>>Math: Rational inequalities
Ang rational inequality na may isang variable x ay isang inequality ng form - rational expressions, i.e. algebraic expression na binubuo ng mga numero at ang variable na x gamit ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, at pagtaas sa isang natural na kapangyarihan. Siyempre, ang variable ay maaaring ipahiwatig ng anumang iba pang titik, ngunit sa matematika, ang letrang x ay kadalasang ginustong.
Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit ang tatlong panuntunan na nabalangkas sa itaas sa § 1. Sa tulong ng mga panuntunang ito, ang isang naibigay na rational inequality ay karaniwang kino-convert sa anyo / (x) > 0, kung saan ang / (x) ay isang algebraic fraction (o polynomial). Susunod, i-decompose ang numerator at denominator ng fraction f (x) sa mga salik ng anyong x - a (kung, siyempre, posible ito) at ilapat ang paraan ng pagitan, na nabanggit na natin sa itaas (tingnan ang halimbawa 3 sa nakaraang talata).
Halimbawa 1 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.
Desisyon. Isaalang-alang ang expression na f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).
Ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 1,-1,2; markahan ang mga puntong ito sa linya ng numero. Ang numerong linya ay nahahati sa mga ipinahiwatig na mga punto sa apat na pagitan (Larawan 6), sa bawat isa kung saan ang expression na f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Para ma-verify ito, magsasagawa kami ng apat na argumento (para sa bawat isa sa mga agwat na ito nang hiwalay). 
Kunin ang anumang puntong x mula sa pagitan (2, Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kanan ng punto 1 at sa kanan ng punto 2. Nangangahulugan ito na ang x > -1, x > 1, x > 2 (Larawan 7). Ngunit pagkatapos ay x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, at samakatuwid ay f (x)> 0 (bilang isang produkto ng rational inequality ng tatlong positibo mga numero). Kaya, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x ) > 0.
Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (1,2). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng point-1, sa kanan ng point 1, ngunit sa kaliwa ng point 2. Samakatuwid, x\u003e -1, x\u003e 1, ngunit x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.
Kunin ang anumang punto x mula sa pagitan (-1,1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa linya ng numero sa kanan ng punto -1, sa kaliwa ng punto 1 at sa kaliwa ng punto 2. Kaya x > -1, ngunit x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (bilang produkto ng dalawang negatibo at isang positibong numero). Kaya, sa pagitan (-1,1) ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x)> 0 ay humahawak.
Panghuli, kumuha ng anumang puntong x mula sa bukas na sinag (-oo, -1). Ang puntong ito ay matatagpuan sa number line sa kaliwa ng point -1, sa kaliwa ng point 1 at sa kaliwa ng point 2. Nangangahulugan ito na x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.
I-summarize natin. Ang mga palatandaan ng expression na f (x) sa mga napiling agwat ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 11. Kami ay interesado sa kanila kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan. Gamit ang geometric na modelo na ipinakita sa fig. 11, itinatag namin na ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan sa pagitan (-1, 1) o sa bukas na sinag
Sagot: -1 < х < 1; х > 2.
Halimbawa 2 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
Desisyon. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, kukuha kami ng kinakailangang impormasyon mula sa Fig. 11, ngunit may dalawang pagbabago kumpara sa halimbawa 1. Una, dahil interesado kami sa kung anong mga halaga ng x ang nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки 
Pangalawa, nasiyahan din tayo sa mga puntong iyon kung saan nasiyahan ang pagkakapantay-pantay na f (x) = 0. Ito ang mga puntos na -1, 1, 2, minarkahan natin ang mga ito sa figure na may mga madilim na bilog at isama ang mga ito sa sagot. Sa fig. Ang 12 ay nagpapakita ng isang geometric na modelo ng tugon, kung saan hindi mahirap ilipat sa isang analytical record.
Sagot: 
HALIMBAWA 3. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
Desisyon. I-factor natin ang numerator at denominator ng algebraic fraction fx na nasa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa numerator mayroon kaming x 2 - x \u003d x (x - 1).
Upang i-factor ang square trinomial x 2 - bx ~ 6 na nakapaloob sa denominator ng fraction, makikita natin ang mga ugat nito. Mula sa equation x 2 - 5x - 6 \u003d 0 nakita namin ang x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Kaya, 
(ginamit namin ang formula para sa factoring ng isang square trinomial: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Kaya, binago natin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
Isaalang-alang ang expression:
Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa mga puntos na 0 at 1, at nagiging 0 sa mga puntos na -1 at 6. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Fig. 13). Ang numerong linya ay hinati ng mga ipinahiwatig na mga punto sa limang pagitan, at sa bawat pagitan ang expression na fx) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda. Ang pagtatalo sa parehong paraan tulad ng sa Halimbawa 1, dumating tayo sa konklusyon na ang mga palatandaan ng expression fx) sa mga napiling pagitan ay tulad ng ipinapakita sa Fig. 13. Interesado kami sa kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).
0 sagot: -1
Halimbawa 4 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Desisyon. Kapag nilulutas ang mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, mas gusto nilang iwanan lamang ang numero 0 sa kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, binabago natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
Dagdag pa:
Tulad ng ipinapakita ng karanasan, kung ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman lamang ng numerong 0, mas madaling mangatwiran kapag ang numerator at denominator sa kaliwang bahagi nito ay may positibong leading coefficient. At ano ang mayroon tayo? Mayroon tayong lahat sa denominator ng fraction sa ganitong kahulugan sa pagkakasunud-sunod (ang nangungunang coefficient, i.e. ang coefficient sa x 2, ay 6 - isang positibong numero), ngunit hindi lahat ay nasa pagkakasunud-sunod sa numerator - ang senior coefficient (ang coefficient sa x) ay - 4 (negatibong numero) Ang pagpaparami sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa -1 at pagpapalit ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay sa kabaligtaran, nakakakuha tayo ng katumbas na hindi pagkakapantay-pantay
I-factorize natin ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction. Sa numerator, ang lahat ay simple: 
Upang i-factor ang square trinomial na nakapaloob sa denominator ng isang fraction 
(ginamit ulit namin ang formula para sa pag-factor ng square trinomial).
Kaya, binawasan namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
Isaalang-alang ang expression
Ang numerator ng fraction na ito ay nagiging 0 sa punto at ang denominator - sa mga punto. Napansin namin ang mga puntong ito sa linya ng numero (Larawan 14), na hinati ng mga ipinahiwatig na puntos sa apat na pagitan, at sa bawat pagitan ang expression Ang f (x) ay nagpapanatili ng isang palaging tanda (ang mga palatandaang ito ay ipinahiwatig sa Fig. 14). Kami ay interesado sa mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, binago namin ang ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay sa isang katumbas na hindi pagkakapantay-pantay ng anyong f (x) > 0 o f (x)<0,где 
Sa kasong ito, ang bilang ng mga salik sa numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring anuman. Pagkatapos ang mga puntos na a, b, c, e ay minarkahan sa linya ng numero. at tinukoy ang mga palatandaan ng ekspresyong f (x) sa mga napiling pagitan. Napansin namin na sa pinakakanan ng mga napiling pagitan, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0 ay nasiyahan, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ng expression na f (x) ay kahalili sa mga pagitan (tingnan ang Fig. 16a). Ang alternation na ito ay maginhawang inilalarawan sa tulong ng isang kulot na kurba, na iginuhit mula kanan pakaliwa at mula sa itaas hanggang sa ibaba (Larawan 166). Sa mga pagitan kung saan ang kurba na ito (minsan ay tinatawag na kurba ng mga palatandaan) ay matatagpuan sa itaas ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ay nasiyahan; kung saan ang kurba na ito ay matatagpuan sa ibaba ng x-axis, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x)< 0.
Halimbawa 5 Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Desisyon. Meron kami
(parehong bahagi ng nakaraang hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng 6).
Upang gamitin ang paraan ng agwat, markahan ang mga punto sa linya ng numero 
(sa mga puntong ito ang numerator ng fraction na nilalaman sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaho) at mga puntos (sa mga puntong ito ang denominator ng ipinahiwatig na fraction ay naglalaho). Karaniwan, ang mga puntos ay minarkahan ng eskematiko, na isinasaalang-alang ang pagkakasunud-sunod kung saan sila sumusunod (na nasa kanan, na nasa kaliwa) at hindi partikular na binibigyang pansin ang sukat. Malinaw na 
Ang sitwasyon ay mas kumplikado sa mga numero. Ang unang pagtatantya ay nagpapakita na ang parehong mga numero ay bahagyang mas malaki kaysa sa 2.6, kung saan ito ay imposible upang tapusin kung alin sa mga ipinahiwatig na mga numero ay mas malaki at kung alin ang mas maliit. Kumbaga (at random) na Then 
Ito ay naging tamang hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugang ang aming hula ay nakumpirma: sa katunayan
Kaya, 
Minarkahan namin ang ipinahiwatig na 5 puntos sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod sa linya ng numero (Larawan 17a). Ayusin ang mga palatandaan ng pagpapahayag 
sa mga agwat na nakuha: sa pinakakanan - isang + sign, at pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili (Larawan 176). Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan at piliin (sa pamamagitan ng pagtatabing) ang mga pagitan kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) > 0 ng interes sa atin ay nasiyahan (Larawan 17c). Sa wakas, isinasaalang-alang namin na pinag-uusapan namin ang tungkol sa isang hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay f (x) > 0, na nangangahulugang interesado rin kami sa mga puntong iyon kung saan nawawala ang expression na f (x). Ito ang mga ugat ng numerator ng fraction f (x), i.e. puntos 
markahan namin ang mga ito sa Fig. 17 sa dark circles (at, siyempre, isama sa sagot). Ngayon eto ang pic. Ang 17c ay nagbibigay ng kumpletong geometric na modelo para sa mga solusyon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.
Paunang impormasyon
Kahulugan 1
Ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $f(x) >(≥)g(x)$, kung saan ang $f(x)$ at $g(x)$ ay integer rational expression, ay tinatawag na integer rational inequality.
Ang mga halimbawa ng integer rational inequalities ay linear, quadratic, cubic inequalities na may dalawang variable.
Kahulugan 2
Ang halagang $x$ kung saan nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay mula sa kahulugan ng $1$ ay tinatawag na ugat ng equation.
Isang halimbawa ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay:
Halimbawa 1
Lutasin ang integer inequality $4x+3 >38-x$.
Desisyon.
Pasimplehin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:
Nakakuha kami ng linear inequality. Hanapin natin ang solusyon nito:
Sagot: $(7,∞)$.
Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na pamamaraan para sa paglutas ng buong makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Pamamaraan ng Factoring
Ang pamamaraang ito ay magiging tulad ng sumusunod: Ang isang equation ng anyong $f(x)=g(x)$ ay nakasulat. Ang equation na ito ay binawasan sa anyong $φ(x)=0$ (kung saan $φ(x)=f(x)-g(x)$). Pagkatapos ay ang function na $φ(x)$ ay na-factorize na may pinakamaliit na posibleng kapangyarihan. Nalalapat ang panuntunan: Ang produkto ng polynomials ay zero kapag ang isa sa kanila ay zero. Dagdag pa, ang mga natagpuang ugat ay minarkahan sa linya ng numero at isang kurba ng mga palatandaan ay itinayo. Depende sa tanda ng paunang hindi pagkakapantay-pantay, ang sagot ay nakasulat.
Narito ang mga halimbawa ng mga solusyon sa ganitong paraan:
Halimbawa 2
Lutasin sa pamamagitan ng factoring. $y^2-9
Desisyon.
Lutasin ang equation na $y^2-9
Gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, mayroon kami
Gamit ang panuntunan ng pagkakapantay-pantay sa zero ng produkto ng mga salik, nakukuha natin ang mga sumusunod na ugat: $3$ at $-3$.
Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan:
Dahil ang tanda ay "mas mababa sa" sa paunang hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha namin
Sagot: $(-3,3)$.
Halimbawa 3
Lutasin sa pamamagitan ng factoring.
$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$
Desisyon.
Lutasin natin ang sumusunod na equation:
$x^3+3x+2x^2+6=0$
Inalis namin sa mga bracket ang mga karaniwang salik mula sa unang dalawang termino at mula sa huling dalawa
$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$
Alisin ang karaniwang salik na $(x^2+3)$
$(x^2+3)(x+2)=0$
Gamit ang panuntunan ng pagkakapantay-pantay sa zero ng produkto ng mga salik, nakukuha natin ang:
$x+2=0 \ at \ x^2+3=0$
$x=-2$ at "walang ugat"
Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan:
Dahil sa paunang hindi pagkakapantay-pantay ang tanda ay "mas malaki kaysa sa o katumbas ng", nakukuha natin
Sagot: $(-∞,-2]$.
Paano magpakilala ng bagong variable
Ang pamamaraang ito ay ang mga sumusunod: Ang isang equation ng anyong $f(x)=g(x)$ ay nakasulat. Niresolba namin ito bilang mga sumusunod: ipinakilala namin ang naturang bagong variable upang makakuha ng equation na alam na ang solusyon. Pagkatapos ay malulutas namin ito at bumalik sa kapalit. Mula dito makikita natin ang solusyon ng unang equation. Dagdag pa, ang mga natagpuang ugat ay minarkahan sa linya ng numero at isang kurba ng mga palatandaan ay itinayo. Depende sa tanda ng paunang hindi pagkakapantay-pantay, ang sagot ay nakasulat.
Nagbibigay kami ng isang halimbawa ng aplikasyon ng paraang ito gamit ang halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay sa ikaapat na antas:
Halimbawa 4
Solusyonan natin ang hindi pagkakapantay-pantay.
$x^4+4x^2-21 >0$
Desisyon.
Lutasin natin ang equation:
Gawin natin ang sumusunod na pagpapalit:
Hayaan ang $x^2=u (kung saan \ u >0)$, makuha natin ang:
Lutasin namin ang system na ito gamit ang discriminant:
$D=16+84=100=10^2$
Ang equation ay may dalawang ugat:
$x=\frac(-4-10)(2)=-7$ at $x=\frac(-4+10)(2)=3$
Bumalik sa kapalit:
$x^2=-7$ at $x^2=3$
Ang unang equation ay walang mga solusyon, at mula sa pangalawang $x=\sqrt(3)$ at $x=-\sqrt(3)$
Gumuhit tayo ng isang kurba ng mga palatandaan:
Dahil ang sign na "mas malaki kaysa sa" sa paunang hindi pagkakapantay-pantay, nakukuha namin
Sagot:$(-∞,-\sqrt(3))∪(\sqrt(3),∞)$
Sa tulong ng araling ito, matututuhan mo ang tungkol sa mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Ang sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa tulong ng mga katumbas na pagbabago. Isinasaalang-alang ang kahulugan ng equivalence, ang paraan ng pagpapalit ng fractional-rational inequality ng square one, at naiintindihan din kung ano ang pagkakaiba sa pagitan ng inequality at equation at kung paano isinasagawa ang mga katumbas na pagbabago.
Algebra Baitang 9
Panghuling pag-uulit ng kursong algebra sa ika-9 na baitang
Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
1.1 Abstract.
1. Katumbas na pagbabago ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Magpasya makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ibig sabihin ay hanapin ang lahat ng solusyon nito. Hindi tulad ng isang equation, kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon ay hindi mabe-verify sa pamamagitan ng pagpapalit. Samakatuwid, kinakailangan na baguhin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa paraang sa bawat susunod na linya ay nakuha ang hindi pagkakapantay-pantay na may parehong hanay ng mga solusyon.
Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay nalutas lamang sa katumbas o katumbas na pagbabago. Ang ganitong mga pagbabago ay hindi nakakasira sa hanay ng mga solusyon.
Kahulugan. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay tinawag katumbas kung ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay pareho.
Upang italaga pagkakapantay-pantay gumamit ng tanda
2. Solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay mga fractional rational inequalities. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay isang natural na pagpapatuloy ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear at quadratic na hindi pagkakapantay-pantay.
Ilipat natin ang mga numero sa kanang bahagi sa kaliwa na may kabaligtaran na tanda.
Bilang resulta, mananatili ang 0 sa kanang bahagi. Ang pagbabagong ito ay katumbas. Ito ay ipinahiwatig ng tanda
Gawin natin ang mga aksyon na inireseta ng algebra. Ibawas ang "1" sa unang hindi pagkakapantay-pantay at "2" sa pangalawa.
3. Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan
1) Ipakilala natin ang isang function. Kailangan nating malaman kung ang function na ito ay mas mababa sa 0.
2) Hanapin ang domain ng function: ang denominator ay hindi dapat 0. "2" ang break point. Para sa x=2 ang function ay hindi tiyak.
3) Hanapin ang mga ugat ng function. Ang function ay 0 kung ang numerator ay 0.
Hinahati ng mga set point ang numerical axis sa tatlong agwat - ito ay mga pagitan ng constancy. Sa bawat pagitan, pinapanatili ng function ang sign nito. Tukuyin natin ang tanda sa unang pagitan. Palitan ang ilang halaga. Halimbawa, 100. Malinaw na ang numerator at denominator ay mas malaki sa 0. Nangangahulugan ito na ang buong fraction ay positibo.
Alamin natin ang mga palatandaan sa natitirang mga pagitan. Kapag dumadaan sa puntong x=2, ang denominator lamang ang nagbabago ng tanda. Nangangahulugan ito na ang buong fraction ay magbabago ng sign, at magiging negatibo. Gawin natin ang isang katulad na talakayan. Kapag dumadaan sa puntong x=-3, ang numerator lamang ang nagbabago ng tanda. Nangangahulugan ito na ang fraction ay magbabago ng sign at magiging positibo.
Pinipili namin ang isang agwat na naaayon sa kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay. I-shade ito at isulat bilang hindi pagkakapantay-pantay
4. Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang quadratic inequality
Isang mahalagang katotohanan.
Kung ihahambing sa 0 (sa kaso ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay), ang fraction ay maaaring palitan ng produkto ng numerator at denominator, o ang numerator o denominator ay maaaring palitan.
Ito ay dahil ang lahat ng tatlong hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa kondisyon na ang u at v ay may magkaibang mga palatandaan. Ang tatlong hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas.
Ginagamit namin ang katotohanang ito at pinapalitan ang fractional-rational inequality ng isang parisukat.
Lutasin natin ang quadratic inequality.
Ipinakilala namin ang isang quadratic function. Hanapin natin ang mga ugat nito at bumuo ng sketch ng graph nito.
Kaya ang mga sanga ng parabola ay nakataas. Sa loob ng pagitan ng mga ugat, pinapanatili ng function ang tanda. Negatibo siya.
Sa labas ng pagitan ng mga ugat, ang pag-andar ay positibo.
Solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay:
5. Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
Ipakilala natin ang isang function:
Hanapin natin ang mga agwat ng katatagan nito:
Upang gawin ito, hanapin namin ang mga ugat at discontinuity point ng domain ng function. Lagi naming pinuputol ang mga break point. (x \u003d 3/2) Pinutol namin ang mga ugat depende sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Samakatuwid, pinutol namin ang ugat.
Ilagay natin ang mga palatandaan:
Isulat natin ang solusyon:
Tapusin na natin ang solusyon ng system. Hanapin natin ang intersection ng hanay ng mga solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay at ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay.
Upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang hanapin ang intersection ng hanay ng mga solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay at ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, nang hiwalay na malutas ang una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang isulat ang mga resulta na nakuha sa isang sistema.
Ilarawan natin ang solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay sa ibabaw ng x-axis.
Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay
Panghuling pag-uulit ng kursong algebra sa ika-9 na baitang
Sa tulong ng araling ito, matututuhan mo ang tungkol sa mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Ang sistema ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa tulong ng mga katumbas na pagbabago. Isinasaalang-alang ang kahulugan ng equivalence, ang paraan ng pagpapalit ng fractional-rational inequality ng square one, at naiintindihan din kung ano ang pagkakaiba sa pagitan ng inequality at equation at kung paano isinasagawa ang mga katumbas na pagbabago.
Algebra Baitang 9
Panghuling pag-uulit ng kursong algebra sa ika-9 na baitang
Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Mga sistema ng makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
1.1 Abstract.
1. Katumbas na pagbabago ng mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay.
Magpasya makatwirang hindi pagkakapantay-pantay ibig sabihin ay hanapin ang lahat ng solusyon nito. Hindi tulad ng isang equation, kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, bilang panuntunan, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon ay hindi mabe-verify sa pamamagitan ng pagpapalit. Samakatuwid, kinakailangan na baguhin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa paraang sa bawat susunod na linya ay nakuha ang hindi pagkakapantay-pantay na may parehong hanay ng mga solusyon.
Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay nalutas lamang sa katumbas o katumbas na pagbabago. Ang ganitong mga pagbabago ay hindi nakakasira sa hanay ng mga solusyon.
Kahulugan. Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay tinawag katumbas kung ang mga hanay ng kanilang mga solusyon ay pareho.
Upang italaga pagkakapantay-pantay gumamit ng tanda
2. Solusyon ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay mga fractional rational inequalities. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito ay isang natural na pagpapatuloy ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear at quadratic na hindi pagkakapantay-pantay.
Ilipat natin ang mga numero sa kanang bahagi sa kaliwa na may kabaligtaran na tanda.
Bilang resulta, mananatili ang 0 sa kanang bahagi. Ang pagbabagong ito ay katumbas. Ito ay ipinahiwatig ng tanda
Gawin natin ang mga aksyon na inireseta ng algebra. Ibawas ang "1" sa unang hindi pagkakapantay-pantay at "2" sa pangalawa.
3. Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan
1) Ipakilala natin ang isang function. Kailangan nating malaman kung ang function na ito ay mas mababa sa 0.
2) Hanapin ang domain ng function: ang denominator ay hindi dapat 0. "2" ang break point. Para sa x=2 ang function ay hindi tiyak.
3) Hanapin ang mga ugat ng function. Ang function ay 0 kung ang numerator ay 0.
Hinahati ng mga set point ang numerical axis sa tatlong agwat - ito ay mga pagitan ng constancy. Sa bawat pagitan, pinapanatili ng function ang sign nito. Tukuyin natin ang tanda sa unang pagitan. Palitan ang ilang halaga. Halimbawa, 100. Malinaw na ang numerator at denominator ay mas malaki sa 0. Nangangahulugan ito na ang buong fraction ay positibo.
Alamin natin ang mga palatandaan sa natitirang mga pagitan. Kapag dumadaan sa puntong x=2, ang denominator lamang ang nagbabago ng tanda. Nangangahulugan ito na ang buong fraction ay magbabago ng sign, at magiging negatibo. Gawin natin ang isang katulad na talakayan. Kapag dumadaan sa puntong x=-3, ang numerator lamang ang nagbabago ng tanda. Nangangahulugan ito na ang fraction ay magbabago ng sign at magiging positibo.
Pinipili namin ang isang agwat na naaayon sa kondisyon ng hindi pagkakapantay-pantay. I-shade ito at isulat bilang hindi pagkakapantay-pantay
4. Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang quadratic inequality
Isang mahalagang katotohanan.
Kung ihahambing sa 0 (sa kaso ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay), ang fraction ay maaaring palitan ng produkto ng numerator at denominator, o ang numerator o denominator ay maaaring palitan.
Ito ay dahil ang lahat ng tatlong hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa kondisyon na ang u at v ay may magkaibang mga palatandaan. Ang tatlong hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas.
Ginagamit namin ang katotohanang ito at pinapalitan ang fractional-rational inequality ng isang parisukat.
Lutasin natin ang quadratic inequality.
Ipinakilala namin ang isang quadratic function. Hanapin natin ang mga ugat nito at bumuo ng sketch ng graph nito.
Kaya ang mga sanga ng parabola ay nakataas. Sa loob ng pagitan ng mga ugat, pinapanatili ng function ang tanda. Negatibo siya.
Sa labas ng pagitan ng mga ugat, ang pag-andar ay positibo.
Solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay:
5. Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay
Ipakilala natin ang isang function:
Hanapin natin ang mga agwat ng katatagan nito:
Upang gawin ito, hanapin namin ang mga ugat at discontinuity point ng domain ng function. Lagi naming pinuputol ang mga break point. (x \u003d 3/2) Pinutol namin ang mga ugat depende sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang aming hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit. Samakatuwid, pinutol namin ang ugat.
Ilagay natin ang mga palatandaan:
Isulat natin ang solusyon:
Tapusin na natin ang solusyon ng system. Hanapin natin ang intersection ng hanay ng mga solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay at ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay.
Upang malutas ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang hanapin ang intersection ng hanay ng mga solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay at ang hanay ng mga solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, nang hiwalay na malutas ang una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang isulat ang mga resulta na nakuha sa isang sistema.
Ilarawan natin ang solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay sa ibabaw ng x-axis.
Ilarawan natin ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay sa ilalim ng axis.
Paraan ng espasyo- ito ay isang unibersal na paraan upang malutas ang halos anumang hindi pagkakapantay-pantay na nangyayari sa isang kurso sa algebra ng paaralan. Ito ay batay sa mga sumusunod na katangian ng mga pag-andar:
1. Ang tuluy-tuloy na function na g(x) ay maaaring magbago ng sign lamang sa punto kung saan ito ay katumbas ng 0. Sa graphically, nangangahulugan ito na ang graph ng isang tuluy-tuloy na function ay maaaring lumipat mula sa isang kalahating eroplano patungo sa isa pa lamang kung ito ay tumatawid sa x- axis (natatandaan namin na ang ordinate ng anumang punto na nakahiga sa OX axis (abscissa axis) ay katumbas ng zero, iyon ay, ang halaga ng function sa puntong ito ay 0):
Nakikita natin na ang function na y=g(x) na ipinapakita sa graph ay tumatawid sa OX axis sa mga puntong x= -8, x=-2, x=4, x=8. Ang mga puntong ito ay tinatawag na mga zero ng function. At sa parehong mga punto ang function na g(x) ay nagbabago ng sign.
2. Maaari ding baguhin ng function ang sign sa mga zero ng denominator - ang pinakasimpleng halimbawa ng isang kilalang function:
Nakikita namin na ang function ay nagbabago ng sign sa ugat ng denominator, sa punto , ngunit hindi naglalaho sa anumang punto. Kaya, kung ang function ay naglalaman ng isang fraction, maaari nitong baguhin ang sign sa mga ugat ng denominator.
2. Gayunpaman, ang function ay hindi palaging nagbabago ng sign sa ugat ng numerator o sa ugat ng denominator. Halimbawa, ang function na y=x 2 ay hindi nagbabago ng sign sa puntong x=0:
kasi ang equation x 2 \u003d 0 ay may dalawang pantay na ugat x \u003d 0, sa puntong x \u003d 0, ang pag-andar, kumbaga, ay nagiging 0 nang dalawang beses. Ang nasabing ugat ay tinatawag na ugat ng pangalawang multiplicity.
Function 
nagbabago ng sign sa zero ng numerator, ngunit hindi nagbabago ng sign sa zero ng denominator: , dahil ang ugat ay ang ugat ng pangalawang multiplicity, iyon ay, ng even multiplicity:
Mahalaga! Sa mga ugat ng kahit multiplicity, ang function ay hindi nagbabago ng sign.
Tandaan! Anuman hindi linear ang hindi pagkakapantay-pantay ng kurso ng paaralan ng algebra, bilang panuntunan, ay nalutas gamit ang paraan ng mga agwat.
Nag-aalok ako sa iyo ng isang detalyadong isa, na sumusunod kung saan maaari mong maiwasan ang mga pagkakamali kapag paglutas ng mga di-linear na hindi pagkakapantay-pantay.
1. Una kailangan mong dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa form
P(x)V0,
kung saan ang V ay ang inequality sign:<,>, ≤ o ≥. Para dito kailangan mo:
a) ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay,
b) hanapin ang mga ugat ng nagresultang expression,
c) i-factor ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay
d) isulat ang parehong mga kadahilanan bilang isang degree.
Pansin! Ang huling aksyon ay dapat gawin upang hindi magkamali sa multiplicity ng mga ugat - kung ang resulta ay isang multiplier sa isang kahit na antas, kung gayon ang kaukulang ugat ay may pantay na multiplicity.
2. Ilagay ang mga nakitang ugat sa number line.
3. Kung mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga bilog na nagsasaad ng mga ugat sa numerical axis ay iiwan na "walang laman", kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, pagkatapos ay pininturahan ang mga bilog.
4. Pinipili namin ang mga ugat ng kahit multiplicity - sa kanila P(x) hindi nagbabago ang tanda.
5. Tukuyin ang tanda P(x) sa kanang bahagi ng puwang. Upang gawin ito, kumuha ng arbitraryong halaga x 0, na mas malaki kaysa sa pinakamalaking ugat at palitan sa P(x).
Kung P(x 0)>0 (o ≥0), pagkatapos ay sa pinakakanang agwat ay inilalagay namin ang tanda na "+".
Kung P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Kapag dumadaan sa isang punto na nagsasaad ng ugat ng kahit multiplicity, HINDI nagbabago ang tanda.
7. Muli nating tinitingnan ang tanda ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, at piliin ang mga pagitan ng tanda na kailangan natin.
8. Pansin! Kung HINDI STRICT ang ating hindi pagkakapantay-pantay, suriin natin ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero nang hiwalay.
9. Isulat ang sagot.
Kung ang orihinal ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng hindi alam sa denominator, pagkatapos ay inililipat din namin ang lahat ng mga termino sa kaliwa, at bawasan ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa anyo
(kung saan ang V ay ang inequality sign:< или >)
Ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ng ganitong uri ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
HINDI mahigpit isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo
ay katumbas ng sistema:
Sa pagsasagawa, kung ang function ay may form , pagkatapos ay magpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
- Hanapin ang mga ugat ng numerator at denominator.
- Inilalagay namin ang mga ito sa axis. Ang lahat ng mga lupon ay naiwang walang laman. Pagkatapos, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, pagkatapos ay ipinta namin ang mga ugat ng numerator, at palaging iwanan ang mga ugat ng denominator na walang laman.
- Susunod, sinusunod namin ang pangkalahatang algorithm:
- Pinipili namin ang mga ugat ng kahit multiplicity (kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga ugat, pagkatapos ay binibilang namin kung gaano karaming beses ang parehong mga ugat na nangyari). Walang pagbabago ng sign sa mga ugat ng kahit multiplicity.
- Nalaman namin ang sign sa pinakakanang pagitan.
- Naglalagay kami ng mga karatula.
- Sa kaso ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay, ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay sa zero, ay hiwalay na sinusuri.
- Pinipili namin ang mga kinakailangang agwat at hiwalay na nakatayo na mga ugat.
- Isulat namin ang sagot.
Para mas maintindihan algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan, panoorin ang VIDEO LESSON kung saan ang halimbawa ay sinusuri nang detalyado solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng mga pagitan.
