Kahulugan

Ang isang geometric figure na binubuo ng lahat ng mga punto ng isang eroplano na nakapaloob sa pagitan ng dalawang ray na nagmumula sa isang punto ay tinatawag patag na sulok.

Kahulugan

Anggulo sa pagitan ng dalawa nagsasalubong direkta tinatawag na halaga ng pinakamaliit na anggulo ng eroplano sa intersection ng mga linyang ito. Kung ang dalawang linya ay magkatulad, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinapalagay na zero.

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya (kung sinusukat sa radians) ay maaaring tumagal ng mga halaga mula sa zero hanggang $\dfrac(\pi)(2)$.

Kahulugan

Anggulo sa pagitan ng dalawang magkasalubong na linya ay tinatawag na halaga na katumbas ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya na parallel sa mga skew. Ang anggulo sa pagitan ng mga linyang $a$ at $b$ ay tinutukoy ng $\angle (a, b)$.

Ang kawastuhan ng ipinakilalang kahulugan ay sumusunod mula sa sumusunod na teorama.

Plane angle theorem na may parallel na panig

Ang mga halaga ng dalawang matambok na anggulo ng eroplano na may katumbas na magkatulad at pantay na direksyon na panig ay pantay.

Patunay

Kung tuwid ang mga anggulo, pareho silang katumbas ng $\pi$. Kung ang mga ito ay hindi binuo, pagkatapos ay i-plot namin ang pantay na mga segment na $ON=O_1ON_1$ at $OM=O_1M_1$ sa mga katumbas na gilid ng mga anggulo na $\angle AOB$ at $\angle A_1O_1B_1$.

Ang may apat na gilid na $O_1N_1NO$ ay isang parallelogram dahil ang magkabilang panig nito na $ON$ at $O_1N_1$ ay magkapantay at magkatulad. Katulad nito, ang quadrilateral na $O_1M_1MO$ ​​​​ay isang paralelogram. Samakatuwid $NN_1 = OO_1 = MM_1$ at $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, kaya $NN_1=MM_1$ at $NN_1 \parallel MM_1$ ayon sa transitivity. Ang may apat na gilid na $N_1M_1MN$ ay isang paralelogram dahil ang magkabilang panig nito ay magkapantay at magkatulad. Kaya, ang mga segment na $NM$ at $N_1M_1$ ay pantay din. Ang mga tatsulok na $ONM$ at $O_1N_1M_1$ ay pantay ayon sa ikatlong tatsulok na equality criterion, kaya ang mga katumbas na anggulo na $\angle NOM$ at $\angle N_1O_1M_1$ ay pantay din.

Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang

Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .

Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto

Patayo sa linyang ito

Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa punto M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang

.

Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:

(1)

Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:

Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang tuwid na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:

Napatunayan na ang theorem.

Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.

Desisyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.

Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.

Desisyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: saan b = 17. Kabuuan: .

Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.

Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang tiyak na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya

1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.

2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad nito:

Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula

3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito nang pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation ng slope

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

Dapat pansinin na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang tuwid na linya ay ibabawas mula sa slope ng pangalawang tuwid na linya.

Kung ang mga equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula

4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:

a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:

k 1 = k 2 . (8)

b) Para sa kaso kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang paralelismo ay ang mga coefficient sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.

5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:

a) Sa kaso kapag ang mga linya ay binigay ng mga equation (4) na may slope, ang kailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay reciprocal sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.

Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kung ang mga equation ng mga tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matupad ang pagkakapantay-pantay.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang

1. Isulat ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa ibinigay na linya l.

Iniksyon φ pangkalahatang equation Ang A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 at A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ay kinakalkula ng formula:

Iniksyon φ sa pagitan ng dalawang tuwid na linya canonical equation(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 at (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, ay kinakalkula ng formula:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Ang bawat eroplano sa espasyo ay maaaring katawanin bilang isang linear equation na tinatawag pangkalahatang equation eroplano

Mga espesyal na kaso.

o Kung sa equation (8), ang eroplano ay dadaan sa pinanggalingan.

o Sa (,) ang eroplano ay parallel sa axis(axis, axis), ayon sa pagkakabanggit.

o Kapag (,) ang eroplano ay parallel sa eroplano (eroplano, eroplano).

Solusyon: gumamit ng (7)

Sagot: ang pangkalahatang equation ng eroplano.

Halimbawa.

Ang eroplano sa rectangular coordinate system na Oxyz ay ibinibigay ng pangkalahatang equation ng eroplano . Isulat ang mga coordinate ng lahat ng normal na vector sa eroplanong ito.

Alam namin na ang mga coefficient ng mga variable na x, y, at z sa pangkalahatang equation ng eroplano ay ang kaukulang mga coordinate ng normal na vector ng eroplanong iyon. Samakatuwid, ang normal na vector ng ibinigay na eroplano may mga coordinate. Ang set ng lahat ng normal na vector ay maaaring ibigay bilang.

Isulat ang equation ng isang eroplano kung sa isang rectangular coordinate system Oxyz sa espasyo ito ay dumadaan sa isang punto , a ay ang normal na vector ng eroplanong ito.

Nagpapakita kami ng dalawang solusyon sa problemang ito.

Mula sa kondisyon na mayroon tayo. Pinapalitan namin ang data na ito sa pangkalahatang equation ng eroplanong dumadaan sa punto:

Isulat ang pangkalahatang equation para sa isang eroplanong parallel sa coordinate plane na Oyz at dumadaan sa punto .

Ang isang eroplanong parallel sa coordinate plane na Oyz ay maaaring ibigay ng isang pangkalahatang hindi kumpletong equation ng eroplano ng form. Since the point nabibilang sa eroplano sa pamamagitan ng kondisyon, kung gayon ang mga coordinate ng puntong ito ay dapat matugunan ang equation ng eroplano, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay ay dapat na totoo. Mula dito makikita natin. Kaya, ang nais na equation ay may anyo.

Desisyon. Ang produkto ng vector, sa pamamagitan ng kahulugan 10.26, ay orthogonal sa mga vectors p at q. Samakatuwid, ito ay orthogonal sa nais na eroplano at ang vector ay maaaring kunin bilang normal na vector nito. Hanapin ang mga coordinate ng vector n:

i.e . Gamit ang formula (11.1), nakukuha namin

Pagbukas ng mga bracket sa equation na ito, nakarating tayo sa huling sagot.

Sagot: .

Isulat muli natin ang normal na vector sa anyo at hanapin ang haba nito:

Ayon sa itaas:

Sagot:

Ang mga parallel na eroplano ay may parehong normal na vector. 1) Mula sa equation nakita namin ang normal na vector ng eroplano:.

2) Binubuo namin ang equation ng eroplano ayon sa punto at normal na vector:

Sagot:

Vector equation ng isang eroplano sa kalawakan

Parametric equation ng isang eroplano sa kalawakan

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang naibigay na punto na patayo sa isang naibigay na vector

Hayaang maibigay ang isang parihabang Cartesian coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo. Bumuo tayo ng sumusunod na problema:

Sumulat ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto M(x 0, y 0, z 0) patayo sa ibinigay na vector n = ( A, B, C} .

Desisyon. Hayaan P(x, y, z) ay isang arbitraryong punto sa kalawakan. Dot P nabibilang sa eroplano kung at kung ang vector MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) orthogonal hanggang vector n = {A, B, C) (Larawan 1).

Ang pagkakaroon ng nakasulat na kondisyon ng orthogonality para sa mga vector na ito (n, MP) = 0 sa coordinate form, nakukuha namin:

A(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos

Sa anyo ng vector

Sa mga coordinate

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano sa kalawakan

ay mga pangkalahatang equation ng dalawang eroplano. Pagkatapos:

1) kung , pagkatapos ay nag-tutugma ang mga eroplano;

2) kung , pagkatapos ay ang mga eroplano ay parallel;

3) kung o , pagkatapos ay magsalubong ang mga eroplano at ang sistema ng mga equation

(6)

ay ang mga equation ng linya ng intersection ng mga ibinigay na eroplano.

Desisyon: Binubuo namin ang mga canonical equation ng tuwid na linya sa pamamagitan ng formula: Sagot:

Kinukuha namin ang mga resultang equation at mentally "pin off", halimbawa, ang kaliwang piraso: . Ngayon equate namin ang piraso na ito sa anumang numero(tandaan na mayroon nang zero), halimbawa, sa isa: . Dahil , kung gayon ang iba pang dalawang "piraso" ay dapat ding katumbas ng isa. Mahalaga, kailangan mong lutasin ang system:

Sumulat ng mga parametric equation para sa mga sumusunod na linya:

Desisyon: Ang mga linya ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga canonical equation at sa unang yugto ay dapat makahanap ng isang punto na kabilang sa linya at ang vector ng direksyon nito.

a) Mula sa mga equation alisin ang punto at ang vector ng direksyon: . Maaari kang pumili ng isa pang punto (kung paano gawin ito ay inilarawan sa itaas), ngunit mas mahusay na kunin ang pinaka-halata. Sa pamamagitan ng paraan, upang maiwasan ang mga pagkakamali, palaging palitan ang mga coordinate nito sa mga equation.

Buuin natin ang mga parametric equation ng tuwid na linyang ito:

Ang kaginhawahan ng mga parametric equation ay na sa kanilang tulong ay napakadaling makahanap ng iba pang mga punto ng linya. Halimbawa, maghanap tayo ng isang punto na ang mga coordinate, halimbawa, ay tumutugma sa halaga ng parameter :

Kaya: b) Isaalang-alang ang mga canonical equation . Ang pagpili ng isang punto dito ay simple, ngunit mapanlinlang: (mag-ingat na huwag paghaluin ang mga coordinate!!!). Paano mag-pull out ng isang vector ng gabay? Maaari mong isipin kung ano ang kahanay ng linyang ito, o maaari kang gumamit ng isang simpleng pormal na trick: ang proporsyon ay "Y" at "Z", kaya isulat namin ang vector ng direksyon , at ilagay ang zero sa natitirang espasyo: .

Binubuo namin ang mga parametric equation ng tuwid na linya:

c) Isulat muli natin ang mga equation sa anyo , iyon ay, "Z" ay maaaring maging anuman. At kung mayroon man, hayaan, halimbawa, . Kaya, ang punto ay kabilang sa linyang ito. Upang mahanap ang vector ng direksyon, ginagamit namin ang sumusunod na pormal na pamamaraan: sa mga paunang equation mayroong "x" at "y", at sa vector ng direksyon sa mga lugar na ito ay sinusulat namin. mga zero: . Sa natitirang lugar ay inilagay namin yunit: . Sa halip na isa, anumang numero, maliban sa zero, ang gagawin.

Isinulat namin ang mga parametric equation ng tuwid na linya:

Hayaang ang dalawang linyang l at m sa isang eroplano sa isang Cartesian coordinate system ay ibigay ng mga pangkalahatang equation: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Ang mga vectors ng mga normal sa mga linyang ito: = (A 1 , B 1) - sa linya l,

= (A 2 , B 2) sa linyang m.

Hayaang ang j ang anggulo sa pagitan ng mga linyang l at m.

Dahil ang mga anggulo na may magkabilang panig na patayo ay alinman sa pantay o magdagdag ng hanggang p, kung gayon , ibig sabihin, cos j = .

Kaya, napatunayan namin ang sumusunod na teorama.

Teorama. Hayaang ang j ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa eroplano, at ang mga tuwid na linyang ito ay ibigay sa Cartesian coordinate system sa pamamagitan ng mga pangkalahatang equation na A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 at A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Pagkatapos cos j = .

Mga ehersisyo.

1) Kumuha ng formula para sa pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga linya kung:

(1) parehong mga linya ay ibinigay parametrically; (2) parehong linya ay ibinigay sa pamamagitan ng canonical equation; (3) ang isang tuwid na linya ay binibigyan ng parametrically, ang isa pang tuwid na linya - sa pamamagitan ng pangkalahatang equation; (4) ang parehong linya ay ibinibigay ng slope equation.

2) Hayaang ang j ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya sa eroplano, at ang mga tuwid na linyang ito ay ibigay sa Cartesian coordinate system sa pamamagitan ng mga equation na y = k 1 x + b 1 at y =k 2 x + b 2 .

Pagkatapos tan j = .

3) Galugarin ang relatibong posisyon ng dalawang linya na ibinigay ng mga pangkalahatang equation sa Cartesian coordinate system at punan ang talahanayan:

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa isang eroplano.

Hayaang ang linya l sa eroplano sa Cartesian coordinate system ay ibigay ng pangkalahatang equation na Ax + By + C = 0. Hanapin ang distansya mula sa puntong M(x 0 , y 0) hanggang sa linyang l.

Ang distansya mula sa puntong M hanggang sa linya l ay ang haba ng patayo na HM (H н l, HM ^ l).

Ang vector at ang normal na vector sa linya l ay collinear, upang | | = | | | | at | | = .

Hayaang ang mga coordinate ng punto H ay (x,y).

Dahil ang punto H ay kabilang sa linya l, pagkatapos ay Ax + By + C = 0 (*).

Ang mga coordinate ng mga vector at: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , tingnan ang (*))

Teorama. Hayaang ibigay ang linya l sa Cartesian coordinate system sa pamamagitan ng pangkalahatang equation na Ax + By + C = 0. Pagkatapos ay ang distansya mula sa puntong M(x 0 , y 0) hanggang sa linyang ito ay kinakalkula ng formula: r (M; l) = .

Mga ehersisyo.

1) Magkaroon ng pormula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya kung: (1) ang linya ay ibinigay nang parametric; (2) ang linya ay ibinibigay ng canonical equation; (3) ang tuwid na linya ay ibinibigay ng slope equation.

2) Isulat ang equation ng isang bilog na padaplis sa linyang 3x - y = 0 na nakasentro sa Q(-2,4).

3) Isulat ang mga equation ng mga linyang naghahati sa mga anggulo na nabuo ng intersection ng mga linyang 2x + y - 1 = 0 at x + y + 1 = 0 sa kalahati.

§ 27. Analytical na kahulugan ng isang eroplano sa kalawakan

Kahulugan. Ang normal na vector sa eroplano tatawag tayo ng isang non-zero vector, ang anumang kinatawan nito ay patayo sa ibinigay na eroplano.

Magkomento. Malinaw na kung hindi bababa sa isang kinatawan ng vector ay patayo sa eroplano, kung gayon ang lahat ng iba pang mga kinatawan ng vector ay patayo sa eroplanong ito.

Hayaang magbigay ng Cartesian coordinate system sa kalawakan.

Hayaang ibigay ang eroplanong a, = (A, B, C) – ang normal na vector sa eroplanong ito, ang puntong M (x 0 , y 0 , z 0) ay kabilang sa eroplano a.

Para sa anumang punto N(x, y, z) ng eroplano a, ang mga vector at orthogonal, iyon ay, ang kanilang scalar product ay katumbas ng zero: = 0. Isulat natin ang huling pagkakapantay-pantay sa mga coordinate: A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0.

Hayaan -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, pagkatapos Ax + By + Cz + D = 0.

Kumuha ng puntong K (x, y) na ang Ax + By + Cz + D \u003d 0. Dahil D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, pagkatapos A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Dahil ang mga coordinate ng nakadirekta na segment = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na ^ , at, samakatuwid, K н a.

Kaya, napatunayan namin ang sumusunod na teorama:

Teorama. Anumang eroplano sa espasyo sa Cartesian coordinate system ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng isang equation ng anyong Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), kung saan ang (A, B, C) ay ang mga coordinate ng normal na vector sa eroplanong ito.

Ang baligtad ay totoo rin.

Teorama. Anumang equation ng form na Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) sa Cartesian coordinate system ay tumutukoy sa isang tiyak na eroplano, habang ang (A, B, C) ay ang mga coordinate ng normal na vector sa eroplanong ito.

Patunay.

Kumuha ng puntong M (x 0 , y 0 , z 0) na ang Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 at vector = (A, B, C) ( ≠ q).

Ang isang eroplano (at isa lamang) ay dumadaan sa puntong M patayo sa vector. Ayon sa nakaraang teorama, ang eroplanong ito ay ibinibigay ng equation na Ax + By + Cz + D = 0.

Kahulugan. Ang isang equation ng anyong Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ay tinatawag ang pangkalahatang equation ng eroplano.

Halimbawa.

Isulat natin ang equation ng eroplanong dumadaan sa mga puntos na M (0.2.4), N (1,-1.0) at K (-1.0.5).

1. Hanapin ang mga coordinate ng normal na vector sa eroplano (MNK). Dahil ang vector product ´ ay orthogonal sa non-collinear vectors at , ang vector ay collinear sa ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Kaya, bilang isang normal na vector, kunin ang vector = (-11, 3, -5).

2. Gamitin natin ngayon ang mga resulta ng unang teorama:

ang equation ng eroplanong ito A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, kung saan (A, B, C) ang mga coordinate ng normal na vector, (x 0 , y 0 , z 0) – mga coordinate ng isang puntong nakahiga sa eroplano (halimbawa, punto M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Sagot: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Mga ehersisyo.

1) Isulat ang equation ng eroplano kung

(1) ang eroplano ay dumadaan sa puntong M (-2,3,0) parallel sa eroplano 3x + y + z = 0;

(2) ang eroplano ay naglalaman ng (Ox) axis at patayo sa x + 2y – 5z + 7 = 0 na eroplano.

2) Isulat ang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos.

§ 28. Analytical na detalye ng kalahating espasyo*

Komento*. Hayaang ayusin ang ilang eroplano. Sa ilalim kalahating espasyo mauunawaan natin ang hanay ng mga punto na nakahiga sa isang gilid ng isang naibigay na eroplano, iyon ay, dalawang puntos ang nasa parehong kalahating espasyo kung ang segment na nagkokonekta sa kanila ay hindi bumalandra sa ibinigay na eroplano. Ang eroplanong ito ay tinatawag hangganan ng kalahating espasyong ito. Ang unyon ng isang naibigay na eroplano at isang kalahating espasyo ay tatawagin saradong kalahating espasyo.

Hayaang maayos ang isang Cartesian coordinate system sa kalawakan.

Teorama. Hayaang ang eroplano a ay ibigay ng pangkalahatang equation na Ax + By + Cz + D = 0. Pagkatapos ang isa sa dalawang kalahating puwang kung saan ang eroplano a ay naghahati sa espasyo ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay na Ax + By + Cz + D > 0 , at ang pangalawang kalahating espasyo ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay na Ax + By + Cz + D< 0.

Patunay.

I-plot natin ang normal na vector = (A, B, С) sa eroplano a mula sa puntong M (x 0 , y 0 , z 0) na nakahiga sa eroplanong ito: = , M н a, MN ^ a. Hinahati ng eroplano ang espasyo sa dalawang kalahating espasyo: b 1 at b 2 . Malinaw na ang punto N ay kabilang sa isa sa mga kalahating puwang na ito. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipinapalagay namin na N н b 1 .

Patunayan natin na ang kalahating espasyo b 1 ay tinukoy ng hindi pagkakapantay-pantay na Ax + By + Cz + D > 0.

1) Kumuha ng puntong K(x,y,z) sa kalahating espasyo b 1 . Ang anggulo Ð NMK ay ang anggulo sa pagitan ng mga vector at talamak, samakatuwid ang scalar product ng mga vector na ito ay positibo: > 0. Isulat natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga coordinate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ibig sabihin, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Dahil M н b 1 , pagkatapos ay Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, samakatuwid -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Samakatuwid, ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Kumuha ng puntong L(x,y) na ang Ax + By + Cz + D > 0.

Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay, palitan ang D ng (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (mula noong M н b 1, pagkatapos ay Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Ang vector na may mga coordinate (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) ay isang vector , kaya ang expression na A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) ay maaaring maunawaan , bilang ang scalar product ng mga vectors at . Dahil ang scalar product ng mga vector at ay positibo, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay talamak at ang punto L н b 1 .

Katulad nito, mapapatunayan ng isa na ang kalahating espasyo b 2 ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay na Ax + By + Cz + D< 0.

Remarks.

1) Malinaw na ang patunay sa itaas ay hindi nakasalalay sa pagpili ng punto M sa eroplano a.

2) Malinaw na ang parehong kalahating espasyo ay maaaring tukuyin ng iba't ibang hindi pagkakapantay-pantay.

Ang baligtad ay totoo rin.

Teorama. Anumang linear inequality ng form na Ax + By + Cz + D > 0 (o Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Patunay.

Ang equation na Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) sa espasyo ay tumutukoy sa ilang eroplano a (tingnan ang § ...). Tulad ng napatunayan sa nakaraang teorama, ang isa sa dalawang kalahating puwang kung saan hinahati ng eroplano ang espasyo ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay na Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Remarks.

1) Malinaw na ang isang saradong kalahating espasyo ay maaaring tukuyin ng isang hindi mahigpit na linear inequality, at anumang hindi mahigpit na linear inequality sa Cartesian coordinate system ay tumutukoy sa isang closed half-space.

2) Ang anumang convex polyhedron ay maaaring tukuyin bilang intersection ng mga saradong kalahating espasyo (ang mga hangganan nito ay mga eroplano na naglalaman ng mga mukha ng polyhedron), iyon ay, analytically, sa pamamagitan ng isang sistema ng mga linear na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Mga ehersisyo.

1) Patunayan ang dalawang theorems na ipinakita para sa isang arbitrary affine coordinate system.

2) Totoo ba ang kabaligtaran, na ang anumang sistema ng hindi mahigpit na mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang matambok na polygon?

Isang ehersisyo.

1) Galugarin ang relatibong posisyon ng dalawang eroplano na ibinigay ng mga pangkalahatang equation sa Cartesian coordinate system at punan ang talahanayan.

Ang materyal na ito ay nakatuon sa isang konsepto tulad ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya. Sa unang talata, ipapaliwanag natin kung ano ito at ipapakita ito sa mga ilustrasyon. Pagkatapos ay susuriin namin kung paano mo mahahanap ang sine, cosine ng anggulo na ito at ang anggulo mismo (isaalang-alang namin ang mga kaso na may isang eroplano at tatlong-dimensional na espasyo), ibibigay namin ang mga kinakailangang formula at ipapakita sa mga halimbawa kung paano eksaktong inilalapat ang mga ito sa pagsasanay.

Upang maunawaan kung ano ang nabuong anggulo sa intersection ng dalawang linya, kailangan nating alalahanin ang mismong kahulugan ng isang anggulo, perpendicularity at isang intersection point.

Kahulugan 1

Tinatawag namin ang dalawang linya na intersecting kung mayroon silang isang karaniwang punto. Ang puntong ito ay tinatawag na punto ng intersection ng dalawang linya.

Ang bawat linya ay nahahati sa mga sinag ng punto ng intersection. Sa kasong ito, ang parehong mga linya ay bumubuo ng 4 na anggulo, kung saan ang dalawa ay patayo at dalawa ang magkatabi. Kung alam natin ang sukat ng isa sa kanila, matutukoy natin ang iba pang natitira.

Sabihin nating alam natin na ang isa sa mga anggulo ay katumbas ng α. Sa ganoong kaso, ang anggulo na patayo dito ay magiging katumbas din ng α. Upang mahanap ang natitirang mga anggulo, kailangan nating kalkulahin ang pagkakaiba 180 ° - α . Kung ang α ay katumbas ng 90 degrees, ang lahat ng mga anggulo ay magiging tama. Ang mga linyang nagsasalubong sa tamang mga anggulo ay tinatawag na patayo (isang hiwalay na artikulo ay nakatuon sa konsepto ng perpendicularity).

Tingnan ang larawan:

Magpatuloy tayo sa pagbabalangkas ng pangunahing kahulugan.

Kahulugan 2

Ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya ay ang sukat ng mas maliit sa 4 na anggulo na bumubuo sa dalawang linyang ito.

Ang isang mahalagang konklusyon ay dapat makuha mula sa kahulugan: ang laki ng anggulo sa kasong ito ay ipapahayag ng anumang tunay na numero sa pagitan (0 , 90 ] . Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay sa anumang kaso ay magiging katumbas ng 90 degrees.

Ang kakayahang mahanap ang sukat ng anggulo sa pagitan ng dalawang magkasalubong na linya ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng maraming praktikal na problema. Ang paraan ng solusyon ay maaaring mapili mula sa ilang mga opsyon.

Para sa mga panimula, maaari tayong kumuha ng mga geometric na pamamaraan. Kung may alam tayo tungkol sa mga karagdagang anggulo, maaari nating ikonekta ang mga ito sa anggulo na kailangan natin gamit ang mga katangian ng pantay o katulad na mga hugis. Halimbawa, kung alam natin ang mga gilid ng isang tatsulok at kailangan nating kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya kung saan matatagpuan ang mga panig na ito, kung gayon ang cosine theorem ay angkop para sa paglutas. Kung mayroon tayong tamang tatsulok sa kondisyon, kung gayon para sa mga kalkulasyon ay kailangan din nating malaman ang sine, cosine at tangent ng anggulo.

Ang pamamaraan ng coordinate ay napaka-maginhawa para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri. Ipaliwanag natin kung paano ito gamitin nang tama.

Mayroon tayong rectangular (cartesian) coordinate system O x y na may dalawang tuwid na linya. Tukuyin natin ang mga ito sa pamamagitan ng mga titik a at b. Sa kasong ito, maaaring ilarawan ang mga tuwid na linya gamit ang anumang mga equation. Ang orihinal na mga linya ay may intersection point M . Paano matukoy ang nais na anggulo (ipahiwatig natin ito α) sa pagitan ng mga linyang ito?

Magsimula tayo sa pagbabalangkas ng pangunahing prinsipyo ng paghahanap ng isang anggulo sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon.

Alam namin na ang mga konsepto tulad ng pagdidirekta at normal na vector ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang tuwid na linya. Kung mayroon tayong equation ng ilang tuwid na linya, maaari nating kunin ang mga coordinate ng mga vector na ito mula dito. Magagawa natin ito para sa dalawang magkasalubong na linya nang sabay-sabay.

Ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya ay matatagpuan gamit ang:

• anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon;
• anggulo sa pagitan ng mga normal na vector;
• ang anggulo sa pagitan ng normal na vector ng isang linya at ng direksyon ng vector ng isa pa.

Ngayon tingnan natin ang bawat pamamaraan nang hiwalay.

1. Ipagpalagay na mayroon tayong linya a na may vector ng direksyon a → = (a x , a y) at isang linya b na may vector ng direksyon b → (b x , b y) . Ngayon ay magtabi tayo ng dalawang vectors a → at b → mula sa intersection point. Pagkatapos nito, makikita natin na ang bawat isa ay matatagpuan sa kanilang sariling linya. Pagkatapos ay mayroon kaming apat na pagpipilian para sa kanilang kamag-anak na posisyon. Tingnan ang paglalarawan:

Kung ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay hindi malabo, ito ang magiging anggulo na kailangan natin sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b. Kung ito ay mahina, ang nais na anggulo ay magiging katumbas ng anggulo na katabi ng anggulo a → , b → ^ . Kaya, α = a → , b → ^ kung a → , b → ^ ≤ 90 ° , at α = 180 ° - a → , b → ^ kung a → , b → ^ > 90 ° .

Batay sa katotohanan na ang mga cosine ng pantay na anggulo ay pantay, maaari nating muling isulat ang mga resultang pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod: cos α = cos a → , b → ^ kung a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ kung a → , b → ^ > 90 ° .

Sa pangalawang kaso, ginamit ang mga formula ng pagbabawas. kaya,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Isulat natin ang huling formula sa mga salita:

Kahulugan 3

Ang cosine ng anggulo na nabuo ng dalawang intersecting na linya ay magiging katumbas ng modulus ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon nito.

Ang pangkalahatang anyo ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors a → = (a x, a y) at b → = (b x, b y) ay ganito ang hitsura:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Mula dito maaari nating makuha ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang ibinigay na linya:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Pagkatapos ang anggulo mismo ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Narito ang a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng problema.

Halimbawa 1

Sa isang rectangular coordinate system, dalawang magkasalubong na linya a at b ang ibinibigay sa eroplano. Maaari silang ilarawan ng mga parametric equation x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R at x 5 = y - 6-3 . Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito.

Desisyon

Mayroon kaming parametric equation sa kundisyon, na nangangahulugan na para sa tuwid na linyang ito maaari naming agad na isulat ang mga coordinate ng vector ng direksyon nito. Upang gawin ito, kailangan nating kunin ang mga halaga ng mga coefficient sa parameter, i.e. ang linyang x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R ay magkakaroon ng direction vector a → = (4 , 1) .

Ang ikalawang tuwid na linya ay inilalarawan gamit ang canonical equation x 5 = y - 6 - 3 . Dito maaari nating kunin ang mga coordinate mula sa mga denominator. Kaya, ang linyang ito ay may direksyong vector b → = (5 , - 3) .

Susunod, magpatuloy kami nang direkta sa paghahanap ng anggulo. Upang gawin ito, palitan lamang ang magagamit na mga coordinate ng dalawang vector sa formula sa itaas na α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Nakukuha namin ang sumusunod:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Sagot: Ang mga linyang ito ay bumubuo ng isang anggulo na 45 degrees.

Malutas natin ang isang katulad na problema sa pamamagitan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga normal na vector. Kung mayroon tayong linya a na may normal na vector n a → = (n a x , n a y) at linya b na may normal na vector n b → = (n b x , n b y) , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay magiging katumbas ng anggulo sa pagitan ng n a → at n b → o ang anggulo na magiging katabi ng n a → , n b → ^ . Ang pamamaraang ito ay ipinapakita sa larawan:

Ang mga formula para sa pagkalkula ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya at ang anggulong ito mismo gamit ang mga coordinate ng mga normal na vector ay ganito ang hitsura:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Dito ang n a → at n b → ay tumutukoy sa mga normal na vector ng dalawang ibinigay na linya.

Halimbawa 2

Dalawang tuwid na linya ang ibinibigay sa isang rectangular coordinate system gamit ang mga equation na 3 x + 5 y - 30 = 0 at x + 4 y - 17 = 0 . Hanapin ang sine, cosine ng anggulo sa pagitan nila, at ang magnitude ng mismong anggulong iyon.

Desisyon

Ang orihinal na mga tuwid na linya ay ibinibigay gamit ang normal na mga equation ng tuwid na linya ng anyong A x + B y + C = 0 . Tukuyin ang normal na vector n → = (A , B) . Hanapin natin ang mga coordinate ng unang normal na vector para sa isang tuwid na linya at isulat ang mga ito: n a → = (3 , 5) . Para sa pangalawang linya x + 4 y - 17 = 0 ang normal na vector ay magkakaroon ng mga coordinate n b → = (1 , 4) . Ngayon idagdag ang nakuha na mga halaga sa formula at kalkulahin ang kabuuan:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Kung alam natin ang cosine ng isang anggulo, maaari nating kalkulahin ang sine nito gamit ang pangunahing trigonometric identity. Dahil ang anggulong α na nabuo ng mga tuwid na linya ay hindi malabo, kung gayon sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Sa kasong ito, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Sagot: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Suriin natin ang huling kaso - paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga linya, kung alam natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng isang linya at ang normal na vector ng isa pa.

Ipagpalagay na ang linya a ay may vector ng direksyon a → = (a x , a y) , at ang linya b ay may normal na vector n b → = (n b x , n b y) . Kailangan nating ipagpaliban ang mga vector na ito mula sa intersection point at isaalang-alang ang lahat ng opsyon para sa kanilang relatibong posisyon. Tingnan ang larawan:

Kung ang anggulo sa pagitan ng ibinigay na mga vector ay hindi hihigit sa 90 degrees, lumalabas na ito ay makadagdag sa anggulo sa pagitan ng a at b sa isang tamang anggulo.

a → , n b → ^ = 90 ° - α kung a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Kung ito ay mas mababa sa 90 degrees, makukuha natin ang sumusunod:

a → , n b → ^ > 90 ° , pagkatapos ay a → , n b → ^ = 90 ° + α

Gamit ang panuntunan ng pagkakapantay-pantay ng mga cosine ng pantay na mga anggulo, isinulat namin:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α para sa isang → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 ° .

kaya,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Bumuo tayo ng konklusyon.

Kahulugan 4

Upang mahanap ang sine ng anggulo sa pagitan ng dalawang linya na nagsasalubong sa isang eroplano, kailangan mong kalkulahin ang modulus ng cosine ng anggulo sa pagitan ng vector ng direksyon ng unang linya at ng normal na vector ng pangalawa.

Isulat natin ang mga kinakailangang formula. Paghahanap ng sine ng isang anggulo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ang paghahanap ng sulok mismo:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Narito ang a → ay ang vector ng direksyon ng unang linya, at ang n b → ay ang normal na vector ng pangalawa.

Halimbawa 3

Dalawang linyang intersecting ang ibinibigay ng mga equation na x - 5 = y - 6 3 at x + 4 y - 17 = 0 . Hanapin ang anggulo ng intersection.

Desisyon

Kinukuha namin ang mga coordinate ng pagdidirekta at normal na vector mula sa ibinigay na mga equation. Lumalabas ang isang → = (- 5 , 3) ​​​​at n → b = (1 , 4) . Kinukuha namin ang formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 at isaalang-alang:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Tandaan na kinuha namin ang mga equation mula sa nakaraang problema at nakakuha ng eksaktong parehong resulta, ngunit sa ibang paraan.

Sagot:α = a r c sin 7 2 34

Narito ang isa pang paraan upang mahanap ang nais na anggulo gamit ang mga slope coefficient ng mga ibinigay na linya.

Mayroon kaming linyang a , na tinukoy sa isang parihabang sistema ng coordinate gamit ang equation na y = k 1 · x + b 1 , at isang linya b , na tinukoy bilang y = k 2 · x + b 2 . Ito ang mga equation ng mga linyang may slope. Upang mahanap ang anggulo ng intersection, gamitin ang formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kung saan ang k 1 at k 2 ay ang mga slope ng mga ibinigay na linya. Upang makuha ang rekord na ito, ginamit ang mga formula para sa pagtukoy ng anggulo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga normal na vector.

Halimbawa 4

Mayroong dalawang tuwid na linya na nagsasalubong sa eroplano, na ibinigay ng mga equation na y = - 3 5 x + 6 at y = - 1 4 x + 17 4 . Kalkulahin ang anggulo ng intersection.

Desisyon

Ang mga slope ng aming mga linya ay katumbas ng k 1 = - 3 5 at k 2 = - 1 4 . Idagdag natin sila sa formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 at kalkulahin:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Sagot:α = a r c cos 23 2 34

Sa mga konklusyon ng talatang ito, dapat tandaan na ang mga pormula para sa paghahanap ng anggulo na ibinigay dito ay hindi kailangang matutunan ng puso. Upang gawin ito, sapat na malaman ang mga coordinate ng mga gabay at/o mga normal na vector ng mga ibinigay na linya at matukoy ang mga ito gamit ang iba't ibang uri ng mga equation. Ngunit ang mga formula para sa pagkalkula ng cosine ng isang anggulo ay mas mahusay na tandaan o isulat.

Paano kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya sa espasyo

Ang pagkalkula ng naturang anggulo ay maaaring mabawasan sa pagkalkula ng mga coordinate ng mga vector ng direksyon at ang pagpapasiya ng magnitude ng anggulo na nabuo ng mga vectors na ito. Para sa mga ganitong halimbawa, ginagamit namin ang parehong pangangatwiran na ibinigay namin noon.

Sabihin nating mayroon tayong rectangular coordinate system na matatagpuan sa 3D space. Naglalaman ito ng dalawang linya a at b na may intersection point na M . Upang makalkula ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon, kailangan nating malaman ang mga equation ng mga linyang ito. Tukuyin ang mga vector ng direksyon a → = (a x , a y , a z) at b → = (b x , b y , b z) . Upang kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan nila, ginagamit namin ang formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Upang mahanap ang mismong anggulo, kailangan namin ang formula na ito:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Halimbawa 5

Mayroon kaming isang tuwid na linya na tinukoy sa 3D space gamit ang equation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Ito ay kilala na ito ay sumasalubong sa O z axis. Kalkulahin ang anggulo ng intersection at ang cosine ng anggulong iyon.

Desisyon

Tukuyin natin ang anggulo na kalkulahin ng titik α. Isulat natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon para sa unang tuwid na linya - a → = (1 , - 3 , - 2) . Para sa applicate axis, maaari nating kunin ang coordinate vector k → = (0 , 0 , 1) bilang gabay. Natanggap namin ang kinakailangang data at maidaragdag namin ito sa gustong formula:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Bilang resulta, nakuha namin na ang anggulo na kailangan namin ay magiging katumbas ng a r c cos 1 2 = 45 °.

Sagot: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Kung may napansin kang pagkakamali sa teksto, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter