Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Sa artikulong ito, mauunawaan natin kung ano ang antas ng. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng exponent ng degree, na nagsisimula sa isang natural na exponent, na nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, square ng isang numero, cube ng isang numero

Magsimula tayo sa . Sa hinaharap, sabihin natin na ang kahulugan ng antas ng a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a , na tatawagin natin base ng degree, at n , na tatawagin natin exponent. Tandaan din namin na ang antas na may natural na tagapagpahiwatig ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyong a n , na ang halaga ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a , iyon ay, .
Sa partikular, ang antas ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 =a.

Kaagad ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang entry a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, katanggap-tanggap din ang mga ganitong opsyon: "a to the nth power" at "nth power of the number a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan ng 8 12, ito ay "walo sa kapangyarihan ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawang kapangyarihan", o "ikalabindalawang kapangyarihan ng walo".

Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero, pati na rin ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, halimbawa, ang 7 2 ay binabasa bilang "pitong parisukat" o "parisukat ng bilang pito". Ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag numero ng kubo, halimbawa, ang 5 3 ay maaaring basahin bilang "limang kubo" o sabihing "kubo ng numero 5".

Oras na para magdala mga halimbawa ng mga degree na may mga pisikal na tagapagpahiwatig. Magsimula tayo sa kapangyarihan ng 5 7 , kung saan 5 ang base ng kapangyarihan at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9 .

Pakitandaan na sa huling halimbawa, ang base ng degree 4.32 ay nakasulat sa mga bracket: upang maiwasan ang mga pagkakaiba, kukunin namin sa mga bracket ang lahat ng mga base ng degree na naiiba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Buweno, para sa kumpletong kalinawan sa puntong ito, ipapakita namin ang pagkakaiba na nakapaloob sa mga talaan ng form (−2) 3 at −2 3 . Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang −(2 3) ) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng a na may exponent n ng anyong a^n . Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga bracket. Halimbawa, ang 4^9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9 . At narito ang higit pang mga halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolong “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon ng antas ng anyo a n .

Ang isa sa mga problema, ang kabaligtaran ng exponent na may natural na exponent, ay ang problema sa paghahanap ng base ng degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa .

Alam na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na numero, at ang bawat fractional na numero ay maaaring katawanin bilang positibo o negatibong ordinaryong fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng degree ng numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang ari-arian ng degree sa isang degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at ang paraan na ating tinukoy , lohikal na tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang expression ay may katuturan.

Madaling suriin na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ito ay ginagawa sa seksyon sa mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay ang ugat ng ika-n degree ng a hanggang sa kapangyarihan m.

Inilalapit tayo ng pahayag na ito sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Depende sa mga paghihigpit na ipinataw sa m , n at a, mayroong dalawang pangunahing diskarte.

Ang pinakamadaling paraan upang hadlangan ang a ay ang pagpapalagay na a≥0 para sa positibong m at a>0 para sa negatibong m (dahil ang m≤0 ay walang kapangyarihan na 0 m). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer, at ang n ay isang natural na numero, ay tinatawag na ugat ng ika-n ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay, .

Ang fractional degree ng zero ay tinukoy din na may tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi tinukoy, ibig sabihin, ang antas ng numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyon a≥0 . Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugan sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m / n ay ang hiwalay na isaalang-alang ang pantay at kakaibang exponent ng ugat. Nangangailangan ang diskarteng ito ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, na ang exponent ay , ay itinuturing na antas ng numero a, ang exponent nito ay ang katumbas na hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m/n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k ang degree ay unang pinalitan ng .

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang hindi negatibong a (ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero ay walang katuturan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba pa rin mula sa zero (kung hindi, doon ay magiging dibisyon ng zero). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba sa zero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa ganoong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m/n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Ang kapangyarihan ng a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa



Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay unang pinalitan ng isang degree na may hindi mababawasang exponent. Kung tinukoy lang namin ang degree bilang , at hindi gumawa ng reserbasyon tungkol sa irreducibility ng fraction m / n , pagkatapos ay makakatagpo kami ng mga sitwasyong katulad ng sumusunod: dahil 6/10=3/5 , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay , ngunit , isang .

Aralin at presentasyon sa paksa: "Degree na may negatibong tagapagpahiwatig. Kahulugan at mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravina G.K. Manwal para sa aklat-aralin Alimova Sh.A.

Pagtukoy sa antas na may negatibong exponent

Guys, magaling tayo sa pagpapataas ng mga numero sa isang kapangyarihan.
Halimbawa: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Alam nating mabuti na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. $a^0=1$, $a≠0$.
Ang tanong ay lumitaw, ano ang mangyayari kung itataas mo ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan? Halimbawa, ano ang magiging katumbas ng numerong $2^(-2)$?
Ang mga unang mathematician na nagtanong sa tanong na ito ay nagpasya na hindi ito nagkakahalaga ng muling pag-imbento ng gulong, at mabuti na ang lahat ng mga katangian ng mga degree ay nananatiling pareho. Iyon ay, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay nagdaragdag.
Isaalang-alang natin ang kasong ito: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Nakuha namin na ang produkto ng naturang mga numero ay dapat magbigay ng pagkakaisa. Ang yunit sa produkto ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga reciprocal, iyon ay, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Ang ganitong pangangatwiran ay humantong sa sumusunod na kahulugan.
Kahulugan. Kung ang $n$ ay isang natural na numero at $a≠0$, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Isang mahalagang pagkakakilanlan na kadalasang ginagamit: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Sa partikular, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1
Kalkulahin: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Desisyon.
Isaalang-alang natin ang bawat termino nang hiwalay.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Nananatili itong magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Sagot: $6\frac(1)(4)$.

Halimbawa 2
Ipahayag ang ibinigay na numero bilang kapangyarihan ng isang prime number $\frac(1)(729)$.

Desisyon.
Malinaw na $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ngunit ang 729 ay hindi isang prime number na nagtatapos sa 9. Maaari nating ipagpalagay na ang numerong ito ay isang kapangyarihan ng tatlo. Hatiin natin nang sunud-sunod ang 729 sa 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Nakumpleto na ang anim na operasyon, ibig sabihin: $729=3^6$.
Para sa aming gawain:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Sagot: $3^(-6)$.

Halimbawa 3. Ipahayag ang expression bilang isang kapangyarihan: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Desisyon. Ang unang operasyon ay palaging ginagawa sa loob ng mga bracket, pagkatapos ay ang multiplication $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Sagot: $a$.

Halimbawa 4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Desisyon.
Sa kaliwang bahagi, isaalang-alang ang bawat salik sa panaklong nang hiwalay.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Lumipat tayo sa fraction kung saan tayo naghahati.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Gawin natin ang paghahati.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Nakuha namin ang tamang pagkakakilanlan, na kinakailangang patunayan.

Sa pagtatapos ng aralin, isusulat namin muli ang mga patakaran para sa mga aksyon na may mga degree, dito ang exponent ay isang integer.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Kalkulahin: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Kinakatawan ang ibinigay na numero bilang kapangyarihan ng isang prime number na $\frac(1)(16384)$.
3. Ipahayag ang expression bilang isang degree:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika, na kadalasang kinakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang isang detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag kinuha namin ang isang numero sa karaniwang kapangyarihan, pinarami namin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Sa isang negatibong bahagi, ang kabaligtaran ay totoo. Ang pangkalahatang anyo ayon sa formula ay ang mga sumusunod: a -n = 1/a n . Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit na sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Sa pag-iisip sa tuntunin sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ang sagot ay -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), ang tanda ay nagiging positibo. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay napanatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga numero mula 0 hanggang 1

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pag-parse (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• I-convert ang decimal 0.5 sa fractional 1/2. Mas madali.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2 , makuha natin ang 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, gagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, ang kahit o kakaibang antas ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Sa kasong ito, mas malaki ang antas, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa pagitan ng 0 at 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, ang pantay o kakaibang antas ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - ang kapangyarihan bilang isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n , kung saan ang a ay isang ordinaryong numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Alalahanin ang panuntunan para sa pagtaas ng isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Tandaan na ang denominator ay 8 sa isang fractional na kapangyarihan. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional degree ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m .
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha natin ang cube root ng walo, na 2. Batay dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2

Mula sa paaralan, alam nating lahat ang panuntunan tungkol sa pagtaas sa isang kapangyarihan: anumang numero na may exponent N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa sarili nitong N beses. Sa madaling salita, ang 7 sa kapangyarihan ng 3 ay 7 na pinarami ng sarili nitong tatlong beses, iyon ay, 343. Ang isa pang tuntunin - ang pagtaas ng anumang halaga sa kapangyarihan ng 0 ay nagbibigay ng isa, at ang pagtaas ng negatibong halaga ay ang resulta ng ordinaryong exponentiation, kung ito ay pantay, at ang parehong resulta na may minus sign kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay din ng sagot sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang kinakailangang halaga ng module ng indicator sa karaniwang paraan, at pagkatapos ay hatiin ang yunit sa resulta.

Mula sa mga patakarang ito, nagiging malinaw na ang pagpapatupad ng mga tunay na gawain na may malalaking dami ay mangangailangan ng pagkakaroon ng mga teknikal na paraan. Manu-manong ito ay magpaparami sa sarili nitong isang maximum na hanay ng mga numero hanggang dalawampu't tatlumpu, at pagkatapos ay hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Hindi ito banggitin ang katotohanan na pagkatapos ay hatiin din ang yunit sa resulta. Samakatuwid, para sa mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin sa iyo kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa Excel.

Paglutas ng mga problema sa Excel

Upang malutas ang mga problema sa exponentiation, pinapayagan ka ng Excel na gumamit ng isa sa dalawang opsyon.

Ang una ay ang paggamit ng formula na may karaniwang simbolo ng cap. Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng worksheet:

Sa parehong paraan, maaari mong itaas ang nais na halaga sa anumang kapangyarihan - negatibo, fractional. Gawin natin ang sumusunod at sagutin ang tanong kung paano itataas ang isang numero sa negatibong kapangyarihan. Halimbawa:

Posibleng itama nang direkta sa formula =B2^-C2.

Ang pangalawang pagpipilian ay ang paggamit ng yari na "Degree" na function, na tumatagal ng dalawang mandatoryong argumento - isang numero at isang tagapagpahiwatig. Upang simulan ang paggamit nito, ito ay sapat na upang maglagay ng pantay na tanda (=) sa anumang libreng cell, na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at ipasok ang mga salita sa itaas. Nananatili itong pumili ng dalawang cell na lalahok sa operasyon (o manu-manong tukuyin ang mga partikular na numero), at pindutin ang Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa.

			Formula	Resulta
			KAPANGYARIHAN(B2;C2)
			KAPANGYARIHAN(B3;C3)	0,002915

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan at sa isang regular na numero gamit ang Excel. Sa katunayan, upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang parehong pamilyar na simbolo ng "takip" at ang built-in na function ng programa, na madaling matandaan. Ito ay isang tiyak na plus!

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga halimbawa. Alalahanin natin ang panuntunan kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ng isang fractional na karakter, at makikita natin na ang gawaing ito ay napakasimpleng nalutas sa Excel.

Fractional indicator

Sa madaling salita, ang algorithm para sa pagkalkula ng isang numero na may fractional exponent ay ang mga sumusunod.

1. I-convert ang isang fractional exponent sa isang wasto o hindi wastong fraction.
2. Itaas ang aming numero sa numerator ng resultang na-convert na fraction.
3. Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang root indicator ay ang denominator ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumang-ayon na kahit na gumagana sa maliit na mga numero at wastong mga fraction, ang mga naturang kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Mabuti na ang spreadsheet processor na Excel ay walang pakialam kung anong numero at sa anong antas ang itataas. Subukang lutasin ang sumusunod na halimbawa sa isang worksheet ng Excel:

Gamit ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyaking tama ang pagkalkula.

Sa dulo ng aming artikulo, magbibigay kami sa anyo ng isang talahanayan na may mga formula at mga resulta ng ilang mga halimbawa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, pati na rin ang ilang mga halimbawa na may mga fractional na numero at kapangyarihan.

Halimbawang talahanayan

Suriin ang Excel worksheet para sa mga sumusunod na halimbawa. Para gumana nang tama ang lahat, kailangan mong gumamit ng halo-halong sanggunian kapag kinokopya ang formula. Ayusin ang numero ng column na naglalaman ng numerong itinataas, at ang numero ng row na naglalaman ng indicator. Dapat ganito ang hitsura ng iyong formula: "=$B4^C$3".

Numero / Degree

Pakitandaan na ang mga positibong numero (kahit na hindi integer) ay kinakalkula nang walang mga problema para sa anumang mga exponent. Walang mga problema sa pagpapataas ng anumang mga numero sa mga integer. Ngunit ang pagtaas ng negatibong numero sa isang fractional na kapangyarihan ay magiging isang pagkakamali para sa iyo, dahil imposibleng sundin ang panuntunang ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtaas ng mga negatibong numero, dahil ang parity ay isang katangian ng isang eksklusibong numero ng INTEGER.

Isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan tumawag sa isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses.

Kapangyarihan ng isang numero na may negatibong halaga (a - n) maaaring tukuyin sa parehong paraan tulad ng pagtukoy sa antas ng parehong numero na may positibong exponent (isang) . Gayunpaman, nangangailangan din ito ng karagdagang kahulugan. Ang formula ay tinukoy bilang:

a-n = (1 / isang n)

Ang mga katangian ng mga negatibong halaga ng mga kapangyarihan ng mga numero ay katulad ng mga kapangyarihan na may positibong exponent. Kinakatawan na Equation a m / a n = isang m-n maaaring maging patas bilang

« Wala kahit saan, tulad ng sa matematika, ang kalinawan at katumpakan ng konklusyon ay hindi nagpapahintulot sa isang tao na lumayo sa sagot sa pamamagitan ng pakikipag-usap sa paligid ng tanong.».

A. D. Alexandrov

sa n higit pa m , pati na rin ang m higit pa n . Tingnan natin ang isang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Una kailangan mong matukoy ang numero na gumaganap bilang isang kahulugan ng antas. b=a(-n) . Sa halimbawang ito -n ay isang tagapagpahiwatig ng antas b - ninanais na halaga ng numero, a - ang base ng degree bilang natural na numerical value. Pagkatapos ay tukuyin ang module, iyon ay, ang ganap na halaga ng isang negatibong numero, na gumaganap bilang isang exponent. Kalkulahin ang antas ng ibinigay na numero na nauugnay sa ganap na numero bilang isang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng antas ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa resultang numero.

kanin. isa

Isaalang-alang ang kapangyarihan ng isang numero na may negatibong fractional exponent. Isipin na ang numero a ay anumang positibong numero, ang mga numero n at m - mga integer. Sa pamamagitan ng kahulugan a , na itinataas sa kapangyarihan - katumbas ng isang hinati sa parehong numero na may positibong antas (Larawan 1). Kapag ang kapangyarihan ng isang numero ay isang fraction, kung gayon sa mga ganitong pagkakataon ay mga numero lamang na may positibong exponent ang ginagamit.

Worth remembering na ang zero ay hindi kailanman maaaring maging isang exponent ng isang numero (ang panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto bilang isang numero ay nagsimula sa mga manipulasyon gaya ng mga kalkulasyon ng pagsukat, gayundin ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham. Ang pagpapakilala ng mga negatibong halaga ay dahil sa pagbuo ng algebra, na nagbigay ng mga pangkalahatang solusyon sa mga problema sa aritmetika, anuman ang kanilang tiyak na kahulugan at paunang numerical na data. Sa India, noong ika-6 hanggang ika-11 na siglo, ang mga negatibong halaga ng mga numero ay sistematikong ginamit sa paglutas ng mga problema at binibigyang-kahulugan sa parehong paraan tulad ng ngayon. Sa agham ng Europa, nagsimulang malawakang gamitin ang mga negatibong numero salamat kay R. Descartes, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Si Descartes ang nagmungkahi na ang bilang na itinaas sa isang kapangyarihan ay ipakita bilang isang dalawang palapag na formula isang n .

Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika, na kadalasang kinakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang isang detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag kinuha namin ang isang numero sa karaniwang kapangyarihan, pinarami namin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Sa isang negatibong bahagi, ang kabaligtaran ay totoo. Ang pangkalahatang anyo ayon sa formula ay ang mga sumusunod: a -n = 1/a n . Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit na sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Sa pag-iisip sa tuntunin sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ang sagot ay -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), ang tanda ay nagiging positibo. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay napanatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga numero mula 0 hanggang 1

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pag-parse (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• I-convert ang decimal 0.5 sa fractional 1/2. Mas madali.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2 , makuha natin ang 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, gagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, ang kahit o kakaibang antas ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Sa kasong ito, mas malaki ang antas, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa pagitan ng 0 at 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, ang pantay o kakaibang antas ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - ang kapangyarihan bilang isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n, kung saan ang a ay isang ordinaryong numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Alalahanin ang panuntunan para sa pagtaas ng isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Tandaan na ang denominator ay 8 sa isang fractional na kapangyarihan. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional degree ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m .
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha natin ang cube root ng walo, na 2. Batay dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2