Inaasahang halaga. inaasahan sa matematika discrete random variable X, na tumatagal ng may hangganang bilang ng mga halaga Xi may probabilidad Ri, ay tinatawag na kabuuan:

inaasahan sa matematika tuluy-tuloy na random variable X ay tinatawag na integral ng produkto ng mga halaga nito X sa density ng pamamahagi ng posibilidad f(x):

(6b)

Hindi wastong integral (6 b) ay ipinapalagay na ganap na convergent (kung hindi, sinasabi namin na ang inaasahan M(X) ay wala). Ang pag-asa sa matematika ay nailalarawan ibig sabihin random variable X. Ang sukat nito ay tumutugma sa sukat ng isang random na variable.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika:

Pagpapakalat. pagpapakalat random variable X ang numero ay tinatawag na:

Ang pagpapakalat ay scattering katangian mga halaga ng isang random na variable X kaugnay sa average na halaga nito M(X). Ang dimensyon ng variance ay katumbas ng dimensyon ng random variable squared. Batay sa mga kahulugan ng variance (8) at mathematical expectation (5) para sa discrete random variable at (6) para sa tuluy-tuloy na random variable, nakakakuha tayo ng mga katulad na expression para sa variance:

(9)

Dito m = M(X).

Mga katangian ng pagpapakalat:

Karaniwang lihis:

(11)

Dahil ang dimensyon ng karaniwang paglihis ay kapareho ng sa isang random na variable, ito ay mas madalas kaysa sa pagkakaiba-iba na ginamit bilang isang sukatan ng dispersion.

mga sandali ng pamamahagi. Ang mga konsepto ng pag-asa at pagkakaiba sa matematika ay mga espesyal na kaso ng isang mas pangkalahatang konsepto para sa mga numerical na katangian ng mga random na variable - mga sandali ng pamamahagi. Ang mga sandali ng pamamahagi ng isang random na variable ay ipinakilala bilang mga inaasahan sa matematika ng ilang mga simpleng function ng isang random na variable. Kaya, ang sandali ng pagkakasunud-sunod k kaugnay sa punto X 0 ay tinatawag na inaasahan M(X–X 0 )k. Mga sandali na nauugnay sa pinagmulan X= 0 ang tinatawag mga paunang sandali at minarkahan:

(12)

Ang paunang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay ang sentro ng pamamahagi ng itinuturing na random na variable:

(13)

Mga sandali na nauugnay sa sentro ng pamamahagi X= m tinawag gitnang mga punto at minarkahan:

(14)

Mula sa (7) sumusunod na ang gitnang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay palaging katumbas ng zero:

Ang mga gitnang sandali ay hindi nakasalalay sa pinanggalingan ng mga halaga ng random na variable, dahil may pagbabago sa isang pare-parehong halaga Sa ang sentro ng pamamahagi nito ay inililipat ng parehong halaga Sa, at ang paglihis mula sa gitna ay hindi nagbabago: X – m = (X – Sa) – (m – Sa).
Ngayon ay halata na pagpapakalat- Ito pangalawang order gitnang sandali:

Kawalaan ng simetrya. Gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod:

(17)

nagsisilbing pagsusuri skewness ng pamamahagi. Kung ang distribusyon ay simetriko tungkol sa punto X= m, kung gayon ang gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay magiging katumbas ng zero (pati na rin ang lahat ng mga sentral na sandali ng mga kakaibang order). Samakatuwid, kung ang gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod ay naiiba sa zero, kung gayon ang pamamahagi ay hindi maaaring simetriko. Ang magnitude ng kawalaan ng simetrya ay tinatantya gamit ang isang walang sukat koepisyent ng kawalaan ng simetrya:

(18)

Ang tanda ng asymmetry coefficient (18) ay nagpapahiwatig ng right-sided o left-sided asymmetry (Fig. 2).

kanin. 2. Mga uri ng kawalaan ng simetrya ng mga distribusyon.

Sobra. Sentral na sandali ng ika-apat na order:

(19)

nagsisilbing pagsusuri sa tinatawag na kurtosis, na tumutukoy sa antas ng steepness (pointiness) ng distribution curve malapit sa distribution center na may kinalaman sa normal distribution curve. Dahil para sa isang normal na distribusyon, ang dami na kinuha bilang kurtosis ay:

(20)

Sa fig. 3 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng distribution curves na may iba't ibang halaga ng kurtosis. Para sa normal na pamamahagi E= 0. Ang mga curve na mas mataas kaysa sa normal ay may positibong kurtosis, at ang mga curve na may mas maraming flat peak ay may negatibong kurtosis.

kanin. 3. Distribution curves na may iba't ibang antas ng steepness (kurtosis).

Ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga sandali sa mga aplikasyon ng engineering ng mga istatistika ng matematika ay karaniwang hindi ginagamit.

Fashion discrete random variable ang pinaka-malamang na halaga nito. Fashion tuloy-tuloy ang isang random na variable ay ang halaga nito kung saan ang probability density ay pinakamataas (Fig. 2). Kung ang distribution curve ay may isang maximum, kung gayon ang distribution ay tinatawag unimodal. Kung ang distribution curve ay may higit sa isang maximum, kung gayon ang distribution ay tinatawag polymodal. Minsan may mga distribusyon na ang mga kurba ay walang maximum, ngunit isang minimum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag antimodal. Sa pangkalahatang kaso, ang mode at ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa isang partikular na kaso, para sa modal, ibig sabihin. pagkakaroon ng mode, simetriko na distribusyon, at sa kondisyon na mayroong mathematical na inaasahan, ang huli ay tumutugma sa mode at sentro ng simetriya ng distribusyon.

Median random variable X ang kahulugan nito Ako, kung saan may pagkakapantay-pantay: i.e. ito ay pantay na malamang na ang random variable X magiging mas kaunti o higit pa Ako. Geometrically panggitna ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar sa ilalim ng curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati (Larawan 2). Sa kaso ng isang simetriko modal distribution, ang median, mode, at mean ay pareho.

Bilang karagdagan sa pag-asa sa matematika at pagpapakalat, ang isang bilang ng mga numerical na katangian ay ginagamit sa teorya ng posibilidad, na sumasalamin sa ilang mga tampok ng pamamahagi.

Kahulugan. Ang Mode Mo(X) ng isang random na variable X ay ang pinakamalamang na halaga nito(kung saan ang posibilidad r r o probability density

Kung ang probabilidad o probability density ay umabot sa maximum na hindi sa isa, ngunit sa ilang mga punto, ang pamamahagi ay tinatawag polymodal(Larawan 3.13).

Fashion Lumot), kung saan ang posibilidad R ( o ang probability density (p(x) ay umabot sa global maximum, ay tinatawag malamang na halaga random variable (sa Fig. 3.13 ito Mo(X) 2).

Kahulugan. Ang median na Me(X) ng isang tuluy-tuloy na random variable X ay ang halaga nito, para sa

mga. ang posibilidad na ang random variable X kumukuha ng halagang mas mababa sa median balahibo) o mas malaki kaysa dito, pareho at katumbas ng 1/2. Geometrically vertical na linya X = balahibo) na dumadaan sa isang puntong may abscissa na katumbas ng balahibo), hinahati ang lugar ng figure ng distribution curve sa dalawang pantay na bahagi (Larawan 3.14). Malinaw, sa punto X = balahibo) ang distribution function ay katumbas ng 1/2, i.e. P(Ako(X))= 1/2 (Larawan 3.15).

Tandaan ang isang mahalagang katangian ng median ng isang random na variable: ang mathematical na inaasahan ng absolute value ng deviation ng random variable X mula sa constant value C ay minimal, kapag ang pare-parehong C na ito ay katumbas ng median na Me(X) = m, ibig sabihin.

(ang property ay katulad ng property (3.10") ng minimality ng mean square ng deviation ng random variable mula sa mathematical expectation nito).

O Halimbawa 3.15. Hanapin ang mode, median at mean ng isang random na variable X s probability density φ(x) = 3x 2 para sa xx.

Desisyon. Ang curve ng pamamahagi ay ipinapakita sa fig. 3.16. Malinaw, ang probability density φ(x) ay pinakamataas sa X= Mo(X) = 1.

Median balahibo) = b nakita namin mula sa kondisyon (3.28):

saan

Ang inaasahan sa matematika ay kinakalkula ng formula (3.25):

Mutual na pag-aayos ng mga puntos M(X) > Ako(X) at Lumot) sa pataas na pagkakasunud-sunod ng abscissa ay ipinapakita sa fig. 3.16. ?

Kasama ng mga numerical na katangian na binanggit sa itaas, ang konsepto ng quantiles at percentage points ay ginagamit upang ilarawan ang isang random variable.

Kahulugan. Antas ng dami y-quantile )

ay tinatawag na tulad ng isang halaga x q ng isang random variable , kung saan ang distribution function nito ay tumatagal ng katumbas na halaga d, ibig sabihin.

Ang ilang mga quantile ay nakatanggap ng isang espesyal na pangalan. Malinaw, ang nasa itaas panggitna random variable ay ang 0.5 level quantile, i.e. Ako (X) \u003d x 05. Ang mga quantile dg 0 2 5 at x 075 ay pinangalanan ayon sa pagkakabanggit mas mababa at itaas na kuwartilK

Malapit na nauugnay sa konsepto ng isang quantile ang konsepto porsyentong punto. Sa ilalim YuOuHo-noi tuldok ipinahiwatig na dami x x (( , mga. tulad ng isang halaga ng isang random variable x, sa ilalim ng kung saan

0 Halimbawa 3.16. Ayon sa halimbawa 3.15 hanapin ang quantile x 03 at 30% random variable point x.

Desisyon. Ayon sa formula (3.23), ang distribution function

Nahanap namin ang quantile r 0 z mula sa equation (3.29), i.e. x$ 3 \u003d 0.3, mula sa kung saan L "oz -0.67. Hanapin ang 30% na punto ng random variable x, o quantile x 0 7, mula sa equation x$ 7 = 0.7, kung saan x 0 7 "0.89. ?

Kabilang sa mga numerical na katangian ng isang random na variable, ang mga sandali - una at sentral - ay partikular na kahalagahan.

Kahulugan. Panimulang sandaliAng k-th order ng isang random variable X ay ang mathematical expectation ng k-th power ng variable na ito :

Kahulugan. Gitnang puntoang k-th order ng random variable X ay ang mathematical expectation ng k-th degree ng deviation ng random variable X mula sa mathematical expectation nito:

Mga formula para sa pagkalkula ng mga sandali para sa mga discrete random variable (pagkuha ng mga value x 1 na may probabilidad p,) at tuloy-tuloy (na may probability density cp(x)) ay ibinibigay sa Talahanayan. 3.1.

Talahanayan 3.1

Madaling makita iyon kapag k = 1 unang unang sandali ng random variable X ay ang mathematical expectation nito, i.e. h x \u003d M [X) \u003d a, sa sa= 2 ang pangalawang sentral na sandali ay ang pagpapakalat, i.e. p 2 = T)(X).

Ang mga gitnang sandali p A ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga unang sandali gamit ang mga formula:

atbp.

Halimbawa, c 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (kapag nagmula, isinasaalang-alang namin iyon a = M(X)= V, - hindi random na halaga). ?

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang pag-asa sa matematika M(X), o ang unang unang sandali, ay nagpapakilala sa average na halaga o posisyon, ang sentro ng pamamahagi ng isang random na variable X sa linya ng numero; pagpapakalat OH), o ang pangalawang sentral na sandali p 2 , - s t s - distribusyon scattering X medyo M(X). Ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga sandali ay nagsisilbi para sa isang mas detalyadong paglalarawan ng pamamahagi.

Pangatlong gitnang sandali p 3 ay nagsisilbing katangian ng kawalaan ng simetrya ng distribusyon (skewness). Ito ay may sukat ng isang kubo ng isang random na variable. Upang makakuha ng walang sukat na halaga, hinati ito ng humigit-kumulang 3, kung saan ang a ay ang standard deviation ng random variable. x. Natanggap na halaga PERO tinawag koepisyent ng kawalaan ng simetrya ng isang random na variable.

Kung ang distribusyon ay simetriko kaugnay ng inaasahan sa matematika, kung gayon ang skewness coefficient ay A = 0.

Sa fig. Ang 3.17 ay nagpapakita ng dalawang kurba ng pamamahagi: I at II. Ang curve I ay may positibong (kanang bahagi) na kawalaan ng simetrya (L > 0), at ang curve II ay may negatibo (kaliwang bahagi) (L

Ikaapat na sentral na sandali p 4 ay nagsisilbi upang makilala ang steepness (tugatog ng tuktok o flat tuktok - post) ng pamamahagi.

fashion() Ang tuluy-tuloy na random na variable ay ang halaga nito, na tumutugma sa pinakamataas na halaga ng probability density nito.

median() Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay ang halaga nito, na tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:

B15. Binomial distribution law at ang mga numerical na katangian nito. Binomial na pamamahagi naglalarawan ng paulit-ulit na malayang karanasan. Tinutukoy ng batas na ito ang paglitaw ng mga oras ng kaganapan sa mga independiyenteng pagsubok, kung ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa bawat isa sa mga eksperimentong ito ay hindi nagbabago mula sa karanasan hanggang sa karanasan. Probability:

,

kung saan: ay ang alam na posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa eksperimento, na hindi nagbabago mula sa karanasan hanggang sa karanasan;

ay ang posibilidad na hindi lumitaw ang kaganapan sa eksperimento;

ay ang tinukoy na bilang ng paglitaw ng kaganapan sa mga eksperimento;

ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento sa pamamagitan ng .

B15. Uniform na batas sa pamamahagi, mga graph ng distribution function at density, numerical na katangian. Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay isinasaalang-alang pantay na ipinamahagi, kung ang probability density nito ay may anyo:

Inaasahang halaga random variable na may pare-parehong pamamahagi:

Pagpapakalat maaaring kalkulahin tulad ng sumusunod:

Karaniwang lihis magiging ganito:

.

B17. Ang exponential law ng distribution, mga graph ng function at distribution density, mga numerical na katangian. exponential distribution Ang tuluy-tuloy na random na variable ay isang distribusyon na inilalarawan ng sumusunod na expression para sa probability density:

,

kung saan ay isang palaging positibong halaga.

Ang probability distribution function sa kasong ito ay may anyo:

Ang pag-asa sa matematika ng isang random na variable na may exponential distribution ay nakuha batay sa pangkalahatang formula, na isinasaalang-alang ang katotohanan na kapag:

.

Ang pagsasama ng expression na ito sa pamamagitan ng mga bahagi, makikita natin ang: .

Ang pagkakaiba para sa exponential distribution ay maaaring makuha gamit ang expression:

.

Ang pagpapalit ng expression para sa density ng posibilidad, nakita namin:

Ang pagkalkula ng integral sa pamamagitan ng mga bahagi, nakukuha natin ang: .

B16. Normal na batas sa pamamahagi, mga graph ng function at density ng pamamahagi. Karaniwang normal na pamamahagi. Sinasalamin ang normal na function ng pamamahagi. normal ang naturang distribusyon ng isang random na variable ay tinatawag, ang probability density kung saan ay inilalarawan ng Gaussian function:

nasaan ang standard deviation;

ay ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable.

Ang isang normal na plot ng density ng pamamahagi ay tinatawag na isang normal na Gaussian curve.

B18. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Markov. Pangkalahatan ang hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev. Kung para sa isang random variable X umiiral, pagkatapos ay para sa alinman Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Markov .

Nagmumula ito sa pangkalahatang hindi pagkakapantay-pantay ng Chebyshev: Hayaang ang function ay monotonically pagtaas at non-negatibo sa . Kung para sa isang random variable X umiiral, pagkatapos ay para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay .

B19. Ang batas ng malalaking numero sa anyo ng Chebyshev. Kahulugan nito. Bunga ng batas ng malalaking numero sa anyo ng Chebyshev. Ang batas ng malalaking numero sa anyo ng Bernoulli. Sa ilalim batas ng malalaking numero sa teorya ng posibilidad, ang isang bilang ng mga theorems ay nauunawaan, sa bawat isa kung saan ang katotohanan ng isang asymptotic approximation ng average na halaga ng isang malaking bilang ng mga eksperimentong data sa matematikal na inaasahan ng isang random na variable ay itinatag. Ang mga patunay ng mga teorema na ito ay batay sa hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev. Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang discrete random variable na may mga posibleng halaga.

Teorama. Hayaang magkaroon ng isang may hangganang pagkakasunod-sunod mga independiyenteng random na variable, na may parehong matematikal na inaasahan at mga pagkakaiba na nililimitahan ng parehong pare-pareho :

Pagkatapos, anuman ang numero , ang posibilidad ng kaganapan

may kaugaliang pagkakaisa sa .

Ang teorama ni Chebyshev ay nagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng teorya ng posibilidad, na isinasaalang-alang ang average na mga katangian ng buong hanay ng mga halaga ng isang random na variable, at mga istatistika ng matematika, na nagpapatakbo sa isang limitadong hanay ng mga halaga ng variable na ito. Ipinapakita nito na para sa isang sapat na malaking bilang ng mga sukat ng isang tiyak na random na variable, ang arithmetic mean ng mga halaga ng mga sukat na ito ay lumalapit sa inaasahan sa matematika.

SA 20. Paksa at mga gawain ng mga istatistika ng matematika. Pangkalahatan at sample na populasyon. Paraan ng pagpili. Mga istatistika sa matematika- ang agham ng matematikal na pamamaraan ng systematization at paggamit ng istatistikal na data para sa siyentipiko at praktikal na mga konklusyon, batay sa teorya ng posibilidad.

Ang mga bagay ng pag-aaral ng mga istatistika ng matematika ay mga random na kaganapan, dami at mga function na nagpapakilala sa itinuturing na random na phenomenon. Ang mga sumusunod na kaganapan ay random: nanalo ng isang tiket ng cash lottery, pagsunod sa kinokontrol na produkto sa itinatag na mga kinakailangan, walang problema sa pagpapatakbo ng kotse sa unang buwan ng operasyon nito, katuparan ng kontratista ng pang-araw-araw na iskedyul ng trabaho.

set ng sampling ay isang koleksyon ng mga random na napiling mga bagay.

Pangkalahatang populasyon pangalanan ang hanay ng mga bagay kung saan ginawa ang sample.

SA 21. Mga paraan ng pagpili.

Paraan ng pagpili: 1 Pagpili na hindi nangangailangan ng paghahati ng pangkalahatang populasyon sa mga bahagi. Kabilang dito ang a) simpleng random na hindi paulit-ulit na pagpili at b) simpleng random na muling pagpili. 2) Pagpili, kung saan ang pangkalahatang populasyon ay nahahati sa mga bahagi. Kabilang dito ang a) pagpili ng uri, b) pagpili ng mekanikal at c) pagpili ng serial.

Simpleng random tinatawag na seleksyon, kung saan ang mga bagay ay kinukuha ng isa-isa mula sa pangkalahatang populasyon.

Karaniwan tinatawag na seleksyon, kung saan ang mga bagay ay pinili hindi mula sa buong pangkalahatang populasyon, ngunit mula sa bawat isa sa mga "karaniwang" bahagi nito.

Mekanikal tinatawag na seleksyon, kung saan ang pangkalahatang populasyon ay mekanikal na nahahati sa kasing dami ng mga bagay na isasama sa sample, at isang bagay ang pinipili mula sa bawat pangkat.

Serial tinatawag na seleksyon, kung saan ang mga bagay ay pinili mula sa pangkalahatang populasyon hindi paisa-isa, ngunit "serye", na sumasailalim sa patuloy na pagsusuri.

B22. Statistical at variational na serye. Empirical distribution function at ang mga katangian nito. Variational series para sa discrete at tuloy-tuloy na random variable. Hayaang kunin ang isang sample mula sa pangkalahatang populasyon, at ang halaga ng parameter na pinag-aaralan ay naobserbahan nang isang beses, - isang beses, atbp. Gayunpaman, ang laki ng sample Ang mga naobserbahang halaga ay tinatawag mga pagpipilian, at ang sequence ay isang variant na nakasulat sa pataas na pagkakasunud-sunod - serye ng pagkakaiba-iba. Ang bilang ng mga obserbasyon ay tinatawag mga frequency, at ang kanilang kaugnayan sa laki ng sample - mga kamag-anak na frequency.Serye ng pagkakaiba-iba ay maaaring katawanin bilang isang talahanayan:

X			…..
n			….

Ang istatistikal na pamamahagi ng sample tawagan ang listahan ng mga opsyon at ang kani-kanilang mga kamag-anak na frequency. Ang distribusyon ng istatistika ay maaaring kinakatawan bilang:

X			…..
w			….

nasaan ang mga relatibong frequency .

Empirical distribution function tawagan ang function na tumutukoy para sa bawat value x ang relatibong dalas ng kaganapan X

Ang layunin ng aralin: upang mabuo ang pag-unawa ng mga mag-aaral sa median ng isang set ng mga numero at ang kakayahang kalkulahin ito para sa mga simpleng numerical set, pag-aayos ng konsepto ng arithmetic mean set ng mga numero.

Uri ng aralin: pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Kagamitan: board, textbook, ed. Yu.N Tyurina "Probability theory and statistics", computer na may projector.

Sa panahon ng mga klase

1. Pansamahang sandali.

Ipaalam ang paksa ng aralin at bumalangkas ng mga layunin nito.

2. Actualization ng dating kaalaman.

Mga tanong para sa mga mag-aaral:

• Ano ang arithmetic mean ng isang set ng mga numero?
• Saan matatagpuan ang arithmetic mean sa loob ng isang set ng mga numero?
• Ano ang katangian ng arithmetic mean ng isang set ng mga numero?
• Nasaan ang arithmetic mean ng isang set ng mga numero na kadalasang ginagamit?

Oral na gawain:

Hanapin ang arithmetic mean ng isang set ng mga numero:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Pagsusuri ng takdang-aralin gamit ang isang projector ( Appendix 1):

Teksbuk:: Blg. 12 (b, d), Blg. 18 (c, d)

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Sa nakaraang aralin, nakilala natin ang isang istatistikal na katangian tulad ng arithmetic mean ng isang set ng mga numero. Ngayon ay maglalaan tayo ng isang aralin sa isa pang istatistikal na katangian - ang median.

Hindi lamang ang arithmetic mean ay nagpapakita kung saan sa linya ng numero ang mga numero ng anumang hanay ay matatagpuan at kung saan ang kanilang sentro. Ang isa pang tagapagpahiwatig ay ang median.

Ang median ng isang set ng mga numero ay ang bilang na naghahati sa set sa dalawang pantay na bahagi. Sa halip na "median" maaaring sabihin ng isa ang "gitna".

Una, gamit ang mga halimbawa, susuriin namin kung paano hanapin ang median, at pagkatapos ay magbibigay kami ng isang mahigpit na kahulugan.

Isaalang-alang ang sumusunod na oral na halimbawa gamit ang isang projector ( Appendix 2)

Sa pagtatapos ng taon ng pag-aaral, 11 estudyante ng ika-7 baitang ang pumasa sa pamantayan para sa pagtakbo ng 100 metro. Ang mga sumusunod na resulta ay naitala:

Matapos tumakbo ang mga lalaki sa malayo, nilapitan ni Petya ang guro at tinanong kung ano ang kanyang resulta.

"Karamihan sa karaniwan: 16.9 segundo," sagot ng guro

"Bakit?" Nagulat si Petya. - Pagkatapos ng lahat, ang arithmetic mean ng lahat ng mga resulta ay humigit-kumulang 18.3 segundo, at tumakbo ako ng isang segundo o mas mahusay. At sa pangkalahatan, ang resulta ni Katya (18.4) ay mas malapit sa average kaysa sa akin."

“Average ang resulta mo dahil limang tao ang tumakbo nang mas mahusay kaysa sa iyo at limang mas masahol pa. Kaya nasa gitna ka,” sabi ng guro. [ 2 ]

Sumulat ng isang algorithm para sa paghahanap ng median ng isang hanay ng mga numero:

1. Pag-order ng numerical set (bumuo ng isang ranggo na serye).
2. Kasabay nito, tinatanggal namin ang "pinakamalaking" at "pinakamaliit" na mga numero ng hanay ng mga numerong ito hanggang sa manatili ang isang numero o dalawang numero.
3. Kung mayroon lamang isang numero, ito ay ang median.
4. Kung may natitira pang dalawang numero, ang median ay ang arithmetic mean ng dalawang natitirang numero.

Anyayahan ang mga mag-aaral na independiyenteng bumalangkas ng kahulugan ng median ng isang set ng mga numero, pagkatapos ay basahin ang dalawang kahulugan ng median sa textbook (p. 50), pagkatapos ay suriin ang mga halimbawa 4 at 5 ng textbook (pp. 50-52)

Komento:

Iguhit ang atensyon ng mga mag-aaral sa isang mahalagang pangyayari: ang median ay halos hindi sensitibo sa mga makabuluhang paglihis ng mga indibidwal na matinding halaga ng mga hanay ng mga numero. Sa mga istatistika, ang ari-arian na ito ay tinatawag na katatagan. Ang katatagan ng isang istatistikal na tagapagpahiwatig ay isang napakahalagang katangian, sinisiguro nito sa amin laban sa mga random na error at indibidwal na hindi mapagkakatiwalaang data.

4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

Ang desisyon ng mga numero mula sa aklat-aralin hanggang sa item 11 "Median".

Set ng mga numero: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Set ng mga numero: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Set ng mga numero: 3,4,11,17,21

b) Set ng mga numero: 17,18,19,25,28

c) Set ng mga numero: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Konklusyon: ang median ng isang set ng mga numero na binubuo ng isang kakaibang bilang ng mga miyembro ay katumbas ng bilang sa gitna.

a) Set ng mga numero: 2, 4, 8 , 9.

Ako = (4+8):2=12:2=6

b) Set ng mga numero: 1,3, 5,7 ,8,9.

Ako = (5+7):2=12:2=6

Ang median ng isang set ng mga numero na naglalaman ng kahit na bilang ng mga miyembro ay kalahati ng kabuuan ng dalawang numero sa gitna.

Natanggap ng estudyante ang mga sumusunod na marka sa algebra sa quarter:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Hanapin ang mean score at median ng set na ito. [ 3 ]

Mag-order tayo ng set ng mga numero: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5

10 numero lamang, upang mahanap ang median kailangan mong kumuha ng dalawang gitnang numero at hanapin ang kanilang kalahating kabuuan.

Ako = (5+5):2 = 5

Tanong sa mga mag-aaral: Kung ikaw ay isang guro, anong grado ang ibibigay mo sa mag-aaral na ito sa isang quarter? Pangatwiranan ang sagot.

Ang presidente ng kumpanya ay tumatanggap ng suweldo na 300,000 rubles. tatlo sa kanyang mga kinatawan ay tumatanggap ng 150,000 rubles bawat isa, apatnapung empleyado - 50,000 rubles bawat isa. at ang suweldo ng isang tagapaglinis ay 10,000 rubles. Hanapin ang arithmetic mean at median ng mga suweldo sa kumpanya. Alin sa mga katangiang ito ang mas kumikita para sa pangulo na gamitin para sa mga layunin ng advertising?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (rubles)

Gawain 3. (Anyayahan ang mga mag-aaral na mag-solve nang mag-isa, i-proyekto ang gawain gamit ang projector)

Ipinapakita ng talahanayan ang tinatayang dami ng tubig sa mga pinakamalaking lawa at reservoir sa Russia sa metro kubiko. km. (Annex 3) [ 4 ]

A) Hanapin ang average na dami ng tubig sa mga reservoir na ito (arithmetic mean);

B) Hanapin ang dami ng tubig sa average na laki ng reservoir (median ng data);

C) Sa iyong opinyon, alin sa mga katangiang ito - ang arithmetic mean o ang median - ang pinakamahusay na naglalarawan sa dami ng isang tipikal na malaking reservoir ng Russia? Ipaliwanag ang sagot.

a) 2459 cu. km

b) 60 cu. km

c) Median, dahil ang data ay naglalaman ng mga halaga na ibang-iba sa lahat ng iba pa.

Gawain 4. Pasalita.

A) Ilang numero ang nasa set kung ang median nito ay ang ika-siyam na termino nito?

B) Ilang numero ang nasa set kung ang median nito ay ang arithmetic mean ng ika-7 at ika-8 termino?

C) Sa isang set ng pitong numero, ang pinakamalaking bilang ay nadagdagan ng 14. Mababago ba nito ang parehong arithmetic mean at median?

D) Ang bawat isa sa mga numero sa set ay nadagdagan ng 3. Ano ang mangyayari sa arithmetic mean at median?

Ang mga matamis sa tindahan ay ibinebenta ayon sa timbang. Upang malaman kung gaano karaming mga matamis ang nilalaman sa isang kilo, nagpasya si Masha na hanapin ang bigat ng isang kendi. Tumimbang siya ng ilang kendi at nakuha ang mga sumusunod na resulta:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Ang parehong mga katangian ay angkop para sa pagtantya ng bigat ng isang kendi, dahil hindi sila gaanong naiiba sa isa't isa.

Kaya, upang makilala ang istatistikal na impormasyon, ang arithmetic mean at median ay ginagamit. Sa maraming mga kaso, ang ilan sa mga katangian ay maaaring walang anumang makabuluhang kahulugan (halimbawa, pagkakaroon ng impormasyon tungkol sa oras ng mga aksidente sa kalsada, halos hindi makatuwirang pag-usapan ang tungkol sa arithmetic mean ng mga data na ito).

1. Takdang-Aralin: talata 11, Blg. 3,4,9,11.
2. Mga resulta ng aralin. Pagninilay.

Panitikan:

1. Yu.N. Tyurin et al. "Teorya at Istatistika ng Probability", MCNMO Publishing House, JSC "Moscow Textbooks", Moscow 2008.
2. E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev "Mga Batayan ng mga istatistika at posibilidad", DROFA, Moscow 2004.
3. Pahayagan "Matematika" Blg. 23, 2007.
4. Demo na bersyon ng pagsubok sa teorya ng probabilidad at istatistika para sa grade 7, 2007/2008 account. taon.

Fashion- ang halaga sa hanay ng mga obserbasyon na kadalasang nangyayari

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

dito X Mo ay ang kaliwang hangganan ng modal interval, h Mo ay ang haba ng modal interval, f Mo-1 ay ang frequency ng premodal interval, f Mo ay ang frequency ng modal interval, f Mo+1 ay ang dalas ng postmodal interval.

Ang mode ng isang ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi ay anumang punto ng lokal na maximum ng density ng pamamahagi. Para sa mga discrete distribution, ang mode ay anumang value a i na ang probability p i ay mas malaki kaysa sa probabilities ng mga kalapit na value.

Median tuluy-tuloy na random variable X Ang halaga nito ay tinatawag na Me, kung saan ito ay pantay na posibilidad kung ang random na variable ay magiging mas kaunti o higit pa Ako, ibig sabihin.

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Ako) = P(X > Ako)

Pantay na ipinamahagi BAGONG

Kahit distribusyon. Ang tuluy-tuloy na random na variable ay tinatawag na pantay na ipinamamahagi sa segment () kung ang distribution density function nito (Fig. 1.6, a) parang:

Pagtatalaga: - Ang SW ay ibinahagi nang pantay-pantay sa .

Alinsunod dito, ang function ng pamamahagi sa segment (Larawan 1.6, b):

kanin. 1.6. Mga function ng isang random variable na ibinahagi nang pantay sa [ a,b]: a– density ng posibilidad f(x); b– mga pamamahagi F(x)

Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng RV na ito ay tinutukoy ng mga expression:

Dahil sa mahusay na proporsyon ng pagpapaandar ng density, ito ay tumutugma sa median. Ang fashion ay walang pantay na pamamahagi

Halimbawa 4 Ang oras ng paghihintay para sa isang sagot sa isang tawag sa telepono ay isang random na variable na sumusunod sa isang pare-parehong batas sa pamamahagi sa saklaw mula 0 hanggang 2 minuto. Hanapin ang integral at differential distribution function ng random variable na ito.

27. Normal na batas ng pamamahagi ng posibilidad

Ang tuluy-tuloy na random na variable x ay may normal na distribution na may mga parameter: m,s > 0, kung ang probability distribution density ay may anyo:

kung saan: m ay ang matematikal na inaasahan, s ay ang standard deviation.

Ang normal na distribusyon ay tinatawag ding Gaussian pagkatapos ng German mathematician na si Gauss. Ang katotohanan na ang isang random na variable ay may normal na distribusyon na may mga parameter: m, , ay tinutukoy bilang mga sumusunod: N (m, s), kung saan: m=a=M[X];

Kadalasan, sa mga pormula, ang pag-asa sa matematika ay tinutukoy ng a . Kung ang isang random na variable ay ibinahagi ayon sa N(0,1) na batas, kung gayon ito ay tinatawag na isang normalized o standardized normal variable. Ang function ng pamamahagi para dito ay may anyo:

Ang graph ng density ng normal na distribution, na tinatawag na normal na curve o Gaussian curve, ay ipinapakita sa Fig. 5.4.

kanin. 5.4. Normal na density ng pamamahagi

ari-arian isang random na variable na may normal na batas sa pamamahagi.

1. Kung , pagkatapos ay upang mahanap ang posibilidad na ang halagang ito ay bumaba sa isang naibigay na pagitan ( x 1; x 2) ang formula ay ginagamit:

2. Ang posibilidad na ang paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan nito sa matematika ay hindi lalampas sa halaga (sa absolute value) ay katumbas ng.