Sa kabuuan ng iba't ibang logarithmic inequalities, ang mga inequalities na may variable na base ay pinag-aaralan nang hiwalay. Ang mga ito ay nalutas ayon sa isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang itinuro sa paaralan. Ang pagtatanghal ay nagpapakita ng mga solusyon sa mga gawain C3 USE - 2014 sa matematika.

I-download:

Preview:

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic na naglalaman ng isang variable sa base ng logarithm: mga pamamaraan, pamamaraan, katumbas na mga transition guro ng matematika MBOU pangalawang paaralan No. 143 Knyazkina T.V.

Sa kabuuan ng iba't ibang logarithmic inequalities, ang mga inequalities na may variable na base ay pinag-aaralan nang hiwalay. Ang mga ito ay nalulutas gamit ang isang espesyal na pormula, na sa ilang kadahilanan ay bihirang itinuro sa paaralan: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Sa halip na “∨” na checkbox, maaari kang maglagay ng anumang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay: higit pa o mas kaunti. Ang pangunahing bagay ay sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ang mga palatandaan ay pareho. Kaya't inaalis namin ang mga logarithms at binabawasan ang problema sa isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay. Ang huli ay mas madaling malutas, ngunit kapag itinatapon ang mga logarithms, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Upang putulin ang mga ito, sapat na upang mahanap ang hanay ng mga tinatanggap na halaga. Huwag kalimutan ang ODZ ng logarithm! Lahat ng nauugnay sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay dapat na isulat at lutasin nang hiwalay: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Ang apat na hindi pagkakapantay-pantay na ito ay bumubuo ng isang sistema at dapat matupad nang sabay-sabay. Kapag natagpuan ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, nananatili itong i-cross sa solusyon ng isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay - at handa na ang sagot.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: Solusyon Upang magsimula, isulat natin ang ODZ ng logarithm. Ang unang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong ginagawa, at ang huli ay kailangang lagyan ng kulay. Dahil ang parisukat ng isang numero ay katumbas ng zero kung at kung ang numero mismo ay katumbas ng zero, mayroon tayong: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . Lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay lahat ng numero maliban sa zero: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Ngayon malulutas namin ang pangunahing hindi pagkakapantay-pantay: Ginagawa namin ang paglipat mula sa logarithmic inequality patungo sa rational. Sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay mayroong isang "mas mababa sa" na senyales, kaya ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat ding may isang "mas mababa sa" na senyales.

Mayroon kaming: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Pag-convert ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic Kadalasan ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay naiiba sa nasa itaas. Madaling ayusin ito gamit ang mga karaniwang panuntunan para sa pagtatrabaho sa logarithms. Namely: Anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may ibinigay na base; Ang kabuuan at pagkakaiba ng logarithms na may parehong base ay maaaring mapalitan ng isang logarithm. Hiwalay, gusto kong ipaalala sa iyo ang tungkol sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Dahil maaaring mayroong ilang logarithms sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang mahanap ang DPV ng bawat isa sa kanila. Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay ang mga sumusunod: Hanapin ang ODZ para sa bawat logarithm na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay; Bawasan ang hindi pagkakapantay-pantay sa pamantayan gamit ang mga formula para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms; Lutasin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ayon sa pamamaraan sa itaas.

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: Solusyon Hanapin natin ang domain ng depinisyon (ODZ) ng unang logarithm: Lutasin natin sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan. Hanapin ang mga zero ng numerator: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Pagkatapos - mga sero ng denominator: x − 1 = 0; x = 1. Minarkahan namin ang mga zero at sign sa linya ng coordinate:

Nakukuha namin ang x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Magiging pareho ang pangalawang logarithm ng ODZ. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin. Ngayon, baguhin natin ang pangalawang logarithm upang mayroong dalawa sa base: Tulad ng makikita mo, ang mga triple sa base at sa harap ng logarithm ay nabawasan. Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base. Idagdag ang mga ito: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Interesado kami sa intersection ng mga set, kaya pipiliin namin ang mga agwat na may kulay sa parehong mga arrow. Nakukuha natin ang: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - lahat ng puntos ay nabutas. Sagot: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Paglutas ng mga gawain ng Unified State Exam-2014 type C3

Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay Solusyon. ODZ:  1) 2)

Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (ipinagpapatuloy)

Lutasin ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay 4) Pangkalahatang solusyon: at -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (ipinagpatuloy)

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (ipinagpatuloy) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na Solusyon. ODZ: 

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (ipinagpatuloy)

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na Solusyon. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

Ang solusyon ng pinakasimpleng logarithmic na hindi pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay, kung saan ang base ng logarithm ay naayos, isinasaalang-alang namin sa huling aralin.

Ngunit paano kung ang base ng logarithm ay isang variable?

Pagkatapos ay darating tayo upang iligtas rasyonalisasyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Upang maunawaan kung paano ito gumagana, isaalang-alang natin, halimbawa, ang hindi pagkakapantay-pantay:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Gaya ng inaasahan, magsimula tayo sa ODZ.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Mangatuwiran tayo na parang nilulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay na may nakapirming batayan. Kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, aalisin natin ang mga logarithms, at ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay hindi nagbabago, kung ito ay mas mababa sa isa, nagbabago ito.

Isulat natin ito bilang isang sistema:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Para sa karagdagang pangangatwiran, inililipat namin ang lahat ng kanang bahagi ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa kaliwa.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Ano ang nakuha namin? Lumalabas na kailangan natin ang mga expression na `2x-1` at `x^2 - x` upang maging positibo o negatibo sa parehong oras. Ang parehong resulta ay makukuha kung malulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, tulad ng orihinal na sistema, ay totoo kung ang parehong mga kadahilanan ay positibo o negatibo. Ito ay lumiliko na posible na lumipat mula sa hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic patungo sa nakapangangatwiran (isinasaalang-alang ang ODZ).

Magformulate tayo paraan ng rasyonalisasyon para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ kung saan ang `\vee` ay anumang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay. (Para sa `>` sign, sinuri lang namin ang validity ng formula. Para sa iba pa, iminumungkahi kong suriin mo ito sa iyong sarili - sa paraang ito ay mas maaalala mo ito).

Bumalik tayo sa solusyon sa ating hindi pagkakapantay-pantay. Pagpapalawak sa mga bracket (upang mas makita ang mga zero ng function), nakukuha namin

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Ang paraan ng pagitan ay magbibigay ng sumusunod na larawan:

(Dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit at ang mga dulo ng mga agwat ay walang interes sa amin, ang mga ito ay hindi napunan.) Gaya ng makikita, ang mga nakuha na pagitan ay nakakatugon sa ODZ. Nakuha ang sagot: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Pangalawang halimbawa. Solusyon ng logarithmic inequality na may variable na base

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(array)\right.$$

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Ayon sa tuntunin na kakakuha lang namin rasyonalisasyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, nakuha namin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magkapareho (isinasaalang-alang ang ODZ) sa mga sumusunod:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Kapag pinagsama ang solusyon na ito sa ODZ, makukuha natin ang sagot: `(1,2)`.

Pangatlong halimbawa. Logarithm ng isang fraction

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Dahil ang sistema ay medyo kumplikado, agad nating i-plot ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa linya ng numero:

Kaya, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay

Katawanin natin ang `-1` bilang logarithm na may base na `x`.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Sa pamamagitan ng rasyonalisasyon ng logarithmic inequality nakakakuha tayo ng rational inequality:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\kaliwa(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\kanan)\leqslant0,$$

$$(x-1)\kaliwa(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\kanan)\leqslant0.$$

Sa palagay mo ba ay may oras pa bago ang pagsusulit, at magkakaroon ka ng oras upang maghanda? Marahil ay ganito. Ngunit sa anumang kaso, ang mas maaga ang mag-aaral ay nagsisimula sa pagsasanay, mas matagumpay na pumasa siya sa mga pagsusulit. Ngayon ay nagpasya kaming mag-alay ng isang artikulo sa mga logarithmic inequalities. Ito ay isa sa mga gawain, na nangangahulugang isang pagkakataon upang makakuha ng dagdag na punto.

Alam mo na ba kung ano ang logarithm (log)? Sana talaga. Ngunit kahit na wala kang sagot sa tanong na ito, hindi ito problema. Napakadaling maunawaan kung ano ang logarithm.

Bakit eksaktong 4? Kailangan mong itaas ang numero 3 sa ganoong kapangyarihan upang makakuha ng 81. Kapag naunawaan mo ang prinsipyo, maaari kang magpatuloy sa mas kumplikadong mga kalkulasyon.

Dumaan ka sa hindi pagkakapantay-pantay ilang taon na ang nakalipas. At mula noon, palagi mo silang nakikilala sa matematika. Kung nagkakaproblema ka sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, tingnan ang naaangkop na seksyon.
Ngayon, kapag nakilala na natin ang mga konsepto nang hiwalay, ipapasa natin ang kanilang pagsasaalang-alang sa pangkalahatan.

Ang pinakasimpleng logarithmic inequality.

Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi limitado sa halimbawang ito, mayroong tatlo pa, na may iba't ibang mga palatandaan lamang. Bakit kailangan ito? Upang mas maunawaan kung paano lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga logarithms. Ngayon ay nagbibigay kami ng isang mas naaangkop na halimbawa, medyo simple pa rin, iniiwan namin ang mga kumplikadong logarithmic inequalities para sa ibang pagkakataon.

Paano ito lutasin? Nagsisimula ang lahat sa ODZ. Dapat mong malaman ang higit pa tungkol dito kung gusto mong laging madaling malutas ang anumang hindi pagkakapantay-pantay.

Ano ang ODZ? DPV para sa logarithmic inequalities

Ang pagdadaglat ay kumakatawan sa hanay ng mga wastong halaga. Sa mga takdang-aralin para sa pagsusulit, madalas na lumalabas ang mga salitang ito. Ang DPV ay kapaki-pakinabang sa iyo hindi lamang sa kaso ng logarithmic inequalities.

Tingnan muli ang halimbawa sa itaas. Isasaalang-alang namin ang ODZ batay dito, upang maunawaan mo ang prinsipyo, at ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay hindi nagtataas ng mga katanungan. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ang 2x+4 ay dapat na mas malaki sa zero. Sa aming kaso, nangangahulugan ito ng sumusunod.

Ang numerong ito ay dapat na positibo ayon sa kahulugan. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ipinakita sa itaas. Maaari pa nga itong gawin nang pasalita, dito malinaw na ang X ay hindi maaaring mas mababa sa 2. Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay magiging kahulugan ng hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga.
Ngayon ay magpatuloy tayo sa paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequality.

Itinatapon namin ang mga logarithms mismo mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Ano ang natitira para sa atin bilang isang resulta? simpleng hindi pagkakapantay-pantay.

Madali itong malutas. Ang X ay dapat na mas malaki kaysa sa -0.5. Ngayon pinagsasama namin ang dalawang nakuhang halaga sa system. kaya,

Ito ang magiging rehiyon ng mga tinatanggap na halaga para sa itinuturing na hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

Bakit kailangan ang ODZ? Ito ay isang pagkakataon upang alisin ang mga mali at imposibleng mga sagot. Kung ang sagot ay wala sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga, kung gayon ang sagot ay walang katuturan. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa loob ng mahabang panahon, dahil sa pagsusulit ay madalas na kailangan upang maghanap para sa ODZ, at ito ay may kinalaman hindi lamang sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

Algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality

Ang solusyon ay binubuo ng ilang mga hakbang. Una, ito ay kinakailangan upang mahanap ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Magkakaroon ng dalawang halaga sa ODZ, isinasaalang-alang namin ito sa itaas. Ang susunod na hakbang ay upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay mismo. Ang mga pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:

• paraan ng pagpapalit ng multiplier;
• pagkabulok;
• paraan ng rasyonalisasyon.

Depende sa sitwasyon, dapat gamitin ang isa sa mga pamamaraan sa itaas. Dumiretso tayo sa solusyon. Ipapakita namin ang pinakasikat na paraan na angkop para sa paglutas ng mga gawain sa PAGGAMIT sa halos lahat ng kaso. Susunod, isasaalang-alang namin ang paraan ng agnas. Makakatulong ito kung makatagpo ka ng isang partikular na "mapanlinlang" na hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, ang algorithm para sa paglutas ng logarithmic inequality.

Mga halimbawa ng solusyon :

Ito ay hindi walang kabuluhan na kinuha namin ang gayong hindi pagkakapantay-pantay! Bigyang-pansin ang base. Tandaan: kung ito ay mas malaki sa isa, ang tanda ay nananatiling pareho kapag hinahanap ang hanay ng mga wastong halaga; kung hindi, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay dapat baguhin.

Bilang resulta, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Ngayon dinadala namin ang kaliwang bahagi sa anyo ng equation na katumbas ng zero. Sa halip na "mas mababa sa" sign, inilalagay namin ang "pantay", nilulutas namin ang equation. Kaya, mahahanap natin ang ODZ. Umaasa kami na wala kang mga problema sa paglutas ng gayong simpleng equation. Ang mga sagot ay -4 at -2. Hindi lamang yan. Kailangan mong ipakita ang mga puntong ito sa tsart, ilagay ang "+" at "-". Ano ang kailangang gawin para dito? Palitan ang mga numero mula sa mga pagitan sa expression. Kung saan ang mga halaga ay positibo, inilalagay namin ang "+" doon.

Sagot: Ang x ay hindi maaaring mas malaki sa -4 at mas mababa sa -2.

Natagpuan namin ang hanay ng mga wastong halaga para lamang sa kaliwang bahagi, ngayon kailangan naming hanapin ang hanay ng mga wastong halaga para sa kanang bahagi. Ito ay hindi nangangahulugang mas madali. Sagot: -2. Nag-intersect kami sa parehong natanggap na mga lugar.

At ngayon lamang natin sinisimulan na lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay mismo.

Pasimplehin natin ito hangga't maaari para mas madaling magdesisyon.

Muli naming ginagamit ang paraan ng pagitan sa solusyon. Laktawan natin ang mga kalkulasyon, kasama niya ang lahat ay malinaw na mula sa nakaraang halimbawa. Sagot.

Ngunit ang pamamaraang ito ay angkop kung ang logarithmic inequality ay may parehong mga batayan.

Ang paglutas ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may iba't ibang base ay nagsasangkot ng paunang pagbawas sa isang base. Pagkatapos ay gamitin ang pamamaraan sa itaas. Ngunit mayroon ding mas kumplikadong kaso. Isaalang-alang ang isa sa mga pinaka-kumplikadong uri ng logarithmic inequalities.

Logarithmic inequalities na may variable na base

Paano lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may ganitong mga katangian? Oo, at ito ay matatagpuan sa pagsusulit. Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sumusunod na paraan ay magkakaroon din ng kapaki-pakinabang na epekto sa iyong proseso ng edukasyon. Tingnan natin ang isyu nang detalyado. Isantabi natin ang teorya at dumiretso sa pagsasanay. Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, sapat na upang maging pamilyar sa halimbawa.

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng ipinakita na form, kinakailangan upang bawasan ang kanang bahagi sa logarithm na may parehong base. Ang prinsipyo ay kahawig ng mga katumbas na transition. Bilang isang resulta, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito.

Sa totoo lang, nananatili itong lumikha ng isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na walang logarithms. Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, pumasa tayo sa isang katumbas na sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Mauunawaan mo ang mismong panuntunan kapag pinalitan mo ang mga naaangkop na halaga at sinunod ang mga pagbabago nito. Ang sistema ay magkakaroon ng mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay.

Gamit ang paraan ng rasyonalisasyon, kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong tandaan ang mga sumusunod: kailangan mong ibawas ang isa mula sa base, x, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, ay ibawas mula sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay (ang kanan mula sa kaliwa), ang dalawang expression ay pinarami at itinatakda sa ilalim ng orihinal na tanda na may kaugnayan sa zero.

Ang karagdagang solusyon ay isinasagawa sa pamamagitan ng paraan ng agwat, ang lahat ay simple dito. Mahalaga para sa iyo na maunawaan ang mga pagkakaiba sa mga pamamaraan ng solusyon, kung gayon ang lahat ay magsisimulang gumana nang madali.

Mayroong maraming mga nuances sa logarithmic inequalities. Ang pinakasimpleng sa kanila ay sapat na madaling malutas. Paano ito gagawin upang malutas ang bawat isa sa kanila nang walang mga problema? Natanggap mo na ang lahat ng sagot sa artikulong ito. Ngayon ay mayroon kang mahabang pagsasanay sa unahan mo. Patuloy na magsanay sa paglutas ng iba't ibang mga problema sa loob ng pagsusulit at magagawa mong makuha ang pinakamataas na marka. Good luck sa iyong mahirap na trabaho!

Kasama nila ay nasa loob ng logarithms.

Mga halimbawa:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Paano malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

Anumang logarithmic inequality ay dapat bawasan sa anyong \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbolo \(˅\) ay nangangahulugang alinman sa ). Ang form na ito ay nagpapahintulot sa amin na alisin ang logarithms at ang kanilang mga base sa pamamagitan ng pagpasa sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga expression sa ilalim ng logarithms, iyon ay, sa anyong \(f(x) ˅ g(x)\).

Ngunit kapag ginagawa ang paglipat na ito, mayroong isang napakahalagang subtlety:
\(-\) kung - isang numero at mas malaki ito sa 1 - ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho sa panahon ng paglipat,
\(-\) kung ang base ay isang numerong mas malaki sa 0 ngunit mas mababa sa 1 (sa pagitan ng zero at isa), dapat na baligtarin ang inequality sign, i.e.

Mga halimbawa:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Desisyon: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Sagot: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Desisyon: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Sagot: \((2;5]\)

Sobrang importante! Sa anumang hindi pagkakapantay-pantay, ang paglipat mula sa form na \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) patungo sa paghahambing ng mga expression sa ilalim ng logarithms ay magagawa lamang kung:

Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: \(\log\)\(≤-1\)

Desisyon:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Binuksan namin ang mga bracket, bigyan .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	I-multiply namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa \(-1\), na inaalala na baligtarin ang tanda ng paghahambing.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Bumuo tayo ng linya ng numero at markahan ang mga puntong \(\frac(7)(3)\) at \(\frac(3)(2)\) dito. Tandaan na ang punto mula sa denominator ay nabutas, sa kabila ng katotohanan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Ang katotohanan ay ang puntong ito ay hindi magiging isang solusyon, dahil kapag pinapalitan ang isang hindi pagkakapantay-pantay, ito ay magdadala sa atin sa dibisyon ng zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Ngayon ay i-plot namin ang ODZ sa parehong numerical axis at isulat bilang tugon ang pagitan na nahuhulog sa ODZ.
	Isulat ang huling sagot.

Sagot: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Desisyon:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Tara na sa desisyon.
Solusyon: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Bago sa amin ay isang tipikal na square-logarithmic inequality. ginagawa namin.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Palawakin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Ngayon ay kailangan mong bumalik sa orihinal na variable - x. Upang gawin ito, pumasa kami sa , na may parehong solusyon, at gawin ang reverse substitution.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Ibahin ang anyo \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Magpatuloy tayo sa paghahambing ng mga argumento. Ang mga base ng logarithms ay mas malaki kaysa sa \(1\), kaya hindi nagbabago ang tanda ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
\(\left[ \begin(naipon) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pagsamahin natin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay at ang ODZ sa isang pigura.
	Isulat natin ang sagot.

Sagot: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT

Sechin Mikhail Alexandrovich

Maliit na Academy of Sciences para sa mga Mag-aaral ng Republic of Kazakhstan "Seeker"

MBOU "Soviet secondary school No. 1", grade 11, bayan. Distrito ng Sovietsky Soviet

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU "Soviet secondary school No. 1"

Distrito ng Sovietsky

Layunin: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng C3 logarithmic inequalities gamit ang mga non-standard na pamamaraan, na nagpapakita ng mga interesanteng katotohanan tungkol sa logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

3) Matutong lutasin ang mga partikular na logarithmic C3 na hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga hindi karaniwang pamamaraan.

Mga resulta:

Nilalaman

Panimula……………………………………………………………………………….4

Kabanata 1. Background………………………………………………………………...5

Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ……………………… 7

2.1. Katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat…………… 7

2.2. Paraan ng rasyonalisasyon ……………………………………………………… 15

2.3. Di-karaniwang pagpapalit……………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Mga gawaing may mga bitag…………………………………………………… 27

Konklusyon…………………………………………………………………… 30

Panitikan………………………………………………………………. 31

Panimula

Ako ay nasa ika-11 na baitang at plano kong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang matematika ay isang pangunahing asignatura. At iyon ang dahilan kung bakit marami akong ginagawa sa mga gawain ng bahagi C. Sa gawain C3, kailangan mong lutasin ang isang hindi karaniwang hindi pagkakapantay-pantay o isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kadalasang nauugnay sa mga logarithms. Habang naghahanda para sa pagsusulit, nakatagpo ako ng problema ng kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng pagsusuri na inaalok sa C3. Ang mga pamamaraan na pinag-aaralan sa kurikulum ng paaralan sa paksang ito ay hindi nagbibigay ng batayan para sa paglutas ng mga gawain C3. Iminungkahi ng guro sa matematika na gawin ko ang mga takdang-aralin sa C3 nang mag-isa sa ilalim ng kanyang patnubay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: mayroon bang mga logarithms sa ating buhay?

Dahil dito, napili ang tema:

"Logarithmic inequalities sa pagsusulit"

Layunin: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan, na nagpapakita ng mga kawili-wiling katotohanan tungkol sa logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

1) Hanapin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga hindi karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa logarithms.

3) Matutong lutasin ang mga partikular na problema sa C3 gamit ang mga hindi karaniwang pamamaraan.

Mga resulta:

Ang praktikal na kahalagahan ay nakasalalay sa pagpapalawak ng kagamitan para sa paglutas ng mga problema C3. Ang materyal na ito ay maaaring gamitin sa ilang mga aralin, para sa pagsasagawa ng mga bilog, mga opsyonal na klase sa matematika.

Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon na "Logarithmic C3 inequalities with solutions".

Kabanata 1. Background

Noong ika-16 na siglo, mabilis na tumaas ang bilang ng mga tinatayang kalkulasyon, pangunahin sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, ang pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta, at iba pang gawain ay nangangailangan ng napakalaki, minsan maraming taon, mga kalkulasyon. Ang Astronomy ay nasa tunay na panganib na malunod sa hindi natutupad na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw din sa ibang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, ang mga talahanayan ng tambalang interes ay kailangan para sa iba't ibang mga halaga ng porsyento. Ang pangunahing kahirapan ay multiplikasyon, dibisyon ng mga multi-digit na numero, lalo na ang mga trigonometriko na dami.

Ang pagtuklas ng logarithms ay batay sa mga kilalang katangian ng mga pag-unlad sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Nagsalita si Archimedes tungkol sa koneksyon sa pagitan ng mga miyembro ng geometric progression q, q2, q3, ... at ang arithmetic progression ng kanilang mga indicator 1, 2, 3, ... sa Psalmite. Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawig ng konsepto ng degree sa mga negatibo at fractional exponent. Itinuro ng maraming may-akda na ang multiplikasyon, paghahati, pagtaas sa isang kapangyarihan, at pagkuha ng isang ugat ay katumbas ng pagpaparami sa aritmetika - sa parehong pagkakasunud-sunod - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati.

Narito ang ideya ng logarithm bilang isang exponent.

Sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng logarithms, maraming mga yugto ang lumipas.

Stage 1

Ang logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish baron Napier (1550-1617) at makalipas ang sampung taon ng Swiss mekaniko na si Burgi (1552-1632). Parehong gustong magbigay ng bagong maginhawang paraan ng mga kalkulasyon ng aritmetika, bagama't nilapitan nila ang problemang ito sa iba't ibang paraan. Napier kinematically ipinahayag ang logarithmic function at sa gayon ay pumasok sa isang bagong larangan ng function theory. Nanatili si Bürgi sa batayan ng pagsasaalang-alang ng mga discrete progressions. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi katulad ng modernong isa. Ang terminong "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Nagmula ito sa kumbinasyon ng mga salitang Griyego: logos - "relasyon" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, gumamit si Napier ng ibang termino: numeri artificiales - "artificial number", kumpara sa numeri naturalts - "natural na mga numero".

Noong 1615, sa isang pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), isang propesor ng matematika sa Gresh College sa London, iminungkahi ni Napier na kunin ang zero para sa logarithm ng isa, at 100 para sa logarithm ng sampu, o, kung ano ang katumbas ng pareho. , 1 lang. Ganito na-print ang mga decimal logarithms at Ang unang logarithmic table. Nang maglaon, ang mga talahanayan ng Briggs ay dinagdagan ng Dutch bookeller at mathematician na si Andrian Flakk (1600-1667). Napier at Briggs, bagama't sila ay dumating sa logarithms bago ang iba, inilathala ang kanilang mga talahanayan nang mas huli kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga sign log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang terminong "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659, na sinundan ni N. Mercator noong 1668, at ang guro sa London na si John Spadel ay naglathala ng mga talahanayan ng natural na logarithms ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pangalang "New Logarithms".

Sa Russian, ang unang logarithmic table ay nai-publish noong 1703. Ngunit sa lahat ng logarithmic na talahanayan, ang mga pagkakamali ay ginawa sa pagkalkula. Ang unang mga talahanayan na walang error ay nai-publish noong 1857 sa Berlin sa pagproseso ng German mathematician na si K. Bremiker (1804-1877).

Stage 2

Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa isang mas malawak na aplikasyon ng analytic geometry at infinitesimal calculus. Sa oras na iyon, ang koneksyon sa pagitan ng quadrature ng isang equilateral hyperbola at ang natural na logarithm ay naitatag. Ang teorya ng logarithms ng panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga mathematician.

German mathematician, astronomer at engineer na si Nikolaus Mercator sa kanyang sanaysay

Ang "Logarithmotechnics" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng pagpapalawak ng ln(x + 1) sa mga tuntunin ng

kapangyarihan x:

Ang expression na ito ay eksaktong tumutugma sa kurso ng kanyang pag-iisip, bagaman, siyempre, hindi niya ginamit ang mga palatandaan d, ..., ngunit mas masalimuot na mga simbolo. Sa pagkatuklas ng logarithmic series, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang infinite series. Sa kanyang mga lektura "elementarya matematika mula sa isang mas mataas na punto ng view", basahin sa 1907-1908, F. Klein iminungkahing gamitin ang formula bilang isang panimulang punto para sa constructing ang teorya ng logarithms.

Stage 3

Kahulugan ng isang logarithmic function bilang isang function ng inverse

exponential, logarithm bilang isang exponent ng isang ibinigay na base

ay hindi na-formula kaagad. Ang gawa ni Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduction to the analysis of infinitesimals" (1748) nagsilbi bilang karagdagang

pagbuo ng teorya ng logarithmic function. kaya,

134 na taon na ang lumipas mula noong unang ipinakilala ang logarithms

(nagbibilang mula 1614) bago magkaroon ng kahulugan ang mga mathematician

ang konsepto ng logarithm, na ngayon ay batayan ng kurso sa paaralan.

Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic

2.1. Mga katumbas na transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat.

Mga katumbas na transition

kung a > 1

kung 0 < а < 1

Pangkalahatang paraan ng pagitan

Ang pamamaraang ito ay ang pinaka-unibersal sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng halos anumang uri. Ang scheme ng solusyon ay ganito ang hitsura:

1. Dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ganoong anyo, kung saan matatagpuan ang function sa kaliwang bahagi
, at 0 sa kanan.

2. Hanapin ang saklaw ng function
.

3. Hanapin ang mga zero ng isang function
, ibig sabihin, lutasin ang equation
(at ang paglutas ng isang equation ay kadalasang mas madali kaysa sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay).

4. Iguhit ang domain ng kahulugan at mga zero ng function sa isang tunay na linya.

5. Tukuyin ang mga palatandaan ng function
sa mga natanggap na pagitan.

6. Piliin ang mga pagitan kung saan kinukuha ng function ang mga kinakailangang halaga, at isulat ang sagot.

Halimbawa 1

Desisyon:

Ilapat ang paraan ng pagitan

saan

Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms ay positibo.

Sagot:

Halimbawa 2

Desisyon:

1st paraan . Ang ODZ ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x> 3. Pagkuha ng logarithms para sa ganoon x sa base 10, nakukuha namin

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa agnas, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito ay madaling matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-andar

kaya maaaring ilapat ang paraan ng pagitan.

Function f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ay tuloy-tuloy para sa x> 3 at naglalaho sa mga punto x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kaya, tinutukoy namin ang mga agwat ng pare-pareho ng pag-andar f(x):

Sagot:

2nd way . Ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng mga pagitan nang direkta sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Para dito, naaalala namin na ang mga expression a b- a c at ( a - 1)(b- 1) magkaroon ng isang tanda. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapantay-pantay para sa x> 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay

o

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan

Sagot:

Halimbawa 3

Desisyon:

Ilapat ang paraan ng pagitan

Sagot:

Halimbawa 4

Desisyon:

Mula noong 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 para sa lahat ng tunay x, pagkatapos

Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit namin ang paraan ng pagitan

Sa unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa natin ang pagbabago

pagkatapos ay dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.

Saan galing, kasi

nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

na isinasagawa sa x, para saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, sa wakas ay nakuha namin

Sagot:

Halimbawa 5

Desisyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang hanay ng mga sistema

o

Ilapat ang paraan ng pagitan o

Sagot:

Halimbawa 6

Desisyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema

Hayaan

pagkatapos y > 0,

at ang unang hindi pagkakapantay-pantay

kinukuha ng system ang form

o, lumalawak

square trinomial sa mga salik,

Paglalapat ng paraan ng pagitan sa huling hindi pagkakapantay-pantay,

nakikita natin na ang mga solusyon nito ay nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y> 0 ang magiging lahat y > 4.

Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema:

Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay lahat

2.2. paraan ng rasyonalisasyon.

Noong nakaraan, ang paraan ng rasyonalisasyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nalutas, hindi ito kilala. Ito ay "isang bagong modernong epektibong paraan para sa paglutas ng mga exponential at logarithmic inequalities" (sipi mula sa aklat ni Kolesnikova S.I.)
At kahit na kilala siya ng guro, may takot - ngunit kilala ba siya ng eksperto sa USE, at bakit hindi nila siya ibigay sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa mag-aaral: "Saan mo ito nakuha? Umupo - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay itinataguyod sa lahat ng dako. At para sa mga eksperto, may mga alituntunin na nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "Ang pinaka kumpletong mga edisyon ng mga karaniwang opsyon ..." sa solusyon C3, ginagamit ang pamamaraang ito.
MAGANDA ANG PARAAN!

"Magic Table"

Sa ibang source

kung a >1 at b >1, pagkatapos ay mag-log a b >0 at (a -1)(b -1)>0;

kung a >1 at 0

kung 0<a<1 и b >1, pagkatapos ay mag-log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

kung 0<a<1 и 00 at (a -1)(b -1)>0.

Ang pangangatwiran sa itaas ay simple, ngunit kapansin-pansing pinapasimple ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

Halimbawa 4

log x (x 2 -3)<0

Desisyon:

Halimbawa 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Desisyon:

Sagot. (0; 0.5) U .

Halimbawa 6

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, isinusulat namin ang (x-1-1) (x-1) sa halip na ang denominator, at ang produkto (x-1) (x-3-9 + x) sa halip na ang numerator.

Sagot : (3;6)

Halimbawa 7

Halimbawa 8

2.3. Hindi karaniwang pagpapalit.

Halimbawa 1

Halimbawa 2

Halimbawa 3

Halimbawa 4

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Halimbawa 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

Gawin natin ang pagpapalit y=3 x -1; pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagkakaroon ng anyo

log 4 log 0.25
.

Bilang log 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pagkatapos ay muling isulat namin ang huling hindi pagkakapantay-pantay bilang 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Gumawa tayo ng kapalit na t =log 4 y at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay t 2 -2t +≥0, ang solusyon kung saan ay ang mga pagitan - .

Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng y, mayroon kaming isang hanay ng dalawang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay
Ang solusyon ng koleksyon na ito ay ang mga pagitan 0<у≤2 и 8≤у<+.

Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng set ng dalawang exponential inequalities,
ibig sabihin, mga pinagsama-sama

Ang solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng set na ito ay ang pagitan 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa mga pagitan 0<х≤1 и 2≤х<+.

Halimbawa 8

Desisyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema

Ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, na tumutukoy sa ODZ, ang magiging hanay ng mga iyon x,

para sa x > 0.

Upang malutas ang unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa namin ang pagbabago

Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

o

Ang hanay ng mga solusyon ng huling hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa pamamagitan ng pamamaraan

mga pagitan: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, nakukuha namin

o

Marami sa mga iyon x, na nagbibigay-kasiyahan sa huling hindi pagkakapantay-pantay

nabibilang sa ODZ ( x> 0), samakatuwid, ay isang solusyon sa system,

at samakatuwid ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot:

2.4. Mga gawaing may mga bitag.

Halimbawa 1

.

Desisyon. Ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay ay lahat ng x ay nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon 0 . Samakatuwid, ang lahat ng x mula sa pagitan 0

Halimbawa 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Ang punto ay ang pangalawang numero ay malinaw na mas malaki kaysa

Konklusyon

Hindi madaling makahanap ng mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa isang malaking iba't ibang mga mapagkukunang pang-edukasyon. Sa kurso ng gawaing ginawa, nakapag-aral ako ng mga di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ang mga ito ay: katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga pagitan, ang paraan ng rasyonalisasyon , hindi karaniwang pagpapalit , mga gawain na may mga bitag sa ODZ. Ang mga pamamaraang ito ay wala sa kurikulum ng paaralan.

Gamit ang iba't ibang pamamaraan, nalutas ko ang 27 hindi pagkakapantay-pantay na inaalok sa USE sa bahagi C, katulad ng C3. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga solusyon sa pamamagitan ng mga pamamaraan ay naging batayan ng koleksyon na "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions", na naging produkto ng proyekto ng aking aktibidad. Ang hypothesis na iniharap ko sa simula ng proyekto ay nakumpirma: Ang mga problema sa C3 ay maaaring epektibong malutas kung ang mga pamamaraang ito ay kilala.

Bilang karagdagan, natuklasan ko ang mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithms. Ito ay kawili-wili para sa akin na gawin ito. Ang aking mga produkto ng proyekto ay magiging kapaki-pakinabang para sa parehong mga mag-aaral at guro.

Natuklasan:

Kaya, ang layunin ng proyekto ay nakamit, ang problema ay nalutas. At nakuha ko ang pinakakumpleto at maraming nalalaman na karanasan sa mga aktibidad ng proyekto sa lahat ng yugto ng trabaho. Sa kurso ng pagtatrabaho sa proyekto, ang aking pangunahing epekto sa pag-unlad ay sa kakayahan sa pag-iisip, mga aktibidad na nauugnay sa mga lohikal na operasyon ng kaisipan, ang pagbuo ng kakayahang malikhain, personal na inisyatiba, responsibilidad, tiyaga, at aktibidad.

Isang garantiya ng tagumpay kapag gumagawa ng isang proyekto sa pananaliksik para sa ako ay naging: makabuluhang karanasan sa paaralan, ang kakayahang kunin ang impormasyon mula sa iba't ibang mga mapagkukunan, suriin ang pagiging maaasahan nito, ranggo ito ayon sa kahalagahan.

Bilang karagdagan sa direktang kaalaman sa paksa sa matematika, pinalawak niya ang kanyang praktikal na kasanayan sa larangan ng computer science, nakakuha ng bagong kaalaman at karanasan sa larangan ng sikolohiya, nakipag-ugnayan sa mga kaklase, at natutong makipagtulungan sa mga nasa hustong gulang. Sa kurso ng mga aktibidad ng proyekto, ang organisasyon, intelektwal at komunikasyon na pangkalahatang mga kasanayan sa edukasyon at kakayahan ay binuo.

Panitikan

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (karaniwang mga gawain C3).

2. Malkova A. G. Paghahanda para sa Unified State Examination sa Mathematics.

3. S. S. Samarova, Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

4. Matematika. Koleksyon ng mga gawa sa pagsasanay na na-edit ni A.L. Semyonov at I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-