Ang artikulong ito ay naglalaman ng pangunahing impormasyon tungkol sa tunay na mga numero. Una, ang kahulugan ng tunay na mga numero ay ibinigay at ang mga halimbawa ay ibinigay. Ang posisyon ng mga tunay na numero sa linya ng coordinate ay ipinapakita sa susunod. At sa konklusyon, sinusuri kung paano ibinibigay ang mga tunay na numero sa anyo ng mga numerical expression.
Pag-navigate sa pahina.
Kahulugan at mga halimbawa ng tunay na mga numero
Mga totoong numero bilang mga expression
Mula sa kahulugan ng mga tunay na numero, malinaw na ang mga tunay na numero ay:
- anumang natural na numero;
- anumang integer ;
- anumang ordinaryong fraction (parehong positibo at negatibo);
- anumang halo-halong numero;
- anumang decimal fraction (positibo, negatibo, finite, infinite periodic, infinite non-periodic).
Ngunit napakadalas ang mga tunay na numero ay makikita sa anyo, atbp. Bukod dito, ang kabuuan, pagkakaiba, produkto, at quotient ng mga tunay na numero ay mga tunay na numero din (tingnan mga operasyon na may totoong mga numero). Halimbawa, ito ay mga tunay na numero.
At kung lalayo ka pa, pagkatapos ay mula sa mga tunay na numero gamit ang mga arithmetic sign, root sign, degree, logarithmic, trigonometric function, atbp. maaari kang bumuo ng lahat ng uri ng mga numerical na expression, ang mga halaga nito ay magiging tunay na mga numero. Halimbawa, ang mga halaga ng expression 
at 
ay tunay na mga numero.
Sa pagtatapos ng artikulong ito, tandaan namin na ang susunod na hakbang sa pagpapalawak ng konsepto ng numero ay ang paglipat mula sa mga tunay na numero sa kumplikadong mga numero.
Bibliograpiya.
- Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).
Copyright ng matatalinong estudyante
Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kabilang ang mga panloob na materyales at panlabas na disenyo, ang maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.
Pag-uulit ng junior high school
integral
Derivative
Dami ng katawan
Solid ng rebolusyon
Paraan ng mga coordinate sa espasyo
Parihabang coordinate system. Relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng vector at mga coordinate ng punto. Ang pinakasimpleng mga problema sa mga coordinate. Scalar na produkto ng mga vector.
Ang konsepto ng isang silindro. Ang ibabaw na lugar ng isang silindro. Ang konsepto ng isang kono.
Ang ibabaw na lugar ng isang kono. Sphere at bola. Ang lugar ng globo. Mutual na pag-aayos ng globo at eroplano.
Ang konsepto ng lakas ng tunog. Ang dami ng isang parihabang parallelepiped. Dami ng isang tuwid na prisma, silindro. Ang dami ng pyramid at cone. Ang dami ng bola.
Seksyon III. Mga simula ng pagsusuri sa matematika
Derivative. Derivative ng isang power function. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba. Mga derivative ng ilang elementary function. Ang geometric na kahulugan ng derivative.
Application ng derivative sa pag-aaral ng mga function Ang pagtaas at pagbaba ng pag-andar. Extrema ng function. Paglalapat ng derivative sa paglalagay ng mga graph. Ang pinakamalaking, pinakamaliit na halaga ng function.
Primitive. Mga panuntunan para sa paghahanap ng mga primitive. Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid at ang integral. Pagkalkula ng mga integral. Pagkalkula ng mga lugar gamit ang mga integral.
Mga gawain sa pagsasanay para sa mga pagsusulit
Seksyon I. Algebra
Ang numero ay isang abstraction na ginagamit upang mabilang ang mga bagay. Ang mga numero ay lumitaw sa primitive na lipunan na may kaugnayan sa pangangailangan para sa mga tao na magbilang ng mga bagay. Sa paglipas ng panahon, sa pag-unlad ng agham, ang bilang ay naging pinakamahalagang konsepto ng matematika.
Upang malutas ang mga problema at patunayan ang iba't ibang mga theorems, kailangan mong maunawaan kung anong mga uri ng mga numero. Ang mga pangunahing uri ng mga numero ay kinabibilangan ng: natural na mga numero, integer, rational na numero, tunay na numero.
Ang mga natural na numero ay mga numero na nakuha sa pamamagitan ng natural na pagbibilang ng mga bagay, o sa halip, sa pamamagitan ng kanilang pagnunumero ("una", "pangalawa", "ikatlo" ...). Ang hanay ng mga natural na numero ay tinutukoy ng Latin na titik N (maaalala mo, batay sa salitang Ingles na natural). Masasabi natin na N =(1,2,3,....)
Sa pamamagitan ng pagpupuno sa mga natural na numero na may zero at negatibong mga numero (ibig sabihin, mga numero na kabaligtaran ng mga natural na numero), ang hanay ng mga natural na numero ay pinalawak sa hanay ng mga integer.
Ang mga integer ay mga numero mula sa set (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ang set na ito ay binubuo ng tatlong bahagi - natural na mga numero, mga negatibong integer (kabaligtaran ng mga natural na numero) at ang numero 0 (zero). Ang mga integer ay tinutukoy ng Latin na letrang Z. Masasabi nating Z=(1,2,3,....). Ang mga rational na numero ay mga numero na maaaring ipahayag bilang isang fraction, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero.
Mayroong mga rational na numero na hindi maaaring isulat bilang isang finite decimal fraction, halimbawa. Kung, halimbawa, sinubukan mong magsulat ng isang numero bilang isang decimal fraction gamit ang kilalang division corner algorithm, makakakuha ka ng isang infinite decimal fraction. Ang isang walang katapusang decimal ay tinatawag pana-panahon, inuulit ang numero 3 - kanya panahon. Ang isang periodic fraction ay madaling isinulat tulad ng sumusunod: 0, (3); mababasa ang: "Zero integers at tatlo sa period."
Sa pangkalahatan, ang periodic fraction ay isang infinite decimal fraction, kung saan, simula sa isang tiyak na decimal place, ang parehong digit o ilang digit ay inuulit - ang panahon ng fraction.
Halimbawa, ang isang decimal ay panaka-nakang may tuldok na 56; mababasa ang "23 integers, 14 hundredths at 56 sa period."
Kaya, ang bawat rational na numero ay maaaring katawanin bilang isang walang katapusang periodic decimal fraction.
Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: ang bawat walang katapusang periodic decimal fraction ay isang rational na numero, dahil maaari itong katawanin bilang isang fraction, kung saan ay isang integer, ay isang natural na numero.
Ang tunay (tunay) na mga numero ay mga numero na ginagamit upang sukatin ang tuluy-tuloy na dami. Ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy ng Latin na titik R. Ang mga tunay na numero ay kinabibilangan ng mga rational na numero at hindi makatwiran na mga numero. Ang mga irrational na numero ay mga numerong nakukuha sa pamamagitan ng pagsasagawa ng iba't ibang operasyon sa mga rational na numero (halimbawa, pagkuha ng ugat, pagkalkula ng logarithms), ngunit hindi makatwiran sa parehong oras. Ang mga halimbawa ng mga numerong hindi makatwiran ay .
Anumang tunay na numero ay maaaring ipakita sa linya ng numero:
Para sa mga hanay ng mga numerong nakalista sa itaas, ang sumusunod na pahayag ay totoo: ang hanay ng mga natural na numero ay kasama sa hanay ng mga integer, ang hanay ng mga integer ay kasama sa hanay ng mga rational na numero, at ang hanay ng mga rational na numero ay kasama sa hanay ng mga tunay na numero. Ang pahayag na ito ay maaaring ilarawan gamit ang mga lupon ng Euler.
Mga pagsasanay para sa paglutas sa sarili
Kung ang numerong α ay hindi maaaring katawanin bilang isang hindi mababawasang bahagi na $$\frac(p)(q)$$, kung gayon ito ay tinatawag na irrational.
Ang isang hindi makatwirang numero ay isinulat bilang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction.
Ang katotohanan ng pagkakaroon ng mga hindi makatwirang numero ay ipapakita sa pamamagitan ng isang halimbawa.
Halimbawa 1.4.1. Patunayan na walang rational number na ang parisukat ay 2.
Desisyon. Ipagpalagay na mayroong hindi mababawasan na fraction $$\frac(p)(q)$$ na $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
o $$p^(2)=2q^(2)$$. Kasunod nito na ang $$p^(2)$$ ay isang multiple ng 2, at samakatuwid ang p ay isang multiple ng 2. Kung hindi, kung ang p ay hindi mahahati ng 2, ibig sabihin, $$p=2k-1$$, pagkatapos ay $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ ay hindi rin mahahati ng 2. Samakatuwid, $ $ p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Rightarrow$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Dahil ang $$q^(2)$$ ay multiple ng 2, kung gayon ang q ay multiple din ng 2, i.e. $$q=2m$$.
Kaya, ang mga numerong p at q ay may isang karaniwang kadahilanan - ang numero 2, na nangangahulugan na ang fraction na $$\frac(p)(q)$$ ay nabawasan.
Ang pagkakasalungatan na ito ay nangangahulugan na ang palagay na ginawa ay mali, kaya ang pahayag ay napatunayan.
Ang set ng rational at irrational na mga numero ay tinatawag na set ng real numbers.
Sa hanay ng mga tunay na numero, ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagpaparami ay axiomatically na ipinakilala: anumang dalawang tunay na numero a at b ay itinalaga ang numerong $$a+b$$ at ang produktong $$a\cdot b$$.
Bilang karagdagan, ang mga ugnayang "mas malaki kaysa", "mas mababa sa" at pagkakapantay-pantay ay ipinakilala sa set na ito:
$$a>b$$ kung at kung ang a - b ay positibong numero;
$$a
Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero.
1. Kung $$a>b$$ at $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Kung $$a>b$$ at $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Kung $$a>b$$ at $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac
5. Kung ang a, b, c, d ay mga positibong numero na ang $$a>b$$ at $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Bunga. Kung ang a at b ay mga positibong numero at $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Kung $$a>b$$ at $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Kung $$a>0$$, $$b>0$$ at $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.
Geometric na interpretasyon ng mga tunay na numero.
Kumuha tayo ng isang tuwid na linya l, tingnan ang fig. 1.4.1, at ayusin ang isang punto O dito - ang pinagmulan.
Hinahati ng Point O ang linya sa dalawang bahagi - mga sinag. Ang sinag na nakadirekta sa kanan ay tinatawag na positibong sinag, at ang sinag na nakadirekta sa kaliwa ay tinatawag na negatibong sinag. Sa tuwid na linya, minarkahan namin ang segment na kinuha bilang isang yunit ng haba, i.e. ipasok ang sukat.
kanin. 1.4.1. Geometric na interpretasyon ng mga tunay na numero.
Ang isang tuwid na linya na may napiling pinanggalingan, positibong direksyon at sukat ay tinatawag na linya ng numero.
Ang bawat punto ng linya ng numero ay maaaring iugnay sa isang tunay na numero ayon sa sumusunod na panuntunan:
- ang punto O ay itatalaga sa zero;
– ang bawat punto N sa positibong sinag ay itinalaga ng isang positibong numero a, kung saan ang a ay ang haba ng segment ON ;
– bawat punto M sa negatibong sinag ay nakatalaga ng negatibong numero b, kung saan $$b=-\kaliwa | OM \right |$$ (ang haba ng segment na OM, na kinunan gamit ang minus sign).
Kaya, ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng hanay ng lahat ng mga punto ng tunay na linya ng numero at ng hanay ng mga tunay na numero, i.e. :
1) bawat punto sa linya ng numero ay itinalaga ng isa at isang tunay na numero lamang;
2) iba't ibang mga puntos ay itinalaga ng iba't ibang mga numero;
3) walang isang tunay na numero na hindi tumutugma sa anumang punto sa linya ng numero.
Halimbawa 1.4.2. Sa linya ng numero, markahan ang mga puntos na tumutugma sa mga numero:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Desisyon. 1) Upang mamarkahan ang fractional number na $$\frac(12)(7)$$, kailangan mong bumuo ng punto na tumutugma sa $$\frac(12)(7)$$.
Upang gawin ito, kailangan mong hatiin ang isang segment ng haba 1 sa 7 pantay na bahagi. Nalutas namin ang problemang ito sa ganitong paraan.
Gumuhit kami ng arbitrary ray mula sa t.O at magtabi ng 7 pantay na segment sa ray na ito. Kunin
segment OA, at mula sa punto A gumuhit kami ng isang tuwid na linya patungo sa intersection na may 1.
kanin. 1.4.2. Dibisyon ng isang segment sa 7 pantay na bahagi.
Ang mga tuwid na linya na iginuhit na kahanay sa tuwid na linya A1 hanggang sa mga dulo ng mga natanggal na mga segment ay naghahati sa segment ng haba ng yunit sa 7 pantay na bahagi (Larawan 1.4.2). Ginagawa nitong posible na bumuo ng isang punto na kumakatawan sa bilang na $$1\frac(5)(7)$$ (Fig.1.4.3).
kanin. 1.4.3. Isang punto sa number axis na tumutugma sa numerong $$1\frac(5)(7)$$.
2) Ang numerong $$\sqrt(2)$$ ay maaaring makuha ng ganito. Bumubuo kami ng isang tamang tatsulok na may mga binti ng yunit. Kung gayon ang haba ng hypotenuse ay $$\sqrt(2)$$; ang segment na ito ay nakatabi mula sa O sa linya ng numero (Larawan 1.4.4).
3) Upang makabuo ng isang point remote mula sa PO sa layong $$\sqrt(3)$$ (sa kanan), kinakailangan na bumuo ng isang right-angled triangle na may mga binti na may haba na 1 at $$\sqrt(2 )$$. Pagkatapos ang hypotenuse nito ay may haba na $$\sqrt(2)$$, na nagpapahintulot sa iyo na tukuyin ang nais na punto sa totoong axis.
Para sa mga tunay na numero, ang konsepto ng isang module (o absolute value) ay tinukoy.
kanin. 1.4.4. Ang punto sa number axis na tumutugma sa numerong $$\sqrt(2)$$.
Ang modulus ng isang tunay na numero a ay tinatawag na:
ay ang numero mismo, kung a ay isang positibong numero;
- zero kung a- zero;
– -a, kung a- isang negatibong numero.
Ang ganap na halaga ng isang numero a tinutukoy ng $$\left | isang \right |$$.
Ang kahulugan ng modyul (o ganap na halaga) ay maaaring isulat bilang
| $$\kaliwa | isang \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ | (1.4.1) |
Sa geometriko, ang module ng numerong a ay nangangahulugang ang distansya sa linya ng numero mula sa pinanggalingan O hanggang sa puntong naaayon sa numero. a.
Napansin namin ang ilang mga katangian ng modyul.
1. Para sa anumang numero a ang pagkakapantay-pantay na $$\naiwan | isang \kanan |=\kaliwa | -a \right |$$.
2. Para sa anumang mga numero a at b ang pagkakapantay-pantay ay totoo
$$\kaliwa | ab \kanan |=\kaliwa | isang \kanan |\cdot \kaliwa | b \kanan |$$; $$\kaliwa | \frac(a)(b) \kanan |=\frac(\kaliwa | a \kanan |)(\kaliwa | b \kanan |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\kaliwa | isang \right |^(2)=a^(2)$$.
3. Para sa anumang numero a ang hindi pagkakapantay-pantay $$\naiwan | isang \right |\geq 0$$.
4. Para sa anumang numero a ang hindi pagkakapantay-pantay $$-\left | a\right |\leq a\leq \left | isang \right |$$.
5. Para sa anumang mga numero a at b ang hindi pagkakapantay-pantay
$$\kaliwa | a+b \right |\leq \left | isang \kanan |+\kaliwa | b \kanan |$$
Isaalang-alang ang mga sumusunod na hanay ng numero.
Kung ang $$a
2) ang pagitan (a; b) ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero α
, para sa bawat isa ay totoo: $$a<\alpha
Katulad nito, maaari kang magpasok ng kalahating pagitan.
Sa ilang mga kaso, ang isa ay nagsasalita ng "mga puwang", ibig sabihin ay alinman sa isang sinag, o isang segment, o isang pagitan, o isang kalahating pagitan.
Isang grupo ng R ang lahat ng tunay na numero ay tinutukoy ng sumusunod: $$(-\infty; \infty)$$.
Para sa anumang totoong numero a, ipinakilala namin ang konsepto ng isang degree na may natural na exponent n, ibig sabihin
$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ at $$a^(1)=a$$.
Hayaan a ay anumang hindi-zero na numero, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan $$a^(0)=1$$.
Ang zero na kapangyarihan ng zero ay hindi tinukoy.
Hayaan a- anumang hindi zero na numero, m ay anumang integer. Pagkatapos ang bilang na $$a^(m)$$ ay tinutukoy ng panuntunan:
$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\in N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\in N\end(matrix)\kanan.$$
kung saan isang m ay tinatawag na degree na may integer exponent.
Bago tukuyin ang konsepto ng isang degree na may isang rational exponent, ipinakilala namin ang konsepto ng isang arithmetic root.
Aritmetika na antas ng ugat n (n ∈ N, n > 2) di-negatibong numero a tinatawag na di-negatibong numero b ganyan b n = a. Numero b tinutukoy bilang $$b\sqrt[n](a)$$.
Mga katangian ng arithmetic roots ( a > 0, b > 0, n, m, k- mga integer.)
| 1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$ | 5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$ |
| 2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$ | 6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$ |
| 3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$ | 7. $$\sqrt(a^(2))=\kaliwa | isang \right |$$ |
| 4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$ | 8. $$\sqrt(a^(2n))=\kaliwa | isang \right |$$ |
Hayaan a< 0
, a n ay isang natural na bilang na higit sa 1. Kung n ay isang even na numero, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay b n = a hindi nagtataglay ng anumang tunay na halaga b. Nangangahulugan ito na sa larangan ng mga tunay na numero, imposibleng matukoy ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero. Kung n ay isang kakaibang numero, pagkatapos ay mayroon lamang isang tunay na numero b ganyan b n = a. Ang numerong ito ay tinutukoy na √n a at tinatawag na kakaibang ugat ng negatibong numero.
Gamit ang kahulugan ng pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at ang kahulugan ng isang arithmetic root, nagbibigay kami ng kahulugan ng isang degree na may isang rational exponent.
Hayaan a ay isang positibong numero at ang $$r=\frac(p)(q)$$ ay isang rational na numero, at q- natural na numero.
positibong numero
$$b=\sqrt[q](a^(p))$$
ay tinatawag na kapangyarihan ng a na may exponent r at tinutukoy bilang
$$b=a^(r)$$, o $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, dito $$q\in N $$, $$q\geq2$$.
Isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng isang degree na may rational exponent.
Hayaan a at b ay anumang positibong numero, r 1 at r 2 ay anumang mga rational na numero. Kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:
| 1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$ | |
| 2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$ | |
| 3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$ | |
| 4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$ | |
| 5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$ | (1.4.2) |
| 6. $$a^(0)=1$$ | |
| 7. Kung $$a>1$$ at $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$ | |
| 8. Kung $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Rightarrow 0< a^{r_{1}}< 1$$ | |
| 9. Kung $$a>1$$ at $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ | |
| 10. Kung $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$ |
Ang konsepto ng antas ng isang positibong numero ay pangkalahatan para sa anumang tunay na exponent α
.
Pagtukoy sa antas ng isang positibong numero a na may mga tunay na exponent α
.
1. Kung $$\alpha > 0$$ at
1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$
2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, kung saan p at q- mga natural na numero $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$
3) α ay isang hindi makatwirang numero, kung gayon
a) kung a > 1, kung gayon isang α- bilang na mas malaki sa a r i at mas mababa sa isang r k, saan r i α
may dehado rk- anumang rational approximation ng isang numero α
labis;
b) kung 0< a< 1, то isang α- isang numerong mas malaki kaysa sa isang r k at mas mababa sa a r i;
c) kung a= 1, pagkatapos ay isang α = 1.
2. Kung $$\alpha=0$$, pagkatapos ay isang α = 1.
3. Kung ang $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.
Numero isang α ay tinatawag na degree, ang bilang a ay ang base ng degree, ang numero α
- exponent.
Ang isang kapangyarihan ng isang positibong numero na may isang tunay na exponent ay may parehong mga katangian bilang isang kapangyarihan na may isang rational exponent.
Halimbawa 1.4.3. Kalkulahin ang $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.
Desisyon. Gamitin natin ang root property:
$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2 ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$
Sagot. 6.
Halimbawa 1.4.4. Kalkulahin ang $$6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$
| 1) 4 | 2) 8 | 3) 8,25 | 4) 12,25 |
Ngunit ang mga fraction na ito ba ay palaging pana-panahon? Ang sagot sa tanong na ito ay negatibo: may mga segment na ang mga haba ay hindi maipahayag ng isang walang katapusang periodic fraction (iyon ay, isang positibong rational na numero) na may napiling yunit ng haba. Ito ang pinakamahalagang pagtuklas sa matematika, kung saan sinundan nito na ang mga rational na numero ay hindi sapat upang sukatin ang mga haba ng mga segment.
Kung ang yunit ng haba ay ang haba ng isang gilid ng isang parisukat, kung gayon ang haba ng dayagonal ng parisukat na ito ay hindi maaaring ipahayag ng isang positibong rational na numero.
Mula sa pahayag na ito ay sumusunod na may mga segment na ang mga haba ay hindi maaaring ipahayag bilang isang positibong numero (na may napiling yunit ng haba), o, sa madaling salita, isinulat bilang isang walang katapusang periodic fraction. Nangangahulugan ito na ang mga infinite decimal fraction na nakuha sa pamamagitan ng pagsukat sa mga haba ng mga segment ay maaaring hindi pana-panahon.
Ito ay pinaniniwalaan na ang walang katapusang non-periodic decimal fraction ay isang talaan ng mga bagong numero - positibong hindi makatwiran na mga numero. Dahil ang mga konsepto ng numero at ang notasyon nito ay madalas na nakikilala, sinasabi nila na ang walang katapusang periodic decimal fraction ay mga positibong irrational na numero.
Ang hanay ng mga positibong numerong hindi makatwiran ay tinutukoy ng simbolong J+.
Ang unyon ng dalawang set ng mga numero: positive rational at positive irrational ay tinatawag na set of positive real numbers at tinutukoy ng simbolong R+.
Ang anumang positibong tunay na numero ay maaaring katawanin ng isang infinite decimal fraction - periodic (kung ito ay rational) o non-periodic (kung ito ay hindi makatwiran).
Ang mga aksyon sa mga positibong tunay na numero ay binabawasan sa mga aksyon sa mga positibong makatwirang numero. Kaugnay nito, para sa bawat positibong tunay na numero, ang mga tinatayang halaga nito ay ipinakilala sa mga tuntunin ng kakulangan at labis.
Hayaang maibigay ang dalawang positibong tunay na numero a at b, isang at bn- ayon sa kanilang mga pagtatantya sa mga tuntunin ng kakulangan, a¢n at b¢n ang kanilang mga pagtatantya ay labis.
Ang kabuuan ng mga tunay na numero a at b a+ b n natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay isang+ bn ≤ a + b< a¢n + b¢n.
Ang produkto ng tunay na mga numero a at b tulad ng isang tunay na numero ay tinatawag na a× b, na para sa anumang natural n natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay isang× bn ≤
a b
Pagkakaiba ng mga positibong tunay na numero a at b tulad ng isang tunay na numero ay tinatawag na kasama, Ano a= b + c.
Quotient ng mga positibong tunay na numero a at b tulad ng isang tunay na numero ay tinatawag na kasama, Ano a= b × s.
Ang unyon ng set ng positive real numbers na may set ng negative real numbers at zero ay ang set R ng lahat ng real numbers.
Ang paghahambing ng mga tunay na numero at mga operasyon sa mga ito ay isinasagawa ayon sa mga alituntuning kilala mula sa kursong matematika ng paaralan.
Suliranin 60. Hanapin ang unang tatlong decimal na lugar ng kabuuan na 0.333… + 1.57079…
Desisyon. Kunin natin ang mga decimal approximation ng mga termino na may apat na decimal na lugar:
0,3333 < 0,3333… < 0,3334
1,5707 < 1,57079… < 1,5708.
Magdagdag ng pataas: 1.9040 ≤ 0.333… + 1.57079…< 1,9042.
Samakatuwid, 0.333… + 1.57079…= 1.904…
Gawain 61. Hanapin ang unang dalawang decimal na lugar ng produkto a x b, kung a= 1.703604… at b = 2,04537…
Desisyon. Kumuha kami ng mga decimal approximation ng mga numerong ito na may tatlong decimal na lugar:
1,703 < a <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:
1.703 × 2.045 ≤ a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.
kaya, a x b= 3,48…
Mga ehersisyo para sa malayang gawain
1. Isulat ang mga decimal approximation ng irrational number π = 3.1415 ... sa mga tuntunin ng kakulangan at labis na may katumpakan ng:
a) 0.1; b) 0.01; c) 0.001.
2. Hanapin ang unang tatlong decimal na lugar ng kabuuan a+ b, kung:
a) a = 2,34871…, b= 5.63724…; b) a = , b= π; sa) a = ; b= ; G) a = ; b = .
