Kapag iniisip natin ang tungkol sa paglutas ng isang partikular na problema, kinakailangang bigyang-pansin kung anong dami ang ginagamit dito. Buo o fractional? Positibo o negatibo? Pagkatapos ng lahat, ang isang hindi gaanong mahalagang detalye ay nakakatulong hindi lamang upang maalis ang isang error sa paglutas ng isang partikular na problema, kundi pati na rin upang mahanap ang solusyon mismo. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.
Hayaan si Misha (humihingi ako ng paumanhin nang maaga kung ang bisita sa site ay si Mikhail) na magkaroon ng limang ruble at, halimbawa, walong ruble na barya. Mayroong tatlumpu't siyam na rubles sa kabuuan. Ilang barya ng limang rubles bawat isa at ilan sa walo ni Misha.
Tila walang sapat na data dito, kung, halimbawa, ang x ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga 5-ruble na barya, at y - 8-ruble na mga barya, kung gayon ang kondisyon ng problema mismo ay nagpapahintulot sa amin na magsulat ng isang solong equation:
Ang mga ito at iba pang mga equation at ang kanilang mga sistema, kung saan ang bilang ng mga hindi alam ay lumampas sa bilang ng mga equation, ay tinatawag na hindi tiyak.
Ito ay makikita mula sa kondisyon na ang bilang ng mga barya ay hindi masusukat ng hindi integer o negatibong mga numero. Kaya, kung ang x ay isang di-negatibong integer, kung gayon:
dapat na hindi negatibo at integer. Nangangahulugan ito na ang expression na 39 - 5x ay dapat na mahahati sa 8 na walang nalalabi. Sa tulong ng pagpili, maaari mong tiyakin na posible ito sa x = 3. Kaya, y = 3.
Ang pagbilang ng mga opsyon ay hindi maginhawa kapag nagtatrabaho kami sa malalaking numero. Mas mainam na gamitin ang paraan ng scattering o ang paraan ng pagbaba, na naimbento ng mga sinaunang Indian mathematician. Ang pamamaraan ng pagbaba ay tatalakayin sa ibaba.
(materyal na kinuha mula sa Avanta+ encyclopedia na "Mathematics")Ipagpatuloy natin ang pagsasaalang-alang ng isang hindi tiyak na equation ng form:
kung saan ang a, b, c ay kilala na mga coefficient ng integer.
Tingnan natin ito gamit ang isang pamilyar na halimbawa:
Pinipili namin ang hindi alam na may pinakamaliit na koepisyent at ipahayag ito sa mga tuntunin ng isa pang hindi alam:
Ngayon piliin natin ang buong bahagi:
Ang buong numero ay magiging isang integer kung ang halaga (4 - 3y) / 5 ay lumabas na isang integer. Ito ay posible lamang kapag ang numero (4 - 3y) ay nahahati sa 5 nang walang natitira. Ipinapakilala ang karagdagang integer variable z, isinusulat namin ang huling kundisyon sa form
Nakarating kami sa isang equation ng parehong uri ng orihinal, ngunit may mas maliit na coefficients. Ngayon ay kailangan mong lutasin ito na may paggalang sa mga variable na y at z.
Patuloy kaming kumikilos sa parehong prinsipyo:
Upang maging isang integer ang y, kinakailangan na ang numero 1 - 2z ay mahahati ng 3 nang walang natitira: 1 - 2z = 3u (isang karagdagang variable na u ay ipinakilala muli, na kumukuha lamang ng mga halaga ng integer) . Mula dito, ayon sa naayos na pamamaraan, nakukuha natin:
Ipagpatuloy natin... Ang numerong z ay magiging integer kung ang numero 1 - u ay mahahati ng 2 nang walang natitira: 1 - u = 2v, kung saan ang v ay isang arbitrary na integer. Kaya u =1 - 2v. Wala nang kuha, tapos na ang pagbaba.
Ito ay nananatiling ligtas na ngayon "upang bumangon." Ipahayag natin sa mga tuntunin ng variable na v muna z, pagkatapos y, at panghuli x:
Ang mga formula na x = 3 + 8v, y = 3 - 5v ay kumakatawan sa pangkalahatang solusyon ng orihinal na equation sa mga integer. At kung interesado lamang tayo sa mga hindi negatibong integer, sa lahat ng integer na solusyon kailangan nating piliin ang mga para sa kung saan
Ang paglutas ng equation na ito ay nangangahulugang:
1) matukoy ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng hindi alam at mga parameter;
2) para sa bawat tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter, hanapin ang kaukulang hanay ng mga solusyon sa mga equation.
Ang pinakasimpleng equation ng unang degree na may isang hindi alam ay may anyo na ax-b=0.
Kapag ang equation ay may natatanging solusyon, na magiging: positibo, kung o; null kung; negatibo kung o.
Kung a=0, mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon para sa b=0, at walang solusyon para sa b0.
Halimbawa 1. Para sa bawat halaga ng a, lutasin ang equation; hanapin kung alin at ang mga ugat ay mas malaki sa zero.
Ang equation na ito ay hindi isang linear equation (i.e. ito ay isang fraction), ngunit para sa x-1 at x0 ito ay bumababa hanggang dito: o a-1-x=0.
Natukoy na namin ang mga pinahihintulutang halaga ng x (x-1 at x0), ngayon ay ibubunyag namin ang mga pinahihintulutang halaga ng parameter a:
a-1-x=0 a=x+1
Mula dito makikita na sa x0 a1, at sa x-1 a0.
Kaya, para sa a1 at a0 x=a-1 at ang ugat na ito ay mas malaki sa zero para sa a>1.
Sagot: sa a<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 ugat ay positibo.
Halimbawa 2. Lutasin ang equation (1).
Ang mga wastong halaga ng k at x ay ang mga halaga kung saan.
Dalhin natin ang equation sa pinakasimpleng anyo nito:
(9 - k)x =3k-12 (2)
Hanapin natin ang k kung saan ang orihinal na equation ay walang kahulugan:
Ang pagpapalit sa (2) , nakukuha natin:
Kung papalitan natin, pareho tayo ng makukuha.
Kaya, sa , Eq. (1) ay walang numerical na kahulugan, ibig sabihin, ay mga di-wastong halaga ng parameter k para sa (1). Sa , maaari lamang nating lutasin ang equation (2).
1. Kung, ang equation (2) at kasama nito ang equation (1) ay may natatanging solusyon, na magiging:
a) positibo kung, sa 4 b) zero kung; c) negatibo kung at k>9, na isinasaalang-alang Natanggap namin. 2. Kung, ang equation (2) ay walang mga solusyon. Sagot: a) para sa at, at x>0 para sa; x=0 para sa k=4; x<0 при; b) sa , ang equation ay walang mga solusyon. Upang magsimula, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung ano ang modulus ng isang numero. Kaya, ang absolute value o modulus ng isang numero ay ang numerong x mismo, kung x ay positibo, ang numero (-x), kung x ay negatibo, o zero, kung x=0. Ang halaga ng modulus ay maaari lamang maging positibo. Upang maunawaan ang solusyon ng mga parametric equation na naglalaman ng tanda ng modulus, pinakamahusay na ipakita ang solusyon nang biswal, i.e. magbigay ng halimbawa: Halimbawa 1. Lutasin ang equation |x-2|=b. Dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng modyul, |x-2|, pagkatapos ay para sa b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2. Kung b>0, kung gayon ang mga solusyon ng equation ay ang mga numerong x=2+b at x=2-b. Sagot: para b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 x=2+b at x=2-b. Halimbawa 2. Lutasin ang equation |x-a|=|x-4|. Ito ay pinaka-maginhawa upang malutas ang equation na ito sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, para sa dalawang kaso: 1. Unang agwat: Pangalawang pagitan: Yung. kung ang<4, то. Pangatlong pagitan: a=4, ibig sabihin. kung a=4, kung gayon. 2. Unang agwat: Pangalawang pagitan: a>4, ibig sabihin. kung 4<а, то Pangatlong pagitan: Sagot: na may \u003d 4 x-any;, na may a<4 . Halimbawa 3. Para sa bawat value ng parameter a, hanapin ang lahat ng value ng x na nagbibigay-kasiyahan sa equation |x+3|- a| x - 1| =4. Isaalang-alang ang 3 pagitan: 1) , 2) , 3) at lutasin ang orihinal na equation sa bawat pagitan. Para sa a=1, ang equation ay walang mga solusyon, ngunit para sa a1, ang equation ay may ugat. Ngayon kailangan nating malaman kung saan ang isang x ay nahuhulog sa pagitan ng x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет. Kapag a = - 1, ang solusyon sa equation ay anumang x; ngunit kami ay nagpasya sa pagitan. Kung a1, ang equation ay may isang ugat x=1. Para sa a=1, ang solusyon ay anumang numero, ngunit nagpasya kami. Kung a1, kung gayon x=1. Sagot: sa; sa a= - 1 at sa a1 x=1; para sa a=1 at para sa a1 x=1. Upang magsimula, hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan ang a, b at c ay mga numero, bukod pa rito, a0. Ang mga kondisyon ng parametric quadratic equation ay maaaring magkakaiba, ngunit para sa mga solusyon ng lahat ng mga ito kinakailangan na ilapat ang mga katangian ng isang ordinaryong quadratic equation: a) Kung D>0, a>0, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na magkaibang ugat, ang mga palatandaan kung saan para sa c>0 ay pareho at kabaligtaran sa tanda ng coefficient b, at para sa c<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b. b) Kung D=0, a>0, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay at pantay na ugat, na ang tanda ay kabaligtaran ng tanda ng koepisyent b. c) Kung D<0, а>0, kung gayon ang equation ay walang tunay na ugat. Katulad nito, ang isa ay maaaring kumatawan sa mga katangian ng mga ugat para sa a<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения: 1. Kung papalitan mo ang mga coefficients a at c, ang mga ugat ng resultang quadratic equation ay magiging kabaligtaran sa mga ugat ng isang ito. 2. Kung babaguhin mo ang tanda ng coefficient b, ang mga ugat ng resultang quadratic equation ay magiging kabaligtaran ng mga ugat ng isang ito. 3. Kung ang mga coefficient a at c ay may magkaibang mga palatandaan, kung gayon ang equation ay may tunay na mga ugat. Halimbawa1. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang quadratic equation: a) ay may dalawang magkaibang mga ugat; b) walang mga ugat; c) may dalawang magkapantay na ugat. Ang equation na ito ay quadratic ayon sa kundisyon, kaya a-1. Isaalang-alang ang discriminant ng equation na ito: Para sa a>-1, ang equation ay may dalawang magkaibang ugat, dahil D>0, para sa a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи. Halimbawa2. lutasin ang equation Para sa a=0, ang equation ay linear 2x+1=0, na may natatanging solusyon x=-0.5. At sa a0, ang equation ay quadratic at ang discriminant nito ay D=4-4a. Para sa isang>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1. Para sa<1, но а0, D>0 at ang equation na ito ay may dalawang magkaibang ugat Sagot: at para sa a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1. Halimbawa3. Ang mga ugat ng equation ay ganoon. Humanap ng. Ayon sa teorama ni Vieta at. I-square natin ang magkabilang bahagi ng unang pagkakapantay-pantay: . Given that, a, we get: or, . Ang tseke ay nagpapakita na ang lahat ng mga halaga ay nakakatugon sa kondisyon. Mga formula ng kapangyarihan ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Numero c ay isang n-ika-kapangyarihan ng isang numero a kailan: Mga operasyon na may mga degree. 1. Ang pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag: isang ma n = a m + n . 2. Sa paghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas: 3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito: (abc…) n = a n b n c n … 4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor: (a/b) n = a n / b n . 5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami: (am) n = a m n . Ang bawat formula sa itaas ay tama sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa. Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4. Mga operasyon na may mga ugat. 1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito: 2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat: 3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang numero ng ugat sa kapangyarihang ito: 4. Kung taasan natin ang antas ng ugat sa n sabay taas sa n Ang kapangyarihan ay isang numero ng ugat, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago: 5. Kung babawasan natin ang antas ng ugat sa n sabay na ugat n ika degree mula sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago: Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang tiyak na numero na may isang hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent: Formula isang m:a n = a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit din sa m< n. Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3. Sa formula isang m:a n = a m - n naging patas sa m=n, kailangan mo ang pagkakaroon ng zero degree. Degree na may zero exponent. Ang kapangyarihan ng anumang hindi-zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa. Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa isang antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika na antas ng m ika kapangyarihan ng numerong ito a. 137. Gawain. Natagpuan mula sa karanasan na ang isang ingot ng pilak at tanso na tumitimbang ng 148 kg ay nawawalan ng 14 2/3 kg sa tubig. Tukuyin kung gaano karaming pilak at kung gaano karaming tanso ang nasa loob nito, kung alam na ang 21 kg ng pilak ay nawalan ng 2 kg sa tubig, at ang 9 kg ng tanso ay nawalan ng 1 kg. Ipagpalagay na ang ingot na ito ay naglalaman ng pilak X
kg, at tanso sa
kg. Kung gayon ang isang equation ay magiging: x + y
=148
. Upang makagawa ng isa pang equation, isaalang-alang natin na kung ang 21 kg ng pilak ay nawalan ng 2 kg ng timbang sa tubig, nangangahulugan ito na ang 1 kg ng pilak ay nawalan ng 2/21 kg sa tubig. Pagkatapos X
dapat mawala ang kg sa tubig 2/21 X
kg timbang. Katulad nito, kung ang 9 kg ng tanso ay nawalan ng 1 kg sa tubig, nangangahulugan ito na ang 1 kg ng tanso ay nawalan ng 1/9 kg; kaya naman, sa
Ang kilo ng tanso ay nawawalan ng 1/9 sa
kg. Kaya ang pangalawang equation ay magiging: 2/21 X
+ 1 / 9 sa
= 14 2 / 3 Kaya nakuha namin ang dalawang equation na may 2 hindi alam: x + y
=148
at 2
/ 21 X + 1 / 9 sa = 14 2 /
3
= 44 /
3
Ang pangalawang equation ay maaaring gawing simple sa pamamagitan ng pagpapalaya nito mula sa mga fraction. Upang gawin ito, binabawasan namin ang lahat ng mga fraction sa isang denominator: 6
/ 63 X + 7 / 63 sa = 924 /
63
Ngayon i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 63; nakakakuha tayo ng katumbas na equation: x + y
= 924
Mayroon na tayong dalawang equation: x + y
=148
at 6x + 7y
= 924
Maaari nating lutasin ang dalawang equation na ito sa maraming paraan. Halimbawa, tulad ng sumusunod: mula sa unang equation ay tinutukoy namin X
depende sa sa
(sa madaling salita, tukuyin X
bilang isang katangian ng sa
): x = 148 - y.
Dahil sa pangalawang equation ang mga titik X
at sa
ibig sabihin ang parehong mga numero tulad ng sa unang equation, pagkatapos ay maaari naming palitan sa pangalawang equation sa halip na X
pagkakaiba 148 - sa
. 6 (148 - y) + 7y
= 924
Lutasin natin ang equation na ito sa isang hindi alam: 888 - 6y + 7y \u003d 924; y \u003d 924 - 888 \u003d 36.
Pagkatapos x \u003d 148 - 36 \u003d 112.
Kaya, naglalaman ang ingot na ito 112
kg ng pilak at 36
kg ng tanso. 138. Normal na anyo ng isang equation ng unang degree na may dalawang hindi alam. Kunin ang halimbawang ito ng isang equation na may 2 hindi alam: 2 (2x + 3y - 5) = 5 / 8 (x + 3) + 3 / 4 (y - 4).
Upang gawing simple ang equation na ito, gagawa kami ng parehong serye ng mga pagbabago sa loob nito, na ipinahiwatig nang mas maaga para sa isang equation na may 1 hindi alam, ibig sabihin. 1) Palawakin ang mga bracket: 4x + 6y - 10 = 5 / 8 x + 15 / 8 + 3 / 4 y - 3
2) Alisin ang mga denominator sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng termino sa 8
: 32x + 48y - 80 = 5x + 15 + 6y - 24
3) Inilipat namin ang mga hindi kilalang termino sa isang bahagi ng equation, at ang mga kilala sa isa pa: 32x + 48y -5x - 6y = 15 - 24 + 80
4) Gumawa tayo ng pagbabawas ng mga katulad na termino: 27x + 42y = 71.
Kaya, pagkatapos ng mga pagbabagong ito, ang equation na ito ay lumalabas sa isang anyo kung saan mayroon lamang dalawang termino sa kaliwang bahagi ng equation: isa na may hindi kilalang X
(sa unang degree) at isa pa na may hindi alam sa
(sa unang antas), ang kanang bahagi ng equation ay binubuo lamang ng isang termino na hindi naglalaman ng mga hindi alam. Coefficients sa X
at sa
maaaring mayroong alinman sa parehong positibo (tulad ng sa halimbawang kinuha namin), o parehong negatibo (ang kasong ito, gayunpaman, ay maaaring bawasan sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga termino ng equation sa - 1), o ang isa ay positibo at ang isa ay negatibo; ang termino sa kanang bahagi ay maaaring alinman sa isang positibong numero (tulad ng sa kasalukuyang halimbawa), o negatibo at kahit na zero. Tinutukoy ang mga coefficient sa X
at sa
mga titik a
at b
at isang termino na hindi naglalaman ng mga hindi alam, kasama ang titik kasama
, sa pangkalahatan ay maaari nating katawanin ang equation na may 2 hindi alam ng 1st degree gaya ng sumusunod: palakol + ni = c.
Ang ganitong uri ng equation ay tinatawag na normal na anyo ng isang equation ng 1st degree na may 2 hindi alam. 139. Kawalang-katiyakan ng isang equation na may 2 hindi alam.
Ang isang equation na may 2 hindi alam ay may walang katapusang bilang ng mga ugat. Sa katunayan, kung para sa isa sa ilang hindi kilalang magtatalaga kami ng isang arbitrary na numero at papalitan ang numerong ito sa equation, pagkatapos ay makakakuha kami ng isang equation na may isa lamang na hindi alam; mula sa equation na ito ay mahahanap ng isa itong hindi kilala. Kaya, kung sa equation 3x-2y=-6
tatanggapin natin yan y = 2
, kung gayon ang equation ay magiging 3x - 4 = -6
mula sa kung saan namin matatagpuan: 3x = - 2
at x
= -
2
/
3
. Kaya kung y = 2
, pagkatapos x
= -
2
/
3
. Ngayon italaga sa sa
ilang ibang numero, halimbawa, y = 1
. Pagkatapos makuha namin 3x-2=-6
, 3x
= - 4
, X
= -1
1
/
3
. Kaya kung y = 1
, pagkatapos. X
= -1
1
/
3
. Kaya, makakahanap tayo ng maraming pares ng solusyon hangga't gusto natin, at samakatuwid ang equation ay magiging indeterminate. Maaari rin itong ipakita sa graphical na paraan. Mula sa equation: 3x-2y=-6
(1) tukuyin sa
bilang isang katangian ng X
: Ito ay kinakailangan upang magamit nang mabilis at tumpak mula sa isang ibinigay na equation upang matukoy ang isang hindi alam bilang isang function ng isa pang hindi alam. Kaya, upang matukoy mula sa aming equation sa
bilang isang katangian ng X
, kinakailangang ilipat sa isip ang terminong - 2y
sa kanan, at ang miyembro - 6
sa kaliwa, pagkatapos ay muling ayusin ang mga bahagi ng equation at hatiin ang mga ito sa pamamagitan ng 2
; ang resulta ng mga pagbabagong ito ay dapat na isulat nang direkta. Ang function na ito ay isang binomial ng 1st degree, at ang naturang binomial ay inilalarawan sa mga coordinate axes sa anyo ng isang tuwid na linya, na maaari nating buuin mula sa dalawang punto (seksyon 3 § 118), halimbawa. ganito: Ang mga coordinate ng bawat punto ng linyang ito ay nakakatugon sa equation (2) at, samakatuwid, ay nakakatugon din sa equation (1); at dahil may walang katapusang bilang ng mga puntos sa linya, ang equation (1) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. 140. Sistema ng mga equation. Nakaugalian na sabihin na maraming mga equation ang bumubuo ng isang sistema kung sa lahat ng mga equation na ito ang bawat isa sa mga titik x, y,
. . nangangahulugan ng parehong numero para sa lahat ng mga equation. Kung, halimbawa, dalawang equation: ay isinasaalang-alang sa kondisyon na ang sulat X
nangangahulugan ng parehong numero sa parehong mga equation, gayundin ang titik sa
, kung gayon ang mga naturang equation ay bumubuo ng isang sistema. Ito ay nangyayari kapag ang mga equation ay binubuo ng mga kondisyon ng parehong problema. Ipinapahiwatig namin ang tatlong paraan upang malutas ang isang sistema ng 2 equation ng 1st degree na may 2 hindi alam. 141. Paraan ng pagpapalit. Nagamit na natin ang pamamaraang ito1 noon, nang malutas natin ang problema ng isang ingot na pilak at tanso (). Kumuha tayo ng mas kumplikadong halimbawa ngayon: 8x - 5y = - 16; 10x + 3y = 17
(ang parehong mga equation ay nabawasan sa normal na anyo). Mula sa isang equation, halimbawa, mula sa una, tinutukoy namin ang isang hindi alam, halimbawa, X
, bilang isang function ng isa pang hindi alam: Dahil ang pangalawang equation ay dapat matugunan ang parehong mga halaga tulad ng una, maaari nating palitan ito sa halip na X
nahanap na expression, kung saan nakakuha kami ng isang equation na may isang hindi alam sa
: Lutasin natin ang equation na ito: Maaari naming matukoy mula sa isang equation sa
bilang isang katangian ng X
at palitan ang resultang expression sa
sa isa pang equation; pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang equation na may hindi alam X
. Ang pamamaraang ito ay lalong maginhawa kapag ang koepisyent para sa ilang hindi alam ay 1; pagkatapos ay pinakamahusay na tukuyin ang hindi alam na ito bilang isang function ng isa pang hindi alam (hindi na kailangang hatiin sa isang kadahilanan), at iba pa. Mula sa pangalawang equation nakita namin: y \u003d 22-4x.
Pagkatapos ang unang equation ay nagbibigay ng: 3x - 2 (22 - 4x) = 11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55.
x \u003d 55 / 11 \u003d 5; y = 22 - 4 5 = 2.
Panuntunan. Upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, kinakailangan upang matukoy ang isang hindi alam mula sa ilang equation bilang isang function ng isa pang hindi alam at palitan ang resultang expression sa isa pang equation; nagreresulta ito sa isang equation na may isang hindi alam. Nang malutas ito, nalaman nilang hindi ito kilala. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng nahanap na numero sa expression na hinango kanina para sa unang hindi alam, ang iba pang hindi alam ay matatagpuan din.
142. Paraan ng pagdaragdag o pagbabawas. Ipagpalagay muna natin na sa isang naibigay na sistema ng mga equation (dating binawasan sa normal na anyo) ang mga coefficient para sa ilang hindi alam, halimbawa, para sa sa
, ay magiging pareho. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang dalawang kaso: 1) ang mga palatandaan sa harap ng naturang mga coefficient ay iba at 2) ang mga palatandaan ay pareho. Isaalang-alang natin ang dalawang kasong ito nang magkatulad. Hayaan, halimbawa, dalawang sistema ang ibigay: Kung idadagdag natin ang termino sa pamamagitan ng termino ang mga equation ng unang sistema at ibawas ang termino sa pamamagitan ng termino ng mga equation ng pangalawang sistema, pagkatapos ay ang hindi kilalang y ay aalisin: saan: x=5 x=3
Ang pagpapalit sa isa sa mga equation na ito sa halip na X
ang numero na natagpuan para dito, nakita namin sa
: Kunin natin ngayon ang isang sistema kung saan ang mga coefficient ay iba, halimbawa. ganito: Maaari nating paunang i-equalize ang mga coefficient para sa isang hindi alam, halimbawa, para sa X
. Upang gawin ito, nakahanap kami ng maramihang (pinakamaganda sa lahat, ang pinakamaliit) ng mga coefficient 7 at 5 (ito ay magiging 35) at i-multiply ang magkabilang panig ng bawat equation sa naaangkop na karagdagang salik (tulad ng ginagawa kapag binabawasan ang mga fraction sa isang karaniwan. denominator): Pagkatapos nito, nananatili lamang ang pagdaragdag o pagbabawas ng mga binagong equation. Sa aming halimbawa, ang mga palatandaan sa harap ng mga coefficient X
iba-iba; kaya ang mga equation ay kailangang idagdag: Ngayon ang unang equation ay nagbibigay ng: 7x + 6 2 1 / 2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; x = 2.
Panuntunan. Upang malutas ang isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas, kailangan mo munang ipantay ang mga coefficient sa parehong mga equation para sa isang hindi alam, at pagkatapos ay idagdag ang parehong mga equation kung ang mga palatandaan sa harap ng mga coefficient na ito ay magkaiba, o ibawas ang mga equation kung ang mga palatandaan ay pareho.
143. Graphic na solusyon. Hayaang ibigay ang sistema: 8x - 5y \u003d - 16; 10x + 3y = 17.
Mula sa bawat equation, tinutukoy namin sa
bilang isang katangian ng X
: Ang mga graph ng mga function na ito ay dapat na mga tuwid na linya. Bumuo tayo sa isang pagguhit sa bawat isa sa kanila sa pamamagitan ng dalawang puntos, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod: mula sa equation...... y = 1 3 / 5 x + 3 1 /
5
: mula sa equation...... y \u003d 5 2 / 3 - 3 1 / 3 x:
Ang pagguhit ay nagpapakita na ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang punto na ang abscissa ay katumbas ng 1
/
2
, at ang ordinate 4
. Ang mga halagang ito X
at sa
, nagbibigay-kasiyahan sa parehong mga equation, at magiging mga solusyon ng sistemang ito. Pangungusap . 1) Kung nangyari na ang mga linya na nagpapahayag ng mga equation na ito ay naging parallel at, samakatuwid, walang punto ng kanilang intersection, kung gayon ito ay nangangahulugan na ang mga equation ay walang mga ugat. 2) Minsan ay maaaring mangyari na ang 2 linya ay sumanib sa isa; pagkatapos ay ang mga coordinate ng anumang punto ng linyang ito ay nakakatugon sa mga ibinigay na equation, at, samakatuwid, ang sistema ay hindi tiyak. 3) Sa dulo ng ika-2 bahagi ng aklat na ito, ang mga pangkalahatang pormula para sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam sa unang antas ay ibinibigay (§ 396 et seq.). Ikalawang Kabanata. Sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.
144. Normal na anyo ng isang equation ng unang degree na may tatlong hindi alam. Kung sa equation ng 1st degree na may 3 hindi alam x, y
at z
ginawa ang parehong mga pagbabagong-anyo na dati naming ipinahiwatig para sa isang equation na may 1 at 2 na hindi alam, pagkatapos ay dadalhin namin ang equation sa ganoong anyo (tinatawag na normal), kung saan mayroon lamang tatlong termino sa kaliwang bahagi ng equation: ang isa ay may X
, isa pang kasama sa
at pangatlo kasama ang z
, at sa kanang bahagi ay magkakaroon ng isang termino na hindi naglalaman ng mga hindi alam. Halimbawa, ito ang equation: 5x - 3y - 4z = -12.
Ang pangkalahatang hitsura nito ay ang mga sumusunod: ax + by + cz = d,
saan a, b, c
at d
ilang mga kamag-anak na numero. 145. Kawalang-katiyakan ng dalawa at isang equation na may tatlong hindi alam. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang sistema ng 2 equation na may 3 hindi alam: 5x-3y + z = 2; 2x + y-z = 6.
Magtalaga ng isang hindi alam, hal. z
, ilang arbitrary na numero, ilagay ang 1, at palitan ang numerong ito sa lugar z
: Kaya nakuha namin ang isang sistema ng 2 equation na may 2 hindi alam. Ang paglutas nito sa ilang paraan, makikita natin: x=2, y=3
; samakatuwid, ang sistemang ito na may 3 hindi alam ay nasiyahan para sa x = 2
, y = 3
at z=1
. Bigyan natin ngayon ang hindi kilalang z ng ibang halaga, halimbawa. z = 0
, at palitan ang halagang ito sa mga equation na ito: 5x-3y = 2; 2x + y = 6.
Muli kaming nakakuha ng isang sistema ng 2 equation na may 2 hindi alam. Ang paglutas nito sa ilang paraan, makikita natin: x
= 20
/
11
= 1
9
/
11
y
= 2
4
/
11
Nangangahulugan ito na ang sistemang ito ay nasiyahan kapag x
= 1
9
/
11
y
= 2
4
/
11
at z = 0
. Paghirang para sa z
ilang iba pang (ikatlong) halaga, muli tayong nakakakuha ng isang sistema ng 2 equation na may 2 hindi alam, kung saan nakakahanap tayo ng mga bagong halaga para sa X
at sa
. Dahil para sa z
maaari tayong magtalaga ng maraming iba't ibang numero hangga't gusto natin, pagkatapos ay para sa X
at sa
makakakuha tayo ng anumang bilang ng mga halaga(naaayon sa mga kinuhang halaga z
). Samakatuwid, ang 2 equation na may 3 hindi alam ay umamin ng walang katapusang bilang ng mga solusyon; sa madaling salita, ang ganitong sistema ay walang katiyakan. Magkakaroon ng mas malaking kawalan ng katiyakan kung mayroon lamang 1 equation na may 3 hindi alam. Pagkatapos ay magiging posible na magtalaga ng mga arbitrary na numero para sa ilang 2 hindi alam; ang pangatlong hindi alam ay matatagpuan mula sa equation na ito kung papalitan natin dito ang mga halaga na kinuha nang arbitraryo para sa dalawang hindi alam. 146. Sistema ng 3 equation na may 3 hindi alam. Upang makahanap ng mga tiyak na halaga ng numero para sa tatlong hindi alam x, y
at z
, kinakailangan na magbigay ng isang sistema ng 3 equation. Ang ganitong sistema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit, gayundin ng paraan ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga equation. Ipapakita namin ang aplikasyon ng mga pamamaraang ito sa sumusunod na halimbawa (bawat equation ay dati nang binawasan sa normal na anyo): 147. Paraan ng pagpapalit. Mula sa ilang equation, halimbawa, mula sa una, tinutukoy namin ang isang hindi alam, halimbawa, X,
bilang isang function ng iba pang dalawang hindi alam: Dahil sa lahat ng equation X
ay nangangahulugan ng parehong numero, pagkatapos ay maaari naming palitan ang natagpuang expression sa lugar X
sa iba pang mga equation: Kaya nakarating kami sa isang sistema ng 2 equation na may 2 hindi alam sa
at z
. Ang pagkakaroon ng paglutas ng sistemang ito sa pamamagitan ng alinman sa mga pamamaraan na ipinahiwatig nang mas maaga, mahahanap natin ang mga numerical na halaga para sa sa
at G
. Sa aming halimbawa, ito ang magiging mga halaga: y=3, z=2
; pinapalitan ang mga numerong ito sa ekspresyong hinango namin X
, hanapin natin itong hindi kilala: Kaya, ang iminungkahing sistema ay may solusyon x=1, y=3, z=2
(na maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pag-verify). 148. Paraan ng pagdaragdag o pagbabawas. Sa 3 ibinigay na equation, kumukuha kami ng dalawa, halimbawa. 1st at 2nd, at, na napantayan ang mga coefficient sa kanila bago ang isang hindi kilala, halimbawa, bago z
, ibinubukod namin mula sa kanila ang hindi alam na ito sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag o pagbabawas; mula dito makakakuha tayo ng isang equation na may 2 hindi alam X
at sa
. Pagkatapos, kumuha tayo ng ilang iba pang dalawang equation mula sa 3 data, halimbawa. Ika-1 at ika-3 (o ika-2 at ika-3), at sa parehong paraan ay hindi namin kasama sa kanila ang parehong hindi alam, i.e. z
; mula dito nakakakuha tayo ng isa pang equation X
at sa
: Malutas namin ang nagresultang dalawang equation: x=1, y=3
. Ipinasok namin ang mga numerong ito sa isa sa tatlong ibinigay na mga equation, halimbawa, sa una: 3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z=2.
Magkomento. Sa parehong dalawang paraan, maaari nating bawasan ang isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam sa isang sistema ng 3 equation na may 3 hindi alam (at ang sistemang ito - sa isang sistema ng 2 equation na may 2 hindi alam, atbp.). Pangkalahatang sistema m
mga equation na may m
hindi alam na maaari naming dalhin sa system m
- 1
mga equation na may m
- 1
hindi alam (at ang sistemang ito sa system m
-
2
mga equation na may m
- 2
hindi kilala, atbp.). Ikatlong Kabanata. Ang ilang mga espesyal na kaso ng mga sistema ng mga equation.
149. Ang kaso kapag hindi lahat ng hindi alam ay kasama sa bawat isa sa mga ibinigay na equation; hal: Sa kasong ito, mas mabilis na nareresolba ang system kaysa karaniwan, dahil ang ilang mga hindi alam ay naalis na sa ilang mga equation. Kinakailangan lamang na malaman kung aling mga hindi alam at mula sa aling mga equation ang dapat na ibukod upang maabot ang isang equation na may isang hindi alam sa lalong madaling panahon. Sa aming halimbawa, hindi kasama z
mula sa 1st at 3rd equation at v
mula sa 2nd at 1st, nakakakuha tayo ng 2 equation na may X
at sa
: Ang paglutas ng mga equation na ito, makikita natin: x = 0, y = 1/3.
Ngayon ay ilalagay natin ang mga numerong ito sa 2nd at 3rd equation; pagkatapos makuha namin: v
= 3 / 2 ; z
= 16 / 9
= 1 7 / 9
150. Ang kaso kapag ang hindi alam ay pumasok sa anyo ng mga fraction: 1/x x" = 2, y" = 1 / 2, z" = 5;
1/x=2, 1/y=1/2, 1/z=5
x = 1 / 2 , y = 2 , z = 1 / 5 ;
151. Ang kaso kapag ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang lahat ng mga equation na ito. Ipagpalagay na mayroon tayo, halimbawa, ang sistema: Ang pagdaragdag ng lahat ng tatlong equation, nakita namin: Ang pagbabawas ng bawat isa sa data mula sa huling equation, nakukuha natin: ___________________
Pansin! Ano exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga. Nandyan ka lang pala mga halimbawa ng exponential equation: 3 x 2 x = 8 x + 3 Tandaan! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. AT mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga expression na may x. Kung biglang lumitaw ang isang x sa equation sa isang lugar maliban sa indicator, halimbawa: ito ay magiging isang mixed type equation. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin solusyon ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo. Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging malinaw na nalutas. Ngunit may ilang mga uri ng exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating titingnan. Magsimula tayo sa isang bagay na napakasimple. Halimbawa: Kahit na walang anumang teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang x value rolls. At ngayon tingnan natin ang solusyon ng nakakalito na exponential equation na ito: Ano'ng nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga ilalim (triples). Ganap na itinapon. At, kung ano ang mangyaring, pindutin ang marka! Sa katunayan, kung sa exponential equation sa kaliwa at sa kanan ay pareho mga numero sa anumang antas, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at pantay na mga exponent. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Maganda naman diba?) Gayunpaman, tandaan natin ang balintuna: maaari mong alisin ang mga base lamang kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation: 2 x +2 x + 1 = 2 3 , o Hindi mo maalis ang mga doble! Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation. "Narito ang mga oras na iyon!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng ganoong primitive sa control at exams!?" Pilit pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan pupunta kapag nilulutas ang mga nakalilitong halimbawa. Kinakailangang isaisip ito, kapag ang parehong base number ay nasa kaliwa - sa kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Actually, ito ang classics ng mathematics. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binago namin ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga patakaran ng matematika, siyempre. Isaalang-alang ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang dalhin ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation. Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may kapangyarihan. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana. Sa mga aksyon na may mga antas, dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at talino sa paglikha. Kailangan ba natin ng parehong base number? Kaya't hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa isang tahasang o naka-encrypt na form. Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay? Bigyan tayo ng isang halimbawa: 2 2x - 8 x+1 = 0 Unang tingin sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para panghinaan ng loob. Oras na para tandaan iyon Ang dalawa at walo ay magkakamag-anak sa degree.) Posibleng isulat: 8 x+1 = (2 3) x+1 Kung aalalahanin natin ang formula mula sa mga aksyon na may kapangyarihan: (a n) m = a nm , sa pangkalahatan ito ay mahusay na gumagana: 8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1) Ang orihinal na halimbawa ay ganito ang hitsura: 2 2x - 2 3(x+1) = 0 Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na pagkilos ng matematika!), nakukuha namin: 2 2x \u003d 2 3 (x + 1) Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base: Malutas namin ang halimaw na ito at makuha Ito ang tamang sagot. Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo, ang naka-encrypt na deuce. Ang diskarteng ito (pag-encode ng mga karaniwang base sa ilalim ng iba't ibang numero) ay isang napakasikat na trick sa mga exponential equation! Oo, kahit sa logarithms. Dapat na makilala ng isa ang kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation. Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. I-multiply, kahit sa isang piraso ng papel, at iyon lang. Halimbawa, lahat ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. 243 ay lalabas kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na kinakailangan na huwag itaas sa isang kapangyarihan, ngunit kabaligtaran ... anong numero hanggang saan nagtatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito. Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, oo ... Magsasanay ba tayo? Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero: 2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024. Mga sagot (sa gulo, siyempre!): 5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 . Kung titingnang mabuti, makikita mo ang isang kakaibang katotohanan. Mas maraming sagot kaysa mga tanong! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6 , 4 3 , 8 2 ay 64 lahat. Ipagpalagay natin na napagtanto mo ang impormasyon tungkol sa kakilala sa mga numero.) Hayaan mong ipaalala ko rin sa iyo na para sa paglutas ng mga exponential equation, inilalapat namin ang kabuuan stock ng kaalaman sa matematika. Kabilang ang mula sa lower-middle classes. Hindi ka naman dumiretso ng high school diba? Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello sa grade 7!). Tingnan natin ang isang halimbawa: 3 2x+4 -11 9 x = 210 At muli, ang unang hitsura - sa bakuran! Ang mga base ng mga degree ay iba ... Tatlo at siyam. At gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito, ang pagnanais ay lubos na magagawa!) Dahil: 9 x = (3 2) x = 3 2x Ayon sa parehong mga patakaran para sa mga aksyon na may mga degree: 3 2x+4 = 3 2x 3 4 Iyan ay mahusay, maaari mong isulat: 3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210 Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. Kaya, ano ang susunod!? Hindi maaaring itapon ang tatlo ... Dead end? Hindi talaga. Pag-alala sa pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika: Kung hindi mo alam ang gagawin, gawin mo ang iyong makakaya!
Tingnan mo, nabuo ang lahat). Ano ang nasa exponential equation na ito pwede gawin? Oo, ang kaliwang bahagi ay direktang humihingi ng mga panaklong! Ang karaniwang kadahilanan ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin: 3 2x (3 4 - 11) = 210 3 4 - 11 = 81 - 11 = 70 Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay! Naaalala namin na upang maalis ang mga base, kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay bumabagabag sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin: Op-pa! Naging maayos ang lahat! Ito ang huling sagot. Nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong mga batayan ay nakuha, ngunit ang kanilang pagpuksa ay hindi. Nangyayari ito sa mga exponential equation ng ibang uri. Kunin natin ang ganitong uri. Lutasin natin ang equation: 4 x - 3 2 x +2 = 0 Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa base. Sa deuce. 4 x = (2 2) x = 2 2x Nakukuha namin ang equation: 2 2x - 3 2 x +2 = 0 At dito tayo mabibitin. Ang mga nakaraang trick ay hindi gagana, kahit paano mo ito iikot. Kakailanganin nating kumuha mula sa arsenal ng isa pang makapangyarihan at maraming nalalaman na paraan. Ang tawag dito variable na pagpapalit. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso, 2 x), nagsusulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa, t). Ang gayong tila walang kabuluhang kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan! Kaya hayaan Pagkatapos ay 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2 Pinapalitan namin sa aming equation ang lahat ng kapangyarihan ng x ng t: Aba, madaling araw na?) Hindi mo pa ba nakalimutan ang mga quadratic equation? Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha namin: Dito, ang pangunahing bagay ay hindi huminto, tulad ng nangyayari ... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Bumalik kami sa Xs, i.e. paggawa ng kapalit. Una para sa t 1: Yan ay, Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa, mula sa t 2: Um... Kaliwa 2 x, Kanan 1... Isang sagabal? Oo, hindi naman! Sapat na tandaan (mula sa mga aksyon na may mga antas, oo ...) na ang pagkakaisa ay anuman numero hanggang sero. Anuman. Anuman ang kailangan mo, ilalagay namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin: Ngayon na lang. May 2 ugat: Ito ang sagot. Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo, minsan nakakakuha ng ilang awkward na expression. Uri: Mula sa pito, ang isang deuce sa pamamagitan ng isang simpleng antas ay hindi gumagana. Hindi sila kamag-anak ... Paano ako narito? Maaaring may nalilito ... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng matipid at isulat ng mahigpit na kamay ang ganap na tamang sagot: Maaaring walang ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa pagsusulit. Mayroong isang tiyak na numero na kinakailangan. Ngunit sa mga gawain na "C" - madali. Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang pangunahing isa. Mga Praktikal na Tip: 1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran degrees. Tingnan natin kung hindi nila magawa pareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may kapangyarihan. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding gawing degree! 2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa anyo kapag ang kaliwa at kanan ay pareho mga numero sa anumang antas. Ginagamit namin mga aksyon na may kapangyarihan at factorization. Ano ang mabibilang sa mga numero - binibilang namin. 3. Kung hindi gumana ang pangalawang payo, susubukan naming ilapat ang variable substitution. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa isang parisukat. 4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga antas ng ilang mga numero "sa pamamagitan ng paningin". Gaya ng nakagawian, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang mag-solve ng kaunti.) Sa iyong sarili. Mula sa simple hanggang sa kumplikado. Lutasin ang mga exponential equation: Mas mahirap: 2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48 9 x - 8 3 x = 9 2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0 Maghanap ng produkto ng mga ugat: 2 3-x + 2 x = 9 Nangyari? Kaya, pagkatapos ay ang pinaka-kumplikadong halimbawa (ito ay nalutas, gayunpaman, sa isip ...): 7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3 Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo paghila sa tumaas na kahirapan. Ipapahiwatig ko na sa halimbawang ito, ang katalinuhan at ang pinaka-unibersal na panuntunan para sa paglutas ng lahat ng mga gawain sa matematika ay nakakatipid.) 2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x Ang isang halimbawa ay mas simple, para sa pagpapahinga): 9 2 x - 4 3 x = 0 At para sa panghimagas. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation: x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0 Oo Oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. At kung ano ang dapat isaalang-alang sa kanila, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan ang talino sa paglikha ... At oo, ang ikapitong baitang ay makakatulong sa iyo (ito ay isang pahiwatig!). Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon): isa; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0. Ang lahat ba ay matagumpay? ayos lang. May problema? Walang problema! Sa Espesyal na Seksyon 555, lahat ng mga exponential equation na ito ay niresolba nang may mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lamang sa mga ito.) Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito, nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan ... Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.) Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!) maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.Paglutas ng mga linear na equation na may modulus
Paglutas ng mga quadratic equation na may parameter
Solusyon ng mga exponential equation. Mga halimbawa.
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")Solusyon ng pinakasimpleng exponential equation.
Solusyon ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.
Pagbabago ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.
Kung gusto mo ang site na ito...
