ika-7 baitang

“Mga pagkakakilanlan. Pagbabago ng pagkakakilanlan ng mga ekspresyon”.

Abdulkerimova Khadizhat Makhmudovna,

guro sa matematika

Mga Layunin ng Aralin

upang kilalanin at paunang pagsama-samahin ang mga konsepto ng "magkaparehong pantay na mga ekspresyon", "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago";

upang isaalang-alang ang mga paraan upang patunayan ang mga pagkakakilanlan, upang mag-ambag sa pagbuo ng mga kasanayan upang patunayan ang mga pagkakakilanlan;

upang suriin ang asimilasyon ng mga mag-aaral sa materyal na sakop, upang mabuo ang mga kasanayan sa paglalapat ng pinag-aralan para sa persepsyon ng bago.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal

Kagamitan : board, textbook, workbook.

P lan aralin

Oras ng pag-aayos

Sinusuri ang takdang-aralin

Pag-update ng kaalaman

Ang pag-aaral ng bagong materyal (Panimula at pangunahing pagsasama-sama ng mga konsepto ng "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago").

Mga pagsasanay sa pagsasanay (Pagbuo ng mga konsepto ng "pagkakakilanlan", "magkaparehong pagbabago").

Pagninilay ng aralin (Ibuod ang teoretikal na impormasyong nakuha sa aralin).

Mensahe sa takdang-aralin (Ipaliwanag ang nilalaman ng takdang-aralin)

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

II . Sinusuri ang takdang-aralin. (harap)

III . Pag-update ng kaalaman.

Magbigay ng halimbawa ng isang numeric na expression at isang expression na may mga variable

Ihambing ang mga halaga ng mga expression na x+3 at 3x sa x=-4; 1.5; 5

Anong numero ang hindi maaaring hatiin? (0)

Resulta ng pagpaparami? (Trabaho)

Pinakamalaking dalawang digit na numero? (99)

Ano ang produkto mula -200 hanggang 200? (0)

Ang resulta ng pagbabawas. (Pagkakaiba)

Ilang gramo sa isang kilo? (1000)

Commutative na pag-aari ng karagdagan. (Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa muling pagsasaayos ng mga lugar ng mga termino)

Commutative property ng multiplikasyon. (Ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutasyon ng mga lugar ng mga kadahilanan)

Kaakibat na ari-arian ng karagdagan. (Upang magdagdag ng numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero)

Kaakibat na ari-arian ng multiplikasyon. (upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo)

pamamahagi ng ari-arian. (Upang i-multiply ang isang numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong i-multiply ang numerong ito sa bawat termino at idagdag ang mga resulta)

IV. Paliwanag ng bagong paksa:

Hanapin ang halaga ng mga expression sa x=5 at y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Nakuha namin ang parehong resulta. Ito ay sumusunod mula sa distributive property na, sa pangkalahatan, para sa anumang mga halaga ng mga variable, ang mga halaga ng mga expression na 3(x + y) at 3x + 3y ay pantay.

Isaalang-alang ngayon ang mga expression na 2x + y at 2xy. Para sa x=1 at y=2 kumukuha sila ng pantay na halaga:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Gayunpaman, maaari mong tukuyin ang mga halaga ng x at y na ang mga halaga ng mga expression na ito ay hindi pantay. Halimbawa, kung x=3, y=4, kung gayon

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Kahulugan: Dalawang expression na ang mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga variable ay sinasabing magkaparehong pantay.

Ang mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay magkapareho, ngunit ang mga expression na 2x+y at 2xy ay hindi magkapareho.

Ang pagkakapantay-pantay na 3(x + y) at 3x + 3y ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y. Ang ganitong mga pagkakapantay-pantay ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Kahulugan: Ang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag na pagkakakilanlan.

Itinuturing ding mga pagkakakilanlan ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Nagkakilala na kami ng mga pagkakakilanlan. Ang mga pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga aksyon sa mga numero (Magkokomento ang mga mag-aaral sa bawat ari-arian sa pamamagitan ng pagbigkas nito).

a + b = b + a ab=ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Maaaring ibigay ang iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan (Nagkomento ang mga mag-aaral sa bawat ari-arian, binibigkas ito).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

isang * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Kahulugan: Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon.

Guro:

Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression ay malawakang ginagamit sa pagkalkula ng mga halaga ng mga expression at paglutas ng iba pang mga problema. Kinailangan mo nang magsagawa ng ilang magkatulad na pagbabago, halimbawa, pagbabawas ng mga katulad na termino, pagpapalawak ng mga bracket. Alalahanin ang mga patakaran para sa mga pagbabagong ito:

Mga mag-aaral:

Upang magdala ng mga katulad na termino, kinakailangang idagdag ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik;

Kung may plus sign sa harap ng mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket, na pinapanatili ang sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket;

Kung mayroong minus sign bago ang mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket.

Guro:

Halimbawa 1. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Anong panuntunan ang ginamit natin?

Mag-aaral:

Ginamit namin ang panuntunan ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Ang pagbabagong ito ay batay sa distributive property ng multiplication.

Guro:

Halimbawa 2. Palawakin ang mga bracket sa expression na 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Inilapat namin ang panuntunan ng pagbubukas ng mga bracket na pinangungunahan ng isang plus sign.

Mag-aaral:

Ang isinagawang pagbabago ay batay sa nauugnay na pag-aari ng karagdagan.

Guro:

Halimbawa 3. Buksan natin ang mga bracket sa expression na a - (4b- c) =a – 4 b + c

Ginamit namin ang panuntunan ng pagbubukas ng mga bracket, na pinangungunahan ng isang minus sign.

Saang pag-aari ang pagbabatayan ng pagbabagong ito?

Mag-aaral:

Ang ginawang pagbabago ay nakabatay sa distributive property ng multiplication at sa associative property ng karagdagan.

V . Gumagawa ng mga pagsasanay.

№85 Bibigkas

№86 Bibigkas

№88 Bibigkas

№93

№94

№90av

№96

№97

VI . Pagninilay ng aralin .

Nagtatanong ang guro, at sinasagot ito ng mga mag-aaral ayon sa gusto nila.

Anong dalawang expression ang tinatawag na magkaparehong pantay? Magbigay ng halimbawa.

Anong pagkakapantay-pantay ang tinatawag na pagkakakilanlan? Magbigay ng halimbawa.

Anong magkaparehong pagbabago ang alam mo?

VII . Takdang aralin . p.5, No. 95, 98,100 (a, c)

Nilalaman ng aralin

Pagtaas ng binomial sa isang kapangyarihan

Ang binomial ay isang polynomial na may dalawang termino. Sa nakaraang mga aralin, itinaas namin ang binomial sa pangalawa at pangatlong kapangyarihan, sa gayon ay nakuha ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ngunit ang binomial ay maaaring itaas hindi lamang sa pangalawa at pangatlong kapangyarihan, kundi pati na rin sa ikaapat, ikalima, o mas mataas na kapangyarihan.

Halimbawa, bumuo tayo ng binomial a+b sa ikaapat na antas:

(a+b) 4

Kinakatawan namin ang expression na ito bilang isang produkto ng isang binomial a+b at ang kubo ng parehong binomial

(a+b)(a+b) 3

Salik ( a+b) 3 ay maaaring mapalitan ng kanang bahagi ng cube formula ng kabuuan ng dalawang expression. Pagkatapos makuha namin:

(a+b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)

At ito ang karaniwang multiplikasyon ng mga polynomial. Isagawa natin ito:

Iyon ay, kapag gumagawa ng isang binomial a+b polynomial hanggang sa ikaapat na kapangyarihan a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Konstruksyon ng isang binomial a+b sa ikaapat na kapangyarihan, maaari mo ring gawin ito: kumakatawan sa expression ( a+b) 4 bilang produkto ng mga kapangyarihan (a+b) 2 (a+b) 2

(a+b) 2 (a+b) 2

Ngunit ang ekspresyon ( a+b) 2 ay katumbas ng a 2 + 2ab + b 2 . Palitan natin sa expression (a+b) 2 (a+b) 2 polynomial sum squares a 2 + 2ab + b 2

(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)

At ito na naman ang karaniwang multiplikasyon ng polynomials. Isagawa natin ito. Makukuha namin ang parehong resulta tulad ng dati:

Pagtaas ng trinomial sa isang kapangyarihan

Ang trinomial ay isang polynomial na may tatlong termino. Halimbawa, ang expression a+b+c ay isang trinomial.

Minsan ang problema ay maaaring lumitaw upang itaas ang isang trinomial sa isang kapangyarihan. Halimbawa, parisukat natin ang trinomial a+b+c

(a+b+c) 2

Ang dalawang termino sa loob ng panaklong ay maaaring maging panaklong. Halimbawa, tinatapos namin ang kabuuan a+ b sa mga bracket:

((a+b) + c) 2

Sa kasong ito, ang halaga a+b ituturing na isang miyembro. Pagkatapos ay lumalabas na hindi trinomial, ngunit binomial ang pinag-squaring namin. Sum a+b ang magiging unang miyembro, at ang miyembro c- ang pangalawang miyembro. At alam na natin kung paano i-square ang isang binomial. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang expression:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ilapat natin ang formula na ito sa ating halimbawa:

Sa parehong paraan, maaari mong parisukat ang isang polynomial na binubuo ng apat o higit pang mga termino. Halimbawa, parisukat natin ang polynomial a+b+c+d

(a+b+c+d) 2

Kinakatawan namin ang polynomial bilang kabuuan ng dalawang expression: a+b at c + d. Upang gawin ito, ilakip ang mga ito sa mga bracket:

((a+b) + (c + d)) 2

Ngayon ginagamit namin ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang expression:

Pagpili ng isang buong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial

Ang isa pang magkaparehong pagbabagong maaaring maging kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga problema ay ang pagpili ng isang buong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial.

Ang isang square trinomial ay isang trinomial ng pangalawang degree. Halimbawa, ang mga sumusunod na trinomyal ay parisukat:

Ang ideya ng pagkuha ng buong parisukat mula sa gayong mga trinomyal ay upang kumatawan sa orihinal na parisukat na trinomyal bilang isang expression ( a+b) 2 + c, saan ( a+b) 2 buong parisukat, at c- ilang numeric o literal na expression.

Halimbawa, pipiliin namin ang buong parisukat mula sa trinomial 4x 2 + 16x+ 19 .

Una kailangan mong bumuo ng isang pagpapahayag ng form a 2 + 2ab+ b 2 . Itatayo natin ito mula sa isang trinomial 4x 2 + 16x+ 19 . Una, magpasya tayo kung sinong mga miyembro ang gaganap sa papel ng mga variable a at b

Ang papel ng variable a maglalaro si titi 2 x, mula noong unang termino ng trinomial 4x 2 + 16x+ 19 , ibig sabihin 4 x 2 ang makukuha kung 2 x parisukat:

(2x) 2 = 4x 2

Kaya ang variable a katumbas ng 2 x

a = 2x

Ngayon ay bumalik tayo sa orihinal na trinomial at agad na binibigyang pansin ang ekspresyong 16 x. Ang expression na ito ay dalawang beses ang produkto ng unang expression a(sa aming kaso ito ay 2 x) at ang pangalawa ngunit hindi kilalang ekspresyon b. Pansamantalang maglagay ng tandang pananong sa lugar nito:

2×2 x × ? = 16x

Tinitingnang mabuti ang 2 × 2 na expression x × ? = 16x , nagiging intuitively malinaw na ang miyembro b sa sitwasyong ito ay ang numero 4, dahil ang expression na 2 × 2 x katumbas ng 4 x, at upang makakuha ng 16 x kailangang magparami 4 x sa pamamagitan ng 4.

2×2 x × 4 = 16x

Mula dito napagpasyahan namin na ang variable b katumbas ng 4

b = 4

Kaya ang aming buong parisukat ay magiging expression (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

Ngayon ay handa na tayong kunin ang buong parisukat mula sa trinomial 4x 2 + 16x+ 19 .

Kaya, bumalik sa orihinal na trinomial 4x 2 + 16x+ 19 at subukang maingat na i-embed ang buong parisukat na nakuha namin dito (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

4x 2 + 16x+ 19 =

Sa halip na 4 x 2 isulat (2 x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x×4

4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2

At sa ngayon, muli naming isinusulat ang miyembro 19 bilang ito:

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19

Ngayon bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang polynomial na nakuha natin (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 hindi kapareho ng orihinal na trinomial 4x 2 + 16x+ 19 . Maaari mong i-verify ito sa pamamagitan ng pagdadala ng polynomial (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 sa karaniwang view:

(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19

Nakikita natin na nakakakuha tayo ng polynomial 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , ngunit ito ay dapat na lumabas 4x 2 + 16x+ 19 . Ito ay dahil sa ang katunayan na ang terminong 4 2 ay artipisyal na ipinakilala sa orihinal na trinomial upang ayusin ang isang kumpletong parisukat mula sa trinomial. 4x 2 + 16x+ 19 .

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19

Ngayon ang expression (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 maaaring i-collapse, iyon ay, nakasulat sa form ( a+b) 2 . Sa aming kaso, nakukuha namin ang expression (2 x+ 4) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19

Ang natitirang mga termino −4 2 at 19 ay maaaring idagdag. −4 2 ay −16 , kaya −16 + 19 = 3

4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3

Ibig sabihin, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3

Halimbawa 2. Pumili ng isang buong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial x 2 + 2x+ 2

Una, bumuo kami ng isang pagpapahayag ng form a 2 + 2 ab+b 2. Ang papel ng variable a sa kasong ito x naglalaro dahil x 2 = x 2 .

Ang susunod na termino ng orihinal na trinomial 2 x isulat muli sa anyo ng isang dobleng produkto ng unang expression (ito ang aming x) at ang pangalawang ekspresyon b(ito ay magiging 1).

2× x× 1 = 2 x

Kung ang b= 1 , kung gayon ang expression ay magiging isang perpektong parisukat x 2 + 2x+ 1 2 .

Ngayon, bumalik tayo sa orihinal na square trinomial at i-embed ang isang buong parisukat dito x 2 + 2x+ 1 2

x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1

Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang miyembro b(sa halimbawang ito, ito ay 1) ay agad na ibinawas pagkatapos ng karagdagan upang mapanatili ang halaga ng orihinal na trinomial.

Isaalang-alang ang sumusunod na numeric na expression:

9 + 6 + 2

Ang halaga ng expression na ito ay 17

9 + 6 + 2 = 17

Subukan nating pumili ng isang buong parisukat sa numerical expression na ito. Upang gawin ito, gumawa muna kami ng isang expression ng form a 2 + 2ab+ b 2 . Ang papel ng variable a sa kasong ito, ang numero 3 ay gumaganap, dahil ang unang termino ng expression na 9 + 6 + 2, katulad ng 9, ay maaaring katawanin bilang 3 2 .

Kinakatawan namin ang pangalawang termino 6 bilang isang dobleng produkto ng unang termino 3 at ang pangalawang 1

2 x 3 x 1 = 6

Iyon ay isang variable b ay magiging katumbas ng isa. Pagkatapos ang expression na 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 ay magiging isang perpektong parisukat. Ipatupad natin ito sa orihinal na expression:

− 1 2 + 2

I-collapse namin ang buong parisukat, at idagdag ang mga termino −1 2 at 2:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Ang resulta ay (3 + 1) 2 + 2 , na 17 pa rin

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

Sabihin nating mayroon tayong parisukat at dalawang parihaba. Isang parisukat na may gilid na 3 cm, isang parihaba na may mga gilid na 2 cm at 3 cm, at isang parihaba na may mga gilid na 1 cm at 2 cm

Kalkulahin ang lugar ng bawat figure. Ang lugar ng parisukat ay magiging 3 2 = 9 cm 2, ang lugar ng pink na parihaba ay magiging 2 × 3 = 6 cm 2, ang lugar ng lilac ay magiging 1 × 2 = 2 cm 2

Isulat ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na ito:

9 + 6 + 2

Ang expression na ito ay maaaring maunawaan bilang ang unyon ng isang parisukat at dalawang parihaba sa isang solong figure:

Pagkatapos ay nakuha ang isang figure, ang lugar na 17 cm 2. Sa katunayan, ang ipinakita na pigura ay naglalaman ng 17 mga parisukat na may gilid na 1 cm.

Subukan nating bumuo ng isang parisukat mula sa umiiral na figure. At ang pinakamalaking posibleng parisukat. Upang gawin ito, gagamitin namin ang mga bahagi mula sa pink at lilac na rektanggulo.

Upang mabuo ang pinakamalaking posibleng parisukat mula sa umiiral na hugis, maaari mong iwanang hindi nagbabago ang dilaw na parisukat, at ikabit ang kalahati ng pink na parihaba sa ilalim ng dilaw na parisukat:

Nakikita namin na kulang pa ang isang square centimeter bago ang pagbuo ng isang kumpletong parisukat. Maaari naming kunin ito mula sa lilac na parihaba. Kaya, kumuha tayo ng isang parisukat mula sa lilac na rektanggulo at ilakip ito sa nabuong malaking parisukat:

Ngayon tingnan natin nang mas malapit kung ano ang narating natin. Lalo na, sa dilaw na bahagi ng figure at ang pink na bahagi, na mahalagang nadagdagan ang nakaraang dilaw na parisukat. Hindi ba ito nangangahulugan na mayroong isang gilid ng parisukat na katumbas ng 3 cm, at ang panig na ito ay nadagdagan ng 1 cm, na sa huli ay humantong sa pagtaas ng lugar?

(3 + 1) 2

Ang expression (3 + 1) 2 ay 16 dahil 3 + 1 = 4 at 4 2 = 16 . Ang parehong resulta ay maaaring makuha gamit ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang expression:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Sa katunayan, ang resultang parisukat ay naglalaman ng 16 na parisukat.

Ang natitirang isang parisukat mula sa lilac na rektanggulo ay maaaring ikabit sa nagresultang malaking parisukat. Pagkatapos ng lahat, ito ay orihinal na tungkol sa isang solong pigura:

(3 + 1) 2 + 1

Ang pag-attach ng isang maliit na parisukat sa isang umiiral na malaking parisukat ay inilalarawan ng expression (3 + 1) 2 + 1 . At ito ang pagpili ng buong parisukat mula sa expression na 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Ang expression (3 + 1) 2 + 1 , tulad ng expression na 9 + 6 + 2 , ay katumbas ng 17 . Sa katunayan, ang lugar ng resultang figure ay 17 cm 2.

Halimbawa 4. Gawin natin ang pagpili ng buong parisukat mula sa parisukat na trinomial x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 8 = x 2+2× x× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1

Sa ilang mga halimbawa, kapag bumubuo ng isang expression a 2 + 2ab+ b 2 hindi posible na agad na matukoy ang mga halaga ng mga variable a at b .

Halimbawa, gawin natin ang pagkuha ng isang buong parisukat mula sa isang parisukat na trinomial x 2 + 3x+ 2

variable a tumutugma x. Pangalawang Miyembro 3 x hindi maaaring katawanin bilang isang dobleng produkto ng unang expression at ang pangalawa. Sa kasong ito, ang pangalawang termino ay dapat na i-multiply sa 2, at upang ang halaga ng orihinal na polynomial ay hindi magbago, agad na hatiin sa 2. Ito ay magiging ganito.

Hayaang magbigay ng dalawang algebraic expression:

Gumawa tayo ng isang talahanayan ng mga halaga ng bawat isa sa mga expression na ito para sa iba't ibang mga numerical na halaga ng titik x.

Nakikita namin na para sa lahat ng mga halaga na ibinigay sa titik x, ang mga halaga ng parehong mga expression ay naging pantay. Ang parehong ay totoo para sa anumang iba pang halaga ng x.

Para ma-verify ito, binago namin ang unang expression. Batay sa batas ng pamamahagi, isinulat namin:

Nang maisagawa ang ipinahiwatig na mga operasyon sa mga numero, nakukuha namin:

Kaya, ang unang expression, pagkatapos ng pagpapasimple nito, ay naging eksaktong kapareho ng pangalawang expression.

Ngayon ay malinaw na para sa anumang halaga ng x, ang mga halaga ng parehong mga expression ay pantay.

Ang mga expression na ang mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga titik na kasama sa kanila ay tinatawag na magkapareho o magkapareho.

Samakatuwid, ang mga ito ay magkaparehong mga ekspresyon.

Gumawa tayo ng isang mahalagang komento. Kumuha tayo ng mga expression:

Ang pagkakaroon ng pag-compile ng isang talahanayan na katulad ng nauna, titiyakin namin na ang parehong mga expression, para sa anumang halaga ng x, maliban sa may pantay na mga numerical na halaga. Kapag ang pangalawang expression ay katumbas ng 6, at ang una ay nawala ang kahulugan nito, dahil ang denominator ay zero. (Alalahanin na hindi mo maaaring hatiin sa zero.) Masasabi ba natin na ang mga expression na ito ay magkapareho?

Sumang-ayon kami nang mas maaga na ang bawat expression ay isasaalang-alang lamang para sa mga tinatanggap na halaga ng mga titik, iyon ay, para sa mga halaga kung saan ang expression ay hindi nawawala ang kahulugan nito. Nangangahulugan ito na dito, kapag naghahambing ng dalawang expression, isinasaalang-alang lamang namin ang mga halaga ng titik na wasto para sa parehong mga expression. Samakatuwid, dapat nating ibukod ang halaga. At dahil para sa lahat ng iba pang mga halaga ng x ang parehong mga expression ay may parehong numerical na halaga, may karapatan kaming isaalang-alang ang mga ito na magkapareho.

Batay sa sinabi, ibinibigay namin ang sumusunod na kahulugan ng magkatulad na mga expression:

1. Ang mga expression ay tinatawag na magkapareho kung mayroon silang parehong mga numerical na halaga para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga titik na kasama sa kanila.

Kung ikinonekta natin ang dalawang magkatulad na expression na may pantay na tanda, pagkatapos ay makakakuha tayo ng pagkakakilanlan. Ibig sabihin:

2. Ang pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na totoo para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga titik na kasama dito.

Naka-encounter na kami ng mga identity dati. Kaya, halimbawa, ang lahat ng pagkakapantay-pantay ay mga pagkakakilanlan, kung saan ipinahayag namin ang mga pangunahing batas ng pagdaragdag at pagpaparami.

Halimbawa, ang mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng commutative na batas ng karagdagan

at ang nag-uugnay na batas ng pagpaparami

ay may bisa para sa anumang halaga ng mga titik. Samakatuwid, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay pagkakakilanlan.

Ang lahat ng tunay na pagkakapantay-pantay ng arithmetic ay itinuturing ding mga pagkakakilanlan, halimbawa:

Sa algebra, madalas na kailangang palitan ng isa ang isang expression ng isa pa na kapareho nito. Hayaan, halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng expression

Lubos naming mapadali ang mga kalkulasyon kung papalitan namin ang ibinigay na expression ng isang expression na kapareho nito. Batay sa batas ng pamamahagi, maaari nating isulat:

Ngunit ang mga numero sa mga bracket ay nagdaragdag ng hanggang 100. Kaya, mayroon tayong pagkakakilanlan:

Ang pagpapalit ng 6.53 sa halip na a sa kanang bahagi nito, agad nating (sa isip) nahanap ang numerical value (653) ng expression na ito.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon sa isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng ekspresyong ito.

Alalahanin na ang anumang algebraic expression para sa anumang mga tinatanggap na halaga ng mga titik ay ilan

numero. Kasunod nito na ang lahat ng mga batas at katangian ng mga pagpapatakbo ng arithmetic na ibinigay sa nakaraang kabanata ay naaangkop sa mga algebraic na expression. Kaya, ang paggamit ng mga batas at katangian ng mga pagpapatakbo ng aritmetika ay nagbabago ng isang ibinigay na algebraic na expression sa isang expression na kapareho nito.

Sa kurso ng pag-aaral ng algebra, nakita namin ang mga konsepto ng polynomial (halimbawa ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ at iba pa) at algebraic fraction (halimbawa $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ atbp.) Ang pagkakapareho ng mga konseptong ito ay pareho sa polynomial at sa algebraic fractions mayroong variable at numerical values, aritmetika na aksyon: karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, exponentiation Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konseptong ito ay ang paghahati sa isang variable ay hindi ginagawa sa polynomials, at ang paghahati sa isang variable ay maaaring gawin sa algebraic fractions.

Parehong polynomial at algebraic fraction ay tinatawag na rational algebraic expression sa matematika. Ngunit ang mga polynomial ay integer rational expression, at ang algebraic fractional expression ay fractional rational expression.

Posible na makakuha ng isang buong algebraic expression mula sa isang fractionally rational expression gamit ang magkaparehong pagbabago, na sa kasong ito ay magiging pangunahing pag-aari ng isang fraction - pagbawas ng mga fraction. Tingnan natin ito sa pagsasanay:

Halimbawa 1

Ibahin ang anyo:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Desisyon: Ang fractional-rational equation na ito ay maaaring mabago sa pamamagitan ng paggamit ng basic property ng fraction-cancellation, i.e. paghahati sa numerator at denominator sa parehong numero o expression maliban sa $0$.

Ang fraction na ito ay hindi maaaring bawasan kaagad, ito ay kinakailangan upang i-convert ang numerator.

Binabago namin ang expression sa numerator ng fraction, para dito ginagamit namin ang formula para sa square ng pagkakaiba: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Ang fraction ay may anyo

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kaliwa(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]

Ngayon nakita natin na mayroong isang karaniwang kadahilanan sa numerator at denominator - ito ang expression na $x-2$, kung saan babawasan natin ang fraction.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kaliwa(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]

Pagkatapos ng pagbabawas, nakuha namin na ang orihinal na fractional-rational expression na $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ay naging isang polynomial na $x-2$, i.e. buong makatwiran.

Ngayon bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang mga expression na $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ at $x-2\ $ ay maaaring ituring na magkapareho hindi para sa lahat ng mga halaga ng variable, dahil upang magkaroon ng fractional-rational expression at maging posible ang pagbabawas ng polynomial na $x-2$, ang denominator ng fraction ay hindi dapat katumbas ng $0$ (pati na rin ang salik kung saan binabawasan natin. Sa halimbawang ito, ang denominator at kadahilanan ay pareho, ngunit hindi ito palaging nangyayari).

Ang mga variable na halaga kung saan iiral ang algebraic fraction ay tinatawag na valid variable values.

Naglalagay kami ng kundisyon sa denominator ng fraction: $x-2≠0$, pagkatapos ay $x≠2$.

Kaya ang mga expression na $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ at $x-2$ ay magkapareho para sa lahat ng value ng variable maliban sa $2$.

Kahulugan 1

magkaparehong pantay Ang mga expression ay ang mga katumbas para sa lahat ng posibleng mga halaga ng variable.

Ang magkaparehong pagbabagong-anyo ay anumang pagpapalit ng orihinal na expression na may magkaparehong katumbas. Kabilang sa mga naturang pagbabagong-anyo ang pagsasagawa ng mga aksyon: pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, pagkuha ng isang karaniwang salik mula sa bracket, pagdadala ng mga algebraic na praksiyon sa isang karaniwang denominator, pagbabawas ng mga algebraic na praksiyon, pagdadala ng tulad ng mga termino, atbp. Dapat itong isaalang-alang na ang isang bilang ng mga pagbabagong-anyo, tulad ng pagbawas, pagbabawas ng mga katulad na termino, ay maaaring magbago ng mga pinahihintulutang halaga ng variable.

Mga pamamaraan na ginamit upang patunayan ang mga pagkakakilanlan

I-convert ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan sa kanang bahagi o vice versa gamit ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan

Bawasan ang parehong bahagi sa parehong expression gamit ang magkatulad na pagbabago

Ilipat ang mga expression sa isang bahagi ng expression sa isa pa at patunayan na ang resultang pagkakaiba ay katumbas ng $0$

Alin sa mga pamamaraan sa itaas ang gagamitin upang patunayan ang isang naibigay na pagkakakilanlan ay nakasalalay sa orihinal na pagkakakilanlan.

Halimbawa 2

Patunayan ang pagkakakilanlan $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Desisyon: Upang patunayan ang pagkakakilanlan na ito, ginagamit namin ang una sa mga pamamaraan sa itaas, ibig sabihin, babaguhin namin ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan hanggang sa ito ay katumbas ng kanang bahagi.

Isaalang-alang ang kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- ito ang pagkakaiba ng dalawang polynomial. Sa kasong ito, ang unang polynomial ay ang parisukat ng kabuuan ng tatlong termino. Upang parisukat ang kabuuan ng ilang termino, ginagamit namin ang formula:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Upang gawin ito, kailangan nating i-multiply ang isang numero sa isang polynomial. Alalahanin na para dito kailangan nating i-multiply ang karaniwang salik sa labas ng mga bracket sa bawat termino ng polynomial sa mga bracket. Pagkatapos ay makukuha natin ang:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Ngayon bumalik sa orihinal na polynomial, ito ay kukuha ng anyo:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Tandaan na mayroong “-” sign sa harap ng bracket, na nangangahulugan na kapag binuksan ang mga bracket, ang lahat ng mga sign na nasa bracket ay nababaligtad.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Kung magdadala kami ng mga katulad na termino, makukuha namin na ang mga monomial na $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ at $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ ay magkakansela sa isa't isa, ibig sabihin. ang kanilang kabuuan ay katumbas ng $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Kaya, sa pamamagitan ng magkatulad na pagbabago, nakuha namin ang magkaparehong ekspresyon sa kaliwang bahagi ng orihinal na pagkakakilanlan

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Tandaan na ang resultang expression ay nagpapakita na ang orihinal na pagkakakilanlan ay totoo.

Tandaan na sa orihinal na pagkakakilanlan, ang lahat ng mga halaga ng variable ay pinapayagan, na nangangahulugang napatunayan namin ang pagkakakilanlan gamit ang magkatulad na mga pagbabago, at ito ay totoo para sa lahat ng pinapayagan na mga halaga ng variable.

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng isang Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

Mga pagkakakilanlan. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression. ika-7 baitang.

Hanapin ang halaga ng mga expression sa x=5 at y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Hanapin ang halaga ng ang mga expression sa x=6 at y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

KONKLUSYON: Pareho ang resulta. Ito ay sumusunod mula sa distributive property na, sa pangkalahatan, para sa anumang mga halaga ng mga variable, ang mga halaga ng mga expression na 3(x + y) at 3x + 3y ay pantay. 3(x+y) = 3x+3y

Isaalang-alang ngayon ang mga expression na 2x + y at 2xy. para sa x=1 at y=2 kumuha sila ng pantay na halaga: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 para sa x=3, y=4 expression values ​​​​ay magkaiba 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

KONKLUSYON: Ang mga expression na 3(x+y) at 3x+3y ay magkapareho, ngunit ang mga expression na 2x+y at 2xy ay hindi magkapareho. Kahulugan: Dalawang expression na ang mga halaga ay pantay para sa anumang mga halaga ng mga variable ay sinasabing magkaparehong pantay.

IDENTITY Ang pagkakapantay-pantay na 3(x+y) at 3x+3y ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y. Ang ganitong mga pagkakapantay-pantay ay tinatawag na pagkakakilanlan. Kahulugan: Ang pagkakapantay-pantay na totoo para sa anumang mga halaga ng mga variable ay tinatawag na pagkakakilanlan. Itinuturing ding mga pagkakakilanlan ang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Nagkakilala na kami ng mga pagkakakilanlan.

Ang mga pagkakakilanlan ay mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng mga pangunahing katangian ng mga aksyon sa mga numero. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Maaaring ibigay ang iba pang mga halimbawa ng pagkakakilanlan: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Ang pagpapalit ng isang expression ng isa pang expression na kapareho nito ay tinatawag na identity transformation o simpleng expression transformation.

Upang magdala ng mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at i-multiply ang resulta sa karaniwang bahagi ng titik. Halimbawa 1. Nagbibigay kami ng mga katulad na termino 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Kung mayroong plus sign sa harap ng mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket, na pinapanatili ang tanda ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket. Halimbawa 2. Palawakin ang mga bracket sa expression na 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c

Kung mayroong minus sign bago ang mga bracket, maaaring tanggalin ang mga bracket sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng bawat termino na nakapaloob sa mga bracket. Halimbawa 3. Buksan natin ang mga bracket sa expression na a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

Takdang-Aralin: p. 5, Blg. 91, 97, 99 Salamat sa aralin!

Sa paksa: mga pag-unlad ng pamamaraan, mga pagtatanghal at mga tala

Mga paraan ng paghahanda ng mga mag-aaral para sa pagsusulit sa seksyong "Mga expression at pagbabago ng mga expression"

Ang proyektong ito ay binuo na may layuning ihanda ang mga mag-aaral para sa mga pagsusulit ng estado sa ika-9 na baitang at pagkatapos para sa isang pinag-isang pagsusulit ng estado sa ika-11 na baitang....