Panimula

Sa matematika at mga aplikasyon nito sa natural na agham at teknolohiya, malawakang ginagamit ang mga exponential function. Ito, sa partikular, ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na maraming mga phenomena na pinag-aralan sa natural na agham ay kabilang sa mga tinatawag na proseso ng organikong paglago, kung saan ang mga rate ng pagbabago ng mga function na nakikilahok sa kanila ay proporsyonal sa mga halaga ng mga function. kanilang sarili.

Kung tinutukoy ng isang function, at ng isang argumento, kung gayon ang kaugalian ng batas ng proseso ng organikong paglago ay maaaring isulat sa anyo kung saan mayroong ilang pare-parehong koepisyent ng proporsyonalidad.

Ang pagsasama ng equation na ito ay humahantong sa pangkalahatang solusyon sa anyo ng isang exponential function

Kung itinakda mo ang paunang kundisyon sa, maaari mong matukoy ang isang arbitrary na pare-pareho at, sa gayon, makahanap ng isang partikular na solusyon, na isang mahalagang batas ng prosesong isinasaalang-alang.

Kasama sa mga proseso ng organikong paglago, sa ilalim ng ilang nagpapasimpleng pagpapalagay, tulad ng mga phenomena gaya ng, halimbawa, isang pagbabago sa presyon ng atmospera depende sa taas sa ibabaw ng Earth, radioactive decay, paglamig o pag-init ng isang katawan sa isang kapaligiran ng pare-pareho ang temperatura, isang unimolecular chemical reaction (halimbawa, ang paglusaw ng isang substance sa tubig ), kung saan nagaganap ang batas ng mass action (ang rate ng reaksyon ay proporsyonal sa dami ng reactant na naroroon), ang pagpaparami ng mga microorganism, at marami pang iba.

Ang pagtaas ng halaga ng pera dahil sa accrual ng compound interest dito (interest on interest) ay isa ring proseso ng organic growth.

Ang mga halimbawang ito ay maaaring ipagpatuloy.

Kasama ng mga indibidwal na exponential function, ang iba't ibang kumbinasyon ng exponential function ay nakakahanap ng aplikasyon sa matematika at mga aplikasyon nito, kung saan ang ilang linear at fractional-linear na kumbinasyon ng mga function at ang tinatawag na hyperbolic function ay partikular na kahalagahan. Mayroong anim sa mga pag-andar na ito, ang mga sumusunod na espesyal na pangalan at pagtatalaga ay ipinakilala para sa kanila:

(hyperbolic sine),

(hyperbolic cosine),

(hyperbolic tangent),

(hyperbolic cotangent),

(hyperbolic secant),

(hyperbolic secant).

Ang tanong ay lumitaw kung bakit eksaktong ibinigay ang gayong mga pangalan, at narito ang isang hyperbole at ang mga pangalan ng mga function na kilala mula sa trigonometrya: sine, cosine, atbp.? Lumalabas na ang mga relasyon na nagkokonekta sa mga function ng trigonometriko na may mga coordinate ng mga punto ng isang bilog ng unit radius ay katulad ng mga relasyon na nagkokonekta ng mga hyperbolic function na may mga coordinate ng mga punto ng isang equilateral hyperbola na may isang yunit ng semiaxis. Binibigyang-katwiran nito ang pangalan ng mga hyperbolic function.

Hyperbolic function

Ang mga function na ibinigay ng mga formula ay tinatawag na hyperbolic cosine at hyperbolic sine, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga function na ito ay tinukoy at tuloy-tuloy sa, at ito ay isang even function at isang kakaibang function.

Figure 1.1 - Mga graph ng mga function

Mula sa kahulugan ng hyperbolic function ay sumusunod na:

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa trigonometric function, ang hyperbolic tangent at cotangent ay tinukoy, ayon sa pagkakabanggit, ng mga formula

Ang isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa, at isang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa isang set na may isang punctured point; ang parehong mga function ay kakaiba, ang kanilang mga graph ay ipinapakita sa mga figure sa ibaba.

Figure 1.2 - Graph ng function

Figure 1.3 - Graph ng function

Maaari itong ipakita na ang mga function at ay mahigpit na tumataas, habang ang function ay mahigpit na bumababa. Samakatuwid, ang mga pag-andar na ito ay nababaligtad. Tukuyin ang mga function na kabaligtaran sa kanila, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng.

Isaalang-alang ang isang function na kabaligtaran sa isang function, i.e. function. Ipinapahayag namin ito sa mga tuntunin ng elementarya. Ang paglutas ng equation na may paggalang sa, nakukuha natin Since, then, from where

Ang pagpapalit ng at kasama, makikita natin ang formula para sa inverse function para sa hyperbolic sine.

Kasama ang koneksyon sa pagitan ng trigonometric at exponential function na natuklasan namin sa complex domain (Euler formula)

sa kumplikadong domain mayroong isang napaka-simpleng koneksyon sa pagitan ng trigonometriko at hyperbolic function.

Alalahanin na, ayon sa kahulugan:

Kung sa pagkakakilanlan (3) papalitan natin ng pagkatapos ay sa kanang bahagi ay makukuha natin ang parehong ekspresyon na nasa kanang bahagi ng pagkakakilanlan, kung saan ang pagkakapantay-pantay ng mga kaliwang panig ay sumusunod. Ang parehong hold para sa pagkakakilanlan (4) at (2).

Sa pamamagitan ng paghahati ng parehong bahagi ng pagkakakilanlan (6) sa mga kaukulang bahagi ng pagkakakilanlan (5) at kabaligtaran (5) ng (6), nakukuha natin ang:

Ang isang katulad na kapalit sa mga pagkakakilanlan (1) at (2) at isang paghahambing sa mga pagkakakilanlan (3) at (4) ay nagbibigay ng:

Sa wakas, mula sa mga pagkakakilanlan (9) at (10) makikita natin:

Kung ilalagay natin ang mga pagkakakilanlan (5) - (12) kung saan ang x ay isang tunay na numero, ibig sabihin, isaalang-alang ang argumento na puro haka-haka, pagkatapos ay makakakuha tayo ng walong higit pang pagkakakilanlan sa pagitan ng mga trigonometriko na function ng isang puro haka-haka na argumento at ang kaukulang hyperbolic function ng isang tunay. argumento, gayundin sa pagitan ng hyperbolic function ng isang puro haka-haka na Argument at ang kaukulang trigonometriko na function ng totoong argumento:

Ang mga relasyon na nakuha ay ginagawang posible na ipasa mula sa trigonometriko function sa hyperbolic mga at mula sa

hyperbolic function sa trigonometriko na may kapalit ng haka-haka na argumento ng tunay. Maaari silang mabuo bilang sumusunod na panuntunan:

Upang lumipat mula sa trigonometric function ng isang haka-haka na argumento sa hyperbolic o, sa kabaligtaran, mula sa hyperbolic function ng isang haka-haka na argumento hanggang sa trigonometriko, dapat alisin ang haka-haka na yunit mula sa sign ng function para sa sine at tangent, at itapon ito nang buo. para sa cosine.

Ang koneksyon na itinatag ay kapansin-pansin, sa partikular, na ginagawang posible na makuha ang lahat ng mga relasyon sa pagitan ng hyperbolic function mula sa mga kilalang relasyon sa pagitan ng trigonometric function sa pamamagitan ng pagpapalit sa huli ng hyperbolic function.

Ipakita natin kung paano ito. ay ginagawa.

Kunin halimbawa ang pangunahing trigonometric identity

at ilagay ito kung saan ang x ay isang tunay na numero; makuha namin:

Kung sa pagkakakilanlang ito ay pinapalitan natin ang sine at cosine ng hyperbolic sine at cosine ayon sa mga pormula, kung gayon ay makukuha natin ang o at ito ang pangunahing pagkakakilanlan sa pagitan ng naunang hinango sa ibang paraan.

Katulad nito, maaari mong makuha ang lahat ng iba pang mga formula, kabilang ang mga formula para sa hyperbolic function ng kabuuan at pagkakaiba ng mga argumento, doble at kalahating argumento, atbp., kaya, mula sa ordinaryong trigonometrya, kumuha ng "hyperbolic trigonometry".

HYPERBOLIC FUNCTIONS- Ang hyperbolic sine (sh x) at cosine (ch x) ay tinukoy ng mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Ang hyperbolic tangent at cotangent ay tinukoy sa pamamagitan ng pagkakatulad sa trigonometric tangent at cotangent:

Ang hyperbolic secant at cosecant ay parehong tinukoy:

May mga formula:

Ang mga katangian ng hyperbolic function ay sa maraming aspeto katulad ng mga katangian (tingnan). Ang mga equation na x=cos t, y=sin t ay tumutukoy sa bilog na x²+y² = 1; ang mga equation na x=сh t, y=sh t ay tukuyin ang hyperbola x² - y²=1. Dahil ang mga trigonometriko function ay tinutukoy mula sa isang bilog ng unit radius, kaya ang hyperbolic function ay tinutukoy mula sa isang isosceles hyperbola x² - y² = 1. Ang argumento t ay ang dobleng lugar ng may kulay na curvilinear triangle OME (Fig. 48), katulad ng katotohanan na para sa pabilog (trigonometric) function ang argument na t ay numerically katumbas ng dalawang beses ang lugar ng curvilinear triangle OKE ( Larawan 49):

para sa bilog

para sa hyperbole

Ang mga addition theorems para sa hyperbolic functions ay katulad ng addition theorems para sa trigonometric functions:

Ang mga pagkakatulad na ito ay madaling makita kung ang kumplikadong variable r ay kukunin bilang argumentong x. Ang mga hyperbolic na function ay nauugnay sa trigonometriko function sa pamamagitan ng mga sumusunod na formula: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, kung saan ang i ay isa sa ang mga halaga ng ugat √-1. Ang mga hyperbolic function na sh x, pati na rin ang ch x: ay maaaring tumagal ng anumang malalaking halaga (samakatuwid, siyempre, malalaking yunit), sa kaibahan sa mga trigonometric function na sin x, cos x, na para sa mga tunay na halaga ay hindi maaaring maging mas malaki sa isa sa ganap na halaga.
Ang mga hyperbolic function ay may papel sa geometry ni Lobachevsky (tingnan), ay ginagamit sa pag-aaral ng paglaban ng mga materyales, sa electrical engineering at iba pang sangay ng kaalaman. Mayroon ding mga pagtatalaga ng hyperbolic function sa panitikan tulad ng sinh x; cosh x; tghx.