Serye, sa matematika

1. Mga Kahulugan. Ang R. ay isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento na binubuo ayon sa ilang batas. Kung ang R. ay ibinigay, nangangahulugan ito na ang isang batas ay ipinahiwatig, sa tulong kung saan posible na bumuo ng maraming mga elemento ng R. Ayon sa pag-aari ng mga elemento, R. ng mga numero, R. ng mga function, at R. .ng mga aksyon ay nakikilala. Magbigay tayo ng ilang halimbawa.

1, 2, 3, 4,..., n,...

mayroong R. natural na mga numero;

1, 4, 9, 16,..., P 2 ...

R. parisukat;

a 0 , a 1 x, a 2 a 2 ,..., a n x n ,...

R. power functions o power R.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Upang makalkula ang numerical na halaga ng ilang mga expression, ito ay kinakailangan upang maisagawa ang R. aksyon. Hal.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

Sa tulong ng R. actions, ang pinakamalaking divisor ng dalawang binigay na numero ay matatagpuan.

R. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n...

pangalan walang katapusan, kung pagkatapos ng anumang elemento u k may elemento u k+1 ; kung hindi R. pagpapangalan. pangwakas. Hal.

1. 2, 3,... 9, 10

ay isang pinal na R. dahil walang mga elemento pagkatapos ng elemento 10.

2. Isang numerong tinukoy sa tabi.

Ang partikular na kahalagahan ay ang walang katapusang R. ng anyo

(1)... a 1 /10, a 2 /10 2 , ... isang n/10n,...,

saan a 1 , a 2 , a 3 , ... isang n,... positive integers, a 0 ay arbitraryong malaki; bawat isa sa iba pang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ... mas mababa sa 10. Ang nasabing serye ay maaaring tawaging numero, dahil posibleng ihambing ang seryeng ito sa mga makatwirang numero (tingnan), maaari mong itatag ang mga konsepto ng pagkakapantay-pantay, kabuuan, produkto, pagkakaiba at kusyente ng naturang serye.

Ang R. (1) ay ilalarawan para sa kaiklian ng isang titik a.

Sabi nila ngunit higit pa makatwirang numero p/q, kung para sa isang sapat na malaki n mayroong hindi pagkakapantay-pantay

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a n/10n> p/q

Kung, para sa alinman n

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a n /10 n hindi > p/q

ngunit may sapat na laki n

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a n/10n> r/s

saan r/s isang arbitrary na numero na mas mababa sa p/q, pagkatapos ay isinasaalang-alang nila at katumbas ng p/q.

Sa batayan na ito, si R.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

ay katumbas ng isa. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: 0, 999 ... = 1.

Kung ang a hindi katumbas ng 9, ngunit lahat ng kasunod na mga numero

isang k +1 , isang k +2 , isang k+3 ,... ay katumbas ng 9, pagkatapos ay ang numero a, tinutukoy ng R. (1), ay katumbas ng

a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + (a k + 1)/10 k .

Kung hindi lahat ng numero a k+1 , a k+2 , a k+3 ...ay 9, kung gayon

a = a 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + a k /10k

Maaaring mangyari na ang lahat ng mga elemento ng serye (1), simula sa a k+1 , ay katumbas ng zero. Sa kasong ito, ayon sa nakasaad na kahulugan

a isang 0 + a 1 /10 + a 2 /10 2 +... + (a k+1)/10 k

Ang ganitong uri ng numero ay tinatawag huling decimal.

Ito ay kilala mula sa arithmetic na kapag ang isang ordinaryong fraction ay na-convert sa isang decimal, isang finite fraction o isang infinite periodic fraction ay nakuha. Anumang periodic decimal fraction ay maaaring i-convert sa isang ordinaryong fraction. Ito ay sumusunod mula dito na ang isang walang katapusang non-periodic decimal fraction ay hindi maaaring katumbas ng isang rational na numero at samakatuwid ay kumakatawan sa isang numero ng isang espesyal na uri na tinatawag hindi makatwiran(cm.).

3. Convergence at divergence ng serye. R. mga numero

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... ikaw n,...

tinawag nagtatagpo, kung may ganyang numero a(makatuwiran o hindi makatwiran) na may pagtaas n numerical na halaga ng pagkakaiba

a - (u 0 + u 1 + u 2 +... ikaw n- 1)

nagiging at nananatiling arbitraryong maliit. Ang ganyang numero a tinawag sum R. Sa kasong ito, nagsusulat sila

(3)... a = u 0 + u 1 + u 2 +...

at ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag pagkabulok numero a into infinite R. Kung ganoong numero a ay hindi umiiral, pagkatapos ay R. (2) ay tinatawag. divergent.

Ang pinakamahalagang halimbawa ng convergent R. ay isang geometric progression (tingnan).

1, q, q 2 ,...,

kaninong denominator q mas mababa sa isa sa bilang. Sa kasong ito, mayroong isang agnas

1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +...

Isang halimbawa ng divergent R. ay

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

walang saysay.

Kung, gayunpaman, ang mga tuntunin ng maharmonya na R. ay kinuha nang halili sa mga palatandaan + at -, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang convergent R. Ang expression

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

ay katumbas ng logarithm ng 2 na kinuha sa base e(cm.).

Hindi masabi nang detalyado ang mga pamantayan para sa convergence, tandaan lamang namin ang mga sumusunod na theorems.

Ang isang ibinigay na R. ay convergent kung ang R. ng mga module (tingnan) ng mga miyembro nito ay convergent.

R. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

kung saan ang mga numero v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... positibo, nagtatagpo kung tumataas n

lim v n = 0.

R. na may positibong miyembro

u 0 , u 1 , u 2 ,..., ikaw n,...

nagtatagpo kung

lim(ikaw n + 1)/ikaw n

lim(ikaw n + 1)/ikaw n > 1

Kung para kay R. na may positibong miyembro

ngunit, at 0 , at 1 , u 2 , .., at n...

saloobin

lim(ikaw n + 1)/ikaw n = 1 - r/n+θ (n) /nα ,

saan r huwag umasa sa n, α > 1 at θ ( n) ay nananatiling patuloy na mas mababa kaysa sa ilang positibong numero sa numerical value, pagkatapos ay R. convergent sa r> 1 at diverging kapag ang r ay mas mababa sa o = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84).

4. Kondisyon at ganap na tagpo. Kung R. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v n,...

convergent, ngunit ang R. ng mga module ng mga miyembro nito ay divergent, pagkatapos ay sinasabi namin na R. (4) may kondisyong nagtatagpo. Hal.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

R. naz. ganap na nagtatagpo, kung ang R. modules ng mga miyembro nito ay convergent.

Ang kabuuan ng isang conditionally convergent R. ay nagbabago sa isang pagbabago sa pagkakasunud-sunod ng mga miyembro nito. Hal.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

ngunit 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Ang kabuuan ng isang ganap na convergent R. ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga miyembro nito.

Kung mga numero a at b mabulok sa ganap na convergent R.

a = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

ganap na nagtatagpo at, higit pa rito,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab.

5. Uniform convergence. Ipagpalagay na binigyan ng R.

(5)... f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), ..., f n(x), ...

na ang mga miyembro ay mga function ng isang variable x, na maaaring tumagal ng parehong tunay at haka-haka (tingnan) mga halaga. Set ng mga halaga X, sa ilalim kung saan ito R. converges, forms ang tinatawag na lugar ng convergence.

R. 1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

convergent para lamang sa x = 0.

R. 1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

diverging para sa bawat X.

R. 1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

pagtitipon. para sa bawat kahulugan X. Kung kapangyarihan R. α 0 , α 1 x,α2 x 2 ,...

pagtitipon. sa ilang halaga X, hindi katumbas ng zero, saka itong R. pagtitipon. at sa bawat x, na ang modulus ay mas mababa sa ilang numero R. Kung gagamitin natin ang geometric na representasyon ng mga haka-haka na dami (tingnan), maaari nating sabihin na ang rehiyon ng tagpo ng R. na ito ay isang bilog ng radius. R.

Ang isang halimbawa ay isang geometric na pag-unlad

1, x, x 2 , x 3 ,...., na ang radius bilog ng convergence ay katumbas ng isa.

Kung ang X nabibilang sa lugar ng pagtitipon. R. (5), pagkatapos ay para sa alinman n, mas malaki kaysa sa ilang numero t

mod[ f n(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]

Sa pangkalahatan t depende sa X at mula sa ε, ngunit posible, sa mga espesyal na kaso, iyon t depende lamang sa ε kung ang mga halaga X nabibilang sa ilang lugar (S). Sa kasong ito, R. (5) ay tinatawag. pare-parehong nagtatagpo sa rehiyon (S).

Halimbawa, isaalang-alang ang R.

(6)... (1 - X), X (1 - X), X 2 (1 - X)....

limitado sa tunay at positibong mga halaga X.

Upang magkaroon ng hindi pagkakapantay-pantay

(7)... x n(1 -x) + xn+ 1 (1 -x) +...xn

kailangan kunin n> Log ε /Log x

Susunod, sa kasong isinasaalang-alang

t= Log ε /Log x.

Sa nakikita natin, t depende sa X. Kahit gaano kalaki m, may mga ganoong halaga X sa pagitan (0, 1) na hindi pagkakapantay-pantay (7) ay hindi masisiyahan para sa anuman n, higit pa t. Kung ang X= 1, pagkatapos ay nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay (7) kapag ang n ay mas malaki kaysa sa o = 1

Kunwari na lang

t= Log ε /Log (1 - α) at ​​n ay mas malaki o = m

Subaybayan. R. (6) pare-parehong lumalabas. sa pagitan (0, 1 - α).

Kung sa rehiyon ng pare-parehong tagpo ang mga tuntunin ng serye

f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x)...

ay tuluy-tuloy na pag-andar ng x, kung gayon ang kabuuan ng R. na ito ay isa ring tuluy-tuloy na function (tingnan ang Discontinuity).

Pantay na magkatagpo. R. ay maaaring term-by-term integrated o differentiated.

Kapangyarihan R.

a 0 , a 1 x, a 2 X 2 ...

magkaroon ng pare-parehong convergence sa loob ng bilog ng convergence.

6. Decomposition ng mga function sa serye. Sa mga sumusunod, ipagpalagay natin na ang independent variable ay totoo. Gamit ang formula ng Maclaurin (tingnan), ang mga sumusunod na pagpapalawak ay nakuha:

(ang mga formula na ito ay wasto para sa alinman x).

Upang makalkula, halimbawa, cos 2 ° gamit ang formula (9), sa halip na x palitan ang ratio sa radius ng haba ng isang arko na naglalaman ng 2 degrees.

Sa mga porma. (11) ang logarithm ay kinuha sa base e. Ang form na ito. ay hindi maginhawa para sa pagkalkula ng logarithms, dahil kinakailangan na kumuha ng maraming termino ng R. upang makakuha ng kahit na hindi gaanong katumpakan. Ang mas maginhawa para sa pagkalkula ay ang formula 13, na hinango mula sa formula (11) na ipinapalagay

(1 + X)/(1 - X) = (a + z)/z

sa pagpapalawak ng function log(1 + x) - log(l - x).

Ipagpalagay a = 1, z= 1, hanapin ang log2;

" a = 1, z= 1, "log5;

a + z = 3 4 , a= 80, "log3;

a + z = 7 4 , a= 2400, "log7;

Pagpaparami ng natagpuang natural na logarithms ng mga numerong ito sa pamamagitan ng

M \u003d 1 / log10 \u003d 0.43429 44819 03251 82765 ...,

nakakakuha tayo ng mga ordinaryong logarithms (batay sa 10) ng parehong mga numero (tingnan).

Form. (12) ay may bisa para sa X= 1 kung m> -1, at sa x= -1 kung m> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

Gamit ang direktang paghahati, ang mga rational function ay pinalawak sa kapangyarihan R. function. Maaari mo ring gamitin ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient para sa layuning ito. Ipagpalagay, halimbawa

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 sa 1 + 3 sa 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 sa 2 + 3 sa 1 = 0 atbp.

R. coefficients y 0 , sa 1 , y 2 ... ay may katangian na apat na magkakasunod na coefficient. nauugnay sa ratio y n +3 + 2y n +2 + 5 sa n +1 + 3 sa n = 0.

Ang ganitong uri ng R. tinatawag. maibabalik. Mula sa nakasulat na mga equation, ang y 0 ay sunud-sunod na tinutukoy, sa 1 , y 2 ...

Ang pagpapalawak ng isang ibinigay na function sa R. ay matatagpuan sa tulong ng integral calculus, kung ang pagpapalawak sa R. ng derivative ay kilala. Sa ganitong paraan, ang isang agnas ay nakuha

(14)... arko tg x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... arko kasalanan X = x/1 + 1/2(x 3/3) + (1.2/2.4)(x5/5) +...

wasto para sa mga halaga X, nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon

R. (14) gamit ang formula ng Machen (Machin)

π /4 = 4 arko tg(1/5) - arko tg(1/239)

ginagawang posible na kalkulahin ang π nang napakabilis na may malaking bilang ng mga decimal na lugar. Kaya kinakalkula ni Shanks ang π na may 707 decimal na lugar. Ang pagpapalawak ng mga function sa trigonometric function at ang pagpapalawak ng elliptic function ay ipapakita sa ibang pagkakataon.

Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus at I.A. Efron. - St. Petersburg: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Tingnan kung ano ang "Serye, sa matematika" sa iba pang mga diksyunaryo:

SERIES, isang walang katapusang serye, ang expression kung saan ang mga miyembrong a1, a2,..., an,... ay mga numero (number series) o function (functional series). Kung ang kabuuan ng unang n termino ng serye (partial sum): Sn= a1+ a2+ ... + an na may walang limitasyong pagtaas sa n ay may posibilidad na ... ... encyclopedic Dictionary

Nilalaman. 1) Kahulugan. 2) Ang susunod na numero ay tinutukoy. 3) Convergence at divergence ng serye. 4) Kondisyon at ganap na tagpo. 5) Uniform convergence. 6) Pagpapalawak ng mga function sa serye. 1. Mga Kahulugan. Ang R. ay isang pagkakasunod-sunod ng mga elemento, ... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus at I.A. Efron

Ito ay may ilang mga kahulugan: Ang isang serye ay isang koleksyon ng mga homogenous, katulad na mga bagay na matatagpuan sa isang linya. Ang serye ay isang koleksyon ng anumang mga phenomena na sumusunod sa isa't isa sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ang isang bilang ng ilan, isang malaking bilang, halimbawa, "isang bilang ng mga bansa" ... Wikipedia

Isang serye, isang walang katapusang kabuuan, halimbawa ng anyong u1 + u2 + u3 +... + un +... o, sa madaling salita, . (1) Ang isa sa mga pinakasimpleng halimbawa ng R., na natagpuan na sa elementarya, ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad 1 + q + q 2 +... + q… … Great Soviet Encyclopedia

Taylor series decomposition ng isang function sa isang walang katapusang kabuuan ng mga power function. Ang serye ay pinangalanan pagkatapos ng English mathematician na si Brooke Taylor, bagaman ang serye ng Taylor ay kilala bago pa man ang mga publikasyon ni Taylor, ginamit ito noong ika-17 siglo ni Gregory, at ... ... Wikipedia

Taylor series decomposition ng isang function sa isang walang katapusang kabuuan ng mga power function. Ang serye ay pinangalanan pagkatapos ng English mathematician na si Taylor, bagaman ang serye ng Taylor ay kilala bago pa ang mga publikasyon ni Taylor; ginamit ito noong ika-17 siglo ni Gregory, gayundin ni Newton. Mga hilera ... ... Wikipedia

Pagkabulok ng isang function sa isang walang katapusang kabuuan ng mga function ng kapangyarihan. Ang serye ay pinangalanan pagkatapos ng English mathematician na si Taylor, bagaman ang serye ng Taylor ay kilala bago pa ang mga publikasyon ni Taylor; ginamit ito noong ika-17 siglo ni Gregory, gayundin ni Newton. Serye ng Taylor ... ... Wikipedia

Ang serye ng Möbius ay isang functional na serye ng form Ang seryeng ito ay inimbestigahan ni Möbius, na nakahanap ng inversion formula para sa seryeng ito: nasaan ang Möbius function ... Wikipedia

I m. 1. Isang hanay ng mga homogenous na bagay na matatagpuan sa isang linya. ott. Bumuo sa isang linya; linya. 2. Linear sequence ng mga upuan sa teatro, sinehan, atbp. ott. Mga taong may ganitong posisyon. 3. Mga kuwadra na matatagpuan sa isang linya ... Modernong paliwanag na diksyunaryo ng wikang Ruso na Efremova

Mga libro

• The Mathematics of Observers and Its Applications to Quantum Mechanics, Relativity at Classical Mathematics, B. S. Hots, D. B. Hots. Inilalahad ng aklat na ito ang mga resulta ng mga may-akda na may kaugnayan sa Mathematics of Observers (pamagat ng may-akda na Observer s Mathematics). Ang matematika na ito ay unang ipinakilala ng mga may-akda, ito ay pinag-aralan ...

Mga hilera para sa mga teapot. Mga halimbawa ng solusyon

Maligayang pagdating sa ikalawang taon ang lahat ng nakaligtas! Sa araling ito, o sa halip, sa isang serye ng mga aralin, matututunan natin kung paano pamahalaan ang mga hilera. Ang paksa ay hindi napakahirap, ngunit upang makabisado ito kakailanganin mo ng kaalaman mula sa unang kurso, lalo na, kailangan mong maunawaan ano ang limitasyon, at magagawang mahanap ang pinakasimpleng mga limitasyon. Gayunpaman, ayos lang, sa kurso ng mga paliwanag ay magbibigay ako ng naaangkop na mga link sa mga kinakailangang aralin. Para sa ilang mga mambabasa, ang paksa ng mga serye ng matematika, mga pamamaraan ng paglutas, mga palatandaan, mga teorema ay maaaring mukhang kakaiba, at kahit na mapagpanggap, walang katotohanan. Sa kasong ito, hindi mo kailangang "mag-load" ng marami, tinatanggap namin ang mga katotohanan kung ano ang mga ito, at matutunan lamang kung paano lutasin ang mga tipikal, karaniwang mga gawain.

1) Mga hilera para sa mga teapot, at para sa samovars agad na nilalaman :)

Para sa napakabilis na paghahanda sa isang paksa mayroong isang express course sa pdf format, sa tulong kung saan ito ay talagang posible na "itaas" ang pagsasanay sa loob lamang ng isang araw.

Ang konsepto ng isang serye ng numero

Sa pangkalahatan serye ng numero maaaring isulat ng ganito:
dito:
- icon ng matematika ng kabuuan;
– karaniwang termino ng serye(tandaan ang simpleng terminong ito);
- variable - "counter". Ang talaan ay nangangahulugan na ang pagsusuma ay isinasagawa mula 1 hanggang “plus infinity”, ibig sabihin, una ay mayroon tayo , pagkatapos , pagkatapos , at iba pa - hanggang sa kawalang-hanggan. Isang variable o kung minsan ay ginagamit sa halip na isang variable. Ang pagbubuod ay hindi kinakailangang magsimula sa isa, sa ilang mga kaso maaari itong magsimula sa zero, mula sa dalawa, o sa alinmang natural na numero.

Alinsunod sa variable na "counter", ang anumang serye ay maaaring maipinta nang detalyado:
– at iba pa ad infinitum.

Mga tuntunin - Ito NUMERO, na tinatawag na mga miyembro hilera. Kung lahat sila ay hindi negatibo (mas malaki sa o katumbas ng zero), pagkatapos ay tinatawag ang naturang serye positibong linya ng numero.

Halimbawa 1

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang "labanan" na gawain - sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan na mag-record ng ilang mga miyembro ng serye.

Una, pagkatapos:
Pagkatapos, pagkatapos:
Pagkatapos, pagkatapos:

Ang proseso ay maaaring ipagpatuloy nang walang hanggan, ngunit ayon sa kondisyon, kinakailangan na isulat ang unang tatlong termino ng serye, kaya isulat namin ang sagot:

Pansinin ang pangunahing pagkakaiba mula sa pagkakasunod-sunod ng numero,
kung saan ang mga termino ay hindi pinagsama-sama, ngunit itinuturing na ganoon.

Halimbawa 2

Isulat ang unang tatlong termino ng serye

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Kahit na para sa isang tila kumplikadong serye, hindi mahirap ilarawan ito sa pinalawak na anyo:

Halimbawa 3

Isulat ang unang tatlong termino ng serye

Sa katunayan, ang gawain ay isinasagawa nang pasalita: mentally substitute sa karaniwang termino ng serye una , pagkatapos at . Sa kalaunan:

Iwanan ang sagot na ganito mas mainam na huwag gawing simple ang mga nakuhang tuntunin ng serye, ibig sabihin huwag sumunod mga aksyon: , , . Bakit? Sagot sa form mas madali at mas maginhawa para sa guro na suriin.

Minsan may baliktad

Halimbawa 4

Walang malinaw na algorithm ng solusyon dito. kailangan mo lang makita ang pattern.
Sa kasong ito:

Para sa pagpapatunay, ang resultang serye ay maaaring "ipinta pabalik" sa pinalawak na anyo.

Ngunit ang halimbawa ay medyo mas mahirap para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Isulat ang kabuuan sa collapsed form na may karaniwang termino ng serye

Suriin muli sa pamamagitan ng pagsulat ng serye sa pinalawak na anyo

Convergence ng mga serye ng numero

Isa sa mga pangunahing layunin ng paksa ay pagsusuri ng isang serye para sa convergence. Sa kasong ito, posible ang dalawang kaso:

1) hileradiverges. Nangangahulugan ito na ang isang walang katapusang kabuuan ay katumbas ng infinity: alinman sa mga kabuuan sa pangkalahatan ay wala, bilang, halimbawa, sa serye
(nga pala, narito ang isang halimbawa ng isang serye na may mga negatibong termino). Isang magandang halimbawa ng isang magkakaibang serye ng numero ang nakita sa simula ng aralin: . Dito ay medyo halata na ang bawat susunod na termino ng serye ay mas malaki kaysa sa nauna, samakatuwid at samakatuwid ang serye ay nagkakaiba. Isang mas maliit na halimbawa: .

2) hileranagtatagpo. Nangangahulugan ito na ang isang walang katapusang kabuuan ay katumbas ng ilan panghuling numero: . Walang anuman: Ang seryeng ito ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay zero. Ang isang mas makabuluhang halimbawa ay walang katapusan na bumababa geometric progression, na kilala sa amin mula noong paaralan: . Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay kinakalkula ng formula: , kung saan ang unang miyembro ng progression, at ang base nito, na, bilang panuntunan, ay nakasulat bilang tama mga fraction. Sa kasong ito: , . kaya: Ang isang may hangganang numero ay nakuha, na nangangahulugan na ang serye ay nagtatagpo, na kung saan ay kinakailangan upang mapatunayan.

Gayunpaman, sa karamihan ng mga kaso hanapin ang kabuuan ng serye ay hindi gaanong simple, at samakatuwid, sa pagsasagawa, upang pag-aralan ang convergence ng serye, ginagamit ang mga espesyal na palatandaan, na napatunayan nang theoretically.

Mayroong ilang mga palatandaan ng convergence ng isang serye: kinakailangang criterion para sa convergence ng isang serye, pamantayan sa paghahambing, criterion ni d'Alembert, pamantayan ni Cauchy, tanda ni Leibniz at ilang iba pang mga palatandaan. Kailan ilalapat ang anong palatandaan? Depende ito sa karaniwang termino ng serye, sa makasagisag na pagsasalita - sa "pagpupuno" ng serye. At sa lalong madaling panahon ilalagay namin ang lahat sa mga istante.

! Para sa karagdagang pag-aaral, kailangan mo unawaing mabuti, kung ano ang limitasyon at ito ay mabuti upang maihayag ang kawalan ng katiyakan ng form. Para sa pag-uulit o pag-aaral ng materyal, sumangguni sa artikulo Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon.

Isang kinakailangang criterion para sa convergence ng isang serye

Kung ang serye ay nagtatagpo, ang karaniwang termino nito ay magiging zero: .

Ang kabaligtaran ay hindi totoo sa pangkalahatang kaso, ibig sabihin, kung , kung gayon ang serye ay maaaring parehong magtagpo at maghiwalay. At kaya ang tanda na ito ay ginagamit upang bigyang-katwiran divergence hilera:

Kung ang karaniwang termino ng serye hindi napupunta sa zero, pagkatapos ay magkakaiba ang serye

O sa madaling salita: kung , pagkatapos ay mag-iiba ang serye. Sa partikular, ang isang sitwasyon ay posible kapag ang limitasyon ay wala sa lahat, bilang, halimbawa, limitasyon. Dito nila agad pinatunayan ang pagkakaiba ng isang serye :)

Ngunit mas madalas ang limitasyon ng divergent na serye ay katumbas ng infinity, habang sa halip na "x" ito ay gumaganap bilang isang "dynamic" na variable. I-refresh natin ang ating kaalaman: ang mga limitasyon na may "x" ay tinatawag na mga limitasyon ng mga function, at ang mga limitasyon na may variable na "en" - mga limitasyon ng mga numerical na sequence. Ang malinaw na pagkakaiba ay ang variable na "en" ay kumukuha ng discrete (discontinuous) natural values: 1, 2, 3, atbp. Ngunit ang katotohanang ito ay may maliit na epekto sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga limitasyon at pamamaraan para sa pagsisiwalat ng mga kawalan ng katiyakan.

Patunayan natin na ang serye mula sa unang halimbawa ay nag-iiba.
Karaniwang miyembro ng serye:

Konklusyon: hilera diverges

Ang kinakailangang tampok ay kadalasang ginagamit sa totoong praktikal na mga gawain:

Halimbawa 6

Mayroon kaming mga polynomial sa numerator at denominator. Ang maingat na nagbasa at naunawaan ang paraan ng pagsisiwalat ng kawalan ng katiyakan sa artikulo Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon, tiyak na nahuli iyon kapag ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator pantay, kung gayon ang limitasyon ay panghuling numero .

Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

Serye ng Pag-aaral diverges, dahil ang kinakailangang criterion para sa convergence ng serye ay hindi nasiyahan.

Halimbawa 7

Suriin ang serye para sa convergence

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin

Kaya, kapag binigyan tayo ng ANUMANG serye ng numero, pangunahin sinusuri namin (sa isip o sa isang draft): ang karaniwang termino ba nito ay may posibilidad na zero? Kung hindi ito nagsusumikap, gumuhit kami ng isang solusyon kasunod ng halimbawa ng mga halimbawa No. 6, 7 at ibigay ang sagot na ang serye ay nag-iiba.

Anong mga uri ng tila magkakaibang serye ang napag-isipan natin? Kaagad na malinaw na ang mga hilera ay nagkakagusto o naghihiwalay. Ang serye mula sa mga halimbawa Blg. 6, 7 ay nagkakaiba din: kapag ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga polynomial, at ang pinakamataas na antas ng numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng pinakamataas na antas ng denominator. Sa lahat ng mga kasong ito, kapag nag-solve at nagdidisenyo ng mga halimbawa, ginagamit namin ang kinakailangang criterion para sa convergence ng serye.

Bakit tinawag ang tanda kailangan? Unawain sa pinaka natural na paraan: para magtagpo ang serye, kailangan upang ang karaniwang termino nito ay nagiging zero. At magiging maayos ang lahat, ngunit ito hindi sapat. Sa ibang salita, kung ang karaniwang termino ng serye ay may posibilidad na maging zero, HINDI NITO nangangahulugang nagtatagpo ang serye- maaari itong magtagpo at maghiwalay!

matugunan:

Ang row na ito ay tinatawag na maharmonya na serye. Mangyaring tandaan! Kabilang sa mga numerical series, siya ay isang prima ballerina. Mas tiyak, isang ballerina =)

Madaling makita iyon , PERO. Sa teorya ng mathematical analysis, napatunayan na nag-iiba ang harmonic series.

Dapat mo ring tandaan ang konsepto ng isang pangkalahatang maharmonya na serye:

1) Ang hilera na ito diverges sa . Halimbawa, ang serye ay diverge, , .
2) Ang hilera na ito nagtatagpo sa . Halimbawa, ang serye , , . Muli kong binibigyang-diin na sa halos lahat ng praktikal na gawain ay hindi mahalaga sa amin kung ano ang kabuuan ng, halimbawa, ang serye, ang mismong katotohanan ng tagpo nito ay mahalaga.

Ito ay mga elementarya na katotohanan mula sa teorya ng serye na napatunayan na, at kapag nilutas ang ilang praktikal na halimbawa, maaaring ligtas na sumangguni, halimbawa, sa divergence ng serye o sa convergence ng serye.

Sa pangkalahatan, ang materyal na isinasaalang-alang ay halos kapareho sa pag-aaral ng mga hindi wastong integral, at ang mga nag-aral ng paksang ito ay magiging mas madali. Well, para sa mga hindi nag-aral, mas madali ito :)

Kaya, ano ang gagawin kung ang karaniwang termino ng serye ay PUMUNTA sa zero? Sa ganitong mga kaso, upang malutas ang mga halimbawa, kailangan mong gumamit ng iba, sapat mga palatandaan ng convergence / divergence:

Pamantayan sa paghahambing para sa serye ng positibong numero

Nakuha ko ang iyong atensyon na dito ay tungkol lamang sa positibong seryeng numero ang pinag-uusapan (na may mga hindi negatibong miyembro).

Mayroong dalawang senyales ng paghahambing, isa sa kanila ay tatawagin ko lang tanda ng paghahambing, isa pa - paglilimita ng tanda ng paghahambing.

Unang isaalang-alang tanda ng paghahambing, o sa halip, ang unang bahagi nito:

Isaalang-alang ang dalawang positibong serye ng numero at . Kung alam, na ang hilera ay nagtatagpo, at, simula sa ilang numero , nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay ang serye nagtatagpo rin.

Sa ibang salita: Ang convergence ng isang serye na may mas malalaking termino ay nagpapahiwatig ng convergence ng isang serye na may mas maliliit na termino. Sa pagsasagawa, ang hindi pagkakapantay-pantay ay madalas na nasisiyahan sa pangkalahatan para sa lahat ng mga halaga ng:

Halimbawa 8

Suriin ang serye para sa convergence

Una, suriin namin(sa isip o sa isang draft) pagpapatupad:
, na nangangahulugan na hindi posible na "makawala ng kaunting dugo".

Tinitingnan namin ang "package" ng generalized harmonic series at, na nakatuon sa pinakamataas na antas, nakakita kami ng katulad na serye: Alam mula sa teorya na ito ay nagtatagpo.

Para sa lahat ng natural na numero, ang halatang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:

at mas malalaking denominator ay tumutugma sa mas maliliit na fraction:
, na nangangahulugan na, ayon sa pamantayan ng paghahambing, ang seryeng pinag-aaralan nagtatagpo kasama ang katabi .

Kung mayroon kang anumang mga pagdududa, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring palaging maipinta nang detalyado! Isulat natin ang nabuong hindi pagkakapantay-pantay para sa ilang numerong "en":
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
Kung , kung gayon
….
at ngayon ito ay lubos na malinaw na ang hindi pagkakapantay-pantay humahawak para sa lahat ng natural na numerong "en".

Suriin natin ang pamantayan ng paghahambing at ang nalutas na halimbawa mula sa isang impormal na pananaw. Gayunpaman, bakit nagtatagpo ang serye? Narito kung bakit. Kung ang serye ay nagtatagpo, kung gayon mayroon itong ilan pangwakas halaga: . At dahil lahat ng miyembro ng serye mas maliit katumbas na mga miyembro ng serye, kung gayon ang tuod ay malinaw na ang kabuuan ng serye ay hindi maaaring mas malaki kaysa sa bilang , at higit pa, hindi maaaring katumbas ng infinity!

Katulad nito, maaari nating patunayan ang convergence ng "katulad" na serye: , , atbp.

! tala na sa lahat ng pagkakataon ay mayroon tayong "mga plus" sa mga denominador. Ang pagkakaroon ng hindi bababa sa isang minus ay maaaring seryosong kumplikado ang paggamit ng isinasaalang-alang tampok na paghahambing. Halimbawa, kung ang isang serye ay inihambing sa parehong paraan sa isang convergent na serye (isulat ang ilang mga hindi pagkakapantay-pantay para sa mga unang termino), kung gayon ang kundisyon ay hindi matutupad! Dito maaari kang umiwas at pumili para sa paghahambing ng isa pang convergent na serye, halimbawa, , ngunit ito ay mangangailangan ng mga hindi kinakailangang pagpapareserba at iba pang hindi kinakailangang mga paghihirap. Samakatuwid, upang patunayan ang convergence ng isang serye, ito ay mas madaling gamitin marginal na paghahambing na pamantayan(tingnan ang susunod na talata).

Halimbawa 9

Suriin ang serye para sa convergence

At sa halimbawang ito, iminumungkahi kong isaalang-alang mo ang iyong sarili ang pangalawang bahagi ng tampok na paghahambing:

Kung alam, na ang hilera ay diverges, at simula sa ilang numero (madalas mula sa una) hindi pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay ang serye diver din.

Sa ibang salita: Ang divergence ng serye na may mas maliliit na termino ay nagpapahiwatig ng divergence ng serye na may mas malalaking termino.

Ano ang dapat gawin?
Kinakailangang ihambing ang seryeng pinag-aaralan sa isang magkakaibang serye ng harmonic. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, bumuo ng ilang partikular na hindi pagkakapantay-pantay at siguraduhin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

Solusyon at halimbawang disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Tulad ng nabanggit na, sa pagsasagawa ang tampok na paghahambing na isinasaalang-alang ay bihirang ginagamit. Ang totoong "workhorse" ng serye ng numero ay marginal na paghahambing na pamantayan, at sa mga tuntunin ng dalas ng paggamit, lamang tanda ng d'Alembert.

Limitahan ang tanda ng paghahambing ng numerical positive series

Isaalang-alang ang dalawang positibong serye ng numero at . Kung ang limitasyon ng ratio ng mga karaniwang miyembro ng seryeng ito ay katumbas ng may hangganan na hindi zero na numero: , pagkatapos ang parehong serye ay nagtatagpo o diverge sa parehong oras.

Kailan ginagamit ang pamantayan sa paghahambing ng limitasyon? Ang limitasyong tanda ng paghahambing ay ginagamit kapag ang "pagpupuno" ng serye ay mga polynomial. Alinman sa isang polynomial sa denominator, o polynomial sa parehong numerator at denominator. Opsyonal, ang mga polynomial ay maaaring nasa ilalim ng mga ugat.

Harapin natin ang serye kung saan natigil ang nakaraang tanda ng paghahambing.

Halimbawa 10

Suriin ang serye para sa convergence

Ihambing ang seryeng ito sa convergent series. Ginagamit namin ang limitasyon ng pagsubok ng paghahambing. Ito ay kilala na ang serye ay nagtatagpo. Kung maipapakita natin na ito ay panghuling di-zero numero, mapapatunayan na ang serye ay nagtatagpo rin.

Ang isang may hangganan, hindi zero na numero ay nakuha, na nangangahulugang ang seryeng pinag-aaralan nagtatagpo kasama ang katabi .

Bakit napili ang serye para sa paghahambing? Kung pumili kami ng anumang iba pang serye mula sa "clip" ng pangkalahatang harmonic series, hindi sana kami nagtagumpay sa limitasyon panghuling di-zero mga numero (maaari kang mag-eksperimento).

Tandaan: kapag ginamit namin ang tampok na marginal na paghahambing, walang kinalaman, sa anong pagkakasunud-sunod upang mabuo ang kaugnayan ng mga karaniwang miyembro, sa isinasaalang-alang na halimbawa, ang kaugnayan ay maaaring iguhit sa kabaligtaran: - hindi nito mababago ang kakanyahan ng bagay.

Mga linya ng numero. Convergence at divergence ng numerical series. d'Alembert convergence criterion. Mga variable na hilera. Absolute at conditional convergence ng series. functional na mga hilera. Power series. Pagpapalawak ng mga elementary function sa serye ng Maclaurin.

Mga patnubay sa paksa 1.4:

Mga row ng numero:

Ang isang serye ng numero ay isang kabuuan ng anyo

nasaan ang mga numero u 1 , u 2 , u 3 , n n , tinatawag na mga miyembro ng serye, bumuo ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod; ang terminong un ay tinatawag na karaniwang termino ng serye.

. . . . . . . . .

na binubuo ng mga unang termino ng serye (27.1) ay tinatawag na mga partial sums ng seryeng ito.

Ang bawat row ay maaaring iugnay sa isang sequence ng mga partial sums S1, S2, S3. Kung, habang ang bilang n ay tumataas nang walang hanggan, ang bahagyang kabuuan ng serye S n tends to the limit S, pagkatapos ang serye ay tinatawag na convergent, at ang numero S- ang kabuuan ng isang convergent series, i.e.

Ang entry na ito ay katumbas ng entry

Kung bahagyang halaga S n serye (27.1) na may walang limitasyong pagtaas n ay walang hangganang limitasyon (sa partikular, may posibilidad na + ¥ o hanggang - ¥), kung gayon ang naturang serye ay tinatawag na divergent

Kung ang serye ay nagtatagpo, ang halaga S n para sa sapat na malaking n ay isang tinatayang expression para sa kabuuan ng serye S.

Pagkakaiba r n = S - S n ay tinatawag na ang natitira sa serye. Kung ang serye ay nagtatagpo, ang natitira nito ay may posibilidad na zero, i.e. r n = 0, at vice versa, kung ang natitira ay may posibilidad na zero, pagkatapos ay ang serye ay nagtatagpo.

Ang serye ng isang species ay tinatawag geometric na linya.

tinawag maharmonya.

kung N®¥, kung gayon S n®¥, ibig sabihin. nag-iiba ang harmonic series.

Halimbawa 1. Sumulat ng isang serye ayon sa ibinigay nitong karaniwang termino:

1) sa pag-aakalang n = 1, n = 2, n = 3, mayroon tayong walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero: , , , Pagdaragdag ng mga termino nito, nakukuha natin ang serye

2) Sa paggawa ng pareho, nakukuha namin ang serye

3) Pagbibigay ng mga halaga 1, 2, 3, at isinasaalang-alang na 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, nakukuha namin ang serye

Halimbawa 2. Hanapin n-ika-kataga ng serye ayon sa mga ibinigay nitong unang numero:

1) ; 2) ; 3) .

Halimbawa 3. Hanapin ang kabuuan ng mga tuntunin ng serye:

2) .

1) Hanapin ang mga bahagyang kabuuan ng mga tuntunin ng serye:

; ;

… .

Isulat natin ang pagkakasunod-sunod ng mga partial sums: …, , … .

Ang karaniwang termino ng sequence na ito ay . Kaya naman,

.

Ang sequence ng partial sums ay may limitasyon na katumbas ng . Kaya ang serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay .

2) Ito ay isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, kung saan ang isang 1 = , q= . Gamit ang formula, makuha natin ang So, ang serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng 1.

Convergence at divergence ng numerical series. Convergence sign d'Alembert :

Isang kinakailangang criterion para sa convergence ng isang serye. Ang isang serye ay maaari lamang magtagpo kung ang karaniwang termino nito ay u n na may walang limitasyong pagtaas ng bilang n napupunta sa zero:

Kung , pagkatapos ay ang serye ay nag-iiba - ito ay isang sapat na tanda ng solubility ng serye.

Sapat na mga kundisyon para sa convergence ng isang serye na may mga positibong termino.

Tanda ng paghahambing ng serye sa mga positibong termino. Ang serye sa ilalim ng pag-aaral ay nagtatagpo kung ang mga miyembro nito ay hindi lalampas sa mga kaukulang miyembro ng isa pa, malinaw na magkakaugnay na serye; ang seryeng pinag-aaralan ay nag-iiba kung ang mga termino nito ay lumampas sa mga katumbas na termino ng isa pang malinaw na magkakaibang serye.

Sa pag-aaral ng serye para sa convergence at solubility sa batayan na ito, madalas na ginagamit ang geometric series

na nagtatagpo para sa |q|

,

pagiging divergent.

Sa pag-aaral ng serye, ginagamit din ang generalized harmonic series

.

Kung ang p= 1, pagkatapos ang seryeng ito ay nagiging isang harmonic series, na magkakaiba.

Kung ang p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 mayroon kaming isang geometric na serye kung saan | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 at diverges sa p£1.

Tanda ng d'Alembert. Kung para sa isang serye na may positibong termino

(u n>0)

kundisyon ay nasiyahan, pagkatapos ang serye ay nagtatagpo sa l l > 1.

Ang tanda ni d'Alembert ay hindi nagbibigay ng sagot kung l= 1. Sa kasong ito, iba pang mga pamamaraan ang ginagamit upang pag-aralan ang serye.

Mga variable na hilera.

Absolute at conditional convergence ng series:

Serye ng numero

u 1 + u 2 + u 3 + u n

ay tinatawag na alternating kung sa mga miyembro nito ay may parehong positibo at negatibong numero.

Ang isang serye ng numero ay tinatawag na sign-alternating kung alinman sa dalawang magkatabing miyembro ay may magkasalungat na mga palatandaan. Ang seryeng ito ay isang espesyal na kaso ng isang alternating series.

Convergence criterion para sa alternating series. Kung ang mga tuntunin ng alternating series ay monotonically bumaba sa absolute value at sa karaniwang termino u n ay may posibilidad na zero bilang n® , pagkatapos ay nagtatagpo ang serye.

Ang isang serye ay tinatawag na ganap na convergent kung ang serye ay nagtatagpo rin. Kung ang isang serye ay ganap na nagtatagpo, kung gayon ito ay nagtatagpo (sa karaniwang kahulugan). Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Ang isang serye ay sinasabing conditionally convergent kung ito mismo ay nagtatagpo at ang serye na binubuo ng mga module ng mga miyembro nito ay naghihiwalay. Halimbawa 4. Suriin ang serye para sa convergence .

Ilapat natin ang sapat na pagsubok ng Leibniz para sa alternating series. Nakukuha namin sa abot ng . Samakatuwid, ang seryeng ito ay nagtatagpo. Halimbawa 5. Suriin ang serye para sa convergence .

Subukan nating ilapat ang Leibniz sign: Makikita na ang modulus ng pangkalahatang termino ay hindi malamang na zero kapag n→∞. Samakatuwid, ang seryeng ito ay nag-iiba. Halimbawa 6. Tukuyin kung ang serye ay ganap na convergent, conditionally convergent o divergent.

Ang paglalapat ng d'Alembert criterion sa isang serye na binubuo ng mga module ng mga kaukulang termino, nakita namin Samakatuwid, ang seryeng ito ay ganap na nagtatagpo.

Halimbawa 7. Suriin para sa convergence (absolute o conditional) ang isang alternating series:

1) Ang mga tuntunin ng seryeng ito ay monotonically bumababa sa ganap na halaga at . Samakatuwid, ayon sa pagsubok ng Leibniz, nagtatagpo ang serye. Alamin natin kung ang seryeng ito ay ganap o may kondisyon.

2) Ang mga tuntunin ng seryeng ito ay monotonically bumababa sa ganap na halaga: , ngunit

.

Functional na serye:

Ang karaniwang serye ng numero ay binubuo ng mga numero:

Lahat ng miyembro ng serye - Ito numero.

Ang functional line ay binubuo ng mga tampok:

Sa pangkalahatang termino ng serye, bilang karagdagan sa mga polynomial, factorial, atbp. tiyak kasama ang letrang "x". Mukhang ganito, halimbawa: Tulad ng isang serye ng numero, anumang functional na serye ay maaaring isulat sa pinalawak na anyo:

Gaya ng nakikita mo, lahat ng miyembro ng functional series ay mga function.

Ang pinakasikat na uri ng functional series ay serye ng kapangyarihan.

Power series:

susunod na kapangyarihan ay tinatawag na isang serye

,

nasaan ang mga numero isang 0, isang 1, isang 2, isang n ay tinatawag na mga coefficient ng serye, at ang termino isang n x n ay isang karaniwang miyembro ng serye.

Ang convergence region ng isang power series ay ang set ng lahat ng value x kung saan nagtatagpo ang serye.

Numero R ay tinatawag na radius ng convergence ng serye kung, para sa | x| nagtatagpo ang serye.

Halimbawa 8. Binigyan ng hilera

Siyasatin ang convergence nito sa mga punto x= 1 at X= 3, x= -2.

Kapag x = 1, ang seryeng ito ay nagiging serye ng numero

.

Siyasatin natin ang convergence ng seryeng ito sa pamamagitan ng d'Alembert test. Meron kami

mga. nagtatagpo ang serye.

Para sa x = 3 makuha namin ang serye

Aling diverges, dahil ang kinakailangang criterion para sa convergence ng serye ay hindi nasiyahan

Para sa x = -2 nakukuha natin

Ito ay isang alternating series, na, ayon sa Leibniz test, ay nagtatagpo.

Kaya sa mga punto x= 1 at X= -2. ang serye ay nagtatagpo, at sa punto x= 3 diverges.

Pagpapalawak ng mga elementary function sa serye ng Maclaurin:

Malapit kay Taylor para sa function f(x) ay tinatawag na serye ng kapangyarihan ng anyo

Mga pangunahing kahulugan

Kahulugan. Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang infinite number sequence ay tinatawag na number series.

Sa kasong ito, ang mga numero ay tatawaging miyembro ng serye, at un - ang karaniwang miyembro ng serye.

Kahulugan. Ang mga kabuuan, n = 1, 2, ... ay tinatawag na mga partial (partial) na kabuuan ng serye.

Kaya, posibleng isaalang-alang ang mga pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng seryeng S1, S2, …, Sn, …

Kahulugan. Ang isang serye ay tinatawag na convergent kung ang sequence ng mga partial sums nito ay nagtatagpo. Ang kabuuan ng isang convergent series ay ang limitasyon ng sequence ng mga partial sums nito.

Kahulugan. Kung ang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan ng serye ay magkakaiba, i.e. ay walang limitasyon, o may walang katapusang limitasyon, kung gayon ang serye ay tinatawag na divergent at walang kabuuan na itinalaga dito.

Mga Katangian ng Row

1) Ang convergence o divergence ng serye ay hindi malalabag kung babaguhin mo, itatapon o magdagdag ng isang tiyak na bilang ng mga termino sa serye.

2) Isaalang-alang ang dalawang serye at, kung saan ang C ay isang pare-parehong numero.

Teorama. Kung ang isang serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay katumbas ng S, kung gayon ang serye ay nagtatagpo rin at ang kabuuan nito ay katumbas ng CS. (C0)

3) Isaalang-alang ang dalawang hanay at. Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga seryeng ito ay tatawaging serye kung saan ang mga elemento ay nakuha bilang resulta ng pagdaragdag (pagbabawas) ng mga orihinal na elemento na may parehong mga numero.

Teorama. Kung ang serye at nagtatagpo at ang kanilang mga kabuuan ay katumbas ng S at, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang serye ay nagtatagpo rin at ang kabuuan nito ay katumbas ng S + .

Ang pagkakaiba ng dalawang convergent series ay magiging convergent series din.

Ang kabuuan ng convergent at divergent na serye ay magiging divergent na serye.

Imposibleng gumawa ng pangkalahatang pahayag tungkol sa kabuuan ng dalawang magkakaibang serye.

Kapag nag-aaral ng serye, dalawang problema ang pangunahing nalutas: ang pag-aaral ng convergence at paghahanap ng kabuuan ng serye.

Cauchy criterion.

(kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa tagpo ng serye)

Upang ang pagkakasunud-sunod ay maging convergent, kinakailangan at sapat na para sa alinman ay mayroong isang numero N na para sa n > N at anumang p > 0, kung saan ang p ay isang integer, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon:

Patunay. (kailangan)

Hayaan, pagkatapos ay para sa anumang numero mayroong isang numero N tulad na ang hindi pagkakapantay-pantay

ay ginanap para sa n>N. Para sa n>N at anumang integer p>0, nananatili rin ang hindi pagkakapantay-pantay. Isinasaalang-alang ang parehong hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha natin:

Ang pangangailangan ay napatunayan. Hindi namin isasaalang-alang ang patunay ng kasapatan.

Bumuo tayo ng Cauchy criterion para sa serye.

Para maging convergent ang isang serye, kinakailangan at sapat na para sa alinman ay mayroong isang numerong N para sa n>N at anumang p>0 ang hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, sa pagsasagawa, hindi masyadong maginhawang gamitin nang direkta ang pamantayan ng Cauchy. Samakatuwid, bilang isang patakaran, ang mas simpleng pamantayan ng convergence ay ginagamit:

1) Kung ang serye ay nagtatagpo, kung gayon kinakailangan na ang karaniwang terminong un ay may posibilidad na zero. Gayunpaman, ang kundisyong ito ay hindi sapat. Masasabi lamang natin na kung ang karaniwang termino ay hindi malamang na zero, kung gayon ang serye ay eksaktong diverge. Halimbawa, ang tinatawag na harmonic series ay divergent, bagaman ang karaniwang termino nito ay may posibilidad na zero.

Sagot: nag-iiba ang serye.

Halimbawa #3

Hanapin ang kabuuan ng serye na $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Dahil ang mas mababang limitasyon sa pagsusuma ay 1, ang karaniwang termino ng serye ay isinusulat sa ilalim ng sum sign: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Buuin ang nth partial sum ng serye, i.e. isama ang unang $n$ na miyembro ng ibinigay na numerical series:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Kung bakit ako nagsusulat ng eksaktong $\frac(2)(3\cdot 5)$, at hindi $\frac(2)(15)$, ay magiging malinaw mula sa karagdagang pagsasalaysay. Gayunpaman, ang pagtatala ng isang bahagyang kabuuan ay hindi nagdulot sa amin ng isang iota na mas malapit sa layunin. Pagkatapos ng lahat, kailangan nating hanapin ang $\lim_(n\to\infty)S_n$, ngunit kung isusulat lang natin:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

kung gayon ang talaang ito, ganap na tama sa anyo, ay hindi magbibigay sa atin ng kahit ano sa kakanyahan. Upang mahanap ang limitasyon, kailangan munang pasimplehin ang partial sum expression.

Mayroong karaniwang pagbabagong-anyo para dito, na binubuo sa pag-decomposing ng fraction na $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, na kumakatawan sa karaniwang termino ng serye, sa elementarya na mga fraction. Ang isang hiwalay na paksa ay nakatuon sa isyu ng nabubulok na mga rational fraction sa elementarya (tingnan, halimbawa, halimbawa No. 3 sa pahinang ito). Ang pagpapalawak ng fraction $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ sa elementary fractions, mayroon kaming:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Tinutumbas namin ang mga numerator ng mga fraction sa kaliwa at kanang bahagi ng resultang pagkakapantay-pantay:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang mga halaga ng $A$ at $B$. Maaari mong buksan ang mga bracket at muling ayusin ang mga termino, o maaari mo lamang palitan ang ilang naaangkop na halaga sa halip na $n$. Para lamang sa isang pagbabago, sa halimbawang ito ay pupunta tayo sa unang paraan, at sa susunod - papalitan natin ang mga pribadong halaga ng $n$. Ang pagpapalawak ng mga bracket at muling pagsasaayos ng mga tuntunin, makukuha natin ang:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Sa kaliwang bahagi ng equation, ang $n$ ay nauuna sa zero. Kung gusto mo, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay maaaring katawanin para sa kalinawan bilang $0\cdot n+ 2$. Dahil sa kaliwang bahagi ng equality $n$ ay nauuna sa zero, at sa kanang bahagi ng equality $2A+2B$ nauuna sa $n$, mayroon kaming unang equation: $2A+2B=0$. Hinahati namin kaagad ang parehong bahagi ng equation na ito sa pamamagitan ng 2, pagkatapos ay makakakuha kami ng $A+B=0$.

Dahil ang libreng termino sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay katumbas ng 2, at sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ang libreng termino ay katumbas ng $3A+B$, pagkatapos ay $3A+B=2$. Kaya mayroon kaming isang sistema:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction. Sa unang hakbang, kailangan nating suriin kung ang kinakailangang pagkakapantay-pantay na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay para sa $n=1$. Alam namin na ang $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ngunit ang expression na $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ba ay magbibigay ng value na $\frac( 2 )(15)$ kung ang $n=1$ ay papalitan dito? Suriin natin:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Kaya, para sa $n=1$ ang pagkakapantay-pantay na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay nasiyahan. Kinukumpleto nito ang unang hakbang ng paraan ng mathematical induction.

Ipagpalagay na para sa $n=k$ ang pagkakapantay-pantay ay hawak, i.e. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Patunayan natin na magkakaroon ng parehong pagkakapantay-pantay para sa $n=k+1$. Upang gawin ito, isaalang-alang ang $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Dahil $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, pagkatapos ay $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Ayon sa palagay sa itaas $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, kaya ang formula na $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ay tumatagal ang form:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Konklusyon: ang formula na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay totoo para sa $n=k+1$. Samakatuwid, ayon sa paraan ng mathematical induction, ang formula na $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ay totoo para sa anumang $n\in N$. Ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Sa isang karaniwang kurso sa mas mataas na matematika, ang isa ay karaniwang kontento sa "pagtanggal" ng mga termino sa pagkansela, nang hindi nangangailangan ng anumang patunay. Kaya, nakuha namin ang expression para sa nth partial sum: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Hanapin ang halaga ng $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Konklusyon: ang ibinigay na serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay $S=\frac(1)(3)$.

Ang pangalawang paraan ay ang gawing simple ang formula para sa partial sum.

Upang maging tapat, mas gusto ko ang pamamaraang ito sa aking sarili :) Isulat natin ang bahagyang kabuuan sa isang pinaikling anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Nauna naming nakuha ang $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, kaya:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan). $$

Ang kabuuan na $S_n$ ay naglalaman ng isang may hangganang bilang ng mga termino, kaya maaari naming muling ayusin ang mga ito gayunpaman gusto namin. Gusto ko munang idagdag ang lahat ng mga tuntunin ng form na $\frac(1)(2k+1)$, at pagkatapos lamang pumunta sa mga tuntunin ng form na $\frac(1)(2k+3)$. Nangangahulugan ito na kakatawanin namin ang bahagyang kabuuan sa form na ito:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Siyempre, ang pinalawak na notasyon ay lubhang hindi maginhawa, kaya ang pagkakapantay-pantay sa itaas ay maaaring maisulat nang mas compact:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Ngayon ay binabago namin ang mga expression na $\frac(1)(2k+1)$ at $\frac(1)(2k+3)$ sa parehong anyo. Sa tingin ko ito ay maginhawa upang magmukhang isang mas malaking fraction (bagaman maaari mong gamitin ang isang mas maliit na isa, ito ay isang bagay ng panlasa). Dahil $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (mas malaki ang denominator, mas maliit ang fraction), babawasan namin ang fraction na $\frac(1)(2k+ 3) $ sa anyong $\frac(1)(2k+1)$.

Ipapakita ko ang expression sa denominator ng fraction $\frac(1)(2k+3)$ gaya ng sumusunod:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

At ang kabuuan na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ay maaari na ngayong isulat ng ganito:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Kung ang pagkakapantay-pantay ay $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ay hindi nagtataas ng mga tanong, pagkatapos ay pumunta pa tayo. Kung may mga katanungan, mangyaring palawakin ang tala.

Paano namin nakuha ang na-convert na halaga? Ipakita itago

Mayroon kaming serye na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Magpakilala tayo ng bagong variable sa halip na $k+1$ - halimbawa, $t$. Kaya $t=k+1$.

Paano nagbago ang lumang variable na $k$? At ito ay nagbago mula 1 hanggang $n$. Alamin natin kung paano magbabago ang bagong variable na $t$. Kung $k=1$, kung gayon ang $t=1+1=2$. Kung $k=n$, pagkatapos ay $t=n+1$. Kaya ang expression na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ay ngayon: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Mayroon kaming kabuuan na $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Tanong: mahalaga ba kung anong letra ang gagamitin sa kabuuan na ito? :) Tritely writing the letter $k$ instead of $t$, we get the following:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Ganito ang pagkakapantay-pantay $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) ay nakuha \frac(1)(2k+1)$.

Kaya, ang bahagyang kabuuan ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Tandaan na ang mga kabuuan na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ at $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ naiiba lamang sa mga limitasyon ng pagsusuma. Gawin nating pareho ang mga limitasyong ito. "Pagkuha" ng unang elemento mula sa kabuuan na $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ nakukuha natin:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Pagkuha" ng huling elemento mula sa kabuuan na $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, nakukuha namin:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Pagkatapos ang expression para sa bahagyang kabuuan ay kukuha ng anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Kung lalaktawan mo ang lahat ng mga paliwanag, ang proseso ng paghahanap ng pinaikling formula para sa n-th partial sum ay kukuha ng sumusunod na anyo:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ipaalala ko sa iyo na binawasan namin ang fraction na $\frac(1)(2k+3)$ sa form na $\frac(1)(2k+1)$. Siyempre, maaari mong gawin ang kabaligtaran, i.e. kumakatawan sa fraction na $\frac(1)(2k+1)$ bilang $\frac(1)(2k+3)$. Ang huling expression para sa bahagyang kabuuan ay hindi magbabago. Sa kasong ito, itatago ko ang proseso ng paghahanap ng bahagyang kabuuan sa ilalim ng isang tala.

Paano mahahanap ang $S_n$, kung magdadala ka sa anyo ng ibang fraction? Ipakita itago

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\kanan) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Kaya $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Hanapin ang limitasyon $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Ang ibinigay na serye ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay $S=\frac(1)(3)$.

Sagot: $S=\frac(1)(3)$.

Ang pagpapatuloy ng paksa ng paghahanap ng kabuuan ng isang serye ay isasaalang-alang sa ikalawa at ikatlong bahagi.