Kung susundin natin ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng increment ratio ng function Δ y sa pagtaas ng argumentong Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang kalkulahin sa pamamagitan ng formula na ito, sabihin nating, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos ay pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula, tandaan namin na ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar ay maaaring makilala mula sa buong iba't ibang mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at ipinasok sa talahanayan. Ang mga naturang function ay sapat na madaling matandaan, kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. At saka, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya naman elementary sila.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Pangalan	Function	Derivative
pare-pareho	f(x) = C, C ∈ R	0 (oo, oo, zero!)
Degree na may rational exponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = kasalanan x	cos x
Cosine	f(x) = cos x	− kasalanan x(minus sine)
Padaplis	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangent	f(x) = ctg x	− 1/kasalanan2 x
natural na logarithm	f(x) = log x	1/x
Arbitrary logarithm	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponential function	f(x) = e x	e x(walang nagbago)

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madali ding kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa sign ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati, at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na masyadong elementarya, ngunit din naiba-iba ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaan ang mga function f(x) at g(x), na ang mga derivative ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid, ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya:

f ’(x) = (x 2+ kasalanan x)’ = (x 2)' + (kasalanan x)’ = 2x+ cosx;

Pareho kaming nagtatalo para sa function g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng isang produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto. strike"\u003e katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit figs para sa iyo! Ang derivative ng produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay maling nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay isang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago mula dito. Malinaw, ang unang multiplier ng function g(x) ay isang polynomial, at ang derivative nito ay ang derivative ng kabuuan. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Tandaan na sa huling hakbang, ang derivative ay factorized. Sa pormal, hindi ito kinakailangan, ngunit karamihan sa mga derivative ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang galugarin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay malalaman, at iba pa. Para sa ganitong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na nabulok sa mga kadahilanan.

Kung may dalawang function f(x) at g(x), at g(x) ≠ 0 sa hanay ng interes sa amin, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa ganoong function, maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, tama? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? Pero ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

May mga elementarya na function sa numerator at denominator ng bawat fraction, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Sa pamamagitan ng tradisyon, isinaalang-alang namin ang numerator sa mga kadahilanan - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi kinakailangang isang formula na kalahating kilometro ang haba. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2+ln x. Iyon pala f(x) = kasalanan ( x 2+ln x) ay isang kumplikadong function. Mayroon din siyang derivative, ngunit hindi ito gagana upang mahanap ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas.

Paano maging? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng isang variable at ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay makakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa hinango ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito sa mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2+ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng elementarya na function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan ang 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Gumaganap ng reverse substitution: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangang palitan. x 2+ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2+ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative ng kabuuan.

Sagot:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil( x 2+ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative", ginagamit ko ang salitang "stroke". Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Mabuti naman.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumaba sa pag-alis ng mga mismong stroke na ito ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5 . Ngunit paano kung mayroong isang bagay na nakakalito sa ilalim ng ugat? Muli, ang isang kumplikadong pag-andar ay lalabas - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng isang function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng isang pagpapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−0.5 t ’.

Gumagawa kami ng reverse substitution: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− 7) −0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0.5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat:

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na attachment ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang sumusunod na dalawang halimbawa ay mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung sila ay naiintindihan (may naghihirap), halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan tama UNAWAIN ANG MGA INVESTMENT. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na trick: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga na "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, kaya ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pugad.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Complex Function Differentiation Formula ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Mukhang walang error:

1) Kinukuha namin ang derivative ng square root.

2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

3) Ang derivative ng triple ay katumbas ng zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (kubo).

4) Kinukuha namin ang derivative ng cosine.

6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na nesting .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng estudyante kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function, o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Una, inilalapat namin ang mga patakaran ng linearity at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Oras na para lumipat sa isang bagay na mas compact at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang sitwasyon kung saan ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function ay ibinigay sa isang halimbawa. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una, tinitingnan natin, ngunit posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga function ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso, ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay para sa "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at para sa "ve" - ​​​​ang logarithm:. Bakit ito magagawa? ito ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatiling ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka pa ring maglihis at kumuha ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang halimbawa sa itaas ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, sa sample ito ay nalutas sa unang paraan.

Isaalang-alang ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O ganito:

Ngunit ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas compact kung, una sa lahat, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan sa form na ito, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot?

Dinadala namin ang expression ng numerator sa isang karaniwang denominator at inaalis ang tatlong-kuwento na fraction:

Ang kawalan ng karagdagang mga pagpapasimple ay na may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng isang hinalaw, ngunit kapag ang mga pagbabago sa mga banal na paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang gawain at hinihiling na "isaalang-alang" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga diskarte para sa paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang isang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan.

Imposibleng malutas ang mga pisikal na problema o mga halimbawa sa matematika nang walang kaalaman tungkol sa derivative at mga pamamaraan para sa pagkalkula nito. Ang derivative ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng mathematical analysis. Nagpasya kaming italaga ang artikulo ngayon sa pangunahing paksang ito. Ano ang derivative, ano ang pisikal at geometric na kahulugan nito, kung paano kalkulahin ang derivative ng isang function? Ang lahat ng mga tanong na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung paano maunawaan ang hinalaw?

Geometric at pisikal na kahulugan ng derivative

Magkaroon ng function f(x) , ibinigay sa ilang pagitan (a,b) . Ang mga puntos na x at x0 ay nabibilang sa pagitan na ito. Kapag nagbago ang x, nagbabago ang function mismo. Pagbabago ng argumento - pagkakaiba ng mga halaga nito x-x0 . Ang pagkakaibang ito ay nakasulat bilang delta x at tinatawag na argument increment. Ang pagbabago o pagtaas ng isang function ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function sa dalawang punto. Derivative na kahulugan:

Ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa isang partikular na punto sa pagtaas ng argument kapag ang huli ay may posibilidad na zero.

Kung hindi, maaari itong isulat tulad nito:

Ano ang punto sa paghahanap ng gayong limitasyon? Ngunit alin:

ang derivative ng isang function sa isang punto ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng OX axis at ang tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Ang pisikal na kahulugan ng derivative: ang time derivative ng path ay katumbas ng bilis ng rectilinear motion.

Sa katunayan, mula noong mga araw ng paaralan, alam ng lahat na ang bilis ay isang pribadong landas. x=f(t) at oras t . Average na bilis sa isang tiyak na tagal ng panahon:

Upang malaman ang bilis ng paggalaw sa isang pagkakataon t0 kailangan mong kalkulahin ang limitasyon:

Panuntunan unang: alisin ang pare-pareho

Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Bukod dito, dapat itong gawin. Kapag nilulutas ang mga halimbawa sa matematika, kunin bilang panuntunan - kung maaari mong pasimplehin ang expression, siguraduhing pasimplehin .

Halimbawa. Kalkulahin natin ang derivative:

Rule two: derivative ng kabuuan ng mga function

Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito. Ang parehong ay totoo para sa derivative ng pagkakaiba ng mga function.

Hindi kami magbibigay ng patunay ng teorama na ito, ngunit sa halip ay isaalang-alang ang isang praktikal na halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function:

Tatlong panuntunan: ang derivative ng produkto ng mga function

Ang derivative ng produkto ng dalawang differentiable function ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa: hanapin ang derivative ng isang function:

Desisyon:

Narito mahalagang sabihin ang tungkol sa pagkalkula ng mga derivatives ng mga kumplikadong function. Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng function na ito na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may kinalaman sa independent variable.

Sa halimbawa sa itaas, nakatagpo namin ang expression:

Sa kasong ito, ang intermediate argument ay 8x hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Upang makalkula ang derivative ng naturang expression, isaalang-alang muna natin ang derivative ng external function na may paggalang sa intermediate argument, at pagkatapos ay i-multiply sa derivative ng intermediate argument mismo na may paggalang sa independent variable.

Ikaapat na Panuntunan: Ang derivative ng quotient ng dalawang function

Formula para sa pagtukoy ng derivative ng isang quotient ng dalawang function:

Sinubukan naming pag-usapan ang tungkol sa mga derivatives para sa mga dummies mula sa simula. Ang paksang ito ay hindi kasing simple ng tila, kaya't mag-ingat: kadalasang may mga pitfalls sa mga halimbawa, kaya maging maingat sa pagkalkula ng mga derivatives.

Sa anumang tanong tungkol dito at sa iba pang mga paksa, maaari kang makipag-ugnayan sa serbisyo ng mag-aaral. Sa maikling panahon, tutulungan ka naming lutasin ang pinakamahirap na kontrol at harapin ang mga gawain, kahit na hindi mo pa napag-uusapan ang pagkalkula ng mga derivatives dati.

Ang patunay ng formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay ibinigay. Ang mga kaso kung saan ang isang kumplikadong function ay nakasalalay sa isa o dalawang variable ay isinasaalang-alang nang detalyado. Ang isang paglalahat ay ginawa sa kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga variable.

Nilalaman

Tingnan din: Mga halimbawa ng paglalapat ng formula para sa derivative ng isang kumplikadong function

Mga Pangunahing Formula

Dito ipinakita namin ang derivation ng mga sumusunod na formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Derivative ng isang kumplikadong function ng isang variable

Hayaang ang isang function ng isang variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function sa sumusunod na anyo:
,
kung saan at mayroong ilang mga pag-andar. Naiiba ang function para sa ilang halaga ng variable x . Naiiba ang function para sa halaga ng variable .
Pagkatapos ang complex (composite) function ay naiba-iba sa puntong x at ang derivative nito ay tinutukoy ng formula:
(1) .

Ang pormula (1) ay maaari ding isulat tulad ng sumusunod:
;
.

Patunay

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon.
;
.
Dito mayroong isang function ng mga variable at , mayroong isang function ng mga variable at . Ngunit aalisin natin ang mga argumento ng mga pag-andar na ito upang hindi makalat ang mga kalkulasyon.

Dahil ang mga function at ay naiba-iba sa mga puntos na x at , ayon sa pagkakabanggit, sa mga puntong ito ay mayroong mga derivatives ng mga function na ito, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
;
.

Isaalang-alang ang sumusunod na function:
.
Para sa isang nakapirming halaga ng variable na u , ay isang function ng . Obvious naman yun
.
Pagkatapos
.

Dahil ang function ay isang differentiable function sa point , kung gayon ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon. Kaya
.
Pagkatapos
.

Ngayon nakita namin ang derivative.

.

Napatunayan na ang formula.

Bunga

Kung ang isang function ng variable x ay maaaring katawanin bilang isang complex function ng isang complex function
,
pagkatapos ang derivative nito ay tinutukoy ng formula
.
Dito , at mayroong ilang mga function na naiba-iba.

Upang patunayan ang formula na ito, sunud-sunod naming kinakalkula ang derivative ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function.
Isaalang-alang ang isang kumplikadong function
.
Ang derivative nito
.
Isaalang-alang ang orihinal na function
.
Ang derivative nito
.

Derivative ng isang kumplikadong function sa dalawang variable

Ngayon hayaan ang isang kumplikadong function ay depende sa ilang mga variable. Unang isaalang-alang kaso ng isang kumplikadong function ng dalawang variable.

Hayaang ang function na depende sa variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng dalawang variable sa sumusunod na anyo:
,
saan
at may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable x ;
ay isang function ng dalawang variable, differentiable sa point , . Pagkatapos ang kumplikadong pag-andar ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto at mayroong isang hinalaw, na tinutukoy ng formula:
(2) .

Patunay

Dahil ang mga function at naiba-iba sa punto , ang mga ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa punto, at ang kanilang mga derivative sa punto ay umiiral, na kung saan ay ang mga sumusunod na limitasyon:
;
.
Dito
;
.
Dahil sa pagpapatuloy ng mga function na ito sa isang punto, mayroon kaming:
;
.

Dahil ang function ay naiba-iba sa punto , ito ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong ito, ay tuloy-tuloy sa puntong ito, at ang pagtaas nito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
(3) .
Dito

- pagdaragdag ng function kapag ang mga argumento nito ay dinagdagan ng mga halaga at ;
;

- mga partial derivatives ng function na may paggalang sa mga variable at .
Para sa mga nakapirming halaga ng at , at mayroong mga function ng mga variable at . May posibilidad silang maging zero bilang at:
;
.
Simula at , noon
;
.

Pagdaragdag ng function:

. :
.
Kapalit (3):



.

Napatunayan na ang formula.

Derivative ng isang kumplikadong function ng ilang mga variable

Ang derivation sa itaas ay madaling pangkalahatan sa kaso kapag ang bilang ng mga variable ng isang kumplikadong function ay mas malaki kaysa sa dalawa.

Halimbawa, kung ang f ay function ng tatlong variable, pagkatapos
,
saan
, at may mga function na naiba-iba para sa ilang halaga ng variable na x ;
ay isang differentiable function, sa tatlong variable, sa puntong , , .
Pagkatapos, mula sa kahulugan ng differentiability ng function , mayroon kaming:
(4)
.
Dahil, dahil sa pagpapatuloy,
; ; ,
pagkatapos
;
;
.

Ang paghahati ng (4) sa pamamagitan at pagpasa sa limitasyon , makuha namin ang:
.

At sa wakas, isaalang-alang ang pinaka-pangkalahatang kaso.
Hayaan ang isang function ng isang variable x ay kinakatawan bilang isang kumplikadong function ng n variable sa sumusunod na anyo:
,
saan
may mga naiba-iba na function para sa ilang halaga ng variable x ;
- differentiable function ng n variable sa isang punto
, , ... , .
Pagkatapos
.

Tingnan din:

kumplikadong derivatives. Logarithmic derivative.
Derivative ng exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na sakop, isaalang-alang ang mas kumplikadong mga derivatives, at makikilala din ang mga bagong trick at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng paghahanda ay dapat sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang kumplikadong function, unawain at lutasin lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito, ikaw ay may kumpiyansa na iibahin ang medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na manatili sa posisyon na "Saan pa? Oo, at sapat na iyon! ”, Dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa mga tunay na pagsubok at madalas na matatagpuan sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Derivative ng isang kumplikadong function isinaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa kurso ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang mga seksyon ng mathematical analysis, kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang magpinta ng mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay tayo sa oral na paghahanap ng mga derivatives. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksa ng matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong tala ay kadalasang hindi kinakailangan, ipinapalagay na ang mag-aaral ay makakahanap ng mga katulad na derivatives sa autopilot. Isipin natin na sa alas-3 ng umaga ay nag-ring ang telepono, at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang x?". Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa isang malayang solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivative nang pasalita, sa isang hakbang, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain, kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi pa niya naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang kumplikadong function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivatives

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na attachment ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Marahil ang sumusunod na dalawang halimbawa ay mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung sila ay naiintindihan (may naghihirap), halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan tama UNAWAIN ANG MGA INVESTMENT. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na trick: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga na "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, kaya ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pugad.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang, ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Complex Function Differentiation Formula ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kinukuha namin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng triple ay katumbas ng zero. Sa pangalawang termino, kinukuha namin ang derivative ng degree (kubo).

(4) Kinukuha namin ang derivative ng cosine.

(5) Kinukuha namin ang derivative ng logarithm.

(6) Panghuli, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pugad .

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng estudyante kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function, o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa isang nakapag-iisang solusyon.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Una, inilalapat namin ang mga patakaran ng linearity at ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Oras na para lumipat sa isang bagay na mas compact at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang sitwasyon kung saan ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function ay ibinigay sa isang halimbawa. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una, tinitingnan natin, ngunit posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang ito, ang lahat ng mga function ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso, ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay para sa "y" tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at para sa "ve" - ​​​​ang logarithm:. Bakit ito magagawa? ito ba - hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatiling ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka pa ring maglihis at kumuha ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito ay mas mahusay na iwanan ang sagot sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang halimbawa sa itaas ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, sa sample ito ay nalutas sa unang paraan.

Isaalang-alang ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa maraming paraan:

O ganito:

Ngunit ang solusyon ay maaaring maisulat nang mas compact kung, una sa lahat, ginagamit namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan sa form na ito, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit posible bang gawing simple ang sagot? Dinadala namin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin ang tatlong-palapag na bahagi:

Ang kawalan ng karagdagang mga pagpapasimple ay na may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng isang hinalaw, ngunit kapag ang mga pagbabago sa mga banal na paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang gawain at hinihiling na "isaalang-alang" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga diskarte para sa paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang isang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan.

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa isang mahabang paraan, gamit ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na nagdudulot sa iyo ng kawalan ng pag-asa - kailangan mong kumuha ng hindi kasiya-siyang derivative ng isang fractional degree, at pagkatapos ay mula din sa isang fraction.

Kaya dati kung paano kunin ang derivative ng "fancy" logarithm, dati itong pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang praktikal na notebook, kopyahin ang mga formula na ito doon mismo. Kung wala kang notebook, iguhit ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang iba pang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring mabalangkas tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Nahanap namin ang derivative:

Ang paunang pagbabago ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon isang pares ng mga simpleng halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Lahat ng pagbabago at sagot sa pagtatapos ng aralin.

logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw, posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Katulad na mga halimbawa na aming isinaalang-alang kamakailan. Anong gagawin? Ang isa ay maaaring sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay nakakakuha ka ng isang malaking bahagi ng tatlong palapag, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Tandaan : kasi Ang function ay maaaring tumagal ng mga negatibong halaga, kung gayon, sa pangkalahatan, kailangan mong gumamit ng mga module: , na nawawala bilang resulta ng pagkakaiba-iba. Gayunpaman, ang kasalukuyang disenyo ay katanggap-tanggap din, kung saan bilang default ang kumplikado mga halaga. Ngunit kung sa lahat ng mahigpit, pagkatapos ay sa parehong mga kaso ito ay kinakailangan upang gumawa ng isang reserbasyon na.

Ngayon ay kailangan mong "masira" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi na may isang stroke:

Ang derivative ng right side ay medyo simple, hindi ako magkokomento tungkol dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong mahawakan ito nang may kumpiyansa.

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong na: "Bakit, may isang letra bang "y" sa ilalim ng logarithm?".

Ang katotohanan ay ang "isang letrang y" na ito - AY ISANG FUNCTION SA SARILI(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na tahasang tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng compound function :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Dagdag pa, ayon sa panuntunan ng proporsyon, itinapon namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon naaalala natin kung anong uri ng "laro"-function ang napag-usapan natin kapag nag-iiba? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri sa katapusan ng aralin.

Sa tulong ng logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang function na ito. Ang exponential function ay isang function na mayroon at ang antas at base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o sa anumang panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na isinasaalang-alang lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, ang antas ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm sa kanang bahagi:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming isang produkto ng dalawang pag-andar, na kung saan ay iba-iba ayon sa karaniwang formula .

Natagpuan namin ang derivative, para dito isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Ang mga susunod na hakbang ay madali:

Sa wakas:

Kung ang ilang pagbabago ay hindi lubos na malinaw, mangyaring muling basahin nang mabuti ang mga paliwanag ng Halimbawa 11.

Sa mga praktikal na gawain, ang exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa itinuturing na halimbawa ng lecture.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm ng x" (isa pang logarithm ay nested sa ilalim ng logarithm). Kapag ang pagkakaiba ng isang pare-pareho, tulad ng naaalala natin, ito ay mas mahusay na agad na alisin ito sa pag-sign ng derivative upang hindi ito makakuha sa paraan; at, siyempre, ilapat ang pamilyar na panuntunan :