Unang antas

Pinakamalaking common multiple at least common divisor. Pamantayan sa divisibility at mga paraan ng pagpapangkat (2019)

Upang mas pasimplehin ang iyong buhay kapag kailangan mong kalkulahin ang isang bagay, upang manalo ng mahalagang oras sa OGE o ang PAGGAMIT, upang makagawa ng mas kaunting mga hangal na pagkakamali - basahin ang seksyong ito!

Narito ang matututunan mo:

• kung paano magkalkula ng mas mabilis, mas madali at mas tumpak na paggamitpagpapangkat ng mga numerokapag nagdaragdag at nagbawas,
• kung paano mabilis na dumami at hatiin nang walang mga error sa paggamit mga tuntunin sa pagpaparami at pamantayan sa divisibility,
• kung paano makabuluhang mapabilis ang mga kalkulasyon gamit ang hindi bababa sa karaniwang maramihang(NOC) at pinakamalaking karaniwang divisor(GCD).

Ang pagkakaroon ng mga pamamaraan ng seksyong ito ay maaaring mag-tip sa mga timbangan sa isang direksyon o iba pa ... kung pumasok ka sa unibersidad na iyong mga pangarap o hindi, ikaw o ang iyong mga magulang ay kailangang magbayad ng maraming pera para sa edukasyon o papasok ka sa badyet .

Sumisid na tayo... (Let's go!)

Mahalagang paalaala!Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac)

Isang grupo ng mga integer binubuo ng 3 bahagi:

1. mga integer(isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba);
2. mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero(lahat ay mahuhulog sa lugar sa sandaling malaman mo kung ano ang mga natural na numero);
3. zero-" " (saan kung wala ito?)

titik Z.

Mga integer

"Nilikha ng Diyos ang mga natural na numero, lahat ng iba ay gawa ng mga kamay ng tao" (c) German mathematician na si Kronecker.

Ang mga natural na numero ay ang mga numero na ginagamit namin sa pagbilang ng mga bagay at dito nakabatay ang kanilang kasaysayan ng paglitaw - ang pangangailangang magbilang ng mga arrow, balat, atbp.

1, 2, 3, 4...n

titik N.

Alinsunod dito, hindi kasama ang kahulugang ito (hindi mo ba mabilang kung ano ang wala doon?) at higit pa rito ay hindi kasama ang mga negatibong halaga (may mansanas ba?).

Bilang karagdagan, hindi kasama ang lahat ng fractional na numero (hindi rin namin masasabing "May laptop ako", o "Nagbenta ako ng mga kotse")

Anuman natural na numero maaaring isulat gamit ang 10 digit:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Kaya ang 14 ay hindi isang numero. Ito ay isang numero. Anong mga numero ang binubuo nito? Tama, mula sa mga numero at.

Dagdag. Pagpapangkat kapag nagdadagdag para sa mas mabilis na pagbibilang at mas kaunting mga pagkakamali

Anong mga kagiliw-giliw na bagay ang masasabi mo tungkol sa pamamaraang ito? Siyempre, sasagutin mo na ngayon ang "ang halaga ng kabuuan ay hindi nagbabago mula sa muling pagsasaayos ng mga termino." Tila ang isang primitive na panuntunan na pamilyar mula sa unang klase, gayunpaman, kapag nilulutas ang malalaking halimbawa, ito nakalimutan agad!

Huwag mo siyang kalimutangumamit ng pagpapangkat, upang mapadali ang proseso ng pagbibilang at bawasan ang posibilidad ng mga pagkakamali, dahil hindi ka magkakaroon ng calculator para sa pagsusulit.

Tingnan mo mismo kung aling expression ang mas madaling idagdag?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Syempre pangalawa! Bagama't pareho ang resulta. Ngunit! Isinasaalang-alang ang pangalawang paraan, mas malamang na magkamali ka at gagawin mo ang lahat nang mas mabilis!

Kaya, sa iyong isip, ganito ang iniisip mo:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Pagbabawas. Pagpapangkat kapag nagbabawas para sa mas mabilis na pagbilang at mas kaunting error

Kapag nagbabawas, maaari rin nating pangkatin ang mga binawas na numero, halimbawa:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Paano kung ang pagbabawas ay pinagsama sa karagdagan sa halimbawa? Maaari ka ring mag-grupo, sasagot ka, at tama. Pakiusap lang, huwag kalimutan ang tungkol sa mga palatandaan sa harap ng mga numero, halimbawa: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Tandaan: ang hindi wastong pagkakabit ng mga palatandaan ay hahantong sa isang maling resulta.

Pagpaparami. Paano dumami sa iyong isipan

Malinaw na ang halaga ng produkto ay hindi rin magbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga kadahilanan:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Hindi ko sasabihin sa iyo na "gamitin ito kapag nilulutas ang mga problema" (nakuha mo mismo ang pahiwatig, tama?), ngunit sa halip ay sasabihin sa iyo kung paano mabilis na magparami ng ilang mga numero sa iyong ulo. Kaya, maingat na tingnan ang talahanayan:

At kaunti pa tungkol sa pagpaparami. Siyempre, naaalala mo ang dalawang espesyal na okasyon... Hulaan mo kung ano ang ibig kong sabihin? Narito ang tungkol dito:

Oh yeah, tingnan natin mga palatandaan ng divisibility. Sa kabuuan, mayroong 7 panuntunan para sa mga palatandaan ng divisibility, kung saan alam mo na ang unang 3 para sigurado!

Ngunit ang natitira ay hindi mahirap tandaan.

7 mga palatandaan ng divisibility ng mga numero na makakatulong sa iyo na mabilis na mabilang sa iyong ulo!

• Alam mo, siyempre, ang unang tatlong panuntunan.
• Ang ikaapat at ikalima ay madaling matandaan - kapag hinahati sa at tinitingnan namin kung ang kabuuan ng mga digit na bumubuo sa numero ay nahahati sa pamamagitan nito.
• Kapag hinahati sa, binibigyang-pansin namin ang huling dalawang digit ng numero - nahahati ba ang bilang na kanilang binubuo?
• Kapag hinahati sa isang numero, dapat itong nahahati nang sabay-sabay. Karunungan lahat yan.

Naiisip mo ba ngayon - "bakit kailangan ko ang lahat ng ito"?

Una, ang pagsusulit ay walang calculator at tutulungan ka ng mga panuntunang ito na mag-navigate sa mga halimbawa.

At pangalawa, narinig mo ang tungkol sa mga gawain GCD at NOC? Pamilyar na abbreviation? Simulan nating tandaan at unawain.

Greatest common divisor (gcd) - kailangan para sa pagbabawas ng mga fraction at mabilis na kalkulasyon

Sabihin nating mayroon kang dalawang numero: at. Ano ang pinakamalaking bilang na nahahati sa parehong bilang na ito? Sasagot ka nang walang pag-aalinlangan, dahil alam mo na:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Anong mga numero sa pagpapalawak ang karaniwan? Tama, 2 * 2 = 4. Iyan ang sagot mo. Kapag isinasaisip ang simpleng halimbawang ito, hindi mo malilimutan ang algorithm para sa paghahanap GCD. Subukang "buuin" ito sa iyong ulo. Nangyari?

Upang mahanap ang NOD na kailangan mo:

1. I-decompose ang mga numero sa prime factor (sa mga numero na hindi maaaring hatiin ng anumang bagay maliban sa sarili nito o ng, halimbawa, 3, 7, 11, 13, atbp.).
2. Paramihin sila.

Naiintindihan mo ba kung bakit kailangan namin ng mga palatandaan ng divisibility? Upang tingnan mo ang numero at maaari mong simulan ang paghahati nang walang natitira.

Halimbawa, hanapin natin ang GCD ng mga numero 290 at 485

Unang numero - .

Sa pagtingin dito, masasabi mo kaagad kung ano ang nahahati nito, isulat natin:

hindi mo ito maaaring hatiin sa anumang bagay, ngunit maaari mong - at, makuha namin:

290 = 29 * 5 * 2

Kumuha tayo ng isa pang numero - 485.

Ayon sa mga palatandaan ng divisibility, dapat itong mahahati ng walang nalalabi, dahil nagtatapos ito sa. Ibinabahagi namin:

Suriin natin ang orihinal na numero.

• Hindi ito maaaring hatiin ng (ang huling digit ay kakaiba),
• - ay hindi nahahati ng, kaya ang numero ay hindi rin nahahati ng,
• ay hindi rin nahahati ng at (ang kabuuan ng mga digit sa numero ay hindi nahahati ng at ni)
• ay hindi rin nahahati, dahil hindi ito nahahati ng at,
• ay hindi rin nahahati ng at, dahil hindi ito nahahati ng at.
• hindi maaaring ganap na hatiin

Kaya ang numero ay maaari lamang mabulok sa at.

At ngayon hanapin natin GCD ang mga numerong ito (at). Ano ang numerong ito? Tama, .

Magpractice ba tayo?

Gawain bilang 1. Hanapin ang GCD ng mga numerong 6240 at 6800

1) Hinahati ko kaagad sa, dahil ang parehong mga numero ay 100% mahahati sa pamamagitan ng:

2) Hahatiin ko sa natitirang malalaking numero (mga), dahil hinahati sila ng walang natitira (sa parehong oras, hindi ako mabubulok - isa na itong pangkaraniwang divisor):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Aalis ako at mag-isa at magsisimulang isaalang-alang ang mga numero at. Ang parehong mga numero ay eksaktong nahahati sa pamamagitan ng (nagtatapos sa kahit na mga digit (sa kasong ito, ipinapakita namin bilang, ngunit maaaring hatiin ng)):

4) Nagtatrabaho kami sa mga numero at. May common divisors ba sila? Ito ay kasingdali ng sa mga naunang hakbang, at hindi mo masasabi, kaya gagawin na lang namin ang mga ito sa mga simpleng salik:

5) Gaya ng nakikita natin, tama tayo: at walang mga karaniwang divisors, at ngayon kailangan nating dumami.
GCD

Gawain bilang 2. Hanapin ang GCD ng mga numero 345 at 324

Hindi ako mabilis na makahanap ng kahit isang karaniwang divisor dito, kaya nabulok na lang ako sa mga pangunahing kadahilanan (kaunti hangga't maaari):

Eksakto, GCD, at hindi ko muna sinuri ang divisibility criterion para sa, at, marahil, hindi ko na kailangang gumawa ng napakaraming aksyon. Ngunit sinuri mo, tama? Magaling! Tulad ng nakikita mo, ito ay medyo madali.

Least common multiple (LCM) - nakakatipid ng oras, tumutulong sa paglutas ng mga problema sa labas ng kahon

Sabihin nating mayroon kang dalawang numero - at. Ano ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa walang bakas(i.e. ganap)? Mahirap isipin? Narito ang isang visual clue para sa iyo:

Naaalala mo ba ang ibig sabihin ng liham? Tama, basta buong numero. Kaya ano ang pinakamaliit na numero na akma sa x? :

Sa kasong ito.

Maraming mga patakaran ang sumusunod mula sa simpleng halimbawang ito.

Mga panuntunan para sa mabilis na paghahanap ng NOC

Panuntunan 1. Kung ang isa sa dalawang natural na numero ay nahahati sa isa pang numero, kung gayon ang mas malaki sa dalawang numerong ito ay ang kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Hanapin ang mga sumusunod na numero:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Siyempre, madali mong nakayanan ang gawaing ito at nakuha mo ang mga sagot -, at.

Tandaan na sa panuntunang pinag-uusapan natin ang tungkol sa DALAWANG numero, kung marami pang numero, hindi gagana ang panuntunan.

Halimbawa, ang LCM (7;14;21) ay hindi katumbas ng 21, dahil hindi ito mahahati nang walang natitira sa.

Panuntunan 2. Kung dalawa (o higit sa dalawa) ang mga numero ay coprime, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay katumbas ng kanilang produkto.

hanapin NOC para sa mga sumusunod na numero:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Nagbilang ka ba? Narito ang mga sagot - , ; .

Tulad ng naiintindihan mo, hindi palaging napakadaling kunin at kunin ang parehong x na ito, kaya para sa bahagyang mas kumplikadong mga numero mayroong sumusunod na algorithm:

Magpractice ba tayo?

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang - LCM (345; 234)

Hatiin natin ang bawat numero:

Bakit ngayon lang ako nagsulat? Tandaan ang mga palatandaan ng divisibility sa pamamagitan ng: divisible by (ang huling digit ay even) at ang sum ng digit ay divisible by. Alinsunod dito, maaari nating agad na hatiin sa pamamagitan ng pagsulat nito bilang.

Ngayon isinusulat namin ang pinakamahabang pagpapalawak sa isang linya - ang pangalawa:

Idagdag natin dito ang mga numero mula sa unang pagpapalawak, na wala sa isinulat namin:

Tandaan: isinulat namin ang lahat maliban sa, dahil mayroon na kami nito.

Ngayon kailangan nating i-multiply ang lahat ng mga numerong ito!

Hanapin ang least common multiple (LCM) sa iyong sarili

Anong mga sagot ang nakuha mo?

Narito ang nangyari sa akin:

Gaano katagal bago mo mahanap NOC? Ang oras ko ay 2 minuto, alam ko talaga isang trick, na iminumungkahi kong buksan mo ngayon!

Kung ikaw ay masyadong matulungin, malamang na napansin mo na para sa mga ibinigay na numero na hinanap na namin GCD at maaari mong kunin ang factorization ng mga numerong ito mula sa halimbawang iyon, sa gayon ay pinapasimple ang iyong gawain, ngunit ito ay malayo sa lahat.

Tingnan ang larawan, marahil ang ilang iba pang mga saloobin ay darating sa iyo:

Well? Bibigyan kita ng pahiwatig: subukang magparami NOC at GCD sa kanilang sarili at isulat ang lahat ng mga salik na magiging kapag nagpaparami. Inayos mo ba? Dapat kang magkaroon ng isang kadena tulad nito:

Tingnan ito nang mabuti: ihambing ang mga salik sa kung paano at nabubulok.

Anong konklusyon ang maaari mong makuha mula dito? Tama! Kung paparamihin natin ang mga halaga NOC at GCD sa pagitan nila, pagkatapos ay makukuha natin ang produkto ng mga numerong ito.

Alinsunod dito, ang pagkakaroon ng mga numero at kahulugan GCD(o NOC), maaari naming mahanap ang NOC(o GCD) sa sumusunod na paraan:

1. Hanapin ang produkto ng mga numero:

2. Hinahati namin ang resultang produkto sa aming GCD (6240; 6800) = 80:

Iyon lang.

Isulat natin ang panuntunan sa pangkalahatang anyo:

Subukan mong hanapin GCD kung alam na:

Inayos mo ba? .

Mga negatibong numero - "mga maling numero" at ang kanilang pagkilala sa sangkatauhan.

Gaya ng naintindihan mo na, ito ay mga numerong kabaligtaran ng mga natural, iyon ay:

Ang mga negatibong numero ay maaaring idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin - tulad ng mga natural na numero. Mukhang napakaespesyal nila? Ngunit ang katotohanan ay ang mga negatibong numero ay "nanalo" sa kanilang nararapat na lugar sa matematika hanggang sa ika-19 na siglo (hanggang sa sandaling iyon ay nagkaroon ng malaking kontrobersya kung mayroon man sila o wala).

Ang negatibong numero mismo ay lumitaw dahil sa naturang operasyon na may mga natural na numero bilang "pagbabawas". Sa katunayan, ibawas sa - iyon ay isang negatibong numero. Iyon ang dahilan kung bakit ang hanay ng mga negatibong numero ay madalas na tinatawag na "isang extension ng set natural na mga numero».

Ang mga negatibong numero ay hindi nakilala ng mga tao sa mahabang panahon. Kaya, ang Sinaunang Ehipto, Babylon at Sinaunang Greece - ang mga ilaw ng kanilang panahon, ay hindi nakilala ang mga negatibong numero, at sa kaso ng pagkuha ng mga negatibong ugat sa equation (halimbawa, tulad ng mayroon tayo), ang mga ugat ay tinanggihan bilang imposible.

Sa unang pagkakataon, nakuha ng mga negatibong numero ang kanilang karapatan na umiral sa China, at pagkatapos ay noong ika-7 siglo sa India. Ano sa palagay mo ang pagtatapat na ito? Tama, ang mga negatibong numero ay nagsimulang magpahiwatig ng mga utang (kung hindi man - mga kakulangan). Ito ay pinaniniwalaan na ang mga negatibong numero ay isang pansamantalang halaga, na bilang isang resulta ay magiging positibo (iyon ay, ang pera ay ibabalik pa rin sa pinagkakautangan). Gayunpaman, ang Indian mathematician na si Brahmagupta ay isinasaalang-alang na ang mga negatibong numero sa isang pantay na katayuan sa mga positibo.

Sa Europa, ang pagiging kapaki-pakinabang ng mga negatibong numero, pati na rin ang katotohanan na maaari silang magpahiwatig ng utang, ay dumating nang maglaon, iyon ay, isang milenyo. Ang unang pagbanggit ay nakita noong 1202 sa "Aklat ng Abacus" ni Leonard ng Pisa (sinasabi ko kaagad na ang may-akda ng libro ay walang kinalaman sa Leaning Tower ng Pisa, ngunit ang mga numero ng Fibonacci ay kanyang gawa (ang palayaw ni Leonardo ng Pisa ay Fibonacci)). Dagdag pa, ang mga Europeo ay dumating sa konklusyon na ang mga negatibong numero ay maaaring mangahulugan hindi lamang mga utang, kundi pati na rin ang isang kakulangan ng isang bagay, gayunpaman, hindi lahat ay nakilala ito.

Kaya, noong siglo XVII, pinaniwalaan iyon ni Pascal. Sa tingin mo, paano niya ito nabigyang-katwiran? Tama, "nothing can be less than NOTHING". Ang isang echo ng mga oras na iyon ay nananatiling katotohanan na ang isang negatibong numero at ang pagpapatakbo ng pagbabawas ay tinutukoy ng parehong simbolo - minus "-". At totoo: . Positibo ba ang bilang na " ", kung saan ibinabawas, o negatibo, na idinaragdag? ... Isang bagay mula sa serye "na nauuna: ang manok o ang itlog?" Narito ang isang uri ng matematikal na pilosopiya.

Sinigurado ng mga negatibong numero ang kanilang karapatang umiral sa pagdating ng analytic geometry, sa madaling salita, nang ipinakilala ng mga mathematician ang isang bagay bilang isang tunay na aksis.

Ito ay mula sa sandaling ito na ang pagkakapantay-pantay ay dumating. Gayunpaman, mayroon pa ring mas maraming tanong kaysa sa mga sagot, halimbawa:

proporsyon

Ang proporsyon na ito ay tinatawag na Arno paradox. Pag-isipan ito, ano ang pagdududa tungkol dito?

Sabay tayong mag-usap " " more than " " right? Kaya, ayon sa lohika, ang kaliwang bahagi ng proporsyon ay dapat na mas malaki kaysa sa kanang bahagi, ngunit sila ay pantay ... Narito ito ang kabalintunaan.

Bilang isang resulta, sumang-ayon ang mga mathematician na si Karl Gauss (oo, oo, ito ang isa na isinasaalang-alang ang kabuuan (o) ng mga numero) noong 1831 ay nagtapos dito - sinabi niya na ang mga negatibong numero ay may parehong mga karapatan tulad ng mga positibo, at ang katotohanang hindi sila nalalapat sa lahat ng bagay ay walang ibig sabihin, dahil ang mga praksyon ay hindi rin nalalapat sa maraming bagay (hindi mangyayari na ang isang naghuhukay ay naghuhukay ng isang butas, hindi ka makakabili ng tiket sa pelikula, atbp.).

Ang mga mathematician ay huminahon lamang noong ika-19 na siglo, nang ang teorya ng mga negatibong numero ay nilikha ni William Hamilton at Hermann Grassmann.

Ganyan sila kontrobersyal, itong mga negatibong numero.

Ang paglitaw ng "emptiness", o ang talambuhay ng zero.

Sa matematika, isang espesyal na numero. Sa unang sulyap, ito ay wala: magdagdag, ibawas - walang magbabago, ngunit kailangan mo lamang itong iugnay sa kanan sa "", at ang resultang numero ay maraming beses na mas malaki kaysa sa orihinal. Sa pamamagitan ng pagpaparami ng zero, ginagawa natin ang lahat sa wala, ngunit hindi natin mahahati sa "wala". Sa madaling salita, ang magic number)

Ang kasaysayan ng zero ay mahaba at kumplikado. Ang isang bakas ng zero ay matatagpuan sa mga sinulat ng mga Tsino noong 2000 AD. at mas maaga pa kasama ang Maya. Ang unang paggamit ng zero na simbolo, tulad ng ngayon, ay nakita sa mga Greek astronomer.

Mayroong maraming mga bersyon kung bakit ang naturang pagtatalaga na "wala" ang napili. Ang ilang mga istoryador ay may hilig na maniwala na ito ay isang omicron, i.e. Ang unang titik ng salitang Griyego para sa wala ay ouden. Ayon sa isa pang bersyon, ang salitang "obol" (isang barya na halos walang halaga) ay nagbigay buhay sa simbolo ng zero.

Ang zero (o zero) bilang isang simbolo ng matematika ay unang lumitaw sa mga Indian (tandaan na ang mga negatibong numero ay nagsimulang "bumuo" doon). Ang unang maaasahang katibayan ng pagsulat ng zero ay nagsimula noong 876, at sa kanila ang "" ay isang bahagi ng numero.

Dumating din si Zero sa Europa nang huli - noong 1600 lamang, at tulad ng mga negatibong numero, nahaharap ito sa paglaban (ano ang magagawa mo, sila ay mga European).

"Ang zero ay madalas na kinasusuklaman, kinatatakutan, o ipinagbawal pa nga mula pa noong una," ang isinulat ng Amerikanong matematiko na si Charles Seif. Kaya, ang Turkish Sultan Abdul-Hamid II sa pagtatapos ng ika-19 na siglo. inutusan ang kanyang mga censors na tanggalin ang H2O water formula mula sa lahat ng chemistry textbook, tinatanggap ang titik na "O" para sa zero at ayaw niyang masiraan ng puri ang kanyang mga inisyal sa pamamagitan ng kalapitan sa kasuklam-suklam na zero.

Sa Internet mahahanap mo ang pariralang: "Ang Zero ay ang pinakamakapangyarihang puwersa sa Uniberso, magagawa nito ang anuman! Lumilikha ang Zero ng kaayusan sa matematika, at nagdudulot din ito ng kaguluhan dito. Ganap na tamang punto :)

Buod ng seksyon at mga pangunahing formula

Ang hanay ng mga integer ay binubuo ng 3 bahagi:

• natural na mga numero (isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba);
• mga numero na kabaligtaran sa mga natural;
• zero - " "

Ang hanay ng mga integer ay tinutukoy titik Z.

1. Natural na mga numero

Ang mga natural na numero ay ang mga numero na ginagamit namin sa pagbilang ng mga bagay.

Ang hanay ng mga natural na numero ay tinutukoy titik N.

Sa mga operasyong may mga integer, kakailanganin mo ang kakayahang mahanap ang GCD at LCM.

Greatest Common Divisor (GCD)

Upang mahanap ang NOD na kailangan mo:

1. I-decompose ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan (sa mga numero na hindi maaaring hatiin ng anumang bagay maliban sa sarili nito o ng, halimbawa, atbp.).
2. Isulat ang mga salik na bahagi ng parehong numero.
3. Paramihin sila.

Least common multiple (LCM)

Upang mahanap ang NOC kailangan mo:

1. I-factorize ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan (alam mo na kung paano ito gagawin nang napakahusay).
2. Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero (mas mahusay na kunin ang pinakamahabang kadena).
3. Idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero.
4. Hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

2. Mga negatibong numero

Ito ang mga numero na kabaligtaran ng mga natural na numero, iyon ay:

Ngayon gusto kong marinig mula sa iyo...

Sana ay na-appreciate mo ang napaka-kapaki-pakinabang na "mga trick" ng seksyong ito at naunawaan mo kung paano ka nila matutulungan sa pagsusulit.

At higit sa lahat, sa buhay. Hindi ko ito pinag-uusapan, ngunit maniwala ka sa akin, ito nga. Ang kakayahang magbilang nang mabilis at walang mga pagkakamali ay nakakatipid sa maraming sitwasyon sa buhay.

Ngayon ay iyong turn!

Sumulat, gagamit ka ba ng mga paraan ng pagpapangkat, pamantayan sa divisibility, GCD at LCM sa mga kalkulasyon?

Siguro nagamit mo na sila dati? Saan at paano?

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Isulat sa mga komento kung paano mo gusto ang artikulo.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

Mga katangian ng algebraic

Mga link

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Naghahalikan sa mga pulis
• Buong bagay

Tingnan kung ano ang "Mga Integer" sa iba pang mga diksyunaryo:

Gaussian integers- (gaussian number, complex integers) ito ay mga kumplikadong numero kung saan pareho ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay integer. Ipinakilala ni Gauss noong 1825. Mga Nilalaman 1 Kahulugan at mga operasyon 2 Teorya ng divisibility ... Wikipedia

PUNAN ANG MGA NUMERO- sa quantum mechanics at quantum statistics, mga numerong nagpapahiwatig ng antas ng quantum filling. states h tsami quantum mechanical. mga sistema ng maraming magkakaparehong particle. Para sa mga system h c na may half-integer spin (fermions) Ch. maaari lamang kumuha ng dalawang halaga... Pisikal na Encyclopedia

Mga numero ng Zuckerman- Ang mga numero ng Zuckerman ay mga natural na numero na nahahati sa produkto ng kanilang mga digit. Halimbawa 212 ay ang Zuckerman number, dahil at. Sequence Lahat ng integer mula 1 hanggang 9 ay mga numero ng Zuckerman. Ang lahat ng mga numero kasama ang zero ay hindi ... ... Wikipedia

Integer algebraic na numero- Ang mga integer algebraic na numero ay tinatawag na kumplikado (at partikular na tunay) na mga ugat ng polynomial na may mga integer coefficient at may nangungunang coefficient na katumbas ng isa. Kaugnay ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga kumplikadong numero, mga algebraic integer ... ... Wikipedia

Integer complex na mga numero- Gaussian na mga numero, mga numero ng anyong a + bi, kung saan ang a at b ay mga integer (halimbawa, 4 7i). Ang mga ito ay geometrical na kinakatawan ng mga punto ng kumplikadong eroplano na mayroong mga coordinate ng integer. Ang C. to. h. ay ipinakilala ni K. Gauss noong 1831 na may kaugnayan sa pananaliksik sa teorya ... ...

Mga Cullen na numero- Sa matematika, ang mga Cullen number ay mga natural na numero ng anyong n 2n + 1 (nakasulat na Cn). Ang mga bilang ng Cullen ay unang pinag-aralan ni James Cullen noong 1905. Ang mga numero ng Cullen ay isang espesyal na uri ng mga numero ng Proth. Mga Katangian Noong 1976, si Christopher Huley (Christopher ... ... Wikipedia

Mga Numero ng Nakapirming Punto- Fixed-point na format ng numero para sa kumakatawan sa isang tunay na numero sa memorya ng computer bilang isang integer. Bukod dito, ang numerong x mismo at ang integer na representasyon nito na x′ ay nauugnay ng formula, kung saan ang z ay ang halaga ng hindi bababa sa makabuluhang digit. Ang pinakasimpleng halimbawa ng arithmetic na may ... ... Wikipedia

Punan ang mga numero- sa quantum mechanics at quantum statistics, mga numerong nagsasaad ng antas ng pagpuno ng quantum states ng mga particle ng isang quantum mechanical system ng maraming magkakahawig na particle (Tingnan ang Identity particle). Para sa isang sistema ng mga particle na may half-integer na Spin ... ... Great Soviet Encyclopedia

Mga numero ng Leyland- Ang numero ng Leyland ay isang natural na numero na ipinahayag bilang xy + yx, kung saan ang x at y ay mga integer na mas malaki sa 1. Ang unang 15 na numero ng Leyland ay: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368 , 512, 593, 945, 1124, 1649 sequence A076980 sa OEIS. ... ... Wikipedia

Integer algebraic na numero- mga numero na ugat ng mga equation ng anyong xn + a1xn ​​​​1 +... + an = 0, kung saan ang a1,..., an ay mga rational integer. Halimbawa, x1 = 2 + C. a. oras, dahil x12 4x1 + 1 = 0. Ang teorya ng C. a. oras ay lumitaw sa 30 40 x taon. ika-19 na siglo kaugnay ng pananaliksik ni K. ... ... Great Soviet Encyclopedia

Mga libro

• Arithmetic: Integers. Sa divisibility ng mga numero. Pagsukat ng mga dami. Sistema ng panukat. Ordinaryo, Kiselev, Andrey Petrovich. Ang mga mambabasa ay inaalok ng isang libro ng natitirang guro at matematiko ng Russia na si A.P. Kiselev (1852-1940), na naglalaman ng isang sistematikong kurso sa aritmetika. Kasama sa aklat ang anim na seksyon...

Upang buong numero isama ang mga natural na numero, zero, at mga numerong kabaligtaran ng natural na mga numero.

Mga integer ay mga positibong integer.

Halimbawa: 1, 3, 7, 19, 23, atbp. Ginagamit namin ang mga naturang numero para sa pagbibilang (mayroong 5 mansanas sa mesa, ang kotse ay may 4 na gulong, atbp.)

Latin na titik \mathbb(N) - denoted set ng mga natural na numero.

Ang mga natural na numero ay hindi maaaring magsama ng negatibo (ang upuan ay hindi maaaring magkaroon ng negatibong bilang ng mga binti) at mga fractional na numero (Ivan ay hindi maaaring magbenta ng 3.5 na bisikleta).

Ang mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero ay mga negatibong integer: -8, -148, -981, ....

Mga pagpapatakbo ng aritmetika na may mga integer

Ano ang maaari mong gawin sa mga integer? Maaari silang paramihin, idagdag at ibawas sa bawat isa. Suriin natin ang bawat operasyon sa isang partikular na halimbawa.

Pagdaragdag ng integer

Dalawang integer na may parehong mga palatandaan ay idinagdag tulad ng sumusunod: ang mga module ng mga numerong ito ay idinagdag at ang resultang kabuuan ay nauuna sa panghuling tanda:

(+11) + (+9) = +20

Pagbabawas ng mga integer

Dalawang integer na may iba't ibang mga palatandaan ay idinagdag tulad ng sumusunod: ang modulus ng mas maliit na numero ay ibabawas mula sa modulus ng mas malaking numero, at ang sign ng mas malaking modulo number ay inilalagay sa harap ng sagot:

(-7) + (+8) = +1

Pagpaparami ng integer

Upang i-multiply ang isang integer sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang mga module ng mga numerong ito at ilagay ang "+" sign sa harap ng natanggap na sagot kung ang mga orihinal na numero ay may parehong mga palatandaan, at ang "-" sign kung ang orihinal na mga numero ay na may iba't ibang mga palatandaan:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Dapat mong tandaan ang mga sumusunod tuntunin sa pagpaparami ng buong numero:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Mayroong panuntunan para sa pagpaparami ng ilang integer. Tandaan natin ito:

Ang tanda ng produkto ay magiging “+” kung ang bilang ng mga salik na may negatibong senyales ay pantay at “-” kung ang bilang ng mga salik na may negatibong senyales ay kakaiba.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Dibisyon ng integer

Ang paghahati ng dalawang integer ay isinasagawa tulad ng sumusunod: ang modulus ng isang numero ay nahahati sa modulus ng isa pa, at kung ang mga palatandaan ng mga numero ay pareho, pagkatapos ay isang "+" sign ang inilalagay sa harap ng nagresultang quotient , at kung ang mga senyales ng orihinal na mga numero ay iba, pagkatapos ay ilalagay ang “−” sign.

(-25) : (+5) = -5

Mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer

Suriin natin ang mga pangunahing katangian ng pagdaragdag at pagpaparami para sa anumang mga integer a , b at c :

1. a + b = b + a - commutative property ng karagdagan;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - ang nag-uugnay na pag-aari ng karagdagan;
3. a \cdot b = b \cdot a - commutative property ng multiplication;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- nag-uugnay na mga katangian ng pagpaparami;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c ay ang distributive property ng multiplication.

Sa artikulong ito, tutukuyin natin ang hanay ng mga integer, isaalang-alang kung aling mga integer ang tinatawag na positibo at alin ang negatibo. Ipapakita rin namin kung paano ginagamit ang mga integer upang ilarawan ang pagbabago sa ilang dami. Magsimula tayo sa kahulugan at mga halimbawa ng mga integer.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Buong mga numero. Kahulugan, mga halimbawa

Una, alalahanin natin ang mga natural na numero ℕ. Ang pangalan mismo ay nagmumungkahi na ang mga ito ay mga numero na natural na ginagamit para sa pagbibilang mula pa noong una. Upang masakop ang konsepto ng mga integer, kailangan nating palawakin ang kahulugan ng mga natural na numero.

Kahulugan 1. Integers

Ang mga integer ay ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran, at ang numerong zero.

Ang hanay ng mga integer ay tinutukoy ng titik ℤ .

Ang set ng mga natural na numero ℕ ay isang subset ng integers ℤ. Ang bawat natural na numero ay isang integer, ngunit hindi lahat ng integer ay isang natural na numero.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang alinman sa mga numero 1 , 2 , 3 ay isang integer. . , ang numero 0 , pati na rin ang mga numero - 1 , - 2 , - 3 , . .

Alinsunod dito, nagbibigay kami ng mga halimbawa. Ang mga numerong 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 ay mga buong numero.

Hayaang iguhit nang pahalang ang linya ng coordinate at idirekta sa kanan. Tingnan natin ito upang mailarawan ang lokasyon ng mga integer sa isang tuwid na linya.

Ang reference point sa linya ng coordinate ay tumutugma sa numero 0, at ang mga puntong nakahiga sa magkabilang panig ng zero ay tumutugma sa positibo at negatibong integer. Ang bawat punto ay tumutugma sa isang solong integer.

Ang anumang punto sa isang tuwid na linya na ang coordinate ay isang integer ay maaaring maabot sa pamamagitan ng pagtabi ng isang tiyak na bilang ng mga segment ng unit mula sa pinanggalingan.

Positibo at negatibong integer

Sa lahat ng mga integer, lohikal na makilala sa pagitan ng positibo at negatibong mga integer. Ibigay natin ang kanilang mga kahulugan.

Kahulugan 2. Positibong integer

Ang mga positibong integer ay mga integer na may plus sign.

Halimbawa, ang numero 7 ay isang integer na may plus sign, iyon ay, isang positive integer. Sa linya ng coordinate, ang numerong ito ay nasa kanan ng reference point, kung saan kinuha ang numerong 0. Iba pang mga halimbawa ng mga positibong integer: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Kahulugan 3. Mga negatibong integer

Ang mga negatibong integer ay mga integer na may minus sign.

Mga halimbawa ng mga negatibong integer: - 528 , - 2568 , - 1 .

Ang numero 0 ay naghihiwalay sa mga positibo at negatibong integer at ito mismo ay hindi positibo o negatibo.

Anumang numero na kabaligtaran ng isang positibong integer ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang negatibong integer. Ang baligtad ay totoo rin. Ang kapalit ng anumang negatibong integer ay isang positibong integer.

Posibleng magbigay ng iba pang mga pormulasyon ng mga kahulugan ng negatibo at positibong integer, gamit ang kanilang paghahambing sa zero.

Kahulugan 4. Positibong integer

Ang mga positibong integer ay mga integer na mas malaki sa zero.

Kahulugan 5. Mga negatibong integer

Ang mga negatibong integer ay mga integer na mas mababa sa zero.

Alinsunod dito, ang mga positibong numero ay nasa kanan ng pinagmulan sa linya ng coordinate, at ang mga negatibong integer ay nasa kaliwa ng zero.

Nauna naming sinabi na ang mga natural na numero ay isang subset ng mga integer. Linawin natin ang puntong ito. Ang set ng mga natural na numero ay mga positive integer. Sa turn, ang hanay ng mga negatibong integer ay ang hanay ng mga numero na kabaligtaran ng mga natural.

Mahalaga!

Anumang natural na numero ay maaaring tawaging integer, ngunit anumang integer ay hindi matatawag na natural na numero. Ang pagsagot sa tanong kung ang mga negatibong numero ay natural, dapat matapang na sabihin - hindi, hindi.

Non-positive at non-negative integers

Magbigay tayo ng mga kahulugan.

Kahulugan 6. Mga di-negatibong integer

Ang mga hindi negatibong integer ay mga positibong integer at ang numerong zero.

Kahulugan 7. Non-positive integers

Ang mga hindi positibong integer ay mga negatibong integer at ang numerong zero.

Tulad ng nakikita mo, ang numerong zero ay hindi positibo o negatibo.

Mga halimbawa ng mga hindi negatibong integer: 52 , 128 , 0 .

Mga halimbawa ng mga hindi positibong integer: - 52 , - 128 , 0 .

Ang isang hindi negatibong numero ay isang numerong mas malaki sa o katumbas ng zero. Alinsunod dito, ang isang hindi positibong integer ay isang numerong mas mababa sa o katumbas ng zero.

Ang mga terminong "non-positive number" at "non-negative number" ay ginagamit para sa maikli. Halimbawa, sa halip na sabihin na ang numerong a ay isang integer na mas malaki sa o katumbas ng zero, maaari mong sabihin: a ay isang hindi negatibong integer.

Paggamit ng mga Integer Kapag Naglalarawan ng Mga Pagbabago sa Mga Halaga

Ano ang ginagamit ng mga integer? Una sa lahat, sa kanilang tulong ito ay maginhawa upang ilarawan at matukoy ang pagbabago sa bilang ng anumang mga item. Kumuha tayo ng isang halimbawa.

Hayaang maimbak ang isang tiyak na bilang ng mga crankshaft sa bodega. Kung ang isa pang 500 crankshafts ay dadalhin sa bodega, ang kanilang bilang ay tataas. Ang bilang na 500 ay nagpapahayag lamang ng pagbabago (pagtaas) sa bilang ng mga bahagi. Kung pagkatapos ay 200 na bahagi ang kinuha mula sa bodega, kung gayon ang numerong ito ay mailalarawan din ang pagbabago sa bilang ng mga crankshaft. Sa pagkakataong ito, sa direksyon ng pagbabawas.

Kung walang kinuha mula sa bodega, at walang dinadala, kung gayon ang numero 0 ay magsasaad ng invariance ng bilang ng mga bahagi.

Ang halatang kaginhawahan ng paggamit ng mga integer, hindi tulad ng mga natural na numero, ay ang kanilang pag-sign ay malinaw na nagpapahiwatig ng direksyon ng pagbabago sa magnitude (pagtaas o pagbaba).

Ang pagbaba ng temperatura ng 30 degrees ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng isang negatibong numero - 30, at isang pagtaas ng 2 degrees - sa pamamagitan ng isang positibong integer 2.

Narito ang isa pang halimbawa gamit ang mga integer. Sa pagkakataong ito, isipin natin na kailangan nating magbigay ng 5 barya sa isang tao. Pagkatapos, maaari nating sabihin na mayroon tayong - 5 barya. Ang numero 5 ay naglalarawan sa halaga ng utang, at ang minus sign ay nagpapahiwatig na dapat nating ibalik ang mga barya.

Kung may utang tayong 2 barya sa isang tao at 3 sa isa pa, kung gayon ang kabuuang utang (5 barya) ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng panuntunan ng pagdaragdag ng mga negatibong numero:

2 + (- 3) = - 5

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang numero ay isang abstraction na ginagamit upang mabilang ang mga bagay. Ang mga numero ay lumitaw sa primitive na lipunan na may kaugnayan sa pangangailangan para sa mga tao na magbilang ng mga bagay. Sa paglipas ng panahon, sa pag-unlad ng agham, ang bilang ay naging pinakamahalagang konsepto ng matematika.

Upang malutas ang mga problema at patunayan ang iba't ibang mga theorems, kailangan mong maunawaan kung anong mga uri ng mga numero. Ang mga pangunahing uri ng mga numero ay kinabibilangan ng: natural na mga numero, integer, rational na numero, tunay na numero.

Mga integer- ito ang mga numero na nakuha sa natural na pagbibilang ng mga bagay, o sa halip, kasama ang kanilang pagnunumero ("una", "pangalawa", "ikatlo" ...). Ang hanay ng mga natural na numero ay tinutukoy ng letrang Latin N (maaaring matandaan batay sa salitang Ingles na natural). Masasabi na N ={1,2,3,....}

Buong mga numero ay mga numero mula sa set (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ang set na ito ay binubuo ng tatlong bahagi - natural na mga numero, mga negatibong integer (kabaligtaran ng mga natural na numero) at ang numero 0 (zero). Ang mga integer ay tinutukoy ng isang Latin na titik Z . Masasabi na Z ={1,2,3,....}.

Mga rational na numero ay mga numero na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Ang letrang Latin ay ginagamit upang tukuyin ang mga rational na numero Q . Ang lahat ng natural at integer na mga numero ay makatwiran. Gayundin, bilang mga halimbawa ng mga rational na numero, maaari kang magbigay ng: ,,.

Mga totoong (tunay) na numero ay mga numero na ginagamit upang masukat ang tuluy-tuloy na dami. Ang hanay ng mga tunay na numero ay tinutukoy ng Latin na titik R. Ang mga tunay na numero ay kinabibilangan ng mga rational na numero at hindi makatwiran na mga numero. Ang mga irrational na numero ay mga numero na nakukuha sa pamamagitan ng pagsasagawa ng iba't ibang operasyon sa mga rational na numero (halimbawa, pagkuha ng ugat, pagkalkula ng logarithms), ngunit hindi makatwiran. Ang mga halimbawa ng di-makatwirang numero ay ,,.

Anumang tunay na numero ay maaaring ipakita sa linya ng numero:

Para sa mga hanay ng mga numerong nakalista sa itaas, ang sumusunod na pahayag ay totoo:

Iyon ay, ang hanay ng mga natural na numero ay kasama sa hanay ng mga integer. Ang hanay ng mga integer ay kasama sa hanay ng mga rational na numero. At ang hanay ng mga rational na numero ay kasama sa hanay ng mga tunay na numero. Ang pahayag na ito ay maaaring ilarawan gamit ang mga lupon ng Euler.