Ang mga monoyal ay isa sa mga pangunahing uri ng mga expression na pinag-aralan bilang bahagi ng kursong algebra ng paaralan. Sa materyal na ito, sasabihin namin sa iyo kung ano ang mga expression na ito, tukuyin ang kanilang karaniwang anyo at ipakita ang mga halimbawa, pati na rin ang pakikitungo sa mga nauugnay na konsepto, tulad ng antas ng isang monomial at ang koepisyent nito.
Ano ang monomial
Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay karaniwang nagbibigay ng sumusunod na kahulugan ng konseptong ito:
Kahulugan 1
Kabilang sa mga monomer mga numero, variable, pati na rin ang kanilang mga degree na may natural na indicator, at iba't ibang uri ng mga produkto na binubuo ng mga ito.
Batay sa depinisyon na ito, maaari tayong magbigay ng mga halimbawa ng gayong mga ekspresyon. Kaya, ang lahat ng mga numero 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 ay tumutukoy sa mga monomial. Ang lahat ng mga variable, halimbawa, x , a , b , p , q , t , y , z ay magiging monomials din ayon sa kahulugan. Kasama rin dito ang mga kapangyarihan ng mga variable at numero, halimbawa, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 at t 15, pati na rin ang mga expression tulad ng 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z atbp. Pakitandaan na ang isang monomial ay maaaring magsama ng alinman sa isang numero o variable, o ilan, at maaari silang banggitin nang ilang beses bilang bahagi ng isang polynomial.
Ang mga ganitong uri ng numero gaya ng mga integer, rational, natural ay nabibilang din sa monomials. Maaari mo ring isama ang tunay at kumplikadong mga numero dito. Kaya, ang mga expression tulad ng 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 ay magiging monomials din.
Ano ang karaniwang anyo ng isang monomial at kung paano i-convert ang isang expression dito
Para sa kaginhawaan ng trabaho, ang lahat ng monomial ay unang nabawasan sa isang espesyal na anyo, na tinatawag na pamantayan. Maging tiyak tayo tungkol sa kung ano ang ibig sabihin nito.
Kahulugan 2
Ang karaniwang anyo ng monomial tinatawag nila itong isang anyo kung saan ito ay produkto ng isang numerical factor at natural na kapangyarihan ng iba't ibang mga variable. Ang numerical factor, na tinatawag ding monomial coefficient, ay karaniwang isinusulat muna mula sa kaliwang bahagi.
Para sa kalinawan, pumili kami ng ilang monomial ng karaniwang anyo: 6 (ito ay isang monomial na walang mga variable), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Kasama rin dito ang pagpapahayag x y(dito ang coefficient ay magiging katumbas ng 1), − x 3(narito ang koepisyent ay - 1).
Ngayon ay nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga monomial na kailangang dalhin sa karaniwang anyo: 4 a 2 a 3(dito kailangan mong pagsamahin ang parehong mga variable), 5 x (− 1) 3 y 2(dito kailangan mong pagsamahin ang mga numerical factor sa kaliwa).
Karaniwan, sa kaso kapag ang isang monomial ay may ilang mga variable na nakasulat sa mga titik, ang mga salik ng titik ay nakasulat sa alpabetikong pagkakasunud-sunod. Halimbawa, ang ginustong entry 6 a b 4 c z 2, paano b 4 6 a z 2 c. Gayunpaman, maaaring iba ang pagkakasunud-sunod kung kinakailangan ito ng layunin ng pagtutuos.
Anumang monomial ay maaaring bawasan sa karaniwang anyo. Upang gawin ito, kailangan mong isagawa ang lahat ng kinakailangang magkaparehong pagbabago.
Ang konsepto ng antas ng isang monomial
Ang kasamang paniwala ng antas ng isang monomial ay napakahalaga. Isulat natin ang kahulugan ng konseptong ito.
Kahulugan 3
Degree ng isang monomial, na nakasulat sa karaniwang anyo, ay ang kabuuan ng mga exponent ng lahat ng mga variable na kasama sa record nito. Kung walang isang solong variable sa loob nito, at ang monomial mismo ay naiiba sa 0, kung gayon ang antas nito ay magiging zero.
Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga antas ng monomial.
Halimbawa 1
Kaya, ang monomial a ay may degree 1 dahil a = a 1 . Kung mayroon tayong monomial 7 , magkakaroon ito ng zero degree, dahil wala itong mga variable at iba sa 0 . At narito ang entry 7 a 2 x y 3 a 2 ay magiging isang monomial ng ika-8 degree, dahil ang kabuuan ng mga exponent ng lahat ng degree ng mga variable na kasama dito ay magiging katumbas ng 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Ang standardized monomial at ang orihinal na polynomial ay magkakaroon ng parehong degree.
Halimbawa 2
Ipakita natin kung paano kalkulahin ang antas ng isang monomial 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Sa karaniwang anyo, maaari itong isulat bilang − 6 x 8 y 4. Kinakalkula namin ang antas: 8 + 4 = 12 . Samakatuwid, ang antas ng orihinal na polynomial ay katumbas din ng 12 .
Ang konsepto ng isang monomial coefficient
Kung mayroon tayong standardized monomial na may kasamang hindi bababa sa isang variable, pag-uusapan natin ito bilang isang produkto na may isang numerical factor. Ang salik na ito ay tinatawag na numerical coefficient, o ang monomial coefficient. Isulat natin ang kahulugan.
Kahulugan 4
Ang coefficient ng isang monomial ay ang numerical factor ng isang monomial na binawasan sa karaniwang anyo.
Kunin, halimbawa, ang mga coefficient ng iba't ibang monomials.
Halimbawa 3
Kaya, sa expression 8 a 3 ang koepisyent ay magiging numero 8, at sa (− 2 , 3) x y z gagawin nila − 2 , 3 .
Ang partikular na atensyon ay dapat bayaran sa mga coefficient na katumbas ng isa at minus isa. Bilang isang tuntunin, ang mga ito ay hindi tahasang ipinahiwatig. Ito ay pinaniniwalaan na sa isang monomial ng karaniwang anyo, kung saan walang numerical factor, ang koepisyent ay 1, halimbawa, sa mga expression na a, x z 3, a t x, dahil maaari silang ituring bilang 1 a, x z 3 - bilang 1 x z 3 atbp.
Katulad nito, sa mga monomial na walang numerical factor at nagsisimula sa minus sign, maaari nating isaalang-alang ang coefficient - 1.
Halimbawa 4
Halimbawa, ang mga expression na − x, − x 3 y z 3 ay magkakaroon ng ganoong coefficient, dahil maaari silang katawanin bilang − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 atbp.
Kung ang isang monomial ay walang isang literal na multiplier, kung gayon posible na pag-usapan ang tungkol sa isang koepisyent sa kasong ito. Ang mga coefficient ng naturang mga monomial-number ay ang mga numerong ito mismo. Kaya, halimbawa, ang koepisyent ng monomial 9 ay magiging katumbas ng 9.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
1. Isang integer positive coefficient. Hayaan natin ang monomial +5a, dahil ang positibong numero +5 ay itinuturing na kapareho ng arithmetic number 5, kung gayon
5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.
Gayundin +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc at iba pa.
Batay sa mga halimbawang ito, maaari nating itatag na ang isang positive integer coefficient ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang literal na salik (o: ang produkto ng literal na mga salik) ng monomial ay inuulit ng termino.
Dapat masanay ang isang tao sa isang lawak na agad itong lumilitaw sa imahinasyon na, halimbawa, sa polynomial
3a + 4a² + 5a³
ang bagay ay nababawasan sa katotohanan na una ang a² ay inuulit ng 3 beses bilang isang termino, pagkatapos ang a³ ay inuulit ng 4 na beses bilang isang termino, at pagkatapos ay ang a ay inuulit ng 5 beses bilang isang termino.
Gayundin: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ atbp.
2. Positibong fractional coefficient. Hayaan natin ang monomial +a. Dahil ang positibong numero + ay tumutugma sa numero ng aritmetika, kung gayon +a = a ∙ , na nangangahulugang: kailangan mong kumuha ng tatlong ikaapat na bahagi ng numero a, i.e.
Samakatuwid: ipinapakita ng fractional positive coefficient kung gaano karaming beses at anong bahagi ng literal na multiplier ng monomial ang inuulit ng termino.
Polinomyal 
ay dapat na madaling kinakatawan bilang:
atbp.
3. Negatibong koepisyent. Alam ang multiplikasyon ng mga kamag-anak na numero, madali nating maitatag na, halimbawa, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) o (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) o sa pangkalahatan a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); din ng isang ∙ (–) = (–a) ∙ (+), atbp.
Samakatuwid, kung kukuha tayo ng monomial na may negatibong koepisyent, halimbawa, -3a, kung gayon
–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a ay kinuha bilang termino ng 3 beses).
Mula sa mga halimbawang ito, makikita natin na ang negatibong koepisyent ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang bahagi ng titik ng monomial, o ang tiyak na bahagi nito, na kinuha na may minus sign, ay inuulit ng termino.
Sa araling ito, magbibigay kami ng isang mahigpit na kahulugan ng isang monomial, isaalang-alang ang iba't ibang mga halimbawa mula sa aklat-aralin. Alalahanin ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base. Bigyan natin ng kahulugan ang karaniwang anyo ng isang monomial, ang koepisyent ng isang monomial, at ang literal na bahagi nito. Isaalang-alang natin ang dalawang pangunahing tipikal na operasyon sa mga monomial, ibig sabihin, pagbawas sa isang karaniwang anyo at pagkalkula ng isang tiyak na halaga ng numero ng isang monomial para sa mga ibinigay na halaga ng mga literal na variable na kasama dito. Bumuo tayo ng panuntunan para sa pagbabawas ng monomial sa karaniwang anyo. Alamin natin kung paano lutasin ang mga karaniwang problema sa anumang monomial.
Paksa:monomials. Mga operasyong aritmetika sa mga monomial
Aralin:Ang konsepto ng isang monomial. Pamantayang anyo ng isang monomial
Isaalang-alang ang ilang halimbawa:
3. 
;
Maghanap tayo ng mga karaniwang feature para sa mga ibinigay na expression. Sa lahat ng tatlong mga kaso, ang expression ay ang produkto ng mga numero at mga variable na itinaas sa isang kapangyarihan. Batay dito, nagbibigay kami kahulugan ng isang monomial : ang monomial ay isang algebraic expression na binubuo ng isang produkto ng mga kapangyarihan at numero.
Ngayon ay nagbibigay kami ng mga halimbawa ng mga expression na hindi monomials:
Hanapin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga expression na ito at ng mga nauna. Binubuo ito sa katotohanan na sa mga halimbawa 4-7 mayroong mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas o paghahati, habang sa mga halimbawa 1-3, na mga monomial, ang mga operasyong ito ay hindi.
Narito ang ilan pang halimbawa:
Ang expression na numero 8 ay isang monomial, dahil ito ay produkto ng isang kapangyarihan at isang numero, habang ang halimbawa 9 ay hindi isang monomial.
Ngayon alamin natin mga aksyon sa monomials .
1. Pagpapasimple. Isaalang-alang ang halimbawa #3 ;at halimbawa #2 /
Sa pangalawang halimbawa, nakikita lamang natin ang isang koepisyent - , ang bawat variable ay nangyayari nang isang beses lamang, iyon ay, ang variable " a Ang ” ay kinakatawan sa isang pagkakataon, bilang “”, gayundin, ang mga variable na “” at “” ay nangyayari nang isang beses lamang.
Sa halimbawa No. 3, sa kabaligtaran, mayroong dalawang magkaibang coefficient - at , nakikita natin ang variable na "" dalawang beses - bilang "" at bilang "", katulad nito, ang variable na "" ay nangyayari nang dalawang beses. Iyon ay, ang expression na ito ay dapat na pinasimple, kaya, dumating tayo sa ang unang aksyon na ginawa sa mga monomial ay upang dalhin ang monomial sa karaniwang anyo . Upang gawin ito, dinadala namin ang expression mula sa Halimbawa 3 sa karaniwang anyo, pagkatapos ay tinukoy namin ang operasyong ito at matutunan kung paano dalhin ang anumang monomial sa karaniwang anyo.
Kaya isaalang-alang ang isang halimbawa:
Ang unang hakbang sa pagpapatakbo ng standardisasyon ay palaging paramihin ang lahat ng mga salik na numero:
;
Ang resulta ng aksyon na ito ay tatawagin monomial coefficient .
Susunod, kailangan mong i-multiply ang mga degree. Pinaparami namin ang mga antas ng variable " X"ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, na nagsasaad na kapag pinarami, ang mga exponent ay nagdaragdag ng:
Ngayon, paramihin natin ang mga kapangyarihan sa»:
;
Kaya narito ang isang pinasimple na expression:
;
Anumang monomial ay maaaring bawasan sa karaniwang anyo. Magformulate tayo tuntunin sa estandardisasyon :
I-multiply ang lahat ng mga numerical na kadahilanan;
Ilagay ang resultang koepisyent sa unang lugar;
I-multiply ang lahat ng degree, iyon ay, kunin ang bahagi ng titik;
Iyon ay, ang anumang monomial ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang koepisyent at isang bahagi ng titik. Sa hinaharap, mapapansin namin na ang mga monomial na may parehong bahagi ng titik ay tinatawag na magkatulad.
Ngayon kailangan mong kumita pamamaraan para sa pagbabawas ng mga monomial sa karaniwang anyo . Isaalang-alang ang mga halimbawa mula sa aklat-aralin:
Gawain: dalhin ang monomial sa karaniwang anyo, pangalanan ang koepisyent at bahagi ng titik.
Upang makumpleto ang gawain, ginagamit namin ang panuntunan ng pagdadala ng monomial sa karaniwang anyo at mga katangian ng mga degree.
1. 
;
3. 
;
Mga komento sa unang halimbawa: Upang magsimula, alamin natin kung ang expression na ito ay talagang isang monomial, para dito sinusuri natin kung naglalaman ito ng mga pagpaparami ng pagpaparami ng mga numero at kapangyarihan at kung naglalaman ito ng mga pagpapatakbo ng karagdagan, pagbabawas o paghahati. Maaari nating sabihin na ang expression na ito ay isang monomial, dahil ang kondisyon sa itaas ay nasiyahan. Dagdag pa, ayon sa panuntunan ng pagdadala ng monomial sa karaniwang anyo, pinarami namin ang mga numerical na kadahilanan:
- natagpuan namin ang koepisyent ng ibinigay na monomial;
; ; ; ibig sabihin, ang literal na bahagi ng expression ay natanggap:;
isulat ang sagot: ;
Mga komento sa pangalawang halimbawa: Kasunod ng panuntunan, isinasagawa namin ang:
1) paramihin ang mga numerical na kadahilanan:
2) paramihin ang mga kapangyarihan:
Ang mga variable at ipinakita sa isang solong kopya, iyon ay, hindi sila maaaring i-multiply sa anumang bagay, sila ay muling isinulat nang walang mga pagbabago, ang antas ay pinarami:
isulat ang sagot:
;
Sa halimbawang ito, ang monomial coefficient ay katumbas ng isa, at ang literal na bahagi ay .
Mga komento sa ikatlong halimbawa: a katulad ng mga nakaraang halimbawa, ginagawa namin ang mga sumusunod na aksyon:
1) paramihin ang mga numerical na kadahilanan:
;
2) paramihin ang mga kapangyarihan:
;
isulat ang sagot: ;
Sa kasong ito, ang koepisyent ng monomial ay katumbas ng "", at ang literal na bahagi 
.
Ngayon isaalang-alang pangalawang karaniwang operasyon sa monomials . Dahil ang monomial ay isang algebraic expression na binubuo ng mga literal na variable na maaaring kumuha ng mga partikular na numerical value, mayroon kaming arithmetic numerical expression na dapat kalkulahin. Iyon ay, ang sumusunod na operasyon sa polynomials ay pagkalkula ng kanilang tiyak na halaga ng numero .
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Ang monomial ay ibinibigay:
ang monomial na ito ay nabawasan na sa karaniwang anyo, ang coefficient nito ay katumbas ng isa, at ang literal na bahagi
Nauna naming sinabi na ang isang algebraic expression ay hindi palaging maaaring kalkulahin, iyon ay, ang mga variable na pumapasok dito ay maaaring walang anumang halaga. Sa kaso ng isang monomial, ang mga variable na kasama dito ay maaaring anuman, ito ay isang tampok ng monomial.
Kaya, sa ibinigay na halimbawa, kinakailangang kalkulahin ang halaga ng monomial para sa , , , .
Monomial ay isang expression na produkto ng dalawa o higit pang mga kadahilanan, na ang bawat isa ay isang numero na ipinahayag ng isang titik, mga digit, o kapangyarihan (na may hindi negatibong integer exponent):
2a, a 3 x, 4abc, -7x
Dahil ang produkto ng magkatulad na mga kadahilanan ay maaaring isulat bilang isang degree, kung gayon ang isang solong degree (na may hindi negatibong integer exponent) ay isa ring monomial:
(-4) 3 , x 5 ,
Dahil ang isang numero (buo o fractional), na ipinahayag ng isang titik o mga numero, ay maaaring isulat bilang produkto ng numerong ito ng isa, kung gayon ang anumang solong numero ay maaari ding ituring bilang isang monomial:
x, 16, -a,
Pamantayang anyo ng isang monomial
Pamantayang anyo ng isang monomial- ito ay isang monomial, na mayroon lamang isang numerical factor, na dapat na nakasulat sa unang lugar. Ang lahat ng mga variable ay nasa alphabetical order at nakapaloob sa monomial nang isang beses lamang.
Ang mga numero, variable, at degree ng mga variable ay tumutukoy din sa mga monomial ng karaniwang anyo:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomials ng karaniwang anyo.
Ang numerical factor ng isang standard na form na monomial ay tinatawag monomial coefficient. Ang mga monomial coefficient na katumbas ng 1 at -1 ay karaniwang hindi nakasulat.
Kung walang numerical factor sa monomial ng standard form, ipinapalagay na ang coefficient ng monomial ay 1:
x 3 = 1 x 3
Kung walang numerical factor sa monomial ng karaniwang anyo at ito ay nauuna sa isang minus sign, pagkatapos ay ipinapalagay na ang koepisyent ng monomial ay -1:
-x 3 = -1 x 3
Pagbawas ng isang monomial sa karaniwang anyo
Upang dalhin ang monomial sa karaniwang anyo, kailangan mo:
- I-multiply ang numerical factor, kung marami. Itaas ang numeric factor sa isang power kung mayroon itong exponent. Ilagay ang number multiplier sa unang lugar.
- I-multiply ang lahat ng magkakahawig na mga variable upang ang bawat variable ay nangyayari nang isang beses lamang sa monomial.
- Ayusin ang mga variable pagkatapos ng numeric factor sa alphabetical order.
Halimbawa. Ipahayag ang monomial sa karaniwang anyo:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 bc 0.5 ab 3
Desisyon:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 bc 0.5 ab 3 = 6 0.5 abb 3 c = 3ab 4 c
Degree ng isang monomial
Degree ng isang monomial ay ang kabuuan ng mga exponents ng lahat ng mga titik sa loob nito.
Kung ang isang monomial ay isang numero, iyon ay, hindi ito naglalaman ng mga variable, kung gayon ang antas nito ay itinuturing na katumbas ng zero. Halimbawa:
5, -7, 21 - zero degree na monomial.
Samakatuwid, upang mahanap ang antas ng isang monomial, kailangan mong matukoy ang exponent ng bawat isa sa mga titik na kasama dito at idagdag ang mga exponent na ito. Kung ang exponent ng liham ay hindi tinukoy, kung gayon ito ay katumbas ng isa.
Mga halimbawa:
So kumusta ka x ang exponent ay hindi tinukoy, na nangangahulugang ito ay katumbas ng 1. Ang monomial ay hindi naglalaman ng iba pang mga variable, na nangangahulugan na ang antas nito ay katumbas ng 1.
Ang monomial ay naglalaman lamang ng isang variable sa pangalawang degree, na nangangahulugan na ang antas ng monomial na ito ay 2.
3) ab 3 c 2 d
Tagapagpahiwatig a ay katumbas ng 1, ang indicator b- 3, tagapagpahiwatig c- 2, tagapagpahiwatig d- 1. Ang antas ng monomial na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga tagapagpahiwatig na ito.
