Ang pamamaraan ng Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ito ay lubos na nagpapabilis sa proseso ng solusyon.
Ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang isang sistema ng kasing dami ng mga linear na equation na may mga hindi alam sa bawat equation. Kung ang determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin sa solusyon; kung ito ay katumbas ng zero, hindi ito magagawa. Bilang karagdagan, ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may natatanging solusyon.
Kahulugan. Ang determinant, na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam, ay tinatawag na determinant ng system at tinutukoy ng (delta).
Mga Determinant
ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient sa kaukulang mga hindi alam ng mga libreng termino:
;
.
Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang solong solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay naglalaman ng determinant ng system, at ang numerator ay naglalaman ng determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga coefficient ng hindi alam ng mga libreng termino. Ang teorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.
Halimbawa 1 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation:
Ayon kay Teorama ni Cramer meron kami:
Kaya, ang solusyon ng system (2):
online na calculator, paraan ng solusyon ng Cramer.
Tatlong kaso sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
Tulad ng lumilitaw mula sa Mga teorema ni Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, maaaring mangyari ang tatlong kaso:
Unang kaso: ang sistema ng mga linear equation ay may natatanging solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at tiyak)
Pangalawang kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at hindi tiyak)
** 
,
mga. ang mga koepisyent ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ay proporsyonal.
Pangatlong kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay walang mga solusyon
(hindi tugma ang system)
Kaya ang sistema m linear equation na may n variable ay tinatawag hindi magkatugma kung wala itong mga solusyon, at magkadugtong kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang magkasanib na sistema ng mga equation na may isang solusyon lamang ay tinatawag tiyak, at higit sa isa hindi sigurado.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Cramer method
Hayaan ang sistema
.
Batay sa teorama ni Cramer
………….
,
saan 
-
identifier ng system. Ang natitirang mga determinant ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng column ng mga coefficient ng kaukulang variable (hindi kilala) sa mga libreng miyembro:
Halimbawa 2
.
Samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, (1; 0; -1) ang tanging solusyon sa system.
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Kung walang mga variable sa sistema ng mga linear na equation sa isa o higit pang mga equation, pagkatapos ay sa determinant ang mga elemento na naaayon sa kanila ay katumbas ng zero! Ito ang susunod na halimbawa.
Halimbawa 3 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
.
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Tingnang mabuti ang sistema ng mga equation at ang determinant ng system at ulitin ang sagot sa tanong kung saan ang isa o higit pang elemento ng determinant ay katumbas ng zero. Kaya, ang determinant ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, ang solusyon ng system ay (2; -1; 1).
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Ibabaw ng Pahina
Patuloy naming nilulutas ang mga system gamit ang paraan ng Cramer nang magkasama
Tulad ng nabanggit na, kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, at ang mga determinant para sa mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ilarawan natin sa sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 6 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Ang determinant ng system ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ng mga linear equation ay alinman sa hindi pare-pareho at tiyak, o hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Upang linawin, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Ang mga determinant para sa mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon.
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Sa mga problema sa mga sistema ng linear equation, mayroon ding mga kung saan, bilang karagdagan sa mga titik na nagsasaad ng mga variable, mayroon ding iba pang mga titik. Ang mga titik na ito ay kumakatawan sa ilang numero, kadalasan ay totoong numero. Sa pagsasagawa, ang mga naturang equation at sistema ng mga equation ay humahantong sa mga problema upang mahanap ang mga pangkalahatang katangian ng anumang phenomena at mga bagay. Iyon ay, nag-imbento ka ng ilang bagong materyal o aparato, at upang ilarawan ang mga katangian nito, na karaniwan anuman ang laki o bilang ng mga kopya, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation, kung saan sa halip na ilang mga coefficient para sa mga variable ay may mga titik. Hindi mo kailangang tumingin sa malayo para sa mga halimbawa.
Ang susunod na halimbawa ay para sa isang katulad na problema, tanging ang bilang ng mga equation, variable, at titik na nagsasaad ng ilang tunay na numero ay tumataas.
Halimbawa 8 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Paghahanap ng mga determinant para sa mga hindi alam
Sistema ng m linear equation na may n hindi alam tinatawag na sistema ng anyo
saan aij at b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…,x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij unang index i nagsasaad ng bilang ng equation, at ang pangalawa j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang coefficient na ito.
Ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay isusulat sa anyo ng isang matrix 
, na tatawagin natin system matrix.
Ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation b 1 ,…,b m tinawag libreng miyembro.
Pinagsama-sama n numero c 1 ,…,c n tinawag desisyon ng sistemang ito, kung ang bawat equation ng system ay naging isang pagkakapantay-pantay pagkatapos palitan ang mga numero dito c 1 ,…,c n sa halip na ang kaukulang mga hindi alam x 1 ,…,x n.
Ang aming gawain ay maghanap ng mga solusyon sa system. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang tatlong sitwasyon:
Ang isang sistema ng mga linear na equation na mayroong kahit isang solusyon ay tinatawag magkadugtong. Kung hindi, i.e. kung ang sistema ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkatugma.
Isaalang-alang ang mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa system.
PARAAN NG MATRIX PARA SA PAGSOLBA NG MGA SISTEMA NG LINEAR EQUATIONS
Ginagawang posible ng mga matrice na maikli ang pagsulat ng isang sistema ng mga linear na equation. Hayaang magbigay ng isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam:
Isaalang-alang ang matrix ng system 
at matrix na mga column ng hindi kilalang at libreng mga miyembro 
Hanapin natin ang produkto
mga. bilang resulta ng produkto, nakukuha natin ang kaliwang bahagi ng mga equation ng sistemang ito. Pagkatapos, gamit ang kahulugan ng matrix equality, ang sistemang ito ay maaaring isulat bilang
o mas maikli A∙X=B.
Dito matrices A at B ay kilala, at ang matris X hindi kilala. Kailangan niyang mahanap, dahil. ang mga elemento nito ang solusyon ng sistemang ito. Ang equation na ito ay tinatawag equation ng matrix.
Hayaang ang matrix determinant ay naiiba sa zero | A| ≠ 0. Pagkatapos ang matrix equation ay malulutas bilang mga sumusunod. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa kaliwa ng matrix A-1, ang kabaligtaran ng matris A: . Sa abot ng A -1 A = E at E∙X=X, pagkatapos ay makuha natin ang solusyon ng matrix equation sa anyo X = A -1 B .
Tandaan na dahil ang inverse matrix ay matatagpuan lamang para sa mga square matrice, ang matrix method ay maaari lamang malutas ang mga system kung saan ang bilang ng mga equation ay kapareho ng bilang ng mga hindi alam. Gayunpaman, ang matrix notation ng system ay posible rin sa kaso kapag ang bilang ng mga equation ay hindi katumbas ng bilang ng mga hindi alam, pagkatapos ay ang matrix. A ay hindi parisukat at samakatuwid ay imposibleng makahanap ng solusyon sa sistema sa anyo X = A -1 B.
Mga halimbawa. Lutasin ang mga sistema ng mga equation.
PANUNTUNAN NI CRAMER
Isaalang-alang ang isang sistema ng 3 linear equation na may tatlong hindi alam:
Third-order determinant na naaayon sa matrix ng system, i.e. binubuo ng mga coefficient sa hindi alam,
tinawag determinant ng sistema.
Bumubuo kami ng tatlo pang determinant gaya ng sumusunod: sunud-sunod naming pinapalitan ang 1, 2 at 3 column sa determinant D ng column ng mga libreng termino
Pagkatapos ay mapapatunayan natin ang sumusunod na resulta.
Theorem (panuntunan ni Cramer). Kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system na isinasaalang-alang ay may isa at isang solusyon lamang, at
Patunay. Kaya, isaalang-alang ang isang sistema ng 3 equation na may tatlong hindi alam. I-multiply ang 1st equation ng system sa algebraic complement A 11 elemento isang 11, 2nd equation - on A21 at ika-3 - sa A 31:
Idagdag natin ang mga equation na ito:
Isaalang-alang ang bawat isa sa mga bracket at ang kanang bahagi ng equation na ito. Sa pamamagitan ng theorem sa pagpapalawak ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng 1st column
Katulad nito, maaari itong ipakita na at .
Sa wakas, madaling makita iyon 
Kaya, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: .
Kaya naman, .
Ang mga pagkakapantay-pantay at hinango nang magkatulad, kung saan ang assertion ng theorem ay sumusunod.
Kaya, tandaan namin na kung ang determinant ng system ay Δ ≠ 0, kung gayon ang system ay may natatanging solusyon at kabaliktaran. Kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang system ay maaaring mayroong isang walang katapusang hanay ng mga solusyon o walang mga solusyon, i.e. hindi magkatugma.
Mga halimbawa. Lutasin ang isang sistema ng mga equation
PARAAN NG GAUSS
Ang naunang isinasaalang-alang na mga pamamaraan ay maaaring gamitin upang malutas lamang ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay tumutugma sa bilang ng mga hindi alam, at ang determinant ng system ay dapat na iba sa zero. Ang pamamaraang Gaussian ay mas unibersal at angkop para sa mga sistema na may anumang bilang ng mga equation. Binubuo ito sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam mula sa mga equation ng system.
Isaalang-alang muli ang isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:
.
Iniiwan namin ang unang equation na hindi nagbabago, at mula sa ika-2 at ika-3 ibinubukod namin ang mga terminong naglalaman ng x 1. Upang gawin ito, hinati namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng a 21 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag sa 1st equation. Katulad nito, hinahati namin ang ikatlong equation sa a 31 at i-multiply sa - a 11 at pagkatapos ay idagdag ito sa una. Bilang resulta, ang orihinal na sistema ay kukuha ng anyo:
Ngayon, mula sa huling equation, inalis namin ang terminong naglalaman x2. Upang gawin ito, hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng , i-multiply sa at idagdag ito sa pangalawa. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng isang sistema ng mga equation:
Kaya mula sa huling equation ay madaling mahanap x 3, pagkatapos ay mula sa 2nd equation x2 at sa wakas mula sa 1st - x 1.
Kapag ginagamit ang pamamaraang Gaussian, ang mga equation ay maaaring palitan kung kinakailangan.
Kadalasan, sa halip na magsulat ng bagong sistema ng mga equation, nililimitahan nila ang kanilang sarili sa pagsusulat ng pinahabang matrix ng system:
at pagkatapos ay dalhin ito sa isang triangular o dayagonal na anyo gamit ang mga elementarya na pagbabago.
Upang mga pagbabagong elementarya Kasama sa mga matrice ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo:
- permutasyon ng mga hilera o haligi;
- pagpaparami ng string sa isang non-zero na numero;
- pagdaragdag sa isang linya ng iba pang mga linya.
Mga halimbawa: Lutasin ang mga sistema ng equation gamit ang Gauss method.
Kaya, ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Ang isang sistema ng N linear algebraic equation (SLAE) na may mga hindi alam ay ibinigay, ang mga coefficient nito ay ang mga elemento ng matrix, at ang mga libreng miyembro ay ang mga numero.
Ang unang index sa tabi ng mga coefficient ay nagpapahiwatig kung saan matatagpuan ang equation ng koepisyent, at ang pangalawa - kung alin sa mga hindi alam ito matatagpuan.
Kung ang matrix determinant ay hindi katumbas ng zero
kung gayon ang sistema ng mga linear algebraic equation ay may natatanging solusyon.
Ang solusyon ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay tulad ng isang ordered set ng mga numero , na kung saan sa bawat isa sa mga equation ng system sa isang tamang pagkakapantay-pantay.
Kung ang mga kanang bahagi ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ng mga equation ay tinatawag na homogenous. Sa kaso kapag ang ilan sa kanila ay nonzero, hindi uniporme
Kung ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag na pare-pareho, kung hindi, ito ay hindi magkatugma.
Kung ang solusyon ng sistema ay natatangi, kung gayon ang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na tiyak. Sa kaso kapag ang solusyon ng magkasanib na sistema ay hindi natatangi, ang sistema ng mga equation ay tinatawag na hindi tiyak.
Ang dalawang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na katumbas (o katumbas) kung ang lahat ng solusyon ng isang sistema ay mga solusyon ng pangalawa, at kabaliktaran. Nakukuha ang mga katumbas (o katumbas) na sistema gamit ang mga katumbas na pagbabago.
Mga katumbas na pagbabago ng SLAE
1) muling pagsasaayos ng mga equation;
2) pagpaparami (o paghahati) ng mga equation sa pamamagitan ng isang hindi-zero na numero;
3) pagdaragdag sa ilang equation ng isa pang equation, na pinarami ng arbitrary na hindi zero na numero.
Ang solusyon sa SLAE ay matatagpuan sa iba't ibang paraan.
PARAAN NG CRAMER
TEOREM NI CRAMER. Kung ang determinant ng isang sistema ng linear algebraic equation na may mga hindi alam ay iba sa zero, kung gayon ang sistemang ito ay may natatanging solusyon, na matatagpuan ng mga formula ng Cramer:
ay mga determinant na nabuo sa pagpapalit ng i-th column ng column ng mga libreng miyembro.
Kung , at hindi bababa sa isa sa ay nonzero, kung gayon ang SLAE ay walang mga solusyon. Kung 
, kung gayon ang SLAE ay maraming solusyon. Isaalang-alang ang mga halimbawa gamit ang pamamaraan ni Cramer.
—————————————————————
Ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam ay ibinigay. Lutasin ang sistema sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer
Hanapin ang determinant ng matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam
Dahil , kung gayon ang ibinigay na sistema ng mga equation ay pare-pareho at may natatanging solusyon. Kalkulahin natin ang mga determinant:
Gamit ang mga formula ng Cramer, nakita namin ang mga hindi alam
Kaya 
ang tanging solusyon sa sistema.
Isang sistema ng apat na linear algebraic equation ang ibinigay. Lutasin ang sistema sa pamamagitan ng pamamaraan ni Cramer.
Hanapin natin ang determinant ng matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam. Upang gawin ito, pinalawak namin ito sa pamamagitan ng unang linya.
Hanapin ang mga bahagi ng determinant:
Palitan ang mga nahanap na halaga sa determinant
Ang determinant, samakatuwid, ang sistema ng mga equation ay pare-pareho at may natatanging solusyon. Kinakalkula namin ang mga determinant gamit ang mga formula ng Cramer:
Palawakin natin ang bawat isa sa mga determinant sa pamamagitan ng column kung saan mayroong higit pang mga zero.
Sa pamamagitan ng mga formula ng Cramer nahanap namin
System Solution 
Ang halimbawang ito ay maaaring malutas sa isang mathematical calculator YukhymCALC. Ang isang fragment ng programa at ang mga resulta ng mga kalkulasyon ay ipinapakita sa ibaba.
——————————
C R A M E R PARAAN
|1,1,1,1|
D=|5,-3,2,-8|
|3,5,1,4|
|4,2,3,1|
D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= sampu
|0,1,1,1|
Dx1=|1,-3,2,-8|
|0,5,1,4|
|3,2,3,1|
Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70
|1,0,1,1|
Dx2=|5,1,2,-8|
|3,0,1,4|
|4,3,3,1|
Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80
|1,1,0,1|
Dx3=|5,-3,1,-8|
|3,5,0,4|
|4,2,3,1|
Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50
|1,1,1,0|
Dx4=|5,-3,2,1|
|3,5,1,0|
|4,2,3,3|
Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60
x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000
x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000
x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000
x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000
Tingnan ang mga materyales:
(jcomments on)
Sa pangkalahatang kaso, ang panuntunan para sa pag-compute ng mga determinant ng ika-order ay medyo mahirap. Para sa mga determinant ng ikalawa at ikatlong pagkakasunud-sunod, may mga makatwirang paraan upang kalkulahin ang mga ito.
Mga kalkulasyon ng mga determinant ng second-order
Upang makalkula ang determinant ng matrix ng pangalawang pagkakasunud-sunod, kinakailangan upang ibawas ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal mula sa produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal:
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Kalkulahin ang second order determinant
Desisyon.
Sagot.
Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order
May mga panuntunan para sa pag-compute ng mga third-order determinant.
tuntuning tatsulok
Sa eskematiko, ang panuntunang ito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:
Ang produkto ng mga elemento sa unang determinant na konektado ng mga linya ay kinuha gamit ang plus sign; katulad nito, para sa pangalawang determinant, ang mga kaukulang produkto ay kinuha na may minus sign, i.e.
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Compute determinant 
paraan ng tatsulok.
Desisyon.
Sagot.
Pamumuno ni Sarrus
Sa kanan ng determinant, ang unang dalawang hanay ay idinagdag at ang mga produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal at sa mga diagonal na kahanay nito ay kinuha na may plus sign; at ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at ang mga diagonal na kahanay nito, na may isang minus sign:
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Compute determinant gamit ang panuntunang Sarrus.
Desisyon.
Sagot.
Pagpapalawak ng row o column ng determinant
Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng row ng determinant at ang kanilang mga algebraic complements.
Karaniwang piliin ang row/column kung saan/ika mayroong mga zero. Ang row o column kung saan isinasagawa ang agnas ay ipahiwatig ng isang arrow.
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Pagpapalawak sa unang hilera, kalkulahin ang determinant
Desisyon.
Sagot.
Ang pamamaraang ito ay nagpapahintulot sa pagkalkula ng determinant na bawasan sa pagkalkula ng isang determinant ng isang mas mababang order.
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Compute determinant
Desisyon. Isagawa natin ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo sa mga hilera ng determinant: mula sa pangalawang hilera ay ibawas natin ang unang apat, at mula sa ikatlong hilera ang unang hilera na pinarami ng pito, bilang isang resulta, ayon sa mga katangian ng determinant, nakakakuha tayo ng isang determinant na katumbas ng ibinigay.
Ang determinant ay zero dahil ang pangalawa at pangatlong hanay ay proporsyonal.
Sagot.
Upang kalkulahin ang mga determinant ng ikaapat na pagkakasunud-sunod at mas mataas, alinman sa pagpapalawak sa isang hilera / hanay, o pagbabawas sa isang tatsulok na anyo, o gamit ang teorem ni Laplace ay ginagamit.
Decomposition ng determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng isang row o column
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Compute determinant 
, nabubulok ito ng mga elemento ng ilang row o ilang column.
Desisyon. Magsagawa muna tayo ng mga elementarya na pagbabago sa mga hilera ng determinant sa pamamagitan ng paggawa ng pinakamaraming zero hangga't maaari alinman sa isang hilera o sa isang column. Upang gawin ito, ibawas muna natin ang siyam na katlo mula sa unang linya, limang katlo mula sa pangalawa, at tatlong katlo mula sa ikaapat, nakukuha natin:
Pinalawak namin ang nagresultang determinant sa pamamagitan ng mga elemento ng unang column:
Ang resultang third-order determinant ay pinalawak din ng mga elemento ng row at column, na dati nang nakakuha ng mga zero, halimbawa, sa unang column.
Upang gawin ito, ibawas namin ang dalawang pangalawang linya mula sa unang linya, at ang pangalawa mula sa pangatlo:
Sagot.
Magkomento
Ang huling at penultimate determinants ay hindi maaaring kalkulahin, ngunit agad na tapusin na ang mga ito ay katumbas ng zero, dahil naglalaman sila ng mga proporsyonal na hilera.
Dinadala ang determinant sa isang triangular na anyo
Sa tulong ng mga pagbabagong elementarya sa mga hilera o haligi, ang determinant ay nabawasan sa isang tatsulok na anyo, at pagkatapos ang halaga nito, ayon sa mga katangian ng determinant, ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal.
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Compute determinant 
dinadala ito sa isang tatsulok na hugis.
Desisyon. Una, gumawa kami ng mga zero sa unang hanay sa ilalim ng pangunahing dayagonal.
4. Mga katangian ng mga determinant. Determinant ng produkto ng matrices.
Ang lahat ng mga pagbabagong-anyo ay magiging mas madaling gawin kung ang elemento ay katumbas ng 1. Upang gawin ito, papalitan namin ang una at pangalawang hanay ng determinant, na, ayon sa mga katangian ng determinant, ay magiging sanhi ng pagbabago ng sign sa kabaligtaran :
Susunod, nakakakuha kami ng mga zero sa pangalawang hanay bilang kapalit ng mga elemento sa ilalim ng pangunahing dayagonal. At muli, kung ang elemento ng dayagonal ay katumbas ng , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging mas simple. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang pangalawa at pangatlong linya (at sa parehong oras ay nagbabago sa kabaligtaran na tanda ng determinant):
Sagot.
Ang teorama ni Laplace
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Gamit ang theorem ni Laplace, kalkulahin ang determinant 
Desisyon. Pumili kami ng dalawang row sa determinant na ito ng ikalimang order - ang pangalawa at pangatlo, pagkatapos ay makukuha namin (inaalis namin ang mga terminong katumbas ng zero):
Sagot.
MGA LINEAR EQUATIONS AT INEQUALITIES I
§ 31 Ang kaso kapag ang pangunahing determinant ng isang sistema ng mga equation ay katumbas ng zero, at hindi bababa sa isa sa mga auxiliary determinants ay iba sa zero
Teorama.Kung ang pangunahing determinant ng sistema ng mga equation
(1)
katumbas ng zero, at hindi bababa sa isa sa mga pantulong na determinant ay iba sa zero, kung gayon ang sistema ay hindi pare-pareho.
Pormal, ang patunay ng teorama na ito ay hindi mahirap makuha sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ipagpalagay natin na ang sistema ng mga equation (1) ay may solusyon ( x 0 , y 0). Samantalang, tulad ng ipinakita sa nakaraang talata,
Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)
Ngunit sa kondisyon Δ = 0, at hindi bababa sa isa sa mga determinant Δ x at Δ y iba sa zero. Kaya, ang mga pagkakapantay-pantay (2) ay hindi maaaring magkasabay. Napatunayan na ang theorem.
Gayunpaman, tila kawili-wiling linawin nang mas detalyado kung bakit ang sistema ng mga equation (1) ay hindi naaayon sa kasong isinasaalang-alang.
nangangahulugan na ang mga coefficient ng mga hindi alam sa sistema ng mga equation (1) ay proporsyonal. Hayaan, halimbawa,
a 1 = ka 2 ,b 1 = kb 2 .
nangangahulugan na ang mga coefficient sa at ang mga libreng termino ng mga equation ng system (1) ay hindi proporsyonal. Sa abot ng b 1 = kb 2, pagkatapos c 1 =/= kc 2 .
Samakatuwid, ang sistema ng mga equation (1) ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:
Sa sistemang ito, ang mga coefficient para sa mga hindi alam ay proporsyonal, ngunit ang mga coefficient para sa sa (o kailan X ) at ang mga libreng termino ay hindi proporsyonal. Ang ganitong sistema ay, siyempre, hindi naaayon. Sa katunayan, kung mayroon siyang solusyon ( x 0 , y 0), pagkatapos ay ang mga numerical equalities
k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1
a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .
Ngunit ang isa sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay sumasalungat sa isa pa: pagkatapos ng lahat, c 1 =/= kc 2 .
Isinaalang-alang lamang namin ang kaso kung kailan Δ x =/= 0. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang kaso kung kailan Δ y =/= 0."
Ang napatunayang teorama ay maaaring mabalangkas sa sumusunod na paraan.
Kung ang mga coefficient para sa mga hindi alam X at sa sa sistema ng mga equation (1) ay proporsyonal, at ang mga coefficient para sa alinman sa mga hindi alam na ito at ang mga libreng termino ay hindi proporsyonal, kung gayon ang sistemang ito ng mga equation ay hindi pare-pareho.
Madali, halimbawa, na i-verify na ang bawat isa sa mga system na ito ay hindi magkatugma:
Pamamaraan ng Cramer para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
Mga formula ng Cramer
Ang pamamaraan ng Cramer ay batay sa paggamit ng mga determinant sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ito ay lubos na nagpapabilis sa proseso ng solusyon.
Ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang isang sistema ng kasing dami ng mga linear na equation na may mga hindi alam sa bawat equation.
Pamamaraan ni Cramer. Application para sa mga sistema ng linear equation
Kung ang determinant ng system ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin sa solusyon; kung ito ay katumbas ng zero, hindi ito magagawa. Bilang karagdagan, ang paraan ng Cramer ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation na may natatanging solusyon.
Kahulugan. Ang determinant, na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam, ay tinatawag na determinant ng system at tinutukoy ng (delta).
Mga Determinant
ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coefficient sa kaukulang mga hindi alam ng mga libreng termino:
;
.
Teorama ni Cramer. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ng mga linear equation ay may isang solong solusyon, at ang hindi alam ay katumbas ng ratio ng mga determinant. Ang denominator ay naglalaman ng determinant ng system, at ang numerator ay naglalaman ng determinant na nakuha mula sa determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga coefficient ng hindi alam ng mga libreng termino. Ang teorem na ito ay humahawak para sa isang sistema ng mga linear na equation ng anumang pagkakasunud-sunod.
Halimbawa 1 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation:
Ayon kay Teorama ni Cramer meron kami:
Kaya, ang solusyon ng system (2):
Tatlong kaso sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation
Tulad ng lumilitaw mula sa Mga teorema ni Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation, maaaring mangyari ang tatlong kaso:
Unang kaso: ang sistema ng mga linear equation ay may natatanging solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at tiyak)
* 
Pangalawang kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon
(ang sistema ay pare-pareho at hindi tiyak)
** 
,
mga. ang mga koepisyent ng mga hindi alam at ang mga libreng termino ay proporsyonal.
Pangatlong kaso: ang sistema ng mga linear na equation ay walang mga solusyon
(hindi tugma ang system)
Kaya ang sistema m linear equation na may n variable ay tinatawag hindi magkatugma kung wala itong mga solusyon, at magkadugtong kung mayroon itong kahit isang solusyon. Ang magkasanib na sistema ng mga equation na may isang solusyon lamang ay tinatawag tiyak, at higit sa isa hindi sigurado.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Cramer method
Hayaan ang sistema
.
Batay sa teorama ni Cramer
………….
,
saan 
—
identifier ng system. Ang natitirang mga determinant ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng column ng mga coefficient ng kaukulang variable (hindi kilala) sa mga libreng miyembro:
Halimbawa 2
.
Samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, (1; 0; -1) ang tanging solusyon sa system.
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Kung walang mga variable sa sistema ng mga linear na equation sa isa o higit pang mga equation, pagkatapos ay sa determinant ang mga elemento na naaayon sa kanila ay katumbas ng zero! Ito ang susunod na halimbawa.
Halimbawa 3 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
.
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Tingnang mabuti ang sistema ng mga equation at ang determinant ng system at ulitin ang sagot sa tanong kung saan ang isa o higit pang elemento ng determinant ay katumbas ng zero. Kaya, ang determinant ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay tiyak. Upang mahanap ang solusyon nito, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, ang solusyon ng system ay (2; -1; 1).
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Ibabaw ng Pahina
Kumuha ng pagsusulit sa System of Linear Equation
Tulad ng nabanggit na, kung ang determinant ng system ay katumbas ng zero, at ang mga determinant para sa mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ilarawan natin sa sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 4 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Ang determinant ng system ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ng mga linear equation ay alinman sa hindi pare-pareho at tiyak, o hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon. Upang linawin, kinakalkula namin ang mga determinant para sa mga hindi alam
Ang mga determinant para sa mga hindi alam ay hindi katumbas ng zero, samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, iyon ay, wala itong mga solusyon.
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Sa mga problema sa mga sistema ng linear equation, mayroon ding mga kung saan, bilang karagdagan sa mga titik na nagsasaad ng mga variable, mayroon ding iba pang mga titik. Ang mga titik na ito ay kumakatawan sa ilang numero, kadalasan ay totoong numero. Sa pagsasagawa, ang mga naturang equation at sistema ng mga equation ay humahantong sa mga problema upang mahanap ang mga pangkalahatang katangian ng anumang phenomena at mga bagay. Iyon ay, nag-imbento ka ng ilang bagong materyal o aparato, at upang ilarawan ang mga katangian nito, na karaniwan anuman ang laki o bilang ng mga kopya, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation, kung saan sa halip na ilang mga coefficient para sa mga variable ay may mga titik. Hindi mo kailangang tumingin sa malayo para sa mga halimbawa.
Ang susunod na halimbawa ay para sa isang katulad na problema, tanging ang bilang ng mga equation, variable, at titik na nagsasaad ng ilang tunay na numero ay tumataas.
Halimbawa 6 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Paghahanap ng mga determinant para sa mga hindi alam
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
,
,
.
At sa wakas, isang sistema ng apat na equation na may apat na hindi alam.
Halimbawa 7 Lutasin ang sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng Cramer:
.
Pansin! Ang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant ng ikaapat na pagkakasunud-sunod ay hindi ipapaliwanag dito. Pagkatapos nito - sa naaangkop na seksyon ng site. Ngunit magkakaroon ng ilang mga komento. Desisyon. Nahanap namin ang determinant ng system:
Isang maliit na komento. Sa orihinal na determinant, ang mga elemento ng ikaapat na hilera ay ibinawas mula sa mga elemento ng pangalawang hilera, ang mga elemento ng ikaapat na hanay na pinarami ng 2 ay ibinawas mula sa mga elemento ng ikatlong hilera, ang mga elemento ng unang hilera na pinarami ng 2 ay ibinawas sa mga elemento ng ikaapat na hanay. scheme. Paghahanap ng mga determinant para sa mga hindi alam
Para sa mga pagbabagong-anyo ng determinant na may pang-apat na hindi alam, ang mga elemento ng ikaapat na hanay ay ibinawas mula sa mga elemento ng unang hilera.
Sa pamamagitan ng mga pormula ng Cramer ay makikita natin:
Kaya, ang solusyon ng system ay (1; 1; -1; -1).
Upang suriin ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation na 3 X 3 at 4 X 4, maaari mong gamitin ang online na calculator, ang paraan ng paglutas ng Cramer.
Ang mga pinaka-matulungin ay malamang na napansin na ang artikulo ay hindi naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi tiyak na sistema ng mga linear na equation. At lahat dahil imposibleng lutasin ang mga ganitong sistema sa pamamagitan ng paraan ng Cramer, maaari lamang nating sabihin na ang sistema ay hindi tiyak. Ang mga solusyon sa naturang mga sistema ay ibinibigay ng pamamaraang Gauss.
Walang oras upang bungkalin ang solusyon? Maaari kang mag-order ng trabaho!
Ibabaw ng Pahina
Kumuha ng pagsusulit sa System of Linear Equation
Iba pa sa paksang "Systems of equation and inequalities"
Calculator - lutasin ang mga sistema ng mga equation online
Programmatic na pagpapatupad ng paraan ng Cramer sa C++
Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit at paraan ng pagdaragdag
Solusyon ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method
Kondisyon ng pagiging tugma ng sistema ng mga linear na equation.
Kronecker-Capelli theorem
Paglutas ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng matrix method (inverse matrix)
Mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay at matambok na hanay ng mga puntos
Ang simula ng paksang "Linear Algebra"
Mga Determinant
Sa artikulong ito, makikilala natin ang isang napakahalagang konsepto mula sa seksyon ng linear algebra, na tinatawag na determinant.
Gusto kong tandaan kaagad ang isang mahalagang punto: ang konsepto ng isang determinant ay wasto lamang para sa mga square matrice (bilang ng mga hilera = bilang ng mga haligi), ang ibang mga matrice ay wala nito.
Determinant ng isang square matrix(determinant) — numerical na katangian ng matrix.
Pagtatalaga ng mga determinant: |A|, det A, ∆ A.
determinant Ang "n" order ay tinatawag na algebraic sum ng lahat ng posibleng produkto ng mga elemento nito na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:
1) Ang bawat naturang produkto ay naglalaman ng eksaktong "n" na mga elemento (ibig sabihin, ang pangalawang determinant ng order ay 2 elemento).
2) Sa bawat produkto, mayroong kinatawan ng bawat row at bawat column bilang isang salik.
3) Anumang dalawang salik sa bawat produkto ay hindi maaaring kabilang sa parehong row o column.
Ang tanda ng produkto ay tinutukoy ng pagkakasunud-sunod ng paghalili ng mga numero ng hanay, kung ang mga elemento sa produkto ay nakaayos sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero ng hilera.
Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng paghahanap ng determinant ng isang matrix:
Para sa isang first-order matrix (i.e.
Linear na equation. Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ni Cramer.
mayroon lamang 1 elemento), ang determinant ay katumbas ng elementong ito:
2. Isaalang-alang ang pangalawang-order na square matrix:
3. Isaalang-alang ang isang parisukat na matrix ng ikatlong order (3×3):
4. At ngayon isaalang-alang ang mga halimbawa na may totoong mga numero:
Triangle rule.
Ang tuntunin ng tatsulok ay isang paraan upang makalkula ang determinant ng isang matrix, na kinabibilangan ng paghahanap nito ayon sa sumusunod na pamamaraan:
Tulad ng naintindihan mo na, ang pamamaraan ay tinawag na panuntunan ng tatsulok dahil sa katotohanan na ang mga multiply na elemento ng matrix ay bumubuo ng mga kakaibang tatsulok.
Upang mas maunawaan ito, kumuha tayo ng isang halimbawa:
At ngayon isaalang-alang ang pagkalkula ng determinant ng isang matrix na may totoong mga numero gamit ang panuntunang tatsulok:
Upang pagsama-samahin ang materyal na sakop, malulutas namin ang isa pang praktikal na halimbawa:
Mga katangian ng mga determinant:
1. Kung ang mga elemento ng isang row o column ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero.
2. Magbabago ang determinant ng sign kung may 2 row o column na napalitan. Tingnan natin ito sa isang maliit na halimbawa:
3. Ang determinant ng transposed matrix ay katumbas ng determinant ng orihinal na matrix.
4. Ang determinant ay zero kung ang mga elemento ng isang row ay katumbas ng mga katumbas na elemento ng isa pang row (para rin sa mga column). Ang pinakasimpleng halimbawa ng katangiang ito ng mga determinant ay:
5. Ang determinant ay zero kung ang 2 row nito ay proporsyonal (para rin sa mga column). Halimbawa (ang linya 1 at 2 ay proporsyonal):
6. Ang karaniwang salik ng isang row (column) ay maaaring alisin sa tanda ng determinant.
7) Ang determinant ay hindi magbabago kung ang mga elemento ng anumang row (column) ay idinagdag sa mga kaukulang elemento ng isa pang row (column), na i-multiply sa parehong halaga. Tingnan natin ito sa isang halimbawa:
Views: 57258
Ang determinant (aka determinant (determinant)) ay matatagpuan lamang sa mga square matrice. Ang determinant ay hindi hihigit sa isang halaga na pinagsasama ang lahat ng mga elemento ng isang matrix, na pinapanatili kapag naglilipat ng mga hilera o column. Maaari itong tukuyin bilang det(A), |A|, Δ(A), Δ, kung saan ang A ay maaaring parehong matrix at isang titik na nagsasaad nito. Mahahanap mo ito sa iba't ibang paraan:
Ang lahat ng mga pamamaraan na iminungkahi sa itaas ay susuriin sa mga matrice na may sukat na tatlo o higit pa. Ang determinant ng isang two-dimensional matrix ay matatagpuan gamit ang tatlong elementarya na pagpapatakbo ng matematika, samakatuwid, ang paghahanap ng determinant ng isang two-dimensional na matrix ay hindi mahuhulog sa alinman sa mga pamamaraan. Well, maliban bilang isang karagdagan, ngunit higit pa sa na mamaya.
Hanapin ang determinant ng isang 2x2 matrix:
Upang mahanap ang determinant ng aming matrix, kinakailangan na ibawas ang produkto ng mga numero ng isang dayagonal mula sa isa, ibig sabihin, iyon ay
Mga halimbawa ng paghahanap ng determinant ng second-order matrice
Pagkabulok ng hilera/kolum
Ang anumang row o column sa matrix ay pipiliin. Ang bawat numero sa napiling linya ay i-multiply sa (-1) i+j kung saan (i,j ay ang row, column number ng numerong iyon) at i-multiply sa second order determinant na binubuo ng mga natitirang elemento pagkatapos tanggalin ang i - row at j - hanay. Tingnan natin ang matrix
- Pumili ng row/column
Halimbawa, kunin ang pangalawang linya.
Tandaan: Kung hindi tahasang ipinahiwatig kung saang linya makikita ang determinant, piliin ang linyang may zero. Magkakaroon ng mas kaunting mga kalkulasyon.
- Bumuo ng isang expression
Hindi mahirap matukoy na ang tanda ng isang numero ay nagbabago sa bawat ibang pagkakataon. Samakatuwid, sa halip na mga yunit, maaari kang magabayan ng sumusunod na talahanayan:
- Baguhin natin ang tanda ng ating mga numero
- Hanapin natin ang mga determinant ng ating mga matrice
- Isinasaalang-alang namin ang lahat
Ang solusyon ay maaaring isulat tulad nito:
Mga halimbawa ng paghahanap ng determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak ng row/column:
Paraan ng pagbawas sa isang tatsulok na anyo (gamit ang elementarya na pagbabago)
Ang determinant ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdadala ng matrix sa isang triangular (step) na anyo at pagpaparami ng mga elemento sa pangunahing dayagonal
Ang triangular matrix ay isang matrix na ang mga elemento sa isang gilid ng dayagonal ay katumbas ng zero.
Kapag nagtatayo ng isang matrix, tandaan ang tatlong simpleng panuntunan:
- Sa bawat oras na ang mga string ay ipinagpapalit, ang determinant ay nagbabago ng sign sa kabaligtaran.
- Kapag nagpaparami / naghahati ng isang linya sa isang di-zero na numero, dapat itong hatiin (kung i-multiply) / i-multiply (kung hinati) nito, o isagawa ang pagkilos na ito gamit ang resultang determinant.
- Kapag nagdadagdag ng isang string na pinarami ng isang numero sa isa pang string, ang determinant ay hindi nagbabago (ang multiplied na string ay tumatagal ng orihinal na halaga nito).
Subukan nating makakuha ng mga zero sa unang column, pagkatapos ay sa pangalawa.
Tingnan natin ang aming matrix:
Ta-a-ak. Upang gawing mas kaaya-aya ang mga kalkulasyon, gusto kong magkaroon ng pinakamalapit na numero sa itaas. Maaari mong iwanan ito, ngunit hindi mo na kailangan. Okay, mayroon kaming deuce sa pangalawang linya, at apat sa una.
Pagpalitin natin ang dalawang linyang ito.
Pinalitan namin ang mga linya, ngayon dapat naming baguhin ang sign ng isang linya, o baguhin ang sign ng determinant sa dulo.
Mga Determinant. Pagkalkula ng mga determinant (p. 2)
Gagawin natin mamaya.
Ngayon, upang makakuha ng zero sa unang hilera, i-multiply namin ang unang hilera sa 2.
Ibawas ang 1st row mula sa pangalawa.
Ayon sa aming ika-3 panuntunan, ibinabalik namin ang orihinal na string sa paunang posisyon.
Ngayon, gumawa tayo ng zero sa ika-3 linya. Maaari nating i-multiply ang unang linya ng 1.5 at ibawas mula sa pangatlo, ngunit ang pagtatrabaho sa mga fraction ay nagdudulot ng kaunting kasiyahan. Samakatuwid, maghanap tayo ng isang numero kung saan maaaring mabawasan ang parehong mga string - ito ay 6.
I-multiply ang 3rd row sa 2.
Ngayon i-multiply namin ang 1st row ng 3 at ibawas mula sa 3rd one.
Ibalik natin ang ating 1st row.
Huwag kalimutan na pinarami namin ang 3rd row sa 2, kaya't hahatiin namin ang determinant sa 2.
May isang column. Ngayon, para makakuha ng mga zero sa pangalawa - kalimutan natin ang tungkol sa 1st line - nagtatrabaho tayo sa 2nd line. I-multiply ang pangalawang hilera sa -3 at idagdag ito sa pangatlo.
Huwag kalimutang ibalik ang pangalawang linya.
Kaya nakagawa kami ng triangular matrix. Ano ang natitira sa atin? At nananatili itong i-multiply ang mga numero sa pangunahing dayagonal, na gagawin natin.
Buweno, nananatili itong tandaan na dapat nating hatiin ang ating determinant sa 2 at baguhin ang tanda.
Ang panuntunan ni Sarrus (Rule of triangles)
Nalalapat lamang ang panuntunan ni Sarrus sa mga third-order square matrice.
Ang determinant ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagdaragdag ng unang dalawang hanay sa kanan ng matrix, pagpaparami ng mga elemento ng mga diagonal ng matrix at pagdaragdag ng mga ito, at pagbabawas ng kabuuan ng mga kabaligtaran na diagonal. Ibawas ang purple mula sa orange na diagonal.
Ang panuntunan ng mga tatsulok ay pareho, tanging ang larawan ay naiiba.
Ang theorem ni Laplace ay tingnan ang Row/column decomposition
1.1. Mga sistema ng dalawang linear equation at second-order determinants
Isaalang-alang ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam:
Odds 
na may hindi kilala 
at 
may dalawang indeks: ang una ay nagpapahiwatig ng bilang ng equation, ang pangalawa - ang bilang ng variable.
Panuntunan ni Cramer: Ang solusyon ng system ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng mga pantulong na determinant sa pangunahing determinant ng system
,
Puna 1. Ang paggamit ng panuntunan ng Cramer ay posible kung ang determinant ng system 
ay hindi katumbas ng zero.
Puna 2. Ang mga formula ng Cramer ay maaari ding gawing pangkalahatan sa mga sistema ng mas mataas na pagkakasunud-sunod.
Halimbawa 1 Solve system: 
.
Desisyon.
;
;
;
Pagsusuri:
Konklusyon: Ang sistema ay tama: 
.
1.2. Mga sistema ng tatlong linear equation at third-order determinants
Isaalang-alang ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam:
Ang determinant, na binubuo ng mga coefficient ng mga hindi alam, ay tinatawag system qualifier o master qualifier:
.
Kung ang 
pagkatapos ang system ay may natatanging solusyon, na tinutukoy ng mga formula ng Cramer:
nasaan ang mga determinant 
ay tinatawag na auxiliary at nakuha mula sa determinant 
sa pamamagitan ng pagpapalit sa una, pangalawa, o pangatlong column nito ng column ng mga libreng miyembro ng system.
Halimbawa 2 Lutasin ang sistema 
.
Buuin natin ang mga pangunahing at pantulong na determinant:
Ito ay nananatiling isaalang-alang ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order. May tatlo sa kanila: ang panuntunan sa pagdaragdag ng column, ang panuntunan ng Sarrus, at ang panuntunan ng pagpapalawak.
a) Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng unang dalawang hanay sa pangunahing determinant:
Ang pagkalkula ay isinasagawa bilang mga sumusunod: kasama ang kanilang pag-sign ay ang mga produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal at kasama ang mga parallel dito, na may kabaligtaran na pag-sign, kinuha nila ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at kasama ang mga parallel dito. .
b) panuntunan ni Sarrus:
Sa kanilang pag-sign, kinukuha nila ang mga produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal at kasama ang mga parallel dito, at ang nawawalang ikatlong elemento ay kinuha mula sa kabaligtaran na sulok. Sa kabaligtaran na pag-sign, kinukuha nila ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at kasama ang mga parallel dito, ang ikatlong elemento ay kinuha mula sa kabaligtaran na sulok.
c) Ang panuntunan ng pagpapalawak ng mga elemento ng isang row o column:
Kung ang 
, pagkatapos .
Algebraic na karagdagan ay isang lower order determinant na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal ng kaukulang row at column at isinasaalang-alang ang sign 
, saan 
- numero ng linya 
- numero ng hanay.
Halimbawa,
,
,
atbp.
Kalkulahin natin ang mga pantulong na determinant ayon sa panuntunang ito 
at 
, pagpapalawak ng mga ito sa pamamagitan ng mga elemento ng unang hilera.
Nang makalkula ang lahat ng mga determinant, nakita namin ang mga variable ayon sa panuntunan ng Cramer:
Pagsusuri:
Konklusyon: tama ang sistema: .
Mga pangunahing katangian ng mga determinant
Dapat tandaan na ang determinant ay numero, natagpuan ayon sa ilang mga patakaran. Ang pagkalkula nito ay maaaring gawing simple kung gagamitin natin ang mga pangunahing katangian na wasto para sa mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod.
Ari-arian 1. Ang halaga ng determinant ay hindi magbabago mula sa pagpapalit ng lahat ng mga row nito na may kaukulang mga column ayon sa numero at vice versa.
Ang pagpapatakbo ng pagpapalit ng mga hilera ng mga haligi ay tinatawag na transposisyon. Ito ay sumusunod mula sa property na ito na ang anumang pahayag na totoo para sa mga row ng isang determinant ay magiging totoo din para sa mga column nito.
Ari-arian 2. Kung ang dalawang hanay (mga haligi) ay ipinagpapalit sa determinant, ang tanda ng determinant ay magbabago sa kabaligtaran.
Ari-arian 3. Kung ang lahat ng elemento ng anumang hilera ng determinant ay katumbas ng 0, kung gayon ang determinant ay katumbas ng 0.
Ari-arian 4.
Kung ang mga elemento ng determinant string ay pinarami (hinati) sa ilang numero 
, pagkatapos ay ang halaga ng determinant ay tataas (bumababa) sa 
minsan.
Kung ang mga elemento ng anumang hilera ay may isang karaniwang kadahilanan, pagkatapos ay maaari itong alisin sa determinant sign.
Ari-arian 5. Kung ang isang determinant ay may dalawang magkapareho o proporsyonal na hanay, kung gayon ang naturang determinant ay katumbas ng 0.
Ari-arian 6. Kung ang mga elemento ng anumang hilera ng determinant ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng dalawang determinant.
Ari-arian 7. Ang halaga ng determinant ay hindi nagbabago kung ang mga elemento ng isang hilera ay idinagdag sa mga elemento ng isa pang hilera, na i-multiply sa parehong numero.
Sa determinant na ito, sa una ang pangatlo, pinarami ng 2, ay idinagdag sa pangalawang hilera, pagkatapos ay ang pangalawa ay ibinawas mula sa ikatlong hanay, pagkatapos kung saan ang pangalawang hilera ay idinagdag sa una at pangatlo, bilang isang resulta nakakuha kami ng maraming ng mga zero at pinasimple ang pagkalkula.
elementarya mga pagbabagong-anyo determinant ay tinatawag na mga pagpapasimple nito dahil sa paggamit ng mga katangiang ito.
Halimbawa 1 Compute determinant
Ang direktang pagbibilang ayon sa isa sa mga panuntunan sa itaas ay humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon. Samakatuwid, ipinapayong gamitin ang mga katangian:
a) ibawas ang pangalawang hilera, na pinarami ng 2, mula sa unang hilera;
b) ibawas ang ikatlong hilera mula sa pangalawang hanay, na pinarami ng 3.
Bilang resulta, nakukuha namin ang:
Palawakin natin ang determinant na ito sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang column, na naglalaman lamang ng isang nonzero na elemento.
.
Mga sistema at determinant ng mas mataas na mga order
sistema 
linear equation na may 
Ang mga hindi alam ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
Para sa kasong ito, posible ring bumuo ng mga pangunahing at pantulong na determinant, at matukoy ang mga hindi alam ayon sa panuntunan ni Cramer. Ang problema ay ang mga determinant ng mas mataas na order ay maaari lamang makalkula sa pamamagitan ng pagpapababa ng pagkakasunud-sunod at pagbabawas sa mga ito sa mga determinant ng ikatlong order. Magagawa ito sa pamamagitan ng direktang agnas sa mga elemento ng row o column, gayundin sa pamamagitan ng mga paunang pagbabagong elementarya at karagdagang decomposition.
Halimbawa 4 Kalkulahin ang determinant ng ikaapat na order
Desisyon hanapin sa dalawang paraan:
a) sa pamamagitan ng direktang pagpapalawak sa mga elemento ng unang hilera:
b) sa pamamagitan ng mga paunang pagbabago at karagdagang pagkabulok
|
|
a) ibawas ang linya 3 mula sa linya 1 |
|
|
b) magdagdag ng linya II sa linya IV |
Halimbawa 5 Kalkulahin ang determinant ng ikalimang order, pagkuha ng mga zero sa ikatlong hilera gamit ang ikaapat na hanay
|
|
ibawas ang pangalawa sa unang hilera, ibawas ang pangalawa sa pangatlo, at ibawas ang pangalawa na pinarami ng 2 sa ikaapat. |
ibawas ang pangatlo sa pangalawang hanay: 
ibawas ang pangatlo sa pangalawang linya: 
Halimbawa 6 Solve system:
Desisyon. Buuin natin ang determinant ng system at, paglalapat ng mga katangian ng mga determinant, kalkulahin ito:
(mula sa unang hilera ay ibawas natin ang pangatlo, at pagkatapos ay sa nagreresultang pangatlong-order na determinant mula sa ikatlong hanay ay ibawas natin ang una, pinarami ng 2). Determinant 
, samakatuwid, naaangkop ang mga formula ng Cramer.
Kalkulahin natin ang natitirang mga determinant:
Ang ikaapat na hanay ay pinarami ng 2 at ibinabawas mula sa iba
Ang ikaapat na hanay ay ibinawas mula sa una, at pagkatapos, pinarami ng 2, ibinawas mula sa pangalawa at pangatlong hanay.
.
Dito, ang parehong mga pagbabagong-anyo ay isinagawa tulad ng para sa 
.
.
Kapag natagpuan 
ang unang hanay ay pinarami ng 2 at ibinawas mula sa iba.
Ayon sa panuntunan ni Cramer, mayroon tayong:
Matapos palitan ang mga nahanap na halaga sa mga equation, tinitiyak namin na ang solusyon ng system ay tama.
2. MATRIXES AT GAMITIN NILA
SA MGA SISTEMA NG PAGSOLBA NG LINEAR EQUATIONS
2. Kung │A│=0, ang matrix A ay degenerate at ang inverse matrix A -1 ay wala.
Kung ang determinant ng matrix A ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang inverse matrix ay umiiral.
3. Hanapin ang A T na inilipat sa A.
4. Hanapin ang algebraic complements ng mga elemento ng transposed matrix at buuin ang magkadugtong na matrix mula sa kanila. 5. Kinakalkula namin ang inverse matrix ayon sa formula: 6. Suriin ang kawastuhan ng pagkalkula ng inverse matrix, batay sa kahulugan nito A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.
· №28
· Sa isang m x n matrix, sa pamamagitan ng pagtanggal ng anumang mga row at column, maaaring pumili ng mga square submatrice ng kth order, kung saan ang k≤min(m; n). Ang mga determinant ng naturang mga submatrice ay tinatawag na k-th order minors ng matrix A.
· Ang ranggo ng isang matrix A ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na menor de edad ng matrix na ito.
· Ang ranggo ng isang matrix A ay tinutukoy ng rang A o r(A).
· Mula sa kahulugan ay sumusunod:
· 1) ang ranggo ng isang matrix ng laki m x n ay hindi lalampas sa pinakamaliit sa mga sukat nito, i.e. r(A) ≤ min (m; n).
· 2) r(A)=0 kung at kung ang lahat ng elemento ng matrix ay katumbas ng zero, i.e. A=0.
· 3) Para sa isang parisukat na matrix ng nth order, r(A) = n kung at tanging kung ang matrix A ay nonsingular.
· Sa pangkalahatang kaso, ang pagtukoy sa ranggo ng isang matrix sa pamamagitan ng enumeration ng lahat ng mga menor de edad ay medyo matrabaho. Upang mapadali ang gawaing ito, ginagamit ang mga pagbabagong elementarya na nagpapanatili ng ranggo ng matrix:
· 1) Pagtanggi sa zero row (column).
· 2) Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang row (column) ng isang matrix sa isang hindi-zero na numero.
· 3) Pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng mga row (column) ng matrix.
· 4) Pagdaragdag sa bawat elemento ng isang row (column) ng mga kaukulang elemento ng isa pang row (column), na pinarami ng anumang numero.
· 5) Matrix transposition.
· Teorama. Ang ranggo ng isang matrix ay hindi magbabago sa ilalim ng elementarya na pagbabago ng matrix.
№31
Hayaang ang bilang ng mga equation sa system (1) ay katumbas ng bilang ng mga variable, i.e. m=n. Kung gayon ang matrix ng system ay parisukat, at ang determinant nito Δ=│A│ ay tinatawag na determinant ng system.
Ipagpalagay na ang │А│ ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay mayroong isang inverse matrix A -1 .
Ang pagpaparami ng parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ng matrix sa kaliwa ng inverse matrix A -1 ay nakukuha natin:
A -1 (AX) \u003d A -1 B.
Ang solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng inverse matrix method ay ang column matrix:
X \u003d A -1 B.
(A -1 A)X \u003d EX \u003d X
Teorama ni Cramer. Hayaang ang Δ ang determinant ng matrix ng system A, at ang Δ j ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagpapalit sa jth column ng column ng mga free terms. Kung ang Δ ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon na tinukoy ng mga formula ng Cramer:
kung saan ang j=1..n.
№33
Ang pamamaraan ng Gauss - ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable - ay binubuo sa katotohanan na, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang stepped o triangular na uri.
Isaalang-alang ang matrix:
Ang matrix na ito ay tinatawag na pinalawig na matrix ng system (1), dahil bilang karagdagan sa matrix ng system A, kasama rin dito ang isang hanay ng mga libreng termino.
№26
Ang isang N-dimensional na vector ay isang nakaayos na hanay ng mga n tunay na numero na nakasulat bilang X=(x 1,x 2,...x n) , kung saan ang x i ay ang i-th na bahagi ng vector X.
Ang dalawang n-dimensional na vector ay pantay-pantay kung at kung ang kani-kanilang mga bahagi ay pantay, i.e. X=Y kung x i =y i , i=1…n.
Ang hanay ng mga vector na may mga tunay na bahagi, kung saan ang mga operasyon ng pagdaragdag ng mga vector at pagpaparami ng isang vector sa isang numero na nakakatugon sa mga katangian sa itaas, ay tinukoy, ay tinatawag na isang vector space.
Ang isang vector space R ay tinatawag na n-dimensional kung mayroong n linearly independent vectors dito, at anumang n + 1 vectors ay nakadepende na. Ang numerong n ay tinatawag na dimensyon ng vector space R at ipinapahiwatig na dim(R).
№29
Mga linear na operator
Kahulugan. Kung ang isang batas (panuntunan) ay ibinigay, ayon sa kung saan ang bawat vector x ng espasyo ay nauugnay sa isang solong vector y ng espasyo
pagkatapos ay sinasabi nila: na ang operator (pagbabagong-anyo, pagmamapa) A(x) ay ibinigay, kumikilos mula sa at
isulat ang y=A(x).
Ang isang operator ay tinatawag na linear kung para sa anumang vector x at y ng espasyo
at anumang numero λ, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:
№37
Hayaan ang А ay isang set na binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga elemento a 1 , a 2 , a 3 …a n . Maaaring mabuo ang mga grupo mula sa iba't ibang elemento ng set A. Kung ang bawat pangkat ay nagsasama ng parehong bilang ng mga elemento m (m sa n), kung gayon ang mga ito ay sinasabing bumubuo ng mga compound ng n elemento na may m bawat isa. May tatlong uri ng mga koneksyon: mga pagkakalagay, kumbinasyon at mga permutasyon.
mga koneksyon, ang bawat isa ay kinabibilangan ng lahat ng n elemento ng set A at kung saan, samakatuwid, ay naiiba sa isa't isa lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga elemento ay tinatawag na permutations ng n elemento. Ang bilang ng naturang mga permutasyon ay tinutukoy ng simbolo Р n .
№35
Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay batay sa konsepto ng equiprobability ng mga kaganapan.
Ang pagkakapantay-pantay ng mga kaganapan ay nangangahulugan na walang dahilan upang mas gusto ang alinman sa mga ito kaysa sa iba.
Isaalang-alang natin ang isang pagsubok, bilang isang resulta kung saan maaaring mangyari ang kaganapan A. Ang bawat kinalabasan, kung saan nangyari ang kaganapan A, ay tinatawag na isang kanais-nais na kaganapan A.
Ang posibilidad ng isang kaganapan A (na tinukoy ng P(A)) ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang A (na tinutukoy ng k) sa bilang ng lahat ng resulta ng pagsubok - N i.e. P(A)=k/N.
Ang mga sumusunod na katangian ay sumusunod mula sa klasikal na kahulugan ng posibilidad:
Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa.
Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa.
Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero
№39, 40
Pagdaragdag ng teorama. Kung hindi pare-pareho ang A at B, P(A + B) = P(A) + P(B)
