(bagaman madalas pareho).

Encyclopedic YouTube

• 1 / 5

  Ang posisyon ng sentro ng masa (sentro ng pagkawalang-galaw) ng isang sistema ng mga punto ng materyal sa klasikal na mekanika ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

  r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)m_(i)(\vec (r))_ (i))(\sum \limits _(i)m_(i))),)

  saan r → c (\displaystyle (\vec (r))_(c))- radius vector ng sentro ng masa, r → i (\displaystyle (\vec(r))_(i))- radius vector i-ang punto ng system, m i (\displaystyle m_(i))- timbang i-ang punto.

  Para sa kaso ng tuluy-tuloy na pamamahagi ng masa:

  r → c = 1 M ∫ V ρ (r →) r → d V , (\displaystyle (\vec (r))_(c)=(1 \over M)\int \limits _(V)\rho ( (\vec (r)))(\vec (r))dV,) M = ∫ V ρ (r →) d V , (\displaystyle M=\int \limits _(V)\rho ((\vec (r)))dV,)

  saan M (\displaystyle M) ay ang kabuuang masa ng system, V (\displaystyle V)- dami, ρ (\displaystyle \rho )- density. Ang sentro ng masa ay nagpapakilala sa pamamahagi ng masa sa isang katawan o isang sistema ng mga particle.

  Maaari itong ipakita na kung ang sistema ay hindi binubuo ng mga materyal na puntos, ngunit ng mga pinahabang katawan na may masa M i (\displaystyle M_(i)), pagkatapos ay ang radius vector ng sentro ng masa ng naturang sistema R c (\displaystyle R_(c)) nauugnay sa radius vectors ng mga sentro ng masa ng mga katawan R c i (\displaystyle R_(ci)) ratio:

  R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . (\displaystyle (\vec (R))_(c)=(\frac (\sum \limits _(i)M_(i)(\vec (R))_(ci))(\sum \limits _( i) M_(i))).)

  Sa madaling salita, sa kaso ng mga pinahabang katawan, ang isang formula ay may bisa, na sa istraktura nito ay tumutugma sa ginamit para sa mga materyal na puntos.

  Mga sentro ng masa ng flat homogenous na mga numero

  Ang mga coordinate ng sentro ng masa ng isang homogenous na flat figure ay maaaring kalkulahin ng mga formula (isang kinahinatnan ng Pappa-Guldin theorems):

  x s = V y 2 π S (\displaystyle x_(s)=(\frac (V_(y))(2\pi S))) at y s = V x 2 π S (\displaystyle y_(s)=(\frac (V_(x))(2\pi S))), saan V x , V y (\displaystyle V_(x),V_(y))- ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure sa paligid ng kaukulang axis, S (\displaystyle S) ay ang lugar ng pigura.

  Mga Sentro ng Mass of Perimeters ng Homogeneous Figures

  Upang maiwasan ang mga pagkakamali, dapat itong maunawaan na sa SRT ang sentro ng masa ay nailalarawan hindi sa pamamagitan ng pamamahagi ng masa, ngunit sa pamamagitan ng pamamahagi ng enerhiya. Sa kurso sa teoretikal na pisika nina Landau at Lifshitz, ang terminong "center of inertia" ay ginustong. Sa Kanluraning panitikan sa elementarya na mga particle, ang terminong "center of mass" (Ingles center-of-mass) ay ginagamit: parehong termino ay katumbas.

  Ang bilis ng sentro ng masa sa relativistic mechanics ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

  v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . (\displaystyle (\vec (v))_(c)=(\frac (c^(2))(\sum \limits _(i)E_(i)))\cdot \sum \limits _(i) (\vec(p))_(i).) timbang ng masa P = m g depende sa parameter ng gravitational field g), at, sa pangkalahatan, kahit na matatagpuan sa labas ng pamalo.

  Sa isang pare-parehong larangan ng gravitational, ang sentro ng grabidad ay palaging kasabay ng sentro ng masa. Sa mga problemang hindi kosmiko, ang patlang ng gravitational ay karaniwang maituturing na pare-pareho sa loob ng dami ng katawan, kaya sa pagsasagawa ang dalawang sentrong ito ay halos magkasabay.

  Para sa parehong dahilan, mga konsepto sentro ng grabidad at sentro ng grabidad nag-tutugma sa paggamit ng mga terminong ito sa geometry, statics, at mga katulad na lugar, kung saan ang aplikasyon nito kumpara sa physics ay maaaring tawaging metaporiko at kung saan ang sitwasyon ng kanilang pagkakapareho ay implicitly na ipinapalagay (dahil walang totoong gravitational field, pagkatapos ay isinasaalang-alang walang katuturan ang inhomogeneity nito). Sa mga paggamit na ito, ang dalawang termino ay tradisyonal na magkasingkahulugan, at kadalasan ang pangalawa ay mas gusto dahil lang ito ay mas matanda.

  sentro ng grabidad(o sentro ng masa) ng isang tiyak na katawan ay tinatawag na isang punto na may ari-arian na kung ang isang katawan ay sinuspinde mula sa puntong ito, kung gayon ito ay mananatili sa posisyon nito.

  Sa ibaba ay isinasaalang-alang namin ang mga problema sa 2D at 3D na nauugnay sa paghahanap para sa iba't ibang mga sentro ng masa, pangunahin mula sa punto ng view ng computational geometry.

  Sa mga solusyon na tinalakay sa ibaba, mayroong dalawang pangunahing katotohanan. Ang una ay ang sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay katumbas ng average ng kanilang mga coordinate, na kinuha gamit ang mga coefficient na proporsyonal sa kanilang mga masa. Ang pangalawang katotohanan ay kung alam natin ang mga sentro ng masa ng dalawang di-nagsasalubong na mga numero, kung gayon ang sentro ng masa ng kanilang unyon ay makikita sa segment na nagkokonekta sa dalawang sentrong ito, at hahatiin ito sa parehong ratio ng masa ng ang pangalawang pigura ay nauugnay sa masa ng una.

  Dalawang-dimensional na kaso: polygons

  Sa katunayan, kapag nagsasalita tungkol sa sentro ng masa ng isang dalawang-dimensional na pigura, ang isa sa sumusunod na tatlo ay maaaring ibig sabihin: mga gawain:

  • Ang sentro ng masa ng sistema ng mga puntos - i.e. ang buong masa ay puro lamang sa mga vertices ng polygon.
  • Ang sentro ng masa ng frame - i.e. ang masa ng isang polygon ay puro sa perimeter nito.
  • Ang sentro ng masa ng isang solid figure - i.e. ang masa ng polygon ay ipinamamahagi sa buong lugar nito.

  Ang bawat isa sa mga problemang ito ay may independiyenteng solusyon, at isasaalang-alang sa ibaba nang hiwalay.

  Sentro ng mass of point system

  Ito ang pinakasimple sa tatlong problema, at ang solusyon nito ay ang kilalang pisikal na pormula para sa sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos:

  kung saan ang mga masa ng mga punto, ay ang kanilang radius vectors (tumutukoy sa kanilang posisyon na nauugnay sa pinagmulan), at ang nais na radius vector ng sentro ng masa.

  Sa partikular, kung ang lahat ng mga punto ay may parehong masa, kung gayon ang mga coordinate ng sentro ng masa ay karaniwan mga coordinate ng punto. Para sa tatsulok ang puntong ito ay tinatawag sentroid at tumutugma sa punto ng intersection ng mga median:

  

  Para sa patunay ng ang mga formula na ito, sapat na upang alalahanin na ang ekwilibriyo ay naabot sa isang punto kung saan ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng mga puwersa ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, ito ay nagiging isang kondisyon para sa kabuuan ng mga radius vectors ng lahat ng mga punto na may kaugnayan sa punto, na pinarami ng mga masa ng kaukulang mga punto, upang maging katumbas ng zero:

  

  at, na nagpapahayag mula dito , nakukuha namin ang kinakailangang formula.

  Frame center of gravity

  Ngunit pagkatapos ay ang bawat panig ng polygon ay maaaring mapalitan ng isang punto - ang gitna ng segment na ito (dahil ang sentro ng masa ng isang homogenous na segment ay ang gitna ng segment na ito), na may mass na katumbas ng haba ng segment na ito.

  Ngayon natanggap namin ang problema tungkol sa sistema ng mga materyal na puntos, at ang paglalapat ng solusyon mula sa nakaraang talata dito, nakita namin:

  

  kung saan ang midpoint ng ika-side ng polygon, ay ang haba ng ika-side, ay ang perimeter, i.e. ang kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

  Para sa tatsulok maaaring ipakita ng isa ang sumusunod na pahayag: ang puntong ito ay bisector intersection point tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga gilid ng orihinal na tatsulok. (upang ipakita ito, dapat nating gamitin ang formula sa itaas, at pagkatapos ay mapansin na hinahati ng mga bisector ang mga gilid ng nagreresultang tatsulok sa parehong ratio ng mga sentro ng masa ng mga panig na ito).

  Sentro ng masa ng isang solid figure

  Naniniwala kami na ang masa ay pantay na ipinamamahagi sa figure, i.e. ang density sa bawat punto ng figure ay katumbas ng parehong numero.

  Triangle case

  Pinagtatalunan na para sa isang tatsulok ang sagot ay pareho pa rin sentroid, ibig sabihin. ang puntong nabuo ng arithmetic mean ng mga coordinate ng vertices:

  

  Triangle Case: Patunay

  Nagbibigay kami dito ng elementarya na patunay na hindi gumagamit ng teorya ng integral.

  Ang unang tulad, purong geometriko, patunay ay ibinigay ni Archimedes, ngunit ito ay napaka-kumplikado, na may malaking bilang ng mga geometric na konstruksyon. Ang patunay na ibinigay dito ay kinuha mula sa artikulo ni Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way".

  Ang patunay ay bumababa sa pagpapakita na ang sentro ng masa ng tatsulok ay nasa isa sa mga median; ulitin ang prosesong ito nang dalawang beses pa, sa gayon ay ipinapakita namin na ang sentro ng masa ay nasa punto ng intersection ng mga median, na siyang sentroid.

  Hatiin natin ang tatsulok na ito sa apat, na kumukonekta sa mga midpoint ng mga gilid, tulad ng ipinapakita sa figure:

  

  Ang apat na nagreresultang tatsulok ay katulad ng isang tatsulok na may koepisyent .

  Ang mga Triangles No. 1 at No. 2 ay magkakasamang bumubuo ng parallelogram, na ang sentro ng masa ay nasa punto ng intersection ng mga diagonal nito (dahil ito ay isang figure na simetriko na may paggalang sa parehong mga diagonal, na nangangahulugan na ang sentro ng masa nito dapat nakahiga sa bawat isa sa dalawang dayagonal). Ang punto ay nasa gitna ng karaniwang bahagi ng mga tatsulok No. 1 at No. 2, at namamalagi din sa median ng tatsulok:

  

  Ngayon, hayaan ang vector ang vector na iginuhit mula sa vertex hanggang sa gitna ng mass ng triangle No. 1, at hayaang ang vector ang vector na iginuhit mula sa punto (na kung saan, tandaan, ay ang midpoint ng gilid kung saan ito nakahiga) :

  

  Ang aming layunin ay upang ipakita na ang mga vector at ay collinear.

  Tukuyin ng at ang mga punto na sentro ng masa ng mga tatsulok No. 3 at No. 4. Pagkatapos, malinaw naman, ang sentro ng masa ng pinagsama-samang dalawang tatsulok na ito ay magiging punto , na siyang midpoint ng segment . Bukod dito, ang vector mula sa punto hanggang punto ay kapareho ng vector .

  Ang nais na sentro ng masa ng tatsulok ay nasa gitna ng segment na nagkokonekta sa mga punto at (dahil hinati namin ang tatsulok sa dalawang bahagi ng pantay na mga lugar: No. 1-No. 2 at No. 3-No. 4):

  

  Kaya, ang vector mula sa vertex hanggang sa sentroid ay . Sa kabilang banda, mula noong ang tatsulok No. 1 ay katulad ng isang tatsulok na may koepisyent , kung gayon ang parehong vector ay katumbas ng . Mula dito nakukuha natin ang equation:

  

  mula sa kung saan namin matatagpuan:

  Kaya, napatunayan namin na ang mga vector at ay collinear, na nangangahulugan na ang nais na sentroid ay nasa median na nagmumula sa vertex .

  Bukod dito, sa daan, napatunayan namin na hinahati ng centroid ang bawat median na may paggalang sa , pagbibilang mula sa itaas.

  Polygon case

  Ngayon ay lumipat tayo sa pangkalahatang kaso - i.e. sa okasyon polygon. Para sa kanya, ang gayong pangangatwiran ay hindi na naaangkop, kaya binabawasan namin ang problema sa isang tatsulok: ibig sabihin, hinahati namin ang polygon sa mga tatsulok (i.e., triangulate ito), hanapin ang sentro ng masa ng bawat tatsulok, at pagkatapos ay hanapin ang sentro ng masa ng mga nagresultang sentro ng masa ng mga tatsulok.

  Ang panghuling formula ay ang mga sumusunod:

  

  kung saan ang sentroid ng -th triangle sa triangulation ng ibinigay na polygon, ay ang lugar ng -th triangle ng triangulation, ay ang lugar ng buong polygon.

  Ang triangulation ng convex polygon ay isang maliit na gawain: para dito, halimbawa, maaari tayong kumuha ng mga triangles , kung saan .

  Polygon case: alternatibong paraan

  Sa kabilang banda, ang aplikasyon ng formula sa itaas ay hindi masyadong maginhawa para sa non-convex polygons, dahil ang pag-triangulate sa kanila ay hindi isang madaling gawain sa sarili nito. Ngunit para sa gayong mga polygon, maaari kang makabuo ng isang mas simpleng diskarte. Ibig sabihin, gumuhit tayo ng isang pagkakatulad sa kung paano mo mahahanap ang lugar ng isang di-makatwirang polygon: ang isang di-makatwirang punto ay pinili, at pagkatapos ay ang mga sign na lugar ng mga triangles na nabuo sa pamamagitan ng puntong ito at ang mga punto ng polygon ay summed up: . Ang isang katulad na pamamaraan ay maaaring magamit upang mahanap ang sentro ng masa: ngayon lamang ay susumahin natin ang mga sentro ng masa ng mga tatsulok na kinuha na may mga coefficient na proporsyonal sa kanilang mga lugar, i.e. ang huling pormula para sa sentro ng masa ay:

  

  kung saan ang isang di-makatwirang punto, ay ang mga punto ng polygon, ay ang sentroid ng tatsulok , ay ang sign area ng tatsulok na ito, ay ang sign area ng buong polygon (i.e. ).

  3D Case: Polyhedra

  Katulad ng dalawang-dimensional na kaso, sa 3D maaari nating pag-usapan ang tungkol sa apat na posibleng pahayag ng problema nang sabay-sabay:

  • Ang sentro ng masa ng sistema ng mga puntos - ang vertices ng polyhedron.
  • Ang sentro ng masa ng frame ay ang mga gilid ng polyhedron.
  • Sentro ng masa ng ibabaw - i.e. ang masa ay ipinamamahagi sa ibabaw ng lugar ng polyhedron.
  • Ang sentro ng masa ng isang solid polyhedron - i.e. ang masa ay ipinamamahagi sa buong polyhedron.

  Sentro ng mass of point system

  Tulad ng sa 2D na kaso, maaari naming ilapat ang pisikal na formula at makuha ang parehong resulta:

  na, sa kaso ng pantay na masa, ay nagiging arithmetic mean ng mga coordinate ng lahat ng mga punto.

  Sentro ng masa ng polyhedron frame

  Katulad ng dalawang-dimensional na kaso, pinapalitan lang namin ang bawat gilid ng polyhedron na may materyal na punto na matatagpuan sa gitna ng gilid na ito, at may masa na katumbas ng haba ng gilid na ito. Ang pagkakaroon ng natanggap na problema ng mga materyal na puntos, madali nating mahahanap ang solusyon nito bilang isang timbang na kabuuan ng mga coordinate ng mga puntong ito.

  Ang sentro ng masa ng ibabaw ng polyhedron

  Ang bawat mukha ng ibabaw ng isang polyhedron ay isang dalawang-dimensional na pigura, ang sentro ng masa kung saan maaari nating mahanap. Ang paghahanap ng mga sentrong ito ng masa at pagpapalit ng bawat mukha ng sentro ng masa nito, nakakakuha tayo ng problema sa mga materyal na punto, na madali nang lutasin.

  Sentro ng masa ng isang solid polyhedron

  Tetrahedron case

  Tulad ng sa dalawang-dimensional na kaso, una naming lutasin ang pinakasimpleng problema - ang problema para sa tetrahedron.

  Sinasabi na ang sentro ng masa ng isang tetrahedron ay tumutugma sa punto ng intersection ng mga median nito (ang median ng isang tetrahedron ay isang segment na iginuhit mula sa tuktok nito hanggang sa gitna ng masa ng kabaligtaran na mukha; kaya, ang median ng tetrahedron dumadaan sa vertex at sa punto ng intersection ng mga median ng triangular na mukha).

  Bakit ganun? Ang mga pangangatwiran na katulad ng dalawang-dimensional na kaso ay tama dito: kung pinutol natin ang isang tetrahedron sa dalawang tetrahedra sa tulong ng isang eroplanong dumadaan sa vertex ng tetrahedron at ilang median ng kabaligtaran na mukha, kung gayon ang parehong resultang tetrahedra ay magkakaroon ng parehong volume (dahil ang tatsulok na mukha ay hahatiin ng median sa dalawang tatsulok ng pantay na lugar, at ang taas ng dalawang tetrahedra ay hindi nagbabago). Ang pag-uulit ng pangangatwiran na ito nang maraming beses, nakuha natin na ang sentro ng masa ay nasa intersection point ng mga median ng tetrahedron.

  Ang puntong ito - ang punto ng intersection ng mga median ng tetrahedron - ay tinatawag na nito sentroid. Maaari itong ipakita na mayroon talaga itong mga coordinate na katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng vertices ng tetrahedron:

  

  (ito ay maaaring mahinuha mula sa katotohanan na ang sentroid ay naghahati sa mga median na may paggalang sa )

  Kaya, walang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga kaso ng isang tetrahedron at isang tatsulok: ang isang punto na katumbas ng arithmetic mean ng mga vertices ay ang sentro ng masa sa dalawang formulations ng problema nang sabay-sabay: pareho kapag ang mga masa ay nasa vertices lamang. , at kapag ang masa ay ipinamahagi sa buong lugar/volume. Sa katunayan, ang resultang ito ay nag-generalize sa isang arbitrary na dimensyon: ang sentro ng masa ng isang arbitrary simplex(simplex) ay ang arithmetic mean ng mga coordinate ng vertices nito.

  Ang kaso ng isang di-makatwirang polyhedron

  Bumaling tayo ngayon sa pangkalahatang kaso, ang kaso ng isang arbitrary polyhedron.

  Muli, tulad ng sa dalawang-dimensional na kaso, binabawasan namin ang problemang ito sa nalutas na: hinahati namin ang polyhedron sa tetrahedra (i.e., i-tetrahedronize namin ito), hanapin ang sentro ng masa ng bawat isa sa kanila, at makuha ang huling sagot sa ang problema sa anyo ng isang timbang na kabuuan ng mga natagpuang sentro wt.

  Kahulugan

  Kapag isinasaalang-alang ang isang sistema ng mga particle, madalas na maginhawa upang makahanap ng isang punto na nagpapakilala sa posisyon at paggalaw ng system na isinasaalang-alang sa kabuuan. Ang ganyang punto ay sentro ng grabidad.

  Kung mayroon tayong dalawang particle ng parehong masa, kung gayon ang isang punto ay nasa gitna sa pagitan nila.

  Sentro ng mass coordinate

  Ipagpalagay natin na ang dalawang materyal na punto na may masa na $m_1$ at $m_2$ ay matatagpuan sa x-axis at may mga coordinate na $x_1$ at $x_2$. Ang distansya ($\Delta x$) sa pagitan ng mga particle na ito ay:

  \[\Delta x=x_2-x_1\kaliwa(1\kanan).\]

  Kahulugan

  Point C (Fig. 1), na naghahati sa distansya sa pagitan ng mga particle na ito sa mga segment na inversely proportional sa masa ng mga particle, ay tinatawag sentro ng masa ang sistemang ito ng mga particle.

  Alinsunod sa kahulugan para sa Fig. 1, mayroon kaming:

  \[\frac(l_1)(l_2)=\frac(m_2)(m_1)\kaliwa(2\kanan).\]

  kung saan ang $x_c$ ay ang coordinate ng sentro ng masa, pagkatapos ay makukuha natin:

  Mula sa formula (4) nakukuha natin:

  Ang pagpapahayag (5) ay madaling gawing pangkalahatan para sa isang hanay ng mga materyal na punto, na kung saan ay arbitraryong matatagpuan. Sa kasong ito, ang abscissa ng sentro ng masa ay katumbas ng:

  Katulad nito, ang mga expression para sa ordinate ($y_c$) ng sentro ng masa at mga applicates nito ($z_c$) ay nakuha:

  \ \

  Ang mga formula (6-8) ay tumutugma sa mga expression na tumutukoy sa sentro ng grabidad ng katawan. Kung ang mga sukat ng katawan ay maliit kumpara sa distansya sa gitna ng Earth, ang sentro ng grabidad ay itinuturing na nag-tutugma sa sentro ng masa ng katawan. Sa karamihan ng mga problema, ang sentro ng grabidad ay tumutugma sa sentro ng masa ng katawan.

  Kung ang posisyon ng N materyal na mga punto ng system ay ibinibigay sa vector form, kung gayon ang radius - ang vector na tumutukoy sa posisyon ng sentro ng masa ay matatagpuan bilang:

  \[(\overline(r))_c=\frac(\sum\limits^N_(i=1)(m_i(\overline(r))_i))(\sum\limits^N_(i=1)( m_i))\kaliwa(9\kanan).\]

  Sentro ng kilusang masa

  Ang expression para sa sentro ng mass velocity ($(\overline(v))_c=\frac(d(\overline(r))_c)(dt)$) ay:

  \[(\overline(v))_c=\frac(m_1(\overline(v))_1+m_2(\overline(v))_2+\dots +m_n(\overline(v))_n)(m_1+m_2+ \dots +m_n)=\frac(\overline(P))(M)\left(10\right),\]

  kung saan ang $\overline(P)$ ay ang kabuuang momentum ng sistema ng mga particle; Ang $M$ ay ang masa ng sistema. Ang expression (10) ay may bisa para sa mga galaw na may bilis na mas mababa sa bilis ng liwanag.

  Kung ang sistema ng mga particle ay sarado, kung gayon ang kabuuan ng momenta ng mga bahagi nito ay hindi nagbabago. Samakatuwid, ang bilis ng sentro ng masa ay isang pare-parehong halaga. Sinasabi nila na ang sentro ng masa ng isang saradong sistema ay gumagalaw sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw, iyon ay, sa isang tuwid na linya at pare-pareho, at ang kilusang ito ay independiyente sa paggalaw ng mga bumubuong bahagi ng sistema. Sa isang saradong sistema, maaaring kumilos ang mga panloob na pwersa; bilang resulta ng kanilang pagkilos, ang mga bahagi ng sistema ay maaaring magkaroon ng mga acceleration. Ngunit hindi ito nakakaapekto sa paggalaw ng sentro ng masa. Sa ilalim ng pagkilos ng mga panloob na pwersa, ang bilis ng sentro ng masa ay hindi nagbabago.

  Mga halimbawa ng mga problema na may solusyon

  Halimbawa 1

  Mag-ehersisyo. Isulat ang mga coordinate ng sentro ng masa ng sistema ng tatlong bola na matatagpuan sa vertices at sa gitna ng isang equilateral triangle, ang gilid nito ay katumbas ng $b\ (m)$ (Fig. 2).

  

  Solusyon. Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng mga expression na tumutukoy sa mga coordinate ng sentro ng masa:

  \ \

  Mula sa Fig. 2 makikita natin na ang abscissas ng mga puntos:

  \[\left\( \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac(b)( 2);; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac(b)(2);; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b.\end(array) \kanan.\kaliwa(2.3\kanan ).\]

  Kung gayon ang abscissa ng sentrong masa ay katumbas ng:

  Hanapin natin ang mga ordinate ng mga puntos.

  \[ \begin(array)(c) m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ (\rm \ )m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac(b\sqrt(3)) (2);; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac(b\sqrt(3))(6);; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end(array)\left(2.4\right).\]

  Upang mahanap ang ordinate $y_2$, kalkulahin natin ang taas sa isang equilateral triangle:

  Nahanap namin ang ordinate $y_3$, na naaalala na ang mga median sa isang equilateral triangle ay nahahati sa intersection point sa ratio na 2:1 mula sa itaas, nakukuha namin ang:

  Kalkulahin ang ordinate ng sentro ng masa:

  Sagot.$x_c=0.6b\ (\rm \ )(\rm m)$; $y_c=\frac(b\sqrt(3)\ )(6)$ m

  Halimbawa 2

  Mag-ehersisyo. Isulat ang batas ng paggalaw ng sentro ng masa.

  Solusyon. Ang batas ng pagbabago sa momentum ng isang sistema ng mga particle ay ang batas ng paggalaw ng sentro ng masa. Mula sa formula:

  \[(\overline(v))_c=\frac(\overline(P))(M)\to \overline(P)=M(\overline(v))_c\left(2.1\right)\]

  para sa isang pare-parehong masa $M$, na nag-iiba sa parehong bahagi ng pagpapahayag (2.1), nakuha namin ang:

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=M\frac(d(\overline(v))_c)(dt)\left(2.2\right).\]

  Ang expression (2.2) ay nangangahulugan na ang rate ng pagbabago ng momentum ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng system at ang acceleration ng sentro ng masa nito. kasi

  \[\frac(d\overline(P))(dt)=\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i\left(2.3\right),)\]

  Alinsunod sa expression (2.4), nalaman namin na ang sentro ng masa ng system ay gumagalaw sa parehong paraan tulad ng isang materyal na punto ng mass M ay kikilos kung ito ay kikilos sa pamamagitan ng isang puwersa na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa mga particle na bahagi ng system na isinasaalang-alang. Kung ang $\sum\limits^N_(i=1)((\overline(F))_i=0,)$ kung gayon ang sentro ng masa ay gumagalaw nang pare-pareho at rectilinearly.

  Ang konsepto ng integral ay malawakang nalalapat sa buhay. Ang mga integral ay ginagamit sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang mga pangunahing gawain na kinakalkula gamit ang mga integral ay mga gawain para sa:

  1. Paghahanap ng volume ng katawan

  2. Paghahanap ng sentro ng masa ng katawan.

  Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado. Dito at sa ibaba, upang tukuyin ang isang tiyak na integral ng ilang function na f(x), na may mga limitasyon sa pagsasama mula a hanggang b, gagamitin namin ang sumusunod na notasyon ∫ a b f(x).

  Paghahanap ng volume ng isang katawan

  Isaalang-alang ang sumusunod na pigura. Ipagpalagay na mayroong ilang katawan na ang volume ay katumbas ng V. Mayroon ding isang tuwid na linya na kung tayo ay kukuha ng isang tiyak na eroplano na patayo sa tuwid na linya na ito, ang cross-sectional area S ng katawan na ito sa pamamagitan ng eroplanong ito ay malalaman.

  Ang bawat naturang eroplano ay magiging patayo sa x-axis, at samakatuwid ay mag-intersect ito sa isang punto x. Iyon ay, ang bawat punto x mula sa segment ay bibigyan ng numero S (x) - ang cross-sectional area ng katawan, ang eroplano na dumadaan sa puntong ito.

  Lumalabas na ang ilang function na S(x) ay ibibigay sa segment. Kung tuloy-tuloy ang function na ito sa segment na ito, magiging wasto ang sumusunod na formula:

  V = ∫ a b S(x)dx.

  Ang patunay ng pahayag na ito ay lampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan.

  Pagkalkula ng sentro ng masa ng isang katawan

  Ang sentro ng masa ay kadalasang ginagamit sa pisika. Halimbawa, mayroong ilang katawan na gumagalaw sa anumang bilis. Ngunit hindi maginhawang isaalang-alang ang isang malaking katawan, at samakatuwid sa pisika ang katawan na ito ay itinuturing na paggalaw ng isang punto, sa pag-aakalang ang puntong ito ay may parehong masa ng buong katawan.

  At ang gawain ng pagkalkula ng sentro ng masa ng katawan ay ang pangunahing isa sa bagay na ito. Dahil malaki ang katawan, at aling punto ang dapat kunin bilang sentro ng masa? Baka yung nasa gitna ng katawan? O marahil ang pinakamalapit na punto sa nangungunang gilid? Dito pumapasok ang pagsasama.

  Ang sumusunod na dalawang panuntunan ay ginagamit upang mahanap ang sentro ng masa:

  1. Coordinate x' ng sentro ng masa ng ilang sistema ng materyal na mga punto A1, A2,A3, … An na may mga masa m1, m2, m3, … mn, ayon sa pagkakabanggit, na matatagpuan sa isang tuwid na linya sa mga puntong may mga coordinate x1, x2, x3, … xn ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula:

  x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

  2. Kapag kinakalkula ang mga coordinate ng sentro ng masa, ang anumang bahagi ng pigura na isinasaalang-alang ay maaaring mapalitan ng isang materyal na punto, habang inilalagay ito sa gitna ng masa ng hiwalay na bahaging ito ng pigura, at ang masa ay maaaring kunin nang pantay. sa masa ng bahaging ito ng pigura.

  Halimbawa, kung ang isang mass ng density p(x) ay ibinahagi sa kahabaan ng baras - isang segment ng Ox axis, kung saan ang p(x) ay isang tuluy-tuloy na function, kung gayon ang coordinate ng sentro ng mass x' ay magiging katumbas ng.

  Ang anumang katawan ay maaaring ituring bilang isang hanay ng mga materyal na punto, na, halimbawa, ay maaaring kunin bilang mga molekula. Hayaang ang katawan ay binubuo ng n materyal na mga punto na may masa m1, m2, ...mn.

  sentro ng masa ng katawan, na binubuo ng n materyal na mga punto, ay tinatawag na isang punto (sa geometric na kahulugan), ang radius vector na kung saan ay tinutukoy ng formula:

  Narito ang R1 ay ang radius vector ng punto na may numerong i (i = 1, 2, ... n).

  Ang kahulugan na ito ay mukhang hindi pangkaraniwan, ngunit sa katunayan ito ay nagbibigay ng posisyon ng pinakasentro ng masa, kung saan mayroon tayong intuitive na ideya. Halimbawa, ang sentro ng masa ng baras ay nasa gitna nito. Ang kabuuan ng masa ng lahat ng mga puntos na kasama sa denominator ng formula sa itaas ay tinatawag na masa ng katawan. timbang ng katawan tinawag ang kabuuan ng masa ng lahat ng mga punto nito: m = m1 + m2 + ... + mn .

  

  Sa simetriko homogenous na katawan, ang CM ay palaging matatagpuan sa gitna ng simetriya o namamalagi sa axis ng simetriya kung ang pigura ay walang sentro ng simetriya. Ang sentro ng masa ay maaaring matatagpuan sa loob ng katawan (disk, parisukat, tatsulok) at sa labas nito (singsing, frame, parisukat).

  Para sa isang tao, ang posisyon ng CM ay nakasalalay sa pinagtibay na postura. Sa maraming sports, isang mahalagang bahagi ng tagumpay ay ang kakayahang mapanatili ang balanse. Kaya, sa himnastiko, akrobatika

  isang malaking bilang ng mga elemento ang magsasama ng iba't ibang uri ng balanse. Ang kakayahang mapanatili ang balanse ay mahalaga sa figure skating, sa skating, kung saan ang suporta ay may napakaliit na lugar.

  Ang mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang katawan sa pahinga ay ang sabay-sabay na pagkakapantay-pantay sa zero ng kabuuan ng mga puwersa at ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa na kumikilos sa katawan.

  Alamin natin kung anong posisyon ang dapat sakupin ng axis ng pag-ikot upang ang katawan na nakapirmi dito ay manatili sa equilibrium sa ilalim ng pagkilos ng grabidad. Upang gawin ito, sisirain natin ang katawan sa maraming maliliit na piraso at iguguhit ang mga puwersa ng gravity na kumikilos sa kanila.

  

  Alinsunod sa panuntunan ng mga sandali, para sa ekwilibriyo kinakailangan na ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng mga puwersang ito tungkol sa axis ay katumbas ng zero.

  Maaari itong ipakita na para sa bawat katawan mayroong isang natatanging punto kung saan ang kabuuan ng mga sandali ng grabidad tungkol sa anumang axis na dumadaan sa puntong ito ay katumbas ng zero. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng grabidad (karaniwan ay tumutugma sa sentro ng masa).

  Center of gravity ng katawan (CG) tinawag ang punto kung saan ang kabuuan ng mga sandali ng grabidad na kumikilos sa lahat ng mga particle ng katawan ay katumbas ng zero.

  Kaya, ang mga puwersa ng grabidad ay hindi nagiging sanhi ng pag-ikot ng katawan sa paligid ng sentro ng grabidad. Samakatuwid, ang lahat ng puwersa ng grabidad ay maaaring mapalitan ng isang puwersa na inilalapat sa puntong ito at katumbas ng puwersa ng grabidad.

  Upang pag-aralan ang mga galaw ng katawan ng isang atleta, madalas na ipinakilala ang terminong common center of gravity (CGG). Mga pangunahing katangian ng sentro ng grabidad:

  Kung ang katawan ay naayos sa isang axis na dumadaan sa gitna ng grabidad, kung gayon ang gravity ay hindi magiging sanhi ng pag-ikot nito;

  Ang sentro ng grabidad ay ang punto ng aplikasyon ng grabidad;

  Sa isang pare-parehong larangan, ang sentro ng grabidad ay tumutugma sa sentro ng masa.

  Ang equilibrium ay ang posisyon ng katawan kung saan maaari itong manatili sa pahinga para sa isang arbitraryong mahabang panahon. Kapag ang katawan ay lumihis mula sa posisyon ng balanse, ang mga puwersang kumikilos dito ay nagbabago, at ang balanse ng mga puwersa ay nabalisa.

  Mayroong iba't ibang uri ng ekwilibriyo (Larawan 9). Nakaugalian na makilala ang tatlong uri ng ekwilibriyo: matatag, hindi matatag at walang malasakit.

  Ang matatag na ekwilibriyo (Larawan 9, a) ay nailalarawan sa katotohanan na ang katawan ay bumalik sa orihinal nitong posisyon kapag ito ay pinalihis. Sa kasong ito, ang mga puwersa ay lumitaw, o mga sandali ng mga puwersa, na may posibilidad na ibalik ang katawan sa orihinal na posisyon nito. Ang isang halimbawa ay ang posisyon ng katawan na may itaas na suporta (halimbawa, nakabitin sa crossbar), kapag, sa anumang mga paglihis, ang katawan ay may posibilidad na bumalik sa orihinal na posisyon nito.

  Ang walang malasakit na ekwilibriyo (Larawan 9, b) ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na kapag ang posisyon ng katawan ay nagbabago, walang mga puwersa o sandali ng mga puwersa na may posibilidad na ibalik ang katawan sa orihinal nitong posisyon o higit pang alisin ang katawan mula dito. Ito ay isang bihirang pangyayari sa mga tao. Ang isang halimbawa ay ang estado ng kawalan ng timbang sa isang sasakyang pangalangaang.

  Ang hindi matatag na ekwilibriyo (Larawan 9, c) ay sinusunod kapag, na may maliliit na paglihis ng katawan, ang mga puwersa o sandali ng mga puwersa ay bumangon na may posibilidad na lumihis pa ang katawan mula sa paunang posisyon nito. Ang ganitong kaso ay maaaring maobserbahan kapag ang isang tao, na nakatayo sa isang suporta ng isang napakaliit na lugar (mas maliit kaysa sa lugar ng kanyang dalawang binti o kahit isang binti), ay lumihis sa gilid.

  Larawan 9 Balanse ng katawan: matatag (a), walang malasakit (b), hindi matatag (c)

  

  Kasama ng mga nakalistang uri ng equilibrium ng mga katawan sa biomechanics, isa pang uri ng equilibrium ang isinasaalang-alang - limited-stable. Ang ganitong uri ng balanse ay nakikilala sa pamamagitan ng katotohanan na ang katawan ay maaaring bumalik sa paunang posisyon nito kung ito ay lumihis mula dito hanggang sa isang tiyak na limitasyon, halimbawa, na tinutukoy ng hangganan ng lugar ng suporta. Kung ang paglihis ay lumampas sa limitasyong ito, ang ekwilibriyo ay nagiging hindi matatag.

  Ang pangunahing gawain sa pagtiyak ng balanse ng katawan ng tao ay upang matiyak na ang projection ng GCM ng katawan ay nasa loob ng lugar ng suporta. Depende sa uri ng aktibidad (pagpapanatili ng isang static na posisyon, paglalakad, pagtakbo, atbp.) at ang mga kinakailangan para sa katatagan, ang dalas at bilis ng mga pagkilos ng pagwawasto ay nagbabago, ngunit ang mga proseso ng pagpapanatili ng balanse ay pareho.

  Ang pamamahagi ng masa sa katawan ng tao

  Ang masa ng katawan at ang masa ng mga indibidwal na mga segment ay napakahalaga para sa iba't ibang aspeto ng biomechanics. Sa maraming palakasan, kailangang malaman ang pamamahagi ng masa upang mabuo ang tamang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga pagsasanay. Upang pag-aralan ang mga paggalaw ng katawan ng tao, ginagamit ang paraan ng pag-segment: ito ay karaniwang nahahati sa ilang mga segment. Para sa bawat segment, ang masa nito at ang posisyon ng sentro ng masa ay tinutukoy. Sa mesa. Tinutukoy ng 1 ang masa ng mga bahagi ng katawan sa mga kamag-anak na yunit.

  Talahanayan 1. Masa ng mga bahagi ng katawan sa mga kamag-anak na yunit

  Kadalasan, sa halip na ang konsepto ng sentro ng masa, isa pang konsepto ang ginagamit - ang sentro ng grabidad. Sa isang pare-parehong larangan ng grabidad, ang sentro ng grabidad ay palaging kasabay ng sentro ng masa. Ang posisyon ng sentro ng grabidad ng link ay ipinahiwatig bilang distansya nito mula sa axis ng proximal joint at ipinahayag na may kaugnayan sa haba ng link na kinuha bilang isang yunit.

  Sa mesa. 2 ay nagpapakita ng anatomical na posisyon ng mga sentro ng grabidad ng iba't ibang bahagi ng katawan.

  Talahanayan 2. Mga sentro ng grabidad ng mga bahagi ng katawan

  Bahagi ng katawan	Posisyon ng sentro ng grabidad
  balakang	0.44 ang haba ng link
  Shin	0.42 ang haba ng link
  Balikat	0.47 haba ng link
  bisig	0.42 ang haba ng link
  katawan ng tao
  Ulo
  Magsipilyo
  paa
  Balikat	0.47 haba ng link
  bisig	0.42 ang haba ng link
  katawan ng tao	0.44 distansya mula sa transverse axis ng mga joints ng balikat hanggang sa axis ng balakang
  Ulo	Matatagpuan sa rehiyon ng Turkish saddle ng sphenoid bone (projection mula sa harap sa pagitan ng mga kilay, mula sa gilid - 3.0 - 3.5 sa itaas ng panlabas na auditory canal)
  Magsipilyo	Sa rehiyon ng ulo ng ikatlong metacarpal bone
  paa	Sa isang tuwid na linya na kumukonekta sa calcaneal tubercle ng calcaneus sa dulo ng pangalawang daliri sa layo na 0.44 mula sa unang punto
  Ang pangkalahatang sentro ng masa ng grabidad sa patayong posisyon ng katawan	Matatagpuan sa pangunahing tindig sa pelvic area, sa harap ng sacrum