Kung ang ilang mga alon ay sabay-sabay na nagpapalaganap sa isang daluyan, kung gayon ang mga oscillations ng mga particle ng medium ay magiging geometric na kabuuan ng mga oscillations na gagawin ng mga particle sa panahon ng pagpapalaganap ng bawat isa sa mga alon nang hiwalay. Dahil dito, ang mga alon ay nagsasapawan lamang sa isa't isa nang hindi nakakagambala sa isa't isa. Ang pahayag na ito ay tinatawag na prinsipyo ng superposisyon ng mga alon. Ang prinsipyo ng superposisyon ay nagsasaad na ang paggalaw na dulot ng pagpapalaganap ng ilang mga alon nang sabay-sabay ay isang tiyak na proseso ng alon. Ang ganitong proseso, halimbawa, ay tunog ng isang orkestra. Ito ay nagmumula sa sabay-sabay na paggulo ng mga tunog na vibrations ng hangin ng mga indibidwal na instrumentong pangmusika. Kapansin-pansin na kapag ang mga alon ay nakapatong, maaaring lumitaw ang mga espesyal na phenomena. Ang mga ito ay tinatawag na mga epekto ng karagdagan o, tulad ng sinasabi nila, ang superposisyon ng mga alon. Kabilang sa mga epektong ito, ang pinakamahalaga ay ang interference at diffraction.

Ang interference ay isang kababalaghan ng matagal na pamamahagi ng enerhiya ng mga vibrations sa espasyo, bilang isang resulta kung saan ang mga vibrations ay pinalakas sa ilang mga lugar at humina sa iba. Ang phenomenon na ito ay nangyayari kapag nagdaragdag ng mga wave na may phase difference na nagpapatuloy sa paglipas ng panahon, ang tinatawag na coherent waves. Ang interference ng isang malaking bilang ng mga wave ay karaniwang tinatawag na diffraction. Walang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng interference at diffraction. Ang katangian ng mga phenomena na ito ay pareho. Kinulong namin ang aming sarili sa pagtalakay lamang ng isang napakahalagang epekto ng interference, na ang pagbuo ng mga nakatayong alon.

Ang isang kinakailangang kondisyon para sa pagbuo ng mga nakatayong alon ay ang pagkakaroon ng mga hangganan na sumasalamin sa insidente ng mga alon sa kanila. Ang mga nakatayong alon ay nabuo bilang isang resulta ng pagdaragdag ng insidente at sinasalamin na mga alon. Ang ganitong uri ay medyo karaniwan. Kaya, ang bawat tono ng tunog ng anumang instrumentong pangmusika ay nasasabik sa pamamagitan ng isang nakatayong alon. Ang alon na ito ay nabuo alinman sa isang string (mga instrumentong may kuwerdas) o sa isang hanay ng hangin (mga instrumento ng hangin). Ang mapanimdim na mga hangganan sa mga kasong ito ay ang mga punto ng attachment ng string at ang mga ibabaw ng mga panloob na lukab ng mga instrumento ng hangin.

Ang bawat nakatayong alon ay may mga sumusunod na katangian. Ang buong rehiyon ng espasyo kung saan nasasabik ang alon ay maaaring hatiin sa mga selula sa paraang ganap na wala ang mga oscillations sa mga hangganan ng mga selula. Ang mga puntong matatagpuan sa mga hangganang ito ay tinatawag na mga node ng nakatayong alon. Ang mga yugto ng mga oscillation sa mga panloob na punto ng bawat cell ay pareho. Ang mga oscillations sa kalapit na mga cell ay ginawa patungo sa isa't isa, iyon ay, sa antiphase. Sa loob ng isang cell, ang amplitude ng mga oscillation ay nag-iiba-iba sa espasyo at umaabot sa pinakamataas na halaga nito sa ilang lugar. Ang mga punto kung saan ito naobserbahan ay tinatawag na mga antinodes ng nakatayong alon. Sa wakas, ang isang katangian ng mga nakatayong alon ay ang discreteness ng kanilang frequency spectrum. Sa isang nakatayong alon, ang mga oscillation ay maaaring mangyari lamang sa mahigpit na tinukoy na mga frequency, at ang paglipat mula sa isa sa mga ito patungo sa isa pa ay nangyayari sa isang pagtalon.

Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa ng isang nakatayong alon. Ipagpalagay na ang isang string na may limitadong haba ay nakaunat sa kahabaan ng axis; ang mga dulo nito ay mahigpit na naayos, at ang kaliwang dulo ay nasa pinanggalingan ng mga coordinate. Kung gayon ang coordinate ng kanang dulo ay . Pasiglahin natin ang isang alon sa isang string

,

kumakalat mula kaliwa hanggang kanan. Ang alon ay makikita mula sa kanang dulo ng string. Ipagpalagay natin na nangyayari ito nang walang pagkawala ng enerhiya. Sa kasong ito, ang sinasalamin na alon ay magkakaroon ng parehong amplitude at parehong dalas ng wave ng insidente. Samakatuwid, ang nakalarawan na alon ay dapat magkaroon ng anyo:

Ang bahagi nito ay naglalaman ng isang pare-pareho na tumutukoy sa pagbabago ng bahagi sa pagmuni-muni. Dahil ang pagmuni-muni ay nangyayari sa magkabilang dulo ng string at walang pagkawala ng enerhiya, ang mga alon ng parehong frequency ay sabay-sabay na magpapalaganap sa string. Samakatuwid, kapag nagdadagdag, dapat mangyari ang pagkagambala. Hanapin natin ang resultang wave.

Ito ang standing wave equation. Ito ay sumusunod mula dito na sa bawat punto ng string vibrations nangyayari na may dalas. Sa kasong ito, ang amplitude ng mga oscillations sa isang punto ay katumbas ng

.

Dahil ang mga dulo ng string ay naayos, walang mga vibrations doon. Ito ay sumusunod sa kondisyon na . Kaya nagtatapos kami sa:

.

Ito ay malinaw na ngayon na sa mga punto kung saan , walang mga oscillations sa lahat. Ang mga puntong ito ay ang mga node ng nakatayong alon. Sa parehong lugar, kung saan , ang oscillation amplitude ay maximum, ito ay katumbas ng dalawang beses ang halaga ng amplitude ng mga idinagdag na oscillations. Ang mga puntong ito ay ang mga antinodes ng nakatayong alon. Ang hitsura ng mga antinodes at buhol ay tiyak na pagkagambala: sa ilang mga lugar ang mga oscillations ay pinalaki, habang sa iba ay nawawala ang mga ito. Ang distansya sa pagitan ng isang kalapit na node at isang antinode ay matatagpuan mula sa malinaw na kondisyon: . Dahil, kung gayon. Samakatuwid, ang distansya sa pagitan ng mga katabing node ay .

Makikita sa standing wave equation na ang factor kapag pumasa sa zero, nagbabago ito ng sign. Alinsunod dito, ang yugto ng mga oscillations sa iba't ibang panig ng node ay naiiba sa pamamagitan ng . Nangangahulugan ito na ang mga punto na nakahiga sa magkabilang panig ng node ay nag-o-oscillate sa antiphase. Ang lahat ng mga puntos na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkalapit na mga node ay nag-o-oscillate sa parehong yugto.

Kaya, kapag idinaragdag ang insidente at nasasalamin na mga alon, posible ngang makuha ang pattern ng paggalaw ng alon na nailalarawan nang mas maaga. Sa kasong ito, ang mga cell na tinalakay sa one-dimensional na case ay mga segment na nakapaloob sa pagitan ng mga kalapit na node at may haba .

Panghuli, tiyakin natin na ang alon na ating isinasaalang-alang ay maaari lamang umiral sa mahigpit na tinukoy na mga frequency ng oscillation. Gamitin natin ang katotohanan na walang mga vibrations sa kanang dulo ng string, iyon ay, . Kaya naman lumalabas na . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay posible kung , kung saan ay isang arbitrary positive integer.

6.1 Nakatayo na mga alon sa isang nababanat na daluyan

Ayon sa prinsipyo ng superposition, kapag ang ilang mga alon ay sabay-sabay na nagpapalaganap sa isang nababanat na daluyan, ang kanilang superposisyon ay nangyayari, at ang mga alon ay hindi nakakagambala sa isa't isa: ang mga panginginig ng boses ng mga particle ng medium ay ang vector sum ng mga vibrations na gagawin ng mga particle. sa panahon ng pagpapalaganap ng bawat isa sa mga alon nang hiwalay.

Ang mga alon na lumilikha ng mga oscillations ng daluyan, ang mga pagkakaiba sa bahagi sa pagitan ng kung saan ay pare-pareho sa bawat punto sa espasyo, ay tinatawag na magkakaugnay.

Kapag nagdaragdag ng magkakaugnay na mga alon, lumitaw ang kababalaghan panghihimasok, na binubuo sa katotohanan na sa ilang mga punto sa espasyo ang mga alon ay nagpapalakas sa isa't isa, at sa iba pang mga punto ay humihina sila. Ang isang mahalagang kaso ng interference ay sinusunod kapag ang dalawang magkasalungat na alon ng eroplano na may parehong frequency at amplitude ay nakapatong. Ang mga nagresultang oscillations ay tinatawag nakatayong alon. Kadalasan, lumilitaw ang mga nakatayong alon kapag ang isang naglalakbay na alon ay nakikita mula sa isang balakid. Sa kasong ito, ang alon ng insidente at ang alon na sumasalamin patungo dito, kapag pinagsama-sama, ay nagbibigay ng nakatayong alon.

Nakukuha namin ang standing wave equation. Kumuha tayo ng dalawang plane harmonic waves na nagpapalaganap patungo sa isa't isa sa kahabaan ng axis X at pagkakaroon ng parehong dalas at amplitude:

saan - ang yugto ng mga oscillations ng mga punto ng daluyan sa panahon ng pagpasa ng unang alon;

- ang yugto ng mga oscillations ng mga punto ng daluyan sa panahon ng pagpasa ng pangalawang alon.

Pagkakaiba ng phase sa bawat punto sa axis X ang network ay hindi magdedepende sa oras, i.e. magiging pare-pareho:

Samakatuwid, ang parehong mga alon ay magkakaugnay.

Ang oscillation ng mga particle ng medium na nagreresulta mula sa pagdaragdag ng mga itinuturing na alon ay ang mga sumusunod:

Binabago namin ang kabuuan ng mga cosine ng mga anggulo ayon sa panuntunan (4.4) at makuha ang:

Ang muling pagsasaayos ng mga kadahilanan, nakukuha namin:

Upang pasimplehin ang expression, pipiliin namin ang pinagmulan upang ang pagkakaiba ng bahagi at ang pinagmulan ng oras, upang ang kabuuan ng mga phase ay katumbas ng zero: .

Pagkatapos ang equation para sa kabuuan ng mga alon ay kukuha ng anyo:

Ang equation (6.6) ay tinatawag standing wave equation. Makikita mula dito na ang dalas ng nakatayong alon ay katumbas ng dalas ng naglalakbay na alon, at ang amplitude, sa kaibahan sa naglalakbay na alon, ay nakasalalay sa distansya mula sa pinanggalingan:

. (6.7)

Isinasaalang-alang ang (6.7), ang standing wave equation ay nasa anyo:

. (6.8)

Kaya, ang mga punto ng daluyan ay nag-oocillate na may dalas na tumutugma sa dalas ng naglalakbay na alon, at may isang amplitude a, depende sa posisyon ng punto sa axis X. Alinsunod dito, nagbabago ang amplitude ayon sa batas ng cosine at may sariling maxima at minima (Larawan 6.1).

Upang mailarawan ang lokasyon ng minima at maxima ng amplitude, pinapalitan namin, ayon sa (5.29), ang wave number sa pamamagitan ng halaga nito:

Pagkatapos ang expression (6.7) para sa amplitude ay kinuha ang form

(6.10)

Mula dito nagiging malinaw na ang amplitude ng pag-aalis ay pinakamataas sa , ibig sabihin. sa mga punto na ang coordinate ay nakakatugon sa kondisyon:

, (6.11)

saan

Mula dito nakuha namin ang mga coordinate ng mga punto kung saan ang amplitude ng displacement ay maximum:

; (6.12)

Ang mga punto kung saan ang amplitude ng mga oscillations ng medium ay tinatawag na maximum wave antinodes.

Ang wave amplitude ay zero sa mga punto kung saan . Ang mga coordinate ng naturang mga punto, na tinatawag mga buhol ng alon, natutugunan ang kundisyon:

, (6.13)

saan

Mula sa (6.13) makikita na ang mga coordinate ng mga node ay may mga halaga:

, (6.14)

Sa fig. Ang 6.2 ay nagpapakita ng isang tinatayang view ng isang nakatayong alon, ang lokasyon ng mga node at antinodes ay minarkahan. Ito ay makikita na ang mga kalapit na node at antinodes ng displacement ay may pagitan sa bawat isa sa parehong distansya.

Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga katabing antinode at node. Mula sa (6.12) nakuha namin ang distansya sa pagitan ng mga antinodes:

(6.15)

Ang distansya sa pagitan ng mga node ay nakuha mula sa (6.14):

(6.16)

Mula sa mga relasyon (6.15) at (6.16) na nakuha, makikita na ang distansya sa pagitan ng mga kalapit na node, gayundin sa pagitan ng mga kalapit na antinode, ay pare-pareho at katumbas ng; Ang mga node at antinode ay inililipat nang may kaugnayan sa isa't isa sa pamamagitan ng (Larawan 6.3).

Mula sa kahulugan ng wavelength, maaari tayong sumulat ng isang expression para sa haba ng nakatayong alon: ito ay katumbas ng kalahati ng haba ng naglalakbay na alon:

Isulat natin, isinasaalang-alang ang (6.17), mga expression para sa mga coordinate ng mga node at antinodes:

, (6.18)

, (6.19)

Ang multiplier , na tumutukoy sa amplitude ng standing wave, ay nagbabago ng sign nito kapag dumadaan sa zero value, bilang isang resulta kung saan ang yugto ng mga oscillations sa magkabilang panig ng node ay naiiba sa pamamagitan ng . Dahil dito, ang lahat ng mga punto na nakahiga sa iba't ibang panig ng node ay nag-o-oscillate sa anti-phase. Ang lahat ng mga punto sa pagitan ng mga kalapit na node ay nag-o-ocillate sa phase.

Ang mga node ay may kondisyong hinahati ang daluyan sa mga autonomous na rehiyon kung saan ang mga harmonic oscillations ay nangyayari nang nakapag-iisa. Walang paglipat ng paggalaw sa pagitan ng mga rehiyon, at, samakatuwid, walang daloy ng enerhiya sa pagitan ng mga rehiyon. Iyon ay, walang transmission ng perturbation kasama ang axis. Samakatuwid, ang alon ay tinatawag na nakatayo.

Kaya, ang isang nakatayong alon ay nabuo mula sa dalawang magkasalungat na direksyon na naglalakbay na mga alon ng pantay na mga frequency at amplitudes. Ang mga Umov vector ng bawat isa sa mga alon na ito ay pantay sa modulus at kabaligtaran ng direksyon, at kapag idinagdag ay nagbibigay sila ng zero. Samakatuwid, ang isang nakatayong alon ay hindi naglilipat ng enerhiya.

6.2 Mga halimbawa ng tumatayong alon

6.2.1 Standing wave sa isang string

Isaalang-alang ang isang string ng haba L, naayos sa magkabilang dulo (Larawan 6.4).

Ilagay natin ang axis sa kahabaan ng string X upang ang kaliwang dulo ng string ay may coordinate x=0, at ang kanan x=L. Nagaganap ang mga vibrations sa string, na inilarawan ng equation:

Isulat natin ang mga kundisyon ng hangganan para sa itinuturing na string. Dahil ang mga dulo nito ay naayos, pagkatapos ay sa mga punto na may mga coordinate x=0 at x=L walang pag aalinlangan:

(6.22)

Hanapin natin ang equation ng string vibrations batay sa nakasulat na kundisyon ng hangganan. Sumulat kami ng equation (6.20) para sa kaliwang dulo ng string, isinasaalang-alang ang (6.21):

Ang kaugnayan (6.23) ay tumatagal ng anumang oras t sa dalawang kaso:

1. . Posible ito kung walang vibrations sa string (). Ang kasong ito ay walang interes, at hindi namin ito isasaalang-alang.

2. . Narito ang yugto. Ang kasong ito ay magbibigay-daan sa amin upang makuha ang equation para sa string vibrations.

Palitan natin ang nakuhang halaga ng phase sa kundisyon ng hangganan (6.22) para sa kanang dulo ng string:

. (6.25)

Kung ganoon

, (6.26)

mula sa (6.25) nakukuha natin:

Muli, dalawang kaso ang lumitaw kung saan ang kaugnayan (6.27) ay nasiyahan. Ang kaso kapag walang vibrations sa string (), hindi namin isasaalang-alang.

Sa pangalawang kaso, ang pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon ng:

at ito ay posible lamang kapag ang sinus argument ay isang multiple ng isang integer:

Tinatapon namin ang halaga, dahil sa kasong ito , na nangangahulugang alinman sa zero na haba ng string ( L=0) o wave-new number k=0. Isinasaalang-alang ang kaugnayan (6.9) sa pagitan ng wave number at ng wavelength, malinaw na upang ang wave number ay maging katumbas ng zero, ang wavelength ay kailangang walang katapusan, at ito ay mangangahulugan ng kawalan ng oscillations.

Makikita mula sa (6.28) na ang wave number sa panahon ng vibrations ng isang string na naayos sa magkabilang dulo ay maaari lamang tumagal ng ilang mga discrete value:

Isinasaalang-alang ang (6.9), isinusulat namin ang (6.30) bilang:

kung saan nakukuha namin ang expression para sa mga posibleng wavelength sa string:

Sa madaling salita, sa haba ng string L dapat ay isang integer n kalahating alon:

Ang kaukulang mga oscillation frequency ay maaaring matukoy mula sa (5.7):

Narito ang phase velocity ng wave, na, ayon sa (5.102), ay nakasalalay sa linear density ng string at ang string tension force :

Ang pagpapalit ng (6.34) sa (6.33), nakakakuha kami ng expression na naglalarawan sa posibleng mga frequency ng vibration ng string:

, (6.36)

Ang mga frequency ay tinatawag natural na mga frequency mga string. dalas (kung kailan n = 1):

(6.37)

tinawag pangunahing dalas(o pangunahing tono) mga string. Tinutukoy ang mga frequency sa n>1 tinawag overtones o harmonika. Ang maharmonya na numero ay n-1. Halimbawa, dalas:

tumutugma sa unang harmonic, at ang dalas:

tumutugma sa pangalawang harmonic, at iba pa. Dahil ang isang string ay maaaring katawanin bilang isang discrete system na may walang katapusang bilang ng mga antas ng kalayaan, ang bawat harmonic ay fashion string vibrations. Sa pangkalahatang kaso, ang mga string vibrations ay isang superposition ng mga mode.

Ang bawat harmonic ay may sariling wavelength. Para sa pangunahing tono (na may n= 1) wavelength:

para sa una at pangalawang harmonika, ayon sa pagkakabanggit (sa n= 2 at n= 3) ang mga wavelength ay magiging:

Ang Figure 6.5 ay nagpapakita ng view ng ilang mga vibration mode na isinasagawa ng isang string.

Kaya, ang isang string na may mga nakapirming dulo ay napagtanto ang isang pambihirang kaso sa loob ng balangkas ng klasikal na pisika - isang discrete spectrum ng dalas ng oscillation (o mga wavelength). Ang isang nababanat na baras na may isa o parehong naka-clamp na mga dulo ay kumikilos sa parehong paraan, tulad ng mga pagbabago sa haligi ng hangin sa mga tubo, na tatalakayin sa mga susunod na seksyon.

6.2.2 Impluwensiya ng mga paunang kondisyon sa paggalaw

tuloy-tuloy na string. Fourier na pagsusuri

Ang mga vibrations ng isang string na may mga clamped na dulo, bilang karagdagan sa isang discrete spectrum ng vibration frequency, ay may isa pang mahalagang katangian: ang tiyak na anyo ng vibrations ng isang string ay depende sa paraan ng paggulo ng vibrations, i.e. mula sa mga paunang kondisyon. Isaalang-alang natin nang mas detalyado.

Ang equation (6.20), na naglalarawan ng isang mode ng standing wave sa isang string, ay isang partikular na solusyon ng differential wave equation (5.61). Dahil ang vibration ng isang string ay binubuo ng lahat ng posibleng mga mode (para sa isang string - isang walang katapusang numero), kung gayon ang pangkalahatang solusyon ng wave equation (5.61) ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga partikular na solusyon:

, (6.43)

saan i ay ang oscillation mode number. Ang expression (6.43) ay isinulat na isinasaalang-alang na ang mga dulo ng string ay naayos:

at isinasaalang-alang din ang frequency connection i ika mode at ang wave number nito:

(6.46)

Dito – wave number i ika fashion;

ay ang wave number ng 1st mode;

Hanapin natin ang halaga ng paunang yugto para sa bawat oscillation mode. Para dito, sa panahong iyon t=0 bigyan natin ang string ng hugis na inilarawan ng function f 0 (x), ang expression kung saan nakuha namin mula sa (6.43):

. (6.47)

Sa fig. Ang 6.6 ay nagpapakita ng isang halimbawa ng hugis ng isang string na inilarawan ng aking function f 0 (x).

Sa punto ng oras t=0 nakapahinga pa rin ang string, i.e. ang bilis ng lahat ng mga punto nito ay katumbas ng zero. Mula sa (6.43) nakita namin ang isang expression para sa bilis ng mga puntos ng string:

at sa pamamagitan ng pagpapalit nito t=0, nakakakuha kami ng expression para sa bilis ng mga punto ng string sa unang sandali ng oras:

. (6.49)

Dahil sa unang sandali ng oras ang bilis ay katumbas ng zero, ang expression (6.49) ay magiging katumbas ng zero para sa lahat ng mga punto ng string, kung . Ito ay sumusunod mula dito na ang paunang yugto para sa lahat ng mga mode ay zero (). Sa pag-iisip na ito, ang expression (6.43), na naglalarawan sa paggalaw ng string, ay nasa anyo:

, (6.50)

at ang expression (6.47), na naglalarawan sa paunang hugis ng string, ay ganito ang hitsura:

. (6.51)

Ang nakatayong wave sa isang string ay inilalarawan ng isang function na panaka-nakang sa pagitan , kung saan ay katumbas ng dalawang haba ng string (Larawan 6.7):

Ito ay makikita mula sa katotohanan na ang periodicity sa pagitan ay nangangahulugang:

Kaya naman,

na nagdadala sa atin sa pagpapahayag (6.52).

Ito ay kilala mula sa mathematical analysis na ang anumang periodic function ay maaaring palawakin nang may mataas na katumpakan sa isang Fourier series:

, (6.57)

kung saan , , ay ang Fourier coefficients.

Isaalang-alang ang resulta ng interference ng dalawang sinusoidal plane wave ng parehong amplitude at frequency na nagpapalaganap sa magkasalungat na direksyon. Para sa pagiging simple ng pangangatwiran, ipinapalagay namin na ang mga equation ng mga alon na ito ay may anyo:

Nangangahulugan ito na sa pinanggalingan ang parehong mga alon ay nagdudulot ng mga oscillations sa parehong yugto. Sa puntong A na may coordinate x, ang kabuuang halaga ng oscillating quantity, ayon sa prinsipyo ng superposition (tingnan ang § 19), ay katumbas ng

Ipinapakita ng equation na ito na bilang resulta ng interference ng forward at backward waves sa bawat punto ng medium (na may fixed coordinate) isang harmonic oscillation ang nangyayari na may parehong frequency , ngunit may amplitude.

nakadepende sa halaga ng x-coordinate. Sa mga punto sa medium kung saan walang mga vibrations: ang mga puntong ito ay tinatawag na mga node ng vibrations.

Sa mga punto kung saan ang amplitude ng mga oscillations ay may pinakamalaking halaga, katumbas ng Ang mga puntong ito ay tinatawag na antinodes ng mga oscillations. Madaling ipakita na ang distansya sa pagitan ng mga kalapit na node o mga kalapit na antinode ay katumbas ng distansya sa pagitan ng antinode at ang pinakamalapit na node ay katumbas ng Kapag ang x ay nagbago sa pamamagitan ng cosine sa formula (5.16), binabaligtad nito ang sign nito (nagbabago ang argumento nito sa gayon. kung sa loob ng isang kalahating alon - mula sa isang node patungo sa isa pa - ang mga particle ng daluyan ay lumihis sa isang direksyon, pagkatapos ay sa loob ng kalapit na kalahating alon ang mga particle ng daluyan ay mapalihis sa tapat na direksyon.

Ang proseso ng alon sa isang medium na inilarawan ng formula (5.16) ay tinatawag na standing wave. Sa graphically, ang isang nakatayong alon ay maaaring ilarawan tulad ng ipinapakita sa Fig. 1.61. Ipagpalagay natin na ang y ay may displacement ng mga punto ng medium mula sa estado ng equilibrium; pagkatapos ay inilalarawan ng formula (5.16) ang isang "standing displacement wave". Sa ilang mga punto ng oras, kapag ang lahat ng mga punto ng daluyan ay may pinakamataas na displacement, ang direksyon kung saan, depende sa halaga ng x coordinate, ay tinutukoy ng sign. Ang mga displacement na ito ay ipinapakita sa Fig. 1.61 na may mga solidong arrow. Pagkatapos ng isang-kapat ng panahon, kapag ang mga displacement ng lahat ng mga punto ng daluyan ay katumbas ng zero; ang mga particle ng medium ay dumadaan sa linya sa iba't ibang bilis. Pagkatapos ng isa pang quarter ng panahon, kapag ang mga particle ng medium ay magkakaroon muli ng pinakamataas na displacements, ngunit sa kabaligtaran direksyon; ang mga offset na ito ay ipinapakita sa

kanin. 1.61 putol-putol na mga arrow. Ang mga punto ay ang mga antinodes ng standing displacement wave; mga punto ng node ng wave na ito.

Ang mga katangiang katangian ng isang nakatayong alon, kabaligtaran sa isang kumbensyonal na pagpapalaganap, o paglalakbay, na alon ay ang mga sumusunod (ibig sabihin ay mga alon ng eroplano sa kawalan ng attenuation):

1) sa isang nakatayong alon, ang mga amplitude ng oscillation ay iba sa iba't ibang bahagi ng system; ang sistema ay may mga node at antinodes ng mga oscillations. Sa isang "naglalakbay" na alon, ang mga amplitude na ito ay pareho sa lahat ng dako;

2) sa loob ng lugar ng system mula sa isang node hanggang sa kalapit na isa, ang lahat ng mga punto ng daluyan ay nag-oscillate sa parehong yugto; kapag pumasa sa isang kalapit na seksyon, ang mga yugto ng mga oscillations ay nababaligtad. Sa isang naglalakbay na alon, ang mga yugto ng mga oscillations, ayon sa formula (5.2), ay nakasalalay sa mga coordinate ng mga puntos;

3) sa isang nakatayong alon ay walang one-way na paglipat ng enerhiya, tulad ng kaso sa isang naglalakbay na alon.

Kapag inilalarawan ang mga proseso ng oscillatory sa mga elastic system, ang oscillating value na y ay maaaring kunin hindi lamang bilang ang displacement o bilis ng mga particle ng system, kundi pati na rin bilang ang halaga ng relatibong deformation o ang halaga ng stress sa compression, tension, o paggugupit, atbp. Kasabay nito, sa isang nakatayong alon, sa mga lugar kung saan nabuo ang mga antinode ng mga bilis ng butil, matatagpuan ang mga deformation node, at kabaliktaran, ang mga node ng bilis ay nag-tutugma sa mga antinode ng pagpapapangit. Ang pagbabago ng enerhiya mula sa kinetic patungo sa potensyal at kabaligtaran ay nangyayari sa loob ng seksyon ng system mula sa antinode patungo sa kalapit na node. Maaari naming ipagpalagay na ang bawat naturang seksyon ay hindi nakikipagpalitan ng enerhiya sa mga kalapit na seksyon. Tandaan na ang pagbabago ng kinetic energy ng mga gumagalaw na particle sa potensyal na enerhiya ng mga deformed na seksyon ng medium ay nangyayari nang dalawang beses sa isang panahon.

Sa itaas, kung isasaalang-alang ang interference ng direkta at pabalik na mga alon (tingnan ang mga expression (5.16)), hindi kami interesado sa pinagmulan ng mga alon na ito. Ipagpalagay natin ngayon na ang daluyan kung saan ang mga vibrations ay nagpapalaganap ay may mga limitadong sukat, halimbawa, ang mga vibrations ay sanhi sa ilang solidong katawan - sa isang baras o string, sa isang haligi ng likido o gas, atbp. Isang alon na nagpapalaganap sa naturang medium ( body) , ay makikita mula sa mga hangganan, samakatuwid, sa loob ng dami ng katawan na ito, ang interference ng mga alon na dulot ng isang panlabas na pinagmulan at nasasalamin mula sa mga hangganan ay patuloy na nangyayari.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng halimbawa; ipagpalagay, sa isang punto (Larawan 1.62) ng isang baras o string, ang isang oscillatory motion na may dalas ay nasasabik sa tulong ng isang panlabas na sinusoidal source; pinipili namin ang pinagmulan ng sanggunian ng oras upang sa puntong ito ang displacement ay ipinahayag ng formula

kung saan ang oscillation amplitude sa punto.

direksyon. Hanapin natin ang resulta ng interference ng direkta at sinasalamin na mga alon sa isang tiyak na punto ng baras na may coordinate x. Para sa pagiging simple ng pangangatwiran, ipinapalagay namin na walang pagsipsip ng vibrational energy sa baras at samakatuwid ang mga amplitude ng direkta at sinasalamin na mga alon ay pantay.

Sa ilang mga punto sa oras, kapag ang displacement ng oscillating particle sa isang punto ay katumbas ng y, sa isa pang punto sa rod, ang displacement na dulot ng isang direktang alon ay, ayon sa wave formula, ay magiging katumbas ng

Ang sinasalamin na alon ay dumadaan din sa parehong punto A. Upang mahanap ang displacement na dulot sa point A ng reflected wave (kasabay nito ay kinakailangan upang kalkulahin ang oras kung kailan ang wave ay maglalakbay mula papunta at pabalik sa point Dahil ang displacement na dulot sa punto ng reflected wave ay magiging katumbas ng

Sa kasong ito, ipinapalagay na sa sumasalamin na dulo ng baras sa proseso ng pagmuni-muni ay walang biglang pagbabago sa yugto ng oscillation; sa ilang mga kaso tulad ng pagbabago sa bahagi (tinatawag na phase loss) ay nangyayari at dapat isaalang-alang.

Ang pagdaragdag ng mga panginginig ng boses na dulot sa iba't ibang mga punto ng baras sa pamamagitan ng direkta at sinasalamin na mga alon ay nagbibigay ng isang nakatayong alon; Talaga,

kung saan ang ilang pare-parehong yugto, independiyente sa x coordinate, at ang dami

ay ang amplitude ng oscillation sa punto; depende ito sa x coordinate, ibig sabihin, iba ito sa iba't ibang lugar ng rod.

Hanapin natin ang mga coordinate ng mga puntong iyon ng baras kung saan nabuo ang mga node at antinodes ng standing wave. Ang cosine ay nagiging zero o ang isa ay nangyayari sa mga halaga ng argumento na maramihan ng

kung saan ay isang integer. Para sa isang kakaibang halaga ng numerong ito, ang cosine ay naglalaho at ang formula (5.19) ay nagbibigay ng mga coordinate ng mga node ng standing wave; para kahit na makuha namin ang mga coordinate ng antinodes.

Sa itaas, dalawang alon lamang ang idinagdag: ang isang direktang, na nagmumula at isang nasasalamin, na lumalaganap mula. Gayunpaman, dapat itong isaalang-alang na ang masasalamin na alon sa hangganan ng baras ay muling masasalamin at pupunta sa direksyon ng ang direktang alon. Ang ganitong mga pagmumuni-muni

magkakaroon ng maraming mula sa mga dulo ng baras, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang mahanap ang resulta ng pagkagambala hindi ng dalawa, ngunit ng lahat ng mga alon nang sabay-sabay na umiiral sa baras.

Ipagpalagay natin na ang isang panlabas na pinagmumulan ng mga panginginig ng boses ay nagdulot ng mga alon sa baras sa loob ng ilang panahon, pagkatapos nito ay tumigil ang daloy ng enerhiya ng panginginig ng boses mula sa labas. Sa panahong ito, ang mga pagmuni-muni ay naganap sa baras, kung saan ang oras kung saan ang alon ay dumaan mula sa isang dulo ng baras patungo sa isa pa. Dahil dito, sa baras ay magkakaroon ng sabay-sabay na mga alon na naglalakbay sa pasulong na direksyon at mga alon na naglalakbay sa tapat na direksyon.

Ipagpalagay natin na bilang resulta ng interference ng isang pares ng mga alon (direkta at sinasalamin), ang displacement sa punto A ay naging katumbas ng y. Hanapin natin ang kondisyon kung saan ang lahat ng mga displacement y dulot ng bawat pares ng mga alon ay may parehong direksyon sa punto A ng baras at samakatuwid ay nagdaragdag. Para dito, ang mga yugto ng mga oscillations na dulot ng bawat pares ng mga alon sa isang punto ay dapat na mag-iba mula sa yugto ng mga oscillations na dulot ng susunod na pares ng mga alon. Ngunit ang bawat alon ay muling babalik sa punto A na may parehong direksyon ng pagpapalaganap lamang pagkatapos ng isang oras, ibig sabihin, ito ay nahuhuli sa yugto sa pamamagitan ng pagpantay sa lag na ito kung saan ang isang integer, nakukuha natin

ibig sabihin, ang isang integer na bilang ng mga kalahating alon ay dapat magkasya sa haba ng baras. Tandaan na sa ilalim ng kundisyong ito, ang mga yugto ng lahat ng mga alon na naglalakbay mula sa pasulong na direksyon ay naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng kung saan ang isang integer; sa eksaktong parehong paraan, ang mga yugto ng lahat ng mga alon na naglalakbay mula sa kabaligtaran na direksyon ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng . tanging ang amplitude ng mga oscillations ay tataas. Kung ang maximum na amplitude ng mga oscillations sa panahon ng interference ng dalawang waves, ayon sa formula (5.18), ay pantay, pagkatapos ay sa interference ng maraming waves ito ay magiging mas malaki. Ipahiwatig natin ito bilang pagkatapos ay ang pamamahagi ng oscillation amplitude kasama ang baras sa halip na ang expression (5.18) ay matutukoy ng formula

Ang mga expression (5.19) at (5.20) ay tumutukoy sa mga punto kung saan ang cosine ay may mga halaga o 1:

kung saan ang isang integer Ang mga coordinate ng mga node ng standing wave ay makukuha mula sa formula na ito para sa mga kakaibang halaga pagkatapos, depende sa haba ng baras, ibig sabihin, ang halaga

ang mga coordinate ng antinode ay makukuha na may mga pantay na halaga

Sa fig. 1.63 schematically nagpapakita ng isang nakatayong alon sa isang baras, ang haba nito; ang mga punto ay ang mga antinode, ang mga punto ay ang mga node ng nakatayong alon na ito.

Sa ch. ipinakita na sa kawalan ng panaka-nakang panlabas na impluwensya, ang likas na katangian ng coding motions sa system at, higit sa lahat, ang pangunahing dami - ang dalas ng oscillation - ay tinutukoy ng mga sukat at pisikal na katangian ng system. Ang bawat oscillatory system ay may sariling, likas na oscillatory motion; ang pagbabagu-bagong ito ay maaaring maobserbahan kung ang sistema ay aalisin sa ekwilibriyo at pagkatapos ay ang mga panlabas na impluwensya ay aalisin.

Sa ch. 4 na oras Isinaalang-alang ko ang karamihan sa mga oscillatory system na may bukol na mga parameter, kung saan ang ilang mga katawan (punto) ay nagtataglay ng inertial mass, at ang iba pang mga katawan (mga bukal) ay nagtataglay ng mga nababanat na katangian. Sa kabaligtaran, ang mga oscillatory system kung saan ang masa at elasticity ay likas sa bawat elementary volume ay tinatawag na mga sistema na may mga distributed na parameter. Kabilang dito ang mga tungkod na tinalakay sa itaas, mga string, pati na rin ang mga haligi ng likido o gas (sa mga instrumentong pangmusika ng hangin), atbp. Para sa mga naturang sistema, ang mga nakatayong alon ay natural na panginginig ng boses; ang pangunahing katangian ng mga alon na ito - ang haba ng daluyong o ang pamamahagi ng mga node at antinodes, pati na rin ang dalas ng mga oscillations - ay tinutukoy lamang ng mga sukat at katangian ng system. Ang mga nakatayong alon ay maaari ding umiral sa kawalan ng panlabas (pana-panahong) pagkilos sa sistema; ang pagkilos na ito ay kinakailangan lamang upang maging sanhi o mapanatili ang mga nakatayong alon sa system o upang baguhin ang mga amplitude ng mga oscillation. Sa partikular, kung ang isang panlabas na pagkilos sa isang sistema na may mga ipinamamahagi na mga parameter ay nangyayari sa isang dalas na katumbas ng dalas ng mga natural na oscillations nito, ibig sabihin, ang dalas ng isang nakatayong alon, kung gayon ang resonance phenomenon ay nagaganap, na isinasaalang-alang sa Chap. 5. para sa iba't ibang mga frequency ay pareho.

Kaya, sa mga system na may mga distributed na parameter, ang mga natural na oscillations - standing waves - ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang buong spectrum ng mga frequency na multiple ng bawat isa. Ang pinakamaliit sa mga frequency na ito na tumutugma sa pinakamahabang wavelength ay tinatawag na pangunahing frequency; ang natitira) ay mga overtones o harmonics.

Ang bawat sistema ay nailalarawan hindi lamang sa pagkakaroon ng naturang spectrum ng mga oscillations, kundi pati na rin ng isang tiyak na pamamahagi ng enerhiya sa pagitan ng mga oscillations ng iba't ibang mga frequency. Para sa mga instrumentong pangmusika, ang pamamahagi na ito ay nagbibigay sa tunog ng isang kakaibang katangian, ang tinatawag na sound timbre, na naiiba para sa iba't ibang mga instrumento.

Ang mga kalkulasyon sa itaas ay tumutukoy sa isang libreng oscillating "rod ng haba. Gayunpaman, kadalasan ay mayroon kaming mga rod na naayos sa isa o magkabilang dulo (halimbawa, vibrating string), o may isa o higit pang mga punto sa kahabaan ng rod. Ang mga paggalaw ay sapilitang mga displacement node. Halimbawa,

kung kinakailangan upang makakuha ng mga nakatayong alon sa baras sa isa, dalawa, tatlong mga punto ng pag-aayos, atbp., kung gayon ang mga puntong ito ay hindi maaaring piliin nang basta-basta, ngunit dapat na matatagpuan sa kahabaan ng baras upang sila ay nasa mga node ng nabuo na standing wave . Ito ay ipinapakita, halimbawa, sa Fig. 1.64. Sa parehong figure, ang tuldok na linya ay nagpapakita ng mga displacement ng mga punto ng baras sa panahon ng vibrations; Ang mga displacement antinodes ay palaging nabubuo sa mga libreng dulo, at ang mga displacement node sa mga nakapirming dulo. Para sa mga oscillating air column sa mga tubo, ang mga displacement node (at velocities) ay nakukuha sa reflective solid walls; Ang mga antinode ng mga displacement at tulin ay nabuo sa mga bukas na dulo ng mga tubo.

Kung ang ilang mga alon ay sabay-sabay na nagpapalaganap sa daluyan, kung gayon ang mga oscillations ng mga particle ng medium ay magiging geometric na kabuuan ng mga oscillations na gagawin ng mga particle sa panahon ng pagpapalaganap ng bawat isa sa mga alon nang hiwalay. Dahil dito, ang mga alon ay nagsasapawan lamang sa isa't isa nang hindi nakakagambala sa isa't isa. Ang pahayag na ito ay tinatawag na prinsipyo ng superposisyon (superposisyon) ng mga alon.

Sa kaso kapag ang mga oscillation na dulot ng mga indibidwal na alon sa bawat isa sa mga punto ng daluyan ay may pare-parehong pagkakaiba sa bahagi, ang mga alon ay tinatawag na magkakaugnay. (Ang isang mas mahigpit na kahulugan ng pagkakaugnay ay ibibigay sa § 120.) Kapag ang magkakaugnay na mga alon ay idinagdag nang sama-sama, ang phenomenon ng interference ay lumitaw, na binubuo sa katotohanan na ang mga oscillations sa ilang mga punto ay lumalakas, at sa iba pang mga punto ay nagpapahina sila sa isa't isa.

Ang isang napakahalagang kaso ng interference ay sinusunod kapag ang dalawang counterpropagating plane wave na may parehong amplitude ay nakapatong. Ang resultang oscillatory process ay tinatawag na standing wave. Ang mga halos nakatayong alon ay lumilitaw kapag ang mga alon ay naaaninag mula sa mga hadlang. Ang alon na bumabagsak sa hadlang at ang masasalamin na alon na tumatakbo patungo dito, na nakapatong sa isa't isa, ay nagbibigay ng isang nakatayong alon.

Isulat natin ang mga equation ng dalawang plane wave na nagpapalaganap sa kahabaan ng x-axis sa magkasalungat na direksyon:

Ang pagsasama-sama ng mga equation na ito at ang pagbabago ng resulta gamit ang formula para sa kabuuan ng mga cosine, nakukuha natin

Ang equation (99.1) ay ang standing wave equation. Upang pasimplehin ito, pipiliin namin ang pinagmulan upang ang pagkakaiba ay maging katumbas ng zero, at ang pinagmulan - upang ang kabuuan ay maging zero. Bilang karagdagan, pinapalitan namin ang wave number k ng halaga nito

Pagkatapos ang equation (99.1) ay kinuha ang form

Mula sa (99.2) makikita na sa bawat punto ng standing wave, ang mga oscillations ng parehong frequency ay nangyayari tulad ng sa mga counter wave, at ang amplitude ay nakasalalay sa x:

ang oscillation amplitude ay umabot sa pinakamataas na halaga nito. Ang mga puntong ito ay tinatawag na antinodes ng nakatayong alon. Mula sa (99.3) ang mga halaga ng mga coordinate ng antinode ay nakuha:

Dapat tandaan na ang antinode ay hindi isang solong punto, ngunit isang eroplano, na ang mga punto ay may mga halaga ng x-coordinate na tinutukoy ng formula (99.4).

Sa mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa kondisyon

nawawala ang oscillation amplitude. Ang mga puntong ito ay tinatawag na mga node ng standing wave. Ang mga punto ng daluyan na matatagpuan sa mga node ay hindi umiikot. Mahalaga ang mga coordinate ng node

Ang isang node, tulad ng isang antinode, ay hindi isang solong punto, ngunit isang eroplano, na ang mga punto ay may mga halaga ng x-coordinate na tinutukoy ng formula (99.5).

Mula sa mga formula (99.4) at (99.5) sumusunod na ang distansya sa pagitan ng mga kalapit na antinode, pati na rin ang distansya sa pagitan ng mga kalapit na node, ay katumbas ng . Ang mga antinode at node ay inilipat nang may kaugnayan sa isa't isa ng isang-kapat ng haba ng daluyong.

Balikan natin muli ang equation (99.2). Ang multiplier ay nagbabago ng sign kapag pumasa sa zero. Alinsunod dito, ang yugto ng mga oscillations sa magkabilang panig ng node ay naiiba sa pamamagitan ng Nangangahulugan ito na ang mga punto na nakahiga sa magkabilang panig ng node ay nag-o-oscillate sa antiphase. Ang lahat ng mga puntos na nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkalapit na mga node ay nag-o-oscillate sa yugto (ibig sabihin, sa parehong yugto). Sa fig. 99.1 isang serye ng mga "snapshot" ng mga paglihis ng mga puntos mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay ibinigay.

Ang unang "larawan" ay tumutugma sa sandali kung kailan naabot ng mga paglihis ang kanilang pinakamalaking ganap na halaga. Ang mga kasunod na "mga larawan" ay kinuha sa pagitan ng quarter-period. Ang mga arrow ay nagpapakita ng mga bilis ng butil.

Ang pagkakaiba-iba ng equation (99.2) isang beses na may paggalang sa t at isa pang oras na may paggalang sa x, nakita namin ang mga expression para sa bilis ng butil at para sa pagpapapangit ng medium:

Ang equation (99.6) ay naglalarawan ng standing wave ng bilis, at (99.7) - isang standing wave ng deformation.

Sa fig. 99.2 "mga snapshot" ng displacement, velocity at deformation para sa mga sandali ng oras 0 at inihambing. Mula sa mga graph makikita na ang mga node at antinodes ng velocity ay nag-tutugma sa mga node at antinodes ng displacement; ang mga node at antinodes ng deformation ay nag-tutugma, ayon sa pagkakabanggit, sa mga antinodes at node ng displacement. Habang naaabot ang maximum na mga halaga, naglalaho ito, at kabaliktaran.

Alinsunod dito, dalawang beses sa isang panahon ang enerhiya ng nakatayong alon ay binago alinman sa ganap na potensyal, na puro malapit sa mga node ng alon (kung saan matatagpuan ang mga antinode ng pagpapapangit), pagkatapos ay ganap sa kinetic energy, na puro malapit sa mga antinode ng ang alon (kung saan matatagpuan ang mga antinode ng bilis). Bilang resulta, mayroong paglipat ng enerhiya mula sa bawat node patungo sa mga antinode na katabi nito at kabaliktaran. Ang time-average na energy flux sa anumang seksyon ng wave ay katumbas ng zero.