Ang lahat ng mga equation ng eroplano na tinalakay sa mga sumusunod na talata ay maaaring makuha mula sa pangkalahatang equation ng eroplano, at nabawasan din sa pangkalahatang equation ng eroplano. Kaya, kapag ang isa ay nagsasalita ng equation ng isang eroplano, ang isa ay nangangahulugan ng pangkalahatang equation ng isang eroplano, maliban kung iba ang sinabi.

Equation ng isang eroplano sa mga segment.

Tingnan ang equation ng eroplano , kung saan ang a , b at c ay non-zero real number, ay tinatawag equation ng eroplano sa mga segment.

Ang pangalang ito ay hindi sinasadya. Ang mga ganap na halaga ng mga numerong a, b at c ay katumbas ng mga haba ng mga segment na pinuputol ng eroplano sa coordinate axes na Ox, Oy at Oz, ayon sa pagkakabanggit, na binibilang mula sa pinanggalingan. Ang tanda ng mga numerong a, b at c ay nagpapakita kung saang direksyon (positibo o negatibo) ang mga segment sa mga coordinate axes ay dapat i-plot.

Halimbawa, gumawa tayo ng eroplano sa rectangular coordinate system na Oxyz, na tinukoy ng equation ng eroplano sa mga segment. . Upang gawin ito, markahan ang isang punto na 5 units ang layo mula sa pinanggalingan sa negatibong direksyon ng abscissa axis, 4 unit sa negatibong direksyon ng y-axis, at 4 na unit sa positibong direksyon ng applicate axis. Ito ay nananatiling ikonekta ang mga puntong ito sa mga tuwid na linya. Ang eroplano ng nagresultang tatsulok ay ang eroplano na tumutugma sa equation ng eroplano sa mga segment ng form .

Para sa karagdagang impormasyon, sumangguni sa artikulong equation ng eroplano sa mga segment, ipinapakita nito ang pagbawas ng equation ng eroplano sa mga segment sa pangkalahatang equation ng eroplano, at makakahanap ka rin ng mga detalyadong solusyon sa karaniwang mga halimbawa at problema.

Normal na equation ng eroplano.

Ang pangkalahatang view plane equation ay tinatawag normal na equation ng eroplano, kung ay katumbas ng isa, ibig sabihin, , at .

Madalas mong makikita na ang normal na equation ng eroplano ay nakasulat bilang . Narito, ang mga direksyon cosine ng normal na vector ng isang naibigay na eroplano ng haba ng yunit, iyon ay, at ang p ay isang di-negatibong numero na katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano.

Ang normal na equation ng isang eroplano sa rectangular coordinate system na Oxyz ay tumutukoy sa isang eroplano na nasa layo p mula sa pinanggalingan sa positibong direksyon ng normal na vector ng eroplanong ito . Kung p=0 , ang eroplano ay dadaan sa pinanggalingan.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang normal na equation ng eroplano.

Hayaang maibigay ang eroplano sa isang hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz sa pamamagitan ng pangkalahatang equation ng eroplano ng form . Ang pangkalahatang equation na ito ng eroplano ay ang normal na equation ng eroplano. Sa katunayan, at ang normal na vector ng eroplanong ito ay may haba na katumbas ng isa, dahil .

Ang equation ng eroplano sa normal nitong anyo ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Inirerekomenda namin na harapin mo ang ganitong uri ng equation ng eroplano nang mas detalyado, tingnan ang mga detalyadong solusyon sa mga tipikal na halimbawa at problema, at matutunan din kung paano dalhin ang pangkalahatang equation ng eroplano sa normal na anyo. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng pagsangguni sa artikulo.

Bibliograpiya.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometry. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng mataas na paaralan.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mas Mataas na Matematika. Unang Volume: Mga Elemento ng Linear Algebra at Analytic Geometry.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytic geometry.

Ang mga kanonikal na equation ng isang tuwid na linya sa espasyo ay mga equation na tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto nang collinearly sa isang vector ng direksyon.

Hayaang magbigay ng isang punto at isang vector ng direksyon. Ang isang arbitrary na punto ay namamalagi sa isang linya l lamang kung ang mga vector at ay collinear, ibig sabihin, natutugunan nila ang kundisyon:

.

Ang mga equation sa itaas ay ang mga canonical equation ng linya.

Numero m , n at p ay mga projection ng vector ng direksyon papunta sa mga coordinate axes. Dahil ang vector ay hindi zero, kung gayon ang lahat ng mga numero m , n at p hindi maaaring maging zero sa parehong oras. Ngunit ang isa o dalawa sa mga ito ay maaaring zero. Sa analytical geometry, halimbawa, pinapayagan ang sumusunod na notasyon:

,

na nangangahulugan na ang mga projection ng vector sa mga axes Oy at Oz ay katumbas ng zero. Samakatuwid, pareho ang vector at ang tuwid na linya na ibinigay ng mga canonical equation ay patayo sa mga axes Oy at Oz, ibig sabihin, mga eroplano yOz .

Halimbawa 1 Bumuo ng mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na patayo sa isang eroplano at dumadaan sa punto ng intersection ng eroplanong ito sa axis Oz .

Desisyon. Hanapin ang punto ng intersection ng ibinigay na eroplano na may axis Oz. Dahil sa anumang punto sa axis Oz, ay may mga coordinate , kung gayon, ipagpalagay sa ibinigay na equation ng eroplano x=y= 0, nakakakuha tayo ng 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Samakatuwid, ang punto ng intersection ng ibinigay na eroplano na may axis Oz ay may mga coordinate (0; 0; 2). Dahil ang nais na linya ay patayo sa eroplano, ito ay parallel sa normal na vector nito. Samakatuwid, ang normal na vector ay maaaring magsilbi bilang ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya binigay na eroplano.

Ngayon isinusulat namin ang nais na mga equation ng tuwid na linya na dumadaan sa punto A= (0; 0; 2) sa direksyon ng vector :

Mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos

Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng dalawang puntos na nakahiga dito at Sa kasong ito, ang nagdidirekta na vector ng tuwid na linya ay maaaring ang vector . Pagkatapos ang mga canonical equation ng linya ay kunin ang form

.

Ang mga equation sa itaas ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto.

Halimbawa 2 Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo na dumadaan sa mga puntos at .

Desisyon. Isinulat namin ang nais na mga equation ng tuwid na linya sa form na ibinigay sa itaas sa teoretikal na sanggunian:

.

Dahil , pagkatapos ay ang nais na linya ay patayo sa axis Oy .

Tuwid bilang isang linya ng intersection ng mga eroplano

Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring tukuyin bilang isang linya ng intersection ng dalawang di-parallel na eroplano at, ibig sabihin, bilang isang set ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa isang sistema ng dalawang linear equation

Ang mga equation ng system ay tinatawag ding pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Halimbawa 3 Bumuo ng mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa puwang na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

Desisyon. Upang isulat ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya o, kung ano ang pareho, ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto, kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng anumang dalawang puntos sa tuwid na linya. Maaari silang maging mga punto ng intersection ng isang tuwid na linya na may anumang dalawang coordinate planes, halimbawa yOz at xOz .

Punto ng intersection ng isang linya na may eroplano yOz may abscissa x= 0 . Samakatuwid, ipagpalagay sa sistemang ito ng mga equation x= 0 , nakakakuha tayo ng system na may dalawang variable:

Ang kanyang desisyon y = 2 , z= 6 kasama ang x= 0 ay tumutukoy sa isang punto A(0; 2; 6) ng gustong linya. Ipagpalagay na sa ibinigay na sistema ng mga equation y= 0 , nakukuha namin ang system

Ang kanyang desisyon x = -2 , z= 0 kasama ng y= 0 ay tumutukoy sa isang punto B(-2; 0; 0) intersection ng isang linya na may eroplano xOz .

Ngayon isinusulat namin ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos A(0; 2; 6) at B (-2; 0; 0) :

,

o pagkatapos hatiin ang mga denominador sa -2:

,

Sa araling ito, titingnan natin kung paano gamitin ang determinant sa pagbuo equation ng eroplano. Kung hindi mo alam kung ano ang determinant, pumunta sa unang bahagi ng aralin - " Matrices at determinants». Kung hindi, nanganganib na hindi mo maintindihan ang anumang bagay sa materyal ngayon.

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos

Bakit kailangan natin ang equation ng eroplano? Ito ay simple: alam ito, maaari naming madaling kalkulahin ang mga anggulo, distansya at iba pang crap sa problema C2. Sa pangkalahatan, ang equation na ito ay kailangang-kailangan. Samakatuwid, binubuo namin ang problema:

Gawain. Mayroong tatlong mga punto sa espasyo na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Ang kanilang mga coordinate:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Kinakailangang isulat ang equation ng eroplanong dumadaan sa tatlong puntong ito. At ang equation ay dapat magmukhang:

Ax + By + Cz + D = 0

kung saan ang mga numerong A , B , C at D ay ang mga coefficient na, sa katunayan, gusto mong hanapin.

Well, kung paano makuha ang equation ng eroplano, kung ang mga coordinate lamang ng mga punto ay kilala? Ang pinakamadaling paraan ay ang palitan ang mga coordinate sa equation na Ax + By + Cz + D = 0. Makakakuha ka ng isang sistema ng tatlong equation na madaling malutas.

Maraming mga mag-aaral ang nakakakita ng solusyong ito na lubhang nakakapagod at hindi mapagkakatiwalaan. Ang pagsusulit noong nakaraang taon sa matematika ay nagpakita na ang posibilidad na makagawa ng isang computational error ay talagang mataas.

Samakatuwid, ang pinaka-advanced na mga guro ay nagsimulang maghanap ng mas simple at mas eleganteng mga solusyon. At nahanap nila ito! Totoo, ang teknik na nakuha ay mas malamang na nauugnay sa mas mataas na matematika. Sa personal, kinailangan kong halungkatin ang buong listahan ng Pederal na mga aklat-aralin upang matiyak na may karapatan kaming gamitin ang pamamaraang ito nang walang anumang katwiran at ebidensya.

Equation ng eroplano sa pamamagitan ng determinant

Enough ranting, let's get down to business. Upang magsimula sa, isang theorem kung paano nauugnay ang matrix determinant at ang equation ng eroplano.

Teorama. Hayaang ibigay ang mga coordinate ng tatlong punto kung saan dapat iguhit ang eroplano: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Pagkatapos ang equation ng eroplanong ito ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng determinant:

Halimbawa, subukan nating maghanap ng isang pares ng mga eroplano na aktwal na nangyayari sa mga problema sa C2. Tingnan kung gaano kabilis ang lahat ng bagay:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Binubuo namin ang determinant at itinutumbas ito sa zero:

Pagbubukas ng determinant:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Tulad ng nakikita mo, kapag kinakalkula ang numero d, binago ko ng kaunti ang equation upang ang mga variable na x, y, at z ay nasa tamang pagkakasunod-sunod. Iyon lang! Ang equation ng eroplano ay handa na!

Gawain. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa mga puntos:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Kaagad na palitan ang mga coordinate ng mga puntos sa determinant:

Pagpapalawak muli ng determinant:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Kaya, ang equation ng eroplano ay nakuha muli! Muli, sa huling hakbang, kinailangan kong baguhin ang mga senyales dito upang makakuha ng mas "maganda" na formula. Hindi kinakailangang gawin ito sa solusyon na ito, ngunit inirerekomenda pa rin ito - upang gawing simple ang karagdagang solusyon ng problema.

Tulad ng nakikita mo, mas madali na ngayong isulat ang equation ng eroplano. Pinapalitan namin ang mga puntos sa matrix, kalkulahin ang determinant - at iyon lang, handa na ang equation.

Maaaring ito na ang katapusan ng aralin. Gayunpaman, maraming mga mag-aaral ang patuloy na nakakalimutan kung ano ang nasa loob ng determinant. Halimbawa, aling linya ang naglalaman ng x 2 o x 3 , at aling linya lang x . Upang tuluyang harapin ito, subaybayan natin kung saan nagmula ang bawat numero.

Saan nagmula ang formula na may determinant?

Kaya, alamin natin kung saan nagmula ang gayong malupit na equation na may determinant. Makakatulong ito sa iyo na matandaan ito at matagumpay na mailapat ito.

Ang lahat ng mga eroplano na nangyari sa Problema C2 ay tinukoy ng tatlong puntos. Ang mga puntong ito ay palaging minarkahan sa pagguhit, o kahit na direktang ipinahiwatig sa teksto ng problema. Sa anumang kaso, upang maipon ang equation, kailangan nating isulat ang kanilang mga coordinate:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Isaalang-alang ang isa pang punto sa aming eroplano na may mga arbitrary na coordinate:

T = (x, y, z)

Kumuha kami ng anumang punto mula sa unang tatlo (halimbawa, punto M ) at gumuhit ng mga vectors mula dito sa bawat isa sa tatlong natitirang mga punto. Kumuha kami ng tatlong vectors:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).

Ngayon gumawa tayo ng isang parisukat na matrix mula sa mga vector na ito at ipantay ang determinant nito sa zero. Ang mga coordinate ng mga vector ay magiging mga hilera ng matrix - at makakakuha tayo ng parehong determinant na ipinahiwatig sa theorem:

Ang formula na ito ay nangangahulugan na ang dami ng kahon na binuo sa mga vectors MN , MK at MT ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang lahat ng tatlong mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano. Sa partikular, isang arbitrary point T = (x, y, z) ang eksaktong hinahanap namin.

Pagpapalit ng mga punto at hilera ng determinant

Ang mga determinant ay may ilang magagandang katangian na ginagawang mas madali solusyon sa problema C2. Halimbawa, hindi mahalaga sa amin kung aling punto ang gumuhit ng mga vector. Samakatuwid, ang mga sumusunod na determinant ay nagbibigay ng parehong plane equation gaya ng nasa itaas:

Maaari mo ring palitan ang mga linya ng determinant. Ang equation ay mananatiling hindi magbabago. Halimbawa, maraming tao ang gustong magsulat ng linya na may mga coordinate ng puntong T = (x; y; z) sa pinakatuktok. Mangyaring, kung ito ay maginhawa para sa iyo:

Nalilito ang ilan na ang isa sa mga linya ay naglalaman ng mga variable x , y at z , na hindi nawawala kapag pinapalitan ang mga puntos. Ngunit hindi sila dapat mawala! Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa determinant, dapat mong makuha ang sumusunod na konstruksyon:

Pagkatapos ang determinant ay pinalawak ayon sa pamamaraan na ibinigay sa simula ng aralin, at ang karaniwang equation ng eroplano ay nakuha:

Ax + By + Cz + D = 0

Tingnan ang isang halimbawa. Siya ang huli sa aralin ngayon. Sinadya kong palitan ang mga linya upang matiyak na ang sagot ay magiging parehong equation ng eroplano.

Gawain. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa mga puntos:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Kaya, isinasaalang-alang namin ang 4 na puntos:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Una, gumawa tayo ng karaniwang determinant at ipantay ito sa zero:

Pagbubukas ng determinant:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Iyon lang, nakuha namin ang sagot: x + y + z − 2 = 0 .

Ngayon ay muling ayusin natin ang ilang linya sa determinant at tingnan kung ano ang mangyayari. Halimbawa, sumulat tayo ng isang linya na may mga variable na x, y, z hindi sa ibaba, ngunit sa itaas:

Palawakin natin muli ang nagresultang determinant:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Nakuha namin ang eksaktong parehong equation ng eroplano: x + y + z − 2 = 0. Kaya, hindi talaga ito nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga hilera. Ito ay nananatiling isulat ang sagot.

Kaya, nakita natin na ang equation ng eroplano ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga linya. Posible na magsagawa ng mga katulad na kalkulasyon at patunayan na ang equation ng eroplano ay hindi nakasalalay sa punto kung saan ang mga coordinate ay ibawas natin mula sa iba pang mga punto.

Sa problemang isinasaalang-alang sa itaas, ginamit namin ang punto B 1 = (1, 0, 1), ngunit medyo posible na kunin ang C = (1, 1, 0) o D 1 = (0, 1, 1). Sa pangkalahatan, ang anumang punto na may mga kilalang coordinate na nakahiga sa nais na eroplano.

Anumang equation ng unang degree na may paggalang sa mga coordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

tumutukoy sa isang eroplano, at kabaliktaran: anumang eroplano ay maaaring katawanin ng equation (3.1), na tinatawag na equation ng eroplano.

Vector n(A, B, C) orthogonal sa eroplano ay tinatawag normal na vector mga eroplano. Sa equation (3.1), ang mga coefficient A, B, C ay hindi katumbas ng 0 sa parehong oras.

Mga espesyal na kaso ng equation (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa pinanggalingan.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oz axis.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oz axis.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oyz plane.

Coordinate plane equation: x = 0, y = 0, z = 0.

Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring ibigay:

1) bilang isang linya ng intersection ng dalawang eroplano, i.e. sistema ng mga equation:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) ang dalawang puntos nito M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang tuwid na linya na dumadaan sa kanila ay ibinibigay ng mga equation:

= ; (3.3)

3) ang puntong M 1 (x 1 , y 1 , z 1) na kabilang dito, at ang vector a(m, n, p), s collinear. Pagkatapos ang tuwid na linya ay tinutukoy ng mga equation:

. (3.4)

Tinatawag ang mga equation (3.4). canonical equation ng linya.

Vector a tinawag gabayan ang vector nang tuwid.

Nakukuha namin ang mga parametric sa pamamagitan ng pagtutumbas ng bawat isa sa mga relasyon (3.4) sa parameter na t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

Paglutas ng sistema (3.2) bilang isang sistema ng mga linear na equation sa mga hindi alam x at y, dumating tayo sa mga equation ng tuwid na linya sa projection o sa pinababang mga equation ng tuwid na linya:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Mula sa mga equation (3.6) ang isa ay maaaring pumasa sa canonical equation, paghahanap z mula sa bawat equation at equating ang mga resultang halaga:

.

Ang isa ay maaaring pumasa mula sa mga pangkalahatang equation (3.2) patungo sa mga canonical na equation sa ibang paraan, kung ang isa ay makakahanap ng ilang punto ng linyang ito at ang gabay nito n= [n 1 , n 2], saan n 1 (A 1 , B 1 , C 1) at n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - mga normal na vector ng mga ibinigay na eroplano. Kung isa sa mga denominador m,n o R sa mga equation (3.4) ay lumalabas na katumbas ng zero, kung gayon ang numerator ng kaukulang fraction ay dapat itakda na katumbas ng zero, i.e. sistema

ay katumbas ng isang sistema ; tulad ng isang linya ay patayo sa x-axis.

Sistema ay katumbas ng sistemang x = x 1 , y = y 1 ; ang tuwid na linya ay parallel sa Oz axis.

Halimbawa 1.15. Isulat ang equation ng eroplano, alam na ang punto A (1, -1,3) ay nagsisilbing base ng patayo na iginuhit mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplanong ito.

Desisyon. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, ang vector OA Ang (1,-1,3) ay isang normal na vector ng eroplano, kung gayon ang equation nito ay maaaring isulat bilang
x-y+3z+D=0. Ang pagpapalit ng mga coordinate ng puntong A(1,-1,3) na kabilang sa eroplano, makikita natin ang D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Kaya x-y+3z-11=0.

Halimbawa 1.16. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa Oz axis at bumubuo ng isang anggulo na 60 degrees sa 2x+y-z-7=0 na eroplano.

Desisyon. Ang eroplanong dumadaan sa Oz axis ay ibinibigay ng equation na Ax+By=0, kung saan ang A at B ay hindi naglalaho sa parehong oras. Huwag hayaan si B
ay 0, A/Bx+y=0. Ayon sa formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano

.

Ang paglutas ng quadratic equation na 3m 2 + 8m - 3 = 0, hinahanap natin ang mga ugat nito
m 1 = 1/3, m 2 = -3, kung saan makakakuha tayo ng dalawang eroplano 1/3x+y = 0 at -3x+y = 0.

Halimbawa 1.17. Isulat ang mga canonical equation ng tuwid na linya:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Desisyon. Ang mga canonical equation ng tuwid na linya ay may anyo:

saan m, n, p- mga coordinate ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya, x1, y1, z1- mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa linya. Ang tuwid na linya ay tinukoy bilang ang linya ng intersection ng dalawang eroplano. Upang makahanap ng isang punto na kabilang sa isang tuwid na linya, ang isa sa mga coordinate ay naayos (ang pinakamadaling paraan ay ilagay, halimbawa, x=0) at ang resultang sistema ay malulutas bilang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam. Kaya, hayaan ang x=0, pagkatapos y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, kung saan y=-1, z=1. Natagpuan namin ang mga coordinate ng point M (x 1, y 1, z 1) na kabilang sa linyang ito: M (0,-1,1). Ang direktang vector ng isang tuwid na linya ay madaling mahanap, alam ang mga normal na vector ng orihinal na mga eroplano n 1 (5,1,1) at n 2(2,3,-2). Pagkatapos

Ang mga canonical equation ng linya ay: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Halimbawa 1.18. Sa sinag na tinukoy ng mga eroplanong 2x-y+5z-3=0 at x+y+2z+1=0, hanapin ang dalawang patayong eroplano, na ang isa ay dumadaan sa puntong M(1,0,1).

Desisyon. Ang equation ng sinag na tinukoy ng mga eroplanong ito ay u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, kung saan ang u at v ay hindi naglalaho sa parehong oras. Muli naming isinusulat ang beam equation tulad ng sumusunod:

(2u + v)x + (- u + v)y + (5u + 2v)z - 3u + v = 0.

Upang pumili ng isang eroplano na dumadaan sa punto M mula sa sinag, pinapalitan namin ang mga coordinate ng punto M sa equation ng sinag. Nakukuha namin:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, o v = - u.

Pagkatapos ay makikita natin ang equation ng eroplano na naglalaman ng M sa pamamagitan ng pagpapalit ng v = - u sa beam equation:

u(2x-y +5z - 3) - u(x + y +2z +1) = 0.

kasi u ¹0 (kung hindi man v=0, at ito ay sumasalungat sa kahulugan ng isang sinag), pagkatapos ay mayroon tayong equation ng eroplanong x-2y+3z-4=0. Ang pangalawang eroplano na kabilang sa sinag ay dapat na patayo dito. Isinulat namin ang kondisyon para sa orthogonality ng mga eroplano:

(2u + v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, o v = - 19/5u.

Samakatuwid, ang equation ng pangalawang eroplano ay may anyo:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 o 9x +24y + 13z + 34 = 0.

ANGLE SA PAGITAN NG MGA EROPLO

Isaalang-alang natin ang dalawang eroplano α 1 at α 2 na ibinigay ayon sa pagkakabanggit ng mga equation:

Sa ilalim sulok sa pagitan ng dalawang eroplano ang ibig nating sabihin ay isa sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga eroplanong ito. Malinaw na ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector at ng mga eroplanong α 1 at α 2 ay katumbas ng isa sa mga ipinahiwatig na katabing dihedral na anggulo o . Kaya . kasi at , pagkatapos

.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano x+2y-3z+4=0 at 2 x+3y+z+8=0.

Kondisyon ng parallelism ng dalawang eroplano.

Dalawang eroplanong α 1 at α 2 ay magkapareho kung at kung ang kanilang mga normal na vector ay magkatulad, at samakatuwid .

Kaya, ang dalawang eroplano ay parallel sa bawat isa kung at kung ang mga coefficient sa kaukulang mga coordinate ay proporsyonal:

o

Kondisyon ng perpendicularity ng mga eroplano.

Malinaw na ang dalawang eroplano ay patayo kung at kung ang kanilang mga normal na vector ay patayo, at samakatuwid, o .

Kaya, .

Mga halimbawa.

DIREKTA SA SPACE.

DIREKTA ANG VECTOR EQUATION.

PARAMETRIC EQUATIONS DIREKTA

Ang posisyon ng isang tuwid na linya sa espasyo ay ganap na tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy sa alinman sa mga nakapirming punto nito M 1 at isang vector na kahanay sa linyang ito.

Ang isang vector na kahanay sa isang tuwid na linya ay tinatawag paggabay ang vector ng linyang ito.

Kaya hayaan ang tuwid l dumadaan sa isang punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) nakahiga sa isang tuwid na linya parallel sa vector .

Isaalang-alang ang isang arbitrary na punto M(x,y,z) sa isang tuwid na linya. Makikita sa pigura na .

Ang mga vector at ay collinear, kaya mayroong isang bilang t, ano , nasaan ang multiplier t maaaring tumagal ng anumang numeric na halaga depende sa posisyon ng punto M sa isang tuwid na linya. Salik t ay tinatawag na isang parameter. Tinutukoy ang radius vectors ng mga puntos M 1 at M ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng at , nakukuha namin ang . Ang equation na ito ay tinatawag vector straight line equation. Ipinapakita nito na ang bawat halaga ng parameter t tumutugma sa radius vector ng ilang punto M nakahiga sa isang tuwid na linya.

Isinulat namin ang equation na ito sa coordinate form. Pansinin, na, at mula rito

Ang mga resultang equation ay tinatawag parametric mga equation ng tuwid na linya.

Kapag binabago ang parameter t pagbabago ng mga coordinate x, y at z at tuldok M gumagalaw sa isang tuwid na linya.

DIREKTA ANG MGA CANONICAL EQUATIONS

Hayaan M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - isang punto na nakahiga sa isang tuwid na linya l, at ay ang vector ng direksyon nito. Muli, kumuha ng di-makatwirang punto sa isang tuwid na linya M(x,y,z) at isaalang-alang ang vector.

Ito ay malinaw na ang mga vectors at ay collinear, kaya ang kani-kanilang mga coordinate ay dapat na proporsyonal, kaya

– kanonikal mga equation ng tuwid na linya.

Puna 1. Tandaan na ang mga canonical equation ng linya ay maaaring makuha mula sa parametric equation sa pamamagitan ng pag-aalis ng parameter. t. Sa katunayan, mula sa mga parametric equation na nakuha namin o .

Halimbawa. Isulat ang equation ng isang tuwid na linya sa parametric na paraan.

Magpakilala , samakatuwid x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Puna 2. Hayaang ang linya ay patayo sa isa sa mga coordinate axes, halimbawa, ang axis baka. Pagkatapos ang vector ng direksyon ng linya ay patayo baka, samakatuwid, m=0. Dahil dito, ang mga parametric equation ng tuwid na linya ay kinuha ang anyo

Pag-aalis ng parameter mula sa mga equation t, nakukuha natin ang mga equation ng tuwid na linya sa anyo

Gayunpaman, sa kasong ito din, sumasang-ayon kaming pormal na isulat ang mga canonical equation ng tuwid na linya sa anyo . Kaya, kung ang denominator ng isa sa mga fraction ay zero, nangangahulugan ito na ang linya ay patayo sa kaukulang coordinate axis.

Katulad nito, ang mga canonical equation tumutugma sa isang tuwid na linya patayo sa mga axes baka at Oy o parallel axis Oz.

Mga halimbawa.

PANGKALAHATANG EQUATIONS ISANG DIREKTANG LINYA BILANG LINE OF INTERCEPTION NG DALAWANG EROPLO

Sa bawat tuwid na linya sa kalawakan ay dumadaan ang walang katapusang bilang ng mga eroplano. Alinmang dalawa sa kanila, na nagsasalubong, ay tukuyin ito sa kalawakan. Samakatuwid, ang mga equation ng alinmang dalawang naturang eroplano, na isinasaalang-alang nang magkasama, ay ang mga equation ng linyang ito.

Sa pangkalahatan, anumang dalawang di-parallel na eroplano na ibinigay ng mga pangkalahatang equation

tukuyin ang kanilang linya ng intersection. Ang mga equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation tuwid.

Mga halimbawa.

Bumuo ng isang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation

Upang makabuo ng isang linya, sapat na upang mahanap ang alinman sa dalawa sa mga punto nito. Ang pinakamadaling paraan ay ang piliin ang mga punto ng intersection ng linya na may mga coordinate na eroplano. Halimbawa, ang punto ng intersection sa eroplano xOy nakukuha natin mula sa mga equation ng isang tuwid na linya, sa pag-aakalang z= 0:

Ang paglutas ng sistemang ito, nakita namin ang punto M 1 (1;2;0).

Ganun din, assuming y= 0, nakukuha namin ang punto ng intersection ng linya sa eroplano xOz:

Mula sa mga pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya, ang isa ay maaaring magpatuloy sa canonical o parametric equation nito. Upang gawin ito, kailangan mong makahanap ng ilang punto M 1 sa linya at ang vector ng direksyon ng linya.

Point coordinates M 1 nakukuha natin mula sa sistemang ito ng mga equation, na nagbibigay sa isa sa mga coordinate ng arbitraryong halaga. Upang mahanap ang vector ng direksyon, tandaan na ang vector na ito ay dapat na patayo sa parehong mga normal na vector at . Samakatuwid, para sa vector ng direksyon ng tuwid na linya l maaari mong kunin ang cross product ng mga normal na vectors:

.

Halimbawa. Ibigay ang mga pangkalahatang equation ng tuwid na linya sa canonical form.

Maghanap ng isang punto sa isang tuwid na linya. Upang gawin ito, pipiliin namin nang arbitraryo ang isa sa mga coordinate, halimbawa, y= 0 at lutasin ang sistema ng mga equation:

Ang mga normal na vector ng mga eroplano na tumutukoy sa linya ay may mga coordinate Samakatuwid, ang vector ng direksyon ay magiging tuwid

. Kaya naman, l: .

ANGLE SA PAGITAN NG MGA KARAPATAN

sulok sa pagitan ng mga tuwid na linya sa espasyo ay tatawagin natin ang alinman sa mga katabing anggulo na nabuo ng dalawang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto na kahanay ng data.

Hayaang magbigay ng dalawang tuwid na linya sa espasyo:

Malinaw, ang anggulo φ sa pagitan ng mga linya ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon at . Dahil , pagkatapos ay ayon sa formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na nakukuha natin