MATHEMATICAL ANALYSIS
Limitasyon sa pag-andar
Sequence limit at function. Limitahan ang mga theorems
pare-parehong numero a tinawag limitasyon ng pagkakasunud-sunod(x n ) kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numero e mayroong isang numerong N upang ang lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
êx n - isang ê< e. (1.1)
Isulat ito bilang sumusunod: o x n ® a.
Ang hindi pagkakapantay-pantay (1.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay
a-e< x n < a + e, (1.2)
na nangangahulugan na ang mga puntos x n, simula sa ilang numero n>N, nakahiga sa loob ng pagitan (a-e, a+e), i.e. mahulog sa anumang maliit na e-kapitbahayan ng punto a.
Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - divergent.
Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng function x n = f(n) ng isang integer argument n.
Hayaang maibigay ang isang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng mga punto ng set D(f) naiiba mula sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f).
Kahulugan 1. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon ng pag-andar f(x) sa x®a kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A.
Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.
Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon ng pag-andar f(x) sa x®a kung, bibigyan ng arbitrary, arbitraryong maliit na positibong numero e, mahahanap ng isa ang d >0 (depende sa e) para sa lahat x, nakahiga sa d-kapitbahayan ng numero a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.
Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wika e - d".
Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x ® a ay may limitasyon na katumbas ng A, ito ay isinusulat bilang
F(x) = A. (1.3)
Kung sakaling ang sequence (f(x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang:
F(x) = ¥ ( f(x) = - ¥).
Ang isang variable (i.e. isang sequence o function) na may zero bilang limitasyon nito ay tinatawag walang katapusang maliit.
Ang isang variable na may walang katapusang limitasyon ay tinatawag walang hanggan malaki.
Upang mahanap ang mga limitasyon sa pagsasanay, ang mga sumusunod na theorems ay ginagamit.
Teorama 1. Kung may mga limitasyon f(x)=A, g(x)=B, kung gayon
(f(x)+(g(x)) = A + B, (1.4)
F(x) g(x) = AB, (1.5)
F(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0). (1.6)
Magkomento. Ang mga expression ng form na 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang infinitesimal o infinitely large quantities, at ang paghahanap ng mga limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na "uncertainty disclosure".
Teorama 2.(f(x)) a = ( f(x)) a , kung saan a = const, (1.7)
mga. posible na pumasa sa limitasyon sa base ng antas sa isang pare-parehong exponent, sa partikular,;
B f(x) =b A , kung saan b = const, f(x)=A; (1.8)
Log c f(x) = log c f(x), kung saan c = const. (1.9)
Teorama 3.= 1, = 1, a = const, a >0,
(1 + a) 1/ a = e, (1.11)
saan e» 2.7 ang base ng natural na logarithm. Ang mga formula (1.10) at (1.11) ay tinatawag na una at pangalawang kapansin-pansin na mga limitasyon.
Ang mga corollaries ng formula (1.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:
tala c e, (1.12)
(a a - 1)/a = log a, (1.13)
((1 + a) m - 1)/a = m, (1.14)
sa partikular,
Kung x® a at x > a, pagkatapos ay isulat ang x® a+0. Kung, sa partikular, a=0, sa halip na ang simbolo ay 0+0 isulat ang +0. Katulad nito, kung x®a at, bukod dito, x
Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung
Ang kundisyon (1.15) ay maaaring isulat muli bilang:
iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.
Kung ang pagkakapantay-pantay (1.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) may gap. Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang point x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinman sa mga kapitbahayan nito, i.e., anumang bukas na pagitan na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D(f), ngunit hindi ito kabilang sa set na ito. Ang value na f(x o)= f(0) ay hindi tinukoy, kaya ang function ay may discontinuity sa puntong x o = 0.
Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa isang punto xo kung
at tuloy-tuloy sa kaliwa sa isang punto x o kung
Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.
Para sa isang function na maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganang limitasyon , at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng gap ang function.
1. Kung mayroon at hindi katumbas ng f(x o), sasabihin nila iyon function f(x) sa punto mayroon si xo break ng unang uri, o tumalon.
2. Kung ang ¥ ay katumbas o wala, kung gayon sinasabi nila na sa punto x o ang function ay may discontinuity ng pangalawang uri.
Halimbawa, ang function na y = ctg x sa x® +0 ay may limitasyon na katumbas ng +¥, na nangangahulugan na sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump.
Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy sa . Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve.
Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng isang radioactive substance, ang pagdami ng bacteria, atbp.
Isipin mo halimbawa ng Ya. I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan e= . Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaang maglagay ang bangko ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera na may interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, pagkatapos ay sa oras na ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 den. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon 100 den. mga yunit lalago ng 100 × 1.5 = 150, at sa isa pang anim na buwan - ng 150 × 1.5 = 225 (den. units). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit magiging 100 × (1 + 1/3) 3 "237 (den. units). Dadagdagan namin ang timeframe para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, 0.01 taon, 0.001 taon, at iba pa. Tapos sa 100 den. mga yunit makalipas ang isang taon:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).
Sa isang walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng pagsali sa interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katiyakan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilagay sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo, dahil
Halimbawa 1 Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang pagkakasunod-sunod na x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1.
Desisyon. Kailangan nating patunayan na, anuman ang e>0 na kunin natin, mayroong natural na bilang N para dito, para sa lahat ng n > N ang hindi pagkakapantay-pantay ½ x n -1 ½ Kunin natin ang anumang e >0. Dahil ½ x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, kung gayon upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng sequence na ibinigay ng karaniwang termino x n = . Desisyon. Inilapat namin ang sum limit theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Dahil n ®¥ ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna kami x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit theorem at ang sum limit theorem, makikita natin: Halimbawa 3. x n = . Hanapin ang x n . Desisyon. = . Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base. Halimbawa 4. Hanapin (). Desisyon. Imposibleng ilapat ang difference limit theorem, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa anyo na ¥ - ¥. Ibahin natin ang formula ng pangkalahatang termino: Halimbawa 5. Given a function f(x)=2 1/x . Patunayan na wala ito. Desisyon. Ginagamit namin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence ( x n ) na nagko-convert sa 0, i.e. xn=0. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, 1/n =0, pagkatapos = 2 n = +¥. Pumili tayo ngayon bilang x n isang sequence na may karaniwang termino x n = -1/n, na may posibilidad din sa zero. = 2 - n = 1/2 n = 0. Samakatuwid, 2 1/x ay hindi umiiral. Halimbawa 6. Patunayan ang kasalanan x ay wala. Desisyon. Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan Kung x n = pn, kung gayon ang sin x n = sin pn = 0 para sa lahat n at sinxn=0. Kung Halimbawa 7 Hanapin . Desisyon. Mayroon kaming: = 5 . Ipahiwatig ang t = 5x. Para sa x®0 mayroon kaming: t®0. Sa paglalapat ng formula (3.10), nakukuha natin ang 5 . Halimbawa 8. Kalkulahin ang . Desisyon. Tukuyin natin ang y=p-x. Pagkatapos, bilang x®p, y®0, mayroon kaming: kasalanan 3x \u003d kasalanan 3 (p-y) \u003d kasalanan (3p-3y) \u003d kasalanan 3y. kasalanan 4x \u003d kasalanan 4 (p-y) \u003d kasalanan (4p-4y) \u003d - kasalanan 4y. Halimbawa 9. Hanapin . Desisyon. Tukuyin ang arcsin x=t. Pagkatapos x=sin t at para sa x®0 t®0. = . Halimbawa 10. Hanapin ang 1); 2); 3). Desisyon.
1. Paglalapat ng Theorem 1 sa limitasyon ng pagkakaiba at produkto, makikita natin ang limitasyon ng denominator: . Ang limitasyon ng denominator ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ayon sa Theorem 1 sa limitasyon ng quotient, nakuha natin ang: = . 2. Dito ang numerator at denominator ay may posibilidad na zero, i.e. mayroong isang kawalan ng katiyakan ng form 0/0. Ang quotient limit theorem ay hindi direktang naaangkop. Upang "ibunyag ang kawalan ng katiyakan", binabago namin ang function na ito. Sa paghahati ng numerator at denominator sa x-2, makuha natin para sa x ¹ 2 ang pagkakapantay-pantay: Dahil (x + 1) ¹ 0, kung gayon, sa pamamagitan ng quotient limit theorem, makikita natin 3. Ang numerator at denominator ng x®¥ ay walang katapusang malalaking function. Samakatuwid, ang quotient limit theorem ay hindi direktang naaangkop. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng x2 at ilapat ang quotient limit theorem sa resultang function: Halimbawa 11. Hanapin . Desisyon. Dito ang numerator at denominator ay may posibilidad na zero: , x-9®0, i.e. mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa anyo. Binabago natin ang function na ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng expression , nakukuha natin Halimbawa 12. Hanapin . Desisyon. = . 6.2. Paglalapat ng mga limitasyon sa mga kalkulasyon ng ekonomiya Pinagsamang interes Sa mga praktikal na kalkulasyon, ang mga discrete na porsyento ay pangunahing ginagamit, i.e. interes na naipon para sa mga nakapirming pantay na agwat ng oras (taon, kalahating taon, quarter, atbp.). Ang oras ay isang discrete variable. Sa ilang mga kaso, sa mga patunay at kalkulasyon na nauugnay sa tuluy-tuloy na mga proseso, kinakailangan na gumamit ng tuluy-tuloy na mga porsyento. Isaalang-alang ang formula ng tambalang interes: S = P(1 + i) n . (1.16) Narito ang P ay ang paunang halaga, ang i ay ang rate ng interes (bilang isang decimal fraction), ang S ay ang halaga na nabuo sa pagtatapos ng termino ng pautang sa dulo n ika taon. Ang paglago ng compound na interes ay isang proseso na lumalaki nang malaki. Ang pagdaragdag ng naipon na interes sa halaga na nagsilbing batayan para sa kanilang pagpapasiya ay madalas na tinatawag capitalization ng interes. Sa pagsasanay sa pananalapi, madalas silang nahaharap sa isang problema na kabaligtaran ng pagtukoy ng naipon na halaga: para sa isang naibigay na halaga S, na dapat bayaran pagkatapos ng ilang panahon n, ito ay kinakailangan upang matukoy ang halaga ng natanggap na pautang P. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang halaga S may diskwento, at ang mga porsyento sa anyo ng pagkakaiba S - P ay tinatawag diskwento. Ang halagang P na natagpuan sa pamamagitan ng pagbabawas ng S ay tinatawag moderno, o ibinigay, halaga S. Mayroon kaming: P = z P = = 0. Kaya, sa napakahabang termino ng pagbabayad, ang kasalukuyang halaga ng huli ay magiging lubhang hindi gaanong mahalaga. Sa praktikal na mga operasyon sa pananalapi at kredito, ang mga tuluy-tuloy na proseso ng pag-iipon ng pera, iyon ay, pag-iipon sa mga walang katapusang maliliit na yugto ng panahon, ay bihirang ginagamit. Ang patuloy na paglago ay higit na mahalaga sa dami ng pananalapi at pang-ekonomiyang pagsusuri ng mga kumplikadong pang-industriya at pang-ekonomiyang bagay at phenomena, halimbawa, sa pagpili at pagbibigay-katwiran ng mga desisyon sa pamumuhunan. Ang pangangailangang gumamit ng tuluy-tuloy na mga accrual (o tuloy-tuloy na porsyento) ay pangunahing tinutukoy ng katotohanan na maraming pang-ekonomiyang phenomena ang tuluy-tuloy sa kalikasan, samakatuwid, ang isang analytical na paglalarawan sa anyo ng tuluy-tuloy na mga proseso ay mas sapat kaysa batay sa mga discrete. I-generalize namin ang formula ng tambalang interes para sa kaso kapag sinisingil ang interes m isang beses sa isang taon: S = P (1 + i/m) mn . Ang naipon na halaga sa mga discrete na proseso ay makikita ng formula na ito, dito m- ang bilang ng mga accrual period sa isang taon, i- taunang o nominal na rate. Ang higit pa m, mas maikli ang mga agwat ng oras sa pagitan ng mga sandali ng pagkalkula ng interes. Sa limitasyon bilang m ®¥ mayroon tayo: `S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n . Dahil (1 + i/m) m = e i , pagkatapos ay `S = P e in . Sa patuloy na pagtaas ng interes, ginagamit ang isang espesyal na uri ng rate ng interes - lakas ng paglaki, na nagpapakilala sa kamag-anak na pagtaas sa naipon na halaga sa isang walang katapusang maliit na yugto ng panahon. Sa patuloy na pag-capitalize ng interes, ang naipon na halaga ay katumbas ng panghuling halaga, na depende sa paunang halaga, ang accrual na panahon at ang nominal na rate ng interes. Upang makilala sa pagitan ng tuluy-tuloy na mga rate ng interes at mga discrete na rate ng interes, tinutukoy namin ang dating ng d, pagkatapos ay `S = Pe . Ang lakas ng paglago d ay ang nominal na rate ng interes sa m®¥. Ang multiplier ay kinakalkula gamit ang isang computer o ayon sa mga function table. Mga stream ng pagbabayad. pinansiyal na upa Ang mga kontrata, transaksyon, komersyal at pagpapatakbo ng produksyon at negosyo ay kadalasang nagbibigay hindi para sa hiwalay na minsanang pagbabayad, ngunit para sa maraming mga pagbabayad at resibo na ibinahagi sa paglipas ng panahon. Ang mga indibidwal na elemento ng naturang serye, at kung minsan ang serye ng mga pagbabayad sa kabuuan, ay tinatawag daloy ng pagbabayad. Ang mga miyembro ng stream ng pagbabayad ay maaaring maging positibo (mga resibo) o negatibong (mga pagbabayad) na halaga. Ang daloy ng mga pagbabayad, na ang lahat ng mga miyembro ay positibong halaga, at ang mga agwat ng oras sa pagitan ng dalawang magkasunod na pagbabayad ay pare-pareho, ay tinatawag na pinansiyal na upa. Ang mga annuity ay nahahati sa taunang at R- apurahan, kung saan R nailalarawan ang bilang ng mga pagbabayad sa loob ng taon. Ito ay mga discrete rent. Sa pagsasanay sa pananalapi at pang-ekonomiya, mayroon ding mga pagkakasunud-sunod ng mga pagbabayad na ginagawa nang napakadalas na sa pagsasagawa ay maituturing silang tuluy-tuloy. Ang mga naturang pagbabayad ay inilalarawan ng tuluy-tuloy na annuity. Halimbawa 13 Ipagpalagay na sa katapusan ng bawat taon sa loob ng apat na taon, 1 milyong rubles ang idineposito sa bangko, ang interes ay naipon sa katapusan ng taon, ang rate ay 5% bawat taon. Sa kasong ito, ang unang installment ay magiging halaga na 10 6 ´ 1.05 3 sa pagtatapos ng annuity period, dahil ang katumbas na halaga ay nasa account sa loob ng 3 taon, ang pangalawang installment ay tataas sa 10 6 ´ 1.05 2 , dahil ito ay nasa account sa loob ng 2 taon. Ang huling yugto ay hindi nagbabayad ng interes. Kaya, sa pagtatapos ng panahon ng annuity, ang mga kontribusyon na may naipon na interes ay kumakatawan sa isang serye ng mga numero: 10 6 ´ 1.05 3 ; 10 6 ´ 1.05 2 ; 10 6 ´ 1.05; 10 6. Ang halagang naipon sa pagtatapos ng annuity period ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga miyembro ng seryeng ito. Upang ibuod kung ano ang sinabi, nakukuha namin ang kaukulang formula para sa naipon na halaga ng taunang annuity. Ipahiwatig: S - ang naipon na halaga ng annuity, R - ang laki ng termino ng annuity, R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R. Isulat muli natin ang seryeng ito sa reverse order. Ito ay isang geometric na progression na may denominator (1+i) at ang unang terminong R. Hanapin natin ang kabuuan ng mga termino ng progression. Nakukuha namin ang: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) = Ang halaga a n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i ay tinatawag kadahilanan ng pagbabawas ng upa. Ang annuity reduction coefficient sa n ®¥ ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang kasalukuyang halaga ng annuity ay mas malaki kaysa sa termino nito: Isang; i \u003d (1 - (1 + i) - n) / i \u003d 1 / i. Halimbawa 14 Sa ilalim walang hanggang annuity ay nauunawaan bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabayad, ang bilang ng mga miyembro na kung saan ay hindi limitado - ito ay binabayaran para sa isang walang katapusang bilang ng mga taon. Ang perpetual annuity ay hindi isang purong abstraction - sa pagsasagawa ito ay ilang mga uri ng bonded loan, isang pagtatasa ng kakayahan ng mga pondo ng pensiyon na matugunan ang kanilang mga obligasyon. Batay Reduction coefficient para sa perpetual annuity a n; i ® 1/i, kung saan ang A = R/i, ibig sabihin, ang kasalukuyang halaga ay nakasalalay lamang sa halaga ng termino ng annuity at ang tinatanggap na rate ng interes. Ang matematika ay ang agham na bumubuo sa mundo. Parehong siyentipiko at karaniwang tao - walang magagawa kung wala ito. Una, ang mga maliliit na bata ay tinuturuan na magbilang, pagkatapos ay idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin, sa gitnang paaralan, ang mga pagtatalaga ng titik ay naglaro, at sa mas matanda ay hindi na sila maaalis. Ngunit ngayon ay pag-uusapan natin kung ano ang batayan ng lahat ng kilalang matematika. Tungkol sa komunidad ng mga numero na tinatawag na "mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod". Ang kahulugan ng salitang "sequence" ay hindi mahirap bigyang kahulugan. Ito ay tulad ng isang pagtatayo ng mga bagay, kung saan ang isang tao o isang bagay ay matatagpuan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod o pila. Halimbawa, ang pila para sa mga tiket sa zoo ay isang pagkakasunod-sunod. At maaari lamang magkaroon ng isa! Kung, halimbawa, titingnan mo ang pila sa tindahan, ito ay isang sequence. At kung ang isang tao ay biglang umalis sa pila na ito, kung gayon ito ay ibang pila, ibang pagkakasunud-sunod. Ang salitang "limitasyon" ay madaling bigyang kahulugan - ito ang katapusan ng isang bagay. Gayunpaman, sa matematika, ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang mga halaga sa linya ng numero kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Bakit nagsusumikap at hindi nagtatapos? Ito ay simple, ang linya ng numero ay walang katapusan, at karamihan sa mga sequence, tulad ng mga ray, ay may simula lamang at ganito ang hitsura: x 1, x 2, x 3, ... x n ... Samakatuwid ang kahulugan ng isang sequence ay isang function ng natural na argumento. Sa mas simpleng salita, ito ay isang serye ng mga miyembro ng ilang set. Ang pinakasimpleng halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero ay maaaring ganito: 1, 2, 3, 4, …n... Sa karamihan ng mga kaso, para sa mga praktikal na layunin, ang mga pagkakasunud-sunod ay binuo mula sa mga numero, at bawat susunod na miyembro ng serye, sabihin natin ito sa pamamagitan ng X, ay may sariling pangalan. Halimbawa: x 1 - ang unang miyembro ng sequence; x 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence; x 3 - ang ikatlong miyembro; x n ay ang ika-na miyembro. Sa mga praktikal na pamamaraan, ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay ng isang pangkalahatang formula kung saan mayroong ilang variable. Halimbawa: X n \u003d 3n, kung gayon ang mga serye ng mga numero mismo ay magiging ganito: Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa pangkalahatang notasyon ng mga pagkakasunud-sunod, maaari mong gamitin ang anumang mga Latin na titik, at hindi lamang X. Halimbawa: y, z, k, atbp. Bago hanapin ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ipinapayong suriin nang mas malalim ang mismong konsepto ng naturang serye ng numero, na naranasan ng lahat noong sila ay nasa gitnang mga klase. Ang arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing termino ay pare-pareho. Gawain: "Hayaan ang isang 1 \u003d 15, at ang hakbang ng pag-unlad ng serye ng numero d \u003d 4. Buuin ang unang 4 na miyembro ng row na ito" Solusyon: a 1 = 15 (ayon sa kundisyon) ang unang miyembro ng progression (serye ng numero). at 2 = 15+4=19 ang pangalawang miyembro ng progression. at 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 ang pangatlong termino. at 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 ang pang-apat na termino. Gayunpaman, mahirap maabot ang malalaking halaga sa pamamaraang ito, halimbawa, hanggang sa isang 125. . Lalo na para sa mga ganitong kaso, ang isang formula na maginhawa para sa pagsasanay ay nakuha: a n \u003d a 1 + d (n-1). Sa kasong ito, isang 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511. Karamihan sa mga pagkakasunud-sunod ay walang katapusang, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa buong buhay. Mayroong dalawang kawili-wiling uri ng serye ng numero. Ang una ay ibinigay ng formula a n =(-1) n . Madalas na tinutukoy ng mga mathematician ang mga sequence ng flasher na ito. Bakit? Suriin natin ang mga numero nito. 1, 1, -1 , 1, -1, 1, atbp. Sa halimbawang ito, nagiging malinaw na ang mga numero sa pagkakasunud-sunod ay madaling maulit. factorial sequence. Madaling hulaan na mayroong factorial sa formula na tumutukoy sa sequence. Halimbawa: at n = (n+1)! Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay magiging ganito: at 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6; at 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, atbp. Ang isang sequence na ibinigay ng isang arithmetic progression ay tinatawag na infinitely decreasing kung ang hindi pagkakapantay-pantay -1 ay naobserbahan para sa lahat ng mga miyembro nito at 3 \u003d - 1/8, atbp. Mayroong kahit isang sequence na binubuo ng parehong numero. Kaya, at n \u003d 6 ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga anim. Matagal nang umiral ang mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod sa matematika. Siyempre, karapat-dapat sila sa kanilang sariling karampatang disenyo. Kaya, oras na upang matutunan ang kahulugan ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Una, isaalang-alang ang limitasyon para sa isang linear function nang detalyado: Madaling maunawaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ito ay isang tiyak na numero, kung saan ang lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod ay walang katapusan na lumalapit. Simpleng halimbawa: at x = 4x+1. Pagkatapos ang sequence mismo ay magiging ganito. 5, 9, 13, 17, 21…x... Kaya, ang sequence na ito ay tataas nang walang katiyakan, na nangangahulugan na ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity bilang x→∞, at dapat itong isulat bilang sumusunod: Kung kukuha tayo ng katulad na pagkakasunud-sunod, ngunit ang x ay may posibilidad na 1, makakakuha tayo ng: At ang serye ng mga numero ay magiging ganito: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, atbp. Sa bawat oras na kailangan mong palitan ang numero nang higit pa at mas malapit sa isa (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Makikita mula sa seryeng ito na ang limitasyon ng function ay lima. Mula sa bahaging ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung ano ang limitasyon ng isang numerical sequence, ang kahulugan at pamamaraan para sa paglutas ng mga simpleng gawain. Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa limitasyon ng numerical sequence, ang kahulugan nito at mga halimbawa, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong paksa. Ganap na lahat ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay maaaring buuin ng isang formula, na karaniwang sinusuri sa unang semestre. Kaya, ano ang ibig sabihin ng set ng mga titik, module at hindi pagkakapantay-pantay na ito? Ang ∀ ay isang unibersal na quantifier, na pinapalitan ang mga pariralang "para sa lahat", "para sa lahat", atbp. Ang ∃ ay isang existant quantifier, sa kasong ito, nangangahulugan ito na mayroong ilang value N na kabilang sa set ng mga natural na numero. Ang isang mahabang vertical stick na sumusunod sa N ay nangangahulugan na ang ibinigay na set N ay "ganyan". Sa pagsasagawa, ito ay maaaring mangahulugan ng "ganyan", "ganyan", atbp. Upang pagsama-samahin ang materyal, basahin nang malakas ang formula. Ang paraan ng paghahanap ng limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, na tinalakay sa itaas, bagama't simpleng gamitin, ay hindi masyadong makatwiran sa pagsasanay. Subukang hanapin ang limitasyon para sa function na ito: Kung papalitan natin ang iba't ibang mga halaga ng x (tumataas sa bawat oras: 10, 100, 1000, atbp.), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ∞ sa numerator, ngunit ∞ din sa denominator. Ito ay lumalabas na isang medyo kakaibang bahagi: Pero ganun ba talaga? Ang pagkalkula ng limitasyon ng numerical sequence sa kasong ito ay tila madaling sapat. Posibleng iwanan ang lahat ng ito, dahil handa na ang sagot, at natanggap ito sa mga makatwirang termino, ngunit may isa pang paraan partikular para sa mga ganitong kaso. Una, hanapin natin ang pinakamataas na antas sa numerator ng fraction - ito ay 1, dahil ang x ay maaaring katawanin bilang x 1. Ngayon hanapin natin ang pinakamataas na antas sa denominator. Gayundin 1. Hatiin ang numerator at denominator ng variable hanggang sa pinakamataas na antas. Sa kasong ito, hinahati namin ang fraction sa x 1. Susunod, hanapin natin kung ano ang halaga ng bawat terminong naglalaman ng variable. Sa kasong ito, ang mga fraction ay isinasaalang-alang. Bilang x→∞, ang halaga ng bawat isa sa mga fraction ay may posibilidad na zero. Kapag gumagawa ng isang papel sa pagsulat, ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng mga sumusunod na footnote: Ang sumusunod na expression ay nakuha: Siyempre, ang mga fraction na naglalaman ng x ay hindi naging mga zero! Ngunit ang kanilang halaga ay napakaliit na medyo pinahihintulutan na huwag isaalang-alang ito sa mga kalkulasyon. Sa katunayan, ang x ay hindi kailanman magiging katumbas ng 0 sa kasong ito, dahil hindi mo mahahati sa zero. Ipagpalagay natin na ang propesor ay may isang kumplikadong pagkakasunud-sunod, na ibinigay, malinaw naman, sa pamamagitan ng isang hindi gaanong kumplikadong pormula. Nahanap ng propesor ang sagot, ngunit kasya ba ito? Pagkatapos ng lahat, lahat ng tao ay nagkakamali. Gumawa si Auguste Cauchy ng isang mahusay na paraan upang patunayan ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod. Ang kanyang pamamaraan ay tinatawag na operasyon ng kapitbahayan. Ipagpalagay na mayroong ilang punto a, ang kapitbahayan nito sa magkabilang direksyon sa totoong linya ay katumbas ng ε ("epsilon"). Dahil ang huling variable ay distansya, ang halaga nito ay palaging positibo. Ngayon ay magtakda tayo ng ilang sequence x n at ipagpalagay na ang ikasampung miyembro ng sequence (x 10) ay kasama sa kapitbahayan ng a. Paano isulat ang katotohanang ito sa wikang matematika? Ipagpalagay na ang x 10 ay nasa kanan ng point a, pagkatapos ay ang distansya x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Ngayon ay oras na upang ipaliwanag sa pagsasanay ang formula na binanggit sa itaas. Makatarungang tawagan ang ilang numero bilang dulong punto ng isang pagkakasunud-sunod kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ε>0 ay nananatili para sa alinman sa mga limitasyon nito, at ang buong kapitbahayan ay may sariling natural na numerong N, upang ang lahat ng miyembro ng sequence na may mas matataas na numero ay magiging sa loob ng pagkakasunod-sunod |x n - a|< ε. Sa gayong kaalaman, madaling malutas ang mga limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, upang patunayan o pabulaanan ang isang handa na sagot. Ang mga teorema sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang mahalagang bahagi ng teorya, kung wala ang pagsasanay ay imposible. Mayroon lamang apat na pangunahing theorems, na naaalala kung alin, maaari mong makabuluhang mapadali ang proseso ng paglutas o pagpapatunay: Minsan kinakailangan upang malutas ang isang baligtad na problema, upang patunayan ang isang ibinigay na limitasyon ng isang numerical sequence. Tingnan natin ang isang halimbawa. Patunayan na ang limitasyon ng sequence na ibinigay ng formula ay katumbas ng zero. Ayon sa tuntunin sa itaas, para sa anumang pagkakasunod-sunod ang hindi pagkakapantay-pantay |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Ipahayag natin ang n sa mga tuntunin ng "epsilon" upang ipakita ang pagkakaroon ng isang tiyak na numero at patunayan ang pagkakaroon ng isang limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Sa yugtong ito, mahalagang alalahanin na ang "epsilon" at "en" ay mga positibong numero at hindi katumbas ng zero. Ngayon ay maaari mong ipagpatuloy ang karagdagang pagbabago gamit ang kaalaman tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa mataas na paaralan. Saan lumalabas na n > -3 + 1/ε. Dahil ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero, ang resulta ay maaaring bilugan sa pamamagitan ng paglalagay nito sa mga square bracket. Kaya, napatunayan na para sa anumang halaga ng "epsilon" na kapitbahayan ng punto a = 0, isang halaga ang natagpuan na ang paunang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. Mula dito maaari nating ligtas na igiit na ang numero a ay ang limitasyon ng ibinigay na pagkakasunud-sunod. Q.E.D. Sa ganitong maginhawang paraan, maaari mong patunayan ang limitasyon ng isang numerical sequence, gaano man ito kakomplikado sa unang tingin. Ang pangunahing bagay ay hindi mag-panic sa paningin ng gawain. Ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangan sa pagsasanay. Madaling makahanap ng mga ganitong serye ng mga numero na talagang walang katapusan. Halimbawa, ang parehong flasher x n = (-1) n . malinaw na hindi maaaring magkaroon ng limitasyon ang isang sequence na binubuo lamang ng dalawang digit na paulit-ulit na paikot. Ang parehong kuwento ay paulit-ulit na may mga pagkakasunud-sunod na binubuo ng isang solong numero, fractional, pagkakaroon sa kurso ng mga kalkulasyon ng isang kawalan ng katiyakan ng anumang pagkakasunud-sunod (0/0, ∞/∞, ∞/0, atbp.). Gayunpaman, dapat tandaan na ang maling pagkalkula ay nagaganap din. Minsan ang muling pagsuri sa sarili mong solusyon ay makakatulong sa iyong mahanap ang limitasyon ng mga paghalili. Sa itaas, isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at ngayon subukan nating kumuha ng mas tiyak na kaso at tawagan itong isang "monotone sequence". Depinisyon: makatarungang tawagan ang anumang pagkakasunud-sunod na monotonically na tumataas kung natutugunan nito ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Kasama ng dalawang kundisyong ito, mayroon ding mga katulad na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, x n ≤ x n +1 (hindi bumababa na pagkakasunud-sunod) at x n ≥ x n +1 (hindi tumataas na pagkakasunud-sunod). Ngunit mas madaling maunawaan ito sa mga halimbawa. Ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula x n \u003d 2 + n ay bumubuo ng mga sumusunod na serye ng mga numero: 4, 5, 6, atbp. Ito ay isang monotonically pagtaas ng pagkakasunod-sunod. At kung kukuha tayo ng x n \u003d 1 / n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye: 1/3, ¼, 1/5, atbp. Ito ay isang monotonically decreasing sequence. Ang bounded sequence ay isang sequence na may limitasyon. Ang convergent sequence ay isang serye ng mga numero na may infinitesimal na limitasyon. Kaya, ang limitasyon ng isang bounded sequence ay anumang tunay o kumplikadong numero. Tandaan na maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon. Ang limitasyon ng isang convergent sequence ay isang infinitesimal na dami (real o complex). Kung gumuhit ka ng isang diagram ng pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay sa isang tiyak na punto, ito ay, bilang ito ay, magtatagpo, ay may posibilidad na maging isang tiyak na halaga. Kaya ang pangalan - convergent sequence. Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay maaaring may limitasyon o wala. Una, ito ay kapaki-pakinabang upang maunawaan kung kailan ito, mula dito maaari kang magsimula kapag nagpapatunay ng kawalan ng limitasyon. Sa mga monotonic sequence, ang convergent at divergent ay nakikilala. Convergent - ito ay isang sequence na nabuo ng set x at may tunay o kumplikadong limitasyon sa set na ito. Divergent - isang sequence na walang limitasyon sa set nito (ni real or complex). Bukod dito, ang pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo kung ang mga upper at lower limit nito ay nagtatagpo sa isang geometric na representasyon. Ang limitasyon ng convergent sequence sa maraming pagkakataon ay maaaring katumbas ng zero, dahil ang anumang infinitesimal na sequence ay may alam na limitasyon (zero). Alinmang convergent sequence ang kukunin mo, lahat sila ay may hangganan, ngunit malayo sa lahat ng bounded sequence ay nagtatagpo. Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto ng dalawang convergent sequence ay isa ring convergent sequence. Gayunpaman, ang quotient ay maaari ding magtagpo kung ito ay tinukoy! Ang mga limitasyon sa pagkakasunud-sunod ay kasing-kahulugan (sa karamihan ng mga kaso) bilang mga numero at numero: 1, 2, 15, 24, 362, atbp. Lumalabas na ang ilang operasyon ay maaaring isagawa nang may mga limitasyon. Una, tulad ng mga digit at numero, ang mga limitasyon ng anumang sequence ay maaaring idagdag at ibawas. Batay sa ikatlong teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng kabuuan ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga limitasyon. Pangalawa, batay sa ikaapat na teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng produkto ng ika-n na bilang ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga limitasyon. Ang parehong ay totoo para sa paghahati: ang limitasyon ng quotient ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng kanilang mga limitasyon, sa kondisyon na ang limitasyon ay hindi katumbas ng zero. Pagkatapos ng lahat, kung ang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, kung gayon ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay lalabas, na imposible. Mukhang nasuri na sa ilang detalye ang limitasyon ng numerical sequence, ngunit ang mga pariralang tulad ng "walang hanggan maliit" at "walang hanggan malaki" na mga numero ay binanggit nang higit sa isang beses. Malinaw, kung mayroong isang sequence 1/x, kung saan ang x→∞, kung gayon ang naturang fraction ay walang hanggan maliit, at kung ang parehong sequence, ngunit ang limitasyon ay may posibilidad na zero (x→0), kung gayon ang fraction ay magiging isang walang katapusang malaking halaga. . At ang mga naturang halaga ay may sariling mga katangian. Ang mga katangian ng limitasyon ng isang sequence na may di-makatwirang maliit o malalaking halaga ay ang mga sumusunod: Sa katunayan, ang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay hindi isang mahirap na gawain kung alam mo ang isang simpleng algorithm. Ngunit ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang paksa na nangangailangan ng pinakamataas na atensyon at tiyaga. Siyempre, sapat na upang maunawaan lamang ang kakanyahan ng solusyon ng gayong mga ekspresyon. Simula sa maliit, sa paglipas ng panahon, maaabot mo ang malalaking taas. Teorama 1. Ang limitasyon ng algebraic sum ng dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan ay isang tiyak na bilang ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga limitasyon ng mga function na ito, i.e. Patunay. Isasagawa namin ang patunay para sa dalawang termino, dahil para sa anumang bilang ng mga termino ito ay isinasagawa sa parehong paraan. Hayaan .Pagkatapos f(x)=b+α(x) at g(x)=c+β(x), saan α
at β
ay infinitesimal functions. Kaya naman,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)). Bilang b+c ay isang pare-pareho, at α(x) + β(x) ay isang infinitesimal function, kung gayon Halimbawa. Teorama 2. Ang limitasyon ng produkto ng dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan ay may hangganan na bilang ng mga function ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon ng mga function na ito: Patunay. Hayaan . Kaya naman, f(x)=b+α(x) at g(x)=c+β(x) at fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ). Trabaho bc ay isang pare-parehong halaga. Function bβ + cα + αβ sa batayan ng mga katangian ng infinitesimal function, mayroong infinitesimal na dami. Kaya Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa limitasyon ng tanda: Bunga 2. Ang limitasyon ng antas ay katumbas ng antas ng limitasyon: Halimbawa. Teorama 3. Ang limitasyon ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon ng mga function na ito kung ang limitasyon ng denominator ay iba sa zero, i.e. Patunay. Hayaan . Kaya naman, f(x)=b+α(x) at g(x)=c+β(x), saan α, β
ay walang katapusang maliit. Isaalang-alang ang quotient Ang fraction ay isang infinitesimal function dahil ang numerator ay infinitesimal function at ang denominator ay may limitasyon c2 ≠0. Mga halimbawa. 3. Isaalang-alang. Sa x→1 ang numerator ng fraction ay may posibilidad na 1, at ang denominator ay may posibilidad na 0. Ngunit dahil, i.e. ay isang infinitesimal function para sa x→ 1, pagkatapos Teorama 4. Hayaang ibigay ang tatlong function f(x), u(x) at v(x), nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay u (x)≤f(x)≤v(x). Kung functions u(x) at v(x) may parehong limitasyon x→a(o x→∞), pagkatapos ay ang function f(x) may gawi sa parehong limitasyon, i.e. kung Teorama 5. Kung sa x→a(o x→∞) function y=f(x) kumukuha ng mga hindi negatibong halaga y≥0 at umaayon sa limitasyon b, kung gayon ang limitasyong ito ay hindi maaaring negatibo: b≥0. Patunay. Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng kontradiksyon. Magpanggap na tayo b<0
, pagkatapos |y – b|≥|b| at, samakatuwid, ang modulus ng pagkakaiba ay hindi malamang na zero sa x→a. Ngunit pagkatapos y hindi napupunta sa limitasyon b sa x→a, na sumasalungat sa kondisyon ng theorem. Teorama 6. Kung dalawang function f(x) at g(x) para sa lahat ng mga halaga ng argumento x masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay f(x)≥ g(x) at may mga limitasyon, pagkatapos ay mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay b≥c. Patunay. Ayon sa theorem f(x)-g(x) ≥0, samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 5 , o . 6. Pagbubunyag ng mga kawalan ng katiyakan (0/0), ∞ -∞ ako. Kawalang-katiyakan. Kapag nabubulok ang numerator sa mga kadahilanan, ginamit namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng isang "anggulo". Dahil ang bilang x=1 ay ang ugat ng polynomial x 3 – 6x2 + 11x– 6, tapos kapag dividing nakuha namin 7. Limitasyon ng pagkakasunud-sunod . Ang konsepto ng natural logarithm. IKALAWANG KATANGIANG LIMIT Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nagsisilbing ipakita ang kawalan ng katiyakan 1 ∞ at ganito ang hitsura Mga halimbawa: batayang logarithm e (e- isang transendental na numero na tinatayang katumbas ng 2.718281828 ...) ay tinatawag natural na logarithm. Natural logarithm ng isang numero x denoted ln x. Ang mga natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika, pisika at mga kalkulasyon ng engineering. Ang logarithms ay malawakang ginagamit base, tinatawag na natural. Ang mga natural na logarithm ay tinutukoy ng simbolo Ang konsepto ng limitasyon ng isang function. Ang konsepto ng pagpapatuloy ng isang function ay direktang nauugnay sa konsepto ng limitasyon ng isang function. Ang isang numero A ay tinatawag na limitasyon ng isang function f sa isang punto a, na naglilimita para sa isang set E, kung para sa alinmang kapitbahayan V(A) ng punto A mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto a na ang imahe nito ay nasa ilalim. ang pagmamapa f ay isang subset ng ibinigay na kapitbahayan V(A) ng punto A. Ang limitasyon ng function f sa puntong a, na siyang limitasyon para sa set E, ay tinutukoy bilang mga sumusunod: o , kung posible na alisin ang pagbanggit ng set E. Dahil ang bawat kapitbahayan ay maaaring iugnay sa sarili nitong regular (simetriko) na kapitbahayan, ang kahulugan ng limitasyon ay maaaring buuin sa wikang -δ sa anyo na karaniwan sa pagsusuri sa matematika: Ang limitasyon ng function sa point f sa point a, na siyang limitasyon para sa set E, ay direktang nauugnay sa limitasyon ng sequence. Isasaalang-alang namin ang lahat ng posibleng pagkakasunud-sunod ng mga punto ng set E na may punto a bilang kanilang limitasyon, at ang kaukulang mga pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng pag-andar sa mga punto ng pagkakasunud-sunod. Kung umiiral ang limitasyon ng function na f sa puntong a, ang limitasyong ito ang magiging limitasyon ng bawat sequence. Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang lahat ng mga pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo sa parehong halaga, ang function ay may limitasyon na katumbas ng ibinigay na halaga. pare-parehong numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n ) kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numeroε > 0 mayroong isang numero N tulad na ang lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay |x n - a|<
ε. (6.1)
Isulat ito bilang sumusunod: o x n → a. Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay a-ε< x n < a +
ε, (6.2)
na nangangahulugan na ang mga puntos x n, simula sa ilang numero n>N, nasa loob ng pagitan (a-ε, a + ε ), ibig sabihin. mahulog sa anumang maliitε -kapitbahayan ng punto a.
Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - divergent.
Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng function x n = f(n) ng isang integer argument n.
Hayaang maibigay ang isang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng mga punto ng set D(f) naiiba mula sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f). Kahulugan 1.Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.
Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung, bibigyan ng isang arbitrary na arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang gayong δ>0 (depende sa ε), na para sa lahat x nakahiga saε-mga kapitbahayan ng isang numero a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wikang ε - δ
“.
Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x →a ay may limitasyon katumbas ng A, ito ay nakasulat bilang . (6.3)
Kung sakaling ang sequence (f(x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang: Ang isang variable (i.e. isang sequence o function) na ang limitasyon ay zero ay tinatawag walang katapusang maliit.
Ang isang variable na ang limitasyon ay katumbas ng infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.
Upang mahanap ang limitasyon sa pagsasanay, gamitin ang mga sumusunod na theorems. Teorama 1
. Kung ang bawat limitasyon ay umiiral Magkomento. Mga expression tulad ng 0/0, ∞/∞, ∞-∞
, 0*∞
,
-
ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang infinitesimal o infinitely large quantities, at ang paghahanap ng limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na "uncertainty disclosure". Teorama 2.
(6.7)
mga. posibleng pumasa sa limitasyon sa base ng degree sa isang pare-parehong exponent, sa partikular, (6.8)
(6.9)
Teorama 3.
(6.10)
saan e
»
Ang 2.7 ay ang batayan ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na una kahanga-hangang limitasyon at ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon. Ang mga corollaries ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay: sa partikular ang limitasyon Kung x → a at sa parehong oras x > a, pagkatapos ay isulat ang x→a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, sa halip na ang simbolo na 0+0 ay nagsusulat ng +0. Katulad nito, kung x→a at sa parehong oras x Ang kundisyon (6.15) ay maaaring muling isulat bilang: iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto. Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) Mayroon itong gap. Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang point x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinman sa mga kapitbahayan nito, i.e., anumang bukas na pagitan na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D(f), ngunit hindi ito kabilang sa set na ito. Ang value na f(x o)= f(0) ay hindi tinukoy, kaya ang function ay may discontinuity sa puntong x o = 0. Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa isang punto x o kung limitasyon at tuloy-tuloy sa kaliwa sa isang punto x o kung limitasyon Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa. Para sa isang function na maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganang limitasyon , at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng gap ang function. 1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f(x o), pagkatapos ay sinasabi nila iyon function f(x) sa punto mayroon si xo break ng unang uri, o tumalon.
2. Kung ang limitasyon ay+∞ o -∞ o wala, pagkatapos ay sasabihin namin iyon sa punto x o may pahinga ang function pangalawang uri.
Halimbawa, ang function na y = ctg x sa x→ Ang +0 ay may limitasyon na katumbas ng +∞, samakatuwid, sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump. Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy sa . Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve. Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng isang radioactive substance, ang pagdami ng bacteria, atbp. Isipin mo halimbawa ng Ya. I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan 100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units), 100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units), 100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units). Sa isang walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng pagsali sa interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katiyakan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilagay sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo dahil ang limitasyon Halimbawa 3.1.Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang pagkakasunod-sunod na x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1. Desisyon.Kailangan nating patunayan na anumanε > 0 ang kinukuha namin, para dito mayroong natural na bilang N na para sa lahat n N ang hindi pagkakapantay-pantay|xn-1|< ε.
Kumuha ng anumang e > 0. Since ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pagkatapos ay upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n<
e. Kaya n>1/ e at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang integer na bahagi ng 1/ e , N = E(1/ e ). Kaya namin pinatunayan na ang limitasyon. Halimbawa 3.2
. Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino Desisyon.Ilapat ang limit sum theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Para sa n→ ∞ ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna kami x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit theorem at ang sum limit theorem, makikita natin: Halimbawa 3.3. Desisyon. Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base. Halimbawa 3.4
. Hanapin ( Desisyon.Imposibleng ilapat ang difference limit theorem, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa form ∞-∞
. Ibahin natin ang formula ng pangkalahatang termino: .
Halimbawa 3.5
. Given a function f(x)=2 1/x . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral. Desisyon.Ginagamit namin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence ( x n ) na nagko-convert sa 0, i.e. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon Halimbawa 3.6
. Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral. Desisyon.Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan Kung x n \u003d p n, pagkatapos ay kasalanan x n \u003d kasalanan p n = 0 para sa lahat n at limitahan Kung Widget para sa pagkalkula ng mga limitasyon on-line Sa itaas na kahon, sa halip na sin(x)/x, ilagay ang function na ang limitasyon ay gusto mong hanapin. Sa ibabang kahon, ipasok ang numerong x at i-click ang Calcular button, makuha ang gustong limitasyon. At kung mag-click ka sa Ipakita ang mga hakbang sa kanang sulok sa itaas sa window ng resulta, makakakuha ka ng isang detalyadong solusyon. Mga panuntunan sa pag-input ng function: sqrt(x) - square root, cbrt(x) - cube root, exp(x) - exponent, ln(x) - natural logarithm, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Mga Palatandaan: * multiplikasyon, / dibisyon, ^ exponentiation, sa halip na kawalang-hanggan Infinity. Halimbawa: ang function ay ipinasok bilang sqrt(tan(x/2)). Ang mga pahayag ng mga pangunahing theorems at katangian ng mga numerical sequence na may mga limitasyon ay ibinigay. Naglalaman ng kahulugan ng isang sequence at limitasyon nito. Isinasaalang-alang ang mga operasyong aritmetika na may mga pagkakasunud-sunod, mga katangiang nauugnay sa mga hindi pagkakapantay-pantay, pamantayan ng convergence, mga katangian ng walang katapusan na maliit at walang katapusan na malalaking sequence. Numerical sequence tinatawag na batas (panuntunan), ayon sa kung saan, ang bawat natural na numero ay itinalaga ng isang numero. limitado, kung mayroong isang numerong M na para sa lahat ng tunay n . itaas na mukha Ang mga sequence ay tinatawag na pinakamaliit sa mga numero na nagbubuklod sa sequence mula sa itaas. Ibig sabihin, ito ay isang numero s kung saan para sa lahat n at para sa alinmang , mayroong gayong elemento ng pagkakasunud-sunod na lumampas sa s′ : . ibabang mukha pinangalanan ng mga sequence ang pinakamalaki sa mga numerong nagbubuklod sa sequence mula sa ibaba. Ibig sabihin, ito ay isang numero i kung saan para sa lahat n at para sa alinmang , mayroong isang elemento ng pagkakasunud-sunod na mas mababa sa i : . Ang tuktok na gilid ay tinatawag din eksaktong upper bound, at ang lower bound tumpak na lower bound. Ang mga konsepto ng upper at lower bounds ay wasto hindi lamang para sa mga sequence, kundi pati na rin para sa anumang set ng real number. Ang bilang a ay tinatawag na limitasyon ng pagkakasunod-sunod, kung para sa anumang positibong numero ay mayroong ganoong natural na bilang N , depende sa , na para sa lahat ng natural na numero ang hindi pagkakapantay-pantay Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng limitasyon ay maaaring isulat bilang mga sumusunod: Buksan ang pagitan (a - ε, a + ε) ay tinatawag na ε-kapitbahayan ng punto a. Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag convergent sequence. Sinasabi rin na ang pagkakasunod-sunod nagtatagpo sa a. Ang pagkakasunod-sunod na walang limitasyon ay tinatawag divergent. punto a ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod, kung mayroong umiiral na para sa anumang natural n mayroong ganoong natural na m >n, Ano Ang isang punto a ay ang limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod kung at kung sa labas lamang ng anumang kapitbahayan ng puntong ito ay may hangganan na bilang ng mga elemento mga sequence o ang walang laman na set. Kung ang numero a ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod , kung gayon mayroong isang kapitbahayan ng punto a , sa labas kung saan mayroong walang katapusang bilang ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod. Uniqueness theorem para sa limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero. Kung ang isang sequence ay may limitasyon, ito ay natatangi. Kung ang isang sequence ay may hangganan na limitasyon, kung gayon ito limitado. Kung ang bawat elemento ng sequence ay katumbas ng parehong numero C : , pagkatapos ang sequence na ito ay may limitasyon na katumbas ng bilang C . Kung ang pagkakasunod-sunod magdagdag, mag-drop o baguhin ang unang m elemento, kung gayon hindi ito makakaapekto sa convergence nito. Mga patunay ng mga pangunahing katangian ibinigay sa pahina Hayaang magkaroon ng may hangganang limitasyon at pagkakasunud-sunod at . At hayaang ang C ay isang pare-pareho, iyon ay, isang ibinigay na numero. Pagkatapos Kung , kung gayon . Mga patunay ng arithmetic na ari-arian ibinigay sa pahina Kung ang mga elemento ng sequence, simula sa ilang numero, ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay , kung gayon ang limitasyon a ng sequence na ito ay natutugunan din ang hindi pagkakapantay-pantay . Kung ang mga elemento ng sequence, simula sa isang tiyak na numero, ay nabibilang sa isang closed interval (segment) , kung gayon ang limit a ay kabilang din sa interval na ito: . Kung ang at at mga elemento ng mga pagkakasunud-sunod, simula sa ilang numero, ay nasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay , kung gayon . Kung at, simula sa ilang numero, , pagkatapos . Kung at , pagkatapos . Hayaan at . Kung ang <
b
, pagkatapos ay mayroong isang natural na bilang N tulad na para sa lahat ng n > N nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Mga patunay ng mga ari-arian na nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay ibinigay sa pahina Kasunod ay tinatawag na infinitesimal sequence kung ang limitasyon nito ay zero: Kabuuan at Pagkakaiba Ang may hangganang bilang ng mga infinitesimal na sequence ay isang infinitesimal na sequence. Produkto ng bounded sequence sa isang infinitesimal ay isang infinitesimal sequence. Produkto ng isang may hangganang numero ang infinitesimal sequence ay isang infinitesimal na sequence. Para sa isang sequence na magkaroon ng limitasyon a , ito ay kinakailangan at sapat na , kung saan ay isang infinitesimal sequence. Mga patunay ng mga katangian ng infinitesimal sequence ibinigay sa pahina Kasunod ay tinatawag na infinite sequence, kung para sa anumang positibong numero ay mayroong ganoong natural na bilang N , depende sa , na para sa lahat ng natural na numero ang hindi pagkakapantay-pantay Kung , simula sa ilang numero N , kung gayon Kung ang mga sequence ay walang hanggan malaki, pagkatapos ay simula sa ilang numero N , isang sequence ay tinukoy na walang hanggan maliit. Kung isang infinitesimal sequence na may non-zero elements, ang sequence ay infinites large. Kung ang sequence ay walang hanggan malaki at ang sequence ay may hangganan, kung gayon Kung ang mga ganap na halaga ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod ay nililimitahan mula sa ibaba ng isang positibong numero (), at walang katapusan na maliit na may mga hindi zero na elemento, kung gayon Sa mga detalye kahulugan ng isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod na may mga halimbawa ibinigay sa pahina Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag mahigpit na tumataas, kung para sa lahat n ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng sequence ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagbaba ng pagkakasunod-sunod ay hindi rin tumataas. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag monotonous kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas. Ang isang monotonikong sequence ay nililimitahan sa hindi bababa sa isang gilid ng . Ang isang hindi bumababa na sequence ay nililimitahan mula sa ibaba: . Ang isang hindi tumataas na sequence ay nililimitahan mula sa itaas: . Weierstrass theorem. Upang ang isang hindi bumababa (hindi tumataas) na pagkakasunod-sunod ay magkaroon ng isang may hangganang limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na ito ay nakatali mula sa itaas (mula sa ibaba). Narito ang M ay ilang numero. Dahil ang anumang hindi bumababa (hindi tumataas) na pagkakasunod-sunod ay nililimitahan mula sa ibaba (mula sa itaas), ang Weierstrass theorem ay maaaring i-rephrase tulad ng sumusunod: Para magkaroon ng may hangganang limitasyon ang isang monotone sequence, kinakailangan at sapat na ito ay may hangganan: . Monotonic unbounded sequence ay may walang katapusang limitasyon, katumbas ng hindi bumababa at hindi tumataas na mga sequence. Patunay ng Weierstrass theorem ibinigay sa pahina Cauchy na kondisyon. Ang isang pagkakasunud-sunod ay nakakatugon sa kondisyon ng Cauchy kung para sa alinman ay mayroong isang natural na numero na para sa lahat ng mga natural na numero n at m na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay Cauchy criterion para sa sequence convergence. Para magkaroon ng may hangganang limitasyon ang isang sequence, kinakailangan at sapat na matugunan nito ang kondisyon ng Cauchy. Patunay ng Cauchy Convergence Criterion ibinigay sa pahina Bolzano-Weierstrass theorem. Mula sa anumang bounded sequence, maaaring makilala ang isang convergent subsequence. At mula sa anumang walang limitasyong pagkakasunod-sunod - isang walang katapusang malaking kasunod na nagtatagpo sa o sa . Patunay ng Bolzano-Weierstrass theorem ibinigay sa pahina Ang mga kahulugan, teorema, at katangian ng mga kasunod at bahagyang limitasyon ay tinatalakay sa pahina Mga sanggunian:
x n = ¥. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n ) para sa iba't ibang x n ®¥ ?
x n \u003d 2pn + p / 2, pagkatapos ay kasalanan x n \u003d kasalanan (2pn + p / 2) \u003d kasalanan p / 2 \u003d 1 para sa lahat n at samakatuwid kasalanan x n =1. Kaya wala ang kasalanan x.
i - rate ng interes (decimal fraction), n - termino ng annuity (bilang ng mga taon). Ang mga miyembro ng annuity ay magkakaroon ng interes para sa n - 1, n - 2,..., 2, 1 at 0 taon, at ang naipon na halaga ng mga miyembro ng annuity ay magiging
= R´((1 + i) n - 1)/ i. Tukuyin ang S n; i = ((1 + i) n - 1)/ i at tatawagin ito kadahilanan ng akumulasyon ng upa. Kung sinisingil ang interes m isang beses sa isang taon, pagkatapos ay S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), kung saan ang i ay ang nominal na rate ng interes.
kakanyahan ng panghabang-buhay annuity, maaari itong ipagpalagay na ang naipon na halaga nito
ay katumbas ng isang walang katapusang malaking halaga, na madaling patunayan ng formula:
R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ bilang n ® ¥.Ano ang mga sequence at saan ang kanilang limitasyon?
Paano nabuo ang isang pagkakasunud-sunod ng numero?
Arithmetic progression bilang bahagi ng mga sequence
Mga uri ng pagkakasunud-sunod
Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence
Pangkalahatang notasyon para sa limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod
Kawalang-katiyakan at katiyakan ng limitasyon
Ano ang kapitbahayan?
Theorems
Patunay ng Pagkakasunod-sunod
O baka naman wala siya?
monotonikong pagkakasunud-sunod
Limitasyon ng convergent at bounded sequence
Monotonic sequence limit
Iba't ibang aksyon na may limitasyon
Mga Katangian ng Sequence Value
0 <
x-a< ε
, ang mga halaga ng function na f(x) ay makikitaε-kapitbahayan ng bilang A, i.e.|f(x)-A|<
ε.
(6.4)
(6.5)
(6.6)
;
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
at pinangalanan nang naaayon. tamang limitasyon at kaliwang limitasyon mga function f(x) sa punto a. Para umiral ang limitasyon ng function na f(x) bilang x→a ay kailangan at sapat para sa 
. Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limitasyon
. (6.15)
,
,
.
. Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaang maglagay ang bangko ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera na may interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, pagkatapos ay sa oras na ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 den. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon 100 den. mga yunit lumaki hanggang 100×
1.5 \u003d 150, at pagkatapos ng isa pang anim na buwan - sa 150×
1.5 \u003d 225 (den. unit). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit maging 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. units). Dadagdagan namin ang timeframe para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, 0.01 taon, 0.001 taon, at iba pa. Tapos sa 100 den. mga yunit makalipas ang isang taon:
.
.
. Hanapin .
.
).
Pumili tayo ngayon bilang x n isang sequence na may karaniwang termino x n = -1/n, na may posibilidad din sa zero. 
Samakatuwid, walang limitasyon.
. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n ) para sa iba't ibang x n → ∞
xn=2 p n+ p /2, pagkatapos sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya hindi umiiral.Mga pagkakasunud-sunod
Ang numero ay tinatawag na ika-na miyembro o elemento ng sequence.
Sa mga sumusunod, ipagpalagay natin na ang mga elemento ng sequence ay mga tunay na numero.Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence
.
Ang limitasyon ng isang sequence ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .
.
.
.
Nangangahulugan ito na maaari kang pumili ng ganoong ε - kapitbahayan ng punto a , sa labas nito ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence.Mga katangian ng may hangganang limitasyon ng mga sequence
Mga pangunahing katangian
Mga pangunahing katangian ng may hangganang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod >>> .Arithmetic na may mga limitasyon
;
;
;
, kung .
Sa kaso ng quotient, ipinapalagay na para sa lahat n .
Arithmetic properties ng may hangganan na limitasyon ng mga sequence >>> .Mga katangiang nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay
Sa partikular, kung, simula sa ilang numero, , pagkatapos
kung , kung gayon ;
kung , kung gayon .
Mga katangian ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod na nauugnay sa >>> mga hindi pagkakapantay-pantay.Infinitesimal at infinitesimal sequence
Infinitesimal na pagkakasunud-sunod
.
Walang katapusang maliliit na sequence - kahulugan at mga katangian >>> .Walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod
.
Sa kasong ito, sumulat
.
O sa .
Sabi nila, ito ay may posibilidad na infinity.
.
Kung , kung gayon
.
.
.
Kahulugan ng isang walang katapusang malaking sequence >>> .
Mga patunay para sa mga katangian ng walang katapusang malalaking pagkakasunud-sunod ibinigay sa pahina
Mga katangian ng walang katapusang malalaking sequence >>> .Pamantayan ng Pagkakasunud-sunod ng Convergence
Mga monotonikong sequence
.
Alinsunod dito, para sa mahigpit na bumababa pagkakasunod-sunod, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
.
Para sa hindi bumababa:
.
Para sa hindi tumataas:
.
Weierstrass' theorem sa limitasyon ng isang monotone sequence >>> .Cauchy criterion para sa sequence convergence
.
Ang mga pagkakasunud-sunod na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng Cauchy ay tinatawag din pangunahing mga pagkakasunud-sunod.
Convergence criterion ni Cauchy para sa isang sequence >>> .Mga Kasunod
Bolzano–Weierstrass theorem >>> .
Mga kasunod at bahagyang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod >>>.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
V.A. Zorich. Pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Mga Batayan ng pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 2005.
