Sa artikulong ito, titingnan natin ang isang komprehensibong pagtingin sa . Ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, at nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga trigonometric na function na ito sa pamamagitan ng isang kilalang iba.

Agad naming inilista ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, na aming susuriin sa artikulong ito. Isinulat namin ang mga ito sa isang talahanayan, at sa ibaba ay ibibigay namin ang derivation ng mga formula na ito at nagbibigay ng mga kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Relasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang anggulo

Minsan hindi nila pinag-uusapan ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan na nakalista sa talahanayan sa itaas, ngunit tungkol sa isang solong pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan mabait . Ang paliwanag para sa katotohanang ito ay medyo simple: ang mga pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan pagkatapos na hatiin ang parehong mga bahagi nito ayon sa at ayon sa pagkakabanggit, at ang mga pagkakapantay-pantay. at sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent. Tatalakayin natin ito nang mas detalyado sa mga sumusunod na talata.

Iyon ay, ito ay ang pagkakapantay-pantay na partikular na interes, na binigyan ng pangalan ng pangunahing trigonometric identity.

Bago patunayan ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, ibinibigay namin ang pagbabalangkas nito: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay magkaparehong katumbas ng isa. Ngayon patunayan natin.

Ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit sa pagbabago ng trigonometriko expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo na mapalitan ng isa. Hindi mas madalas, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay ginagamit sa reverse order: ang yunit ay pinalitan ng kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng anumang anggulo.

Tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine

Mga pagkakakilanlan na nag-uugnay sa tangent at cotangent sa sine at cosine ng isang anggulo ng anyo at agad na sundin mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng y, ang cosine ay ang abscissa ng x, ang tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, , at ang cotangent ay ang ratio ng abscissa sa ordinate, iyon ay, .

Dahil sa halatang ito ng mga pagkakakilanlan at kadalasan ang mga kahulugan ng tangent at cotangent ay ibinibigay hindi sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sine at cosine. Kaya ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng sine sa cosine ng anggulong ito, at ang cotangent ay ang ratio ng cosine sa sine.

Upang tapusin ang seksyong ito, dapat tandaan na ang mga pagkakakilanlan at hold para sa lahat ng naturang mga anggulo kung saan ang mga trigonometric function na nakapaloob sa mga ito ay may katuturan. Kaya't ang formula ay wasto para sa anumang iba sa (kung hindi, ang denominator ay magiging zero, at hindi namin tinukoy ang paghahati sa pamamagitan ng zero), at ang formula - para sa lahat, naiiba mula sa, kung saan ang z ay anuman.

Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent

Ang isang mas malinaw na trigonometric na pagkakakilanlan kaysa sa naunang dalawa ay ang pagkakakilanlan na nagkokonekta sa tangent at cotangent ng isang anggulo ng form . Ito ay malinaw na ito ay nagaganap para sa anumang mga anggulo maliban sa , kung hindi man ang tangent o ang cotangent ay hindi tinukoy.

Patunay ng formula napakasimple. Sa pamamagitan ng kahulugan at mula saan . Ang patunay ay maaaring naisagawa sa isang bahagyang naiibang paraan. Simula at , pagkatapos .

Kaya, ang tangent at cotangent ng isang anggulo, kung saan sila ay may katuturan, ay.

Lecture: Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang arbitrary na anggulo

Sine, cosine ng isang arbitrary na anggulo

Upang maunawaan kung ano ang trigonometriko function, lumiko tayo sa isang bilog na may radius ng unit. Ang bilog na ito ay nakasentro sa pinanggalingan sa coordinate plane. Upang matukoy ang mga ibinigay na function, gagamitin namin ang radius vector O, na nagsisimula sa gitna ng bilog, at sa punto R ay isang punto sa bilog. Ang radius vector na ito ay bumubuo ng isang anggulong alpha na may axis OH. Dahil ang bilog ay may radius na katumbas ng isa, kung gayon O = R = 1.

Kung mula sa punto R drop ng isang patayo sa axis OH, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang tamang tatsulok na may hypotenuse na katumbas ng isa.

Kung ang radius vector ay gumagalaw nang pakanan, kung gayon ang direksyon na ito ay tinatawag negatibo, ngunit kung ito ay gumagalaw ng counter-clockwise - positibo.

Ang sine ng isang anggulo O, ay ang ordinate ng punto R mga vector sa isang bilog.

Iyon ay, upang makuha ang halaga ng sine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate Sa sa ibabaw.

Paano nakuha ang halagang ito? Dahil alam natin na ang sine ng isang arbitrary na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, nakuha natin iyon

At dahil R=1, pagkatapos kasalanan(α) = y 0 .

Sa unit circle, ang ordinate value ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at mas malaki sa 1, na nangangahulugan na

Ang sine ay positibo sa una at ikalawang quarter ng unit circle, at negatibo sa ikatlo at ikaapat.

Cosine ng isang anggulo ibinigay na bilog na nabuo ng radius vector O, ay ang abscissa ng punto R mga vector sa isang bilog.

Iyon ay, upang makuha ang halaga ng cosine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate X sa ibabaw.

Ang cosine ng isang di-makatwirang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse, nakukuha natin iyon

At dahil R=1, pagkatapos cos(α) = x 0 .

Sa bilog ng yunit, ang halaga ng abscissa ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at mas malaki sa 1, na nangangahulugan na

Ang cosine ay positibo sa una at ikaapat na quadrant ng unit circle, at negatibo sa pangalawa at pangatlo.

padaplisdi-makatwirang anggulo ang ratio ng sine sa cosine ay kinakalkula.

Kung isasaalang-alang natin ang isang tamang tatsulok, kung gayon ito ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bilog na yunit, kung gayon ito ang ratio ng ordinate sa abscissa.

Sa paghusga sa mga ugnayang ito, mauunawaan na ang tangent ay hindi maaaring umiral kung ang halaga ng abscissa ay zero, iyon ay, sa isang anggulo ng 90 degrees. Maaaring kunin ng tangent ang lahat ng iba pang halaga.

Ang tangent ay positibo sa una at ikatlong quarter ng unit circle, at negatibo sa pangalawa at ikaapat.

Nakolekta ang artikulong ito mga talahanayan ng mga sine, cosine, tangent at cotangent. Una, nagbibigay kami ng isang talahanayan ng mga pangunahing halaga​​ng mga function ng trigonometric, iyon ay, isang talahanayan ng mga sine, cosine, tangent at cotangent ng mga anggulo 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 degrees ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Pagkatapos nito, magbibigay kami ng isang talahanayan ng mga sine at cosine, pati na rin ang isang talahanayan ng mga tangent at cotangent ni V. M. Bradis, at ipapakita kung paano gamitin ang mga talahanayan na ito kapag naghahanap ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko.

Pag-navigate sa pahina.

Talaan ng mga sine, cosine, tangent at cotangent para sa mga anggulo 0, 30, 45, 60, 90, ... degrees

Bibliograpiya.

• Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.
• Bradis V. M. Apat na digit na mathematical table: Para sa pangkalahatang edukasyon. aklat-aralin mga establisyimento. - 2nd ed. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

|BD| - ang haba ng arko ng isang bilog na nakasentro sa punto A.
Ang α ay ang anggulo na ipinahayag sa radians.

Tangent ( tgα) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng kabaligtaran na binti |BC| sa haba ng katabing binti |AB| .
Cotangent ( ctgα) ay isang trigonometric function depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti |AB| sa haba ng tapat na binti |BC| .

Padaplis

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
;
;
.

Graph ng tangent function, y = tg x

Cotangent

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang cotangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Ang sumusunod na notasyon ay pinagtibay din:
;
;
.

Graph ng cotangent function, y = ctg x

Mga katangian ng tangent at cotangent

Periodicity

Mga function y= tg x at y= ctg x ay periodic na may period π.

Pagkakapantay-pantay

Ang mga function na tangent at cotangent ay kakaiba.

Mga domain ng kahulugan at mga halaga, pataas, pababa

Ang mga function na tangent at cotangent ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng tangent at cotangent ay ipinakita sa talahanayan ( n- integer).

	y= tg x	y= ctg x
Saklaw at pagpapatuloy
Saklaw ng mga halaga	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Paakyat		-
Pababa	-
Extremes	-	-
Mga zero, y= 0
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	y= 0	-

Mga pormula

Mga expression sa mga tuntunin ng sine at cosine

; ;
; ;
;

Mga formula para sa tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba

Ang natitirang mga formula ay madaling makuha, halimbawa

Produkto ng tangents

Ang formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga tangent

Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng tangent at cotangent para sa ilang halaga ng argumento.

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; .

.
Derivative ng nth order na may paggalang sa variable x ng function :
.
Derivation ng mga formula para sa tangent > > > ; para sa cotangent > > >

Mga integral

Mga pagpapalawak sa serye

Upang makuha ang pagpapalawak ng tangent sa mga kapangyarihan ng x, kailangan mong kumuha ng ilang termino ng pagpapalawak sa isang serye ng kapangyarihan para sa mga function. kasalanan x at kasi x at hatiin ang mga polynomial sa isa't isa , . Nagreresulta ito sa mga sumusunod na formula.

Sa .

sa .
saan B n- Mga numero ng Bernoulli. Ang mga ito ay tinutukoy alinman mula sa pag-uulit na kaugnayan:
;
;
saan .
O ayon sa formula ng Laplace:

Inverse function

Ang inverse function sa tangent at cotangent ay arctangent at arccotangent, ayon sa pagkakabanggit.

Arctangent, arctg

, saan n- buo.

Arc padaplis, arcctg

, saan n- buo.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2012.

Tingnan din:

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.