Ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon (FSU) ay ginagamit upang i-exponent at i-multiply ang mga numero at expression. Kadalasan ang mga formula na ito ay nagpapahintulot sa iyo na gumawa ng mga kalkulasyon nang mas compact at mabilis.

Sa artikulong ito, ililista namin ang mga pangunahing formula para sa pinaikling multiplikasyon, pangkatin ang mga ito sa isang talahanayan, isaalang-alang ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito, at talakayin din ang mga prinsipyo ng pagpapatunay ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sa unang pagkakataon, ang paksa ng FSU ay isinasaalang-alang sa loob ng kursong "Algebra" para sa ika-7 baitang. Nasa ibaba ang 7 pangunahing formula.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami

1. sum square formula: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. pagkakaiba ng square formula: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. sum cube formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula ng cube ng pagkakaiba: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula para sa kabuuan ng mga cube: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. formula ng pagkakaiba ng cube: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Ang mga titik a, b, c sa mga expression na ito ay maaaring maging anumang numero, variable o expression. Para sa kadalian ng paggamit, mas mahusay na matutunan ang pitong pangunahing mga formula sa pamamagitan ng puso. Binubuod namin ang mga ito sa isang talahanayan at ibigay ang mga ito sa ibaba, na binibilog ang mga ito ng isang kahon.

Ang unang apat na formula ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin, ayon sa pagkakabanggit, ang parisukat o kubo ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang expression.

Kinakalkula ng ikalimang formula ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga expression sa pamamagitan ng pagpaparami ng kanilang kabuuan at pagkakaiba.

Ang ikaanim at ikapitong formula ay, ayon sa pagkakabanggit, ang multiplikasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga expression sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba at ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan.

Ang pinaikling pormula ng pagpaparami ay tinatawag ding pinaikling mga pagkakakilanlan ng pagpaparami. Ito ay hindi nakakagulat, dahil ang bawat pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan.

Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay kadalasang ginagamit na may muling pagkakaayos sa kaliwa at kanang bahagi. Ito ay lalong maginhawa kapag nagsasaliksik ng isang polynomial.

Mga karagdagang pinaikling formula ng multiplikasyon

Hindi namin lilimitahan ang aming sarili sa kursong ika-7 baitang sa algebra at magdagdag ng ilan pang mga formula sa aming talahanayan ng FSU.

Una, isaalang-alang ang binomial formula ni Newton.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Narito ang C n k ay ang binomial coefficients na nasa linyang numero n sa tatsulok ng pascal. Ang mga binomial coefficient ay kinakalkula ng formula:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Tulad ng makikita mo, ang FSU para sa parisukat at kubo ng pagkakaiba at ang kabuuan ay isang espesyal na kaso ng binomial na formula ng Newton para sa n=2 at n=3, ayon sa pagkakabanggit.

Ngunit paano kung mayroong higit sa dalawang termino sa kabuuan na itataas sa isang kapangyarihan? Ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng tatlo, apat o higit pang termino ay magiging kapaki-pakinabang.

isang 1 + isang 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ang isa pang formula na maaaring magamit ay ang formula para sa pagkakaiba ng ika-n na kapangyarihan ng dalawang termino.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Ang formula na ito ay karaniwang nahahati sa dalawang formula - ayon sa pagkakabanggit para sa pantay at kakaibang antas.

Para sa even exponents 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Para sa mga kakaibang exponent 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at ang pagkakaiba ng mga cube, nahulaan mo, ay mga espesyal na kaso ng formula na ito para sa n = 2 at n = 3, ayon sa pagkakabanggit. Para sa pagkakaiba ng mga cube, ang b ay pinalitan din ng - b .

Paano basahin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon?

Ibibigay namin ang kaukulang mga formulation para sa bawat formula, ngunit una naming haharapin ang prinsipyo ng pagbabasa ng mga formula. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay sa pamamagitan ng isang halimbawa. Kunin natin ang pinakaunang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang numero.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Sabi nila: ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng parisukat ng unang expression, dalawang beses ang produkto ng mga expression at ang parisukat ng pangalawang expression.

Ang lahat ng iba pang mga formula ay binabasa nang katulad. Para sa squared difference a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 isinulat namin:

ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression na a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga expression na ito na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng una at pangalawang expression.

Basahin natin ang formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ang cube ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga cube ng mga expression na ito, tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa, at tatlong beses ang produkto ng square ng pangalawang expression at ang unang pagpapahayag.

Nagpapatuloy kami sa pagbabasa ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ang cube ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng cube ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang square ng unang expression at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang square ng pangalawang expression at ang unang expression, minus ang cube ng pangalawang ekspresyon.

Ang ikalimang formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (pagkakaiba ng mga parisukat) ay nagbabasa ng ganito: ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan ng dalawang expression.

Ang mga ekspresyong tulad ng a 2 + a b + b 2 at a 2 - a b + b 2 para sa kaginhawahan ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan at ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba.

Sa pag-iisip na ito, ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ay binabasa tulad ng sumusunod:

Ang kabuuan ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga expression na ito at ang hindi kumpletong parisukat ng kanilang pagkakaiba.

Ang pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan.

Katibayan ng FSU

Ang pagpapatunay ng FSU ay medyo simple. Batay sa mga katangian ng multiplikasyon, isasagawa namin ang pagpaparami ng mga bahagi ng mga formula sa mga bracket.

Halimbawa, isaalang-alang ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Upang itaas ang isang expression sa pangalawang kapangyarihan, ang expression ay dapat na i-multiply sa kanyang sarili.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Palawakin natin ang mga bracket:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Napatunayan na ang formula. Ang iba pang mga FSO ay napatunayang katulad.

Mga halimbawa ng aplikasyon ng FSO

Ang layunin ng paggamit ng pinababang mga formula ng multiplikasyon ay upang mabilis at maigsi na magparami at mag-exponent ng mga expression. Gayunpaman, hindi ito ang buong saklaw ng FSO. Malawakang ginagamit ang mga ito sa pagbabawas ng mga expression, pagbabawas ng mga fraction, factoring polynomials. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1. FSO

Pasimplehin natin ang expression na 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Ilapat ang sum of squares formula at makuha ang:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Halimbawa 2. FSO

Bawasan ang fraction na 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Napansin namin na ang expression sa numerator ay ang pagkakaiba ng mga cube, at sa denominator - ang pagkakaiba ng mga parisukat.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Binabawasan namin at nakukuha namin:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Tumutulong din ang mga FSU na kalkulahin ang mga halaga ng mga expression. Ang pangunahing bagay ay upang mapansin kung saan ilalapat ang formula. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.

I-square natin ang bilang na 79. Sa halip na masalimuot na mga kalkulasyon, isinusulat namin:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Tila ang isang kumplikadong pagkalkula ay natupad nang mabilis gamit lamang ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon at isang talahanayan ng pagpaparami.

Ang isa pang mahalagang punto ay ang pagpili ng parisukat ng binomial. Ang expression na 4 x 2 + 4 x - 3 ay maaaring i-convert sa 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2-4 = 2 x + 1 2-4 . Ang ganitong mga pagbabago ay malawakang ginagamit sa pagsasama.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Isa sa mga unang paksang pinag-aralan sa kursong algebra ay ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon. Sa Baitang 7, ginagamit ang mga ito sa mga pinakasimpleng sitwasyon kung saan kinakailangang kilalanin ang isa sa mga formula sa expression at i-factor ang polynomial o, sa kabaligtaran, mabilis na parisukat o kubo ang kabuuan o pagkakaiba. Sa hinaharap, ang FSU ay ginagamit upang mabilis na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at mga equation, at maging upang kalkulahin ang ilang mga numerical na expression nang walang calculator.

Ano ang hitsura ng listahan ng mga formula?

Mayroong 7 pangunahing formula na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na magparami ng mga polynomial sa mga bracket.

Minsan ang listahang ito ay may kasamang pang-apat na antas na pagpapalawak, na sumusunod sa mga pagkakakilanlan na ipinakita at may anyo:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Ang lahat ng equalities ay may isang pares (sum - difference), maliban sa pagkakaiba ng mga parisukat. Walang formula para sa kabuuan ng mga parisukat.

Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay madaling matandaan.:

Dapat tandaan na ang mga FSO ay gumagana sa anumang kaso at para sa anumang mga halaga. a at b: maaari itong maging parehong mga arbitrary na numero at integer na expression.

Sa isang sitwasyon kung saan bigla mong hindi maalala kung aling sign ang nasa formula sa harap ng isa o ibang termino, maaari mong buksan ang mga bracket at makuha ang parehong resulta tulad ng pagkatapos gamitin ang formula. Halimbawa, kung lumitaw ang isang problema kapag inilalapat ang FSU ng cube ng pagkakaiba, kailangan mong isulat ang orihinal na expression at gawin ang multiplication isa-isa:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Bilang isang resulta, pagkatapos bawasan ang lahat ng mga naturang termino, ang parehong polynomial ay nakuha tulad ng sa talahanayan. Ang parehong mga manipulasyon ay maaaring isagawa sa lahat ng iba pang mga FSO.

Application ng FSO upang malutas ang mga equation

Halimbawa, kailangan mong lutasin ang isang equation na naglalaman ng 3rd degree polynomial:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Ang kurikulum ng paaralan ay hindi isinasaalang-alang ang mga unibersal na pamamaraan para sa paglutas ng mga cubic equation, at ang mga naturang gawain ay kadalasang nalutas sa pamamagitan ng mas simpleng mga pamamaraan (halimbawa, factorization). Kung napansin mo na ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan ay kahawig ng kubo ng kabuuan, kung gayon ang equation ay maaaring isulat sa isang mas simpleng anyo:

(x + 1)³ = 0.

Ang ugat ng naturang equation ay kinakalkula nang pasalita: x=-1.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa katulad na paraan. Halimbawa, malulutas natin ang hindi pagkakapantay-pantay x³ - 6x² + 9x > 0.

Una sa lahat, ito ay kinakailangan upang mabulok ang expression sa mga kadahilanan. Una kailangan mong alisin ang mga bracket x. Pagkatapos nito, dapat mong bigyang-pansin na ang expression sa mga bracket ay maaaring ma-convert sa parisukat ng pagkakaiba.

Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang mga punto kung saan ang expression ay tumatagal ng mga zero na halaga, at markahan ang mga ito sa linya ng numero. Sa isang partikular na kaso, ang mga ito ay magiging 0 at 3. Pagkatapos, gamit ang paraan ng agwat, tukuyin kung anong mga agwat ng x ang makakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na kondisyon.

Ang mga FSO ay maaaring makatulong sa pagsasagawa ilang mga kalkulasyon nang walang tulong ng isang calculator:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Sa karagdagan, sa pamamagitan ng factoring expression, madali mong bawasan ang mga fraction at pasimplehin ang iba't ibang algebraic expression.

Mga halimbawa ng mga gawain para sa mga baitang 7-8

Sa konklusyon, susuriin at lulutasin natin ang dalawang gawain para sa aplikasyon ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon sa algebra.

Gawain 1. Pasimplehin ang expression:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Desisyon. Sa kondisyon ng gawain, kinakailangan na pasimplehin ang expression, ibig sabihin, buksan ang mga bracket, isagawa ang mga pagpapatakbo ng multiplikasyon at exponentiation, at dalhin din ang lahat ng mga naturang termino. Kondisyon naming hinahati ang expression sa tatlong bahagi (ayon sa bilang ng mga termino) at buksan ang mga bracket nang paisa-isa, gamit ang FSU kung posible.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(squared sum);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(pagkakaiba ng mga parisukat);
• Sa huling termino, kailangan mong magsagawa ng multiplikasyon: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Palitan ang mga resulta sa orihinal na expression:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Isinasaalang-alang ang mga palatandaan, binubuksan namin ang mga bracket at nagbibigay ng mga katulad na termino:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Gawain 2. Lutasin ang equation na naglalaman ng hindi kilalang k sa kapangyarihan ng 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Desisyon. Sa kasong ito, kinakailangang gamitin ang FSO at ang paraan ng pagpapangkat. Kailangan nating ilipat ang huli at penultimate terms sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Ang karaniwang multiplier ay kinuha mula sa kanan at kaliwang bahagi (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Ang lahat ay inilipat sa kaliwang bahagi ng equation upang ang 0 ay mananatili sa kanang bahagi:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Muli, kailangan mong alisin ang karaniwang kadahilanan:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Mula sa unang salik na nakuha, maaari nating makuha k. Ayon sa maikling pormula ng pagpaparami, ang pangalawang salik ay magiging magkapareho sa (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Dahil ang produkto ay katumbas ng 0 kung hindi bababa sa isa sa mga salik nito ay zero, hindi magiging mahirap na hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Batay sa mga halimbawa ng paglalarawan, mauunawaan ng isa kung paano matandaan ang mga formula, ang kanilang mga pagkakaiba, at malulutas din ang ilang praktikal na problema gamit ang FSU. Ang mga gawain ay simple at hindi dapat mahirap tapusin.

Upang gawing simple ang mga algebraic polynomial, mayroong pinaikling mga pormula ng pagpaparami. Hindi gaanong marami sa kanila at madaling matandaan, ngunit kailangan mong tandaan ang mga ito. Ang notasyong ginamit sa mga formula ay maaaring magkaroon ng anumang anyo (numero o polynomial).

Ang unang pinaikling formula ng pagpaparami ay tinatawag pagkakaiba ng mga parisukat. Ito ay nakasalalay sa katotohanan na mula sa parisukat ng isang numero ang parisukat ng pangalawang numero ay ibinabawas katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong ito, pati na rin ang kanilang produkto.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Suriin natin para sa kalinawan:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Ang pangalawang formula tungkol sa kabuuan ng mga parisukat. Ito ay parang, ang kabuuan ng dalawang halaga na parisukat ay katumbas ng parisukat ng unang halaga, ang dobleng produkto ng unang halaga na pinarami ng pangalawa ay idinagdag dito, ang parisukat ng pangalawang halaga ay idinagdag sa kanila.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Salamat sa formula na ito, nagiging mas madaling kalkulahin ang parisukat ng isang malaking bilang, nang hindi gumagamit ng teknolohiya ng computer.

Kaya halimbawa: ang parisukat ng 112 ay magiging
1) Sa simula, susuriin natin ang 112 sa mga numero na pamilyar sa atin ang mga parisukat
112 = 100 + 12
2) Ipinasok namin ang natanggap sa mga bracket na kuwadrado
112 2 = (100+12) 2
3) Ang paglalapat ng formula, nakukuha namin:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Ang ikatlong formula ay pagkakaiba squared. Na nagsasabing ang dalawang halaga na ibinawas mula sa bawat isa na naka-squad ay katumbas ng katotohanan na, mula sa unang halaga na naka-squad, ibinabawas natin ang dobleng produkto ng unang halaga na pinarami ng pangalawa, idinaragdag sa kanila ang parisukat ng pangalawang halaga. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

kung saan ang (a - b) 2 ay katumbas ng (b - a) 2 . Upang patunayan ito, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Ang ikaapat na pinaikling pormula ng pagpaparami ay tinatawag sum cube. Alin ang parang: dalawang termino ng value sa cube ay katumbas ng cube ng 1 value, ang triple product ng 1 value na squared ay idinagdag, sa kanila ay idinagdag ang triple product ng 1 value na pinarami ng square ng 2 value, kasama ang pangalawang value na cubed.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ang panglima, gaya ng naintindihan mo na, ay tinatawag pagkakaiba cube. Alin ang nakakahanap ng mga pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga, dahil mula sa unang pagtatalaga sa kubo ay ibawas natin ang triple product ng unang designation squared na pinarami ng pangalawa, ang triple product ng unang designation na pinarami ng square ng pangalawang designation ay idinagdag sa kanila , minus ang pangalawang pagtatalaga sa kubo.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ang pang-anim ay tinatawag kabuuan ng mga cube. Ang kabuuan ng mga cube ay katumbas ng produkto ng dalawang termino na pinarami ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba, dahil walang dobleng halaga sa gitna.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Sa ibang paraan, masasabi mong ang kabuuan ng mga cube ay maaaring tawaging produkto sa dalawang bracket.

Ang ikapito at pangwakas ay tinatawag pagkakaiba ng mga cube(madaling malito ito sa formula ng pagkakaiba ng cube, ngunit ito ay magkaibang mga bagay). Ang pagkakaiba ng mga cube ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng dalawang halaga na pinarami ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan, dahil walang dobleng halaga sa gitna.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

At kaya mayroon lamang 7 mga formula para sa pinaikling multiplikasyon, ang mga ito ay katulad sa bawat isa at madaling matandaan, ang tanging mahalagang bagay ay hindi malito sa mga palatandaan. Dinisenyo din ang mga ito para magamit sa reverse order at medyo kakaunti ang mga ganoong gawain na nakolekta sa mga textbook. Mag-ingat at magtatagumpay ka.

Kung mayroon kang anumang mga katanungan tungkol sa mga formula, siguraduhing isulat ang mga ito sa mga komento. Ikalulugod naming sagutin ka!

Kung ikaw ay nasa maternity leave ngunit nais kumita ng pera. Sundan lang ang link na Internet business sa Oriflame. Lahat ay nakasulat at ipinapakita sa mahusay na detalye. Ito'y magiging kaaya-aya!

Mga expression sa matematika (mga formula) pinaikling multiplikasyon(ang parisukat ng kabuuan at pagkakaiba, ang kubo ng kabuuan at pagkakaiba, ang pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube) ay lubhang hindi maaaring palitan sa maraming lugar ng eksaktong mga agham. Ang 7 character na entry na ito ay hindi maaaring palitan kapag pinasimple ang mga expression, paglutas ng mga equation, pagpaparami ng polynomial, pagbabawas ng mga fraction, paglutas ng mga integral at marami pa. Kaya't ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang upang malaman kung paano sila nakuha, para saan ang mga ito, at higit sa lahat, kung paano matandaan ang mga ito at pagkatapos ay ilapat ang mga ito. Tapos nag-a-apply pinaikling mga pormula ng pagpaparami sa pagsasagawa, ang pinakamahirap na bagay ay ang makita kung ano X at kung ano ang mayroon. Malinaw na walang mga paghihigpit sa a at b hindi, na nangangahulugang maaari itong maging anumang numeric o literal na expression.

At kaya narito sila:

Una x 2 - sa 2 = (x - y) (x + y).Upang makalkula pagkakaiba ng mga parisukat dalawang expression, kinakailangang i-multiply ang mga pagkakaiba ng mga expression na ito sa kanilang mga kabuuan.

Pangalawa (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Hanapin kabuuan squared dalawang expression, kailangan mong idagdag sa parisukat ng unang expression nang dalawang beses ang produkto ng unang expression ng pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.

Pangatlo (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Upang makalkula pagkakaiba squared dalawang expression, kailangan mong ibawas mula sa parisukat ng unang expression nang dalawang beses ang produkto ng unang expression ng pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.

Pang-apat (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + sa 3. Upang makalkula sum cube dalawang expression, kailangan mong idagdag sa cube ng unang expression ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang square ng pangalawa, kasama ang cube ng pangalawang pagpapahayag.

Panglima (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - sa 3. Upang makalkula pagkakaiba cube dalawang expression, kinakailangang ibawas mula sa kubo ng unang expression ang triple product ng square ng unang expression sa pangalawa kasama ang triple product ng unang expression sa square ng pangalawang minus ang cube ng pangalawang expression.

pang-anim x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Upang makalkula kabuuan ng mga cube dalawang expression, kailangan mong i-multiply ang mga kabuuan ng una at pangalawang expression sa hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga expression na ito.

ikapito x 3 - sa 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Para gumawa ng kalkulasyon mga pagkakaiba sa kubo dalawang expression, kinakailangang i-multiply ang pagkakaiba ng una at pangalawang expression sa hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng mga expression na ito.

Hindi mahirap tandaan na ang lahat ng mga formula ay ginagamit upang gumawa ng mga kalkulasyon sa kabaligtaran ng direksyon (mula kanan pakaliwa).

Ang pagkakaroon ng mga regular na ito ay kilala mga 4 na libong taon na ang nakalilipas. Sila ay malawakang ginagamit ng mga naninirahan sa sinaunang Babilonya at Ehipto. Ngunit sa mga panahong iyon sila ay ipinahayag sa salita o geometriko at hindi gumagamit ng mga titik sa mga kalkulasyon.

Pag-aralan natin sum square proof(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Ito pagiging regular ng matematika pinatunayan ang sinaunang siyentipikong Griyego na si Euclid, na nagtrabaho sa Alexandria noong ika-3 siglo BC, ginamit niya ang geometriko na paraan ng pagpapatunay ng pormula para dito, dahil ang mga siyentipiko ng sinaunang Hellas ay hindi rin gumagamit ng mga titik upang tukuyin ang mga numero. Hindi "a 2" ang ginamit nila sa lahat ng dako, ngunit "parisukat sa segment a", hindi "ab", ngunit "parihaba na nakapaloob sa pagitan ng mga segment a at b".

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga dahilan ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.