Hayaang malaman ang kanilang mga probabilities at ang kaukulang conditional probabilities. Kung gayon ang posibilidad na mangyari ang kaganapan ay:
Ang formula na ito ay tinatawag na kabuuang mga pormula ng posibilidad. Sa mga aklat-aralin, ito ay binuo ng isang teorama, ang patunay nito ay elementarya: ayon sa algebra ng kaganapan, (nangyari ang pangyayari at o isang pangyayari ang nangyari at pagkatapos nito dumating ang kaganapan o isang pangyayari ang nangyari at pagkatapos nito dumating ang kaganapan o …. o isang pangyayari ang nangyari at sumunod na pangyayari). Dahil ang mga hypotheses 
ay hindi magkatugma, at ang kaganapan ay nakasalalay, pagkatapos ay ayon sa karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan (unang hakbang) at ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga umaasang kaganapan (Pangalawang hakbang):
Marahil, marami ang umaasa sa nilalaman ng unang halimbawa =)
Kahit saan ka dumura - kahit saan ang urn:
Gawain 1
May tatlong magkatulad na urn. Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 7 itim na bola, ang pangalawang urn ay naglalaman lamang ng mga puting bola, at ang ikatlong urn ay naglalaman lamang ng mga itim na bola. Ang isang urn ay pinili nang random at ang isang bola ay kinuha mula dito nang random. Ano ang posibilidad na ang bolang ito ay itim?
Desisyon: isaalang-alang ang kaganapan - isang itim na bola ang kukunin mula sa isang random na napiling urn. Maaaring mangyari ang kaganapang ito bilang resulta ng pagpapatupad ng isa sa mga sumusunod na hypotheses:
– pipiliin ang 1st urn;
– pipiliin ang 2nd urn;
– pipiliin ang 3rd urn.
Dahil ang urn ay pinili nang random, ang pagpili ng alinman sa tatlong urn pare-parehong posible, kaya: 
Tandaan na nabuo ang mga hypotheses sa itaas buong pangkat ng mga kaganapan, iyon ay, ayon sa kondisyon, ang isang itim na bola ay maaaring lumitaw lamang mula sa mga urn na ito, at, halimbawa, hindi lumipad mula sa isang billiard table. Gumawa tayo ng isang simpleng intermediate check: 
OK, magpatuloy tayo:
Ang unang urn ay naglalaman ng 4 na puti + 7 itim = 11 bola, bawat isa klasikal na kahulugan:
ay ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na bola Kung ganoon na pipiliin ang 1st urn.
Ang pangalawang urn ay naglalaman lamang ng mga puting bola, kaya kung pinili ang hitsura ng isang itim na bola ay nagiging imposible: .
At, sa wakas, sa ikatlong urn mayroon lamang mga itim na bola, na nangangahulugan na ang katumbas kondisyon na maaaring mangyari ang pagkuha ng itim na bola ay magiging (tiyak ang kaganapan).
ay ang posibilidad na ang isang itim na bola ay makukuha mula sa isang random na piniling urn.
Sagot:
Ang nasuri na halimbawa ay muling nagmumungkahi kung gaano kahalaga ang UNAWAIN ANG KONDISYON. Kunin natin ang parehong mga problema sa mga urn at bola - sa kanilang panlabas na pagkakapareho, ang mga pamamaraan ng paglutas ay maaaring maging ganap na naiiba: sa isang lugar na kinakailangan na mag-aplay lamang klasikal na kahulugan ng posibilidad, mga kaganapan sa isang lugar malaya, sa isang lugar umaasa, at kung saan pinag-uusapan natin ang mga hypotheses. Kasabay nito, walang malinaw na pormal na pamantayan para sa pagpili ng landas ng solusyon - halos palaging kailangan mong isipin ito. Paano pagbutihin ang iyong mga kasanayan? We solve, we solve and we solve again!
Gawain 2
Mayroong 5 iba't ibang mga riple sa hanay ng pagbaril. Ang mga posibilidad na matamaan ang target para sa isang naibigay na tagabaril ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 0.5; 0.55; 0.7; 0.75 at 0.4. Ano ang posibilidad na matamaan ang target kung ang tagabaril ay nagpaputok ng isang putok mula sa isang random na napiling rifle?
Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Sa karamihan ng mga pampakay na problema, ang mga hypotheses, siyempre, ay hindi pantay na posibilidad:
Gawain 3
Mayroong 5 riple sa pyramid, tatlo sa mga ito ay nilagyan ng optical sight. Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target kapag pinaputok mula sa isang rifle na may teleskopiko na paningin ay 0.95; para sa isang rifle na walang teleskopiko na paningin, ang posibilidad na ito ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na ang target ay matatamaan kung ang tagabaril ay nagpaputok ng isang putok mula sa isang riple na kinuha nang random.
Desisyon: sa problemang ito, ang bilang ng mga riple ay eksaktong kapareho ng sa nauna, ngunit mayroon lamang dalawang hypotheses:
- ang tagabaril ay pipili ng isang rifle na may optical na paningin;
- ang tagabaril ay pipili ng isang rifle na walang teleskopiko na paningin.
Sa pamamagitan ng klasikal na kahulugan ng posibilidad: 
.
Ang kontrol:
Isaalang-alang ang kaganapan: - ang tagabaril ay tumama sa target gamit ang isang random na napiling rifle.
Ayon sa kondisyon: .
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
Sagot: 0,85
Sa pagsasagawa, ang isang pinaikling paraan ng pagdidisenyo ng isang gawain, na pamilyar ka rin, ay lubos na katanggap-tanggap:
Desisyon: ayon sa klasikal na kahulugan: 
ay ang mga probabilidad ng pagpili ng rifle na may at walang optical na paningin, ayon sa pagkakabanggit.
Sa kondisyon, 
– mga posibilidad na tamaan ang target gamit ang kani-kanilang uri ng mga riple.
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
ay ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target gamit ang isang random na napiling rifle.
Sagot: 0,85
Ang sumusunod na gawain para sa isang malayang solusyon:
Gawain 4
Gumagana ang makina sa tatlong mga mode: normal, sapilitang at idling. Sa idle mode, ang posibilidad ng pagkabigo nito ay 0.05, sa normal na mode - 0.1, at sa sapilitang mode - 0.7. 70% ng oras na tumatakbo ang makina sa normal na mode, at 20% sa sapilitang mode. Ano ang posibilidad ng pagkabigo ng makina sa panahon ng operasyon?
Kung sakali, hayaan mong ipaalala ko sa iyo - upang makuha ang mga probabilities, ang mga porsyento ay dapat na hatiin sa 100. Maging maingat! Ayon sa aking mga obserbasyon, ang mga kondisyon ng mga problema para sa kabuuang pormula ng posibilidad ay madalas na sinusubukang malito; at partikular na pinili ko ang gayong halimbawa. Sasabihin ko sa iyo ang isang sikreto - halos malito ako sa sarili ko =)
Solusyon sa pagtatapos ng aralin (binubalangkas sa maikling paraan)
Mga problema para sa mga formula ng Bayes
Ang materyal ay malapit na nauugnay sa nilalaman ng nakaraang talata. Hayaang mangyari ang kaganapan bilang resulta ng pagpapatupad ng isa sa mga hypotheses 
. Paano matukoy ang posibilidad na ang isang partikular na hypothesis ay naganap?
Kung ganoon pangyayaring iyon nangyari na, mga probabilidad ng hypotheses overestimated ayon sa mga pormula na nakatanggap ng pangalan ng paring Ingles na si Thomas Bayes:
- ang posibilidad na ang hypothesis ay naganap; 
- ang posibilidad na ang hypothesis ay naganap;
…
ay ang posibilidad na ang hypothesis ay totoo.
Sa unang sulyap, tila isang ganap na kahangalan - bakit muling kalkulahin ang mga probabilidad ng mga hypotheses, kung alam na ang mga ito? Ngunit sa katunayan mayroong isang pagkakaiba:
- Ito isang priori(tinatayang dati mga pagsubok) probabilidad.
- Ito isang posterior(tinatayang pagkatapos mga pagsubok) ang mga probabilidad ng parehong hypotheses, muling kinakalkula na may kaugnayan sa "mga bagong natuklasang pangyayari" - isinasaalang-alang ang katotohanan na ang kaganapan nangyari.
Tingnan natin ang pagkakaibang ito sa isang partikular na halimbawa:
Gawain 5
Nakatanggap ang bodega ng 2 batch ng mga produkto: ang una - 4000 piraso, ang pangalawa - 6000 piraso. Ang average na porsyento ng mga di-karaniwang produkto sa unang batch ay 20%, at sa pangalawa - 10%. Random na kinuha mula sa bodega, ang produkto ay naging pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay: a) mula sa unang batch, b) mula sa pangalawang batch.
Unang parte mga solusyon ay binubuo sa paggamit ng kabuuang pormula ng posibilidad. Sa madaling salita, ang mga kalkulasyon ay isinasagawa sa ilalim ng pagpapalagay na ang pagsubok hindi pa nagagawa at kaganapan "ang produkto ay naging pamantayan" hanggang sa dumating.
Isaalang-alang natin ang dalawang hypotheses:
- isang produkto na kinuha nang random ay mula sa 1st batch;
- isang produkto na kinuha nang random ay magmumula sa 2nd batch.
Kabuuan: 4000 + 6000 = 10000 item sa stock. Ayon sa klasikal na kahulugan:
.
Ang kontrol:
Isaalang-alang ang umaasa na kaganapan: – isang item na kinuha nang random mula sa bodega kalooban pamantayan.
Sa unang batch 100% - 20% = 80% karaniwang mga produkto, samakatuwid: 
Kung ganoon na ito ay kabilang sa 1st party.
Katulad nito, sa pangalawang batch 100% - 10% = 90% karaniwang mga produkto at 
ay ang posibilidad na ang isang random na napiling item sa bodega ay magiging isang karaniwang item Kung ganoon na ito ay kabilang sa 2nd party.
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
ay ang posibilidad na ang isang produkto na pinili nang random mula sa bodega ay magiging isang karaniwang produkto.
Ikalawang bahagi. Ipagpalagay na ang isang produkto na kinuha nang random mula sa bodega ay naging karaniwan. Ang pariralang ito ay direktang nabaybay sa kondisyon, at ito ay nagsasaad ng katotohanan na ang kaganapan nangyari.
Ayon sa mga formula ni Bayes:
a) - ang posibilidad na ang napiling karaniwang produkto ay kabilang sa 1st batch;
b) - ang posibilidad na ang napiling karaniwang produkto ay nabibilang sa 2nd batch.
Pagkatapos muling pagsusuri hypotheses, siyempre, nabuo pa rin buong grupo:
(pagsusuri;-))
Sagot: 
Si Ivan Vasilyevich, na muling nagbago ng kanyang propesyon at naging direktor ng halaman, ay tutulong sa amin na maunawaan ang kahulugan ng muling pagtatasa ng mga hypotheses. Alam niya na ngayon ang 1st shop ay nagpadala ng 4000 item sa warehouse, at ang 2nd shop - 6000 na mga produkto, at siya ay pumupunta upang tiyakin ito. Ipagpalagay na ang lahat ng mga produkto ay pareho ang uri at nasa parehong lalagyan. Naturally, dati nang nakalkula ni Ivan Vasilyevich na ang produkto na aalisin niya ngayon para sa pag-verify ay malamang na gagawin ng 1st workshop at may posibilidad ng pangalawa. Ngunit pagkatapos na maging pamantayan ang napiling item, napabulalas siya: “Ang astig na bolt! - sa halip ito ay inilabas ng 2nd workshop. Kaya, ang posibilidad ng pangalawang hypothesis ay overestimated para sa mas mahusay , at ang posibilidad ng unang hypothesis ay underestimated: . At ang overestimation na ito ay hindi hindi makatwiran - pagkatapos ng lahat, ang 2nd workshop ay hindi lamang gumawa ng higit pang mga produkto, ngunit gumagana din ng 2 beses na mas mahusay!
Sabi mo, puro subjectivism? Bahagyang - oo, bukod dito, si Bayes mismo ang nag-interpret isang posterior probabilidad bilang antas ng tiwala. Gayunpaman, hindi lahat ay napakasimple - mayroong isang layunin na butil sa pamamaraang Bayesian. Pagkatapos ng lahat, ang posibilidad na ang produkto ay magiging pamantayan (0.8 at 0.9 para sa 1st at 2nd shop, ayon sa pagkakabanggit) Ito paunang(a priori) at daluyan mga pagtatantya. Ngunit, sa pagsasalita ng pilosopikal, lahat ay dumadaloy, lahat ay nagbabago, kasama ang mga probabilidad. Ito ay lubos na posible na sa oras ng pag-aaral ang mas matagumpay na 2nd shop ay tumaas ang porsyento ng mga karaniwang produkto (at/o binawasan ang 1st shop), at kung susuriin mo ang higit pa o lahat ng 10 libong mga item sa stock, kung gayon ang mga overestimated na halaga ay magiging mas malapit sa katotohanan.
Sa pamamagitan ng paraan, kung si Ivan Vasilyevich ay nag-extract ng isang hindi karaniwang bahagi, kung gayon ang kabaligtaran - siya ay "magsususpetsa" sa 1st shop nang higit pa at mas kaunti - ang pangalawa. Iminumungkahi kong suriin mo ito para sa iyong sarili:
Gawain 6
Nakatanggap ang bodega ng 2 batch ng mga produkto: ang una - 4000 piraso, ang pangalawa - 6000 piraso. Ang average na porsyento ng mga hindi karaniwang produkto sa unang batch ay 20%, sa pangalawa - 10%. Ang isang produkto na kinuha nang random mula sa bodega ay naging hindi pamantayan. Hanapin ang posibilidad na ito ay: a) mula sa unang batch, b) mula sa pangalawang batch.
Ang kundisyon ay makikilala sa pamamagitan ng dalawang titik, na aking na-highlight sa bold. Ang problema ay maaaring malutas mula sa simula, o maaari mong gamitin ang mga resulta ng nakaraang mga kalkulasyon. Sa sample, nagsagawa ako ng kumpletong solusyon, ngunit upang maiwasan ang isang pormal na overlay sa Gawain No. 5, ang kaganapan "Ang isang produkto na kinuha nang random mula sa bodega ay magiging hindi pamantayan" minarkahan ng .
Ang Bayesian scheme ng muling pagsusuri ng mga probabilidad ay matatagpuan sa lahat ng dako, at ito ay aktibong pinagsamantalahan ng iba't ibang uri ng mga scammer. Isaalang-alang ang isang tatlong-titik na kumpanya ng joint-stock na naging isang pangalan ng sambahayan, na umaakit ng mga deposito mula sa populasyon, di-umano'y namumuhunan sa kanila sa isang lugar, regular na nagbabayad ng mga dibidendo, atbp. Anong nangyayari? Lumipas ang araw-araw, buwan-buwan, at parami nang parami ang katotohanan, na inihahatid sa pamamagitan ng advertising at salita ng bibig, nagpapataas lamang ng antas ng kumpiyansa sa financial pyramid. (posterior Bayesian re-evaluation dahil sa mga nakaraang kaganapan!). Ibig sabihin, sa mata ng mga depositor, may patuloy na pagtaas sa posibilidad na "Ito ay isang seryosong opisina"; habang ang posibilidad ng kabaligtaran na hypothesis (“ito ay mga regular na manloloko”), siyempre, bumababa at bumababa. Ang natitira, sa palagay ko, ay malinaw. Kapansin-pansin na ang nakuhang reputasyon ay nagbibigay ng oras sa mga tagapag-ayos upang matagumpay na itago mula kay Ivan Vasilyevich, na naiwan hindi lamang nang walang isang batch ng bolts, kundi pati na rin walang pantalon.
Babalik kami sa hindi gaanong kagiliw-giliw na mga halimbawa sa ibang pagkakataon, ngunit sa ngayon, marahil ang pinakakaraniwang kaso na may tatlong hypotheses ay susunod sa linya:
Gawain 7
Ang mga electric lamp ay ginawa sa tatlong pabrika. Ang 1st planta ay gumagawa ng 30% ng kabuuang bilang ng mga lamp, ang ika-2 - 55%, at ang ika-3 - ang natitira. Ang mga produkto ng 1st planta ay naglalaman ng 1% ng mga may sira na lamp, ang ika-2 - 1.5%, ang ika-3 - 2%. Ang tindahan ay tumatanggap ng mga produkto mula sa lahat ng tatlong pabrika. May sira ang binili kong lamp. Ano ang posibilidad na ito ay ginawa ng planta 2?
Tandaan na sa mga problema sa mga formula ng Bayes sa kondisyon kinakailangan ilang anong nangyari isang kaganapan, sa kasong ito, ang pagbili ng isang lampara.
Dumami ang mga kaganapan at desisyon ito ay mas maginhawa upang ayusin sa isang "mabilis" na estilo.
Ang algorithm ay eksakto ang parehong: sa unang hakbang, nakita namin ang posibilidad na ang binili lampara ay magiging may sira.
Gamit ang paunang data, isinasalin namin ang mga porsyento sa mga probabilidad:
ay ang mga posibilidad na ang lampara ay ginawa ng 1st, 2nd at 3rd factory, ayon sa pagkakabanggit.
Ang kontrol:
Katulad nito: - ang mga posibilidad ng paggawa ng isang may sira na lampara para sa kani-kanilang mga pabrika.
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad:
- ang posibilidad na ang biniling lamp ay may depekto.
Ikalawang hakbang. Hayaang may sira ang binili na lampara (naganap ang kaganapan)
Ayon sa formula ng Bayes: 
- ang posibilidad na ang binili na may sira na lampara ay ginawa ng pangalawang pabrika
Sagot:
Bakit tumaas ang paunang posibilidad ng 2nd hypothesis pagkatapos ng muling pagtatasa? Pagkatapos ng lahat, ang pangalawang halaman ay gumagawa ng mga lamp na may average na kalidad (ang una ay mas mahusay, ang pangatlo ay mas masahol pa). Kaya bakit ito nadagdagan isang posterior ang posibilidad na ang defective lamp ay mula sa 2nd factory? Hindi na ito dahil sa "reputasyon", kundi sa laki. Dahil ang planta No. 2 ay gumawa ng pinakamalaking bilang ng mga lamp, sinisisi nila ito (hindi bababa sa subjectively): "malamang, ang sira na lampara na ito ay mula doon".
Kagiliw-giliw na tandaan na ang mga probabilidad ng 1st at 3rd hypotheses ay na-overestimated sa inaasahang direksyon at naging pantay:
Ang kontrol: 
, na dapat i-verify.
Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa underestimated at overestimated:
Gawain 8
Sa grupo ng mag-aaral, 3 tao ang may mataas na antas ng pagsasanay, 19 tao ang may average na antas at 3 tao ang may mababang antas. Ang mga posibilidad na matagumpay na makapasa sa pagsusulit para sa mga mag-aaral na ito ay ayon sa pagkakabanggit: 0.95; 0.7 at 0.4. Nabatid na ilang estudyante ang nakapasa sa pagsusulit. Ano ang posibilidad na:
a) siya ay napakahusay na naghanda;
b) ay katamtamang inihanda;
c) ay hindi maganda ang paghahanda.
Magsagawa ng mga kalkulasyon at pag-aralan ang mga resulta ng muling pagsusuri ng mga hypotheses.
Ang gawain ay malapit sa realidad at lalong kapani-paniwala para sa isang grupo ng mga part-time na mag-aaral, kung saan halos hindi alam ng guro ang mga kakayahan nito o ng mag-aaral na iyon. Sa kasong ito, ang resulta ay maaaring maging sanhi ng hindi inaasahang mga kahihinatnan. (lalo na sa mga pagsusulit sa 1st semester). Kung ang isang hindi handa na mag-aaral ay mapalad na makakuha ng isang tiket, kung gayon ang guro ay malamang na ituring siyang isang mahusay na mag-aaral o kahit na isang malakas na mag-aaral, na magdadala ng magandang dibidendo sa hinaharap (siyempre, kailangan mong "itaas ang bar" at panatilihin ang iyong imahe). Kung ang isang mag-aaral ay nag-aral, nagsisiksikan, paulit-ulit sa loob ng 7 araw at 7 gabi, ngunit siya ay hindi pinalad, kung gayon ang mga karagdagang kaganapan ay maaaring umunlad sa pinakamasamang posibleng paraan - na may maraming mga muling pagkuha at pagbabalanse sa bingit ng pag-alis.
Hindi na kailangang sabihin, ang reputasyon ang pinakamahalagang kapital, hindi nagkataon na maraming mga korporasyon ang nagtataglay ng mga pangalan at apelyido ng kanilang mga founding father, na namuno sa negosyo 100-200 taon na ang nakalilipas at naging tanyag sa kanilang hindi nagkakamali na reputasyon.
Oo, ang Bayesian na diskarte ay subjective sa isang tiyak na lawak, ngunit ... ganyan ang buhay!
Pagsamahin natin ang materyal na may isang pangwakas na pang-industriya na halimbawa, kung saan magsasalita ako tungkol sa mga teknikal na subtleties ng solusyon na hindi pa nakatagpo:
Gawain 9
Tatlong workshop ng halaman ang gumagawa ng mga bahagi ng parehong uri, na pinagsama sa isang karaniwang lalagyan para sa pagpupulong. Ito ay kilala na ang unang tindahan ay gumagawa ng 2 beses na mas maraming bahagi kaysa sa pangalawang tindahan, at 4 na beses na higit pa kaysa sa ikatlong tindahan. Sa unang workshop, ang depekto ay 12%, sa pangalawa - 8%, sa pangatlo - 4%. Para sa kontrol, isang bahagi ang kinuha mula sa lalagyan. Ano ang posibilidad na ito ay may depekto? Ano ang posibilidad na ang nakuhang bahagi na may sira ay ginawa ng ika-3 pagawaan?
Nakasakay na naman si Taki Ivan Vasilyevich =) Dapat happy ending ang pelikula =)
Desisyon: sa kaibahan sa Mga Gawain Blg. 5-8, ang isang katanungan ay tahasang itinatanong dito, na niresolba gamit ang kabuuang pormula ng posibilidad. Ngunit sa kabilang banda, ang kundisyon ay medyo "naka-encrypt", at ang kakayahan ng paaralan na bumuo ng pinakasimpleng mga equation ay makakatulong sa amin na malutas ang rebus na ito. Para sa "x" ito ay maginhawa upang kunin ang pinakamaliit na halaga:
Hayaan ang bahagi ng mga bahagi na ginawa ng ikatlong workshop.
Ayon sa kondisyon, ang unang workshop ay gumagawa ng 4 na beses na higit pa kaysa sa ikatlong workshop, kaya ang bahagi ng 1st workshop ay .
Bilang karagdagan, ang unang pagawaan ay gumagawa ng 2 beses na mas maraming produkto kaysa sa pangalawang pagawaan, na nangangahulugang ang bahagi ng huli ay: .
Gawin at lutasin natin ang equation:
Kaya: - ang mga posibilidad na ang bahagi na inalis mula sa lalagyan ay inilabas ng 1st, 2nd at 3rd workshop, ayon sa pagkakabanggit.
Ang kontrol: . Bilang karagdagan, hindi magiging labis na tingnan muli ang parirala "Alam na ang unang pagawaan ay gumagawa ng mga produkto ng 2 beses na higit pa kaysa sa pangalawang pagawaan at 4 na beses na higit pa kaysa sa ikatlong pagawaan" at siguraduhin na ang mga nakuhang probabilidad ay talagang tumutugma sa kundisyong ito.
Para sa "X" sa una ay posible na kunin ang bahagi ng 1st o ang bahagi ng 2nd shop - ang mga probabilidad ay lalabas pareho. Ngunit, sa isang paraan o iba pa, ang pinakamahirap na seksyon ay naipasa, at ang solusyon ay nasa landas:
Mula sa kondisyon na nakita namin:
- ang posibilidad ng paggawa ng isang may sira na bahagi para sa kaukulang mga workshop.
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad: 
ay ang posibilidad na ang isang bahagi na random na nakuha mula sa lalagyan ay magiging hindi pamantayan.
Ikalawang tanong: ano ang posibilidad na ang nakuhang bahagi na may sira ay ginawa ng ika-3 pagawaan? Ipinapalagay ng tanong na ito na ang bahagi ay naalis na at napag-alamang may depekto. Muli naming sinusuri ang hypothesis gamit ang formula ng Bayes: 
ay ang nais na posibilidad. Medyo inaasahan - pagkatapos ng lahat, ang ikatlong pagawaan ay gumagawa hindi lamang ang pinakamaliit na bahagi ng mga bahagi, ngunit nangunguna rin sa kalidad!
Sa kasong ito, kailangan ko pasimplehin ang apat na palapag na bahagi, na sa mga problema sa mga formula ng Bayes ay kailangang gawin nang madalas. Ngunit para sa araling ito, kahit papaano ay hindi ko sinasadyang nakakuha ng mga halimbawa kung saan maraming mga kalkulasyon ang maaaring gawin nang walang ordinaryong mga praksiyon.
Dahil walang "a" at "be" na mga puntos sa kondisyon, mas mahusay na ibigay ang sagot sa mga komento sa text:
Sagot: 
- ang posibilidad na ang bahagi na inalis mula sa lalagyan ay magiging may depekto; - ang posibilidad na ang na-extract na may sira na bahagi ay inilabas ng 3rd workshop.
Tulad ng nakikita mo, ang mga problema sa kabuuang pormula ng posibilidad at mga pormula ng Bayes ay medyo simple, at, marahil, sa kadahilanang ito ay madalas nilang sinusubukan na gawing kumplikado ang kondisyon, na nabanggit ko na sa simula ng artikulo.
Ang mga karagdagang halimbawa ay nasa file na may mga handa na solusyon para sa F.P.V. at mga pormula ng Bayes, bilang karagdagan, malamang na may mga nagnanais na maging mas malalim na pamilyar sa paksang ito sa ibang mga mapagkukunan. At ang paksa ay talagang napaka-interesante - kung ano ang halaga ng nag-iisa bayes kabalintunaan, na nagbibigay-katwiran sa pang-araw-araw na payo na kung ang isang tao ay nasuri na may isang bihirang sakit, kung gayon makatuwiran para sa kanya na magsagawa ng isang segundo at kahit na dalawang paulit-ulit na independiyenteng pagsusuri. Mukhang ginagawa nila ito dahil lamang sa desperasyon ... - ngunit hindi! Ngunit huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay.
ay ang posibilidad na ang isang random na napiling mag-aaral ay makapasa sa pagsusulit.
Hayaang makapasa ang estudyante sa pagsusulit. Ayon sa mga formula ni Bayes:
a)
- ang posibilidad na ang mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit ay pinaghandaan nang husto. Ang layunin ng paunang posibilidad ay labis na tinantya, dahil halos palaging ang ilang "karaniwan" ay masuwerte sa mga tanong at sinasagot nila nang napakalakas, na nagbibigay ng maling impresyon ng hindi nagkakamali na paghahanda.b)
ay ang posibilidad na ang mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit ay katamtamang inihanda. Ang paunang posibilidad ay lumalabas na bahagyang overestimated, dahil Ang mga mag-aaral na may average na antas ng paghahanda ay kadalasang karamihan, bilang karagdagan, isasama ng guro ang hindi matagumpay na nasagot na "mahusay na mga mag-aaral" dito, at paminsan-minsan ay isang mag-aaral na mahina ang pagganap na napakasuwerteng may tiket.sa)
- ang posibilidad na ang mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit ay hindi maganda ang paghahanda. Ang paunang posibilidad ay na-overestimated para sa mas masahol pa. Hindi nakakagulat.Pagsusuri:
Sagot :
Ang corollary ng parehong pangunahing theorems - ang probability addition theorem at ang probability multiplication theorem - ay ang tinatawag na kabuuang probability formula.
Hayaang kailanganin upang matukoy ang posibilidad ng ilang kaganapan na maaaring mangyari kasama ng isa sa mga kaganapan:
pagbuo ng isang kumpletong grupo ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan. Tatawagin natin ang mga pangyayaring ito na hypotheses.
Patunayan natin iyan sa kasong ito
, (3.4.1)
mga. ang posibilidad ng isang kaganapan ay kinakalkula bilang ang kabuuan ng mga produkto ng posibilidad ng bawat hypothesis at ang posibilidad ng kaganapan sa ilalim ng hypothesis na ito.
Ang formula (3.4.1) ay tinatawag na kabuuang probability formula.
Patunay. Dahil ang mga hypotheses ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat, ang kaganapan ay maaari lamang lumitaw kasama ng alinman sa mga hypotheses na ito:
Dahil ang mga hypotheses ay hindi pare-pareho, ang mga kumbinasyon 
hindi rin magkatugma; paglalapat ng karagdagan theorem sa kanila, nakukuha natin:
Ang paglalapat ng multiplication theorem sa kaganapan, makukuha natin ang:
,
Q.E.D.
Halimbawa 1. May tatlong magkamukhang urn; ang unang urn ay naglalaman ng dalawang puti at isang itim na bola; sa pangalawa - tatlong puti at isang itim; sa pangatlo - dalawang puti at dalawang itim na bola. Isang tao ang pumili ng isa sa mga urn nang random at kumukuha ng bola mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang bolang ito ay puti.
Desisyon. Isaalang-alang natin ang tatlong hypotheses:
Pagpili ng unang urn,
Pagpili ng pangalawang urn,
Pagpili ng ikatlong urn
at ang kaganapan ay ang hitsura ng isang puting bola.
Dahil ang mga hypotheses, ayon sa kondisyon ng problema, ay pantay na posibilidad, kung gayon
.
Ang mga kondisyong probabilidad ng kaganapan sa ilalim ng mga hypotheses na ito ay pantay-pantay:
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad
.
Halimbawa 2. Tatlong solong putok ang pinaputok sa isang sasakyang panghimpapawid. Ang posibilidad ng pagtama sa unang shot ay 0.4, na may pangalawa - 0.5, na may pangatlong 0.7. Tatlong hit ay malinaw na sapat upang hindi paganahin ang isang sasakyang panghimpapawid; sa isang hit, nabigo ang sasakyang panghimpapawid na may posibilidad na 0.2, na may dalawang hit, na may posibilidad na 0.6. Hanapin ang posibilidad na bilang isang resulta ng tatlong shot ang sasakyang panghimpapawid ay mawawala sa aksyon.
Desisyon. Isaalang-alang natin ang apat na hypotheses:
Walang kahit isang bala ang tumama sa eroplano,
Isang shell ang tumama sa eroplano
Tinamaan ng dalawang shell ang eroplano.
Tatlong bala ang tumama sa eroplano.
Gamit ang mga teorema sa pagdaragdag at pagpaparami, makikita natin ang mga probabilidad ng mga hypotheses na ito:
Ang mga kondisyong probabilidad ng kaganapan (pagkabigo ng sasakyang panghimpapawid) sa ilalim ng mga hypotheses na ito ay:
Ang paglalapat ng kabuuang pormula ng posibilidad, nakukuha natin:
Tandaan na ang unang hypothesis ay hindi maaaring isinaalang-alang, dahil ang kaukulang termino sa kabuuang probabilidad na formula ay naglalaho. Ito ay kadalasang ginagawa kapag inilalapat ang kabuuang pormula ng probabilidad, hindi isinasaalang-alang ang kumpletong pangkat ng mga hindi pantay na hypotheses, ngunit ang mga lamang sa kanila kung saan posible ang isang naibigay na kaganapan.
Halimbawa 3. Ang pagpapatakbo ng makina ay kinokontrol ng dalawang regulator. Ang isang tiyak na tagal ng panahon ay isinasaalang-alang, kung saan ito ay kanais-nais upang matiyak ang walang problema na operasyon ng makina. Kung ang parehong mga regulator ay naroroon, ang makina ay nabigo nang may posibilidad, kung ang una lamang sa kanila ay gumagana, na may posibilidad, kung ang pangalawa lamang ang gumagana, kung ang parehong mga regulator ay nabigo, na may posibilidad. Ang una sa mga regulator ay may pagiging maaasahan, ang pangalawa -. Ang lahat ng mga elemento ay nabigo nang nakapag-iisa sa isa't isa. Hanapin ang kabuuang pagiging maaasahan (probability ng failure-free operation) ng makina.
Nabuo ang mga kaganapan buong grupo, kung hindi bababa sa isa sa mga ito ang mangyayari bilang resulta ng eksperimento at magkapares na hindi tugma.
Ipagpalagay natin na ang kaganapan A maaari lamang mangyari kasama ng isa sa ilang magkapares na hindi tugmang mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat. Tawagan natin ang mga pangyayari i= 1, 2,…, n) mga hypotheses karagdagang karanasan (a priori). Ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A ay tinutukoy ng formula buong posibilidad :
Halimbawa 16 May tatlong urn. Ang unang urn ay naglalaman ng 5 puti at 3 itim na bola, ang pangalawang urn ay naglalaman ng 4 na puti at 4 na itim na bola, at ang ikatlong urn ay naglalaman ng 8 puting bola. Ang isa sa mga urn ay pinili nang random (maaaring ibig sabihin nito, halimbawa, na ang pagpili ay ginawa mula sa isang auxiliary urn na naglalaman ng tatlong bola na may numerong 1, 2 at 3). Ang isang bola ay kinukuha nang random mula sa urn na ito. Ano ang posibilidad na ito ay magiging itim?
Desisyon. Kaganapan A– ibinunot ang itim na bola. Kung ito ay kilala kung saan urn ang bola ay iginuhit, kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay maaaring kalkulahin ayon sa klasikal na kahulugan ng probabilidad. Ipakilala natin ang mga pagpapalagay (hypotheses) tungkol sa kung aling urn ang pipiliin para kunin ang bola.
Ang bola ay maaaring makuha mula sa unang urn (hypothesis ), o mula sa pangalawa (hypothesis ), o mula sa pangatlo (hypothesis ). Dahil may pantay na pagkakataong pumili ng alinman sa mga urn, kung gayon 
.
Kaya naman sinusunod iyon
Halimbawa 17. Ang mga electric lamp ay ginawa sa tatlong pabrika. Ang unang halaman ay gumagawa ng 30% ng kabuuang bilang ng mga electric lamp, ang pangalawa - 25%,
at ang pangatlo para sa iba. Ang mga produkto ng unang halaman ay naglalaman ng 1% ng mga may sira na electric lamp, ang pangalawa - 1.5%, ang pangatlo - 2%. Ang tindahan ay tumatanggap ng mga produkto mula sa lahat ng tatlong pabrika. Ano ang posibilidad na ang isang lampara na binili sa tindahan ay may depekto?
Desisyon. Dapat ilagay ang mga pagpapalagay kung saang pabrika ginawa ang bumbilya. Sa pag-alam nito, mahahanap natin ang posibilidad na ito ay may depekto. Ipakilala natin ang notasyon para sa mga kaganapan: A– ang binili na electric lamp ay naging may depekto, – ang lampara ay ginawa ng unang pabrika, – ang lampara ay ginawa ng pangalawang pabrika,
– ang lampara ay ginawa ng ikatlong pabrika.
Ang nais na posibilidad ay matatagpuan sa pamamagitan ng kabuuang pormula ng posibilidad:
Formula ng Bayes. Hayaan ang isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan (hypotheses). PERO ay isang random na kaganapan. pagkatapos,
Ang huling pormula na nagbibigay-daan sa iyo na labis na timbangin ang mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos malaman ang resulta ng pagsusulit, bilang isang resulta kung saan lumitaw ang kaganapan A, ay tinatawag na Formula ng Bayes .
Halimbawa 18. Isang average ng 50% ng mga pasyente na may sakit ay pinapapasok sa isang espesyal na ospital Upang, 30% na may sakit L, 20 % –
may sakit M. Ang posibilidad ng isang kumpletong lunas ng sakit K katumbas ng 0.7 para sa mga sakit L at M ang mga probabilidad na ito ay ayon sa pagkakabanggit 0.8 at 0.9. Ang pasyente na na-admit sa ospital ay nakalabas nang malusog. Hanapin ang posibilidad na ang pasyenteng ito ay nagkaroon ng sakit K.
Desisyon. Ipinakilala namin ang mga hypotheses: - ang pasyente ay nagdusa mula sa isang sakit Upang L, ang pasyente ay dumanas ng sakit M.
Pagkatapos, ayon sa kondisyon ng problema, mayroon tayong . Magpakilala tayo ng isang kaganapan PERO Ang pasyente na na-admit sa ospital ay nakalabas nang malusog. Sa kondisyon
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad, nakukuha natin:
Formula ng Bayes.
Halimbawa 19. Hayaang mayroong limang bola sa urn at lahat ng mga pagpapalagay tungkol sa bilang ng mga puting bola ay pantay na posibleng mangyari. Ang isang bola ay kinuha nang random mula sa urn at ito ay naging puti. Ano ang pinaka-malamang na palagay tungkol sa paunang komposisyon ng urn?
Desisyon. Hayaan ang hypothesis na sa urn ng mga puting bola 
, ibig sabihin, posibleng gumawa ng anim na pagpapalagay. Pagkatapos, ayon sa kondisyon ng problema, mayroon tayong .
Magpakilala tayo ng isang kaganapan PERO Isang random na iginuhit na puting bola. kalkulahin natin. Since , pagkatapos ay ayon sa Bayes formula mayroon kaming: 
Kaya, ang hypothesis ay ang pinaka-malamang, dahil .
Halimbawa 20. Nabigo ang dalawa sa tatlong independiyenteng operating elemento ng computing device. Hanapin ang posibilidad na ang una at ikalawang elemento ay nabigo kung ang mga probabilidad ng pagkabigo ng una, pangalawa at pangatlong elemento ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 0.2; 0.4 at 0.3.
Desisyon. Tukuyin ng PERO kaganapan - dalawang elemento ang nabigo. Ang mga sumusunod na hypotheses ay maaaring gawin:
- ang una at pangalawang elemento ay nabigo, at ang ikatlong elemento ay magagamit. Dahil ang mga elemento ay gumagana nang nakapag-iisa, ang multiplication theorem ay nalalapat:
Halimbawa #1. Ang isang kumpanya sa pagmamanupaktura ng computer ay nakakakuha ng parehong mga bahagi mula sa tatlong mga supplier. Ang unang nagbibigay ng 50% ng lahat ng mga bahagi, ang pangalawa - 20%, ang pangatlo - 30% ng mga bahagi.Ito ay kilala na ang kalidad ng mga ibinibigay na bahagi ay iba, at sa mga produkto ng unang tagapagtustos, ang porsyento ng mga depekto ay 4%, ang pangalawa - 5%, ang pangatlo - 2%. Tukuyin ang posibilidad na ang isang bahagi na pinili nang random mula sa lahat ng natanggap ay may depekto.
Desisyon. Italaga natin ang mga kaganapan: A - "ang napiling bahagi ay may depekto", H i - "ang napiling bahagi ay natanggap mula sa i-th supplier", i =1, 2, 3 Hypotheses H 1 , H 2 , H 3 form a kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugmang kaganapan. Sa pamamagitan ng kondisyon
P(H1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H3) = 0.3
P(A|H 1) = 0.04; P(A|H2) = 0.05; P(A|H 3) = 0.02
Ayon sa kabuuang probability formula (1.11), ang probabilidad ng kaganapan A ay katumbas ng
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02=0.036
Ang posibilidad na ang isang bahagi na pinili nang random ay magiging may depekto ay 0.036.
Hayaang maganap na ang kaganapan A sa mga kondisyon ng nakaraang halimbawa: ang napiling bahagi ay naging may depekto. Ano ang posibilidad na ito ay natanggap mula sa unang supplier? Ang sagot sa tanong na ito ay ibinigay ng Bayes formula.
Sinimulan namin ang pagsusuri ng mga probabilidad na may paunang lamang, isang priori na halaga ng mga probabilidad ng mga kaganapan. Pagkatapos ay ginawa ang isang eksperimento (isang bahagi ang napili), at nakatanggap kami ng karagdagang impormasyon tungkol sa kaganapan na interesado sa amin. Sa bagong impormasyong ito, maaari nating pinuhin ang mga halaga ng mga naunang probabilidad. Ang mga bagong halaga ng mga probabilidad ng parehong mga kaganapan ay magiging isang posterior (post-experimental) na mga probabilidad ng mga hypotheses (Fig. 1.5).
Iskema ng muling pagtatasa ng hypothesis
Hayaang maisakatuparan lamang ang kaganapan A kasama ng isa sa mga hypotheses H 1 , H 2 , …, H n (kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan). Tinukoy namin ang isang priori probabilities ng hypotheses P(H i) conditional probabilities ng kaganapan A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Kung ang eksperimento ay naisagawa na at bilang resulta nito ang kaganapan A ay naganap, kung gayon ang a posterior probabilities ng mga hypotheses ay ang mga conditional probabilities P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Sa notasyon ng nakaraang halimbawa, ang P(H 1 |A) ay ang posibilidad na ang napiling bahagi, na naging may depekto, ay natanggap mula sa unang supplier.
Kami ay interesado sa posibilidad ng kaganapan H k |A Isaalang-alang ang magkasanib na paglitaw ng mga kaganapan H k at A, iyon ay, ang kaganapan AH k . Ang posibilidad nito ay matatagpuan sa dalawang paraan, gamit ang mga multiplication formula (1.5) at (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).
I-equate ang kanang bahagi ng mga formula na ito
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),
kaya ang posterior probability ng hypothesis H k ay 
Ang denominator ay ang kabuuang posibilidad ng kaganapan A. Ang pagpapalit sa halip na P(A) ang halaga nito ayon sa kabuuang pormula ng probabilidad (1.11), makukuha natin: 
(1.12)
Ang formula (1.12) ay tinatawag Formula ng Bayes
at ginagamit upang muling suriin ang mga probabilidad ng mga hypotheses.
Sa mga kondisyon ng nakaraang halimbawa, nakita namin ang posibilidad na ang may sira na bahagi ay natanggap mula sa unang tagapagtustos. Ibuod natin sa isang talahanayan ang a priori probabilities ng mga hypotheses na P(H i) na kilala sa atin ng kondisyon, ang conditional probabilities P(A|H i) ang magkasanib na probabilities na kinakalkula sa proseso ng paglutas ng P(AH i) = P(H i) P(A|H i) at kinakalkula sa pamamagitan ng formula (1.12) a posterior probabilities P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Talahanayan 1.3).
Talahanayan 1.3 - Muling pagtatasa ng mga hypotheses
| Hypotheses H i | Mga probabilidad | |||
| Naunang P(H i) | Kondisyon P(A|H i) | Pinagsamang P(AH i) | A posterior P(H i |A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
H 1 - bahagi na natanggap mula sa unang supplier | 0.5 | 0.04 | 0.02 | |
H 2 - bahagi na natanggap mula sa pangalawang supplier | 0.2 | 0.05 | 0.01 | |
H 3 - bahagi na natanggap mula sa isang ikatlong supplier | 0.3 | 0.02 | 0.006 | |
| Sum | 1.0 | - | 0.036 | 1 |
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
Sa ika-apat na hanay, ang halaga sa bawat hilera (magkasamang mga probabilidad) ay nakuha ng panuntunan ng pagpaparami ng mga probabilidad sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga katumbas na halaga sa pangalawa at pangatlong hanay, at sa huling hilera 0.036 ay ang kabuuang posibilidad ng kaganapan A (sa pamamagitan ng kabuuang pormula ng posibilidad).
Sa column 5, ang posterior probabilities ng hypotheses ay kinakalkula gamit ang Bayes formula (1.12):
Ang posterior probabilities P(H 2 |A) at P(H 3 |A) ay kinakalkula nang magkatulad, na ang numerator ng fraction ay ang magkasanib na probabilities na naitala sa kaukulang mga row ng column 4, at ang denominator ay ang kabuuang probabilidad ng kaganapan A na naitala sa huling row ng column 4.
Ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga hypotheses pagkatapos ng eksperimento ay katumbas ng 1 at nakasulat sa huling linya ng ikalimang hanay.
Kaya, ang posibilidad na ang may sira na bahagi ay natanggap mula sa unang tagapagtustos ay 0.555. Ang post-experimental na posibilidad ay mas malaki kaysa sa isang priori (dahil sa malaking dami ng supply). Ang post-experimental na posibilidad na ang may sira na bahagi ay natanggap mula sa pangalawang supplier ay 0.278 at mas malaki rin kaysa sa pre-experimental na bahagi (dahil sa malaking bilang ng mga pagtanggi). Ang post-experimental na posibilidad na ang isang may sira na bahagi ay nakuha mula sa isang ikatlong supplier ay 0.167.
Halimbawa #3. May tatlong magkatulad na urn; ang unang urn ay naglalaman ng dalawang puti at isang itim na bola; sa pangalawa, tatlong puti at isang itim; sa pangatlo - dalawang puti at dalawang itim na bola. Para sa eksperimento, isang urn ang pinipili nang random at isang bola ang kinuha mula dito. Hanapin ang posibilidad na ang bolang ito ay puti.
Desisyon. Isaalang-alang natin ang tatlong hypotheses: H 1 - ang unang urn ay pinili, H 2 - ang pangalawang urn ay pinili, H 3 - ang ikatlong urn ay pinili at ang kaganapan A - ang puting bola ay inilabas.
Dahil ang mga hypotheses ay pantay na maaaring mangyari sa kondisyon ng problema, kung gayon
Ang mga kondisyong probabilidad ng kaganapan A sa ilalim ng mga hypotheses na ito ay pantay-pantay:
Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad 
Halimbawa #4. Mayroong 19 na riple sa pyramid, 3 sa kanila ay may optical sight. Ang tagabaril, na bumaril mula sa isang rifle na may optical sight, ay maaaring tumama sa target na may posibilidad na 0.81, at bumaril mula sa isang rifle na walang optical sight, na may posibilidad na 0.46. Hanapin ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target sa pamamagitan ng pagbaril mula sa isang random na napiling rifle.
Desisyon. Narito ang unang pagsubok ay isang random na pagpipilian ng rifle, ang pangalawa ay target shooting. Isaalang-alang ang mga sumusunod na kaganapan: A - ang tagabaril ay tatama sa target; H 1 - ang tagabaril ay kukuha ng isang rifle na may optical na paningin; H 2 - ang tagabaril ay kukuha ng isang rifle nang walang optical na paningin. Ginagamit namin ang kabuuang pormula ng posibilidad. Meron kami
Isinasaalang-alang na ang mga riple ay pinili nang paisa-isa, at gamit ang klasikal na pormula ng posibilidad, nakukuha natin ang: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Ang mga kondisyong probabilidad ay ibinigay sa pahayag ng problema: P(A|H 1) = 0;81 at P(A|H 2) = 0;46. Kaya naman,
Halimbawa numero 5. Mula sa isang urn na naglalaman ng 2 puti at 3 itim na bola, dalawang bola ang iginuhit nang random at 1 puting bola ang idinagdag sa urn. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na bola ay puti.
Desisyon. Ang kaganapang "isang puting bola ay iginuhit" ay ilalarawan ng A. Ang kaganapang H 1 - dalawang puting bola ay iginuhit nang random; H 2 - dalawang itim na bola ang iginuhit nang random; H 3 - isang puting bola at isang itim na bola ang nabunot. Pagkatapos ay ang mga probabilidad ng mga inilagay na hypotheses
Ang mga conditional probabilities sa ilalim ng mga hypotheses na ito ay magkapareho: P(A|H 1) = 1/4 - ang probabilidad ng pagguhit ng puting bola kung kasalukuyang mayroong isang puti at tatlong itim na bola sa urn, P(A|H 2) = 3/ 4 - posibilidad na gumuhit ng puting bola kung kasalukuyang mayroong tatlong puti at isang itim na bola sa urn, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - posibilidad na gumuhit ng puting bola kung mayroong dalawang puti at isang itim na bola sa urn sa ngayon dalawang itim na bola. Ayon sa kabuuang pormula ng posibilidad
Halimbawa numero 6. Dalawang putok ang nagpaputok sa target. Ang posibilidad ng pagtama sa unang shot ay 0.2, na may pangalawa - 0.6. Ang posibilidad na sirain ang target sa isang hit ay 0.3, na may dalawa - 0.9. Hanapin ang posibilidad na ang target ay masisira.
Desisyon. Hayaan ang kaganapan A na ang layunin ay nawasak. Upang gawin ito, sapat na upang tamaan ng isang putok sa dalawa o pindutin ang target nang sunud-sunod na may dalawang putok nang walang miss. Maglagay tayo ng mga hypotheses: H 1 - ang parehong mga putok ay tumama sa target. Pagkatapos P(H 1) = 0.2 0.6 = 0;12. H 2 - alinman sa unang pagkakataon o sa pangalawang pagkakataon na may nagawang miss. Pagkatapos P (H 2) \u003d 0.2 0.4 + 0.8 0.6 \u003d 0.56. Hypothesis H 3 - ang parehong mga shot ay hindi nakuha - ay hindi isinasaalang-alang, dahil ang posibilidad ng pagsira sa target ay zero. Kung gayon ang mga probabilidad ng kondisyon ay magkapareho: ang posibilidad na sirain ang target sa ilalim ng kondisyon ng parehong matagumpay na mga shot ay P(A|H 1) = 0.9, at ang posibilidad na sirain ang target sa ilalim ng kondisyon ng isang matagumpay na shot ay P( A|H 2) = 0.3. Kung gayon ang posibilidad na sirain ang target ayon sa kabuuang formula ng posibilidad ay katumbas ng.
