Isaalang-alang natin ang paksa ng pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan, ngunit tatalakayin muna natin ang isang bilang ng mga pagbabagong maaaring isagawa sa anumang mga expression, kabilang ang mga kapangyarihan. Matututunan natin kung paano magbukas ng mga bracket, magbigay ng mga katulad na termino, magtrabaho kasama ang base at exponent, gamitin ang mga katangian ng mga kapangyarihan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ano ang Power Expressions?
Sa kurso ng paaralan, kakaunti ang gumagamit ng pariralang "mga expression ng kapangyarihan", ngunit ang terminong ito ay patuloy na matatagpuan sa mga koleksyon para sa paghahanda para sa pagsusulit. Sa karamihan ng mga kaso, ang parirala ay nagsasaad ng mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Ito ang ating sasalamin sa ating depinisyon.
Kahulugan 1
Pagpapahayag ng kapangyarihan ay isang pagpapahayag na naglalaman ng mga kapangyarihan.
Nagbibigay kami ng ilang halimbawa ng mga expression ng kapangyarihan, na nagsisimula sa isang degree na may natural na exponent at nagtatapos sa isang degree na may totoong exponent.
Ang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ay maaaring ituring na mga kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Pati na rin ang mga kapangyarihan na may zero exponent: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . At mga kapangyarihan na may negatibong integer na kapangyarihan: (0 , 5) 2 + (0, 5) - 2 2 .
Medyo mas mahirap magtrabaho sa isang degree na may rasyonal at hindi makatwiran na mga exponent: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Ang indicator ay maaaring isang variable na 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o isang logarithm x 2 l g x − 5 x l g x.
Hinarap namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Ngayon tingnan natin ang kanilang pagbabago.
Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan
Una sa lahat, isasaalang-alang natin ang mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression na maaaring isagawa gamit ang mga power expression.
Halimbawa 1
Kalkulahin ang Halaga ng Power Expression 2 3 (4 2 − 12).
Desisyon
Isasagawa namin ang lahat ng pagbabago bilang pagsunod sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Sa kasong ito, magsisimula kami sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga aksyon sa mga bracket: papalitan namin ang degree ng isang digital na halaga at kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero. Meron kami 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
Ito ay nananatiling para sa amin upang palitan ang degree 2 3 Kahulugan nito 8 at kalkulahin ang produkto 8 4 = 32. Narito ang aming sagot.
Sagot: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .
Halimbawa 2
Pasimplehin ang pagpapahayag gamit ang mga kapangyarihan 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Desisyon
Ang expression na ibinigay sa amin sa kondisyon ng problema ay naglalaman ng mga katulad na termino, na maaari naming dalhin: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Sagot: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
Halimbawa 3
Magpahayag ng expression na may kapangyarihan na 9 - b 3 · π - 1 2 bilang isang produkto.
Desisyon
Katawanin natin ang numero 9 bilang isang kapangyarihan 3 2 at ilapat ang pinaikling pormula ng pagpaparami:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Sagot: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
At ngayon ay lumipat tayo sa pagsusuri ng magkatulad na mga pagbabagong maaaring mailapat partikular sa mga expression ng kapangyarihan.
Paggawa gamit ang base at exponent
Ang antas sa base o exponent ay maaaring may mga numero, variable, at ilang expression. Halimbawa, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 at . Mahirap magtrabaho sa mga ganitong talaan. Mas madaling palitan ang expression sa base ng degree o ang expression sa exponent na may magkaparehong expression.
Ang mga pagbabagong-anyo ng antas at ang tagapagpahiwatig ay isinasagawa alinsunod sa mga alituntuning kilala sa amin nang hiwalay sa bawat isa. Ang pinakamahalagang bagay ay bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang isang expression ay nakuha na kapareho ng orihinal.
Ang layunin ng mga pagbabagong-anyo ay upang gawing simple ang orihinal na pagpapahayag o makakuha ng solusyon sa problema. Halimbawa, sa halimbawang ibinigay namin sa itaas, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 maaari kang magsagawa ng mga operasyon upang pumunta sa antas 4 , 1 1 , 3 . Pagbukas ng mga bracket, maaari tayong magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) at makakuha ng power expression ng isang mas simpleng anyo isang 2 (x + 1).
Paggamit ng Power Properties
Ang mga katangian ng mga degree, na nakasulat bilang mga pagkakapantay-pantay, ay isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may mga degree. Ipinakita namin dito ang mga pangunahing, isinasaalang-alang iyon a at b ay anumang positibong numero, at r at s- di-makatwirang tunay na mga numero:
Kahulugan 2
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s .
Sa mga kaso kung saan tayo ay nakikitungo sa natural, integer, positive exponents, ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b ay maaaring hindi gaanong mahigpit. Kaya, halimbawa, kung isasaalang-alang natin ang pagkakapantay-pantay a m a n = a m + n, saan m at n ay mga natural na numero, kung gayon ito ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a, parehong positibo at negatibo, pati na rin para sa a = 0.
Maaari mong ilapat ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit sa mga kaso kung saan ang mga base ng mga degree ay positibo o naglalaman ng mga variable na ang saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga ay tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito. Sa katunayan, sa loob ng balangkas ng kurikulum ng paaralan sa matematika, ang gawain ng mag-aaral ay piliin ang naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama.
Kapag naghahanda para sa pagpasok sa mga unibersidad, maaaring may mga gawain kung saan ang hindi tumpak na aplikasyon ng mga ari-arian ay hahantong sa pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga paghihirap sa solusyon. Sa seksyong ito, isasaalang-alang lamang namin ang dalawang ganoong mga kaso. Higit pang impormasyon sa paksa ay matatagpuan sa paksang "Pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng exponent".
Halimbawa 4
Kinakatawan ang ekspresyon a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 bilang isang degree na may batayan a.
Desisyon
Upang magsimula sa, ginagamit namin ang exponentiation property at binabago ang pangalawang salik gamit ito (a 2) − 3. Pagkatapos ay ginagamit namin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base:
a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − , 5 − (− 5 − ) = a 2 .
Sagot: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
Ang pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan ayon sa pag-aari ng mga degree ay maaaring gawin pareho mula kaliwa hanggang kanan at sa kabaligtaran ng direksyon.
Halimbawa 5
Hanapin ang halaga ng power expression 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Desisyon
Kung ilalapat natin ang pagkakapantay-pantay (a b) r = a r b r, mula kanan pakaliwa, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang produkto ng form 3 7 1 3 21 2 3 at pagkatapos ay 21 1 3 21 2 3 . Idagdag natin ang mga exponent kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
May isa pang paraan upang gumawa ng mga pagbabago:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Sagot: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Halimbawa 6
Binigyan ng power expression a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, magpasok ng bagong variable t = a 0 , 5.
Desisyon
Isipin ang antas isang 1, 5 bilang isang 0 , 5 3. Paggamit ng degree na ari-arian sa isang degree (a r) s = a r s mula kanan pakaliwa at kunin ang (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5-6 . Sa resultang expression, madali mong maipakilala ang isang bagong variable t = a 0 , 5: kunin t 3 − t − 6.
Sagot: t 3 − t − 6 .
Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan
Karaniwan kaming nakikitungo sa dalawang variant ng power expression na may mga fraction: ang expression ay isang fraction na may degree o naglalaman ng ganoong fraction. Ang lahat ng pangunahing pagbabago ng fraction ay naaangkop sa mga naturang expression nang walang mga paghihigpit. Maaari silang bawasan, dalhin sa isang bagong denominator, magtrabaho nang hiwalay sa numerator at denominator. Ilarawan natin ito sa mga halimbawa.
Halimbawa 7
Pasimplehin ang power expression 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Desisyon
Nakikitungo kami sa isang fraction, kaya magsasagawa kami ng mga pagbabago sa parehong numerator at denominator:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Maglagay ng minus sa harap ng fraction para baguhin ang sign ng denominator: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Sagot: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay binabawasan sa isang bagong denominator sa parehong paraan tulad ng mga rational fraction. Upang gawin ito, kailangan mong maghanap ng karagdagang kadahilanan at i-multiply ang numerator at denominator ng fraction dito. Kinakailangang pumili ng karagdagang salik sa paraang hindi ito nawawala para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.
Halimbawa 8
Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) a + 1 a 0, 7 sa denominator a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 sa denominator x + 8 y 1 2 .
Desisyon
a) Pinipili namin ang isang kadahilanan na magbibigay-daan sa amin upang mabawasan sa isang bagong denominator. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , samakatuwid, bilang isang karagdagang kadahilanan, kinukuha namin isang 0, 3. Kasama sa hanay ng mga tinatanggap na halaga ng variable a ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero. Sa lugar na ito, ang degree isang 0, 3 hindi napupunta sa zero.
I-multiply natin ang numerator at denominator ng isang fraction sa isang 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Bigyang-pansin ang denominator:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
I-multiply ang expression na ito sa x 1 3 + 2 · y 1 6 , nakukuha natin ang kabuuan ng mga cube x 1 3 at 2 · y 1 6 , i.e. x + 8 · y 1 2 . Ito ang ating bagong denominator, kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.
Kaya nakakita kami ng karagdagang salik x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable x at y ang expression na x 1 3 + 2 y 1 6 ay hindi nawawala, kaya maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction dito:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Sagot: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
Halimbawa 9
Bawasan ang fraction: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Desisyon
a) Gamitin ang greatest common denominator (GCD) kung saan maaaring bawasan ang numerator at denominator. Para sa mga numerong 30 at 45, ito ay 15 . Pwede rin bawasan natin x 0 , 5 + 1 at sa x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
Nakukuha namin ang:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
b) Dito hindi halata ang pagkakaroon ng magkatulad na mga kadahilanan. Kakailanganin mong magsagawa ng ilang pagbabago upang makuha ang parehong mga salik sa numerator at denominator. Upang gawin ito, pinalawak namin ang denominator gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Sagot: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Kasama sa mga pangunahing operasyon na may mga fraction ang pagbabawas sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction. Ang parehong mga aksyon ay isinasagawa bilang pagsunod sa ilang mga patakaran. Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction, ang mga fraction ay unang binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos kung saan ang mga aksyon (pagdaragdag o pagbabawas) ay ginanap sa mga numerator. Ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ng ating mga aksyon ay isang bagong fraction, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominador.
Halimbawa 10
Gawin ang mga hakbang x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Desisyon
Magsimula tayo sa pagbabawas ng mga fraction na nasa bracket. Dalhin natin sila sa isang common denominator:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Ibawas natin ang mga numerator:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Bawasan natin ng isang degree x 1 2, makakakuha tayo ng 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Bukod pa rito, maaari mong pasimplehin ang power expression sa denominator gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: mga parisukat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Sagot: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Halimbawa 11
Pasimplehin ang power expression x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Desisyon
Maaari nating bawasan ang fraction sa pamamagitan ng (x 2 , 7 + 1) 2. Nakukuha namin ang isang fraction x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Ipagpatuloy natin ang mga pagbabagong-anyo ng x powers x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Magagamit mo na ngayon ang power division property na may parehong mga base: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Ipasa namin mula sa huling produkto sa fraction x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Sagot: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Sa karamihan ng mga kaso, mas madaling ilipat ang mga multiplier na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator at vice versa sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng exponent. Pinapasimple ng pagkilos na ito ang karagdagang desisyon. Magbigay tayo ng halimbawa: ang power expression (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ay maaaring palitan ng x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan
Sa mga gawain, may mga power expression na naglalaman hindi lamang ng mga degree na may mga fractional exponent, kundi pati na rin sa mga ugat. Ito ay kanais-nais na bawasan ang gayong mga ekspresyon lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Mas mainam ang paglipat sa mga degree, dahil mas madaling gamitin ang mga ito. Ang ganitong paglipat ay lalong kapaki-pakinabang kapag ang DPV ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang i-access ang modulus o hatiin ang DPV sa ilang mga pagitan.
Halimbawa 12
Ipahayag ang expression na x 1 9 x x 3 6 bilang isang kapangyarihan.
Desisyon
Wastong saklaw ng isang variable x ay tinutukoy ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay x ≥ 0 at x · x 3 ≥ 0 , na tumutukoy sa set [ 0 , + ∞) .
Sa set na ito, may karapatan tayong lumipat mula sa ugat patungo sa mga kapangyarihan:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Gamit ang mga katangian ng mga degree, pinapasimple namin ang nagresultang pagpapahayag ng kapangyarihan.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Sagot: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Pag-convert ng mga kapangyarihan na may mga variable sa exponent
Ang mga pagbabagong ito ay medyo simple gawin kung tama mong gamitin ang mga katangian ng degree. Halimbawa, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
Maaari naming palitan ang produkto ng antas, kung saan matatagpuan ang kabuuan ng ilang variable at isang numero. Sa kaliwang bahagi, ito ay maaaring gawin sa una at huling mga termino sa kaliwang bahagi ng expression:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
Ngayon, hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 7 2 x. Ang expression na ito sa ODZ ng variable na x ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Bawasan natin ang mga praksiyon na may mga kapangyarihan, makuha natin ang: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation na 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , na katumbas ng 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Ipinakilala namin ang isang bagong variable t = 5 7 x , na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng quadratic equation 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .
Pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms
Ang mga expression na naglalaman ng mga kapangyarihan at logarithms ay matatagpuan din sa mga problema. Ang mga halimbawa ng naturang mga expression ay: 1 4 1 - 5 log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Ang pagbabagong-anyo ng naturang mga expression ay isinasagawa gamit ang mga diskarte sa itaas at mga katangian ng logarithms, na sinuri namin nang detalyado sa paksang "Pagbabago ng logarithmic expression".
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
ako. Trabaho n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a tinawag n-ika-kapangyarihan ng isang numero a at ipinapahiwatig an.
Mga halimbawa. Isulat ang produkto bilang isang degree.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+ppkk-ppkkk.
Desisyon.
1) mmmm=m 4, dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng antas, ang produkto ng apat na mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng m, kalooban ang ikaapat na kapangyarihan ng m.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .
II. Ang operasyon kung saan natagpuan ang produkto ng ilang pantay na salik ay tinatawag na exponentiation. Ang bilang na itinaas sa isang kapangyarihan ay tinatawag na base ng kapangyarihan. Ang bilang na nagpapahiwatig kung anong kapangyarihan ang itinaas ng base ay tinatawag na exponent. Kaya, an- degree, a- base ng degree n- exponent. Halimbawa:
2 3 — ito ay isang degree. Numero 2 - ang base ng degree, ang exponent ay katumbas ng 3 . Halaga ng degree 2 3 katumbas 8, bilang 2 3 =2 2 2=8.
Mga halimbawa. Isulat ang mga sumusunod na expression nang walang exponent.
5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Desisyon.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbcc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III. at 0 =1 Anumang numero (maliban sa zero) hanggang sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Halimbawa, 25 0 =1.
IV. a 1 = aAnumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito.
v. isang m∙ isang n= isang m + n Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent magdagdag ng up.
Mga halimbawa. Pasimplehin:
9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .
Desisyon.
9) a 3 a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .
VI. isang m: isang n= isang m - nKapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay naiwang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.
Mga halimbawa. Pasimplehin:
12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7 ; labing-apat ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.
VII. (isang m) n= amn Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami.
Mga halimbawa. Pasimplehin:
15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .
tala, na, dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga salik, pagkatapos:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .
Vako II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Kapag tinataas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, ang bawat isa sa mga kadahilanan ay itinataas sa kapangyarihan na iyon.
Mga halimbawa. Pasimplehin:
17) (2a 2) 5 ; 18) 0.26 56; 19) 0.25 2 40 2 .
Desisyon.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0.2 6 5 6=(0.2 5) 6 =1 6 =1;
19) 0.25 2 40 2\u003d (0.25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX. Kapag tinataas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, ang numerator at denominator ng fraction ay itinataas sa kapangyarihan na iyon.
Mga halimbawa. Pasimplehin:
Desisyon.
Pahina 1 ng 1 1
Ang isa sa mga pangunahing katangian sa algebra, at sa katunayan sa lahat ng matematika, ay isang degree. Siyempre, sa ika-21 siglo, ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring isagawa sa isang online na calculator, ngunit mas mahusay na matutunan kung paano gawin ito sa iyong sarili para sa pagbuo ng mga talino.
Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang pinakamahalagang isyu tungkol sa kahulugang ito. Lalo na, mauunawaan natin kung ano ito sa pangkalahatan at kung ano ang mga pangunahing pag-andar nito, kung anong mga katangian ang umiiral sa matematika.
Tingnan natin ang mga halimbawa kung ano ang hitsura ng pagkalkula, ano ang mga pangunahing formula. Susuriin namin ang mga pangunahing uri ng mga dami at kung paano sila naiiba sa iba pang mga pag-andar.
Mauunawaan namin kung paano lutasin ang iba't ibang mga problema gamit ang halagang ito. Ipapakita namin kasama ng mga halimbawa kung paano itaas sa zero degree, hindi makatwiran, negatibo, atbp.
Online na calculator ng exponentiation
Ano ang antas ng isang numero
Ano ang ibig sabihin ng expression na "itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan"?
Ang antas n ng isang numero a ay ang produkto ng mga kadahilanan ng magnitude isang n beses sa isang hilera.
Sa matematika, ganito ang hitsura:
a n = a * a * a * …a n .
Halimbawa:
- 2 3 = 2 sa ikatlong hakbang. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 sa hakbang. dalawa = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 sa hakbang. apat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 sa 5 hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 sa 4 na hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Nasa ibaba ang isang talahanayan ng mga parisukat at cube mula 1 hanggang 10.
Talaan ng mga digri mula 1 hanggang 10
Nasa ibaba ang mga resulta ng pagpapataas ng mga natural na numero sa mga positibong kapangyarihan - "mula 1 hanggang 100".
| Ch-lo | ika-2 baitang | ika-3 baitang |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Mga katangian ng degree
Ano ang katangian ng gayong mathematical function? Tingnan natin ang mga pangunahing katangian.
Itinatag ng mga siyentipiko ang mga sumusunod mga palatandaan na katangian ng lahat ng antas:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m =(a) (b*m) .
Suriin natin gamit ang mga halimbawa:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sa kabilang banda 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Katulad nito: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kung hindi 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Paano kung iba? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Tulad ng nakikita mo, gumagana ang mga patakaran.
Ngunit kung paano maging na may karagdagan at pagbabawas? Simple lang ang lahat. Isinasagawa ang unang exponentiation, at pagkatapos lamang ang pagdaragdag at pagbabawas.
Tingnan natin ang mga halimbawa:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Ngunit sa kasong ito, kailangan mo munang kalkulahin ang karagdagan, dahil may mga aksyon sa mga bracket: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Paano gumawa mga kalkulasyon sa mas kumplikadong mga kaso? Ang pagkakasunud-sunod ay pareho:
- kung may mga bracket, kailangan mong magsimula sa kanila;
- pagkatapos exponentiation;
- pagkatapos ay magsagawa ng mga operasyon ng pagpaparami, paghahati;
- pagkatapos ng karagdagan, pagbabawas.
May mga partikular na katangian na hindi katangian ng lahat ng antas:
- Ang ugat ng nth degree mula sa numero a hanggang sa degree m ay isusulat bilang: a m / n .
- Kapag tinataas ang isang fraction sa isang kapangyarihan: ang numerator at ang denominator nito ay napapailalim sa pamamaraang ito.
- Kapag tinataas ang produkto ng iba't ibang numero sa isang kapangyarihan, ang expression ay tumutugma sa produkto ng mga numerong ito sa isang ibinigay na kapangyarihan. Iyon ay: (a * b) n = a n * b n .
- Kapag itinaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang 1 sa isang numero sa parehong hakbang, ngunit may sign na "+".
- Kung ang denominator ng isang fraction ay nasa negatibong kapangyarihan, ang expression na ito ay magiging katumbas ng produkto ng numerator at denominator sa isang positibong kapangyarihan.
- Anumang numero sa kapangyarihan ng 0 = 1, at sa hakbang. 1 = sa kanyang sarili.
Ang mga patakarang ito ay mahalaga sa mga indibidwal na kaso, isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba.
Degree na may negatibong exponent
Ano ang gagawin sa isang negatibong antas, iyon ay, kapag ang tagapagpahiwatig ay negatibo?
Batay sa mga katangian 4 at 5(tingnan ang punto sa itaas) iyon pala:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
At kabaliktaran:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Paano kung ito ay isang fraction?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25/9.
Degree na may natural na tagapagpahiwatig
Ito ay nauunawaan bilang isang degree na may mga exponent na katumbas ng mga integer.
Bagay na dapat alalahanin:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…atbp.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…atbp.
Gayundin, kung (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…kung gayon ang resulta ay magkakaroon ng tandang “+”. Kung ang isang negatibong numero ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, pagkatapos ay kabaligtaran.
Ang mga pangkalahatang katangian, at lahat ng partikular na tampok na inilarawan sa itaas, ay katangian din ng mga ito.
Fractional degree
Ang view na ito ay maaaring isulat bilang isang scheme: A m / n. Ito ay binabasa bilang: ang ugat ng ika-n degree ng bilang A sa kapangyarihan ng m.
Sa isang fractional indicator, magagawa mo ang anuman: bawasan, mabulok sa mga bahagi, itaas sa ibang antas, atbp.
Degree na may hindi makatwirang exponent
Hayaan ang α ay isang hindi makatwirang numero at А ˃ 0.
Upang maunawaan ang kakanyahan ng antas na may tulad na tagapagpahiwatig, Tingnan natin ang iba't ibang posibleng kaso:
- A \u003d 1. Ang resulta ay magiging katumbas ng 1. Dahil mayroong isang axiom - 1 ay katumbas ng isa sa lahat ng kapangyarihan;
Ang А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 ay mga rational na numero;
- 0˂А˂1.
Sa kasong ito, vice versa: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 sa ilalim ng parehong mga kondisyon tulad ng sa ikalawang talata.
Halimbawa, ang exponent ay ang numerong π. Ito ay makatuwiran.
r 1 - sa kasong ito ito ay katumbas ng 3;
r 2 - ay magiging katumbas ng 4.
Pagkatapos, para sa A = 1, 1 π = 1.
A = 2, pagkatapos ay 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, pagkatapos ay (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Ang ganitong mga antas ay nailalarawan sa pamamagitan ng lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika at mga partikular na katangian na inilarawan sa itaas.
Konklusyon
Ibuod natin - para saan ang mga halagang ito, ano ang mga pakinabang ng naturang mga pag-andar? Siyempre, una sa lahat, pinapasimple nila ang buhay ng mga mathematician at programmer kapag nilulutas ang mga halimbawa, dahil pinapayagan nila ang pagliit ng mga kalkulasyon, pagbabawas ng mga algorithm, pag-systematize ng data, at marami pa.
Saan pa maaaring maging kapaki-pakinabang ang kaalamang ito? Sa anumang specialty sa pagtatrabaho: gamot, pharmacology, dentistry, construction, teknolohiya, engineering, disenyo, atbp.
Aralin sa paksa: "Mga panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may pareho at magkakaibang exponents. Mga halimbawa"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 7
Manwal para sa aklat-aralin Yu.N. Makarycheva Manual para sa aklat-aralin A.G. Mordkovich
Ang layunin ng aralin: matutunan kung paano magsagawa ng mga operasyon na may mga kapangyarihan ng isang numero.
Upang magsimula, alalahanin natin ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang numero". Ang isang expression tulad ng $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ay maaaring katawanin bilang $a^n$.
Totoo rin ang kabaligtaran: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "pagtatala ng antas bilang isang produkto". Makakatulong ito sa atin na matukoy kung paano paramihin at hatiin ang mga kapangyarihan.
Tandaan:
a- ang batayan ng antas.
n- exponent.
Kung ang n=1, na nangangahulugang ang numero a kinuha nang isang beses at ayon sa pagkakabanggit: $a^n= 1$.
Kung ang n=0, pagkatapos ay $a^0= 1$.
Kung bakit ito nangyayari, malalaman natin kapag nakilala natin ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.
mga tuntunin sa pagpaparami
a) Kung ang mga kapangyarihan na may parehong base ay pinarami.Sa $a^n * a^m$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Ipinapakita ng figure na ang numero a kinuha n+m beses, pagkatapos ay $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ang ari-arian na ito ay maginhawang gamitin upang pasimplehin ang trabaho kapag nagtataas ng isang numero sa isang malaking kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Kung ang mga kapangyarihan ay pinarami sa ibang base, ngunit sa parehong exponent.
Sa $a^n * b^n$, isinusulat namin ang mga kapangyarihan bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makukuha natin ang: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Kaya $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
mga panuntunan sa paghahati
a) Ang base ng degree ay pareho, ang mga exponent ay iba.Pag-isipang hatiin ang isang degree na may mas malaking exponent sa pamamagitan ng paghahati ng degree na may mas maliit na exponent.
Kaya, ito ay kinakailangan $\frac(a^n)(a^m)$, saan n>m.
Isinulat namin ang mga degree bilang isang fraction:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Para sa kaginhawahan, isinusulat namin ang dibisyon bilang isang simpleng fraction.Ngayon bawasan natin ang fraction.
Ito ay lumabas: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ibig sabihin, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ang pag-aari na ito ay makakatulong na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ng zero. Ipagpalagay natin na n=m, pagkatapos ay $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Mga halimbawa.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan mo ng $\frac(a^n)( b^n)$. Isinulat namin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang isang fraction:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Isipin natin para sa kaginhawahan.
Gamit ang pag-aari ng mga fraction, hinahati namin ang isang malaking fraction sa isang produkto ng maliliit, nakukuha namin.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Alinsunod dito: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Halimbawa.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .
Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.
Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .
Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.
Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .
Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.
Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.
O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Pagpaparami ng kapangyarihan
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.
Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.
O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .
Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.
Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.
Kaya, a n .a m = a m+n .
Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;
At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;
Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.
Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.
1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin
Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.
Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.
Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Dibisyon ng mga degree
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.
Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .
O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.
Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..
Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.
At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan
1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.
3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .
4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.
5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .
8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.
9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.
