Alalahanin muna natin ang kahulugan ng isang solusyon sa isang sistema ng mga equation sa dalawang variable.

Kahulugan 1

Ang isang pares ng mga numero ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga equation na may dalawang variable kung, kapag sila ay pinalitan sa equation, ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Sa mga sumusunod, isasaalang-alang natin ang mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable.

Umiiral apat na pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga equation: paraan ng pagpapalit, paraan ng pagdaragdag, paraan ng grapiko, bagong paraan ng pamamahala ng variable. Tingnan natin ang mga pamamaraang ito na may mga tiyak na halimbawa. Upang ilarawan ang prinsipyo ng paggamit ng unang tatlong pamamaraan, isasaalang-alang namin ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam:

Pamamaraan ng pagpapalit

Ang paraan ng pagpapalit ay ang mga sumusunod: ang alinman sa mga equation na ito ay kinuha at ang $y$ ay ipinahayag sa mga tuntunin ng $x$, pagkatapos ay ang $y$ ay pinapalitan sa equation ng system, kung saan matatagpuan ang variable na $x.$. Pagkatapos nito, madali nating makalkula ang variable na $y.$

Halimbawa 1

Ipahayag natin mula sa pangalawang equation na $y$ sa mga tuntunin ng $x$:

Palitan sa unang equation, hanapin ang $x$:

\ \ \

Maghanap ng $y$:

Sagot: $(-2,\ 3)$

Paraan ng pagdaragdag.

Isaalang-alang ang pamamaraang ito na may isang halimbawa:

Halimbawa 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

I-multiply ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 3, nakukuha natin ang:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Ngayon, idagdag natin ang parehong mga equation nang magkasama:

\ \ \

Hanapin ang $y$ mula sa pangalawang equation:

\[-6-y=-9\] \

Sagot: $(-2,\ 3)$

Puna 1

Tandaan na sa pamamaraang ito kinakailangan na i-multiply ang isa o parehong mga equation sa pamamagitan ng mga numero na kapag nagdaragdag ng isa sa mga variable ay "nawawala".

Grapikong paraan

Ang graphical na paraan ay ang mga sumusunod: ang parehong mga equation ng system ay ipinapakita sa coordinate plane at ang punto ng kanilang intersection ay matatagpuan.

Halimbawa 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Ipahayag natin ang $y$ mula sa parehong mga equation sa mga tuntunin ng $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Gumuhit tayo ng parehong mga graph sa parehong eroplano:

Larawan 1.

Sagot: $(-2,\ 3)$

Paano magpakilala ng mga bagong variable

Isasaalang-alang namin ang pamamaraang ito sa sumusunod na halimbawa:

Halimbawa 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Desisyon.

Ang sistemang ito ay katumbas ng sistema

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ tama.\]

Hayaan ang $2^x=u\ (u>0)$ at $3^y=v\ (v>0)$, makuha natin ang:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Nilulutas namin ang nagresultang sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag. Idagdag natin ang mga equation:

\ \

Pagkatapos mula sa pangalawang equation, nakuha namin iyon

Bumabalik sa kapalit, kumuha kami ng bagong sistema ng mga exponential equation:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Nakukuha namin:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Mas maaasahan kaysa sa graphical na pamamaraan na tinalakay sa nakaraang talata.

Pamamaraan ng Pagpapalit

Ginamit namin ang paraang ito sa ika-7 baitang upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang algorithm na binuo sa ika-7 baitang ay medyo angkop para sa paglutas ng mga sistema ng anumang dalawang equation (hindi kinakailangang linear) na may dalawang variable na x at y (siyempre, ang mga variable ay maaaring tukuyin ng iba pang mga titik, na hindi mahalaga). Sa katunayan, ginamit namin ang algorithm na ito sa nakaraang talata, kapag ang problema ng isang dalawang-digit na numero ay humantong sa isang modelo ng matematika, na isang sistema ng mga equation. Nalutas namin ang sistemang ito ng mga equation sa itaas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (tingnan ang halimbawa 1 mula sa § 4).

Algorithm para sa paggamit ng paraan ng pagpapalit kapag nilulutas ang isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable na x, y.

1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.
2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.
3. Lutasin ang resultang equation para sa x.
4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.
5. Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y), na natagpuan, ayon sa pagkakabanggit, sa ikatlo at ikaapat na hakbang.

4) Palitan naman ang bawat isa sa mga nahanap na halaga ng y sa formula x \u003d 5 - Zy. Kung noon
5) Mga pares (2; 1) at mga solusyon ng isang ibinigay na sistema ng mga equation.

Sagot: (2; 1);

Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Ang pamamaraang ito, tulad ng paraan ng pagpapalit, ay pamilyar sa iyo mula sa kursong algebra sa ika-7 baitang, kung saan ginamit ito upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Naaalala namin ang kakanyahan ng pamamaraan sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 2 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

I-multiply namin ang lahat ng mga termino ng unang equation ng system sa pamamagitan ng 3, at iwanan ang pangalawang equation na hindi nagbabago:
Ibawas ang pangalawang equation ng system mula sa unang equation nito:

Bilang resulta ng algebraic na pagdaragdag ng dalawang equation ng orihinal na sistema, nakuha ang isang equation na mas simple kaysa sa una at pangalawang equation ng ibinigay na sistema. Sa mas simpleng equation na ito, may karapatan kaming palitan ang anumang equation ng isang ibinigay na system, halimbawa, ang pangalawa. Pagkatapos ang ibinigay na sistema ng mga equation ay papalitan ng isang mas simpleng sistema:

Ang sistemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit. Mula sa pangalawang equation nakita namin Ang pagpapalit ng expression na ito sa halip na y sa unang equation ng system, nakuha namin

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng x sa formula

Kung x = 2 kung gayon

Kaya, nakahanap kami ng dalawang solusyon sa system:

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable

Nakilala mo ang paraan ng pagpapakilala ng bagong variable kapag nilulutas ang mga rational equation na may isang variable sa kursong algebra sa ika-8 baitang. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay pareho, ngunit mula sa isang teknikal na punto ng view mayroong ilang mga tampok na tatalakayin natin sa mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Magpakilala tayo ng bagong variable Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang unang equation ng system sa isang mas simpleng anyo: Lutasin natin ang equation na ito na may paggalang sa variable t:

Pareho sa mga halagang ito ay nakakatugon sa kundisyon, at samakatuwid ay ang mga ugat ng isang rational equation na may variable na t. Ngunit nangangahulugan ito ng alinman mula sa kung saan natin makikita na x = 2y, o
Kaya, sa tulong ng paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, nagawa namin, parang, na "pagsapin-sapin" ang unang equation ng system, na medyo kumplikado sa hitsura, sa dalawang mas simpleng equation:

x = 2 y; y - 2x.

Anong susunod? At pagkatapos ang bawat isa sa dalawang simpleng equation na nakuha ay dapat isaalang-alang sa turn sa isang sistema na may equation x 2 - y 2 \u003d 3, na hindi pa natin naaalala. Sa madaling salita, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang sistema ng mga equation:

Ito ay kinakailangan upang makahanap ng mga solusyon para sa unang sistema, ang pangalawang sistema, at isama ang lahat ng mga resultang pares ng mga halaga sa sagot. Lutasin natin ang unang sistema ng mga equation:

Gamitin natin ang paraan ng pagpapalit, lalo na dahil handa na ang lahat para dito: pinapalitan natin ang expression na 2y sa halip na x sa pangalawang equation ng system. Kunin

Dahil sa x \u003d 2y, nakita namin ang x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, ayon sa pagkakabanggit, ang dalawang solusyon sa ibinigay na sistema ay nakuha: (2; 1) at (-2; -1). Lutasin natin ang pangalawang sistema ng mga equation:

Gamitin nating muli ang paraan ng pagpapalit: pinapalitan natin ang expression na 2x sa halip na y sa pangalawang equation ng system. Kunin

Ang equation na ito ay walang mga ugat, na nangangahulugan na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Kaya, ang mga solusyon lamang ng unang sistema ang dapat isama sa sagot.

Sagot: (2; 1); (-2;-1).

Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable kapag ang paglutas ng mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable ay ginagamit sa dalawang bersyon. Unang opsyon: isang bagong variable ang ipinakilala at ginagamit sa isang equation lamang ng system. Ganito mismo ang nangyari sa halimbawa 3. Ang pangalawang opsyon: dalawang bagong variable ang ipinakilala at ginamit nang sabay-sabay sa parehong mga equation ng system. Ito ang magiging kaso sa halimbawa 4.

Halimbawa 4 Lutasin ang isang sistema ng mga equation

Ipakilala natin ang dalawang bagong variable:

Natutunan natin yan

Ito ay magpapahintulot sa amin na muling isulat ang ibinigay na sistema sa isang mas simpleng anyo, ngunit may kinalaman sa mga bagong variable na a at b:

Dahil ang isang \u003d 1, pagkatapos ay mula sa equation na a + 6 \u003d 2 nakita namin: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Kaya, para sa mga variable a at b, nakakuha kami ng isang solusyon:

Pagbabalik sa mga variable na x at y, nakuha namin ang sistema ng mga equation

Inilapat namin ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic upang malutas ang sistemang ito:

Mula noon mula sa equation na 2x + y = 3 nakita namin:
Kaya, para sa mga variable na x at y, nakakuha kami ng isang solusyon:

Tapusin natin ang bahaging ito sa isang maikli ngunit seryosong teoretikal na talakayan. Nakakuha ka na ng ilang karanasan sa paglutas ng iba't ibang equation: linear, square, rational, irrational. Alam mo na ang pangunahing ideya ng paglutas ng isang equation ay ang unti-unting paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa, mas simple ngunit katumbas ng ibinigay na isa. Sa nakaraang seksyon, ipinakilala namin ang paniwala ng equivalence para sa mga equation na may dalawang variable. Ginagamit din ang konseptong ito para sa mga sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Dalawang sistema ng mga equation na may mga variable na x at y ay sinasabing katumbas kung mayroon silang parehong mga solusyon o kung ang parehong mga sistema ay walang mga solusyon.

Ang lahat ng tatlong pamamaraan (pagpapalit, algebraic na karagdagan, at pagpapakilala ng mga bagong variable) na aming tinalakay sa seksyong ito ay ganap na tama mula sa punto ng view ng pagkakapareho. Sa madaling salita, gamit ang mga pamamaraang ito, pinapalitan namin ang isang sistema ng mga equation ng isa pa, mas simple, ngunit katumbas ng orihinal na sistema.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation sa mga karaniwan at maaasahang paraan tulad ng paraan ng pagpapalit, algebraic na pagdaragdag at ang pagpapakilala ng mga bagong variable. At ngayon, alalahanin natin ang pamamaraan na napag-aralan mo na sa nakaraang aralin. Ibig sabihin, ulitin natin ang alam mo tungkol sa paraan ng graphical na solusyon.

Ang paraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation sa graphical na paraan ay ang pagbuo ng isang graph para sa bawat isa sa mga partikular na equation na kasama sa sistemang ito at nasa parehong coordinate plane, at kung saan kinakailangan din na hanapin ang intersection ng mga punto ng mga graph na ito. . Upang malutas ang sistemang ito ng mga equation ay ang mga coordinate ng puntong ito (x; y).

Dapat tandaan na karaniwan para sa isang graphical na sistema ng mga equation na magkaroon ng alinman sa isang solong tamang solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o walang mga solusyon sa lahat.

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa mga solusyong ito. At kaya, ang sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang natatanging solusyon kung ang mga linya, na siyang mga graph ng mga equation ng system, ay nagsalubong. Kung ang mga linyang ito ay magkatulad, kung gayon ang gayong sistema ng mga equation ay ganap na walang mga solusyon. Sa kaso ng pagkakataon ng mga direktang graph ng mga equation ng system, kung gayon ang ganitong sistema ay nagpapahintulot sa iyo na makahanap ng maraming mga solusyon.

Ngayon, tingnan natin ang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam gamit ang isang graphical na pamamaraan:

Una, sa una ay bumuo kami ng isang graph ng 1st equation;
Ang ikalawang hakbang ay ang pag-plot ng graph na nauugnay sa pangalawang equation;
Pangatlo, kailangan nating hanapin ang mga intersection point ng mga graph.
At bilang resulta, nakukuha natin ang mga coordinate ng bawat intersection point, na magiging solusyon sa sistema ng mga equation.

Tingnan natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado sa isang halimbawa. Binigyan tayo ng isang sistema ng mga equation na dapat lutasin:

Paglutas ng mga Equation

1. Una, bubuo tayo ng graph ng equation na ito: x2+y2=9.

Ngunit dapat tandaan na ang graph na ito ng mga equation ay magiging isang bilog na nakasentro sa pinanggalingan, at ang radius nito ay magiging katumbas ng tatlo.

2. Ang susunod nating hakbang ay ang magplano ng equation tulad ng: y = x - 3.

Sa kasong ito, dapat tayong bumuo ng isang linya at hanapin ang mga puntos (0;−3) at (3;0).

3. Tingnan natin kung ano ang nakuha natin. Nakita namin na ang linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawa sa mga punto nito A at B.

Ngayon hinahanap namin ang mga coordinate ng mga puntong ito. Nakikita namin na ang mga coordinate (3;0) ay tumutugma sa punto A, at ang mga coordinate (0;−3) ay tumutugma sa punto B.

At ano ang makukuha natin bilang resulta?

Ang mga numero (3;0) at (0;−3) na nakuha sa intersection ng isang tuwid na linya na may bilog ay tiyak na mga solusyon ng parehong mga equation ng system. At mula dito ay sumusunod na ang mga numerong ito ay mga solusyon din ng sistemang ito ng mga equation.

Ibig sabihin, ang sagot sa solusyon na ito ay ang mga numero: (3;0) at (0;−3).

Ang paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAE) ay walang alinlangan ang pinakamahalagang paksa ng linear algebra course. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng sangay ng matematika ay nabawasan sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ipinapaliwanag ng mga salik na ito ang dahilan ng paggawa ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay pinili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo

• piliin ang pinakamainam na paraan para sa paglutas ng iyong sistema ng mga linear algebraic equation,
• pag-aralan ang teorya ng napiling pamamaraan,
• lutasin ang iyong sistema ng mga linear na equation, na isinasaalang-alang nang detalyado ang mga solusyon ng karaniwang mga halimbawa at problema.

Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.

Una, ibibigay namin ang lahat ng kinakailangang kahulugan, konsepto, at ipinakilala ang ilang notasyon.

Susunod, isinasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan ay may natatanging solusyon. Una, tumuon tayo sa paraan ng Cramer, pangalawa, ipapakita natin ang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin natin ang pamamaraang Gauss (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable). Upang pagsama-samahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang ilang mga SLAE sa iba't ibang paraan.

Pagkatapos nito, bumaling tayo sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng isang pangkalahatang anyo, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi nag-tutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay degenerate. Binubalangkas namin ang Kronecker-Capelli theorem, na nagbibigay-daan sa amin na itatag ang pagiging tugma ng mga SLAE. Suriin natin ang solusyon ng mga system (sa kaso ng kanilang pagiging tugma) gamit ang konsepto ng batayang minor ng isang matrix. Isasaalang-alang din natin ang pamamaraang Gauss at ilarawan nang detalyado ang mga solusyon ng mga halimbawa.

Tiyaking pag-isipan ang istruktura ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng linear algebraic equation. Ibigay natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano isinulat ang pangkalahatang solusyon ng SLAE gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Sa konklusyon, isinasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation na nabawasan sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema, sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.

Pag-navigate sa pahina.

Mga kahulugan, konsepto, pagtatalaga.

Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable (p ay maaaring katumbas ng n ) ng form

Mga hindi kilalang variable, - mga coefficient (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - mga libreng miyembro (real o kumplikadong mga numero din).

Ang form na ito ng SLAE ay tinatawag coordinate.

AT anyo ng matrix ang sistemang ito ng mga equation ay may anyo,
saan - ang pangunahing matrix ng system, - ang matrix-column ng hindi kilalang mga variable, - ang matrix-column ng mga libreng miyembro.

Kung idaragdag natin sa matrix A bilang (n + 1)-th column ang matrix-column ng mga libreng termino, pagkatapos ay makukuha natin ang tinatawag na pinalawak na matris sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang augmented matrix ay tinutukoy ng letrang T, at ang haligi ng mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation tinatawag na isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable, na ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation ng system. Ang matrix equation para sa ibinigay na mga halaga ng hindi kilalang mga variable ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong.

Kung ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon - hindi sigurado.

Kung ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero , pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Solusyon ng mga elementary system ng linear algebraic equation.

Kung ang bilang ng mga equation ng system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay tatawagin natin ang mga naturang SLAE. elementarya. Ang ganitong mga sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso ng isang homogenous na sistema, ang lahat ng hindi kilalang mga variable ay katumbas ng zero.

Nagsimula kaming mag-aral ng ganitong SLAE noong high school. Kapag nilulutas ang mga ito, kumuha kami ng isang equation, nagpahayag ng isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi kilalang variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang hindi kilalang mga variable. Hindi namin tatalakayin nang detalyado ang mga pamamaraang ito, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraang Gauss.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementary system ng linear equation ay ang Cramer method, ang matrix method at ang Gauss method. Ayusin natin sila.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.

Kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, iyon ay, .

Hayaan ang determinant ng pangunahing matrix ng system, at ay mga determinants ng mga matrice na nakukuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit 1st, 2nd, …, nth column ayon sa pagkakabanggit sa column ng mga libreng miyembro:

Sa gayong notasyon, ang hindi kilalang mga variable ay kinakalkula ng mga pormula ng pamamaraan ng Cramer bilang . Ito ay kung paano ang solusyon ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method.

Halimbawa.

Paraan ng Cramer .

Desisyon.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo . Kalkulahin ang determinant nito (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang sistema ay may natatanging solusyon na matatagpuan sa pamamaraan ni Cramer.

Bumuo at kalkulahin ang mga kinakailangang determinant (ang determinant ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column sa matrix A ng column ng mga libreng miyembro, ang determinant - sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng libreng miyembro, - sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong column ng matrix A ng column ng mga libreng miyembro ):

Paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang mga formula :

Sagot:

Ang pangunahing kawalan ng pamamaraan ng Cramer (kung matatawag itong disadvantage) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga determinant kapag ang bilang ng mga equation ng system ay higit sa tatlo.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation sa pamamagitan ng matrix method (gamit ang inverse matrix).

Hayaang ang sistema ng mga linear algebraic equation ay ibigay sa matrix form , kung saan ang matrix A ay may dimensyon n by n at ang determinant nito ay nonzero.

Dahil , pagkatapos ay ang matrix A ay invertible, iyon ay, mayroong isang kabaligtaran matrix . Kung i-multiply natin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa, makakakuha tayo ng formula para sa paghahanap ng column matrix ng mga hindi kilalang variable. Kaya nakuha namin ang solusyon ng sistema ng linear algebraic equation sa pamamagitan ng matrix method.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Equation pamamaraan ng matrix.

Desisyon.

Isulat muli natin ang sistema ng mga equation sa anyong matrix:

Bilang

pagkatapos ay ang SLAE ay maaaring malutas sa pamamagitan ng matrix method. Gamit ang inverse matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang .

Bumuo tayo ng isang inverse matrix gamit ang isang matrix ng algebraic complements ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Ito ay nananatiling kalkulahin - ang matrix ng hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix sa matrix-column ng mga libreng miyembro (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Sagot:

o sa ibang notasyon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ang pangunahing problema sa paghahanap ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation sa pamamagitan ng matrix method ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng inverse matrix, lalo na para sa mga square matrice ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo.

Paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method.

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi kilalang mga variable
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay binubuo sa sunud-sunod na pagbubukod ng mga hindi kilalang variable: una, x 1 ay ibinukod sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x 2 ay ibinukod sa lahat ng equation, simula sa ikatlo, at iba pa, hanggang sa hindi kilalang variable lamang. x n ay nananatili sa huling equation. Ang ganitong proseso ng pagbabago ng mga equation ng sistema para sa sunud-sunod na pag-aalis ng hindi kilalang mga variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gauss. Matapos ang pagkumpleto ng forward run ng Gaussian method, x n ay matatagpuan mula sa huling equation, x n-1 ay kinakalkula mula sa penultimate equation gamit ang halagang ito, at iba pa, x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Ilarawan natin nang maikli ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Ibinubukod namin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, idagdag ang unang equation na pinarami ng sa pangalawang equation ng system, idagdag ang unang multiply sa ikatlong equation, at iba pa, idagdag ang unang multiply sa sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a .

Darating tayo sa parehong resulta kung ipinahayag natin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, kumilos kami nang katulad, ngunit sa isang bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang equation na pinarami ng sa ikatlong equation ng system, idagdag ang pangalawang multiply sa ikaapat na equation, at iba pa, idagdag ang pangalawang multiply sa nth equation. Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan, a . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss hanggang sa makuha ng system ang form

Mula sa sandaling ito, sinisimulan natin ang reverse course ng Gauss method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, hinahanap natin ang x 1 mula sa unang equation.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Equation Gaussian na pamamaraan.

Desisyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa parehong bahagi ng pangalawa at pangatlong equation, idinaragdag namin ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon ay hindi namin isasama ang x 2 mula sa ikatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa at kanang bahagi nito ng kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng:

Dito, ang pasulong na kurso ng pamamaraang Gauss ay nakumpleto, sinimulan namin ang reverse course.

Mula sa huling equation ng nagresultang sistema ng mga equation, nakita natin ang x 3:

Mula sa pangalawang equation makuha namin.

Mula sa unang equation nakita namin ang natitirang hindi kilalang variable at ito ay nakumpleto ang reverse course ng Gauss method.

Sagot:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Sa pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga equation ng system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:

Ang mga naturang SLAE ay maaaring walang mga solusyon, may iisang solusyon, o may walang katapusang maraming solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at degenerate.

Kronecker-Capelli theorem.

Bago maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation, kinakailangan upang maitatag ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung kailan tugma ang SLAE, at kapag hindi ito tugma, ay nagbibigay Kronecker–Capelli theorem:
para sa isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n ) upang maging pare-pareho ito ay kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay, Ranggo( A)=Ranggo(T) .

Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng Kronecker-Cappelli theorem para sa pagtukoy ng compatibility ng isang sistema ng mga linear equation bilang isang halimbawa.

Halimbawa.

Alamin kung ang sistema ng mga linear equation ay mayroon mga solusyon.

Desisyon.

. Gamitin natin ang paraan ng bordering menor de edad. Minor ng pangalawang order iba sa zero. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nakapalibot dito:

Dahil ang lahat ng karatig na third-order na menor de edad ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay dalawa.

Sa turn, ang ranggo ng augmented matrix ay katumbas ng tatlo, dahil ang menor de edad ng ikatlong order

iba sa zero.

kaya, Rang(A) , samakatuwid, ayon sa Kronecker-Capelli theorem, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear na equation ay hindi pare-pareho.

Sagot:

Walang sistema ng solusyon.

Kaya, natutunan nating itatag ang hindi pagkakapare-pareho ng sistema gamit ang Kronecker-Capelli theorem.

Ngunit paano mahahanap ang solusyon ng SLAE kung ang pagkakatugma nito ay itinatag?

Upang gawin ito, kailangan namin ang konsepto ng batayang minor ng isang matrix at ang teorama sa ranggo ng isang matrix.

Ang pinakamataas na order minor ng matrix A, maliban sa zero, ay tinatawag basic.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng batayang minor na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matris. Para sa isang hindi zero na matrix A, maaaring mayroong ilang pangunahing menor de edad; palaging may isang pangunahing menor de edad.

Halimbawa, isaalang-alang ang matrix .

Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng ikatlong row ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na elemento ng una at pangalawang row.

Ang mga sumusunod na menor de edad ng pangalawang order ay basic, dahil sila ay nonzero

Mga menor de edad ay hindi basic, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.

Teorama ng ranggo ng matrix.

Kung ang ranggo ng isang matrix ng order p by n ay r, kung gayon ang lahat ng elemento ng mga row (at column) ng matrix na hindi bumubuo sa napiling batayang minor ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng kaukulang mga elemento ng mga row (at column). ) na bumubuo sa batayang minor.

Ano ang ibinibigay sa atin ng matrix rank theorem?

Kung, sa pamamagitan ng Kronecker-Capelli theorem, naitatag namin ang pagiging tugma ng system, pagkatapos ay pipili kami ng anumang pangunahing menor de edad ng pangunahing matrix ng system (ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng r), at ibukod mula sa system ang lahat ng mga equation na hindi bumuo ng napiling pangunahing menor de edad. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang mga itinapon na equation ay kalabisan pa rin (ayon sa matrix rank theorem, sila ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).

Bilang resulta, pagkatapos itapon ang labis na mga equation ng system, posible ang dalawang kaso.

Kung ang bilang ng mga equation r sa resultang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ito ay magiging tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Halimbawa.

.

Desisyon.

Ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng dalawa, dahil ang menor de edad ng pangalawang order iba sa zero. Pinalawak na ranggo ng matrix ay katumbas din ng dalawa, dahil ang tanging menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero

at ang menor ng pangalawang order na isinasaalang-alang sa itaas ay iba sa zero. Batay sa Kronecker-Capelli theorem, maaaring igiit ng isa ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, dahil Rank(A)=Rank(T)=2 .

Bilang batayang minor, kinukuha namin . Ito ay nabuo ng mga coefficient ng una at pangalawang equation:


Ang ikatlong equation ng system ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng pangunahing menor de edad, kaya hindi namin ito kasama sa system batay sa matrix rank theorem:


Kaya nakuha namin ang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation. Lutasin natin ito sa pamamaraan ni Cramer:


Sagot:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Kung ang bilang ng mga equation r sa nagreresultang SLAE ay mas mababa sa bilang ng mga hindi kilalang variable n, pagkatapos ay iiwan natin ang mga termino na bumubuo ng pangunahing minor sa kaliwang bahagi ng mga equation, at ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi ng mga equation ng ang sistema na may kabaligtaran na tanda.

Ang hindi kilalang mga variable (may mga r sa kanila) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinatawag pangunahing.

Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r sa kanila) na napunta sa kanang bahagi ay tinatawag libre.

Ngayon ay ipinapalagay namin na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, habang ang r pangunahing hindi kilalang mga variable ay ipahahayag sa mga tuntunin ng mga libreng hindi kilalang variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang pagpapahayag ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang SLAE sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method, o ang Gauss method.

Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang System of Linear Algebraic Equation .

Desisyon.

Hanapin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system sa pamamagitan ng bordering minors method. Kunin natin ang 1 1 = 1 bilang isang non-zero first-order minor. Simulan natin ang paghahanap ng hindi zero second-order na menor na nakapalibot sa menor de edad na ito:


Kaya nakakita kami ng isang hindi zero na menor de edad ng pangalawang order. Simulan natin ang paghahanap ng non-zero bordering minor ng ikatlong order:


Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng augmented matrix ay katumbas din ng tatlo, iyon ay, ang sistema ay pare-pareho.

Ang nahanap na di-zero minor ng ikatlong order ay kukunin bilang pangunahing isa.

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo sa batayang minor:


Iniiwan namin ang mga terminong nakikilahok sa pangunahing minor sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at inililipat ang natitira na may magkasalungat na mga palatandaan sa kanang bahagi:


Nagbibigay kami ng mga libreng hindi kilalang variable na x 2 at x 5 na mga arbitrary na halaga, iyon ay, kinukuha namin , kung saan ang mga arbitrary na numero. Sa kasong ito, kinukuha ng SLAE ang form


Nalutas namin ang nakuhang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation sa pamamagitan ng Cramer method:


Kaya naman, .

Sa sagot, huwag kalimutang ipahiwatig ang mga libreng hindi kilalang variable.

Sagot:

Nasaan ang mga arbitrary na numero.

Ibuod.

Upang malutas ang isang sistema ng linear algebraic equation ng isang pangkalahatang anyo, alamin muna natin ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker-Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay hindi naaayon.

Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pipiliin namin ang pangunahing menor de edad at itapon ang mga equation ng system na hindi nakikilahok sa pagbuo ng napiling pangunahing menor de edad.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ang SLAE ay may natatanging solusyon, na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng anumang paraan na alam namin.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor ay mas mababa sa bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ay iniiwan namin ang mga termino na may pangunahing hindi kilalang mga variable, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at magtalaga ng mga arbitrary na halaga ​sa mga libreng hindi kilalang variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation, makikita natin ang pangunahing hindi kilalang mga variable sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Gamit ang pamamaraang Gauss, malulutas ng isa ang mga sistema ng linear algebraic equation ng anumang uri nang wala ang kanilang paunang pagsisiyasat para sa pagiging tugma. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa parehong compatibility at hindi pagkakapare-pareho ng SLAE, at kung mayroong isang solusyon, ginagawang posible na mahanap ito.

Mula sa punto ng view ng computational work, ang Gaussian method ay mas mainam.

Tingnan ang detalyadong paglalarawan nito at sinuri na mga halimbawa sa artikulong Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Pagre-record ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous linear algebraic system gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Sa seksyong ito, pagtutuunan natin ng pansin ang magkasanib na homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng mga linear algebraic equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Hayaan muna natin ang mga homogenous system.

Pangunahing sistema ng pagpapasya ng isang homogenous na sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ay isang set ng (n – r) linearly independent solution ng system na ito, kung saan ang r ay ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor ng pangunahing matrix ng system.

Kung itinalaga natin ang mga linearly independent na solusyon ng isang homogenous na SLAE bilang X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ay mga matrice column ng dimensyon n sa pamamagitan ng 1 ), kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistemang ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may mga di-makatwirang pare-parehong coefficients С 1 , С 2 , …, С (n-r), iyon ay, .

Ano ang ibig sabihin ng terminong pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation (oroslau)?

Ang kahulugan ay simple: ang formula ay tumutukoy sa lahat ng posibleng solusyon ng orihinal na SLAE, sa madaling salita, kumukuha ng anumang hanay ng mga halaga ng mga di-makatwirang constants C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , ayon sa formula namin ay makakakuha ng isa sa mga solusyon ng orihinal na homogenous na SLAE.

Kaya, kung makakahanap tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari nating itakda ang lahat ng solusyon ng homogenous na SLAE na ito bilang .

Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon para sa isang homogenous na SLAE.

Pinipili namin ang pangunahing minor ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, ibubukod ang lahat ng iba pang mga equation mula sa system, at ilipat sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na mga palatandaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng mga libreng hindi kilalang variable. Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation sa anumang paraan, halimbawa, sa pamamagitan ng paraan ng Cramer. Kaya, ang X (1) ay makukuha - ang unang solusyon ng pangunahing sistema. Kung bibigyan namin ang mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, pagkatapos ay makakakuha kami ng X (2). atbp. Kung bibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 0,0,…,0,1 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, pagkatapos ay makakakuha tayo ng X (n-r) . Ito ay kung paano ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng homogenous na SLAE ay gagawin at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring isulat sa anyo.

Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan bilang

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation .

Desisyon.

Ang ranggo ng pangunahing matrix ng mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix sa pamamagitan ng paraan ng fringing menor de edad. Bilang isang nonzero minor ng unang order, kinukuha namin ang elementong a 1 1 = 9 ng pangunahing matrix ng system. Hanapin ang karatig na non-zero minor ng pangalawang order:

Ang isang menor de edad ng pangalawang order, naiiba mula sa zero, ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito sa paghahanap ng hindi zero one:

Ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng pangunahing at pinalawig na matrix ay dalawa. Kunin natin ang pangunahing menor de edad. Para sa kalinawan, tandaan namin ang mga elemento ng system na bumubuo nito:

Ang ikatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng pangunahing minor, samakatuwid, maaari itong ibukod:

Iniiwan namin ang mga terminong naglalaman ng mga pangunahing hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation, at inililipat ang mga terminong may mga libreng hindi alam sa kanang bahagi:

Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na homogenous na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang variable, at ang pagkakasunud-sunod ng pangunahing minor nito ay dalawa. Upang mahanap ang X (1), binibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, pagkatapos ay nakita namin ang mga pangunahing hindi alam mula sa sistema ng mga equation
.

Ang mga sistema ng equation ay malawakang ginagamit sa industriya ng ekonomiya sa matematikal na pagmomodelo ng iba't ibang proseso. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga problema sa pamamahala at pagpaplano ng produksyon, mga ruta ng logistik (problema sa transportasyon) o paglalagay ng kagamitan.

Ang mga sistema ng equation ay ginagamit hindi lamang sa larangan ng matematika, kundi pati na rin sa pisika, kimika at biology, kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng laki ng populasyon.

Ang isang sistema ng mga linear na equation ay isang termino para sa dalawa o higit pang mga equation na may ilang mga variable kung saan ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang karaniwang solusyon. Ang ganitong pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang lahat ng mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay o nagpapatunay na ang pagkakasunod-sunod ay hindi umiiral.

Linear Equation

Ang mga equation ng anyong ax+by=c ay tinatawag na linear. Ang mga pagtatalagang x, y ay ang mga hindi alam, ang halaga nito ay dapat matagpuan, b, a ay ang mga coefficient ng mga variable, c ay ang libreng termino ng equation.
Ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng paglalagay ng graph nito ay magmumukhang isang tuwid na linya, ang lahat ng mga punto ay ang solusyon ng polynomial.

Mga uri ng mga sistema ng mga linear na equation

Ang pinakasimple ay mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable na X at Y.

F1(x, y) = 0 at F2(x, y) = 0, kung saan F1,2 ay function at (x, y) ay function variable.

Lutasin ang isang sistema ng mga equation - nangangahulugan ito ng paghahanap ng mga ganoong halaga (x, y) kung saan ang sistema ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay, o upang maitaguyod na walang angkop na mga halaga ng x at y.

Ang isang pares ng mga halaga (x, y), na isinulat bilang mga coordinate ng punto, ay tinatawag na solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation.

Kung ang mga sistema ay may isang karaniwang solusyon o walang solusyon, ang mga ito ay tinatawag na katumbas.

Ang mga homogenous na sistema ng linear equation ay mga sistema na ang kanang bahagi ay katumbas ng zero. Kung ang kanang bahagi pagkatapos ng "pantay" na tanda ay may halaga o ipinahayag ng isang function, ang naturang sistema ay hindi homogenous.

Ang bilang ng mga variable ay maaaring higit sa dalawa, pagkatapos ay dapat nating pag-usapan ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear equation na may tatlong variable o higit pa.

Nahaharap sa mga sistema, ipinapalagay ng mga mag-aaral na ang bilang ng mga equation ay kinakailangang magkasabay sa bilang ng mga hindi alam, ngunit hindi ito ganoon. Ang bilang ng mga equation sa system ay hindi nakasalalay sa mga variable, maaaring mayroong isang di-makatwirang malaking bilang ng mga ito.

Simple at kumplikadong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Walang pangkalahatang analytical na paraan upang malutas ang mga naturang sistema, ang lahat ng mga pamamaraan ay batay sa mga numerical na solusyon. Detalyadong inilalarawan ng kursong matematika sa paaralan ang mga pamamaraan tulad ng permutation, algebraic addition, substitution, pati na rin ang graphical at matrix method, ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss method.

Ang pangunahing gawain sa pagtuturo ng mga pamamaraan ng paglutas ay ang magturo kung paano tama na pag-aralan ang system at hanapin ang pinakamainam na algorithm ng solusyon para sa bawat halimbawa. Ang pangunahing bagay ay hindi kabisaduhin ang isang sistema ng mga patakaran at aksyon para sa bawat pamamaraan, ngunit upang maunawaan ang mga prinsipyo ng paglalapat ng isang partikular na pamamaraan.

Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear equation ng ika-7 baitang ng pangkalahatang programa sa paaralan ng edukasyon ay medyo simple at ipinaliwanag nang detalyado. Sa anumang aklat-aralin sa matematika, ang bahaging ito ay binibigyan ng sapat na atensyon. Ang solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss at Cramer ay pinag-aralan nang mas detalyado sa mga unang kurso ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit

Ang mga aksyon ng paraan ng pagpapalit ay naglalayong ipahayag ang halaga ng isang variable hanggang sa pangalawa. Ang expression ay pinapalitan sa natitirang equation, pagkatapos ito ay nabawasan sa isang solong variable na anyo. Ang aksyon ay paulit-ulit depende sa bilang ng mga hindi alam sa system

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation ng ika-7 klase sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang variable na x ay ipinahayag sa pamamagitan ng F(X) = 7 + Y. Ang resultang expression, na pinalitan sa 2nd equation ng system bilang kapalit ng X, ay nakatulong upang makakuha ng isang variable Y sa 2nd equation. . Ang solusyon ng halimbawang ito ay hindi nagdudulot ng mga kahirapan at nagbibigay-daan sa iyong makuha ang halaga ng Y. Ang huling hakbang ay suriin ang mga nakuhang halaga.

Hindi laging posible na lutasin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang mga equation ay maaaring maging kumplikado at ang pagpapahayag ng variable sa mga tuntunin ng pangalawang hindi alam ay magiging masyadong masalimuot para sa karagdagang mga kalkulasyon. Kapag mayroong higit sa 3 hindi alam sa system, ang solusyon sa pagpapalit ay hindi rin praktikal.

Solusyon ng isang halimbawa ng isang sistema ng linear inhomogeneous equation:

Solusyon gamit ang algebraic na karagdagan

Kapag naghahanap ng isang solusyon sa mga system sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag, ang termwise na pagdaragdag at pagpaparami ng mga equation sa pamamagitan ng iba't ibang mga numero ay isinasagawa. Ang pangwakas na layunin ng mga pagpapatakbo ng matematika ay isang equation na may isang variable.

Ang mga aplikasyon ng paraang ito ay nangangailangan ng pagsasanay at pagmamasid. Hindi madaling lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang paraan ng pagdaragdag na may bilang ng mga variable na 3 o higit pa. Ang pagdaragdag ng algebraic ay kapaki-pakinabang kapag ang mga equation ay naglalaman ng mga fraction at decimal na numero.

Algoritmo ng pagkilos ng solusyon:

1. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa ilang numero. Bilang resulta ng operasyon ng arithmetic, ang isa sa mga coefficient ng variable ay dapat maging katumbas ng 1.
2. Idagdag ang nagresultang termino ng expression sa pamamagitan ng termino at hanapin ang isa sa mga hindi alam.
3. I-substitute ang resultang value sa 2nd equation ng system para mahanap ang natitirang variable.

Pamamaraan ng solusyon sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable

Ang isang bagong variable ay maaaring ipakilala kung ang sistema ay kailangang makahanap ng solusyon para sa hindi hihigit sa dalawang equation, ang bilang ng mga hindi alam ay dapat ding hindi hihigit sa dalawa.

Ang pamamaraan ay ginagamit upang gawing simple ang isa sa mga equation sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable. Ang bagong equation ay nalutas na may kinalaman sa ipinasok na hindi alam, at ang resultang halaga ay ginagamit upang matukoy ang orihinal na variable.

Makikita mula sa halimbawa na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable t, posible na bawasan ang 1st equation ng system sa isang standard square trinomial. Maaari mong lutasin ang isang polynomial sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant.

Kinakailangang hanapin ang halaga ng discriminant gamit ang kilalang formula: D = b2 - 4*a*c, kung saan ang D ay ang nais na discriminant, b, a, c ang mga multiplier ng polynomial. Sa ibinigay na halimbawa, a=1, b=16, c=39, kaya D=100. Kung mas malaki sa zero ang discriminant, mayroong dalawang solusyon: t = -b±√D / 2*a, kung mas mababa sa zero ang discriminant, may isang solusyon lang: x= -b / 2*a.

Ang solusyon para sa mga nagresultang sistema ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag.

Isang visual na paraan para sa paglutas ng mga sistema

Angkop para sa mga system na may 3 equation. Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalagay ng mga graph ng bawat equation na kasama sa system sa coordinate axis. Ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga curves ang magiging pangkalahatang solusyon ng system.

Ang graphic na pamamaraan ay may isang bilang ng mga nuances. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa visual na paraan.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, dalawang puntos ang itinayo para sa bawat linya, ang mga halaga ng variable na x ay pinili nang arbitraryo: 0 at 3. Batay sa mga halaga ng x, ang mga halaga para sa y ay natagpuan: 3 at 0. Ang mga puntos na may mga coordinate (0, 3) at (3, 0) ay minarkahan sa graph at ikinonekta ng isang linya.

Ang mga hakbang ay dapat na ulitin para sa pangalawang equation. Ang punto ng intersection ng mga linya ay ang solusyon ng system.

Sa sumusunod na halimbawa, kinakailangan na makahanap ng isang graphical na solusyon sa sistema ng mga linear na equation: 0.5x-y+2=0 at 0.5x-y-1=0.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, ang sistema ay walang solusyon, dahil ang mga graph ay parallel at hindi nagsalubong sa kanilang buong haba.

Ang mga sistema mula sa Mga Halimbawa 2 at 3 ay magkatulad, ngunit kapag binuo, nagiging malinaw na ang kanilang mga solusyon ay magkaiba. Dapat tandaan na hindi laging posible na sabihin kung ang sistema ay may solusyon o wala, palaging kinakailangan na bumuo ng isang graph.

Matrix at mga varieties nito

Ginagamit ang mga matrice upang maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Ang matrix ay isang espesyal na uri ng talahanayan na puno ng mga numero. Ang n*m ay may n - row at m - column.

Ang matrix ay parisukat kapag ang bilang ng mga column at row ay pantay. Ang matrix-vector ay isang single-column matrix na may walang katapusang posibleng bilang ng mga row. Ang isang matrix na may mga yunit kasama ang isa sa mga diagonal at iba pang mga zero na elemento ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Ang isang kabaligtaran na matrix ay tulad ng isang matrix, kapag pinarami kung saan ang orihinal ay nagiging isang yunit, ang gayong matrix ay umiiral lamang para sa orihinal na parisukat.

Mga panuntunan para sa pagbabago ng isang sistema ng mga equation sa isang matrix

Tungkol sa mga sistema ng mga equation, ang mga coefficient at libreng mga miyembro ng mga equation ay nakasulat bilang mga numero ng matrix, ang isang equation ay isang hilera ng matrix.

Ang isang matrix row ay tinatawag na non-zero kung hindi bababa sa isang elemento ng row ay hindi katumbas ng zero. Samakatuwid, kung sa alinman sa mga equation ang bilang ng mga variable ay naiiba, pagkatapos ito ay kinakailangan upang ipasok ang zero sa lugar ng nawawalang hindi alam.

Ang mga column ng matrix ay dapat na mahigpit na tumutugma sa mga variable. Nangangahulugan ito na ang mga coefficient ng variable x ay maaari lamang isulat sa isang column, halimbawa, ang una, ang coefficient ng hindi kilalang y - sa pangalawa lamang.

Kapag nagpaparami ng isang matrix, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay sunud-sunod na pinarami ng isang numero.

Mga opsyon para sa paghahanap ng inverse matrix

Ang formula para sa paghahanap ng inverse matrix ay medyo simple: K -1 = 1 / |K|, kung saan ang K -1 ay ang inverse matrix at |K| - determinant ng matrix. |K| hindi dapat katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may solusyon.

Ang determinant ay madaling kalkulahin para sa isang two-by-two matrix, kinakailangan lamang na i-multiply ang mga elemento nang pahilis sa bawat isa. Para sa opsyong "three by three", mayroong formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Maaari mong gamitin ang formula, o maaari mong tandaan na kailangan mong kumuha ng isang elemento mula sa bawat row at bawat column para hindi na maulit ang column at row number ng mga elemento sa produkto.

Solusyon ng mga halimbawa ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method

Ang paraan ng matrix ng paghahanap ng solusyon ay ginagawang posible upang mabawasan ang masalimuot na mga entry kapag nilulutas ang mga sistema na may malaking bilang ng mga variable at equation.

Sa halimbawa, ang isang nm ay ang mga coefficient ng mga equation, ang matrix ay isang vector x n ang mga variable, at ang b n ay ang mga libreng termino.

Solusyon ng mga sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss

Sa mas mataas na matematika, ang Gauss method ay pinag-aaralan kasama ng Cramer method, at ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa mga system ay tinatawag na Gauss-Cramer method of solving. Ang mga pamamaraang ito ay ginagamit upang mahanap ang mga variable ng mga sistema na may malaking bilang ng mga linear equation.

Ang pamamaraang Gaussian ay halos kapareho sa mga solusyon sa pagpapalit at algebraic na karagdagan, ngunit mas sistematiko. Sa kurso ng paaralan, ang solusyong Gaussian ay ginagamit para sa mga sistema ng 3 at 4 na equation. Ang layunin ng pamamaraan ay upang dalhin ang sistema sa anyo ng isang baligtad na trapezoid. Sa pamamagitan ng algebraic transformations at substitutions, ang halaga ng isang variable ay matatagpuan sa isa sa mga equation ng system. Ang pangalawang equation ay isang expression na may 2 hindi alam, at 3 at 4 - na may 3 at 4 na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Matapos dalhin ang system sa inilarawang anyo, ang karagdagang solusyon ay ibinababa sa sunud-sunod na pagpapalit ng mga kilalang variable sa mga equation ng system.

Sa mga aklat-aralin sa paaralan para sa ika-7 baitang, ang isang halimbawa ng solusyong Gaussian ay inilarawan bilang sumusunod:

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, sa hakbang (3) dalawang equation ang nakuha 3x 3 -2x 4 =11 at 3x 3 +2x 4 =7. Ang solusyon ng alinman sa mga equation ay magbibigay-daan sa iyo upang malaman ang isa sa mga variable x n.

Ang Theorem 5, na binanggit sa teksto, ay nagsasaad na kung ang isa sa mga equation ng system ay papalitan ng katumbas, ang resultang sistema ay magiging katumbas din ng orihinal.

Ang pamamaraang Gauss ay mahirap maunawaan ng mga mag-aaral sa gitnang paaralan, ngunit isa ito sa mga pinakakawili-wiling paraan upang mapaunlad ang katalinuhan ng mga batang nag-aaral sa advanced na programa sa pag-aaral sa mga klase sa matematika at pisika.

Para sa kadalian ng pag-record ng mga kalkulasyon, kaugalian na gawin ang mga sumusunod:

Ang mga equation coefficient at libreng termino ay nakasulat sa anyo ng isang matrix, kung saan ang bawat hilera ng matrix ay tumutugma sa isa sa mga equation ng system. naghihiwalay sa kaliwang bahagi ng equation mula sa kanang bahagi. Ang mga numerong Romano ay tumutukoy sa mga bilang ng mga equation sa sistema.

Una, isinulat nila ang matrix kung saan gagana, pagkatapos ay ang lahat ng mga aksyon na isinasagawa sa isa sa mga hilera. Ang resultang matrix ay isinulat pagkatapos ng "arrow" sign at patuloy na isagawa ang mga kinakailangang algebraic operation hanggang sa makamit ang resulta.

Bilang isang resulta, ang isang matrix ay dapat makuha kung saan ang isa sa mga diagonal ay 1, at ang lahat ng iba pang mga coefficient ay katumbas ng zero, iyon ay, ang matrix ay nabawasan sa isang solong anyo. Hindi natin dapat kalimutang gumawa ng mga kalkulasyon sa mga numero ng magkabilang panig ng equation.

Ang notasyong ito ay hindi gaanong masalimuot at nagbibigay-daan sa iyo na huwag magambala sa pamamagitan ng paglilista ng maraming hindi alam.

Ang libreng aplikasyon ng anumang paraan ng solusyon ay mangangailangan ng pangangalaga at isang tiyak na dami ng karanasan. Hindi lahat ng mga pamamaraan ay inilalapat. Ang ilang mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon ay mas kanais-nais sa isang partikular na lugar ng aktibidad ng tao, habang ang iba ay umiiral para sa layunin ng pag-aaral.

Ang materyal ng artikulong ito ay inilaan para sa unang kakilala sa mga sistema ng mga equation. Dito ipinakilala namin ang kahulugan ng isang sistema ng mga equation at ang mga solusyon nito, at isinasaalang-alang din ang mga pinakakaraniwang uri ng mga sistema ng mga equation. Gaya ng dati, magbibigay kami ng mga paliwanag na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang sistema ng mga equation?

Unti-unti nating lalapitan ang kahulugan ng sistema ng mga equation. Una, sabihin na lang natin na maginhawang ibigay ito, na itinuturo ang dalawang punto: una, ang uri ng talaan, at, pangalawa, ang kahulugang naka-embed sa talaang ito. Isaalang-alang natin ang mga ito, at pagkatapos ay gawing pangkalahatan ang pangangatwiran sa kahulugan ng mga sistema ng mga equation.

Hayaan ang ilan sa kanila sa harap natin. Halimbawa, kunin natin ang dalawang equation 2 x+y=−3 at x=5 . Isinulat namin ang mga ito sa ilalim ng isa at pinagsama ang mga ito sa isang kulot na bracket sa kaliwa:

Ang mga rekord ng ganitong uri, na ilang mga equation na nakaayos sa isang column at pinagsama sa kaliwa na may kulot na bracket, ay mga talaan ng mga sistema ng mga equation.

Ano ang ibig sabihin ng gayong mga tala? Tinukoy nila ang hanay ng lahat ng naturang solusyon ng mga equation ng system, na siyang solusyon ng bawat equation.

Hindi masakit na ilarawan ito sa ibang salita. Ipagpalagay na ang ilang mga solusyon ng unang equation ay mga solusyon ng lahat ng iba pang mga equation ng system. At sa gayon ang talaan ng sistema ay itinalaga din sila.

Ngayon ay handa na kaming sapat na tanggapin ang kahulugan ng isang sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Mga sistema ng equation ay tinatawag na mga tala, na mga equation na matatagpuan sa ibaba ng isa, pinagsama sa kaliwa ng isang kulot na bracket, na tumutukoy sa hanay ng lahat ng mga solusyon ng mga equation na sabay-sabay na mga solusyon sa bawat equation ng system.

Ang isang katulad na kahulugan ay ibinigay sa aklat-aralin, ngunit doon ito ay ibinigay hindi para sa pangkalahatang kaso, ngunit para sa dalawang rational equation na may dalawang variable.

Mga pangunahing uri

Malinaw na mayroong walang katapusang maraming magkakaibang mga equation. Naturally, mayroon ding walang katapusang maraming mga sistema ng mga equation na pinagsama-sama gamit ang mga ito. Samakatuwid, para sa kaginhawaan ng pag-aaral at pagtatrabaho sa mga sistema ng mga equation, makatuwiran na hatiin ang mga ito sa mga grupo ayon sa magkatulad na mga katangian, at pagkatapos ay magpatuloy upang isaalang-alang ang mga sistema ng mga equation ng mga indibidwal na uri.

Ang unang subdivision ay nagmumungkahi ng sarili sa pamamagitan ng bilang ng mga equation na kasama sa system. Kung mayroong dalawang equation, maaari nating sabihin na mayroon tayong sistema ng dalawang equation, kung mayroong tatlo, pagkatapos ay isang sistema ng tatlong equation, atbp. Malinaw na walang saysay na pag-usapan ang isang sistema ng isang equation, dahil sa kasong ito, sa katunayan, ang equation mismo ang ating tinatalakay, at hindi sa system.

Ang susunod na dibisyon ay batay sa bilang ng mga variable na kasangkot sa pagsulat ng mga equation ng system. Kung mayroong isang variable, kung gayon nakikipag-usap tayo sa isang sistema ng mga equation na may isang variable (sinasabi rin nila na may isang hindi alam), kung mayroong dalawa, pagkatapos ay may isang sistema ng mga equation na may dalawang variable (na may dalawang hindi alam), atbp. Halimbawa, ay isang sistema ng mga equation na may dalawang variable na x at y .

Ito ay tumutukoy sa bilang ng lahat ng iba't ibang variable na kasangkot sa talaan. Hindi kailangang isama ang mga ito nang sabay-sabay sa talaan ng bawat equation, sapat na ang mga ito sa kahit isang equation. Halimbawa, ay isang sistema ng mga equation na may tatlong variable na x, y, at z. Sa unang equation, ang variable na x ay tahasang naroroon, habang ang y at z ay implicit (maaari nating ipagpalagay na ang mga variable na ito ay may zero), at sa pangalawang equation, x at z ay naroroon, at ang variable na y ay hindi tahasang kinakatawan. Sa madaling salita, ang unang equation ay maaaring tingnan bilang , at ang pangalawa bilang x+0 y−3 z=0 .

Ang ikatlong punto kung saan naiiba ang mga sistema ng mga equation ay ang anyo ng mga equation mismo.

Sa paaralan, ang pag-aaral ng mga sistema ng mga equation ay nagsisimula sa mga sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang variable. Iyon ay, ang mga naturang sistema ay bumubuo ng dalawang linear na equation. Ito ang ilang mga halimbawa: at . Sa kanila, ang mga pangunahing kaalaman sa pagtatrabaho sa mga sistema ng mga equation ay natutunan.

Kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga problema, maaari ding makatagpo ng mga sistema ng tatlong linear na equation na may tatlong hindi alam.

Dagdag pa sa ika-9 na baitang, ang mga non-linear na equation ay idinagdag sa mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable, para sa karamihan ng buong equation ng pangalawang degree, mas madalas - ng mas mataas na degree. Ang mga sistemang ito ay tinatawag na mga sistema ng nonlinear equation; kung kinakailangan, ang bilang ng mga equation at hindi alam ay tinukoy. Ipakita natin ang mga halimbawa ng gayong mga sistema ng mga nonlinear na equation: at .

At pagkatapos ay sa mga sistema mayroon ding, halimbawa,. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga sistema ng mga equation, nang hindi tinukoy kung aling mga equation. Narito ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na kadalasan ay sinasabi lamang nila ang tungkol sa isang sistema ng mga equation na "isang sistema ng mga equation", at ang mga pagpipino ay idinagdag lamang kung kinakailangan.

Sa mataas na paaralan, habang pinag-aaralan ang materyal, ang hindi makatwiran, trigonometric, logarithmic at exponential equation ay tumagos sa mga system: , , .

Kung titingnan mo pa ang programa ng mga unang kurso ng mga unibersidad, kung gayon ang pangunahing diin ay ang pag-aaral at solusyon ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAE), iyon ay, mga equation, sa kaliwang bahagi nito ay mga polynomial ng unang degree, at sa kanan - ilang mga numero. Ngunit doon, hindi tulad ng paaralan, hindi dalawang linear na equation na may dalawang variable ang nakuha na, ngunit isang arbitrary na bilang ng mga equation na may arbitrary na bilang ng mga variable, kadalasang hindi nagtutugma sa bilang ng mga equation.

Ano ang solusyon ng isang sistema ng mga equation?

Ang terminong "solusyon ng isang sistema ng mga equation" ay direktang tumutukoy sa mga sistema ng mga equation. Ang paaralan ay nagbibigay ng kahulugan ng paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable :

Kahulugan.

Paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable tinatawag ang isang pares ng mga halaga ng mga variable na ito, na ginagawang tama ang bawat equation ng system, sa madaling salita, na siyang solusyon sa bawat equation ng system.

Halimbawa, ang isang pares ng mga variable na halaga x=5 , y=2 (maaari itong isulat bilang (5, 2) ) ay isang solusyon sa isang sistema ng mga equation ayon sa kahulugan, dahil ang mga equation ng system, kapag x= Ang 5 , y=2 ay inihahalili sa mga ito, maging tunay na pagkakapantay-pantay ng numero 5+2=7 at 5−2=3 ayon sa pagkakabanggit. Ngunit ang pares ng mga halaga x=3 , y=0 ay hindi isang solusyon sa sistemang ito, dahil kapag ang mga halagang ito ay pinalitan sa mga equation, ang una sa kanila ay magiging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay 3+0=7 .

Ang mga katulad na kahulugan ay maaaring buuin para sa mga system na may isang variable, gayundin para sa mga system na may tatlo, apat, atbp. mga variable.

Kahulugan.

Paglutas ng isang sistema ng mga equation na may isang variable magkakaroon ng variable na halaga na siyang ugat ng lahat ng equation ng system, iyon ay, na ginagawang tunay na mga equation ang lahat ng equation.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Isaalang-alang ang isang sistema ng mga equation na may isang variable na t ng anyo . Ang numerong −2 ay ang solusyon nito, dahil pareho ang (−2) 2 =4 at 5·(−2+2)=0 ay tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. At ang t=1 ay hindi isang solusyon sa sistema, dahil ang pagpapalit ng halagang ito ay magbibigay ng dalawang maling pagkakapantay-pantay 1 2 =4 at 5·(1+2)=0 .

Kahulugan.

Ang solusyon ng isang sistema na may tatlo, apat, atbp. mga variable tinatawag na triple, quadruple, atbp. mga halaga ng mga variable, ayon sa pagkakabanggit, na nagko-convert ng lahat ng mga equation ng system sa mga tunay na pagkakapantay-pantay.

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, ang triple ng mga halaga ng mga variable x=1 , y=2 , z=0 ay ang solusyon sa system , dahil ang 2 1=2 , 5 2=10 at 1+2+0=3 ay mga tamang pagkakapantay-pantay ng numero. At ang (1, 0, 5) ay hindi isang solusyon sa sistemang ito, dahil kapag ang mga halaga ng mga variable na ito ay pinalitan sa mga equation ng system, ang pangalawa sa kanila ay nagiging isang hindi tamang pagkakapantay-pantay 5 0=10 , at ang pangatlo. ang isa ay 1+0+5=3 .

Tandaan na ang mga sistema ng mga equation ay maaaring walang mga solusyon, maaaring may limitadong bilang ng mga solusyon, halimbawa, isa, dalawa, ..., o maaaring may walang katapusang maraming solusyon. Makikita mo ito habang mas malalim ang iyong pag-aaral sa paksa.

Isinasaalang-alang ang mga kahulugan ng isang sistema ng mga equation at ang kanilang mga solusyon, maaari nating tapusin na ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon ng lahat ng mga equation nito.

Upang tapusin, narito ang ilang nauugnay na kahulugan:

Kahulugan.

hindi magkatugma kung wala itong mga solusyon, kung hindi man ang sistema ay tinatawag magkadugtong.

Kahulugan.

Ang sistema ng mga equation ay tinatawag hindi sigurado kung mayroon itong walang katapusang maraming solusyon, at tiyak, kung ito ay may hangganan na bilang ng mga solusyon, o wala man lang.

Ang mga terminong ito ay ipinakilala, halimbawa, sa isang aklat-aralin, ngunit bihirang ginagamit ang mga ito sa paaralan, mas madalas na maririnig ang mga ito sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Bibliograpiya.

1. Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra. Baitang 9 Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ika-13 ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 11. Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2nd ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Kurso ng mas mataas na algebra.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytic geometry: Teksbuk: Para sa mga unibersidad. – ika-5 ed. – M.: Agham. Fizmatlit, 1999. - 224 p. – (Kurso ng mas mataas na matematika at mathematical physics). – ISBN 5-02-015234 – X (Isyu 3)