Kung ang function f(x) ay may ilang pagitan na naglalaman ng isang punto a, mga derivatives ng lahat ng mga order, kung gayon ang Taylor formula ay maaaring ilapat dito:

saan rn- ang tinatawag na natitirang termino o ang natitira sa serye, maaari itong matantya gamit ang Lagrange formula:

, kung saan ang bilang x ay nakapaloob sa pagitan X at a.

Kung para sa ilang halaga x r n®0 sa n®¥, pagkatapos ay sa limitasyon ang Taylor formula para sa halagang ito ay nagiging convergent formula serye ni Taylor:

Kaya ang function f(x) maaaring palawakin sa isang serye ng Taylor sa isinasaalang-alang na punto X, kung:

1) mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order;

2) ang itinayong serye ay nagtatagpo sa puntong ito.

Sa a=0 nakakakuha tayo ng isang serye na tinatawag malapit sa Maclaurin:

Halimbawa 1 f(x)= 2x.

Desisyon. Hanapin natin ang mga halaga ng function at mga derivatives nito sa X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x sa 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga ng mga derivative sa pormula ng serye ng Taylor, nakukuha namin:

Ang radius ng convergence ng seryeng ito ay katumbas ng infinity, kaya ang pagpapalawak na ito ay valid para sa -¥<x<+¥.

Halimbawa 2 X+4) para sa function f(x)= e x.

Desisyon. Paghahanap ng mga derivatives ng function e x at ang kanilang mga halaga sa punto X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Samakatuwid, ang nais na serye ng Taylor ng function ay may anyo:

Ang agnas na ito ay may bisa din para sa -¥<x<+¥.

Halimbawa 3 . Palawakin ang function f(x)=ln x sa isang serye sa pamamagitan ng mga antas ( X- 1),

(ibig sabihin, sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X=1).

Desisyon. Nahanap namin ang mga derivatives ng function na ito.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, nakuha namin ang nais na serye ng Taylor:

Sa tulong ng pagsubok ni d'Alembert, mapapatunayan ng isa na ang serye ay nagtatagpo kung kailan

½ X- 1½<1. Действительно,

Ang serye ay nagtatagpo kung ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 nakakakuha tayo ng alternating series na nakakatugon sa mga kondisyon ng Leibniz test. Sa X=0 function ay hindi tinukoy. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng serye ng Taylor ay ang kalahating bukas na pagitan (0;2).

Ipakita natin ang mga pagpapalawak na nakuha sa ganitong paraan sa serye ng Maclaurin (ibig sabihin, sa isang kapitbahayan ng punto X=0) para sa ilang elementary function:

(2) ,

(3) ,

( ang huling pagpapalawak ay tinatawag binomial series)

Halimbawa 4 . Palawakin ang function sa isang serye ng kapangyarihan

Desisyon. Sa decomposition (1), pinapalitan namin X sa - X 2, nakukuha namin ang:

Halimbawa 5 . Palawakin ang function sa isang Maclaurin series

Desisyon. Meron kami

Gamit ang formula (4), maaari nating isulat ang:

pagpapalit sa halip na X sa formula -X, nakukuha natin:

Mula dito makikita natin:

Ang pagpapalawak ng mga bracket, muling pagsasaayos ng mga tuntunin ng serye at paggawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino, nakukuha namin

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pagitan

(-1;1) dahil nagmula ito sa dalawang serye, na ang bawat isa ay nagtatagpo sa pagitan na ito.

Magkomento .

Ang mga formula (1)-(5) ay maaari ding gamitin upang palawakin ang mga kaukulang function sa isang Taylor series, i.e. para sa pagpapalawak ng mga function sa positive integer powers ( Ha). Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng mga katulad na pagbabago sa isang naibigay na function upang makuha ang isa sa mga function (1) - (5), kung saan sa halip na X gastos k( Ha) m , kung saan ang k ay isang pare-parehong numero, ang m ay isang positibong integer. Kadalasan ay maginhawa upang baguhin ang variable t=Ha at palawakin ang resultang function na may paggalang sa t sa serye ng Maclaurin.

Ang pamamaraang ito ay naglalarawan ng teorama sa pagiging natatangi ng pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan. Ang kakanyahan ng theorem na ito ay na sa kapitbahayan ng parehong punto, dalawang magkaibang serye ng kapangyarihan ay hindi maaaring makuha na magtatagpo sa parehong function, gaano man ang pagpapalawak nito ay ginanap.

Halimbawa 6 . Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa isang kapitbahayan ng isang punto X=3.

Desisyon. Ang problemang ito ay maaaring malutas, tulad ng dati, gamit ang kahulugan ng serye ng Taylor, kung saan kinakailangan upang mahanap ang mga derivatives ng mga function at ang kanilang mga halaga sa X=3. Gayunpaman, magiging mas madaling gamitin ang kasalukuyang agnas (5):

Ang resultang serye ay nagtatagpo sa o -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Halimbawa 7 . Sumulat ng isang serye ni Taylor sa mga kapangyarihan ( X-1) mga tampok .

Desisyon.

Ang serye ay nagtatagpo sa , o 2< x£5.

16.1. Pagpapalawak ng mga elementary function sa Taylor series at

Maclaurin

Ipakita natin na kung ang isang arbitrary function ay tinukoy sa set
, sa paligid ng punto
ay may maraming mga derivatives at ang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan:

pagkatapos ay mahahanap mo ang mga coefficient ng seryeng ito.

Palitan sa isang serye ng kapangyarihan
. Pagkatapos
.

Hanapin ang unang derivative ng function
:

Sa
:
.

Para sa pangalawang derivative makuha namin:

Sa
:
.

Ang pagpapatuloy ng pamamaraang ito n sa sandaling makuha natin ang:
.

Kaya, nakakuha kami ng isang serye ng kapangyarihan ng form:

,

na tinatawag na malapit kay taylor para sa function
sa paligid ng punto
.

Ang isang espesyal na kaso ng serye ng Taylor ay Serye ng Maclaurin sa
:

Ang natitira sa serye ng Taylor (Maclaurin) ay nakuha sa pamamagitan ng pagtatapon sa pangunahing serye n ang mga unang termino at tinutukoy bilang
. Pagkatapos ang pag-andar
maaaring isulat bilang kabuuan n ang mga unang miyembro ng serye
at ang natitira
:,

.

Ang natitira ay kadalasan
ipinahayag sa iba't ibang mga formula.

Ang isa sa mga ito ay nasa Lagrange form:

, saan
.
.

Tandaan na sa pagsasanay ang serye ng Maclaurin ay ginagamit nang mas madalas. Kaya, upang maisulat ang function
sa anyo ng kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan, kinakailangan:

1) hanapin ang mga coefficient ng serye ng Maclaurin (Taylor);

2) hanapin ang rehiyon ng convergence ng nagresultang serye ng kapangyarihan;

3) patunayan na ang ibinigay na serye ay nagtatagpo sa function
.

Teorama1 (isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa convergence ng serye ng Maclaurin). Hayaan ang convergence radius ng serye
. Upang ang seryeng ito ay magtagpo sa pagitan
upang gumana
, ito ay kinakailangan at sapat na ang sumusunod na kondisyon ay natugunan:
sa loob ng tinukoy na agwat.

Teorama 2. Kung derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod ng isang function
sa ilang pagitan
limitado sa ganap na halaga sa parehong numero M, ibig sabihin
, pagkatapos ay sa pagitan na ito ang function
maaaring mapalawak sa isang serye ng Maclaurin.

Halimbawa1 . Palawakin sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto
function.

Desisyon.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Lugar ng convergence
.

Halimbawa2 . Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa paligid ng isang punto
.

Desisyon:

Nahanap namin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Palitan ang mga halagang ito nang sunud-sunod. Nakukuha namin:

o
.

Hanapin natin ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito. Ayon sa pagsubok ng d'Alembert, ang serye ay nagtatagpo kung

.

Samakatuwid, para sa anumang ang limitasyong ito ay mas mababa sa 1, at samakatuwid ang lugar ng convergence ng serye ay magiging:
.

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng pagpapalawak sa serye ng Maclaurin ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Alalahanin na ang serye ng Maclaurin:

.

nagtatagpo sa pagitan
upang gumana
.

Tandaan na upang mapalawak ang function sa isang serye, ito ay kinakailangan:

a) hanapin ang mga coefficient ng serye ng Maclaurin para sa isang naibigay na function;

b) kalkulahin ang radius ng convergence para sa resultang serye;

c) patunayan na ang nagresultang serye ay nagtatagpo sa function
.

Halimbawa 3 Isaalang-alang ang function
.

Desisyon.

Kalkulahin natin ang halaga ng function at ang mga derivative nito para sa
.

Pagkatapos ang mga numerical coefficient ng serye ay may anyo:

para kahit kanino n. Pinapalitan namin ang mga nakitang coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang:

Hanapin ang radius ng convergence ng nagresultang serye, katulad:

.

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
.

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function para sa anumang mga halaga , dahil sa anumang pagitan
function at ang mga derivatives ng absolute value nito ay nililimitahan ng bilang .

Halimbawa4 . Isaalang-alang ang function
.

Desisyon.

:

Madaling makita ang mga even-order na derivatives
, at mga derivative ng kakaibang ayos. Pinapalitan namin ang mga nakitang coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang pagpapalawak:

Hanapin natin ang pagitan ng convergence ng seryeng ito. Ayon kay d'Alembert:

para kahit kanino . Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
.

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function
, dahil ang lahat ng derivatives nito ay limitado sa isa.

Halimbawa5 .
.

Desisyon.

Hanapin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
:

Kaya, ang mga coefficient ng seryeng ito:
at
, kaya:

Katulad din sa nakaraang serye, ang lugar ng convergence
. Ang serye ay nagtatagpo sa function
, dahil ang lahat ng derivatives nito ay limitado sa isa.

Tandaan na ang function
kakaiba at serye ng pagpapalawak sa kakaibang kapangyarihan, pag-andar
– pantay at pagpapalawak sa isang serye sa pantay na kapangyarihan.

Halimbawa6 . Binomial na serye:
.

Desisyon.

Hanapin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
:

Ito ay nagpapakita na:

Pinapalitan namin ang mga halagang ito ng mga coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang pagpapalawak ng function na ito sa isang serye ng kapangyarihan:

Hanapin natin ang radius ng convergence ng seryeng ito:

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
. Sa limitasyon ng mga punto sa
at
ang mga serye ay maaaring o hindi maaaring magtagpo depende sa exponent
.

Ang pinag-aralan na serye ay nagtatagpo sa pagitan
upang gumana
, iyon ay, ang kabuuan ng serye
sa
.

Halimbawa7 . Palawakin natin ang function sa isang serye ng Maclaurin
.

Desisyon.

Upang palawakin ang function na ito sa isang serye, ginagamit namin ang binomial na serye para sa
. Nakukuha namin:

Batay sa pag-aari ng power series (maaaring isama ang isang power series sa rehiyon ng convergence nito), nakita namin ang integral ng kaliwa at kanang bahagi ng seryeng ito:

Hanapin ang lugar ng convergence ng seryeng ito:
,

ibig sabihin, ang convergence region ng seryeng ito ay ang interval
. Alamin natin ang convergence ng serye sa mga dulo ng interval. Sa

. Ang seryeng ito ay isang maharmonya na serye, iyon ay, ito ay nag-iiba. Sa
nakakakuha kami ng serye ng numero na may karaniwang termino
.

Ang serye ng Leibniz ay nagtatagpo. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito ay ang pagitan
.

16.2. Application ng power series of powers sa tinatayang mga kalkulasyon

Napakahalaga ng papel ng power series sa tinatayang mga kalkulasyon. Sa kanilang tulong, ang mga talahanayan ng mga pag-andar ng trigonometriko, mga talahanayan ng logarithms, mga talahanayan ng mga halaga ng iba pang mga pag-andar na ginagamit sa iba't ibang larangan ng kaalaman, halimbawa, sa teorya ng posibilidad at mga istatistika ng matematika, ay pinagsama-sama. Bilang karagdagan, ang pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng kapangyarihan ay kapaki-pakinabang para sa kanilang teoretikal na pag-aaral. Ang pangunahing isyu kapag gumagamit ng power series sa tinatayang mga kalkulasyon ay ang tanong ng pagtantya ng error kapag pinapalitan ang kabuuan ng isang serye ng kabuuan ng una nito. n mga miyembro.

Isaalang-alang ang dalawang kaso:

ang function ay pinalawak sa isang alternating serye;

ang function ay pinalawak sa isang patuloy na-sign serye.

Pagkalkula gamit ang alternating series

Hayaan ang function
pinalawak sa isang alternating power series. Pagkatapos, kapag kinakalkula ang function na ito para sa isang tiyak na halaga nakakakuha kami ng serye ng numero kung saan maaari naming ilapat ang pagsubok sa Leibniz. Alinsunod sa pamantayang ito, kung ang kabuuan ng isang serye ay papalitan ng kabuuan ng una nito n mga miyembro, kung gayon ang ganap na error ay hindi lalampas sa unang termino ng natitira sa seryeng ito, iyon ay:
.

Halimbawa8 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.0001.

Desisyon.

Gagamitin namin ang serye ng Maclaurin para sa
, pinapalitan ang halaga ng anggulo sa radians:

Kung ihahambing natin ang una at pangalawang miyembro ng serye na may ibinigay na katumpakan, kung gayon: .

Pangatlong termino ng pagpapalawak:

mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan ng pagkalkula. Samakatuwid, upang makalkula
sapat na ang mag-iwan ng dalawang termino ng serye, i.e.

.

Sa gayon
.

Halimbawa9 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.001.

Desisyon.

Gagamitin namin ang formula ng binomial series. Para dito nagsusulat kami
bilang:
.

Sa ekspresyong ito
,

Ihambing natin ang bawat isa sa mga tuntunin ng serye sa katumpakan na ibinigay. Malinaw na
. Samakatuwid, upang makalkula
sapat na ang mag-iwan ng tatlong miyembro ng serye.

o
.

Pagkalkula gamit ang sign-positive series

Halimbawa10 . Kalkulahin ang numero na may katumpakan na 0.001.

Desisyon.

Sa isang hilera para sa isang function
kapalit
. Nakukuha namin:

Tantyahin natin ang error na lumitaw kapag ang kabuuan ng serye ay pinalitan ng kabuuan ng una mga miyembro. Isulat natin ang halatang hindi pagkakapantay-pantay:

ibig sabihin, 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Ayon sa kondisyon ng problema, kailangan mong hanapin n na ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
o
.

Madaling suriin iyon kung kailan n= 6:
.

Kaya naman,
.

Halimbawa11 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.0001.

Desisyon.

Tandaan na upang kalkulahin ang logarithms, maaaring ilapat ng isa ang serye para sa function
, ngunit ang seryeng ito ay nagsasama-sama nang napakabagal at 9999 na termino ang kailangang kunin upang makamit ang ibinigay na katumpakan! Samakatuwid, upang kalkulahin ang mga logarithms, bilang panuntunan, ginagamit ang isang serye para sa function
, na nagtatagpo sa pagitan
.

Compute
kasama ang hilera na ito. Hayaan
, pagkatapos .

Kaya naman,
,

Upang makalkula
na may ibinigay na katumpakan, kunin ang kabuuan ng unang apat na termino:
.

Ang natitirang hilera
itapon. Tantyahin natin ang pagkakamali. Obvious naman yun

o
.

Kaya, sa seryeng ginamit para sa pagkalkula, sapat na na kumuha lamang ng unang apat na termino sa halip na 9999 sa serye para sa function.
.

Mga tanong para sa self-diagnosis

1. Ano ang isang serye ng Taylor?

2. anong uri ng serye mayroon si Maclaurin?

3. Bumuo ng isang teorama sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor.

4. Isulat ang pagpapalawak sa serye ng Maclaurin ng mga pangunahing function.

5. Ipahiwatig ang mga lugar ng convergence ng itinuturing na serye.

6. Paano matantya ang error sa tinatayang mga kalkulasyon gamit ang power series?

Ang mga mag-aaral ng mas mataas na matematika ay dapat magkaroon ng kamalayan na ang kabuuan ng isang tiyak na serye ng kapangyarihan na kabilang sa pagitan ng convergence ng serye na ibinigay sa amin ay lumalabas na isang tuluy-tuloy at walang limitasyong bilang ng mga beses na may pagkakaiba-iba na pag-andar. Ang tanong ay lumitaw: posible bang igiit na ang isang ibinigay na arbitrary na function na f(x) ay ang kabuuan ng ilang serye ng kapangyarihan? Iyon ay, sa ilalim ng anong mga kundisyon maaaring ang function na f(x) ay kinakatawan ng isang serye ng kapangyarihan? Ang kahalagahan ng tanong na ito ay nakasalalay sa katotohanan na posible na humigit-kumulang na palitan ang function na f(x) ng kabuuan ng unang ilang termino ng power series, iyon ay, sa pamamagitan ng polynomial. Ang ganitong kapalit ng isang function sa pamamagitan ng isang medyo simpleng expression - isang polynomial - ay maginhawa din kapag nilulutas ang ilang mga problema, lalo na: kapag nilulutas ang mga integral, kapag kinakalkula, atbp.

Napatunayan na para sa ilang function na f(x), kung saan ang mga derivatives hanggang sa (n + 1)th order, kasama ang huli, ay maaaring kalkulahin, sa kapitbahayan (α - R; x 0 + R) ng ilang point x = α formula:

Ang formula na ito ay ipinangalan sa sikat na siyentipiko na si Brook Taylor. Ang serye na nakuha mula sa nauna ay tinatawag na serye ng Maclaurin:

Ang panuntunan na ginagawang posible na mapalawak sa isang serye ng Maclaurin:

1. Tukuyin ang mga derivatives ng una, pangalawa, pangatlo ... order.
2. Kalkulahin kung ano ang mga derivatives sa x=0.
3. Isulat ang serye ng Maclaurin para sa function na ito, at pagkatapos ay tukuyin ang pagitan ng convergence nito.
4. Tukuyin ang pagitan (-R;R), kung saan ang natitira sa formula ng Maclaurin

R n (x) -> 0 para sa n -> infinity. Kung mayroon, ang function na f(x) dito ay dapat na tumutugma sa kabuuan ng serye ng Maclaurin.

Isaalang-alang ngayon ang serye ng Maclaurin para sa mga indibidwal na function.

1. Kaya, ang una ay magiging f(x) = e x. Siyempre, ayon sa mga tampok nito, ang naturang function ay may mga derivatives ng ibang-iba na mga order, at f (k) (x) \u003d e x, kung saan ang k ay katumbas ng lahat Hayaan nating palitan ang x \u003d 0. Nakukuha namin ang f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... Batay sa nabanggit, ang serye e x ay magiging ganito:

2. Ang serye ng Maclaurin para sa function na f(x) = sin x. Kaagad na linawin na ang pag-andar para sa lahat ng hindi alam ay magkakaroon ng mga derivatives, bukod sa f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), kung saan ang k ay katumbas ng anumang natural na numero. Ibig sabihin, sa pamamagitan ng paggawa ng mga simpleng kalkulasyon, maaari nating tapusin na ang serye para sa f(x) = sin x ay magiging ganito:

3. Ngayon subukan nating isaalang-alang ang function na f(x) = cos x. Mayroon itong mga derivatives ng arbitrary order para sa lahat ng hindi alam, at |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Kaya, inilista namin ang pinakamahalagang mga pag-andar na maaaring mapalawak sa serye ng Maclaurin, ngunit sila ay pupunan ng serye ng Taylor para sa ilang mga pag-andar. Ngayon ay ililista natin sila. Nararapat ding tandaan na ang mga serye ng Taylor at Maclaurin ay isang mahalagang bahagi ng pagsasanay ng paglutas ng mga serye sa mas mataas na matematika. Kaya, serye ni Taylor.

1. Ang una ay isang hilera para sa f-ii f (x) = ln (1 + x). Tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, na ibinigay sa amin f (x) = ln (1 + x), maaari kaming magdagdag ng isang serye gamit ang pangkalahatang anyo ng serye ng Maclaurin. gayunpaman, para sa function na ito, ang serye ng Maclaurin ay maaaring makuha nang mas simple. Pagkatapos pagsamahin ang isang tiyak na geometric na serye, makakakuha tayo ng isang serye para sa f (x) = ln (1 + x) ng naturang sample:

2. At ang pangalawa, na magiging pangwakas sa aming artikulo, ay isang serye para sa f (x) \u003d arctg x. Para sa x na kabilang sa pagitan [-1; 1], ang pagpapalawak ay wasto:

Iyon lang. Sa artikulong ito, ang pinakaginagamit na serye ng Taylor at Maclaurin sa mas mataas na matematika, sa partikular, sa pang-ekonomiya at teknikal na mga unibersidad, ay isinasaalang-alang.

Kung ang function na f(x) ay may mga derivatives ng lahat ng mga order sa ilang pagitan na naglalaman ng point a, kung gayon ang Taylor formula ay maaaring ilapat dito:
,
saan rn- ang tinatawag na natitirang termino o ang natitira sa serye, maaari itong matantya gamit ang Lagrange formula:
, kung saan ang bilang na x ay nasa pagitan ng x at a.

f(x)=

sa puntong x 0 = Bilang ng mga elemento ng row 3 4 5 6 7

Gumamit ng pagpapalawak ng mga elementary function e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Mga panuntunan sa pagpasok ng function:

Kung para sa ilang halaga X rn→0 sa n→∞, pagkatapos ay sa limitasyon ang Taylor formula ay lumiliko para sa halagang ito sa convergent serye ni Taylor:
,
Kaya, ang function na f(x) ay maaaring palawakin sa isang serye ng Taylor sa itinuturing na punto x kung:
1) mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order;
2) ang itinayong serye ay nagtatagpo sa puntong ito.

Para sa isang = 0 nakakakuha tayo ng isang serye na tinatawag malapit sa Maclaurin:
,
Pagpapalawak ng pinakasimpleng (elementarya) na mga function sa serye ng Maclaurin:
exponential function
, R=∞
Trigonometric function
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Ang function na actgx ay hindi lumalawak sa mga kapangyarihan ng x, dahil ctg0=∞
Hyperbolic function


Mga function ng logarithmic
, -1
Binomial na serye
.

Halimbawa #1. Palawakin ang function sa isang serye ng kapangyarihan f(x)= 2x.
Desisyon. Hanapin natin ang mga halaga ng function at mga derivatives nito sa X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2x sa 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga ng mga derivative sa pormula ng serye ng Taylor, nakukuha namin:

Ang radius ng convergence ng seryeng ito ay katumbas ng infinity, kaya ang pagpapalawak na ito ay wasto para sa -∞<x<+∞.

Halimbawa #2. Sumulat ng isang serye ni Taylor sa mga kapangyarihan ( X+4) para sa function f(x)= e x.
Desisyon. Paghahanap ng mga derivatives ng function e x at ang kanilang mga halaga sa punto X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Samakatuwid, ang nais na serye ng Taylor ng function ay may anyo:

Ang pagpapalawak na ito ay may bisa din para sa -∞<x<+∞.

Halimbawa #3. Palawakin ang function f(x)=ln x sa isang serye sa pamamagitan ng mga antas ( X- 1),
(ibig sabihin, sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X=1).
Desisyon. Nahanap namin ang mga derivatives ng function na ito.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, nakuha namin ang nais na serye ng Taylor:

Sa tulong ng pagsusulit ni d'Alembert, mapapatunayan ng isa na ang serye ay nagtatagpo sa ½x-1½<1 . Действительно,

Ang serye ay nagtatagpo kung ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 nakakakuha tayo ng alternating series na nakakatugon sa mga kondisyon ng Leibniz test. Para sa x=0 ang function ay hindi tinukoy. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng serye ng Taylor ay ang kalahating bukas na pagitan (0;2).

Halimbawa #4. Palawakin ang function sa isang power series.
Desisyon. Sa decomposition (1) pinapalitan namin ang x ng -x 2, nakukuha namin ang:
, -∞

Halimbawa numero 5. Palawakin ang function sa isang Maclaurin series .
Desisyon. Meron kami
Gamit ang formula (4), maaari nating isulat ang:

pagpapalit sa halip na x sa formula -x, nakukuha natin:

Mula dito makikita natin ang: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Ang pagpapalawak ng mga bracket, muling pagsasaayos ng mga tuntunin ng serye at paggawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino, nakukuha namin
. Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pagitan (-1;1) dahil ito ay nakuha mula sa dalawang serye, ang bawat isa ay nagtatagpo sa pagitan na ito.

Magkomento .
Ang mga formula (1)-(5) ay maaari ding gamitin upang palawakin ang mga kaukulang function sa isang Taylor series, i.e. para sa pagpapalawak ng mga function sa positive integer powers ( Ha). Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng mga katulad na pagbabago sa isang naibigay na function upang makuha ang isa sa mga function (1) - (5), kung saan sa halip na X gastos k( Ha) m , kung saan ang k ay isang pare-parehong numero, ang m ay isang positibong integer. Kadalasan ay maginhawa upang baguhin ang variable t=Ha at palawakin ang resultang function na may paggalang sa t sa serye ng Maclaurin.

Ang pamamaraang ito ay batay sa theorem sa pagiging natatangi ng pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan. Ang kakanyahan ng theorem na ito ay na sa kapitbahayan ng parehong punto, dalawang magkaibang serye ng kapangyarihan ay hindi maaaring makuha na magtatagpo sa parehong function, gaano man ang pagpapalawak nito ay ginanap.

Halimbawa Blg. 5a. Palawakin ang function sa isang Maclaurin series, ipahiwatig ang lugar ng convergence.
Desisyon. Una naming mahanap ang 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
hanggang elementarya:

Ang fraction na 3/(1-3x) ay maaaring tingnan bilang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may denominator na 3x kung |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

may convergence region |x|< 1/3.

Halimbawa numero 6. Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa paligid ng puntong x = 3.
Desisyon. Ang problemang ito ay maaaring malutas, tulad ng dati, gamit ang kahulugan ng serye ng Taylor, kung saan kinakailangan upang mahanap ang mga derivatives ng mga function at ang kanilang mga halaga sa X=3. Gayunpaman, magiging mas madaling gamitin ang kasalukuyang agnas (5):
=
Ang resultang serye ay nagtatagpo sa o -3

Halimbawa numero 7. Sumulat ng serye ng Taylor sa mga kapangyarihan (x -1) ng function na ln(x+2) .
Desisyon.


Ang serye ay nagtatagpo sa , o -2< x < 5.

Halimbawa numero 8. Palawakin ang function na f(x)=sin(πx/4) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng puntong x =2.
Desisyon. Gawin natin ang kapalit na t=x-2:

Gamit ang pagpapalawak (3), kung saan pinapalitan natin ang π / 4 t para sa x, nakukuha natin ang:

Ang resultang serye ay nagtatagpo sa ibinigay na function sa -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞kaya,
, (-∞

Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang power series

Ang serye ng kapangyarihan ay malawakang ginagamit sa tinatayang mga kalkulasyon. Sa kanilang tulong, na may isang naibigay na katumpakan, maaari mong kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat, trigonometriko function, logarithms ng mga numero, tiyak na integral. Ginagamit din ang mga serye sa pagsasama ng mga differential equation.
Isaalang-alang ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng kapangyarihan:

Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng isang function sa isang naibigay na punto X, na kabilang sa rehiyon ng convergence ng ipinahiwatig na serye, ang una n miyembro ( n ay isang may hangganang numero), at ang natitirang mga termino ay itinapon:

Upang matantya ang error ng nakuhang tinatayang halaga, kinakailangang tantiyahin ang itinapon na natitirang r n (x) . Para dito, ginagamit ang mga sumusunod na pamamaraan:

• kung ang resultang serye ay character-alternating, ang sumusunod na property ay gagamitin: para sa isang alternatibong serye na nakakatugon sa mga kundisyon ng Leibniz, ang ganap na halaga ng natitira sa serye ay hindi lalampas sa unang itinapon na termino.
• kung ang ibinigay na serye ay may pare-parehong tanda, kung gayon ang serye na binubuo ng mga itinapon na termino ay inihahambing sa isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.
• sa pangkalahatang kaso, upang matantya ang natitira sa serye ng Taylor, maaari mong gamitin ang Lagrange formula: a x ).

Halimbawa #1. Compute ln(3) sa loob ng 0.01.
Desisyon. Gamitin natin ang decomposition , kung saan x=1/2 (tingnan ang halimbawa 5 sa nakaraang paksa):

Suriin natin kung maaari nating itapon ang natitira pagkatapos ng unang tatlong termino ng pagpapalawak, para dito sinusuri natin ito gamit ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad:

Kaya maaari naming itapon ang natitira at makuha

Halimbawa #2. Kalkulahin sa pinakamalapit na 0.0001.
Desisyon. Gamitin natin ang binomial series. Dahil ang 5 3 ay ang pinakamalapit na integer cube sa 130, ipinapayong katawanin ang bilang na 130 bilang 130=5 3 +5.



dahil ang pang-apat na termino ng nakuhang sign-alternating series na nakakatugon sa Leibniz test ay mas mababa na sa kinakailangang katumpakan:
, kaya ito at ang mga tuntuning kasunod nito ay maaaring itapon.
Maraming mga praktikal na kinakailangan na tiyak o hindi wastong mga integral ay hindi maaaring kalkulahin gamit ang Newton-Leibniz formula, dahil ang paggamit nito ay nauugnay sa paghahanap ng isang antiderivative, kadalasang walang expression sa elementarya na mga function. Nangyayari din na ang paghahanap ng isang antiderivative ay posible, ngunit hindi kinakailangang matrabaho. Gayunpaman, kung ang integrand ay pinalawak sa isang serye ng kapangyarihan, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nabibilang sa pagitan ng convergence ng seryeng ito, kung gayon ang isang tinatayang pagkalkula ng integral na may paunang natukoy na katumpakan ay posible.

Halimbawa #3. Kalkulahin ang integral ∫ 0 1 4 sin (x) x sa loob ng 10 -5 .
Desisyon. Ang katumbas na indefinite integral ay hindi maaaring ipahayag sa elementarya function, i.e. ay isang "imposibleng integral". Ang Newton-Leibniz formula ay hindi maaaring ilapat dito. Kalkulahin natin ang humigit-kumulang integral.
Paghahati ng termino ayon sa termino ng serye para sa kasalanan x sa x, nakukuha natin:

Ang pagsasama-sama ng terminong ito ng serye ayon sa termino (posible ito, dahil ang mga limitasyon ng pagsasama ay nabibilang sa pagitan ng tagpo ng seryeng ito), nakukuha namin ang:

Dahil ang resultang serye ay nakakatugon sa mga kundisyon ng Leibniz at sapat na upang kunin ang kabuuan ng unang dalawang termino upang makuha ang nais na halaga na may ibinigay na katumpakan.
Kaya, nahanap namin
.

Halimbawa #4. Kalkulahin ang integral ∫ 0 1 4 e x 2 hanggang sa loob ng 0.001.
Desisyon.
. Tingnan natin kung maaari nating itapon ang natitira pagkatapos ng ikalawang termino ng resultang serye.
0.0001<0.001. Следовательно, .

Paano magpasok ng mga mathematical formula sa site?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong nabubuo ng Wolfram Alpha. Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at sa tingin ko ito ay gagana magpakailanman), ngunit ito ay luma na sa moral.

Kung, sa kabilang banda, palagi kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, pagkatapos ay inirerekomenda ko na gumamit ka ng MathJax, isang espesyal na JavaScript library na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX, o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-upload ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan ay mas kumplikado at nakakaubos ng oras at magbibigay-daan sa iyong mapabilis ang paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan, dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong website.

Maaari mong ikonekta ang script ng MathJax library mula sa isang malayuang server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o mula sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon sa code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Ang anumang fractal ay binuo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may gilid 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 20 natitirang mas maliliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Ang pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakukuha namin ang Menger sponge.