Sasaklawin ng artikulo sa ibaba ang mga isyu sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment sa pagkakaroon ng mga coordinate ng mga extreme point nito bilang paunang data. Ngunit, bago magpatuloy sa pag-aaral ng isyu, ipinakilala namin ang ilang mga kahulugan.

Kahulugan 1

Segment ng linya- isang tuwid na linya na nagkokonekta sa dalawang di-makatwirang punto, na tinatawag na mga dulo ng segment. Bilang halimbawa, hayaan ang mga ito ay mga punto A at B at, ayon sa pagkakabanggit, ang segment A B .

Kung ang segment A B ay ipagpapatuloy sa parehong direksyon mula sa mga punto A at B, makakakuha tayo ng isang tuwid na linya A B. Pagkatapos ang segment A B ay isang bahagi ng nakuhang tuwid na linya na nililimitahan ng mga puntos A at B . Pinagsasama ng segment na A B ang mga puntong A at B , na siyang mga dulo nito, pati na rin ang hanay ng mga puntong nasa pagitan. Kung, halimbawa, kukuha tayo ng anumang di-makatwirang punto K na nakahiga sa pagitan ng mga punto A at B , maaari nating sabihin na ang puntong K ay nasa segment A B .

Kahulugan 2

Haba ng gupit ay ang distansya sa pagitan ng mga dulo ng segment sa isang partikular na sukat (segment ng haba ng yunit). Tinutukoy namin ang haba ng segment A B tulad ng sumusunod: A B .

Kahulugan 3

gitnang punto Isang punto sa isang segment ng linya na katumbas ng layo mula sa mga dulo nito. Kung ang gitna ng segment A B ay tinutukoy ng punto C, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: A C \u003d C B

Paunang data: coordinate line O x at hindi magkatugmang mga punto dito: A at B . Ang mga puntong ito ay tumutugma sa mga tunay na numero x A at x B . Ang point C ay ang midpoint ng segment A B: kailangan mong tukuyin ang coordinate x C .

Dahil ang point C ay ang midpoint ng segment A B, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: | A C | = | C B | . Ang distansya sa pagitan ng mga punto ay tinutukoy ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate, i.e.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Pagkatapos ay posible ang dalawang pagkakapantay-pantay: x C - x A = x B - x C at x C - x A = - (x B - x C)

Mula sa unang pagkakapantay-pantay, nakukuha namin ang isang formula para sa coordinate ng punto C: x C \u003d x A + x B 2 (kalahati ng kabuuan ng mga coordinate ng mga dulo ng segment).

Mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay makuha natin ang: x A = x B , na imposible, dahil sa orihinal na data - mga hindi tugmang puntos. kaya, formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng midpoint ng segment A B na may mga dulo A (x A) at B(xB):

Ang resultang formula ay magiging batayan para sa pagtukoy ng mga coordinate ng midpoint ng segment sa isang eroplano o sa kalawakan.

Paunang data: rectangular coordinate system sa eroplano O x y , dalawang di-makatwirang di-nagtutugmang mga punto na may ibinigay na mga coordinate A x A , y A at B x B , y B . Ang point C ay ang midpoint ng segment A B . Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate x C at y C para sa punto C .

Isaalang-alang natin para sa pagsusuri ang kaso kapag ang mga puntong A at B ay hindi nagtutugma at hindi nakahiga sa parehong linya ng coordinate o isang linya na patayo sa isa sa mga palakol. A x , A y ; B x , B y at C x , C y - projection ng mga puntos A , B at C sa mga coordinate axes (mga tuwid na linya O x at O ​​y).

Sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga linyang A A x , B B x , C C x ay parallel; ang mga linya ay parallel din sa isa't isa. Kasama nito, ayon sa Thales theorem, mula sa pagkakapantay-pantay A C \u003d C B, ang mga pagkakapantay-pantay ay sumusunod: A x C x \u003d C x B x at A y C y \u003d C y B y, at sila naman, ipahiwatig na ang punto C x - ang gitna ng segment A x B x, at C y ay ang gitna ng segment A y B y. At pagkatapos, batay sa pormula na nakuha nang mas maaga, nakukuha natin:

x C = x A + x B 2 at y C = y A + y B 2

Ang parehong mga formula ay maaaring gamitin sa kaso kapag ang mga punto A at B ay nasa parehong coordinate line o isang linya na patayo sa isa sa mga axes. Hindi kami magsasagawa ng isang detalyadong pagsusuri sa kasong ito, isasaalang-alang lamang namin ito nang graphical:

Pagbubuod ng lahat ng nasa itaas, mga coordinate ng gitna ng segment A B sa eroplano na may mga coordinate ng mga dulo A (x A , y A) at B(x B, y B) tinukoy bilang:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Paunang data: coordinate system О x y z at dalawang arbitrary na puntos na may ibinigay na mga coordinate A (x A , y A , z A) at B (x B , y B , z B) . Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate ng punto C , na kung saan ay ang gitna ng segment A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z at C x , C y , C z - projection ng lahat ng ibinigay na puntos sa mga axes ng coordinate system.

Ayon sa Thales theorem, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Samakatuwid, ang mga puntong C x , C y , C z ay ang mga midpoint ng mga segment A x B x , A y B y , A z B z ayon sa pagkakabanggit. pagkatapos, upang matukoy ang mga coordinate ng gitna ng segment sa espasyo, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Ang mga resultang formula ay naaangkop din sa mga kaso kung saan ang mga punto A at B ay nasa isa sa mga linya ng coordinate; sa isang tuwid na linya patayo sa isa sa mga axes; sa isang coordinate plane o isang plane na patayo sa isa sa mga coordinate plane.

Pagtukoy sa mga coordinate ng gitna ng isang segment sa pamamagitan ng mga coordinate ng radius vectors ng mga dulo nito

Ang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment ay maaari ding makuha ayon sa algebraic na interpretasyon ng mga vector.

Paunang data: rectangular Cartesian coordinate system O x y , mga puntos na may ibinigay na coordinate A (x A , y A) at B (x B , x B) . Ang point C ay ang midpoint ng segment A B .

Ayon sa geometric na kahulugan ng mga aksyon sa mga vector, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging totoo: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Ang punto C sa kasong ito ay ang intersection point ng mga diagonal ng parallelogram na itinayo batay sa mga vectors O A → at O ​​B → , i.e. ang punto ng gitna ng mga diagonal. Ang mga coordinate ng radius vector ng punto ay katumbas ng mga coordinate ng punto, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B). Magsagawa tayo ng ilang operasyon sa mga vector sa mga coordinate at makuha ang:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Samakatuwid, ang punto C ay may mga coordinate:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang isang formula ay tinukoy para sa paghahanap ng mga coordinate ng midpoint ng isang segment sa espasyo:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng isang segment

Kabilang sa mga gawain na kinasasangkutan ng paggamit ng mga formula na nakuha sa itaas, mayroong parehong kung saan ang tanong ay direktang kalkulahin ang mga coordinate ng gitna ng segment, at ang mga may kinalaman sa pagdadala ng mga ibinigay na kundisyon sa tanong na ito: ang terminong "median" ay madalas na ginagamit, ang layunin ay upang mahanap ang mga coordinate ng isa mula sa mga dulo ng segment, pati na rin ang mga problema sa simetrya, ang solusyon kung saan sa pangkalahatan ay hindi dapat maging sanhi ng mga paghihirap pagkatapos pag-aralan ang paksang ito. Isaalang-alang natin ang mga karaniwang halimbawa.

Halimbawa 1

Paunang data: sa eroplano - mga puntos na may ibinigay na mga coordinate A (- 7, 3) at B (2, 4) . Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng midpoint ng segment A B.

Desisyon

Tukuyin natin ang gitna ng segment A B sa pamamagitan ng punto C . Ang mga coordinate nito ay tutukuyin bilang kalahati ng kabuuan ng mga coordinate ng mga dulo ng segment, i.e. puntos A at B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Sagot: mga coordinate ng gitna ng segment A B - 5 2 , 7 2 .

Halimbawa 2

Paunang data: ang mga coordinate ng tatsulok A B C ay kilala: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Kinakailangang hanapin ang haba ng median na A M.

Desisyon

1. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, ang A M ay ang median, na nangangahulugan na ang M ay ang midpoint ng segment B C . Una sa lahat, nakita namin ang mga coordinate ng gitna ng segment B C , i.e. M puntos:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Dahil alam na natin ngayon ang mga coordinate ng magkabilang dulo ng median (mga puntos A at M), maaari nating gamitin ang formula upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga punto at kalkulahin ang haba ng median A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Sagot: 58

Halimbawa 3

Paunang data: isang parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ay ibinibigay sa rectangular coordinate system ng three-dimensional space. Ang mga coordinate ng point C 1 (1 , 1 , 0) ay ibinibigay, at ang point M ay tinukoy din, na siyang midpoint ng diagonal B D 1 at may mga coordinate M (4 , 2 , - 4) . Kinakailangang kalkulahin ang mga coordinate ng point A.

Desisyon

Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto, na siyang midpoint ng lahat ng mga diagonal. Batay sa pahayag na ito, maaari nating tandaan na ang punto M na kilala ng mga kondisyon ng problema ay ang gitna ng segment А С 1 . Batay sa formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng gitna ng segment sa espasyo, nakita namin ang mga coordinate ng point A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Sagot: mga coordinate ng point A (7, 3, - 8) .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kadalasan sa problema C2 kinakailangan na magtrabaho kasama ang mga puntos na naghahati sa segment sa kalahati. Ang mga coordinate ng naturang mga punto ay madaling kalkulahin kung ang mga coordinate ng mga dulo ng segment ay kilala.

Kaya, hayaan ang segment na ibigay sa pamamagitan ng mga dulo nito - mga puntos A \u003d (x a; y a; z a) at B \u003d (x b; y b; z b). Pagkatapos ang mga coordinate ng gitna ng segment - tinutukoy namin ito sa pamamagitan ng punto H - ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa madaling salita, ang mga coordinate ng gitna ng isang segment ay ang arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo nito.

· Gawain . Ang unit cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay inilalagay sa coordinate system upang ang x, y at z axes ay nakadirekta sa mga gilid AB, AD at AA 1 ayon sa pagkakabanggit, at ang pinanggalingan ay tumutugma sa punto A. Point K ay ang gitnang punto ng gilid A 1 B isa . Hanapin ang mga coordinate ng puntong ito.

Desisyon. Dahil ang puntong K ay ang gitna ng segment A 1 B 1 , ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga dulo: A 1 = (0; 0; 1) at B 1 = (1; 0; 1). Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng point K:

Sagot: K = (0.5; 0; 1)

· Gawain . Ang unit cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ay inilalagay sa coordinate system upang ang x, y at z axes ay nakadirekta sa mga gilid ng AB, AD at AA 1 ayon sa pagkakabanggit, at ang pinagmulan ay tumutugma sa punto A. Hanapin ang mga coordinate ng puntong L kung saan sila nag-intersect ng mga dayagonal ng parisukat A 1 B 1 C 1 D 1 .

Desisyon. Mula sa kurso ng planimetry ay kilala na ang punto ng intersection ng mga diagonal ng isang parisukat ay katumbas ng layo mula sa lahat ng vertices nito. Sa partikular, A 1 L = C 1 L, i.e. point L ay ang midpoint ng segment A 1 C 1 . Ngunit A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), kaya mayroon tayong:

Sagot: L = (0.5; 0.5; 1)

Ang pinakasimpleng mga problema ng analytic geometry.
Mga pagkilos na may mga vector sa mga coordinate

Ang mga gawain na isasaalang-alang, ito ay lubos na kanais-nais na matutunan kung paano awtomatikong lutasin ang mga ito, at ang mga formula kabisaduhin, hindi man lang sinasadya, maaalala nila ito sa kanilang sarili =) Napakahalaga nito, dahil ang iba pang mga problema ng analytical geometry ay batay sa pinakasimpleng mga halimbawa ng elementarya, at nakakainis na gumugol ng labis na oras sa pagkain ng mga pawn. Hindi mo kailangang i-fasten ang mga nangungunang butones sa iyong kamiseta, maraming bagay ang pamilyar sa iyo mula sa paaralan.

Ang pagtatanghal ng materyal ay susunod sa isang parallel na kurso - kapwa para sa eroplano at para sa espasyo. Para sa kadahilanang ang lahat ng mga formula ... makikita mo para sa iyong sarili.

Pagkatapos ng maingat na trabaho, bigla kong napansin na ang mga sukat ng mga web page ay medyo malaki, at kung ito ay magpapatuloy sa ganito, maaari kang tahimik na magmukmok =) Samakatuwid, dinadala ko sa iyong pansin ang isang maliit na sanaysay sa isang pangkaraniwang geometric na problema - sa dibisyon ng segment sa bagay na ito, at, bilang isang espesyal na kaso, tungkol sa paghahati ng isang segment sa kalahati.

Para sa isang kadahilanan o iba pa, ang gawaing ito ay hindi umaangkop sa iba pang mga aralin, ngunit ngayon ay may isang mahusay na pagkakataon upang isaalang-alang ito nang detalyado at dahan-dahan. Ang magandang balita ay magpapahinga tayo saglit sa mga vectors at tumuon sa mga punto at mga segment ng linya.

Mga formula ng dibisyon ng seksyon sa bagay na ito

Ang konsepto ng paghahati ng segment sa bagay na ito

Kadalasan hindi mo kailangang maghintay para sa kung ano ang ipinangako sa lahat, agad naming isasaalang-alang ang ilang mga puntos at, halatang hindi kapani-paniwala, isang segment:

Ang problemang isinasaalang-alang ay may bisa kapwa para sa mga segment ng eroplano at para sa mga segment ng espasyo. Iyon ay, ang demonstration segment ay maaaring ilagay sa anumang paraan sa isang eroplano o sa kalawakan. Para sa kadalian ng pagpapaliwanag, iginuhit ko ito nang pahalang.

Ano ang gagawin natin sa segment na ito? Nakita sa oras na ito. May naglalagari ng budget, may naglalagari ng asawa, may naglalagari ng panggatong, at magsisimula kaming maglagari ng segment sa dalawang bahagi. Ang segment ay nahahati sa dalawang bahagi gamit ang ilang punto, na, siyempre, ay direktang matatagpuan dito:

Sa halimbawang ito, hinahati ng punto ang segment sa paraang ang segment ay dalawang beses na mas maikli kaysa sa segment . Masasabi pa rin natin na hinahati ng punto ang segment na may kaugnayan ("isa hanggang dalawa"), na binibilang mula sa itaas.

Sa tuyo na wikang matematika, ang katotohanang ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: , o mas madalas sa anyo ng isang pamilyar na proporsyon: . Ang ratio ng mga segment ay karaniwang tinutukoy ng letrang Griyego na "lambda", sa kasong ito: .

Madaling gumawa ng proporsyon sa ibang pagkakasunud-sunod: - Ang talaang ito ay nangangahulugan na ang segment ay dalawang beses ang haba kaysa sa segment, ngunit wala itong anumang pangunahing kahalagahan para sa paglutas ng mga problema. Maaari itong maging gayon, at maaari itong maging gayon.

Siyempre, ang segment ay madaling hatiin sa ilang iba pang paggalang, at bilang isang pagpapatibay ng konsepto, ang pangalawang halimbawa:

Dito wasto ang ratio: . Kung gagawin natin ang proporsyon sa kabaligtaran, pagkatapos ay makakakuha tayo ng: .

Matapos nating malaman kung ano ang ibig sabihin ng hatiin ang segment sa bagay na ito, magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa mga praktikal na problema.

Kung ang dalawang punto ng eroplano ay kilala, kung gayon ang mga coordinate ng punto na naghahati sa segment na may kaugnayan sa ay ipinahayag ng mga formula:

Saan nagmula ang mga formula na ito? Sa kurso ng analytic geometry, ang mga formula na ito ay mahigpit na hinango gamit ang mga vectors (saan tayo kung wala sila? =)). Bilang karagdagan, ang mga ito ay may bisa hindi lamang para sa Cartesian coordinate system, ngunit para din sa isang arbitrary affine coordinate system (tingnan ang aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector). Ganyan ang unibersal na gawain.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga coordinate ng punto na naghahati sa segment na may kaugnayan sa , kung ang mga puntos ay kilala

Desisyon: Sa problemang ito. Ayon sa mga pormula para sa paghahati ng segment sa bagay na ito, nakita namin ang punto:

Sagot:

Bigyang-pansin ang pamamaraan ng pagkalkula: una kailangan mong hiwalay na kalkulahin ang numerator at hiwalay ang denominator. Ang resulta ay madalas (ngunit hindi palaging) isang fraction na tatlo o apat na palapag. Pagkatapos nito, inaalis namin ang multi-storey fraction at isinasagawa ang mga pangwakas na pagpapasimple.

Ang gawain ay hindi nangangailangan ng isang pagguhit, ngunit ito ay palaging kapaki-pakinabang upang makumpleto ito sa isang draft:

Sa katunayan, ang kaugnayan ay nasiyahan, iyon ay, ang segment ay tatlong beses na mas maikli kaysa sa segment . Kung ang proporsyon ay hindi halata, kung gayon ang mga segment ay maaaring palaging stupidly sinusukat sa isang ordinaryong ruler.

Katumbas pangalawang paraan ng paglutas: sa loob nito, magsisimula ang countdown sa isang punto at patas ang kaugnayan: (sa mga salita ng tao, ang segment ay tatlong beses na mas mahaba kaysa sa segment). Ayon sa mga formula para sa paghahati ng isang segment sa bagay na ito:

Sagot:

Tandaan na sa mga formula kinakailangan na ilipat ang mga coordinate ng punto sa unang lugar, dahil nagsimula ang maliit na thriller dito.

Makikita rin na ang pangalawang paraan ay mas makatwiran dahil sa mas simpleng mga kalkulasyon. Ngunit gayon pa man, ang problemang ito ay madalas na nalutas sa "tradisyonal" na pagkakasunud-sunod. Halimbawa, kung ang isang segment ay ibinigay ayon sa kundisyon, pagkatapos ay ipinapalagay na bubuo ka ng isang proporsyon, kung ang isang segment ay ibinigay, kung gayon ang "tacitly" ay nangangahulugang proporsyon.

At binanggit ko ang pangalawang paraan sa kadahilanang madalas nilang sinusubukan na sadyang malito ang kalagayan ng problema. Iyon ang dahilan kung bakit napakahalaga na magsagawa ng draft na pagguhit sa pagkakasunud-sunod, una, upang pag-aralan nang tama ang kondisyon, at, pangalawa, para sa mga layunin ng pag-verify. Nakakahiyang magkamali sa simpleng gawain.

Halimbawa 2

Binigyan ng puntos . Hanapin:

a) isang punto na naghahati sa segment na may paggalang sa ;
b) isang punto na naghahati sa segment na may kaugnayan sa .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Minsan may mga problema kung saan hindi alam ang isa sa mga dulo ng segment:

Halimbawa 3

Ang punto ay kabilang sa segment. Ito ay kilala na ang segment ay dalawang beses ang haba kaysa sa segment. Humanap ng punto kung .

Desisyon: Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na ang punto ay naghahati sa segment na may kaugnayan sa , pagbibilang mula sa itaas, iyon ay, ang proporsyon ay wasto: . Ayon sa mga formula para sa paghahati ng isang segment sa bagay na ito:

Ngayon hindi namin alam ang mga coordinate ng punto : , ngunit hindi ito isang partikular na problema, dahil madali silang maipahayag mula sa mga formula sa itaas. Sa pangkalahatang mga termino, hindi nagkakahalaga ng pagpapahayag ng anuman, mas madaling palitan ang mga tiyak na numero at maingat na makitungo sa mga kalkulasyon:

Sagot:

Upang suriin, maaari mong kunin ang mga dulo ng segment at, gamit ang mga formula sa direktang pagkakasunud-sunod, siguraduhin na ang ratio ay talagang nagiging isang punto. At, siyempre, siyempre, ang isang pagguhit ay hindi magiging labis. At upang sa wakas ay makumbinsi ka sa mga benepisyo ng isang checkered notebook, isang simpleng lapis at isang ruler, nagmumungkahi ako ng isang nakakalito na gawain para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 4

tuldok . Ang segment ay isa at kalahating beses na mas maikli kaysa sa segment . Maghanap ng isang punto kung ang mga coordinate ng mga puntos ay kilala .

Solusyon sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi lamang isa, kung pupunta ka sa ibang paraan mula sa sample, kung gayon hindi ito magiging isang pagkakamali, ang pangunahing bagay ay ang mga sagot ay tumutugma.

Para sa mga spatial na segment, ang lahat ay eksaktong pareho, isa pang coordinate ang idaragdag.

Kung ang dalawang punto sa espasyo ay kilala, kung gayon ang mga coordinate ng punto na naghahati sa segment na may kaugnayan sa ay ipinahayag ng mga formula:
.

Halimbawa 5

Binibigyan ng mga puntos. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto na kabilang sa segment kung ito ay kilala na .

Desisyon: Ang kaugnayan ay sumusunod mula sa kondisyon: . Ang halimbawang ito ay kinuha mula sa isang tunay na pagsubok, at pinahintulutan ng may-akda nito ang kanyang sarili ng isang maliit na kalokohan (biglang may natitisod) - mas makatwiran na isulat ang proporsyon sa kondisyong tulad nito: .

Ayon sa mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment:

Sagot:

Ang mga three-dimensional na drawing para sa mga layunin ng pag-verify ay mas mahirap gawin. Gayunpaman, maaari kang palaging gumawa ng isang schematic drawing upang maunawaan ang hindi bababa sa kundisyon - kung aling mga segment ang kailangang iugnay.

Kung tungkol sa mga fraction sa sagot, huwag magtaka, ito ay karaniwan. Sinabi ko ito ng maraming beses, ngunit inuulit ko: sa mas mataas na matematika ay kaugalian na gumamit ng ordinaryong regular at hindi wastong mga praksyon. Sagot sa form gagawin, ngunit ang variant na may mga hindi wastong fraction ay mas karaniwan.

Warm-up na gawain para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 6

Binibigyan ng mga puntos. Hanapin ang mga coordinate ng punto kung alam na hinahati nito ang segment na may kinalaman sa .

Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Kung mahirap i-orient sa mga proporsyon, gumawa ng isang eskematiko na pagguhit.

Sa mga gawaing independyente at kontrol, ang mga itinuturing na halimbawa ay matatagpuan sa kanilang sarili at bilang isang mahalagang bahagi ng mas malalaking gawain. Sa ganitong kahulugan, ang problema sa paghahanap ng sentro ng grabidad ng isang tatsulok ay tipikal.

Wala akong nakikitang punto sa pagsusuri ng isang uri ng gawain kung saan hindi alam ang isa sa mga dulo ng segment, dahil ang lahat ay magmumukhang flat case, maliban na may kaunti pang mga kalkulasyon. Mas mahusay na tandaan ang mga taon ng paaralan:

Mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment

Kahit na ang hindi handa na mga mambabasa ay maaalala kung paano hatiin ang isang segment sa kalahati. Ang gawain ng paghahati ng isang segment sa dalawang pantay na bahagi ay isang espesyal na kaso ng paghahati ng isang segment sa bagay na ito. Gumagana ang dalawang-kamay na saw sa pinakademokratikong paraan, at ang bawat kapitbahay sa desk ay nakakakuha ng parehong stick:

Sa solemne oras na ito, ang mga tambol ay pumuputok, sumasaludo sa malaking proporsyon. At mga pangkalahatang formula himalang nabago sa isang bagay na pamilyar at simple:

Ang isang maginhawang sandali ay ang katotohanan na ang mga coordinate ng mga dulo ng segment ay maaaring walang sakit na muling ayusin:

Sa mga pangkalahatang formula, ang gayong marangyang numero, tulad ng naiintindihan mo, ay hindi gumagana. Oo, at dito walang espesyal na pangangailangan para dito, kaya, isang kaaya-ayang bagay.

Para sa spatial na kaso, ang isang malinaw na pagkakatulad ay wasto. Kung ang mga dulo ng segment ay ibinigay, kung gayon ang mga coordinate ng gitna nito ay ipinahayag ng mga formula:

Halimbawa 7

Ang parallelogram ay ibinibigay ng mga coordinate ng mga vertices nito. Hanapin ang punto ng intersection ng mga diagonal nito.

Desisyon: Ang mga nais ay maaaring kumpletuhin ang pagguhit. Lalo kong inirerekumenda ang graffiti sa mga ganap na nakalimutan ang kursong geometry ng paaralan.

Ayon sa isang kilalang ari-arian, ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nahahati sa kalahati ng kanilang intersection point, kaya ang problema ay maaaring malutas sa dalawang paraan.

Pamamaraan isa: Isaalang-alang ang kabaligtaran na mga vertex . Gamit ang mga formula para sa paghahati ng isang segment sa kalahati, nakita namin ang midpoint ng dayagonal:

Paano hanapin ang mga coordinate ng midpoint ng isang segment
Una, alamin natin kung ano ang gitna ng segment.
Ang midpoint ng isang segment ay itinuturing na isang punto na kabilang sa segment na ito at nasa parehong distansya mula sa mga dulo nito.

Ang mga coordinate ng naturang punto ay madaling mahanap kung ang mga coordinate ng mga dulo ng segment na ito ay kilala. Sa kasong ito, ang mga coordinate ng gitna ng segment ay magiging katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga kaukulang coordinate ng mga dulo ng segment.
Ang mga coordinate ng midpoint ng isang segment ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema sa median, midline, atbp.
Isaalang-alang ang pagkalkula ng mga coordinate ng gitna ng segment para sa dalawang kaso: kapag ang segment ay ibinigay sa eroplano at ibinigay sa espasyo.
Hayaang ibigay ang segment sa eroplano ng dalawang puntos na may mga coordinate at . Pagkatapos ang mga coordinate ng gitna ng segment ng PH ay kinakalkula ng formula:

Hayaang ibigay ang segment sa espasyo ng dalawang puntos na may mga coordinate at . Pagkatapos ang mga coordinate ng gitna ng segment ng PH ay kinakalkula ng formula:

Halimbawa.
Hanapin ang mga coordinate ng punto K - sa gitna ng MO, kung M (-1; 6) at O ​​(8; 5).

Desisyon.
Dahil ang mga punto ay may dalawang coordinate, nangangahulugan ito na ang segment ay ibinigay sa eroplano. Ginagamit namin ang kaukulang mga formula:

Dahil dito, ang gitna ng MO ay magkakaroon ng mga coordinate K (3.5; 5.5).

Sagot. K (3.5; 5.5).

Hindi gumagawa ng anumang trabaho. Upang kalkulahin ang mga ito, mayroong isang simpleng expression na madaling matandaan. Halimbawa, kung ang mga coordinate ng mga dulo ng isang segment ay ayon sa pagkakabanggit (x1; y1) at (x2; y2), ayon sa pagkakabanggit, ang mga coordinate ng gitna nito ay kinakalkula bilang arithmetic mean ng mga coordinate na ito, iyon ay:

Iyon ang buong kahirapan.
Isaalang-alang ang pagkalkula ng mga coordinate ng gitna ng isa sa mga segment sa isang partikular na halimbawa, tulad ng iyong tinanong.

Gawain.
Hanapin ang mga coordinate ng isang tiyak na punto M kung ito ay ang midpoint (gitna) ng segment na KR, ang mga dulo nito ay may mga sumusunod na coordinate: (-3; 7) at (13; 21), ayon sa pagkakabanggit.

Desisyon.
Ginagamit namin ang formula sa itaas:

Sagot. M (5; 14).

Gamit ang formula na ito, mahahanap mo rin hindi lamang ang mga coordinate ng gitna ng isang segment, kundi pati na rin ang mga dulo nito. Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Gawain.
Ang mga coordinate ng dalawang puntos (7; 19) at (8; 27) ay ibinibigay. Hanapin ang mga coordinate ng isa sa mga dulo ng segment kung ang nakaraang dalawang puntos ay ang dulo at gitna nito.

Desisyon.
Tukuyin natin ang mga dulo ng segment bilang K at P, at ang gitna nito bilang S. Isulat muli natin ang formula na isinasaalang-alang ang mga bagong pangalan:

Palitan ang mga kilalang coordinate at kalkulahin ang mga indibidwal na coordinate: