Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga Random na variable".
Gawain 1 . Mayroong 100 tiket na inisyu sa lottery. Isang panalo na 50 USD ang nilaro. at sampung panalo ng $10 bawat isa. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng halaga X - ang halaga ng isang posibleng pakinabang.
Desisyon. Mga posibleng halaga ng X: x 1 = 0; x 2 = 10 at x 3 = 50. Dahil mayroong 89 na "walang laman" na mga tiket, pagkatapos ay p 1 = 0.89, ang posibilidad na manalo ay 10 c.u. (10 tiket) – p 2 = 0.10 at para sa isang panalo ng 50 c.u. –p 3 = 0.01. kaya:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Madaling kontrolin: .
Gawain 2. Ang posibilidad na ang mamimili ay pamilyar sa kanyang sarili sa advertisement ng produkto nang maaga ay 0.6 (p = 0.6). Ang pagpili ng kontrol sa kalidad ng advertising ay isinasagawa ng mga mamimili ng botohan bago ang unang nag-aral ng patalastas nang maaga. Gumawa ng isang serye ng pamamahagi ng bilang ng mga nakapanayam na mamimili.
Desisyon. Ayon sa kondisyon ng problema p = 0.6. Mula sa: q=1 -p = 0.4. Ang pagpapalit sa mga halagang ito, nakukuha namin: at bumuo ng isang serye ng pamamahagi:
|
pi |
0,24 |
Gawain 3. Ang isang computer ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating: isang system unit, isang monitor, at isang keyboard. Sa isang solong matalim na pagtaas sa boltahe, ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay 0.1. Batay sa distribusyon ng Bernoulli, buuin ang batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa panahon ng power surge sa network.
Desisyon. Isipin mo Pamamahagi ng Bernoulli(o binomial): ang posibilidad na sa n mga pagsubok, eksaktong lilitaw ang kaganapan A k minsan: 
, o:
|
q n |
p n |
AT balik tayo sa gawain.
Mga posibleng halaga ng X (bilang ng mga pagkabigo):
x 0 =0 - wala sa mga elemento ang nabigo;
x 1 =1 - pagkabigo ng isang elemento;
x 2 =2 - pagkabigo ng dalawang elemento;
x 3 =3 - kabiguan ng lahat ng elemento.
Dahil, ayon sa kondisyon, p = 0.1, pagkatapos q = 1 – p = 0.9. Gamit ang Bernoulli formula, nakukuha natin
, ,
, .
Ang kontrol: .
Samakatuwid, ang nais na batas sa pamamahagi:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Gawain 4. Nakagawa ng 5000 rounds. Ang posibilidad na ang isang cartridge ay may depekto 
. Ano ang posibilidad na magkakaroon ng eksaktong 3 may sira na cartridge sa buong batch?
Desisyon. Naaangkop Pamamahagi ng Poisson: ang distribusyon na ito ay ginagamit upang matukoy ang posibilidad na, na ibinigay ng isang napakalaking
bilang ng mga pagsubok (mass trials), sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng kaganapan A ay napakaliit, ang kaganapan A ay magaganap ng k beses: 
, saan .
Dito n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. Nahanap namin , pagkatapos ay ang nais na posibilidad: 
.
Gawain 5. Kapag nagpaputok bago ang unang tama na may posibilidad na tamaan ang p = 0.6 para sa isang shot, kailangan mong hanapin ang posibilidad na ang hit ay magaganap sa ikatlong shot.
Desisyon. Ilapat natin ang geometric distribution: hayaang gumawa ng mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang kaganapan A ay may posibilidad ng paglitaw p (at hindi pangyayari q = 1 - p). Matatapos ang mga pagsubok sa sandaling mangyari ang event A.
Sa ilalim ng ganitong mga kundisyon, ang posibilidad na mangyari ang kaganapan A sa kth na pagsubok ay tinutukoy ng formula: . Dito p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. Samakatuwid, .
Gawain 6. Hayaang ibigay ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X:
Hanapin ang mathematical na inaasahan.
Desisyon. .
Tandaan na ang probabilistic na kahulugan ng mathematical na inaasahan ay ang average na halaga ng isang random variable.
Gawain 7. Hanapin ang pagkakaiba ng isang random na variable X na may sumusunod na batas sa pamamahagi:
Desisyon. Dito .
Ang batas ng pamamahagi ng parisukat ng X 2 :
|
X 2 |
|||
Kinakailangang pagkakaiba: .
Ang dispersion ay nagpapakilala sa antas ng paglihis (scattering) ng isang random na variable mula sa inaasahan nito sa matematika.
Gawain 8. Hayaang ibigay ang random na variable ng pamamahagi:
|
10m |
|||
Hanapin ang mga numerical na katangian nito.
Solusyon: m, m 2 ,
M 2 , m.
Tungkol sa isang random na variable X, masasabi ng isa - ang inaasahan sa matematika nito ay 6.4 m na may pagkakaiba-iba na 13.04 m 2 , o - ang mathematical expectation nito ay 6.4 m na may deviation na m. Ang pangalawang pagbabalangkas ay malinaw na mas malinaw.
Gawain 9.
Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi: 
.
Hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang halaga ng X ay kukuha sa isang halaga na nasa pagitan 
.
Desisyon. Ang posibilidad na ang X ay kukuha ng isang halaga mula sa isang naibigay na pagitan ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa pagitan na ito, i.e. . Sa aming kaso at , samakatuwid
.
Gawain 10. Discrete random variable X ibinigay ng batas sa pamamahagi:
Maghanap ng function ng pamamahagi F(x ) at buuin ang graph nito.
Desisyon. Dahil ang distribution function
para sa 
, pagkatapos
sa ;
sa ;
sa ;
sa ;
Kaugnay na tsart:
Gawain 11. Patuloy na random variable X ibinigay ng differential distribution function: 
.
Hanapin ang posibilidad ng pagtama X sa pagitan
Desisyon. Tandaan na ito ay isang espesyal na kaso ng exponential distribution law.
Gamitin natin ang formula: 
.
Gawain 12. Hanapin ang mga numerical na katangian ng isang discrete random variable X na ibinigay ng distribution law:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
ay ang Laplace function.Sa pagkakaalam, random variable ay tinatawag na variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga - sa pamamagitan ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.
Discrete random variable ay tinatawag na random variable na kumukuha lamang ng finite o infinite (countable) set of values na may ilang non-zero probabilities.
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang mga katumbas na probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.
1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:
kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .
sa) sa pamamagitan ng function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat value x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng value na mas mababa sa x, i.e. F(x) = P(X< x).
Mga katangian ng function F(x)
3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring itakda nang graphical – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).
Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema, hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o higit pang mga numero na nagpapakita ng pinakamahalagang katangian ng batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable.
Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable :
- Pag-asa sa matematika
(mean value) ng isang discrete random variable M(X)=Σ x i p i.
Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ - Pagpapakalat
discrete random variable D(X)=M2 o D(X) = M(X 2) − 2. Ang pagkakaiba ng X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ - Karaniwang lihis (karaniwang lihis) σ(X)=√D(X).
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"
Gawain 1.
1,000 lottery ticket ang naibigay: 5 sa kanila ang mananalo ng 500 rubles, 10 ang mananalo ng 100 rubles, 20 ang mananalo ng 50 rubles, at 50 ang mananalo ng 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.
Desisyon. Ayon sa kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.
Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 - (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Sa katulad na paraan, makikita natin ang lahat ng iba pang probabilities: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipinakita namin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:
Hanapin ang mathematical na inaasahan ng X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Gawain 3.
Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng pagpapatakbo. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.
Desisyon. 1. Ang discrete random variable X=(bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 \u003d 3 (tatlong elemento ang nabigo).
Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay katumbas ng bawat isa, samakatuwid, ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli
. Dahil, sa pamamagitan ng kundisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Kaya, ang gustong binomial distribution law X ay may anyo:
Sa abscissa axis, inilalagay namin ang mga posibleng halaga x i, at sa ordinate axis, ang kaukulang probabilities р i . Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Ikinonekta ang mga puntong ito sa mga segment ng linya, makuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.
3. Hanapin ang distribution function F(x) = P(X
Para sa x ≤ 0 mayroon tayong F(x) = P(X<0) = 0;para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 ito ay magiging F(x) = 1, dahil tiyak ang kaganapan.
 |
Graph ng function na F(x)
4.
Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersion D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
Desisyon.
Ang posibilidad na walang coat of arms ang nahulog: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Ang posibilidad na tatlong coat of arms ang nahulog: P(3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125
Batas sa pamamahagi ng isang random na variable X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Halimbawa #2. Ang posibilidad na matamaan ang target ng isang tagabaril na may isang pagbaril para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawang tagabaril - 0.85. Nagpaputok ng isang putok ang mga bumaril sa target. Ipagpalagay na naabot ang target para sa mga indibidwal na shooter bilang mga independiyenteng kaganapan, hanapin ang posibilidad ng kaganapang A - eksaktong isang hit sa target.
Desisyon.
Isaalang-alang ang kaganapan A - isang hit sa target. Ang mga posibleng paglitaw ng kaganapang ito ay ang mga sumusunod:
- Unang natamaan ng tagabaril, hindi nakuha ang pangalawang tagabaril: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Ang unang tagabaril ay hindi nakuha, ang pangalawang tagabaril ay tumama sa target: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Independyenteng naabot ng una at pangalawang shooter ang target: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Maaari nating isa-isahin ang mga pinakakaraniwang batas ng pamamahagi ng mga discrete random variable:
- Binomial distribution law
- Batas sa pamamahagi ng Poisson
- Batas sa pamamahagi ng geometriko
- Batas sa pamamahagi ng hypergeometric
Para sa mga ibinigay na distribusyon ng mga discrete random variable, ang pagkalkula ng mga probabilidad ng kanilang mga halaga, pati na rin ang mga numerical na katangian (pang-matematika na inaasahan, pagkakaiba, atbp.) ay isinasagawa ayon sa ilang "mga formula". Samakatuwid, napakahalagang malaman ang mga ganitong uri ng pamamahagi at ang kanilang mga pangunahing katangian.
1. Binomial distribution law.
Ang isang discrete random variable na $X$ ay napapailalim sa binomial probability distribution kung kukuha ito ng mga value na $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kaliwa(1-p\kanan))^(n-k)$. Sa katunayan, ang random na variable na $X$ ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapang $A$ sa $n$ na mga independiyenteng pagsubok. Batas sa pamamahagi ng probabilidad para sa random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
Para sa gayong random na variable, ang inaasahan ay $M\left(X\right)=np$, ang variance ay $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Halimbawa . May dalawang anak sa pamilya. Ipagpalagay na ang mga probabilidad ng kapanganakan ng isang lalaki at isang babae ay katumbas ng $0.5$, hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $\xi $ - ang bilang ng mga lalaki sa pamilya.
Hayaang ang random variable na $\xi $ ang bilang ng mga lalaki sa pamilya. Ang mga halaga na maaaring kunin ng $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula na $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kung saan $n =2$ - bilang ng mga independiyenteng pagsubok, $p=0.5$ - posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa isang serye ng $n$ na pagsubok. Nakukuha namin ang:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$
Kung gayon ang batas sa pamamahagi ng random variable na $\xi $ ay ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halaga $0,\ 1,\ 2$ at ang kanilang mga probabilities, i.e.:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(array)$
Ang kabuuan ng mga probabilidad sa batas sa pamamahagi ay dapat na katumbas ng $1$, ibig sabihin, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.
Inaasahan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variance $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, karaniwang deviation $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.
2. Batas sa pamamahagi ng Poisson.
Kung ang isang discrete random variable na $X$ ay maaari lamang kumuha ng mga non-negative integer values $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities na $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Magkomento. Ang kakaiba ng distribusyon na ito ay, batay sa pang-eksperimentong data, makikita natin ang mga pagtatantya na $M\kaliwa(X\kanan),\ D\kaliwa(X\kanan)$, kung ang mga nakuhang pagtatantya ay malapit sa isa't isa, kung gayon kami may dahilan upang igiit na ang random variable ay napapailalim sa Poisson distribution law.
Halimbawa . Ang mga halimbawa ng mga random na variable na napapailalim sa batas sa pamamahagi ng Poisson ay maaaring: ang bilang ng mga sasakyan na serbisyuhan bukas ng isang gasolinahan; ang bilang ng mga may sira na bagay sa ginawang produkto.
Halimbawa . Nagpadala ang planta ng $500$ ng mga produkto sa base. Ang posibilidad ng pagkasira ng produkto sa pagpapadala ay $0.002$. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X$ na katumbas ng bilang ng mga nasirang produkto; na katumbas ng $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Hayaan ang isang discrete random variable na $X$ ang bilang ng mga nasirang produkto. Ang nasabing random na variable ay napapailalim sa Poisson distribution law na may parameter na $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Ang mga probabilidad ng mga halaga ay $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Ang batas sa pamamahagi ng random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Para sa gayong random na variable, ang mathematical expectation at variance ay katumbas ng isa't isa at katumbas ng parameter na $\lambda $, ibig sabihin, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
3. Geometric na batas ng pamamahagi.
Kung ang isang discrete random variable na $X$ ay maaari lamang kumuha ng mga natural na halaga $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, pagkatapos ay sasabihin namin na ang gayong random na variable na $X$ ay napapailalim sa geometric law ng probability distribution. Sa katunayan, ang geometric distribution ay lumilitaw na mga pagsubok ni Bernoulli sa unang tagumpay.
Halimbawa . Ang mga halimbawa ng mga random na variable na may geometric distribution ay maaaring: ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target; bilang ng mga pagsubok ng aparato bago ang unang pagkabigo; ang bilang ng mga coin tosses bago ang unang heads up, at iba pa.
Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang random na variable na paksa sa isang geometric distribution ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\ kanan)/p^ 2$.
Halimbawa . Sa paraan ng paggalaw ng isda patungo sa lugar ng pangingitlog ay mayroong $4$ lock. Ang posibilidad ng isang isda na dumaan sa bawat kandado ay $p=3/5$. Bumuo ng serye ng pamamahagi ng random variable na $X$ - ang bilang ng mga kandado na ipinasa ng isda bago ang unang paghinto sa lock. Hanapin ang $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Hayaang ang random variable na $X$ ang bilang ng mga sluices na dinaanan ng isda bago ang unang stop sa sluice. Ang nasabing random variable ay napapailalim sa geometric law ng probability distribution. Ang mga halaga na maaaring kunin ng random variable na $X ay: 1, 2, 3, 4. Ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay kinakalkula ng formula: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, kung saan: $ p=2/5$ - posibilidad na mahuli ang isda sa pamamagitan ng kandado, $q=1-p=3/5$ - posibilidad na dumaan ang isda sa kandado, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over(5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ mahigit (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$
Inaasahang halaga:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
pagpapakalat:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ kaliwa(1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kaliwa(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kaliwa(3-2,176\kanan))^2+$
$+\ 0.216\cdot (\kaliwa(4-2.176\kanan))^2\approx 1.377.$
Karaniwang lihis:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$
4. Batas sa pamamahagi ng hypergeometric.
Kung mayroong $N$ na mga bagay, kung saan ang $m$ na mga bagay ay may ibinigay na katangian. Random, nang walang kapalit, ang mga $n$ na bagay ay kinukuha, kung saan mayroong mga $k$ na bagay na may ibinigay na pag-aari. Ginagawang posible ng hypergeometric distribution na matantya ang posibilidad na ang eksaktong $k$ na mga bagay sa isang sample ay may ibinigay na katangian. Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga bagay sa sample na may ibinigay na property. Pagkatapos ang mga probabilidad ng mga halaga ng random variable na $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Magkomento. Ang HYPERGEOMET statistical function ng Excel $f_x$ Function Wizard ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang posibilidad na ang isang tiyak na bilang ng mga pagsubok ay magiging matagumpay.
$f_x\to $ istatistika$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. May lalabas na dialog box na kailangan mong punan. Sa graph Bilang_ng_mga_tagumpay_sa_sample tukuyin ang halaga ng $k$. sample_size katumbas ng $n$. Sa graph Bilang_ng_tagumpay_sa_populasyon tukuyin ang halaga ng $m$. Laki ng populasyon katumbas ng $N$.
Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang discrete random variable na $X$ na napapailalim sa isang geometric distribution law ay $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Halimbawa . Ang departamento ng kredito ng bangko ay gumagamit ng 5 mga espesyalista na may mas mataas na edukasyon sa pananalapi at 3 mga espesyalista na may mas mataas na legal na edukasyon. Nagpasya ang pamamahala ng bangko na magpadala ng 3 mga espesyalista para sa advanced na pagsasanay, na pinipili sila nang random.
a) Gumawa ng serye ng pamamahagi ng bilang ng mga espesyalista na may mas mataas na edukasyon sa pananalapi na maaaring ituro sa advanced na pagsasanay;
b) Hanapin ang mga numerical na katangian ng distribusyon na ito.
Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga espesyalista na may mas mataas na edukasyong pinansyal sa tatlong napili. Mga value na maaaring kunin ng $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ang random variable na ito na $X$ ay ipinamamahagi ayon sa hypergeometric distribution na may mga sumusunod na parameter: $N=8$ - laki ng populasyon, $m=5$ - bilang ng mga tagumpay sa populasyon, $n=3$ - laki ng sample, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - bilang ng mga tagumpay sa sample. Pagkatapos ay ang mga probabilities na $P\left(X=k\right)$ ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ higit sa C_( N)^(n) ) $. Meron kami:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$
Pagkatapos ang serye ng pamamahagi ng random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(array)$
Kalkulahin natin ang mga numerical na katangian ng random variable na $X$ gamit ang mga pangkalahatang formula ng hypergeometric distribution.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\kanan))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$
BATAS NG DISTRIBUSI AT MGA KATANGIAN
MGA RANDOM NA HALAGA
Random na mga variable, ang kanilang pag-uuri at mga pamamaraan ng paglalarawan.
Ang random na halaga ay isang dami na, bilang resulta ng isang eksperimento, ay maaaring tumagal sa isa o ibang halaga, ngunit kung alin ang hindi alam nang maaga. Para sa isang random na variable, samakatuwid, ang mga halaga lamang ang maaaring tukuyin, kung saan ang isa ay kinakailangan bilang isang resulta ng eksperimento. Ang mga halagang ito ay tatawagin bilang posibleng mga halaga ng random variable. Dahil ang isang random na variable ay nailalarawan sa dami ng random na resulta ng isang eksperimento, maaari itong ituring bilang isang quantitative na katangian ng isang random na kaganapan.
Ang mga random na variable ay karaniwang tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin, halimbawa, X..Y..Z, at ang kanilang mga posibleng halaga sa pamamagitan ng kaukulang maliliit na titik.
Mayroong tatlong uri ng mga random na variable:
discrete; Tuloy-tuloy; Magkakahalo.
discrete tinatawag ang gayong random na variable, ang bilang ng mga posibleng halaga na bumubuo ng isang mabibilang na hanay. Sa turn, ang countable set ay isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin. Ang salitang "discrete" ay nagmula sa Latin na discretus, na nangangahulugang "discontinuous, na binubuo ng magkakahiwalay na bahagi."
Halimbawa 1. Ang isang discrete random variable ay ang bilang ng mga may sira na bahagi X sa isang batch ng nfl. Sa katunayan, ang mga posibleng halaga ng random variable na ito ay isang serye ng mga integer mula 0 hanggang n.
Halimbawa 2. Ang isang discrete random variable ay ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target. Dito, tulad ng sa Halimbawa 1, ang mga posibleng halaga ay maaaring bilangin, kahit na sa paglilimita ng kaso ang posibleng halaga ay isang walang katapusang malaking numero.
tuloy-tuloy tinatawag ang isang random na variable, ang mga posibleng halaga kung saan patuloy na pinupuno ang isang tiyak na agwat ng numerical axis, kung minsan ay tinatawag na agwat ng pagkakaroon ng random variable na ito. Kaya, sa anumang may hangganang pagitan ng pagkakaroon, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan na malaki.
Halimbawa 3. Ang tuluy-tuloy na random variable ay ang pagkonsumo ng kuryente sa negosyo sa loob ng isang buwan.
Halimbawa 4. Ang tuluy-tuloy na random variable ay ang error sa pagsukat ng taas gamit ang altimeter. Ipaalam ito mula sa prinsipyo ng pagpapatakbo ng altimeter na ang error ay nasa saklaw mula 0 hanggang 2 m. Samakatuwid, ang pagitan ng pagkakaroon ng random variable na ito ay ang pagitan mula 0 hanggang 2 m.
Batas ng pamamahagi ng mga random na variable.
Ang isang random na variable ay itinuturing na ganap na tinukoy kung ang mga posibleng halaga nito ay ipinahiwatig sa numerical axis at ang batas ng pamamahagi ay itinatag.
Ang batas ng pamamahagi ng isang random variable ay tinatawag na isang relasyon na nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kaukulang probabilities.
Ang isang random na variable ay sinasabing ibinahagi ayon sa isang ibinigay na batas, o napapailalim sa isang ibinigay na batas sa pamamahagi. Ang isang bilang ng mga probabilities, isang distribution function, isang probability density, isang katangian na function ay ginagamit bilang mga batas sa pamamahagi.
Ang batas sa pamamahagi ay nagbibigay ng kumpletong posibleng paglalarawan ng isang random na variable. Ayon sa batas ng pamamahagi, posibleng hatulan bago maranasan kung aling mga posibleng halaga ng isang random na variable ang lilitaw nang mas madalas, at kung alin ang mas madalas.
Para sa isang discrete random variable, ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay sa anyo ng isang talahanayan, analytically (sa anyo ng isang formula) at graphical.
Ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang table (matrix), na naglilista sa pataas na pagkakasunud-sunod ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random variable at ang kanilang mga kaukulang probabilities, i.e.
Ang nasabing talahanayan ay tinatawag na isang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable. isa
Mga Kaganapan X 1 , X 2 ,..., X n , na binubuo sa katotohanan na, bilang resulta ng pagsubok, kukunin ng random variable X ang mga halaga x 1 , x 2 ,... x n, ayon sa pagkakabanggit, ay hindi pare-pareho at ang tanging posible (dahil ang talahanayan ay naglilista ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable), i.e. bumuo ng isang kumpletong grupo. Samakatuwid, ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng 1. Kaya, para sa anumang discrete random variable
(Ang yunit na ito ay ibinahagi sa anumang paraan sa mga halaga ng random na variable, kaya ang terminong "distribusyon").
Ang isang serye ng pamamahagi ay maaaring ipakita nang grapiko kung ang mga halaga ng isang random na variable ay naka-plot sa kahabaan ng abscissa axis, at ang kanilang mga katumbas na probabilities kasama ang ordinate axis. Ang koneksyon ng mga nakuhang puntos ay bumubuo ng isang putol na linya, na tinatawag na polygon o polygon ng probability distribution (Fig. 1).
Halimbawa Ang lottery ay nilalaro: isang kotse na nagkakahalaga ng 5000 den. mga unit, 4 na TV na nagkakahalaga ng 250 den. unit, 5 VCR na nagkakahalaga ng 200 den. mga yunit Sa kabuuan, 1000 tiket ang naibenta para sa 7 den. mga yunit Bumuo ng batas ng pamamahagi ng mga netong panalo na natanggap ng kalahok sa lottery na bumili ng isang tiket.
Desisyon. Ang mga posibleng halaga ng random variable X - netong panalo sa bawat tiket - ay 0-7 = -7 den. mga yunit (kung hindi nanalo ang ticket), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. mga yunit (kung nanalo ang tiket sa VCR, TV o kotse, ayon sa pagkakabanggit). Dahil sa 1000 na mga tiket ang bilang ng mga hindi nanalo ay 990, at ang ipinahiwatig na mga panalo ay 5, 4 at 1, ayon sa pagkakabanggit, at gamit ang klasikal na kahulugan ng posibilidad, nakukuha natin.
