TEKSTO NA PALIWANAG NG ARALIN:

Patuloy naming pinag-aaralan ang seksyon ng solidong geometry na "Katawan ng rebolusyon".

Ang mga katawan ng rebolusyon ay kinabibilangan ng: mga silindro, cones, bola.

Tandaan natin ang mga kahulugan.

Ang taas ay ang distansya mula sa tuktok ng isang pigura o katawan hanggang sa base ng pigura (katawan). Kung hindi, isang segment na nagkokonekta sa itaas at ibaba ng figure at patayo dito.

Tandaan, upang mahanap ang lugar ng isang bilog, i-multiply ang pi sa parisukat ng radius.

Ang lugar ng bilog ay pantay.

Alalahanin kung paano hanapin ang lugar ng isang bilog, alam ang diameter? Bilang

ilagay natin ito sa formula:

Ang kono ay katawan din ng rebolusyon.

Ang isang kono (mas tiyak, isang pabilog na kono) ay isang katawan na binubuo ng isang bilog - ang base ng kono, isang punto na hindi namamalagi sa eroplano ng bilog na ito - ang tuktok ng kono at lahat ng mga segment na nagkokonekta sa tuktok ng ang kono na may mga punto ng base.

Kilalanin natin ang formula para sa paghahanap ng dami ng isang kono.

Teorama. Ang dami ng isang kono ay katumbas ng 1/3 ng base area na pinarami ng taas.

Patunayan natin ang teorama na ito.

Ibinigay: isang kono, S ay ang lugar ng base nito,

h ay ang taas ng kono

Patunayan: V=

Patunay: Isaalang-alang ang isang kono na may volume V, base radius R, taas h, at tuktok sa punto O.

Ipakilala natin ang axis Ox sa pamamagitan ng OM, ang axis ng kono. Ang isang arbitrary na seksyon ng isang kono sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa x-axis ay isang bilog na nakasentro sa punto

M1 - ang punto ng intersection ng eroplanong ito na may axis na Ox. Tukuyin natin ang radius ng bilog na ito bilang R1, at ang cross-sectional area bilang S(x), kung saan ang x ay ang abscissa ng punto M1.

Mula sa pagkakapareho ng mga right-angled triangles OM1A1 at OMA (ے OM1A1 = ے OMA - mga tuwid na linya, ےMOA-common, na nangangahulugan na ang mga triangles ay magkatulad sa dalawang anggulo) ito ay sumusunod na

Ipinapakita ng figure na OM1=x, OM=h

o kung saan sa pamamagitan ng pag-aari ng proporsyon nakita namin ang R1 = .

Dahil ang seksyon ay isang bilog, pagkatapos ay S (x) \u003d πR12, palitan ang nakaraang expression para sa R1, ang sectional area ay katumbas ng ratio ng produkto ng pi er square sa square x sa square ng taas:

Ilapat natin ang pangunahing pormula

pagkalkula ng mga volume ng katawan, na may a=0, b=h, nakukuha natin ang expression (1)

Dahil ang base ng kono ay isang bilog, ang lugar S ng base ng kono ay magiging katumbas ng pi er square

sa formula para sa pagkalkula ng dami ng isang katawan, pinapalitan namin ang halaga ng pi er square sa pamamagitan ng lugar ng base at nakuha namin na ang dami ng kono ay katumbas ng isang katlo ng produkto ng lugar ng base at taas

Napatunayan na ang theorem.

Corollary ng theorem (formula para sa dami ng isang pinutol na kono)

Ang volume V ng isang pinutol na kono, na ang taas ay h, at ang mga lugar ng mga base S at S1, ay kinakalkula ng formula

Ang Ve ay katumbas ng isang katlo ng abo na pinarami ng kabuuan ng mga lugar ng mga base at ang square root ng produkto ng mga lugar ng base.

Pagtugon sa suliranin

Ang isang kanang tatsulok na may mga binti na 3 cm at 4 cm ay umiikot sa hypotenuse. Tukuyin ang dami ng nagresultang katawan.

Kapag ang tatsulok ay umiikot sa paligid ng hypotenuse, nakakakuha tayo ng isang kono. Kapag nilutas ang problemang ito, mahalagang maunawaan na posible ang dalawang kaso. Sa bawat isa sa kanila, inilalapat namin ang formula para sa paghahanap ng dami ng isang kono: ang dami ng isang kono ay katumbas ng isang katlo ng produkto ng base at ang taas.

Sa unang kaso, ang pagguhit ay magiging ganito: isang kono ang ibinigay. Hayaan ang radius r = 4, taas h = 3

Ang lugar ng base ay katumbas ng produkto ng π beses ang parisukat ng radius

Kung gayon ang dami ng kono ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng π beses ang parisukat ng radius na beses ang taas.

Palitan ang halaga sa formula, lumalabas na ang dami ng kono ay 16π.

Sa pangalawang kaso, tulad nito: binigyan ng isang kono. Hayaan ang radius r = 3, taas h = 4

Ang dami ng isang kono ay katumbas ng 1/3 ng base area na pinarami ng taas:

Ang lugar ng base ay katumbas ng produkto ng π beses ang parisukat ng radius:

Kung gayon ang dami ng kono ay katumbas ng isang-katlo ng produkto ng π beses ang parisukat ng radius na beses ang taas:

Palitan ang halaga sa formula, lumalabas na ang dami ng kono ay 12π.

Sagot: Ang volume ng kono V ay 16 π o 12 π

Problema 2. Nabigyan ng tamang pabilog na kono na may radius na 6 cm, anggulo BCO = 45 .

Hanapin ang volume ng kono.

Solusyon: Ang isang handa na pagguhit ay ibinigay para sa gawaing ito.

Isulat natin ang pormula para sa paghahanap ng dami ng isang kono:

Ipinapahayag namin ito sa mga tuntunin ng radius ng base R:

Nahanap namin ang h \u003d BO sa pamamagitan ng pagtatayo, - hugis-parihaba, dahil anggulo BOC=90 (ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok), ang mga anggulo sa base ay pantay, kaya ang tatsulok na ΔBOC ay isosceles at BO=OC=6 cm.

V cylinder \u003d S main. h

Halimbawa 2 Dahil sa isang kanang pabilog na kono ABC equilateral, BO = 10. Hanapin ang volume ng kono.

Desisyon

Hanapin ang radius ng base ng kono. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Hayaan ang OS = a, pagkatapos ay BC = 2 a. Ayon sa Pythagorean theorem:

Sagot: .

Halimbawa 3. Kalkulahin ang mga volume ng mga figure na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga lugar na nakatali sa mga tinukoy na linya.

y2=4x; y=0; x=4.

Mga limitasyon ng pagsasama a = 0, b = 4.

V= | =32π

Mga gawain

Pagpipilian 1

1. Ang seksyon ng axial ng silindro ay isang parisukat, ang dayagonal nito ay 4 dm. Hanapin ang volume ng cylinder.

2. Ang panlabas na diameter ng guwang na globo ay 18 cm, ang kapal ng dingding ay 3 cm. Hanapin ang dami ng mga dingding ng globo.

X figure bounded ng mga linya y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Opsyon 2

1. Ang radii ng tatlong bola ay katumbas ng 6 cm, 8 cm, 10 cm. Tukuyin ang radius ng bola, na ang dami nito ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng mga bolang ito.

2. Ang lugar ng base ng kono ay 9 cm 2, ang kabuuang ibabaw nito ay 24 cm 2. Hanapin ang volume ng kono.

3. Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng O axis X figure bounded ng mga linya y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Isulat ang mga katangian ng mga volume ng katawan.

2. Sumulat ng pormula para sa pagkalkula ng volume ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng Oy axis.

Ang gawaing diagnostic ay binubuo ng dalawang bahagi, kabilang ang 19 na gawain. Ang Bahagi 1 ay naglalaman ng 8 gawain ng isang pangunahing antas ng pagiging kumplikado na may maikling sagot. Ang Bahagi 2 ay naglalaman ng 4 na gawain ng mas mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang maikling sagot at 7 mga gawain ng isang mas mataas at mataas na antas ng pagiging kumplikado na may isang detalyadong sagot.
3 oras 55 minuto (235 minuto) ang inilaan para magsagawa ng diagnostic na gawain sa matematika.
Ang mga sagot sa mga gawain 1-12 ay isinulat bilang isang integer o isang panghuling decimal fraction. Isulat ang mga numero sa mga patlang ng sagot sa teksto ng gawain, at pagkatapos ay ilipat ang mga ito sa sagutang papel Blg. 2.
Ang lahat ng mga form ay nakumpleto sa maliwanag na itim na tinta. Pinapayagan ang paggamit ng gel, capillary o fountain pen.
Kapag kinukumpleto ang mga takdang-aralin, maaari kang gumamit ng draft. Ang mga draft na entry ay hindi binibilang sa pagtatasa ng trabaho.
Ang mga puntos na nakukuha mo para sa mga natapos na gawain ay summed up.
Nais ka naming tagumpay!

Mga Kondisyon sa Gawain

1. Hanapin kung
2. Upang makakuha ng pinalaki na imahe ng isang bombilya sa screen sa laboratoryo, ginagamit ang isang converging lens na may pangunahing focal length = 30 cm. Ang distansya mula sa lens hanggang sa bombilya ay maaaring mag-iba mula 40 hanggang 65 cm, at ang distansya mula sa lens hanggang sa screen - sa hanay mula 75 hanggang 100 cm. Ang imahe sa screen ay magiging malinaw kung ang ratio ay natutugunan. Tukuyin ang pinakamalayong distansya mula sa lens na maaaring ilagay ang bumbilya upang maging malinaw ang imahe nito sa screen. Ipahayag ang iyong sagot sa sentimetro.
3. Ang barko ay dumadaan sa kahabaan ng ilog patungo sa patutunguhan ng 300 km at pagkatapos ng paradahan ay bumalik sa punto ng pag-alis. Hanapin ang bilis ng kasalukuyang, kung ang bilis ng barko sa tubig ay 15 km / h, ang paradahan ay tumatagal ng 5 oras, at ang barko ay bumalik sa punto ng pag-alis 50 oras pagkatapos umalis dito. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
4. Hanapin ang pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment
5. a) Lutasin ang equation b) Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa segment
6. Binigyan ng tamang pabilog na kono na may vertex M. Axial na seksyon ng kono - isang tatsulok na may isang anggulo ng 120 ° sa tuktok M. Ang generator ng kono ay . Sa pamamagitan ng tuldok M ang isang seksyon ng kono ay iginuhit patayo sa isa sa mga generator.
   a) Patunayan na ang resultang tatsulok ay isang obtuse triangle.
   b) Hanapin ang distansya mula sa gitna O ang base ng kono sa eroplano ng seksyon.
7. Lutasin ang Equation
8. Bilog na may gitna O humawak sa gilid AB isosceles triangle abc, mga extension sa gilid AC at pagpapatuloy ng pundasyon Araw sa punto N. Dot M- gitna ng base Araw.
   a) Patunayan iyon MN=AC.
   b) Hanapin OS, kung ang mga gilid ng tatsulok ABC ay 5, 5 at 8.
9. Ipinapalagay ng proyektong pangnegosyo na "A" ang pagtaas sa mga halagang namuhunan dito ng 34.56% taun-taon sa unang dalawang taon at ng 44% taun-taon sa susunod na dalawang taon. Ipinapalagay ng Project B ang paglago sa pamamagitan ng isang pare-parehong integer n porsyento taun-taon. Hanapin ang pinakamaliit na halaga n, kung saan sa unang apat na taon ang proyektong "B" ay magiging mas kumikita kaysa sa proyektong "A".
10. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter , , para sa bawat isa kung saan ang sistema ng mga equation may tanging solusyon
11. Naglalaro si Anya: dalawang magkaibang natural na numero ang nakasulat sa pisara at , pareho ay mas mababa sa 1000. Kung pareho ay natural na mga numero, pagkatapos ay gagawa si Anya ng hakbang - pinapalitan niya ang mga nauna ng dalawang numerong ito. Kung hindi bababa sa isa sa mga numerong ito ay hindi natural na numero, magtatapos ang laro.
    a) Maaari bang magpatuloy ang laro para sa eksaktong tatlong galaw?
    b) Mayroon bang dalawang paunang numero na ang laro ay tatagal ng hindi bababa sa 9 na galaw?
    c) Si Anya ang gumawa ng unang hakbang sa laro. Hanapin ang pinakamalaking posibleng ratio ng produkto ng nakuhang dalawang numero sa produkto

Panimula

Kaugnayan ng paksa ng pananaliksik. Ang mga conic na seksyon ay kilala na ng mga mathematician ng Sinaunang Greece (halimbawa, Menechmus, ika-4 na siglo BC); sa tulong ng mga curve na ito, nalutas ang ilang mga problema sa konstruksiyon (pagdodoble ng kubo, atbp.), Na naging hindi maa-access kapag gumagamit ng pinakasimpleng mga tool sa pagguhit - isang compass at ruler. Sa mga unang pag-aaral na dumating sa amin, nakuha ng mga Greek geometer ang mga conic section sa pamamagitan ng pagguhit ng cutting plane na patayo sa isa sa mga generator, habang, depende sa opening angle sa tuktok ng cone (i.e., ang pinakamalaking anggulo sa pagitan ng mga generators. ng isang lukab), ang linya ng intersection ay naging isang ellipse, kung ang anggulong ito ay talamak, ito ay isang parabola, kung ito ay isang tamang anggulo, at isang hyperbola, kung ito ay mahina. Ang pinakakumpletong gawain na nakatuon sa mga kurba na ito ay ang "Mga Seksyon ng Conic" ng Apollonius ng Perga (mga 200 BC). Ang mga karagdagang pagsulong sa teorya ng mga conic na seksyon ay nauugnay sa paglikha noong ika-17 siglo. bagong geometric na pamamaraan: projective (French mathematicians J. Desargues, B. Pascal) at lalo na coordinate (French mathematician R. Descartes, P. Fermat).

Ang interes sa mga conic na seksyon ay palaging sinusuportahan ng katotohanan na ang mga curve na ito ay madalas na matatagpuan sa iba't ibang natural na phenomena at sa aktibidad ng tao. Sa agham, ang mga seksyon ng conic ay nakakuha ng espesyal na kabuluhan pagkatapos matuklasan ng German astronomer na si I. Kepler mula sa mga obserbasyon, at ang Ingles na siyentipiko na si I. Newton ay theoretically pinatunayan ang mga batas ng planetary motion, isa sa mga ito ay nagsasaad na ang mga planeta at kometa ng solar system ay gumagalaw sa kahabaan ng conic mga seksyon, sa isa mula sa foci kung saan ay ang Araw. Ang mga sumusunod na halimbawa ay tumutukoy sa ilang uri ng mga conic section: ang projectile o isang bato na itinapon nang pahilis sa abot-tanaw ay naglalarawan ng parabola (ang tamang hugis ng curve ay medyo nabaluktot ng air resistance); sa ilang mga mekanismo, ginagamit ang mga elliptical gear ("elliptical gear"); Ang hyperbola ay nagsisilbing isang graph ng kabaligtaran na proporsyonalidad, kadalasang sinusunod sa kalikasan (halimbawa, ang batas ng Boyle-Mariotte).

Layunin:

Ang pag-aaral ng teorya ng conic sections.

Paksa ng pananaliksik:

Mga seksyon ng conic.

Layunin ng pag-aaral:

Theoretically pag-aralan ang mga tampok ng conic seksyon.

Layunin ng pag-aaral:

Mga seksyon ng conic.

Paksa ng pag-aaral:

Makasaysayang pag-unlad ng mga conic na seksyon.

1. Pagbuo ng mga conic section at ang kanilang mga uri

Ang mga conic na seksyon ay mga linyang nabubuo sa seksyon ng isang kanang pabilog na kono na may magkakaibang mga eroplano.

Tandaan na ang isang conical surface ay isang ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya na dumadaan sa lahat ng oras sa isang nakapirming punto (sa tuktok ng kono) at nagsa-intersect sa lahat ng oras sa isang nakapirming curve - isang gabay (sa aming kaso, isang bilog. ).

Ang pag-uuri ng mga linyang ito ayon sa likas na katangian ng lokasyon ng mga secant na eroplano na nauugnay sa mga generator ng kono, tatlong uri ng mga kurba ang nakuha:

I. Mga kurba na nabuo sa pamamagitan ng isang seksyon ng isang kono sa pamamagitan ng mga eroplano na hindi parallel sa alinman sa mga generator. Ang ganitong mga kurba ay magiging iba't ibang mga bilog at ellipse. Ang mga kurba na ito ay tinatawag na elliptic curves.

II. Mga kurba na nabuo sa pamamagitan ng isang seksyon ng isang kono sa pamamagitan ng mga eroplano, ang bawat isa ay kahanay sa isa sa mga generatrix ng kono (Larawan 1b). Ang mga parabola lamang ang magiging ganoong mga kurba.

III. Mga kurba na nabuo sa pamamagitan ng isang seksyon ng isang kono sa pamamagitan ng mga eroplano, na ang bawat isa ay kahanay sa ilang dalawang generator (Larawan 1 c). ang gayong mga kurba ay magiging hyperbolas.

Hindi na maaaring magkaroon ng anumang uri ng IV curves, dahil hindi maaaring magkaroon ng isang eroplanong parallel sa tatlong generator ng isang cone nang sabay-sabay, dahil walang tatlong generator ng isang cone mismo ang nakahiga sa parehong eroplano.

Tandaan na ang kono ay maaaring intersected ng mga eroplano at upang ang dalawang tuwid na linya ay makuha sa seksyon. Upang gawin ito, ang mga secant na eroplano ay dapat na iguguhit sa tuktok ng kono.

2. Ellipse

Dalawang theorems ang mahalaga para sa pag-aaral ng mga katangian ng conic sections:

Theorem 1. Hayaang magbigay ng isang tuwid na pabilog na kono, na pinaghiwa-hiwalay ng mga eroplano b 1, b 2, b 3, patayo sa axis nito. Pagkatapos ang lahat ng mga segment ng mga generator ng kono sa pagitan ng anumang pares ng mga bilog (nakuha sa seksyon na may ibinigay na mga eroplano) ay katumbas ng bawat isa, i.e. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d, atbp. at B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d, atbp. Theorem 2. Kung ang isang spherical surface ay ibinigay at ang ilang point S ay nasa labas nito, kung gayon ang mga segment ng tangents na iginuhit mula sa point S hanggang sa spherical surface ay magiging katumbas ng bawat isa, i.e. SA 1 =SA 2 =SA 3 atbp.

2.1 Pangunahing katangian ng isang ellipse

Pinutol namin ang isang kanang pabilog na kono na may isang eroplano na nagsasalubong sa lahat ng mga generator nito. Sa seksyon, nakakakuha kami ng isang ellipse. Gumuhit tayo ng isang eroplano na patayo sa eroplano sa pamamagitan ng axis ng kono.

Isulat natin ang dalawang bola sa kono upang, na matatagpuan sa magkabilang panig ng eroplano at hawakan ang conical na ibabaw, bawat isa sa kanila ay humipo sa eroplano sa isang punto.

Hayaang hawakan ng isang bola ang eroplano sa puntong F 1 at hawakan ang kono sa kahabaan ng bilog C 1, at ang isa pa sa puntong F 2 at hawakan ang kono sa kahabaan ng bilog C 2 .

Kumuha ng arbitrary point P sa ellipse.

Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga konklusyon na ginawa tungkol dito ay magiging wasto para sa anumang punto ng ellipse. Iguhit natin ang generatrix ng OR ng cone at markahan ang mga puntos na R 1 at R 2 kung saan nahawakan nito ang mga nabuong bola.

Ikonekta ang punto P sa mga puntos na F 1 at F 2 . Pagkatapos PF 1 = PR 1 at PF 2 = PR 2, dahil ang PF 1, PR 1 ay mga tangent na iginuhit mula sa puntong P patungo sa isang bola, at ang PF 2, PR 2 ay mga tangent na iginuhit mula sa puntong P patungo sa isa pang bola (theorem 2 ) . Ang pagdaragdag ng magkaparehong termino ayon sa termino, nahanap namin

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Ipinapakita ng ugnayang ito na ang kabuuan ng mga distansya (РF 1 at РF 2) ng isang arbitrary na punto P ng ellipse sa dalawang puntos na F 1 at F 2 ay isang pare-parehong halaga para sa ellipse na ito (ibig sabihin, hindi ito nakadepende sa posisyon ng ang punto P sa ellipse).

Ang mga puntong F 1 at F 2 ay tinatawag na foci ng ellipse. Ang mga punto kung saan ang linyang F 1 F 2 ay nag-intersect sa ellipse ay tinatawag na vertices ng ellipse. Ang segment sa pagitan ng vertices ay tinatawag na major axis ng ellipse.

Ang segment ng generatrix R 1 R 2 ay katumbas ng haba sa major axis ng ellipse. Pagkatapos ay ang pangunahing pag-aari ng ellipse ay nabuo tulad ng sumusunod: ang kabuuan ng mga distansya ng isang arbitrary na punto P ng ellipse sa foci nito F 1 at F 2 ay isang pare-parehong halaga para sa ellipse na ito, katumbas ng haba ng pangunahing axis nito.

Tandaan na kung ang foci ng ellipse ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay isang bilog, i.e. ang bilog ay isang espesyal na kaso ng isang ellipse.

2.2 Ellipse equation

Upang bumalangkas ng equation ng isang ellipse, dapat nating isaalang-alang ang ellipse bilang locus ng mga punto na mayroong ilang katangian na nagpapakilala sa locus na ito. Kunin natin ang pangunahing pag-aari ng ellipse bilang kahulugan nito: Ang Ellipse ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming punto F 1 at F 2 ng eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng ang haba ng pangunahing axis nito.

Hayaan ang haba ng segment F 1 F 2 \u003d 2c, at ang haba ng pangunahing axis ay 2a. Upang makuha ang canonical equation ng ellipse, pipiliin namin ang pinagmulan O ng Cartesian coordinate system sa gitna ng segment F 1 F 2, at idirekta ang mga axes na Ox at Oy tulad ng ipinapakita sa Figure 5. (Kung ang foci ay nag-tutugma, kung gayon Ang O ay nag-tutugma sa F 1 at F 2, at lampas sa axis Ang Ox ay maaaring kunin bilang anumang axis na dumadaan sa O). Pagkatapos sa napiling coordinate system ang mga puntos na F 1 (c, 0) at F 2 (-c, 0). Malinaw, 2a > 2c, i.e. a>c. Hayaang ang M(x, y) ay isang punto ng eroplanong kabilang sa ellipse. Hayaan ang МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Ayon sa kahulugan ng isang ellipse, ang pagkakapantay-pantay

Ang r 1 +r 2 =2a (2) ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa lokasyon ng puntong M (x, y) sa isang binigay na ellipse. Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos, nakukuha namin

r 1 =, r 2 =. Bumalik tayo sa pagkakapantay-pantay (2):

Ilipat natin ang isang ugat sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at parisukat ito:

Pagbawas, nakukuha natin:

Nagbibigay kami ng mga katulad, bawasan ng 4 at ihiwalay ang radikal:

Square kami

Buksan ang mga bracket at paikliin sa:

mula sa kung saan kami kumukuha:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Tandaan na ang isang 2 -c 2 >0. Sa katunayan, ang r 1 +r 2 ay ang kabuuan ng dalawang panig ng tatsulok F 1 MF 2 , at ang F 1 F 2 ay ang ikatlong panig nito. Samakatuwid, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , o 2а>2с, i.e. a>c. Tukuyin ang isang 2 -c 2 \u003d b 2. Ang equation (3) ay magiging ganito: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Magsagawa tayo ng isang pagbabagong-anyo na nagdadala ng ellipse equation sa canonical (literal: kinuha bilang isang sample) na form, ibig sabihin, hinahati natin ang parehong bahagi ng equation sa isang 2 b 2:

(4) - canonical equation ng isang ellipse.

Dahil ang equation (4) ay isang algebraic na kinahinatnan ng equation (2*), kung gayon ang x at y na mga coordinate ng anumang punto M ng ellipse ay makakatugon din sa equation (4). Dahil maaaring lumitaw ang "mga sobrang ugat" sa panahon ng mga pagbabagong algebraic na nauugnay sa pag-alis ng mga radikal, kinakailangang tiyakin na ang anumang puntong M, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (4), ay matatagpuan sa ellipse na ito. Upang gawin ito, sapat na upang patunayan na ang mga dami r 1 at r 2 para sa bawat punto ay nakakatugon sa kaugnayan (2). Kaya, hayaan ang x at y na mga coordinate ng point M na matugunan ang equation (4). Ang pagpapalit ng halaga ng y 2 mula sa (4) sa expression na r 1 , pagkatapos ng mga simpleng pagbabago ay makikita natin na r 1 =. Dahil, pagkatapos r 1 =. Medyo katulad, nakita namin na r 2 =. Kaya, para sa itinuturing na punto M r 1 =, r 2 =, i.e. r 1 + r 2 \u003d 2a, samakatuwid ang punto M ay matatagpuan sa isang ellipse. Ang mga dami ng a at b ay tinatawag na major at minor semiaxes ng ellipse, ayon sa pagkakabanggit.

2.3 Pag-aaral ng hugis ng isang ellipse ayon sa equation nito

Itatag natin ang hugis ng ellipse gamit ang canonical equation nito.

1. Ang equation (4) ay naglalaman lamang ng x at y sa magkapantay na kapangyarihan, kaya kung ang punto (x, y) ay kabilang sa ellipse, kung gayon ang mga puntos (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Kasunod nito na ang ellipse ay simetriko tungkol sa mga axes na Ox at Oy, gayundin sa puntong O (0,0), na tinatawag na sentro ng ellipse.

2. Hanapin ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga coordinate axes. Ang paglalagay ng y \u003d 0, nakita namin ang dalawang puntos na A 1 (a, 0) at A 2 (-a, 0), kung saan ang axis ng Ox ay nag-intersect sa ellipse. Sa paglalagay ng x=0 sa equation (4), makikita natin ang mga intersection point ng ellipse na may Oy axis: B 1 (0, b) at. B 2 (0, - b) Ang mga puntos A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ay tinatawag na ellipse vertices.

3. Mula sa equation (4) sumusunod na ang bawat termino sa kaliwang bahagi ay hindi lalampas sa pagkakaisa, i.e. may mga hindi pagkakapantay-pantay at o at. Samakatuwid, ang lahat ng mga punto ng ellipse ay nasa loob ng parihaba na nabuo ng mga tuwid na linya, .

4. Sa equation (4), ang kabuuan ng mga di-negatibong termino at katumbas ng isa. Samakatuwid, habang tumataas ang isang termino, bababa ang isa, i.e. Kung ang x ay tumaas, ang y ay bumababa at vice versa.

Mula sa sinabi, sumusunod na ang ellipse ay may hugis na ipinapakita sa Fig. 6 (oval closed curve).

Tandaan na kung a = b, ang equation (4) ay kukuha ng anyong x 2 + y 2 = a 2 . Ito ang equation ng bilog. Ang isang ellipse ay maaaring makuha mula sa isang bilog na may radius a, kung ito ay na-compress nang isang beses sa kahabaan ng Oy axis. Sa ganitong pag-urong, ang punto (x; y) ay mapupunta sa punto (x; y 1), kung saan. Ang pagpapalit ng bilog sa equation, makuha natin ang ellipse equation: .

Ipakilala natin ang isa pang dami na nagpapakilala sa hugis ng ellipse.

Ang eccentricity ng isang ellipse ay ang ratio ng focal length 2c sa haba 2a ng major axis nito.

Ang eccentricity ay karaniwang tinutukoy ng e: e = Since c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Mula sa huling pagkakapantay-pantay, madaling makakuha ng geometric na interpretasyon ng eccentricity ng ellipse. Para sa napakaliit na mga numero, ang a at b ay halos pantay, iyon ay, ang ellipse ay malapit sa isang bilog. Kung ito ay malapit sa pagkakaisa, kung gayon ang numero b ay napakaliit kumpara sa numero a, at ang ellipse ay malakas na pinahaba sa kahabaan ng pangunahing axis. Kaya, ang eccentricity ng ellipse ay nagpapakilala sa sukat ng pagpahaba ng ellipse.

3. Hyperbole

3.1 Ang pangunahing katangian ng hyperbola

Ang paggalugad sa hyperbola sa tulong ng mga konstruksyon na katulad ng mga konstruksyon na isinagawa para sa pag-aaral ng ellipse, nalaman namin na ang hyperbola ay may mga katangian na katulad ng sa ellipse.

Gupitin natin ang isang tuwid na pabilog na kono sa pamamagitan ng isang eroplanong b na nagsasalubong sa magkabilang mga eroplano nito, i.e. parallel sa dalawa sa mga generator nito. Ang cross section ay isang hyperbola. Iguhit natin sa axis ST ng kono ang eroplanong ASB, patayo sa eroplano b.

Isulat natin ang dalawang bola sa kono - isa sa isa sa kanyang lukab, ang isa pa sa isa, upang ang bawat isa sa kanila ay hawakan ang korteng kono na ibabaw at ang secant na eroplano. Hayaang hawakan ng unang bola ang eroplano b sa puntong F 1 at hawakan ang korteng ibabaw sa kahabaan ng bilog na UґVґ. Hayaang hawakan ng pangalawang bola ang eroplano b sa puntong F 2 at hawakan ang korteng kono sa kahabaan ng bilog na UV.

Pumili tayo ng di-makatwirang punto M sa hyperbola. Iguhit natin ang generatrix ng cone MS sa pamamagitan nito at markahan ang mga puntong d at D kung saan nahawakan nito ang una at pangalawang bola. Ikinonekta namin ang puntong M sa mga puntos na F 1 , F 2 , na tatawagin namin ang mga pokus ng hyperbola. Pagkatapos MF 1 =Md, dahil ang parehong mga segment ay padaplis sa unang bola, iginuhit mula sa puntong M. Katulad nito, MF 2 =MD. Ang pagbabawas ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa unang pagkakapantay-pantay sa pangalawa, nakita namin

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

kung saan ang dD ay isang pare-parehong halaga (bilang isang generatrix ng isang kono na may mga baseng UґVґ at UV), independiyente sa pagpili ng puntong M sa hyperbola. Tukuyin sa pamamagitan ng P at Q ang mga punto kung saan ang linyang F 1 F 2 ay nag-intersect sa hyperbola. Ang mga puntong P at Q na ito ay tinatawag na vertices ng hyperbola. Ang segment na PQ ay tinatawag na tunay na axis ng hyperbola. Sa kurso ng elementarya geometry ay pinatunayan na dD=PQ. Samakatuwid, MF 1 -MF 2 =PQ.

Kung ang puntong M ay nasa sangay na iyon ng hyperbola, malapit sa kung saan matatagpuan ang focus F 1, pagkatapos ay MF 2 -MF 1 =PQ. Pagkatapos ay sa wakas ay makukuha natin ang МF 1 -MF 2 =PQ.

Ang modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya ng isang arbitrary na punto M ng isang hyperbola mula sa foci nito F 1 at F 2 ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng haba ng totoong axis ng hyperbola.

3.2 Equation ng isang hyperbola

Kunin natin ang pangunahing katangian ng hyperbola bilang kahulugan nito: Ang hyperbola ay isang locus ng mga punto sa isang eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang nakapirming punto F 1 at F 2 ng eroplanong ito, na tinatawag na foci, ay pare-pareho. halaga na katumbas ng haba ng totoong axis nito.

Hayaan ang haba ng segment F 1 F 2 \u003d 2c, at ang haba ng totoong axis ay 2a. Upang makuha ang canonical equation ng hyperbola, pipiliin natin ang pinagmulan O ng Cartesian coordinate system sa gitna ng segment F 1 F 2, at idirekta ang mga axes na Ox at Oy tulad ng ipinapakita sa Figure 5. Pagkatapos ay sa napiling coordinate system, ang mga puntos na F 1 (c, 0) at F 2 ( -s, 0). Malinaw na 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

Ang r 1 -r 2 \u003d 2a (5) ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa lokasyon ng point M (x, y) sa hyperbola na ito. Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang puntos, nakukuha namin

r 1 =, r 2 =. Bumalik tayo sa pagkakapantay-pantay (5):

I-square natin ang magkabilang panig ng equation

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Pagbawas, nakukuha natin:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Tandaan na c 2 -a 2 >0. Tukuyin ang c 2 -a 2 =b 2 . Ang equation (6) ay magiging ganito: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Nagsasagawa kami ng isang pagbabagong-anyo na nagdadala ng hyperbola equation sa canonical form, ibig sabihin, hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng a 2 b 2: (7) - ang canonical equation ng hyperbola, ang mga dami a at b ay, ayon sa pagkakabanggit, ang tunay at haka-haka na mga semiax ng hyperbola.

Dapat nating tiyakin na ang equation (7), na nakuha ng algebraic transformations ng equation (5*), ay hindi nakakuha ng mga bagong ugat. Upang gawin ito, sapat na upang patunayan na para sa bawat punto M, ang mga coordinate x at y na kung saan ay nagbibigay-kasiyahan sa equation (7), ang mga halaga r 1 at r 2 ay nagbibigay-kasiyahan sa kaugnayan (5). Ang pagsasagawa ng mga argumento na katulad ng ginawa kapag nagmula sa ellipse formula, makikita natin ang mga sumusunod na expression para sa r 1 at r 2:

Kaya, para sa isinasaalang-alang na punto M mayroon kaming r 1 -r 2 =2a, at samakatuwid ito ay matatagpuan sa hyperbola.

3.3 Pag-aaral ng hyperbola equation

Ngayon subukan natin, batay sa pagsasaalang-alang ng equation (7), upang makakuha ng ideya ng lokasyon ng hyperbola.
1. Una sa lahat, ang equation (7) ay nagpapakita na ang hyperbola ay simetriko tungkol sa parehong mga palakol. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na kahit na mga antas ng mga coordinate lamang ang kasama sa equation ng curve. 2. Minarkahan na natin ngayon ang rehiyon ng eroplano kung saan matatagpuan ang kurba. Ang equation ng hyperbola, na niresolba nang may kinalaman sa y, ay may anyo:

Ipinapakita nito na ang y ay palaging umiiral kapag x 2? a 2 . Ibig sabihin para sa x? a at para sa x? - at ang y-ordinate ay magiging totoo, at para sa - a

Dagdag pa, sa pagtaas ng x (at mas malaki ang a), ang y-ordinate ay lalago din sa lahat ng oras (sa partikular, makikita mula dito na ang kurba ay hindi maaaring kulot, ibig sabihin, sa paglaki ng abscissa ng x, ang y-ordinate ay tumataas o bumaba) .

3. Ang sentro ng hyperbola ay isang punto kung saan ang bawat punto ng hyperbola ay may punto dito na simetriko sa sarili nito. Ang puntong O(0,0), ang pinagmulan, tulad ng para sa ellipse, ay ang sentro ng hyperbola na ibinigay ng canonical equation. Nangangahulugan ito na ang bawat punto ng hyperbola ay may simetriko na punto sa hyperbola na may paggalang sa puntong O. Ito ay sumusunod mula sa simetrya ng hyperbola na may paggalang sa mga axes na Ox at Oy. Anumang chord ng hyperbola na dumadaan sa gitna nito ay tinatawag na diameter ng hyperbola.

4. Ang mga intersection point ng hyperbola na may linya kung saan nakahiga ang foci nito ay tinatawag na vertices ng hyperbola, at ang segment sa pagitan ng mga ito ay tinatawag na real axis ng hyperbola. Sa kasong ito, ang tunay na axis ay ang x-axis. Tandaan na ang totoong axis ng hyperbola ay madalas na tinatawag na segment 2a at ang mismong tuwid na linya (ang Ox axis) kung saan ito nakahiga.

Hanapin ang mga intersection point ng hyperbola na may Oy axis. Ang y-axis equation ay x=0. Ang pagpapalit ng x = 0 sa equation (7), nakuha natin na ang hyperbola ay walang mga punto ng intersection sa Oy axis. Naiintindihan ito, dahil walang mga hyperbola point sa isang strip ng lapad na 2a, na sumasaklaw sa Oy axis.

Ang linyang patayo sa totoong axis ng hyperbola at dumadaan sa gitna nito ay tinatawag na imaginary axis ng hyperbola. Sa kasong ito, ito ay tumutugma sa y-axis. Kaya, sa mga denominador ng mga terminong may x 2 at y 2 sa hyperbola equation (7) ay ang mga parisukat ng tunay at haka-haka na semiax ng hyperbola.

5. Nag-intersect ang hyperbola sa linyang y = kx para sa k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Patunay

Upang matukoy ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng hyperbola at ang tuwid na linya y = kx, kinakailangan upang malutas ang sistema ng mga equation

Tinatanggal y, nakukuha namin

o Para sa b 2 -k 2 a 2 0, iyon ay, para sa k, ang resultang equation, at samakatuwid ang sistema ng mga solusyon, ay wala.

Ang mga tuwid na linya na may mga equation na y= at y= - ay tinatawag na asymptotes ng hyperbola.

Para sa b 2 -k 2 a 2 >0, ibig sabihin, para sa k< система имеет два решения:

Samakatuwid, ang bawat tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan, na may slope k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Optical na ari-arian ng hyperbola: optical rays na nagmumula sa isang focus ng hyperbola, na sinasalamin mula dito, tila nagmumula sa pangalawang focus.

Ang eccentricity ng hyperbola ay ang ratio ng focal length 2c sa haba 2a ng totoong axis nito?
mga. mula sa gilid ng kalungkutan nito.

3.4 Conjugate hyperbola

Kasama ng hyperbola (7), ang tinatawag na conjugate hyperbola na may kinalaman dito ay isinasaalang-alang. Ang conjugate hyperbola ay tinukoy ng canonical equation.

Sa fig. Ipinapakita ng 10 ang hyperbola (7) at ang conjugate hyperbola nito. Ang conjugate hyperbola ay may parehong asymptotes gaya ng ibinigay, ngunit F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Pangunahing katangian ng isang parabola

Itatag natin ang mga pangunahing katangian ng isang parabola. Putulin natin ang isang kanang pabilog na kono na may vertex S sa pamamagitan ng isang eroplanong parallel sa isa sa mga generator nito. Sa seksyong nakakakuha tayo ng parabola. Iguhit natin sa axis ST ng kono ang eroplanong ASB, patayo sa eroplano (Larawan 11). Ang generatrix SA na nakahiga dito ay magiging parallel sa eroplano. Isulat natin sa kono ang isang spherical surface tangent sa cone sa kahabaan ng bilog na UV at padaplis sa eroplano sa puntong F. Gumuhit ng linya sa puntong F parallel sa generator SA. Tukuyin natin ang punto ng intersection nito sa generatrix SB sa pamamagitan ng P. Ang punto F ay tinatawag na focus ng parabola, ang point P ay ang vertex nito, at ang linyang PF na dumadaan sa vertex at ang focus (at parallel sa generatrix SA) ay tinatawag na axis ng parabola. Ang parabola ay hindi magkakaroon ng pangalawang vertex - ang punto ng intersection ng PF axis na may generatrix SA: ang puntong ito ay "pumupunta sa infinity". Tawagan natin ang directrix (sa pagsasalin ay nangangahulugang "gabay") ang linya q 1 q 2 ng intersection ng eroplano sa eroplano kung saan namamalagi ang bilog na UV. Kumuha ng arbitrary point M sa parabola at ikonekta ito sa vertex ng cone S. Ang linyang MS ay dumampi sa bola sa puntong D na nakahiga sa bilog na UV. Ikinonekta namin ang point M na may focus F at i-drop ang perpendicular MK mula sa point M hanggang sa directrix. Pagkatapos ay lumalabas na ang mga distansya ng isang di-makatwirang punto M ng parabola sa focus (MF) at sa directrix (MK) ay katumbas ng bawat isa (ang pangunahing pag-aari ng parabola), i.e. MF=MK.

Patunay: МF=MD (bilang tangents sa isang bola mula sa isang punto). Tukuyin natin ang anggulo sa pagitan ng alinman sa mga generatrix ng kono at ng ST axis bilang q. I-project natin ang mga segment na MD at MK sa ST axis. Ang segment na MD ay bumubuo ng projection papunta sa ST axis, katumbas ng MDcosc, dahil ang MD ay nasa generatrix ng cone; ang segment MK ay bumubuo ng projection papunta sa ST axis, katumbas ng MKsoc, dahil ang segment MK ay parallel sa generatrix SA. (Sa katunayan, ang directrix q 1 q 1 ay patayo sa eroplanong ASB. Samakatuwid, ang linyang PF ay nag-intersect sa directrix sa puntong L sa isang tamang anggulo. Ngunit ang mga linya ng MK at PF ay nasa parehong eroplano, at ang MK ay patayo din. sa directrix). Ang mga projection ng parehong mga segment na MK at MD papunta sa ST axis ay katumbas ng bawat isa, dahil ang isa sa kanilang mga dulo - ang punto M - ay karaniwan, at ang iba pang dalawang D at K ay nakahiga sa isang eroplano na patayo sa ST axis (Fig. ). Pagkatapos ay МDcosц= MKsоsц o МD= MK. Samakatuwid, MF=MK.

Ari-arian 1.(Focal property ng isang parabola).

Ang distansya mula sa anumang punto ng parabola hanggang sa gitna ng pangunahing chord ay katumbas ng distansya nito sa directrix.

Patunay.

Point F - ang punto ng intersection ng linya QR at ang pangunahing chord. Ang puntong ito ay nasa axis ng simetrya Oy. Sa katunayan, ang mga tatsulok na RNQ at ROF ay magkatugma, tulad ng mga right-angled na tatsulok

mga tatsulok na may maagang mga binti (NQ=OF, OR=RN). Samakatuwid, kahit anong punto N ang ating kunin, ang linyang QR na itinayo sa kahabaan nito ay mag-intersect sa pangunahing chord sa gitnang F. Ngayon ay malinaw na ang tatsulok na FMQ ay isosceles. Sa katunayan, ang segment na MR ay parehong median at ang taas ng tatsulok na ito. Ito ay nagpapahiwatig na ang MF=MQ.

Ari-arian 2.(Optical property ng isang parabola).

Anumang tangent sa parabola ay gumagawa ng pantay na mga anggulo na may focal radius na iginuhit sa tangent point at ang ray na nagmumula sa tangent point at nakadirekta sa axis (o, ang mga ray na lumalabas sa isang focus, na makikita mula sa parabola, ay pupunta parallel sa axis).

Patunay. Para sa isang puntong N na nakahiga sa mismong parabola, ang pagkakapantay-pantay |FN|=|NH| ay totoo, at para sa isang puntong N" na nasa panloob na rehiyon ng parabola, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, ibig sabihin, ang puntong M" ay nasa panlabas na rehiyon ng parabola. Kaya, ang buong linya l, maliban sa puntong M, ay nasa panlabas na rehiyon, iyon ay, ang panloob na rehiyon ng parabola ay nasa isang gilid ng l, na nangangahulugan na ang l ay padaplis sa parabola. Nagbibigay ito ng patunay ng optical property ng parabola: ang anggulo 1 ay katumbas ng anggulo 2, dahil ang l ay ang bisector ng anggulo FMK.

4.2 Equation ng isang parabola

Batay sa pangunahing katangian ng isang parabola, binubuo namin ang kahulugan nito: ang parabola ay isang set ng lahat ng mga punto sa isang eroplano, ang bawat isa ay pantay na malayo sa isang partikular na punto, na tinatawag na focus, at isang ibinigay na tuwid na linya, na tinatawag na directrix. . Ang distansya mula sa focus F hanggang sa directrix ay tinatawag na parameter ng parabola at tinutukoy ng p (p > 0).

Upang makuha ang parabola equation, pipiliin namin ang Oxy coordinate system upang ang Oxy axis ay dumaan sa focus F patayo sa directrix sa direksyon mula sa directrix hanggang F, at ang origin O ay matatagpuan sa gitna sa pagitan ng focus at directrix. (Larawan 12). Sa napiling sistema, ang focus ay F(, 0), at ang directrix equation ay may anyo na x=-, o x+=0. Hayaang ang m (x, y) ay isang arbitrary na punto ng parabola. Ikonekta ang punto M sa F. Iguhit ang segment na MH patayo sa directrix. Ayon sa kahulugan ng isang parabola, MF = MH. Gamit ang pormula para sa distansya sa pagitan ng dalawang punto, nakita namin:

Samakatuwid, ang pag-squaring sa magkabilang panig ng equation, nakukuha natin

mga. (8) Ang equation (8) ay tinatawag na canonical equation ng isang parabola.

4.3 Pag-aaral ng mga anyo ng isang parabola ayon sa equation nito

1. Sa equation (8), ang variable na y ay kasama sa isang even degree, na nangangahulugan na ang parabola ay simetriko tungkol sa Ox axis; ang x-axis ay ang axis ng symmetry ng parabola.

2. Dahil c > 0, ito ay sumusunod mula sa (8) na x>0. Samakatuwid, ang parabola ay matatagpuan sa kanan ng y-axis.

3. Hayaan ang x \u003d 0, pagkatapos ay y \u003d 0. Samakatuwid, ang parabola ay dumadaan sa pinanggalingan.

4. Sa walang limitasyong pagtaas sa x, ang module y ay tumataas din nang walang katiyakan. Ang parabola y 2 \u003d 2 px ay may anyo (hugis) na ipinapakita sa Figure 13. Ang point O (0; 0) ay tinatawag na vertex ng parabola, ang segment na FM \u003d r ay tinatawag na focal radius ng point M Tinutukoy din ng mga equation na y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) ang mga parabola.

1.5. Pag-aari ng direktoryo ng mga conic na seksyon .

Dito ay pinatutunayan namin na ang bawat di-circular (non-degenerate) conic na seksyon ay maaaring tukuyin bilang isang set ng mga puntos M, ang ratio ng distansya MF kung saan mula sa isang nakapirming punto F hanggang sa distansya ng MP mula sa isang nakapirming linya d hindi dumadaan. ang punto F ay katumbas ng isang pare-parehong halaga e: kung saan F - ang focus ng conic section, ang tuwid na linya d ay ang directrix, at ang ratio e ay ang eccentricity. (Kung ang punto F ay kabilang sa linya d, ang kundisyon ay tumutukoy sa hanay ng mga puntos, na isang pares ng mga linya, ibig sabihin, isang degenerate conic section; para sa e = 1, ang pares ng mga linyang ito ay nagsasama sa isang linya. Upang patunayan ito, isaalang-alang ang kono na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng linya l sa paligid ng intersecting ito sa punto O ng tuwid na linya p, na bumubuo ng l ang anggulo b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Let us inscribe a ball K sa cone touching the plane p at the point F and touching the cone along the circle S. Tinutukoy namin ang linya ng intersection ng plane p na may plane y ng circle S by d.

Ikonekta natin ngayon ang isang di-makatwirang punto M, na nakahiga sa linya A ng intersection ng eroplano p at ang kono, kasama ang vertex O ng kono at sa punto F, at i-drop ang patayo na MP mula M hanggang sa linya d; ipahiwatig din ng E ang punto ng intersection ng generator MO ng kono na may bilog na S.

Bukod dito, MF = ME, bilang mga segment ng dalawang tangents ng bola K, iginuhit mula sa isang punto M.

Dagdag pa, ang segment ME ay bumubuo sa axis p ng cone ng isang pare-pareho (i. samakatuwid, ang mga projection ng dalawang segment na ito sa p axis ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng ME cos b at MP cos c.

Ngunit ang mga projection na ito ay nag-tutugma, dahil ang mga segment na ME at MP ay may isang karaniwang pinagmulan M, at ang kanilang mga dulo ay nasa y-plane na patayo sa p-axis.

Samakatuwid, ME cos b = MP cos c, o, dahil ME = MF, MF cos b = MP cos c, kung saan ito sumusunod na

Madali ring ipakita na kung ang punto M ng eroplano p ay hindi kabilang sa kono, kung gayon. Kaya, ang bawat seksyon ng isang kanang pabilog na kono ay maaaring inilarawan bilang isang hanay ng mga punto sa eroplano, kung saan. Sa kabilang banda, sa pamamagitan ng pagbabago ng mga halaga ng mga anggulo b at c, maaari nating ibigay ang eccentricity ng anumang halaga e > 0; Dagdag pa, mula sa mga pagsasaalang-alang ng pagkakatulad, hindi mahirap unawain na ang distansya ng FQ mula sa focus hanggang sa directrix ay direktang proporsyonal sa radius r ng bola K (o ang distansya d ng eroplano p mula sa vertex O ng ang kono). Maaari itong ipakita na, sa gayon, sa pamamagitan ng pagpili ng distansya d nang naaangkop, maaari naming bigyan ang distansya FQ ng anumang halaga. Samakatuwid, ang bawat hanay ng mga puntos M, kung saan ang ratio ng mga distansya mula M hanggang sa isang nakapirming punto F at sa isang nakapirming linya d ay may pare-parehong halaga, ay maaaring ilarawan bilang isang kurba na nakuha sa seksyon ng isang kanang pabilog na kono ng isang eroplano. Ito ay nagpapatunay na ang (hindi nabubulok) na mga conic na seksyon ay maaari ding tukuyin ng ari-arian na tinalakay sa subsection na ito.

Ang pag-aari na ito ng mga conic na seksyon ay tinatawag na mga ito pag-aari ng direktoryo. Malinaw na kung c > b, kung gayon e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Sa kabilang banda, madaling makita na kung s > 6, kung gayon ang eroplanong p ay nag-intersect sa kono kasama ang isang saradong bounded na linya; kung c = b, pagkatapos ay ang eroplano p intersects ang kono kasama ng isang walang hangganan na linya; kung nasa< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Ang conic section kung saan e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 ay tinatawag na hyperbole. Kasama rin sa mga ellipse ang isang bilog, na hindi maaaring tukuyin ng isang pag-aari ng direktoryo; dahil para sa isang bilog ang ratio ay nagiging 0 (dahil sa kasong ito β \u003d 90º), ito ay kondisyon na isinasaalang-alang na ang bilog ay isang conic na seksyon na may eccentricity ng 0.

6. Ellipse, hyperbola at parabola bilang mga conic section

conic section ellipse hyperbola

Ang sinaunang Greek mathematician na si Menechmus, na natuklasan ang ellipse, hyperbola at parabola, ay tinukoy ang mga ito bilang mga seksyon ng isang pabilog na kono sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa isa sa mga generator. Tinawag niya ang mga resultang curves na mga seksyon ng acute-angled, rectangular at obtuse-angled cones, depende sa axial angle ng cone. Ang una, tulad ng makikita natin sa ibaba, ay isang ellipse, ang pangalawa ay isang parabola, ang pangatlo ay isang sangay ng isang hyperbola. Ang mga pangalang "ellipse", "hyperbola" at "parabola" ay ipinakilala ni Apollonius. Halos ganap na (7 sa 8 aklat) ang gawa ni Apollonius na "On Conic Sections" ay dumating sa amin. Sa gawaing ito, isinasaalang-alang ni Apollonius ang magkabilang palapag ng kono at pinag-intersect ang kono sa mga eroplano na hindi kinakailangang patayo sa isa sa mga generator.

Teorama. Ang seksyon ng anumang tuwid na pabilog na kono sa pamamagitan ng isang eroplano (hindi dumadaan sa tuktok nito) ay tumutukoy sa isang kurba, na maaari lamang maging isang hyperbola (Larawan 4), isang parabola (Larawan 5) o isang ellipse (Larawan 6). Bukod dito, kung ang eroplano ay nagsalubong lamang sa isang eroplano ng kono at kasama ang isang saradong kurba, kung gayon ang kurba na ito ay isang ellipse; kung ang isang eroplano ay bumalandra lamang sa isang eroplano sa isang bukas na kurba, kung gayon ang kurba na ito ay isang parabola; kung ang cutting plane ay nag-intersect sa parehong mga eroplano ng cone, pagkatapos ay isang hyperbola ay nabuo sa seksyon.

Ang isang eleganteng patunay ng teorama na ito ay iminungkahi noong 1822 ni Dandelin gamit ang mga sphere, na tinatawag na ngayong Dandelin spheres. Tingnan natin ang patunay na ito.

Isulat natin sa isang kono ang dalawang sphere na humipo sa eroplano ng seksyon П mula sa magkaibang panig. Tukuyin sa pamamagitan ng F1 at F2 ang mga punto ng kontak sa pagitan ng eroplanong ito at ng mga sphere. Kumuha tayo ng isang di-makatwirang punto M sa linya ng seksyon ng kono sa pamamagitan ng eroplanong P. Sa generatrix ng kono na dumadaan sa M, minarkahan natin ang mga puntos na P1 at P2 na nakahiga sa bilog na k1 at k2, kung saan ang mga sphere ay nakadikit sa kono.

Malinaw na ang MF1=MP1 bilang mga segment ng dalawang tangent sa unang globo na lumalabas sa M; gayundin, MF2=MP2. Samakatuwid, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Ang haba ng segment na P1P2 ay pareho para sa lahat ng mga punto M ng aming seksyon: ito ay ang generatrix ng isang pinutol na kono na napapalibutan ng magkatulad na mga eroplano 1 at 11, kung saan ang mga bilog na k1 at k2 ay namamalagi. Samakatuwid, ang linya ng seksyon ng kono sa pamamagitan ng eroplano P ay isang ellipse na may foci F1 at F2. Ang bisa ng theorem na ito ay maaari ding itatag sa batayan ng pangkalahatang posisyon na ang intersection ng isang second-order surface ng isang eroplano ay isang second-order line.

Panitikan

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometry. Sa loob ng 2 oras. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral ng pisika at matematika. ped. in-comrade-M.: Enlightenment, 1986.

2. Bazylev V.T. atbp. Geometry. Proc. allowance para sa mga mag-aaral ng 1st year ng physics. - banig. mga katotohanan ped. sa. - kasama-M .: Edukasyon, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometry. Proc. para sa 7-11 na mga cell. avg. paaralan - 4th ed.-M.: Enlightenment, 1993.

4. Kasaysayan ng matematika mula sa sinaunang panahon hanggang sa simula ng ika-19 na siglo. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Optical na katangian ng ellipse, hyperbola at parabola. // Quantum. - 1975. - No. 12. - kasama. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Isang maikling kurso sa analytic geometry. - M: Nauka, ika-6 na edisyon, 1967. - 267 p.

Mga Katulad na Dokumento

Ang konsepto ng mga conic na seksyon. Mga seksyon ng conic - mga intersection ng mga eroplano at cones. Mga uri ng mga conic na seksyon. Konstruksyon ng mga conic na seksyon. Ang conic na seksyon ay ang locus ng mga puntos na nakakatugon sa isang pangalawang-order na equation.

abstract, idinagdag noong 05.10.2008


"Mga conic na seksyon" ng Apollonius. Derivation ng curve equation para sa isang seksyon ng isang rectangular cone ng rebolusyon. Derivation ng equation para sa isang parabola, para sa isang ellipse at isang hyperbola. Invariance ng conic sections. Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng mga conic na seksyon sa mga gawa ni Apollonius.

abstract, idinagdag noong 02/04/2010


Ang konsepto at makasaysayang impormasyon tungkol sa kono, ang mga katangian ng mga elemento nito. Mga tampok ng pagbuo ng isang kono at mga uri ng mga seksyon ng conic. Konstruksyon ng Dandelin sphere at mga parameter nito. Application ng mga katangian ng conic sections. Pagkalkula ng mga lugar ng mga ibabaw ng kono.

pagtatanghal, idinagdag 04/08/2012


Ang konsepto ng matematika ng isang kurba. Ang pangkalahatang equation ng curve ng pangalawang order. Circle, ellipse, hyperbola at parabola equation. Axes ng symmetry ng isang hyperbola. Pag-aaral ng hugis ng isang parabola. Mga kurba ng ikatlo at ikaapat na pagkakasunud-sunod. Anjesi curl, Cartesian sheet.

thesis, idinagdag noong 10/14/2011


Repasuhin at paglalarawan ng iba't ibang mga pamamaraan para sa pagtatayo ng mga seksyon ng polyhedra, pagpapasiya ng kanilang mga lakas at kahinaan. Ang paraan ng mga pantulong na seksyon bilang isang unibersal na paraan para sa pagtatayo ng mga seksyon ng polyhedra. Mga halimbawa ng paglutas ng problema sa paksa ng pananaliksik.

pagtatanghal, idinagdag noong 01/19/2014


Ang pangkalahatang equation ng curve ng pangalawang order. Pagguhit ng mga equation ng isang ellipse, isang bilog, isang hyperbola at isang parabola. Ang eccentricity ng isang hyperbola. Focus at directix ng isang parabola. Pagbabago ng pangkalahatang equation sa canonical form. Depende sa uri ng curve sa mga invariant.

pagtatanghal, idinagdag noong 11/10/2014


Mga elemento ng triangle geometry: isogonal at isotomic conjugation, kapansin-pansin na mga punto at linya. Conics na nauugnay sa isang tatsulok: mga katangian ng mga conic na seksyon; conics circumscribed tungkol sa isang tatsulok at inscribed sa loob nito; aplikasyon sa paglutas ng problema.

term paper, idinagdag noong 06/17/2012


Ellipse, hyperbola, parabola bilang second-order curves na ginagamit sa mas mataas na matematika. Ang konsepto ng isang second-order curve ay isang linya sa isang eroplano, na sa ilang Cartesian coordinate system ay tinutukoy ng isang equation. Pascaml's theorem at Brianchon's theorem.

abstract, idinagdag noong 01/26/2011


Sa pinagmulan ng problema ng pagdodoble ng kubo (isa sa limang sikat na problema ng unang panahon). Ang unang kilalang pagtatangka upang malutas ang problema, ang solusyon ni Archit ng Tarentum. Paglutas ng problema sa sinaunang Greece pagkatapos ng Archytas. Mga solusyon gamit ang mga conic na seksyon ng Menechmus at Eratosthenes.

abstract, idinagdag 04/13/2014


Ang mga pangunahing uri ng seksyon ng kono. Isang seksyon na nabuo sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa axis ng kono (axial) at sa tuktok nito (tatsulok). Ang pagbuo ng isang seksyon sa pamamagitan ng isang plane parallel (parabola), patayo (circle) at hindi patayo (ellipse) sa axis.

Hayaang magbigay ng tamang pabilog na silindro, ang pahalang na eroplano ng mga projection ay kahanay sa base nito. Kapag ang isang silindro ay na-intersect ng isang eroplano sa pangkalahatang posisyon (ipinapalagay namin na ang eroplano ay hindi bumalandra sa mga base ng silindro), ang linya ng intersection ay isang ellipse, ang seksyon mismo ay may hugis ng isang ellipse, ang pahalang na projection nito ay tumutugma sa projection ng base ng silindro, at ang harap ay mayroon ding hugis ng isang ellipse. Ngunit kung ang cutting plane ay gumagawa ng isang anggulo na katumbas ng 45 ° na may cylinder axis, kung gayon ang seksyon, na may hugis ng isang ellipse, ay i-project ng isang bilog papunta sa projection plane kung saan ang seksyon ay nakahilig sa parehong anggulo.

Kung ang cutting plane ay bumalandra sa gilid na ibabaw ng silindro at isa sa mga base nito (Larawan 8.6), kung gayon ang linya ng intersection ay may hugis ng isang hindi kumpletong ellipse (bahagi ng isang ellipse). Ang pahalang na projection ng seksyon sa kasong ito ay bahagi ng bilog (projection ng base), at ang frontal ay bahagi ng ellipse. Ang eroplano ay matatagpuan patayo sa anumang projection plane, pagkatapos ay ang seksyon ay ipapakita sa projection plane na ito sa pamamagitan ng isang tuwid na linya (bahagi ng bakas ng secant plane).

Kung ang silindro ay intersected ng isang eroplano na kahanay sa generatrix, kung gayon ang mga linya ng intersection na may lateral na ibabaw ay tuwid, at ang seksyon mismo ay may hugis ng isang rektanggulo kung ang silindro ay tuwid, o isang parallelogram kung ang silindro ay hilig.

Tulad ng alam mo, ang parehong silindro at ang kono ay nabuo sa pamamagitan ng pinasiyahan na mga ibabaw.

Ang linya ng intersection (linya ng hiwa) ng pinasiyahan na ibabaw at ang eroplano sa pangkalahatang kaso ay isang tiyak na curve, na itinayo mula sa mga punto ng intersection ng mga generator na may secant na eroplano.

Hayaan itong ibigay tuwid na pabilog na kono. Kapag tumatawid ito sa isang eroplano, ang linya ng intersection ay maaaring magkaroon ng anyo ng: isang tatsulok, isang ellipse, isang bilog, isang parabola, isang hyperbola (Larawan 8.7), depende sa lokasyon ng eroplano.

Ang isang tatsulok ay nakuha kapag ang cutting plane, tumatawid sa kono, ay dumaan sa tuktok nito. Sa kasong ito, ang mga linya ng intersection na may lateral surface ay mga tuwid na linya na intersecting sa tuktok ng cone, na, kasama ang linya ng intersection ng base, ay bumubuo ng isang tatsulok na naka-project sa projection planes na may distortion. Kung ang eroplano ay bumalandra sa axis ng kono, kung gayon ang isang tatsulok ay nakuha sa seksyon, kung saan ang anggulo na may vertex na tumutugma sa tuktok ng kono ay magiging maximum para sa mga seksyon ng tatsulok ng ibinigay na kono. Sa kasong ito, ang seksyon ay inaasahang papunta sa pahalang na projection plane (ito ay parallel sa base nito) sa pamamagitan ng isang tuwid na linya ng segment.

Ang linya ng intersection ng isang eroplano at isang kono ay magiging isang ellipse kung ang eroplano ay hindi parallel sa alinman sa mga generator ng kono. Ito ay katumbas ng katotohanan na ang eroplano ay sumasalubong sa lahat ng mga generator (ang buong lateral surface ng kono). Kung ang cutting plane ay parallel sa base ng cone, kung gayon ang intersection line ay isang bilog, ang seksyon mismo ay inaasahang papunta sa horizontal projection plane nang walang distortion, at papunta sa frontal plane - bilang isang tuwid na linya ng segment.

Ang linya ng intersection ay magiging isang parabola kapag ang secant plane ay parallel sa isang generatrix lamang ng cone. Kung ang cutting plane ay parallel sa dalawang generator sa parehong oras, kung gayon ang linya ng intersection ay isang hyperbola.

Ang isang pinutol na kono ay nakuha kung ang isang kanang pabilog na kono ay intersected ng isang eroplanong parallel sa base at patayo sa axis ng kono, at ang itaas na bahagi ay itatapon. Sa kaso kapag ang pahalang na projection plane ay parallel sa mga base ng truncated cone, ang mga base na ito ay inaasahang papunta sa horizontal projection plane nang walang distortion ng concentric circles, at ang frontal projection ay isang trapezoid. Kapag ang isang pinutol na kono ay na-intersect ng isang eroplano, depende sa lokasyon nito, ang cut line ay maaaring magkaroon ng anyo ng isang trapezoid, ellipse, bilog, parabola, hyperbola, o bahagi ng isa sa mga curve na ito, ang mga dulo nito ay konektado ng isang tuwid na linya.