Sa modernong lipunan, ang kakayahang gumana sa mga equation na naglalaman ng isang squared variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming lugar ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa siyentipiko at teknikal na mga pag-unlad. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga missile. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga trajectory ng paggalaw ng iba't ibang mga katawan, kabilang ang mga bagay sa kalawakan, ay natutukoy. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga parisukat na equation ay ginagamit hindi lamang sa pang-ekonomiyang pagtataya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na mga pangyayari. Maaaring kailanganin ang mga ito sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapang pampalakasan, sa mga tindahan kapag namimili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.
Hatiin natin ang expression sa mga component factor
Ang antas ng isang equation ay tinutukoy ng pinakamataas na halaga ng antas ng variable na nilalaman ng ibinigay na expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na quadratic equation.
Kung nagsasalita tayo sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga ekspresyong ito, anuman ang hitsura ng mga ito, ay maaaring palaging dalhin sa anyo kapag ang kaliwang bahagi ng expression ay binubuo ng tatlong termino. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na squared kasama ang coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang square na may coefficient nito) at c (libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito ay katumbas ng 0 sa kanang bahagi. Sa kaso kapag ang naturang polynomial ay walang isa sa mga terminong bumubuo nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon sa mga naturang problema, kung saan ang halaga ng mga variable ay hindi mahirap hanapin, ay dapat isaalang-alang muna.
Kung ang expression ay mukhang mayroon itong dalawang termino sa kanang bahagi ng expression, mas tiyak na ax 2 at bx, ito ay pinakamadaling mahanap ang x sa pamamagitan ng bracketing ng variable. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x(ax+b). Dagdag pa, nagiging malinaw na ang alinman sa x=0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng variable mula sa sumusunod na expression: ax+b=0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng multiplikasyon. Sinasabi ng panuntunan na ang produkto ng dalawang salik ay nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay zero.
Halimbawa
x=0 o 8x - 3 = 0
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng equation: 0 at 0.375.
Maaaring ilarawan ng mga equation ng ganitong uri ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na punto, na kinuha bilang pinagmulan. Narito ang mathematical notation ay kumukuha ng sumusunod na anyo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, pag-equate sa kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, malalaman mo ang oras na lumipas mula sa sandaling tumaas ang katawan hanggang sa sandaling bumagsak ito, pati na rin ang maraming iba pang dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.
Pagsasaliksik ng isang Ekspresyon
Ginagawang posible ng panuntunang inilarawan sa itaas na malutas ang mga problemang ito sa mas kumplikadong mga kaso. Isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation ng ganitong uri.
X2 - 33x + 200 = 0
Kumpleto na ang square trinomial na ito. Una, binabago namin ang expression at nabubulok ito sa mga kadahilanan. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) = 0. Bilang resulta, mayroon tayong dalawang ugat 8 at 25.
Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation sa grade 9 ay nagbibigay-daan sa paraang ito na makahanap ng variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ng ikatlo at ikaapat na order.
Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kapag isinasali ang kanang bahagi sa mga salik na may variable, mayroong tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).
Bilang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong ugat: -3; -isa; 3.
I-extract ang square root
Ang isa pang kaso ng hindi kumpletong second-order equation ay isang expression na nakasulat sa wika ng mga titik sa paraang ang kanang bahagi ay binuo mula sa mga bahaging ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inilipat sa kanang bahagi, at pagkatapos nito, ang square root ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito ay karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang tanging mga pagbubukod ay ang mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng terminong c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumabas na negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring isagawa gamit ang mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.
Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -4 at 4.
Pagkalkula ng lugar ng lupa
Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw noong sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa mga malalayong panahon ay higit sa lahat dahil sa pangangailangan na matukoy ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa na may pinakamalaking katumpakan.
Dapat din nating isaalang-alang ang mga halimbawa na may solusyon ng mga quadratic equation na pinagsama-sama sa batayan ng mga problema ng ganitong uri.
Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na piraso ng lupa, na ang haba nito ay 16 metro na higit sa lapad. Dapat mong mahanap ang haba, lapad at perimeter ng site, kung alam na ang lugar nito ay 612 m 2.
Pagbaba sa negosyo, sa una ay gagawin natin ang kinakailangang equation. Tukuyin natin ang lapad ng seksyon bilang x, kung gayon ang haba nito ay magiging (x + 16). Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang nakasulat na ang lugar ay tinutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.
Ang solusyon ng kumpletong quadratic equation, at ang expression na ito ay ganoon lang, ay hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagaman ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang produkto ng mga ito ay hindi katumbas ng 0 sa lahat, kaya iba pang mga pamamaraan ang ginagamit dito.
diskriminasyon
Una sa lahat, gagawin namin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon ang hitsura ng expression na ito ay magiging ganito: x 2 + 16x - 612 = 0. Nangangahulugan ito na nakatanggap kami ng isang expression sa form na naaayon sa naunang tinukoy na pamantayan, kung saan a=1, b=16, c= -612.
Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant. Narito ang mga kinakailangang kalkulasyon ay ginawa ayon sa scheme: D = b 2 - 4ac. Ang auxiliary value na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang mahanap ang mga nais na halaga sa second-order equation, tinutukoy nito ang bilang ng mga posibleng opsyon. Kung sakaling D>0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D=0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Tungkol sa mga ugat at ang kanilang formula
Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4(-612) = 2704. Ito ay nagpapahiwatig na ang aming problema ay may sagot. Kung alam mo, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.
Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 =18, x 2 =-34. Ang pangalawang opsyon sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang laki ng land plot ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, na nangangahulugang ang x (iyon ay, ang lapad ng plot) ay 18 m. Mula dito kinakalkula namin ang haba: 18+16=34, at ang perimeter 2(34+ 18) = 104 (m 2).
Mga halimbawa at gawain
Ipinagpapatuloy namin ang pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng pagbabago, iyon ay, nakukuha natin ang anyo ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at itinutumbas ito sa zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Ang pagkakaroon ng pagdaragdag ng mga katulad, tinutukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula namin ang mga ito ayon sa formula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging katumbas ng 4/3, at ang pangalawang 1.
2) Ngayon ay magbubunyag tayo ng mga bugtong ng ibang uri.
Alamin natin kung may mga ugat x 2 - 4x + 5 = 1 dito sa lahat? Upang makakuha ng kumpletong sagot, dinadala namin ang polynomial sa kaukulang pamilyar na anyo at kalkulahin ang discriminant. Sa halimbawang ito, hindi kinakailangan upang malutas ang quadratic equation, dahil ang kakanyahan ng problema ay wala sa lahat dito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ito ay maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng mga formula sa itaas at ang discriminant, kapag ang square root ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation gamit ang theorem ni Vieta. Ipinangalan ito sa isang lalaking nanirahan sa ika-16 na siglo ng France at nagkaroon ng napakatalino na karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.
Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p=b/a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q=c/a.
Ngayon tingnan natin ang mga partikular na gawain.
3x2 + 21x - 54 = 0
Para sa pagiging simple, baguhin natin ang expression:
x 2 + 7x - 18 = 0
Gamit ang Vieta theorem, ito ay magbibigay sa atin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakuha namin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Sa paggawa ng isang tseke, titiyakin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang magkasya sa expression.
Graph at Equation ng isang Parabola
Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na dati. Ngayon tingnan natin ang ilang mathematical puzzle nang mas detalyado. Ang anumang equation ng inilarawan na uri ay maaaring maipakita nang biswal. Ang gayong pag-asa, na iginuhit sa anyo ng isang graph, ay tinatawag na isang parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Ang anumang parabola ay may vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung a>0, mataas ang mga ito hanggang sa infinity, at kapag a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Ang mga visual na representasyon ng mga function ay nakakatulong upang malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphic. At ang halaga ng x variable ay ang abscissa coordinate sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay nagsalubong sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na ibinigay lamang x 0 = -b / 2a. At, pinapalitan ang nagresultang halaga sa orihinal na equation ng function, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng parabola vertex na kabilang sa y-axis.
Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may abscissa axis
Mayroong maraming mga halimbawa sa solusyon ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin sila. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa a>0 ay posible lamang kung ang y 0 ay kumukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Mula sa graph ng isang parabola, maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Ang baligtad ay totoo rin. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng visual na representasyon ng isang quadratic function, maaari mong itumbas ang kanang bahagi ng expression sa 0 at lutasin ang resultang equation. At alam ang mga punto ng intersection sa 0x axis, mas madaling mag-plot.
Mula sa kasaysayan
Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang squared variable, sa mga lumang araw, hindi lamang ang mga kalkulasyon ng matematika at tinukoy ang lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa magagandang pagtuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, gayundin sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.
Gaya ng iminumungkahi ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babylon ay kabilang sa mga unang nakalutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang pagdating ng ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinatanggap at naging mas primitive. Halimbawa, ang mga matematikong Mesopotamia ay walang ideya tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties ng mga kilala ng sinumang mag-aaral sa ating panahon.
Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babylon, kinuha ng pantas mula sa India, Baudhayama, ang solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Kristo. Totoo, ang mga pangalawang-order na equation, ang mga pamamaraan para sa paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga Chinese mathematician ay interesado rin sa mga katulad na tanong noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit kalaunan ay ginamit sila sa kanilang gawain ng mga dakilang siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba.
Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa palakasan. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Pinapayagan ka ng discriminant na lutasin ang anumang mga quadratic equation gamit ang pangkalahatang formula, na mayroong sumusunod na anyo:
Ang discriminant formula ay depende sa antas ng polynomial. Ang formula sa itaas ay angkop para sa paglutas ng mga quadratic equation ng sumusunod na anyo:
Ang discriminant ay may mga sumusunod na katangian na kailangan mong malaman:
* Ang "D" ay 0 kapag ang polynomial ay maraming ugat (pantay na ugat);
* Ang "D" ay isang simetriko polynomial na may paggalang sa mga ugat ng polynomial at samakatuwid ay isang polynomial sa mga coefficient nito; bukod dito, ang mga coefficient ng polynomial na ito ay mga integer, anuman ang extension kung saan kinuha ang mga ugat.
Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang quadratic equation ng sumusunod na anyo:
1 equation
Ayon sa formula na mayroon tayo:
Dahil \, ang equation ay may 2 ugat. Tukuyin natin ang mga ito:
Saan ko malulutas ang equation sa pamamagitan ng discriminant online solver?
Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mo silang tanungin sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.
Halimbawa, para sa trinomial na \(3x^2+2x-7\), ang discriminant ay magiging \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). At para sa trinomial na \(x^2-5x+11\), ito ay magiging katumbas ng \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Ang discriminant ay tinutukoy ng letrang \(D\) at kadalasang ginagamit sa paglutas. Gayundin, sa pamamagitan ng halaga ng discriminant, mauunawaan mo kung ano ang hitsura ng graph (tingnan sa ibaba).
Mga ugat ng discriminant at equation
Ipinapakita ng value ng discriminant ang halaga ng quadratic equation:
- kung ang \(D\) ay positibo, ang equation ay magkakaroon ng dalawang ugat;
- kung ang \(D\) ay katumbas ng zero - isang ugat lamang;
- kung ang \(D\) ay negatibo, walang mga ugat.
Hindi kinakailangan na matutunan ito, madaling makarating sa gayong konklusyon, alam lamang na mula sa discriminant (iyon ay, \(\sqrt(D)\) ay kasama sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat ng equation: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Tingnan natin ang bawat kaso nang mas detalyado .
Kung positibo ang discriminant
Sa kasong ito, ang ugat nito ay ilang positibong numero, na nangangahulugang ang \(x_(1)\) at \(x_(2)\) ay magkakaiba sa halaga, dahil sa unang formula \(\sqrt(D) \) ay idinagdag , at sa pangalawa - ay ibinabawas. At mayroon tayong dalawang magkaibang ugat.
Halimbawa
: Hanapin ang mga ugat ng equation \(x^2+2x-3=0\)
Desisyon
:
Sagot : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Kung zero ang discriminant
At gaano karaming mga ugat ang magkakaroon kung ang discriminant ay zero? Mangatwiran tayo.
Ang mga root formula ay ganito: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . At kung zero ang discriminant, zero din ang ugat nito. Pagkatapos ito ay lumabas:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Iyon ay, ang mga halaga ng mga ugat ng equation ay magiging pareho, dahil ang pagdaragdag o pagbabawas ng zero ay hindi nagbabago ng anuman.
Halimbawa
: Hanapin ang mga ugat ng equation \(x^2-4x+4=0\)
Desisyon
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Isinulat namin ang mga coefficient: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Paghahanap ng mga ugat ng equation |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Mayroon kaming dalawang magkatulad na ugat, kaya walang saysay na isulat ang mga ito nang hiwalay - isinulat namin ang mga ito bilang isa. |
Sagot : \(x=2\)
Sa math program na ito magagawa mo lutasin ang quadratic equation.
Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon sa dalawang paraan:
- gamit ang discriminant
- gamit ang Vieta theorem (kung maaari).
Bukod dito, ang sagot ay ipinapakita nang eksakto, hindi tinatayang.
Halimbawa, para sa equation na \(81x^2-16x-1=0\), ang sagot ay ipinapakita sa form na ito:
Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng square polynomial, inirerekomenda namin na pamilyar ka sa mga ito.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng square polynomial
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atbp.
Maaaring ilagay ang mga numero bilang mga integer o fraction.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi mula sa integer ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang maglagay ng mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang integer na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng mga bracket. Sa kasong ito, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, ang ipinakilalang expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Magpasya
Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat paganahin ang JavaScript para lumabas ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Quadratic equation at mga ugat nito. Hindi kumpletong quadratic equation
Ang bawat isa sa mga equation
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
may porma
\(ax^2+bx+c=0, \)
kung saan ang x ay isang variable, ang a, b at c ay mga numero.
Sa unang equation a = -1, b = 6 at c = 1.4, sa pangalawa a = 8, b = -7 at c = 0, sa pangatlo a = 1, b = 0 at c = 4/9. Ang ganitong mga equation ay tinatawag quadratic equation.
Kahulugan.
quadratic equation tinatawag ang isang equation ng anyong ax 2 +bx+c=0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ay ilang numero, at \(a \neq 0 \).
Ang mga numerong a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation. Ang numerong a ay tinatawag na unang koepisyent, ang bilang b ay ang pangalawang koepisyent at ang bilang c ay ang intercept.
Sa bawat isa sa mga equation ng form na ax 2 +bx+c=0, kung saan ang \(a \neq 0 \), ang pinakamalaking kapangyarihan ng variable x ay isang parisukat. Kaya ang pangalan: quadratic equation.
Tandaan na ang isang quadratic equation ay tinatawag ding equation ng pangalawang degree, dahil ang kaliwang bahagi nito ay polynomial ng pangalawang degree.
Ang isang quadratic equation kung saan ang coefficient sa x 2 ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Halimbawa, ang ibinigay na quadratic equation ay ang mga equation
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Kung sa quadratic equation ax 2 +bx+c=0 hindi bababa sa isa sa mga coefficients b o c ay katumbas ng zero, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Kaya, ang mga equation -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation. Sa una sa kanila b=0, sa pangalawa c=0, sa pangatlo b=0 at c=0.
Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay may tatlong uri:
1) ax 2 +c=0, kung saan \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kung saan \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Isaalang-alang ang solusyon ng mga equation ng bawat isa sa mga uri na ito.
Upang malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +c=0 para sa \(c \neq 0 \), ang libreng termino nito ay inililipat sa kanang bahagi at ang parehong bahagi ng equation ay hinati ng a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Dahil \(c \neq 0 \), pagkatapos \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Kung \(-\frac(c)(a)>0 \), kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.
Kung \(-\frac(c)(a) Upang lutasin ang isang hindi kumpletong parisukat na equation ng anyong ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) i-factor ang kaliwang bahagi nito at makuha ang equation
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Samakatuwid, ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 +bx=0 para sa \(b \neq 0 \) ay palaging may dalawang ugat.
Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0 at samakatuwid ay may isang solong ugat 0.
Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation
Isaalang-alang natin ngayon kung paano nalulutas ang mga quadratic equation kung saan ang parehong coefficient ng mga hindi alam at ang libreng termino ay nonzero.
Nilulutas namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo at bilang isang resulta nakuha namin ang formula ng mga ugat. Pagkatapos ang formula na ito ay maaaring ilapat upang malutas ang anumang quadratic equation.
Lutasin ang quadratic equation ax 2 +bx+c=0
Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa pamamagitan ng a, makuha natin ang katumbas na pinababang quadratic equation
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng pag-highlight sa parisukat ng binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Ang salitang ugat ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation ax 2 +bx+c=0 (“discriminant” sa Latin - distinguisher). Ito ay tinutukoy ng titik D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)
Ngayon, gamit ang notasyon ng discriminant, muling isusulat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kung saan \(D= b^2-4ac \)
Ito ay malinaw na:
1) Kung D>0, kung gayon ang quadratic equation ay may dalawang ugat.
2) Kung D=0, kung gayon ang quadratic equation ay may isang ugat \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kung D Kaya, depende sa halaga ng discriminant, ang quadratic equation ay maaaring magkaroon ng dalawang ugat (para sa D > 0), isang ugat (para sa D = 0) o walang ugat (para sa D Kapag nag-solve ng quadratic equation gamit ang formula na ito. , ipinapayong gawin ang sumusunod na paraan:
1) kalkulahin ang discriminant at ihambing ito sa zero;
2) kung ang discriminant ay positibo o katumbas ng zero, pagkatapos ay gamitin ang root formula, kung ang discriminant ay negatibo, pagkatapos ay isulat na walang mga ugat.
Ang teorama ni Vieta
Ang ibinigay na quadratic equation ax 2 -7x+10=0 ay may mga ugat 2 at 5. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10. Nakikita namin na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Anumang pinababang quadratic equation na may mga ugat ay may ganitong katangian.
Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.
Yung. Ang theorem ni Vieta ay nagsasaad na ang mga ugat x 1 at x 2 ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay may katangian:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Quadratic equation - madaling lutasin! *Dagdag sa tekstong "KU". Mga kaibigan, tila sa matematika ay mas madali ito kaysa sa paglutas ng gayong equation. Pero may nagsabi sa akin na maraming tao ang may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming mga impression ang ibinibigay ng Yandex bawat kahilingan bawat buwan. Narito ang nangyari, tingnan mo:
Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na humigit-kumulang 70,000 katao sa isang buwan ang naghahanap ng impormasyong ito, at ito ay tag-araw, at kung ano ang mangyayari sa taon ng pag-aaral - magkakaroon ng dalawang beses na mas maraming mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga lalaki at babae na matagal nang nagtapos sa paaralan at naghahanda para sa pagsusulit ay naghahanap ng impormasyong ito, at sinusubukan din ng mga mag-aaral na i-refresh ang kanilang memorya.
Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagsasabi kung paano lutasin ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag din at mag-publish ng materyal. Una, gusto kong pumunta ang mga bisita sa aking site sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, kapag lumabas ang talumpating "KU", magbibigay ako ng link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang kaunti pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo! Ang nilalaman ng artikulo:
Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyo:
kung saan ang mga coefficient a,bat may mga arbitrary na numero, na may a≠0.
Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na anyo - ang paghahati ng mga equation sa tatlong klase ay may kondisyong ginagawa:
1. Magkaroon ng dalawang ugat.
2. * Magkaroon lamang ng isang ugat.
3. Walang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga na tandaan dito na wala silang tunay na mga ugat
Paano kinakalkula ang mga ugat? Basta!
Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng "kakila-kilabot" na salitang ito ay may napakasimpleng formula:
Ang root formula ay ang mga sumusunod:
*Ang mga formula na ito ay dapat na kilala sa puso.
Maaari mong agad na isulat at lutasin ang:
Halimbawa:
1. Kung D > 0, ang equation ay may dalawang ugat.
2. Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.
3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Tingnan natin ang equation:
Sa pagkakataong ito, kapag ang discriminant ay zero, ang kurso sa paaralan ay nagsasabi na ang isang ugat ay nakuha, dito ito ay katumbas ng siyam. Tama nga, pero...
Ang representasyong ito ay medyo hindi tama. Sa katunayan, mayroong dalawang ugat. Oo, oo, huwag magulat, lumalabas ang dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, kung gayon ang dalawang ugat ay dapat na nakasulat sa sagot:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ngunit ito ay kaya - isang maliit na digression. Sa paaralan, maaari mong isulat at sabihin na mayroon lamang isang ugat.
Ngayon ang sumusunod na halimbawa:
Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha, kaya walang solusyon sa kasong ito.
Iyan ang buong proseso ng desisyon.
Quadratic function.
Narito ang hitsura ng solusyon sa geometriko. Napakahalagang maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo, susuriin namin nang detalyado ang solusyon ng isang quadratic inequality).
Ito ay isang function ng form:
kung saan ang x at y ay mga variable
Ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero, kung saan ang a ≠ 0
Ang graph ay isang parabola:
Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nahanap natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may x-axis. Maaaring may dalawa sa mga puntong ito (positibo ang discriminant), isa (zero ang discriminant) o wala (negatibo ang discriminant). Higit pa tungkol sa quadratic function Maaari mong tingnan artikulo ni Inna Feldman.
Isaalang-alang ang mga halimbawa:
Halimbawa 1: Magpasya 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Sagot: x 1 = 8 x 2 = -12
* Maaari mong agad na hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng 2, ibig sabihin, pasimplehin ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.
Halimbawa 2: Magpasya x2–22 x+121 = 0
a=1 b=-22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Nakuha namin iyon x 1 \u003d 11 at x 2 \u003d 11
Sa sagot, pinahihintulutang isulat ang x = 11.
Sagot: x = 11
Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Ang discriminant ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.
Sagot: walang solusyon
Ang discriminant ay negatibo. May solusyon!
Dito ay pag-uusapan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag nakakuha ng negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ko na idedetalye dito kung bakit at saan sila bumangon at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan sa matematika, ito ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.
Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.
Medyo teorya.
Ang complex number z ay isang numero ng form
z = a + bi
kung saan ang a at b ay tunay na mga numero, ang i ay ang tinatawag na imaginary unit.
a+bi ay isang SINGLE NUMBER, hindi isang karagdagan.
Ang haka-haka na yunit ay katumbas ng ugat ng minus one:
Ngayon isaalang-alang ang equation:
Kumuha ng dalawang conjugate roots.
Hindi kumpletong quadratic equation.
Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang anumang diskriminasyon.
Case 1. Coefficient b = 0.
Ang equation ay tumatagal sa anyo:
Ibahin natin:
Halimbawa:
4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Case 2. Coefficient c = 0.
Ang equation ay tumatagal sa anyo:
Ibahin ang anyo, i-factorize:
*Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero.
Halimbawa:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Case 3. Coefficients b = 0 at c = 0.
Dito ay malinaw na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x = 0.
Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficient.
May mga katangian na nagpapahintulot sa paglutas ng mga equation na may malalaking coefficient.
ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay
a + b+ c = 0, pagkatapos
- kung para sa mga coefficient ng equation ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay
a+ na may =b, pagkatapos
Ang mga katangiang ito ay tumutulong sa paglutas ng isang partikular na uri ng equation.
Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Ang kabuuan ng mga coefficient ay 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kaya
Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Pagkakapantay-pantay a+ na may =b, ibig sabihin
Regularidad ng mga coefficient.
1. Kung sa equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay katumbas ng bilang ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay
ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 +37x+6 = 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Kung sa equation ax 2 - bx + c \u003d 0, ang koepisyent na "b" ay (a 2 +1), at ang koepisyent na "c" ay numerong katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay
ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Kung sa equation ax 2 + bx - c = 0 coefficient "b" katumbas ng (a 2 – 1), at ang koepisyent na “c” numerong katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay
ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Kung sa equation ax 2 - bx - c \u003d 0, ang coefficient "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang coefficient c ay numerically katumbas ng coefficient "a", kung gayon ang mga ugat nito ay
ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x2 - 99x -10 = 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Ang teorama ni Vieta.
Ang theorem ni Vieta ay pinangalanan sa sikat na French mathematician na si Francois Vieta. Gamit ang teorama ni Vieta, maaaring ipahayag ng isa ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang arbitrary na KU sa mga tuntunin ng mga coefficient nito.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorama, maaari mong malutas kaagad ang maraming mga parisukat na equation nang pasalita.
Ang teorama ni Vieta, bukod dito. maginhawa dahil pagkatapos malutas ang quadratic equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng discriminant), maaaring suriin ang mga resultang ugat. Inirerekomenda kong gawin ito sa lahat ng oras.
PARAAN NG PAGLIPAT
Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "inilipat" dito, kaya naman tinawag itong paraan ng paglipat. Ang paraang ito ay ginagamit kapag madaling mahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang Vieta's theorem at, higit sa lahat, kapag ang discriminant ay isang eksaktong parisukat.
Kung ang a± b+c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang pamamaraan ng paglipat, halimbawa:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Ayon sa Vieta theorem sa equation (2), madaling matukoy na x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Ang nakuha na mga ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.
Ano ang katwiran? Tingnan kung ano ang nangyayari.
Ang mga diskriminasyon ng mga equation (1) at (2) ay:
Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, magkakaibang denominator lamang ang nakuha, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent sa x 2:
Ang pangalawang (binagong) ugat ay 2 beses na mas malaki.
Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.
*Kung i-roll namin ang tatlo sa isang uri, pagkatapos ay hatiin namin ang resulta sa 3, at iba pa.
Sagot: x 1 = 5 x 2 = 0.5
sq. ur-ie at ang pagsusulit.
Sasabihin ko nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAGPASIYA nang mabilis at nang hindi nag-iisip, kailangan mong malaman ang mga pormula ng mga ugat at ang discriminant sa pamamagitan ng puso. Marami sa mga gawain na bahagi ng mga gawain sa USE ay bumaba sa paglutas ng isang quadratic equation (kabilang ang mga geometric).
Ano ang dapat tandaan!
1. Ang anyo ng equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:
15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.
Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito kapag nag-solve).
2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang halaga at maaari itong tukuyin ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.
