Panimula

Nang magsimula kaming mag-aral ng mga stereometric figure, hinawakan namin ang paksang "Pyramid". Nagustuhan namin ang temang ito dahil ang pyramid ay kadalasang ginagamit sa arkitektura. At dahil ang aming propesyon sa hinaharap bilang isang arkitekto, na inspirasyon ng figure na ito, sa palagay namin ay magagawa niya kaming itulak sa magagandang proyekto.

Ang lakas ng mga istruktura ng arkitektura, ang kanilang pinakamahalagang kalidad. Ang pag-uugnay ng lakas, una, sa mga materyales kung saan sila nilikha, at, pangalawa, sa mga tampok ng mga solusyon sa disenyo, lumalabas na ang lakas ng isang istraktura ay direktang nauugnay sa geometric na hugis na pangunahing para dito.

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang geometric figure na maaaring ituring bilang isang modelo ng kaukulang anyo ng arkitektura. Lumalabas na tinutukoy din ng geometric na hugis ang lakas ng istraktura ng arkitektura.

Ang Egyptian pyramids ay matagal nang itinuturing na pinaka matibay na istraktura ng arkitektura. Tulad ng alam mo, mayroon silang hugis ng regular na quadrangular pyramids.

Ito ang geometriko na hugis na nagbibigay ng pinakamalaking katatagan dahil sa malaking lugar ng base. Sa kabilang banda, tinitiyak ng hugis ng pyramid na bumababa ang masa habang tumataas ang taas sa ibabaw ng lupa. Ang dalawang katangiang ito ang nagpapatatag sa pyramid, at samakatuwid ay malakas sa mga kondisyon ng grabidad.

Layunin ng proyekto: matuto ng bago tungkol sa mga pyramids, palalimin ang kaalaman at maghanap ng mga praktikal na aplikasyon.

Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:

Alamin ang makasaysayang impormasyon tungkol sa pyramid

Isaalang-alang ang pyramid bilang isang geometric na pigura

Maghanap ng aplikasyon sa buhay at arkitektura

Maghanap ng mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng mga pyramids na matatagpuan sa iba't ibang bahagi ng mundo

Teoretikal na bahagi

Makasaysayang impormasyon

Ang simula ng geometry ng pyramid ay inilatag sa sinaunang Egypt at Babylon, ngunit ito ay aktibong binuo sa sinaunang Greece. Ang unang nagtaguyod kung ano ang katumbas ng dami ng pyramid ay si Democritus, at pinatunayan ito ni Eudoxus ng Cnidus. Ang sinaunang Greek mathematician na si Euclid ay nag-systematize ng kaalaman tungkol sa pyramid sa XII volume ng kanyang "Beginnings", at inilabas din ang unang kahulugan ng pyramid: isang pigura ng katawan na napapalibutan ng mga eroplano na nagtatagpo mula sa isang eroplano sa isang punto.

Ang mga libingan ng mga pharaoh ng Egypt. Ang pinakamalaki sa kanila - ang mga pyramids ng Cheops, Khafre at Mikerin sa El Giza noong sinaunang panahon ay itinuturing na isa sa Pitong Kababalaghan ng Mundo. Ang pagtatayo ng pyramid, kung saan nakita na ng mga Griyego at Romano ang isang monumento sa walang uliran na pagmamataas ng mga hari at kalupitan, na nagpahamak sa buong mga tao ng Egypt sa walang kabuluhang pagtatayo, ay ang pinakamahalagang kilos ng kulto at dapat na ipahayag, tila, ang mystical identity ng bansa at ang pinuno nito. Ang populasyon ng bansa ay nagtrabaho sa pagtatayo ng libingan sa bahagi ng taon na walang trabaho sa agrikultura. Ang ilang mga teksto ay nagpapatotoo sa atensyon at pagmamalasakit na ibinayad ng mga hari mismo (bagaman sa ibang pagkakataon) sa pagtatayo ng kanilang libingan at ng mga tagapagtayo nito. Ito ay kilala rin tungkol sa mga espesyal na parangal sa kulto na naging mismong pyramid.

Pangunahing konsepto

Pyramid Ang isang polyhedron ay tinatawag, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay mga tatsulok na may isang karaniwang vertex.

Apothem- ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid, na iginuhit mula sa tuktok nito;

Mga mukha sa gilid- mga tatsulok na nagtatagpo sa tuktok;

Mga tadyang sa gilid- karaniwang mga gilid ng mga gilid na mukha;

tuktok ng pyramid- isang punto na nagkokonekta sa mga gilid ng gilid at hindi nakahiga sa eroplano ng base;

taas- isang segment ng isang patayo na iginuhit sa tuktok ng pyramid hanggang sa eroplano ng base nito (ang mga dulo ng segment na ito ay ang tuktok ng pyramid at ang base ng patayo);

Diagonal na seksyon ng isang pyramid- seksyon ng pyramid na dumadaan sa tuktok at ang dayagonal ng base;

Base- isang polygon na hindi kabilang sa tuktok ng pyramid.

Ang mga pangunahing katangian ng tamang pyramid

Ang mga gilid ng gilid, mga mukha sa gilid at mga apothem ay pantay, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga anggulo ng dihedral sa base ay pantay.

Ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid ay pantay.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices.

Ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha.

Mga pangunahing pormula ng pyramid

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng pyramid.

Ang lugar ng lateral surface ng pyramid (puno at pinutol) ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga lateral na mukha nito, ang kabuuang lugar ng ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito.

Theorem: Ang lugar ng lateral surface ng isang regular na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem ng pyramid.

p- perimeter ng base;

h- apothem.

Ang lugar ng lateral at buong ibabaw ng isang pinutol na pyramid.

p1, p 2 - base perimeter;

h- apothem.

R- kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pinutol na pyramid;

S gilid- lugar ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid;

S1 + S2- base na lugar

Dami ng Pyramid

Form Ang sukat ng volume ay ginagamit para sa mga pyramids ng anumang uri.

H ay ang taas ng pyramid.

Mga anggulo ng pyramid

Ang mga anggulo na nabuo sa gilid ng mukha at ang base ng pyramid ay tinatawag na dihedral na mga anggulo sa base ng pyramid.

Ang isang dihedral na anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang perpendicular.

Upang matukoy ang anggulong ito, madalas mong kailangang gamitin ang tatlong perpendicular theorem.

Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang gilid na gilid at ang projection nito sa eroplano ng base ay tinatawag mga anggulo sa pagitan ng lateral edge at ng eroplano ng base.

Ang anggulo na nabuo ng dalawang panig na mukha ay tinatawag dihedral angle sa lateral edge ng pyramid.

Ang anggulo, na nabuo sa pamamagitan ng dalawang gilid na gilid ng isang mukha ng pyramid, ay tinatawag sulok sa tuktok ng pyramid.

Mga seksyon ng pyramid

Ang ibabaw ng isang pyramid ay ang ibabaw ng isang polyhedron. Ang bawat mukha nito ay isang eroplano, kaya ang seksyon ng pyramid na ibinigay ng secant plane ay isang putol na linya na binubuo ng magkahiwalay na mga tuwid na linya.

Diagonal na seksyon

Ang seksyon ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na diagonal na seksyon mga pyramid.

Mga parallel na seksyon

Teorama:

Kung ang pyramid ay tinawid ng isang eroplanong parallel sa base, kung gayon ang mga gilid ng gilid at taas ng pyramid ay hinati ng eroplanong ito sa mga proporsyonal na bahagi;

Ang seksyon ng eroplanong ito ay isang polygon na katulad ng base;

Ang mga lugar ng seksyon at ang base ay nauugnay sa isa't isa bilang mga parisukat ng kanilang mga distansya mula sa itaas.

Mga uri ng pyramid

Tamang pyramid- isang pyramid, kung saan ang base ay isang regular na polygon, at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base.

Sa tamang pyramid:

1. magkapantay ang side ribs

2. magkapantay ang mga mukha sa gilid

3. pantay-pantay ang mga apothems

4. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa base

5. pantay ang mga anggulo ng dihedral sa mga gilid ng gilid

6. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng base vertices

7. ang bawat taas na punto ay katumbas ng layo mula sa lahat ng panig na mukha

Pinutol na pyramid- ang bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base nito at ng cutting plane na kahanay ng base.

Ang base at kaukulang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag mga base ng isang pinutol na piramide.

Ang isang patayo na iginuhit mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pa ay tinatawag ang taas ng pinutol na pyramid.

Mga gawain

No. 1. Sa isang regular na quadrangular pyramid, ang point O ay ang sentro ng base, SO=8 cm, BD=30 cm. Hanapin ang gilid na gilid SA.

Pagtugon sa suliranin

No. 1. Sa isang regular na pyramid, lahat ng mga mukha at gilid ay pantay.

Isaalang-alang natin ang OSB: OSB-rectangular rectangle, dahil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramid sa arkitektura

Pyramid - isang monumental na istraktura sa anyo ng isang ordinaryong regular na geometric pyramid, kung saan ang mga gilid ay nagtatagpo sa isang punto. Ayon sa functional na layunin, ang mga pyramid noong sinaunang panahon ay isang lugar ng libing o pagsamba. Ang base ng isang pyramid ay maaaring triangular, quadrangular, o polygonal na may arbitrary na bilang ng vertices, ngunit ang pinakakaraniwang bersyon ay ang quadrangular base.

Ang isang malaking bilang ng mga pyramid ay kilala, na binuo ng iba't ibang kultura ng Sinaunang Mundo, pangunahin bilang mga templo o monumento. Ang pinakamalaking pyramids ay ang Egyptian pyramids.

Sa buong Earth ay makikita mo ang mga istrukturang arkitektura sa anyo ng mga pyramids. Ang mga pyramid na gusali ay nakapagpapaalaala sa sinaunang panahon at napakaganda ng hitsura.

Ang Egyptian pyramids ay ang pinakadakilang architectural monuments ng Sinaunang Egypt, kung saan ang isa sa "Seven Wonders of the World" ay ang pyramid ng Cheops. Mula sa paa hanggang sa tuktok, umabot ito sa 137.3 m, at bago ito nawala sa tuktok, ang taas nito ay 146.7 m.

Ang gusali ng istasyon ng radyo sa kabisera ng Slovakia, na kahawig ng isang baligtad na pyramid, ay itinayo noong 1983. Bilang karagdagan sa mga tanggapan at lugar ng serbisyo, mayroong isang medyo maluwang na bulwagan ng konsiyerto sa loob ng volume, na may isa sa pinakamalaking organo sa Slovakia .

Ang Louvre, na "kasing tahimik at kahanga-hanga tulad ng isang pyramid" ay dumaan sa maraming pagbabago sa paglipas ng mga siglo bago naging pinakadakilang museo sa mundo. Ito ay ipinanganak bilang isang kuta, na itinayo ni Philip Augustus noong 1190, na sa lalong madaling panahon ay naging isang maharlikang tirahan. Noong 1793 ang palasyo ay naging museo. Ang mga koleksyon ay pinayaman sa pamamagitan ng mga pamana o pagbili.

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga gawaing kasama sa pagsusulit sa matematika. Napag-aralan na natin ang mga problema kung saan ibinibigay ang kundisyon at kinakailangang hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na punto o ang anggulo.

Ang pyramid ay isang polyhedron na ang base ay isang polygon, ang iba pang mga mukha ay mga tatsulok, at mayroon silang isang karaniwang vertex.

Ang isang regular na pyramid ay isang pyramid sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang tuktok nito ay inaasahang papunta sa gitna ng base.

Isang regular na quadrangular pyramid - ang base ay isang parisukat. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa intersection point ng mga diagonal ng base (parisukat).

ML - apothem
∠MLO - dihedral angle sa base ng pyramid
∠MCO - ang anggulo sa pagitan ng lateral edge at ang eroplano ng base ng pyramid

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga gawain para sa paglutas ng tamang pyramid. Kinakailangang makahanap ng anumang elemento, lateral surface area, volume, taas. Siyempre, kailangan mong malaman ang Pythagorean theorem, ang formula para sa lugar ng lateral surface ng pyramid, ang formula para sa paghahanap ng volume ng pyramid.

Sa artikulo Ang mga formula na «» ay ipinakita na kinakailangan para sa paglutas ng mga problema sa stereometry. Kaya ang mga gawain ay:

SABCD tuldok O- base centerS tuktok, KAYA = 51, AC= 136. Hanapin ang gilid na gilidSC.

Sa kasong ito, ang base ay isang parisukat. Nangangahulugan ito na ang mga diagonal na AC at BD ay pantay, sila ay nagsalubong at naghiwa-hiwalay sa punto ng intersection. Tandaan na sa isang regular na pyramid, ang taas na ibinaba mula sa tuktok nito ay dumadaan sa gitna ng base ng pyramid. Kaya SO ay ang taas at ang tatsulokSOChugis-parihaba. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng Pythagorean theorem:

Paano kunin ang ugat ng isang malaking bilang.

Sagot: 85

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD tuldok O- base center S tuktok, KAYA = 4, AC= 6. Maghanap ng gilid na gilid SC.

Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD tuldok O- base center S tuktok, SC = 5, AC= 6. Hanapin ang haba ng segment KAYA.

Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD tuldok O- base center S tuktok, KAYA = 4, SC= 5. Hanapin ang haba ng segment AC.

SABC R- gitna ng tadyang BC, S- itaas. Ito ay kilala na AB= 7, at SR= 16. Hanapin ang lateral surface area.

Ang lugar ng gilid na ibabaw ng isang regular na tatsulok na pyramid ay katumbas ng kalahati ng produkto ng perimeter ng base at ang apothem (ang apothem ay ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa tuktok nito):

O maaari mong sabihin ito: ang lugar ng lateral surface ng pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng tatlong lateral na mukha. Ang mga lateral na mukha sa isang regular na triangular na pyramid ay mga tatsulok na may pantay na lugar. Sa kasong ito:

Sagot: 168

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang regular na triangular na pyramid SABC R- gitna ng tadyang BC, S- itaas. Ito ay kilala na AB= 1, at SR= 2. Hanapin ang lugar ng lateral surface.

Sa isang regular na triangular na pyramid SABC R- gitna ng tadyang BC, S- itaas. Ito ay kilala na AB= 1, at ang lateral surface area ay 3. Hanapin ang haba ng segment SR.

Sa isang regular na triangular na pyramid SABC L- gitna ng tadyang BC, S- itaas. Ito ay kilala na SL= 2, at ang lateral surface area ay 3. Hanapin ang haba ng segment AB.

Sa isang regular na triangular na pyramid SABC M. Lugar ng isang tatsulok ABC ay 25, ang volume ng pyramid ay 100. Hanapin ang haba ng segment MS.

Ang base ng pyramid ay isang equilateral triangle. Kaya May ang sentro ng base, atMS- ang taas ng isang regular na pyramidSABC. Dami ng Pyramid SABC katumbas ng: suriin ang solusyon

Sa isang regular na triangular na pyramid SABC base median ay bumalandra sa isang punto M. Lugar ng isang tatsulok ABC ay 3, MS= 1. Hanapin ang volume ng pyramid.

Sa isang regular na triangular na pyramid SABC base median ay bumalandra sa isang punto M. Ang dami ng pyramid ay 1, MS= 1. Hanapin ang lugar ng tatsulok ABC.

Tapusin na natin ito. Tulad ng nakikita mo, ang mga gawain ay nalutas sa isa o dalawang hakbang. Sa hinaharap, isasaalang-alang namin sa iyo ang iba pang mga problema mula sa bahaging ito, kung saan ibinigay ang mga katawan ng rebolusyon, huwag palampasin ito!

Nais kong tagumpay ka!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh.

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

Nalaman ng mga mag-aaral ang konsepto ng isang pyramid bago pa mag-aral ng geometry. Sisihin ang sikat na dakilang Egyptian wonders of the world. Samakatuwid, simula sa pag-aaral ng kahanga-hangang polyhedron na ito, ang karamihan sa mga mag-aaral ay malinaw na naiisip ito. Ang lahat ng mga tanawin sa itaas ay nasa tamang hugis. Ano kanang pyramid, at kung anong mga katangian mayroon ito at tatalakayin pa.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Kahulugan

Mayroong maraming mga kahulugan ng isang pyramid. Mula noong sinaunang panahon, ito ay napakapopular.

Halimbawa, tinukoy ito ni Euclid bilang isang solidong pigura, na binubuo ng mga eroplano, na, simula sa isa, ay nagtatagpo sa isang tiyak na punto.

Nagbigay si Heron ng mas tumpak na pagbabalangkas. Iginiit niya na ito ay isang pigura na ay may base at mga eroplano sa anyo ng mga tatsulok, nagtatagpo sa isang punto.

Batay sa modernong interpretasyon, ang pyramid ay ipinakita bilang isang spatial polyhedron, na binubuo ng isang tiyak na k-gon at k flat triangular figure na may isang karaniwang punto.

Tingnan natin nang maigi, Anong mga elemento ang binubuo nito?

• k-gon ay itinuturing na batayan ng figure;
• 3-angled figure na nakausli bilang mga gilid ng gilid na bahagi;
• ang itaas na bahagi, kung saan nagmula ang mga elemento sa gilid, ay tinatawag na tuktok;
• lahat ng mga segment na nagkokonekta sa vertex ay tinatawag na mga gilid;
• kung ang isang tuwid na linya ay ibinaba mula sa itaas hanggang sa eroplano ng figure sa isang anggulo ng 90 degrees, kung gayon ang bahagi nito na nakapaloob sa panloob na espasyo ay ang taas ng pyramid;
• sa anumang bahaging elemento sa gilid ng aming polyhedron, maaari kang gumuhit ng patayo, na tinatawag na apothem.

Ang bilang ng mga gilid ay kinakalkula gamit ang formula na 2*k, kung saan ang k ay ang bilang ng mga gilid ng k-gon. Kung gaano karaming mga mukha ang isang polyhedron tulad ng isang pyramid ay maaaring matukoy ng expression na k + 1.

Mahalaga! Ang isang regular na hugis na pyramid ay isang stereometric figure na ang base plane ay isang k-gon na may pantay na panig.

Mga pangunahing katangian

Tamang pyramid ay maraming katangian na kakaiba sa kanya. Ilista natin sila:

1. Ang base ay isang pigura ng tamang anyo.
2. Ang mga gilid ng pyramid, na nililimitahan ang mga elemento sa gilid, ay may pantay na mga halaga ng numero.
3. Ang mga elemento sa gilid ay isosceles triangles.
4. Ang base ng taas ng figure ay nahuhulog sa gitna ng polygon, habang ito ay sabay-sabay na gitnang punto ng inscribed at inilarawan.
5. Ang lahat ng mga tadyang sa gilid ay nakakiling sa base plane sa parehong anggulo.
6. Ang lahat ng mga gilid na ibabaw ay may parehong anggulo ng pagkahilig na may paggalang sa base.

Salamat sa lahat ng nakalistang katangian, ang pagganap ng mga kalkulasyon ng elemento ay lubos na pinasimple. Batay sa mga katangian sa itaas, binibigyang-pansin namin dalawang palatandaan:

1. Sa kaso kapag ang polygon ay magkasya sa isang bilog, ang mga gilid na mukha ay magkakaroon ng pantay na mga anggulo sa base.
2. Kapag naglalarawan ng isang bilog sa paligid ng isang polygon, ang lahat ng mga gilid ng pyramid na nagmumula sa vertex ay magkakaroon ng parehong haba at pantay na mga anggulo sa base.

Ang parisukat ay nakabatay

Regular na quadrangular pyramid - isang polyhedron batay sa isang parisukat.

Mayroon itong apat na gilid na mukha, na isosceles ang hitsura.

Sa isang eroplano, ang isang parisukat ay inilalarawan, ngunit ang mga ito ay batay sa lahat ng mga katangian ng isang regular na may apat na gilid.

Halimbawa, kung kinakailangan upang ikonekta ang gilid ng isang parisukat na may dayagonal nito, pagkatapos ay ang sumusunod na formula ay ginagamit: ang dayagonal ay katumbas ng produkto ng gilid ng parisukat at ang parisukat na ugat ng dalawa.

Batay sa isang regular na tatsulok

Ang regular na triangular na pyramid ay isang polyhedron na ang base ay isang regular na 3-gon.

Kung ang base ay isang regular na tatsulok, at ang mga gilid ng gilid ay katumbas ng mga gilid ng base, kung gayon ang isang figure tinatawag na tetrahedron.

Ang lahat ng mga mukha ng isang tetrahedron ay equilateral 3-gons. Sa kasong ito, kailangan mong malaman ang ilang mga punto at huwag mag-aksaya ng oras sa mga ito kapag kinakalkula:

• ang anggulo ng pagkahilig ng mga tadyang sa anumang base ay 60 degrees;
• ang halaga ng lahat ng panloob na mukha ay 60 degrees din;
• anumang mukha ay maaaring kumilos bilang isang base;
• iginuhit sa loob ng pigura ay pantay na elemento.

Mga seksyon ng polyhedron

Sa anumang polyhedron mayroong ilang uri ng mga seksyon eroplano. Kadalasan sa isang kursong geometry ng paaralan ay nagtatrabaho sila sa dalawa:

• ng ehe;
• parallel na batayan.

Ang isang seksyon ng axial ay nakuha sa pamamagitan ng intersecting isang polyhedron na may isang eroplano na dumadaan sa vertex, gilid gilid at axis. Sa kasong ito, ang axis ay ang taas na iginuhit mula sa vertex. Ang cutting plane ay limitado sa pamamagitan ng mga linya ng intersection sa lahat ng mga mukha, na nagreresulta sa isang tatsulok.

Pansin! Sa isang regular na pyramid, ang axial section ay isang isosceles triangle.

Kung ang cutting plane ay tumatakbo parallel sa base, kung gayon ang resulta ay ang pangalawang opsyon. Sa kasong ito, mayroon kami sa konteksto ng isang figure na katulad ng base.

Halimbawa, kung ang base ay isang parisukat, kung gayon ang seksyong parallel sa base ay magiging isang parisukat din, na mas maliit lamang ang sukat.

Kapag nilutas ang mga problema sa ilalim ng kundisyong ito, ginagamit ang mga palatandaan at katangian ng pagkakatulad ng mga numero, batay sa Thales theorem. Una sa lahat, kinakailangan upang matukoy ang koepisyent ng pagkakatulad.

Kung ang eroplano ay iginuhit parallel sa base, at pinutol nito ang itaas na bahagi ng polyhedron, kung gayon ang isang regular na pinutol na pyramid ay nakuha sa ibabang bahagi. Pagkatapos ang mga base ng pinutol na polyhedron ay sinasabing magkatulad na mga polygon. Sa kasong ito, ang mga gilid na mukha ay isosceles trapezoids. Ang seksyon ng axial ay isosceles din.

Upang matukoy ang taas ng isang pinutol na polyhedron, kinakailangan upang iguhit ang taas sa isang seksyon ng axial, iyon ay, sa isang trapezoid.

Mga lugar sa ibabaw

Ang mga pangunahing problemang geometriko na kailangang lutasin sa kursong geometry ng paaralan ay paghahanap ng surface area at volume ng isang pyramid.

Mayroong dalawang uri ng surface area:

• lugar ng mga elemento sa gilid;
• ang buong lugar sa ibabaw.

Mula sa pamagat mismo ay malinaw kung tungkol saan ito. Ang gilid na ibabaw ay kinabibilangan lamang ng mga elemento sa gilid. Mula dito ay sumusunod na upang mahanap ito, kailangan mo lamang na magdagdag ng mga lugar ng mga lateral na eroplano, iyon ay, ang mga lugar ng isosceles 3-gons. Subukan nating makuha ang formula para sa lugar ng mga elemento sa gilid:

1. Ang lugar ng isang isosceles 3-gon ay Str=1/2(aL), kung saan ang a ay ang gilid ng base, ang L ay ang apothem.
2. Ang bilang ng mga side plane ay depende sa uri ng k-gon sa base. Halimbawa, ang isang regular na quadrangular pyramid ay may apat na lateral planes. Samakatuwid, kinakailangang pagsamahin ang mga lugar ng apat na figure Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Ang expression ay pinasimple sa ganitong paraan dahil ang halaga 4a=POS, kung saan ang POS ay ang perimeter ng base. At ang expression na 1/2 * Rosn ay ang semi-perimeter nito.
3. Kaya, napagpasyahan namin na ang lugar ng mga elemento sa gilid ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng semi-perimeter ng base at ang apothem: Sside \u003d Rosn * L.

Ang lugar ng buong ibabaw ng pyramid ay binubuo ng kabuuan ng mga lugar ng lateral planes at ang base: Sp.p. = Sside + Sbase.

Tulad ng para sa lugar ng base, narito ang formula ay ginagamit ayon sa uri ng polygon.

Dami ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng base plane area at ang taas na hinati ng tatlo: V=1/3*Sbase*H, kung saan ang H ay ang taas ng polyhedron.

Ano ang isang regular na pyramid sa geometry

Mga katangian ng isang regular na quadrangular pyramid

Pyramid. Pinutol na pyramid

Pyramid ay tinatawag na polyhedron, ang isa sa mga mukha ay isang polygon ( base ), at lahat ng iba pang mukha ay mga tatsulok na may karaniwang vertex ( mga mukha sa gilid ) (Larawan 15). Ang pyramid ay tinatawag tama , kung ang base nito ay isang regular na polygon at ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng base (Larawan 16). Ang isang tatsulok na pyramid kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag tetrahedron .

Tadyang sa gilid Ang pyramid ay tinatawag na gilid ng gilid na mukha na hindi kabilang sa base taas Ang pyramid ay ang distansya mula sa tuktok nito hanggang sa eroplano ng base. Ang lahat ng gilid na gilid ng isang regular na pyramid ay pantay-pantay sa isa't isa, lahat ng panig na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang taas ng gilid na mukha ng isang regular na pyramid na iginuhit mula sa vertex ay tinatawag apothema . diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Side surface area pyramid ay tinatawag na kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na mukha at ang base.

Theorems

1. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga lateral edge ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.

2. Kung sa isang pyramid ang lahat ng mga gilid ng gilid ay may pantay na haba, kung gayon ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng circumscribed na bilog malapit sa base.

3. Kung sa pyramid ang lahat ng mga mukha ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, pagkatapos ay ang tuktok ng pyramid ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base.

Upang kalkulahin ang dami ng isang arbitrary na pyramid, tama ang formula:

saan V- dami;

S pangunahing- base na lugar;

H ay ang taas ng pyramid.

Para sa isang regular na pyramid, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

h a- apothem;

H- taas;

S puno

S gilid

S pangunahing- base na lugar;

V ay ang volume ng isang regular na pyramid.

pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng pyramid na nakapaloob sa pagitan ng base at ng cutting plane na kahanay sa base ng pyramid (Fig. 17). Tamang pinutol na pyramid tinatawag na bahagi ng isang regular na pyramid, na nakapaloob sa pagitan ng base at isang cutting plane na kahanay sa base ng pyramid.

Mga pundasyon pinutol na pyramid - mga katulad na polygon. Mga mukha sa gilid - trapezoid. taas ang pinutol na pyramid ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga base nito. dayagonal Ang pinutol na pyramid ay isang segment na nagdudugtong sa mga vertice nito na hindi nakahiga sa parehong mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang pinutol na pyramid ay tinatawag na isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha.

Para sa isang pinutol na pyramid, ang mga formula ay wasto:

(4)

saan S 1 , S 2 - mga lugar ng upper at lower base;

S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;

S gilid ay ang lateral surface area;

H- taas;

V ay ang dami ng pinutol na pyramid.

Para sa isang regular na pinutol na pyramid, ang sumusunod na formula ay totoo:

saan p 1 , p 2 - base perimeter;

h a- ang apothem ng isang regular na pinutol na pyramid.

Halimbawa 1 Sa isang regular na triangular na pyramid, ang dihedral na anggulo sa base ay 60º. Hanapin ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng gilid na gilid sa eroplano ng base.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 18).

Ang pyramid ay regular, na nangangahulugan na ang base ay isang equilateral triangle at ang lahat ng mga gilid na mukha ay pantay na isosceles triangles. Ang anggulo ng dihedral sa base ay ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na mukha ng pyramid sa eroplano ng base. Ang linear na anggulo ang magiging anggulo a sa pagitan ng dalawang perpendicular: i.e. Ang tuktok ng pyramid ay inaasahang nasa gitna ng tatsulok (ang gitna ng circumscribed na bilog at ang nakasulat na bilog sa triangle ABC). Ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na tadyang (halimbawa SB) ay ang anggulo sa pagitan ng gilid mismo at ang projection nito sa base plane. Para sa tadyang SB ang anggulong ito ang magiging anggulo SBD. Upang mahanap ang padaplis kailangan mong malaman ang mga binti KAYA at OB. Hayaan ang haba ng segment BD ay 3 a. tuldok O segment ng linya BD ay nahahati sa mga bahagi: at Mula sa nakita natin KAYA: Mula sa nakita namin:

Sagot:

Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang regular na truncated quadrangular pyramid kung ang mga diagonal ng mga base nito ay cm at cm at ang taas ay 4 cm.

Desisyon. Upang mahanap ang volume ng isang pinutol na pyramid, ginagamit namin ang formula (4). Upang mahanap ang mga lugar ng mga base, kailangan mong hanapin ang mga gilid ng base square, alam ang kanilang mga diagonal. Ang mga gilid ng mga base ay 2 cm at 8 cm, ayon sa pagkakabanggit. Nangangahulugan ito na ang mga lugar ng mga base at Pagpapalit ng lahat ng data sa formula, kinakalkula namin ang dami ng pinutol na pyramid:

Sagot: 112 cm3.

Halimbawa 3 Hanapin ang lugar ng lateral face ng isang regular na triangular truncated pyramid na ang mga gilid ng base ay 10 cm at 4 cm, at ang taas ng pyramid ay 2 cm.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 19).

Ang gilid na mukha ng pyramid na ito ay isang isosceles trapezoid. Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kailangan mong malaman ang mga base at taas. Ang mga base ay ibinibigay sa pamamagitan ng kondisyon, tanging ang taas ay nananatiling hindi kilala. Hanapin ito mula sa kung saan PERO 1 E patayo mula sa isang punto PERO 1 sa eroplano ng ibabang base, A 1 D- patayo mula sa PERO 1 sa AC. PERO 1 E\u003d 2 cm, dahil ito ang taas ng pyramid. Para sa paghahanap DE gagawa kami ng karagdagang pagguhit, kung saan ilalarawan namin ang isang tuktok na view (Larawan 20). Dot O- projection ng mga sentro ng upper at lower base. mula noong (tingnan ang Fig. 20) at Sa kabilang banda OK ay ang radius ng inscribed na bilog at OM ay ang radius ng inscribed na bilog:

MK=DE.

Ayon sa Pythagorean theorem mula sa

Lugar sa gilid ng mukha:

Sagot:

Halimbawa 4 Sa base ng pyramid ay namamalagi ang isang isosceles trapezoid, ang mga base nito a at b (a> b). Ang bawat panig na mukha ay bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng eroplano ng base ng pyramid j. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Desisyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 21). Kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid SABCD ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar at ang lugar ng trapezoid A B C D.

Gamitin natin ang pahayag na kung ang lahat ng mga mukha ng pyramid ay pantay na nakahilig sa eroplano ng base, kung gayon ang vertex ay inaasahang papunta sa gitna ng bilog na nakasulat sa base. Dot O- projection ng vertex S sa base ng pyramid. Tatsulok SOD ay ang orthogonal projection ng tatsulok CSD sa base plane. Ayon sa theorem sa lugar ng orthogonal projection ng isang flat figure, nakukuha namin:

Katulad nito, ang ibig sabihin nito Kaya, ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng trapezoid A B C D. Gumuhit ng trapezoid A B C D hiwalay (Larawan 22). Dot O ay ang sentro ng isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid.

Dahil ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon o Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mayroon tayo

Video aralin 2: Pyramid challenge. Dami ng Pyramid

Video aralin 3: Pyramid challenge. Tamang pyramid

Lecture: Pyramid, base nito, lateral edges, taas, lateral surface; tatsulok na pyramid; kanang pyramid

Pyramid, ang mga katangian nito

Pyramid- Ito ay isang three-dimensional na katawan na may polygon sa base, at lahat ng mukha nito ay binubuo ng mga tatsulok.

Ang isang espesyal na kaso ng isang pyramid ay isang kono, sa base nito ay isang bilog.

Isaalang-alang ang mga pangunahing elemento ng pyramid:

Apothem ay isang segment na nag-uugnay sa tuktok ng pyramid sa gitna ng ibabang gilid ng gilid na mukha. Sa madaling salita, ito ang taas ng mukha ng pyramid.

Sa figure makikita mo ang mga tatsulok na ADS, ABS, BCS, CDS. Kung titingnang mabuti ang mga pangalan, makikita mo na ang bawat tatsulok ay may isang karaniwang titik sa pangalan nito - S. Ibig sabihin, ang lahat ng mga gilid na mukha (tatsulok) ay nagtatagpo sa isang punto, na tinatawag na tuktok ng pyramid.

Ang segment na OS, na nag-uugnay sa vertex sa punto ng intersection ng mga diagonal ng base (sa kaso ng mga triangles, sa punto ng intersection ng mga taas), ay tinatawag taas ng pyramid.

Ang isang diagonal na seksyon ay isang eroplano na dumadaan sa tuktok ng pyramid, pati na rin ang isa sa mga diagonal ng base.

Dahil ang lateral surface ng pyramid ay binubuo ng mga triangles, upang mahanap ang kabuuang lugar ng lateral surface, kinakailangan upang mahanap ang mga lugar ng bawat mukha at idagdag ang mga ito. Ang bilang at hugis ng mga mukha ay depende sa hugis at sukat ng mga gilid ng polygon na nasa base.

Ang tanging eroplano sa isang pyramid na walang vertex ay tinatawag batayan mga pyramid.

Sa figure, nakita namin na ang base ay isang paralelogram, gayunpaman, maaaring mayroong anumang arbitrary polygon.

Ari-arian:

Isaalang-alang ang unang kaso ng isang pyramid, kung saan mayroon itong mga gilid ng parehong haba:

• Ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng base ng naturang pyramid. Kung i-project mo ang tuktok ng naturang pyramid, ang projection nito ay matatagpuan sa gitna ng bilog.
• Ang mga anggulo sa base ng pyramid ay pareho para sa bawat mukha.
• Kasabay nito, ang isang sapat na kondisyon para sa katotohanan na ang isang bilog ay maaaring inilarawan sa paligid ng base ng pyramid, at gayundin na ang lahat ng mga gilid ay may iba't ibang haba, ay maaaring isaalang-alang ang parehong mga anggulo sa pagitan ng base at bawat gilid ng mga mukha. .

Kung nakatagpo ka ng isang pyramid kung saan ang mga anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base ay pantay, kung gayon ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

• Magagawa mong ilarawan ang isang bilog sa paligid ng base ng pyramid, kung saan ang tuktok nito ay eksaktong inaasahang nasa gitna.
• Kung gumuhit ka sa bawat gilid na mukha ng taas hanggang sa base, kung gayon sila ay magiging pantay na haba.
• Upang mahanap ang lateral surface area ng naturang pyramid, sapat na upang mahanap ang perimeter ng base at i-multiply ito sa kalahati ng haba ng taas.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Mga uri ng pyramid.
• Depende sa kung aling polygon ang nasa base ng pyramid, maaari silang maging triangular, quadrangular, atbp. Kung ang isang regular na polygon (na may pantay na panig) ay nasa base ng pyramid, kung gayon ang naturang pyramid ay tatawaging regular.

Regular na triangular na pyramid