upang patunayan ang pag-aari na ito, kinakailangang isaalang-alang nang detalyado ang ilang pagkakapantay-pantay para sa isang ≥ 0 at sa a< 0 .

Malinaw, para sa isang ≥ 0, ang pagkakapantay-pantay a 2 = a ay totoo. Sa a< 0 ang pagkakapantay-pantay a 2 = - a ay magiging totoo. Sa totoo lang, sa kasong ito − a > 0 at (− a) 2 = a 2 . Mahihinuha natin na ang a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 2

5 2 = 5 = 5 at - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Ang napatunayang ari-arian ay makakatulong upang bigyang-katwiran ang isang 2 m = a m , kung saan a- totoo, at m-natural na numero. Sa katunayan, ang exponentiation property ay nagpapahintulot sa amin na palitan ang degree isang 2 m pagpapahayag (am) 2, pagkatapos ay a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Halimbawa 3

3 8 = 3 4 = 3 4 at (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Mga katangian ng nth root

Una kailangan mong isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng mga ugat ng nth degree:

1. Ari-arian mula sa produkto ng mga numero a at b, na positibo o katumbas ng zero, ay maaaring ipahayag bilang pagkakapantay-pantay a b n = a n b n , valid ang property na ito para sa produkto k numero a 1 , a 2 , … , a k bilang isang 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. mula sa isang fractional na numero ay may ari-arian a b n = a n b n , kung saan a ay anumang tunay na numero na positibo o katumbas ng zero, at b ay isang positibong tunay na numero;
3. Para sa anumang a at kahit na mga numero n = 2 m a 2 m 2 m = a ay totoo, at para sa kakaiba n = 2 m − 1 ang pagkakapantay-pantay a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a ay natupad.
4. Extraction property mula sa a m n = a n m , kung saan a- anumang numero, positibo o katumbas ng zero, n at m ay mga natural na numero, ang property na ito ay maaari ding katawanin bilang . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Para sa anumang di-negatibong a at arbitrary n at m, na natural, maaari ding tukuyin ang patas na pagkakapantay-pantay a m n · m = a n ;
6. degree na ari-arian n mula sa kapangyarihan ng isang numero a, na positibo o katumbas ng zero, sa uri m, tinukoy ng pagkakapantay-pantay a m n = a n m ;
7. Paghahambing ng ari-arian na may parehong exponents: para sa anumang positibong numero a at b ganyan a< b , ang hindi pagkakapantay-pantay a n< b n ;
8. Katangian ng mga paghahambing na may parehong mga numero sa ilalim ng ugat: kung m at n- natural na mga numero na m > n, pagkatapos ay sa 0 < a < 1 ang hindi pagkakapantay-pantay a m > a n ay wasto, at para sa a > 1 isang m< a n .

Ang mga equation sa itaas ay wasto kung ang mga bahagi bago at pagkatapos ng equals sign ay baligtad. Maaari din silang magamit sa form na ito. Ito ay kadalasang ginagamit sa panahon ng pagpapasimple o pagbabago ng mga expression.

Ang patunay ng mga katangian sa itaas ng ugat ay batay sa kahulugan, mga katangian ng antas, at ang kahulugan ng modulus ng isang numero. Ang mga katangiang ito ay dapat patunayan. Ngunit lahat ay nasa ayos.

1. Una sa lahat, patunayan natin ang mga katangian ng ugat ng ika-n degree mula sa produkto a · b n = a n · b n . Para sa a at b , alin ay positibo o zero , ang halaga a n · b n ay positibo rin o katumbas ng zero, dahil ito ay resulta ng pagpaparami ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng isang natural na produkto ng kuryente ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a n · b n n = a n n · b n n . Sa pamamagitan ng kahulugan ng ugat n th degree a n n = a at b n n = b , samakatuwid, a n · b n n = a · b . Ang resultang pagkakapantay-pantay ay eksakto kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan.

Ang ari-arian na ito ay napatunayang pareho para sa produkto k salik: para sa mga di-negatibong numero a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Narito ang mga halimbawa ng paggamit ng root property n ika kapangyarihan mula sa produkto: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 at 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Patunayan natin ang pag-aari ng ugat ng quotient a b n = a n b n . Sa isang ≥ 0 at b > 0 ang kundisyon a n b n ≥ 0 ay nasiyahan, at a n b n n = a n n b n n = a b .

Ipakita natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 4

8 27 3 = 8 3 27 3 at 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Para sa susunod na hakbang, kinakailangan upang patunayan ang mga katangian ng ika-n degree mula sa numero hanggang sa degree n. Kinakatawan namin ito bilang isang pagkakapantay-pantay a 2 m 2 m = a at isang 2 m - 1 2 m - 1 = a para sa anumang tunay a at natural m. Sa isang ≥ 0 nakakakuha tayo ng a = a at isang 2 m = a 2 m , na nagpapatunay ng pagkakapantay-pantay a 2 m 2 m = a , at ang pagkakapantay-pantay ng a 2 m - 1 2 m - 1 = a ay kitang-kita. Sa a< 0 nakukuha natin ayon sa pagkakabanggit a = - a at isang 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ang huling pagbabago ng numero ay may bisa ayon sa pag-aari ng degree. Ito ang nagpapatunay ng pagkakapantay-pantay a 2 m 2 m \u003d a, at isang 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a ay magiging totoo, dahil - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m ay itinuturing na kakaiba degree - 1 para sa anumang numero c , positibo o katumbas ng zero.

Upang pagsama-samahin ang natanggap na impormasyon, isaalang-alang ang ilang halimbawa gamit ang ari-arian:

Halimbawa 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 at (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Patunayan natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay a m n = a n · m . Upang gawin ito, kailangan mong baguhin ang mga numero bago ang pantay na tanda at pagkatapos nito sa mga lugar a n · m = a m n . Ito ay magsasaad ng tamang entry. Para sa a , na positibo o katumbas ng zero , mula sa anyo a m n ay isang positibong numero o katumbas ng zero. Bumaling tayo sa pag-aari ng pagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan at ang kahulugan. Sa kanilang tulong, maaari mong baguhin ang mga pagkakapantay-pantay sa anyong a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Ito ay nagpapatunay sa itinuturing na pag-aari ng isang ugat mula sa isang ugat.

Ang iba pang mga pag-aari ay napatunayang katulad. Talaga, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Halimbawa, 7 3 5 = 7 5 3 at 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Patunayan natin ang sumusunod na katangian a m n · m = a n . Upang gawin ito, kinakailangang ipakita na ang n ay isang numero na positibo o katumbas ng zero. Kapag nakataas sa isang kapangyarihan n m ay isang m. Kung numero a ay positibo o zero, kung gayon n ika degree mula sa gitna a ay isang positibong numero o katumbas ng zero Bukod dito, a n · m n = a n n m , na dapat patunayan.

Upang pagsamahin ang nakuhang kaalaman, isaalang-alang ang ilang mga halimbawa.

1. Patunayan natin ang sumusunod na ari-arian - ang ari-arian ng ugat ng kapangyarihan ng anyo a m n = a n m . Ito ay malinaw na sa isang ≥ 0 ang degree a n m ay isang hindi negatibong numero. Bukod dito, sa kanya n-th degree ay katumbas ng isang m, talaga, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Pinatutunayan nito ang itinuturing na pag-aari ng degree.

Halimbawa, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Kailangan nating patunayan iyon para sa anumang positibong numero a at b a< b . Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Samakatuwid, ang isang n< b n при a< b .

Halimbawa, binibigyan namin ang 12 4< 15 2 3 4 .

1. Isaalang-alang ang pag-aari ng ugat n-ika degree. Una, isaalang-alang ang unang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa m > n at 0 < a < 1 totoo a m > a n . Ipagpalagay na a m ≤ a n . Ang mga katangian ay magpapasimple sa expression sa a n m · n ≤ a m m · n . Pagkatapos, ayon sa mga katangian ng isang degree na may natural na exponent, ang hindi pagkakapantay-pantay a n m n m n ≤ a m m n m n ay nasiyahan, iyon ay, isang n ≤ isang m. Ang halaga na nakuha sa m > n at 0 < a < 1 hindi tumutugma sa mga katangian sa itaas.

Sa parehong paraan, mapapatunayan iyon ng isa m > n at a > 1 kundisyon a m< a n .

Upang pagsamahin ang mga katangian sa itaas, isaalang-alang ang ilang partikular na halimbawa. Isaalang-alang ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga partikular na numero.

Halimbawa 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Iskrip ng aralin sa grade 11 sa paksa:

Ang nth root ng isang tunay na numero. »

Layunin ng aralin: Pagbuo sa mga mag-aaral ng isang holistic na pagtingin sa ugat n-th degree at ang arithmetic root ng nth degree, ang pagbuo ng computational skills, ang mga kasanayan ng may kamalayan at rational na paggamit ng mga katangian ng ugat sa paglutas ng iba't ibang problema na naglalaman ng radical. Upang suriin ang antas ng mastering ng mga tanong ng paksa ng mga mag-aaral.

Paksa:lumikha ng makabuluhan at organisasyonal na mga kondisyon para sa asimilasyon ng materyal sa paksa " Numeric at alphabetic na expression » sa antas ng pang-unawa, pag-unawa at pangunahing pagsasaulo; upang mabuo ang kakayahang ilapat ang impormasyong ito kapag kinakalkula ang ugat ng n-th degree mula sa isang tunay na numero;

Metasubject: itaguyod ang pag-unlad ng mga kasanayan sa pag-compute; ang kakayahang pag-aralan, ihambing, gawing pangkalahatan, gumawa ng mga konklusyon;

Personal: upang linangin ang kakayahang magpahayag ng sariling pananaw, makinig sa mga sagot ng iba, makilahok sa isang diyalogo, bumuo ng kakayahan para sa positibong pakikipagtulungan.

Nakaplanong resulta.

Paksa: magagawang ilapat ang mga katangian ng ugat ng ika-n degree mula sa isang tunay na numero sa proseso ng isang tunay na sitwasyon kapag kinakalkula ang mga ugat, paglutas ng mga equation.

Personal: upang bumuo ng pagkaasikaso at katumpakan sa mga kalkulasyon, isang hinihingi na saloobin sa sarili at sa trabaho, upang linangin ang isang pakiramdam ng tulong sa isa't isa.

Uri ng aralin: aralin ng pag-aaral at pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman

Pagganyak para sa mga aktibidad sa pag-aaral:

Sinasabi ng karunungan sa Silangan: "Maaari mong akayin ang isang kabayo sa tubig, ngunit hindi mo siya mapainom." At imposibleng pilitin ang isang tao na mag-aral ng mabuti kung siya mismo ay hindi nagsisikap na matuto nang higit pa, ay walang pagnanais na magtrabaho sa kanyang pag-unlad ng kaisipan. Pagkatapos ng lahat, ang kaalaman ay kaalaman lamang kapag ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagsisikap ng isang pag-iisip, at hindi sa memorya lamang.

Ang ating aralin ay gaganapin sa ilalim ng motto: "We will conquer any peak if we strive for it." Sa panahon ng aralin, ikaw at ako ay kailangang magkaroon ng panahon upang malampasan ang ilang mga taluktok, at ang bawat isa sa inyo ay dapat maglagay ng lahat ng inyong pagsisikap upang masakop ang mga taluktok na ito.

"Ngayon mayroon tayong isang aralin kung saan dapat tayong maging pamilyar sa isang bagong konsepto: "Root of the nth degree" at matutunan kung paano ilapat ang konsepto na ito sa pagbabago ng iba't ibang mga expression.

Ang iyong layunin ay upang maisaaktibo ang umiiral na kaalaman batay sa iba't ibang anyo ng trabaho, mag-ambag sa pag-aaral ng materyal at makakuha ng magagandang marka.
Pinag-aralan namin ang square root ng totoong numero sa ika-8 baitang. Ang square root ay nauugnay sa view function y=x 2. Guys, naaalala mo ba kung paano namin kinakalkula ang mga square root, at anong mga katangian mayroon ito?
a) indibidwal na survey:

ano ang expression na ito

ano ang square root

ano ang arithmetic square root

ilista ang mga katangian ng square root

b) magtrabaho nang magkapares: kalkulahin.

-

2. Pag-update ng kaalaman at paglikha ng sitwasyon ng problema: Lutasin ang equation x 4 =1. Paano natin ito malulutas? (Analytically at graphically). I-solve natin ito sa graphically. Upang gawin ito, sa isang coordinate system, bumuo kami ng isang graph ng function y \u003d x 4 tuwid na linya y \u003d 1 (Larawan 164 a). Nag-intersect sila sa dalawang punto: A (-1;1) at B(1;1). Ang abscissas ng mga puntos A at B, i.e. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, ay ang mga ugat ng equation x 4 \u003d 1.
Ang pagtatalo sa parehong paraan, nakita natin ang mga ugat ng equation x 4 \u003d 16: Ngayon subukan nating lutasin ang equation x 4 \u003d 5; ang geometric na paglalarawan ay ipinapakita sa fig. 164 b. Malinaw na ang equation ay may dalawang ugat x 1 at x 2, at ang mga numerong ito, tulad ng sa dalawang nakaraang kaso, ay magkasalungat. Ngunit para sa unang dalawang equation, ang mga ugat ay natagpuan nang walang kahirapan (maaari din silang matagpuan nang hindi gumagamit ng mga graph), at may mga problema sa equation x 4 \u003d 5: ayon sa pagguhit, hindi namin maipahiwatig ang mga halaga \ u200b\u200bong mga ugat, ngunit maitatag lamang natin na ang isang ugat ay matatagpuan sa kaliwang punto -1, at ang pangalawa - sa kanan ng punto 1.

x 2 \u003d - (basahin: "ikaapat na ugat ng lima").

Napag-usapan namin ang tungkol sa equation x 4 \u003d a, kung saan ang isang 0. Sa pantay na tagumpay, maaari naming pag-usapan ang tungkol sa equation x 4 \u003d a, kung saan ang a 0, at n ay anumang natural na numero. Halimbawa, ang paglutas ng graphically ng equation x 5 \u003d 1, nakita namin ang x \u003d 1 (Fig. 165); paglutas ng equation x 5 "= 7, itinatag namin na ang equation ay may isang ugat x 1, na matatagpuan sa x axis nang bahagya sa kanan ng point 1 (tingnan ang Fig. 165). Para sa numerong x 1, ipinakilala namin ang notasyon.

Kahulugan 1. Ang ugat ng ika-n degree ng isang di-negatibong numero a (n = 2, 3.4, 5, ...) ay isang hindi negatibong numero na, kapag itinaas sa kapangyarihan ng n, ay nagreresulta sa bilang na a.

Ang numerong ito ay tinutukoy, ang numero a ay tinatawag na root number, at ang numero n ay ang root index.
Kung n = 2, kadalasan ay hindi nila sinasabi ang "root of the second degree", ngunit sinasabi ang ""square root". Sa kasong ito, hindi sila nagsusulat. Ito ang espesyal na kaso na espesyal na pinag-aralan mo noong ika-8 grade algebra course.

Kung n \u003d 3, pagkatapos ay sa halip na "third degree root" madalas nilang sabihin ang "cube root". Ang iyong unang pagkakakilala sa cube root ay naganap din sa 8th grade algebra course. Ginamit namin ang cube root sa kursong algebra sa ika-9 na baitang.

Kaya, kung ang isang ≥0, n= 2,3,4,5,…, pagkatapos ay 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Sa pangkalahatan, =b at b n =a - ang parehong relasyon sa pagitan ng mga di-negatibong numero a at b, ngunit ang pangalawa ay inilalarawan sa isang mas simpleng wika (gumagamit ng mas simpleng mga simbolo) kaysa sa una.

Ang operasyon ng paghahanap ng ugat ng isang di-negatibong numero ay karaniwang tinatawag na root extraction. Ang operasyong ito ay kabaligtaran ng pagtaas sa kaukulang kapangyarihan. Ihambing:

Bigyang-pansin muli: ang mga positibong numero lamang ang lilitaw sa talahanayan, dahil ito ay itinakda sa kahulugan 1. At bagaman, halimbawa, (-6) 6 \u003d 36 ang tamang pagkakapantay-pantay, pumunta mula dito sa notasyon gamit ang square root, i.e. isulat ang hindi mo kaya. Sa pamamagitan ng kahulugan - isang positibong numero, kaya = 6 (at hindi -6). Sa parehong paraan, kahit na 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, na dumadaan sa mga palatandaan ng mga ugat, dapat nating isulat \u003d 2 (at sa parehong oras ≠-2).

Minsan ang expression ay tinatawag na isang radikal (mula sa salitang Latin na gadix - "ugat"). Sa Ruso, ang salitang radikal ay madalas na ginagamit, halimbawa, ang "mga radikal na pagbabago" ay nangangahulugang "mga radikal na pagbabago". Sa pamamagitan ng paraan, ang mismong pagtatalaga ng ugat ay nakapagpapaalaala sa salitang gadix: ang simbolo ay isang naka-istilong titik r.

Ang operasyon ng pag-extract ng ugat ay tinutukoy din para sa isang negatibong numero ng ugat, ngunit lamang sa kaso ng isang kakaibang root exponent. Sa madaling salita, ang equation (-2) 5 = -32 ay maaaring muling isulat sa katumbas na anyo bilang =-2. Dito ginagamit ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 2. Ang ugat ng isang kakaibang antas n mula sa isang negatibong numero a (n = 3.5, ...) ay isang negatibong numero na, kapag itinaas sa kapangyarihan ng n, ay nagreresulta sa bilang na a.

Ang numerong ito, tulad ng sa kahulugan 1, ay tinutukoy ng , ang numero a ay ang root number, ang numero n ay ang root index.
Kaya, kung a, n=,5,7,…, kung gayon: 1) 0; 2) () n = a.

Kaya, ang pantay na ugat ay may katuturan (i.e., ay tinukoy) para lamang sa isang di-negatibong radikal na pagpapahayag; ang isang kakaibang ugat ay may katuturan para sa anumang radikal na pagpapahayag.

5. Pangunahing pagsasama-sama ng kaalaman:

1. Kalkulahin: Hindi. No. 33.5; 33.6; 33.74 33.8 pasalita a) ; b); sa) ; G).

d) Hindi tulad ng mga naunang halimbawa, hindi namin matukoy ang eksaktong halaga ng numero. Malinaw lamang na ito ay mas malaki kaysa sa 2, ngunit mas mababa sa 3, dahil 2 4 \u003d 16 (ito ay mas mababa sa 17), at 3 4 \u003d 81 (higit ito sa 17). Tandaan na ang 24 ay mas malapit sa 17 kaysa 34, kaya may dahilan para gumamit ng tinatayang katumbas na tanda:
2. Hanapin ang mga halaga ng mga sumusunod na expression.

Ilagay ang kaukulang titik sa tabi ng halimbawa.

Isang maliit na impormasyon tungkol sa mahusay na siyentipiko. René Descartes (1596-1650) French nobleman, mathematician, philosopher, physiologist, thinker. Inilatag ni Rene Descartes ang mga pundasyon ng analytical geometry, ipinakilala ang mga pagtatalaga ng titik x 2 , y 3 . Alam ng lahat ang mga coordinate ng Cartesian na tumutukoy sa isang function ng isang variable.

3 . Lutasin ang mga equation: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Desisyon: a) Kung = -2, kung gayon y = -8. Sa katunayan, dapat nating i-cube ang parehong bahagi ng ibinigay na equation. Nakukuha namin ang: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Pagtatalo gaya ng halimbawa a), itinataas natin ang magkabilang panig ng equation sa ikaapat na kapangyarihan. Nakukuha namin ang: x=1.

c) Dito hindi kinakailangan na itaas sa ikaapat na kapangyarihan, ang equation na ito ay walang mga solusyon. Bakit? Dahil, ayon sa kahulugan 1, ang ugat ng pantay na antas ay isang di-negatibong numero.
Mayroong ilang mga gawain para sa iyong pansin. Kapag natapos mo ang mga gawaing ito, malalaman mo ang pangalan at apelyido ng mahusay na matematiko. Ang siyentipikong ito noong 1637 ang unang nagpakilala ng tanda ng ugat.

6. Magpahinga na tayo.

Itinaas ng klase ang mga kamay - ito ay "oras".

Lumingon ang ulo - ito ay "dalawa".

Hands down, umasa - ito ay "tatlo".

Ang mga kamay ay naging mas malawak sa mga gilid sa "apat",

Ang pagpindot sa mga ito laban sa iyong mga kamay nang may lakas ay "lima".

Ang lahat ng mga lalaki ay kailangang umupo - ito ay "anim".

7. Malayang gawain:

opsyon: 2 opsyon:

b) 3-. b) 12 -6.

2. Lutasin ang equation: a) x 4 \u003d -16; b) 0.02x6 -1.28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0.3x 9 - 2.4 \u003d 0;

c) = -2; c)= 2

8. Pag-uulit: Hanapin ang ugat ng equation = - x. Kung ang equation ay may higit sa isang ugat, isulat ang mas maliit sa mga ugat sa sagot.

9. Pagninilay: Ano ang natutunan mo sa aralin? Ano ang kawili-wili? Ano ang mahirap?

Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga katangian ng ugat ng ika-n degree. Theorems"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9-11 "Trigonometry"
Interactive na manwal para sa mga baitang 10-11 "Logarithms"

Mga katangian ng ugat ng ika-n degree. Theorems

Guys, patuloy nating pinag-aaralan ang mga ugat ng ika-n degree ng isang tunay na numero. Tulad ng halos lahat ng mga bagay sa matematika, ang mga ugat ng nth degree ay may ilang mga katangian, ngayon ay pag-aaralan natin ang mga ito.
Ang lahat ng mga pag-aari na isinasaalang-alang namin ay nabuo at napatunayan lamang para sa mga hindi negatibong halaga ng mga variable na nasa ilalim ng root sign.
Sa kaso ng isang kakaibang root exponent, mayroon din silang mga negatibong variable.

Theorem 1. Ang nth root ng product ng dalawang non-negative na numero ay katumbas ng product ng nth roots ng mga numerong ito: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

Patunayan natin ang teorama.
Patunay. Guys, para patunayan ang theorem, ipakilala natin ang mga bagong variable, ipahiwatig:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Kailangan nating patunayan na $x=y*z$.
Tandaan na mayroon ding mga sumusunod na pagkakakilanlan:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Pagkatapos ang sumusunod na pagkakakilanlan ay mayroon ding: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ang mga degree ng dalawang di-negatibong mga numero at ang kanilang mga exponent ay pantay, pagkatapos ay ang mga base ng mga degree mismo ay pantay. Samakatuwid $x=y*z$, na kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan.

Teorama 2. Kung ang $a≥0$, $b>0$ at n ay isang natural na bilang na higit sa 1, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Ibig sabihin, ang nth root ng quotient ay katumbas ng quotient ng nth roots.

Patunay.
Upang patunayan ito, gumagamit kami ng isang pinasimple na pamamaraan sa anyo ng isang talahanayan:

Mga halimbawa ng pagkalkula ng nth root

Halimbawa.
Kalkulahin: $\sqrt(16*81*256)$.
Desisyon. Gamitin natin ang Theorem 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Halimbawa.
Kalkulahin: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Desisyon. Katawanin natin ang radikal na expression bilang isang hindi tamang fraction: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Gamitin natin ang Theorem 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Halimbawa.
Kalkulahin:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Desisyon:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorama 3. Kung ang $a≥0$, k at n ay mga natural na numerong mas malaki sa 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Upang itaas ang isang ugat sa isang likas na kapangyarihan, sapat na upang itaas ang radikal na pagpapahayag sa kapangyarihang ito.

Patunay.
Isaalang-alang natin ang isang espesyal na kaso para sa $k=3$. Gamitin natin ang Theorem 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Ang parehong ay maaaring patunayan para sa anumang iba pang kaso. Guys, patunayan mo ang sarili mo para sa kaso kapag $k=4$ at $k=6$.

Teorama 4. Kung ang $a≥0$ b n,k ay mga natural na numerong mas malaki sa 1, totoo ang pagkakapantay-pantay: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Upang kunin ang isang ugat mula sa isang ugat, sapat na upang i-multiply ang mga exponent ng mga ugat.

Patunay.
Patunayan nating muli sa madaling sabi gamit ang talahanayan. Upang patunayan ito, gumagamit kami ng isang pinasimple na pamamaraan sa anyo ng isang talahanayan:

Halimbawa.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Theorem 5. Kung ang mga indeks ng ugat at ang root expression ay pinarami ng parehong natural na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Patunay.
Ang prinsipyo ng patunay ng aming teorama ay kapareho ng sa ibang mga halimbawa. Ipakilala natin ang mga bagong variable:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ayon sa kahulugan).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ayon sa kahulugan).
Itinaas namin ang huling pagkakapantay-pantay sa kapangyarihan p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Nakakuha:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Ibig sabihin, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, na dapat patunayan.

Mga halimbawa:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (hinati sa 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (hinati sa 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (multiplied sa 3).

Halimbawa.
Magpatakbo ng mga aksyon: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Desisyon.
Ang mga exponent ng mga ugat ay magkaibang numero, kaya hindi natin magagamit ang Theorem 1, ngunit sa pamamagitan ng paglalapat ng Theorem 5 makakakuha tayo ng pantay na exponent.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (multiplied ng 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (multiplied sa 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Kalkulahin: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Kalkulahin: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Kalkulahin:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Pasimplehin:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Magsagawa ng mga aksyon: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.