Inaanyayahan ka namin sa isang aralin kung paano lutasin ang mga equation na may mga fraction. Malamang, nakatagpo ka na ng mga naturang equation sa nakaraan, kaya sa araling ito kailangan naming ulitin at ibuod ang impormasyong alam mo.

Higit pang mga aralin sa site

Ang isang fractional-rational equation ay isang equation kung saan mayroong mga rational fraction, iyon ay, isang variable sa denominator. Malamang, nakipag-usap ka na sa mga naturang equation sa nakaraan, kaya sa araling ito ay uulitin namin at ibuod ang impormasyong alam mo.

Una, ipinapanukala kong sumangguni sa nakaraang aralin ng paksang ito - sa aralin na "Paglutas ng mga quadratic equation." Sa araling iyon, ang isang halimbawa ng paglutas ng isang fractional rational equation ay isinasaalang-alang. Isaalang-alang ito

Ang solusyon ng equation na ito ay isinasagawa sa maraming yugto:

• Pagbabago ng isang equation na naglalaman ng mga rational fraction.
• Ang paglipat sa buong equation at ang pagpapasimple nito;
• Solusyon ng isang quadratic equation.

Kinakailangang dumaan sa unang 2 yugto kapag nilulutas ang anumang fractional-rational equation. Ang ikatlong yugto ay opsyonal, dahil ang equation na nakuha bilang resulta ng mga pagpapasimple ay maaaring hindi parisukat, ngunit linear; mas madali ang paglutas ng linear equation. May isa pang mahalagang hakbang sa paglutas ng isang fractional rational equation. Ito ay makikita kapag nilulutas ang susunod na equation.

ano ang dapat unahin? - Siyempre, dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator. At ito ay napakahalaga upang mahanap nang eksakto hindi bababa sa karaniwang denominador, kung hindi, higit pa, sa proseso ng paglutas, ang equation ay magiging kumplikado. Dito natin mapapansin na ang denominator ng huling fraction ay maaaring i-factorize sa at y+2. Ang produktong ito mismo ang magiging common denominator sa equation na ito. Ngayon ay kailangan mong matukoy ang mga karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction. Sa halip, para sa huling bahagi, ang gayong salik ay hindi kailangan, dahil ang denominator nito ay katumbas ng karaniwan. Ngayon, kapag ang lahat ng mga fraction ay may parehong denominator, maaari kang pumunta sa buong equation, na binubuo ng ilang mga numerator. Ngunit isang puna ang dapat gawin, iyon ang nahanap na halaga ng hindi alam ay hindi maaaring mawala ang alinman sa mga denominator. Ito ang ODZ: y≠0, y≠2. Kinukumpleto nito ang una sa naunang inilarawan na mga yugto ng solusyon at magpatuloy sa pangalawa - pinapasimple namin ang nagresultang buong equation. Upang gawin ito, binuksan namin ang mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino sa isang bahagi ng equation at magbigay ng mga katulad. Gawin ito sa iyong sarili at suriin kung tama ang aking mga kalkulasyon, kung saan nakuha ang equation 3y 2 - 12y = 0. Ang equation na ito ay quadratic, ito ay nakasulat sa karaniwang anyo, at ang isa sa mga coefficient nito ay katumbas ng zero.

T. Kosyakova,
paaralan N№ 80, Krasnodar

Solusyon ng quadratic at fractional-rational equation na naglalaman ng mga parameter

Aralin 4

Paksa ng aralin:

Layunin ng aralin: upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga fractional-rational equation na naglalaman ng mga parameter.

Uri ng aralin: pagpapakilala ng bagong materyal.

1. (Oral.) Lutasin ang mga equation:

Halimbawa 1. Lutasin ang Equation

Desisyon.

Maghanap ng mga di-wastong halaga a:

Sagot. Kung ang kung a = – 19 , pagkatapos ay walang mga ugat.

Halimbawa 2. Lutasin ang Equation

Desisyon.

Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Sagot. Kung ang a = 5 a № 5 , pagkatapos x=10– a .

Halimbawa 3. Sa anong mga halaga ng parameter b ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat b) ang tanging ugat?

Desisyon.

1) Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 o b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 o b = – 2.

2) Lutasin ang equation x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

a)

Hindi kasama ang mga di-wastong value ng parameter b , nakukuha natin na ang equation ay may dalawang ugat, kung b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ngunit ito ay isang di-wastong halaga ng parameter b ; kung b 2 –1=0 , ibig sabihin. b=1 o.

Sagot: a) kung b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pagkatapos ay dalawang ugat; b) kung b=1 o b=-1 , pagkatapos ay ang tanging ugat.

Pansariling gawain

Opsyon 1

Lutasin ang mga equation:

Opsyon 2

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot

SA 1. at kung a=3 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung b) kung kung a № 2 , pagkatapos ay walang mga ugat.

SA 2. Kung ang a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung a=0 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung
b) kung a=– 1 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung pagkatapos ay walang mga ugat;
kung

Takdang aralin.

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot: a) Kung a № –2 , pagkatapos x= a ; kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; b) kung a № –2 , pagkatapos x=2; kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; c) kung a=–2 , pagkatapos x- anumang numero maliban sa 3 ; kung a № –2 , pagkatapos x=2; d) kung a=–8 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung

Aralin 5

Paksa ng aralin:"Solusyon ng Fractional-Rational Equation na Naglalaman ng Mga Parameter".

Layunin ng Aralin:

pag-aaral upang malutas ang mga equation na may hindi pamantayang kondisyon;
mulat na asimilasyon ng mga mag-aaral ng mga konseptong algebraic at ugnayan sa pagitan nila.

Uri ng aralin: sistematisasyon at paglalahat.

Sinusuri ang takdang-aralin.

Halimbawa 1. Lutasin ang Equation

a) nauugnay sa x; b) kamag-anak sa y.

Desisyon.

a) Maghanap ng mga di-wastong halaga y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– di-wastong halaga ng parameter y.

Kung ang y№ 0 , pagkatapos x=y-2; kung y=0, pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation.

b) Maghanap ng mga di-wastong halaga ng parameter x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– di-wastong halaga ng parameter x; y(2+x-y)=0, y=0 o y=2+x;

y=0 hindi nakakatugon sa kondisyon y(y–x)№ 0 .

Sagot: a) kung y=0, pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung y№ 0 , pagkatapos x=y-2; b) kung x=0 x№ 0 , pagkatapos y=2+x .

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng integer ng parameter a ang mga ugat ng equation nabibilang sa pagitan

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kung ang a № 0 o a № – 1 , pagkatapos

Sagot: 5 .

Halimbawa 3. Maghanap ng medyo x buong solusyon ng equation

Sagot. Kung ang y=0, kung gayon ang equation ay walang kahulugan; kung y=–1, pagkatapos x- anumang integer maliban sa zero; kung y# 0, y# – 1, pagkatapos ay walang mga solusyon.

Halimbawa 4 Lutasin ang Equation may mga parameter a at b .

Kung ang a№ – b , pagkatapos

Sagot. Kung ang a= 0 o b= 0 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung a№ 0,b№ 0, a=-b , pagkatapos x- anumang numero maliban sa zero; kung a№ 0,b№ 0,a№ -b pagkatapos x=-a, x=-b .

Halimbawa 5. Patunayan na para sa anumang hindi-zero na halaga ng parameter n, ang equation ay may iisang ugat na katumbas ng – n .

Desisyon.

i.e. x=-n, na dapat patunayan.

Takdang aralin.

1. Hanapin ang buong solusyon ng equation

2. Sa anong mga halaga ng parameter c ang equation Mayroon itong:
a) dalawang ugat b) ang tanging ugat?

3. Hanapin ang lahat ng integer na ugat ng equation kung a O N .

4. Lutasin ang equation 3xy - 5x + 5y = 7: a) medyo y; b) medyo x .

1. Ang equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng anumang integer equal values ​​ng x at y maliban sa zero.
2. a) Kailan
b) sa o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Kung pagkatapos ay walang mga ugat; kung
b) kung pagkatapos ay walang mga ugat; kung

Pagsusulit

Opsyon 1

1. Tukuyin ang uri ng equation 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 sa: a) c=-3; b) c=2 ; sa) c=4 .

2. Lutasin ang mga equation: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; sa)

3. Lutasin ang equation 3x-xy-2y=1:

a) medyo x ;
b) medyo y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, alam na ang parameter n ay tumatagal lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng b ginagawa ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat
b) ang tanging ugat?

Opsyon 2

1. Tukuyin ang uri ng equation 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 sa: a) c=-4 ; b) c=7 ; sa) c=1 .

2. Lutasin ang mga equation: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; sa)

3. Lutasin ang equation 6x-xy+2y=5:

a) medyo x ;
b) medyo y .

4. Hanapin ang mga integer na ugat ng equation nx 2 -22x+2n=0 , alam na ang parameter n ay tumatagal lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat
b) ang tanging ugat?

Mga sagot

SA 1. 1. a) Linear equation;
b) hindi kumpletong quadratic equation; c) isang parisukat na equation.
2. a) Kung b=0, pagkatapos x=0; kung b#0, pagkatapos x=0, x=b;
b) kung cО (9;+Ґ ), pagkatapos ay walang mga ugat;
c) kung a=–4 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung a№ –4 , pagkatapos x=- a .
3. a) Kung y=3, pagkatapos ay walang mga ugat; kung);
b) a=–3, a=1.

Mga karagdagang gawain

Lutasin ang mga equation:

Panitikan

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Tungkol sa mga parameter mula sa simula. - Tutor, Blg. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Mga kinakailangang kondisyon sa mga gawain na may mga parameter. – Kvant, No. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Paglutas ng mga problema na naglalaman ng mga parameter. Bahagi 2. - M., Pananaw, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Limang daan at labing-apat na gawain na may mga parameter. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Mga gawain na may mga parameter. - M., Edukasyon, 1986.

Fractional equation. ODZ.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga equation. Alam na natin kung paano gumawa ng mga linear at quadratic na equation. Ang huling view ay nananatili mga fractional equation. O tinatawag din silang mas solid - fractional rational equation. Ito ay pareho.

Fractional equation.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga equation na ito ay kinakailangang naglalaman ng mga fraction. Ngunit hindi lamang mga fraction, ngunit mga fraction na mayroon hindi kilala sa denominator. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Let me remind you, kung sa denominators lang numero, ito ay mga linear na equation.

Paano magdesisyon mga fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga fraction! Pagkatapos nito, ang equation, kadalasan, ay nagiging isang linear o quadratic. At pagkatapos ay alam namin kung ano ang gagawin... Sa ilang mga kaso, maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5=5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7=2. Ngunit bihira itong mangyari. Sa ibaba ay babanggitin ko ito.

Ngunit paano mapupuksa ang mga fraction!? Napakasimple. Paglalapat ng lahat ng magkatulad na pagbabago.

Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay bumaba! Ang lahat ay agad na magiging mas madali. Ipinapaliwanag ko sa isang halimbawa. Sabihin nating kailangan nating lutasin ang equation:

Paano sila tinuruan noong elementarya? Inilipat namin ang lahat sa isang direksyon, binabawasan ito sa isang karaniwang denominator, atbp. Kalimutan ang masamang panaginip! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag o nagbawas ng mga fractional expression. O magtrabaho nang may hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad nating i-multiply ang parehong bahagi sa pamamagitan ng isang expression na magbibigay sa atin ng pagkakataong bawasan ang lahat ng denominator (ibig sabihin, sa esensya, ng isang common denominator). At ano ang ekspresyong ito?

Sa kaliwang bahagi, upang mabawasan ang denominator, kailangan mong i-multiply sa x+2. At sa kanan, kailangan ang multiplication sa 2. Kaya, ang equation ay dapat i-multiply sa 2(x+2). Kami ay nagpaparami:

Ito ang karaniwang pagpaparami ng mga praksyon, ngunit isusulat ko nang detalyado:

Pakitandaan na hindi ko pa binubuksan ang panaklong. (x + 2)! Kaya, sa kabuuan nito, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi, ito ay ganap na nabawasan (x+2), at sa kanan 2. Kung kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin linear ang equation:

Kahit sino ay kayang lutasin ang equation na ito! x = 2.

Lutasin natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 = 3/1, at 2x = 2x/ 1 ay maaaring isulat:

At muli, inaalis natin ang hindi natin gusto - mula sa mga fraction.

Nakikita namin na upang bawasan ang denominator na may x, kinakailangan na i-multiply ang fraction sa (x - 2). At hindi hadlang sa amin ang mga unit. Well, paramihin natin. Lahat kaliwang bahagi at lahat kanang bahagi:

Mga bracket ulit (x - 2) Hindi ko ibinubunyag. Nagtatrabaho ako sa bracket sa kabuuan, na parang isang numero! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi, walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan, kami ay nag-cut (x - 2) at makuha namin ang equation nang walang anumang mga fraction, sa isang ruler!

At ngayon binuksan namin ang mga bracket:

Nagbibigay kami ng mga katulad, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makuha:

Ngunit bago iyon, matututo tayong lutasin ang iba pang mga problema. Para sa interes. Yung mga kalaykay pala!

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Nagpatuloy kami sa pag-uusap solusyon ng mga equation. Sa artikulong ito, pagtutuunan natin ng pansin rational equation at mga prinsipyo para sa paglutas ng mga rational equation na may isang variable. Una, alamin natin kung anong uri ng mga equation ang tinatawag na rational, magbigay ng kahulugan ng integer rational at fractional rational equation, at magbigay ng mga halimbawa. Dagdag pa, kukuha kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga rational equation, at, siyempre, isaalang-alang ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa kasama ang lahat ng kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Batay sa mga tunog na kahulugan, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng mga rational equation. Halimbawa, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , ay pawang mga rational equation.

Mula sa mga halimbawang ipinakita, makikita na ang mga rational equation, gayundin ang mga equation ng iba pang mga uri, ay maaaring may isang variable, o may dalawa, tatlo, atbp. mga variable. Sa mga sumusunod na talata, pag-uusapan natin ang paglutas ng mga rational equation sa isang variable. Paglutas ng mga equation na may dalawang variable at ang kanilang malaking bilang ay nararapat na espesyal na atensyon.

Bilang karagdagan sa paghahati ng mga rational equation sa bilang ng mga hindi kilalang variable, nahahati din sila sa integer at fractional. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Tinatawag ang rational equation buo, kung pareho ang kaliwa at kanang bahagi nito ay integer rational expression.

Kahulugan.

Kung ang isa sa mga bahagi ng rational equation ay fractional expression, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na fractionally rational(o fractional rational).

Malinaw na ang mga integer equation ay hindi naglalaman ng dibisyon ng isang variable; sa kabilang banda, ang mga fractional rational equation ay kinakailangang naglalaman ng dibisyon ng isang variable (o isang variable sa denominator). Kaya 3 x+2=0 at (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5 ay buong rational equation, pareho ng kanilang mga bahagi ay integer expression. Ang A at x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ay mga halimbawa ng fractional rational equation.

Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang mga linear equation at quadratic equation na kilala sa sandaling ito ay mga buong rational equation.

Paglutas ng buong equation

Ang isa sa mga pangunahing diskarte sa paglutas ng buong equation ay ang kanilang pagbawas sa katumbas algebraic equation. Ito ay palaging magagawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na katumbas na pagbabago ng equation:

• una, ang expression mula sa kanang bahagi ng orihinal na integer equation ay inililipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran na tanda upang makakuha ng zero sa kanang bahagi;
• pagkatapos nito, sa kaliwang bahagi ng equation, ang resultang karaniwang anyo.

Ang resulta ay isang algebraic equation na katumbas ng orihinal na buong equation. Kaya sa pinakasimpleng mga kaso, ang solusyon ng buong equation ay nabawasan sa solusyon ng linear o quadratic equation, at sa pangkalahatang kaso - sa solusyon ng isang algebraic equation ng degree n. Para sa kalinawan, pag-aralan natin ang solusyon ng halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng buong equation 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Desisyon.

Bawasan natin ang solusyon ng buong equation na ito sa solusyon ng isang katumbas na algebraic equation. Upang gawin ito, una, inilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa, bilang isang resulta ay nakarating kami sa equation 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. At, pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi sa isang polynomial ng karaniwang anyo sa pamamagitan ng paggawa ng kinakailangan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Kaya, ang solusyon ng orihinal na integer equation ay nabawasan sa solusyon ng quadratic equation x 2 −5·x−6=0 .

Kalkulahin ang discriminant nito D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ito ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na makikita natin sa pamamagitan ng formula ng mga ugat ng quadratic equation:

Upang maging ganap na sigurado, gawin natin pagsuri sa mga natagpuang ugat ng equation. Una, sinusuri namin ang ugat 6, palitan ito sa halip na ang variable na x sa orihinal na integer equation: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, na pareho, 63=63 . Ito ay isang wastong numerical equation, kaya ang x=6 ay talagang ugat ng equation. Ngayon suriin namin ang ugat −1 , mayroon kami 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, saan, 0=0 . Para sa x=−1, ang orihinal na equation ay naging tunay na numerical equality, samakatuwid, x=−1 din ang ugat ng equation.

Sagot:

6 , −1 .

Dito dapat ding tandaan na ang terminong "kapangyarihan ng isang buong equation" ay nauugnay sa representasyon ng isang buong equation sa anyo ng isang algebraic equation. Nagbibigay kami ng kaukulang kahulugan:

Kahulugan.

Ang antas ng buong equation tawagan ang antas ng isang algebraic equation na katumbas nito.

Ayon sa kahulugang ito, ang buong equation mula sa nakaraang halimbawa ay may pangalawang antas.

Sa isang ito ay maaaring matapos sa solusyon ng buong rational equation, kung hindi para sa isa ngunit .... Tulad ng nalalaman, ang solusyon ng mga algebraic equation ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap, at para sa mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ikaapat, walang mga pangkalahatang formula para sa mga ugat sa lahat. Samakatuwid, upang malutas ang buong mga equation ng ikatlo, ikaapat, at mas mataas na antas, ang isa ay madalas na kailangang gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng solusyon.

Sa ganitong mga kaso, kung minsan ang diskarte sa paglutas ng buong rational equation batay sa paraan ng factorization. Kasabay nito, sinusunod ang sumusunod na algorithm:

• una nilang hinahangad na magkaroon ng zero sa kanang bahagi ng equation, para dito inililipat nila ang expression mula sa kanang bahagi ng buong equation sa kaliwa;
• pagkatapos, ang resultang expression sa kaliwang bahagi ay ipinakita bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan, na nagpapahintulot sa iyo na pumunta sa isang hanay ng ilang mga mas simpleng equation.

Ang algorithm sa itaas para sa paglutas ng buong equation sa pamamagitan ng factorization ay nangangailangan ng isang detalyadong paliwanag gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang buong equation (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Desisyon.

Una, tulad ng dati, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi ng equation, hindi nakakalimutang baguhin ang sign, nakukuha namin (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Malinaw dito na hindi ipinapayong baguhin ang kaliwang bahagi ng resultang equation sa isang polynomial ng karaniwang anyo, dahil magbibigay ito ng algebraic equation ng ika-apat na antas ng form. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, na ang solusyon ay mahirap.

Sa kabilang banda, kitang-kita na ang x 2 −10·x+13 ay matatagpuan sa kaliwang bahagi ng resultang equation, sa gayon ay kinakatawan ito bilang isang produkto. Meron kami (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ang resultang equation ay katumbas ng orihinal na buong equation, at ito naman, ay maaaring palitan ng isang set ng dalawang quadratic equation x 2 −10·x+13=0 at x 2 −2·x−1=0 . Ang paghahanap ng kanilang mga ugat gamit ang mga kilalang root formula sa pamamagitan ng discriminant ay hindi mahirap, ang mga ugat ay pantay. Sila ang gustong mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

Kapaki-pakinabang din ito para sa paglutas ng buong rational equation. paraan para sa pagpapakilala ng bagong variable. Sa ilang mga kaso, pinapayagan nito ang isa na pumasa sa mga equation na ang antas ay mas mababa kaysa sa antas ng orihinal na integer equation.

Halimbawa.

Hanapin ang tunay na mga ugat ng isang rational equation (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Desisyon.

Ang pagbabawas ng buong rational equation na ito sa isang algebraic equation ay, sa madaling salita, hindi isang napakagandang ideya, dahil sa kasong ito ay darating tayo sa pangangailangan na lutasin ang isang fourth-degree na equation na walang rational roots. Samakatuwid, kakailanganin mong maghanap ng isa pang solusyon.

Madaling makita dito na maaari kang magpakilala ng bagong variable na y at palitan ang expression na x 2 +3 x dito. Ang ganitong kapalit ay humahantong sa amin sa buong equation (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , na, pagkatapos ilipat ang expression −2 (y−4) sa kaliwang bahagi at kasunod na pagbabago ng expression na nabuo doon, binabawasan sa equation y 2 +4 y+3=0 . Ang mga ugat ng equation na ito y=−1 at y=−3 ay madaling mahanap, halimbawa, sila ay matatagpuan batay sa inverse theorem ng Vieta's theorem.

Ngayon ay lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, iyon ay, sa paggawa ng isang reverse substitution. Pagkatapos isagawa ang reverse substitution, nakakuha tayo ng dalawang equation x 2 +3 x=−1 at x 2 +3 x=−3 , na maaaring muling isulat bilang x 2 +3 x+1=0 at x 2 +3 x+3 =0 . Ayon sa formula ng mga ugat ng quadratic equation, nakita natin ang mga ugat ng unang equation. At ang pangalawang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, dahil ang discriminant nito ay negatibo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Sagot:

Sa pangkalahatan, kapag tayo ay nakikitungo sa mga integer equation na may mataas na antas, dapat tayong laging handa na maghanap ng hindi pamantayang pamamaraan o isang artipisyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Solusyon ng mga fractionally rational equation

Una, magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano lutasin ang mga fractionally rational equation ng form , kung saan ang p(x) at q(x) ay mga rational integer expression. At pagkatapos ay ipapakita namin kung paano bawasan ang solusyon ng natitirang fractionally rational equation sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na anyo.

Ang isa sa mga diskarte sa paglutas ng equation ay batay sa sumusunod na pahayag: ang numerical fraction na u / v, kung saan ang v ay isang di-zero na numero (kung hindi man ay makakatagpo tayo ng , na hindi tinukoy), ay zero kung at kung ang numerator nito. ay zero, kung gayon ay, kung at kung u=0 lamang. Sa bisa ng pahayag na ito, ang solusyon ng equation ay nababawasan sa katuparan ng dalawang kondisyon p(x)=0 at q(x)≠0 .

Ang konklusyong ito ay naaayon sa mga sumusunod algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational equation. Upang malutas ang isang fractional rational equation ng form

• lutasin ang buong rational equation p(x)=0 ;
• at suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa bawat natagpuang ugat, habang
• kung totoo, ang ugat na ito ay ang ugat ng orihinal na equation;
• kung hindi, ang ugat na ito ay extraneous, ibig sabihin, hindi ito ang ugat ng orihinal na equation.

Suriin natin ang isang halimbawa ng paggamit ng voiced algorithm kapag nilulutas ang isang fractional rational equation.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Ito ay isang fractionally rational equation ng form , kung saan p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Ayon sa algorithm para sa paglutas ng fractionally rational equation ng ganitong uri, kailangan muna nating lutasin ang equation na 3·x−2=0 . Ito ay isang linear equation na ang ugat ay x=2/3 .

Ito ay nananatiling suriin para sa ugat na ito, iyon ay, upang suriin kung natutugunan nito ang kundisyon 5·x 2 −2≠0 . Pinapalitan natin ang numerong 2/3 sa halip na x sa expression na 5 x 2 −2, nakukuha natin . Ang kundisyon ay natutugunan, kaya ang x=2/3 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

2/3 .

Ang solusyon ng isang fractional rational equation ay maaaring lapitan mula sa isang bahagyang naiibang posisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng buong equation p(x)=0 sa variable x ng orihinal na equation. Ibig sabihin, masusunod mo ito algorithm para sa paglutas ng isang fractionally rational equation :

• lutasin ang equation na p(x)=0 ;
• hanapin ang ODZ variable x ;
• kunin ang mga ugat na kabilang sa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga - sila ang nais na mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Halimbawa, lutasin natin ang isang fractional rational equation gamit ang algorithm na ito.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Desisyon.

Una, lutasin natin ang quadratic equation x 2 −2·x−11=0 . Ang mga ugat nito ay maaaring kalkulahin gamit ang root formula para sa kahit na pangalawang koepisyent, mayroon tayo D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, at .

Pangalawa, nakita natin ang ODZ ng variable x para sa orihinal na equation. Binubuo ito ng lahat ng numero kung saan x 2 +3 x≠0 , na pareho x (x+3)≠0 , kung saan x≠0 , x≠−3 .

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga ugat na natagpuan sa unang hakbang ay kasama sa ODZ. Halatang oo. Samakatuwid, ang orihinal na fractionally rational equation ay may dalawang ugat.

Sagot:

Tandaan na ang diskarteng ito ay mas kumikita kaysa sa una kung ang ODZ ay madaling matagpuan, at ito ay lalong kapaki-pakinabang kung ang mga ugat ng equation na p(x)=0 ay hindi makatwiran, halimbawa, , o makatwiran, ngunit may medyo malaki. numerator at/o denominator, halimbawa, 127/1101 at -31/59 . Ito ay dahil sa katotohanan na sa mga ganitong kaso, ang pagsuri sa kundisyon q(x)≠0 ay mangangailangan ng makabuluhang pagsusumikap sa computational, at mas madaling ibukod ang mga extraneous na ugat mula sa ODZ.

Sa ibang mga kaso, kapag nilulutas ang equation, lalo na kapag ang mga ugat ng equation na p(x)=0 ay mga integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa mga algorithm sa itaas. Iyon ay, ipinapayong mahanap agad ang mga ugat ng buong equation p(x)=0 , at pagkatapos ay suriin kung ang kondisyon q(x)≠0 ay nasiyahan para sa kanila, at hindi mahanap ang ODZ, at pagkatapos ay lutasin ang equation p(x)=0 sa ODZ na ito. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso kadalasan ay mas madaling gumawa ng tseke kaysa sa hanapin ang ODZ.

Isaalang-alang ang solusyon ng dalawang halimbawa upang ilarawan ang mga itinakda na mga nuances.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Una nating mahanap ang mga ugat ng buong equation (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, pinagsama-sama gamit ang numerator ng fraction. Ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay isang produkto, at ang kanang bahagi ay zero, samakatuwid, ayon sa paraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization, ang equation na ito ay katumbas ng set ng apat na equation 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tatlo sa mga equation na ito ay linear at ang isa ay quadratic, maaari nating lutasin ang mga ito. Mula sa unang equation nakita natin ang x=1/2, mula sa pangalawa - x=6, mula sa pangatlo - x=7, x=−2, mula sa ikaapat - x=−1.

Sa mga ugat na natagpuan, medyo madaling suriin ang mga ito upang makita kung ang denominator ng fraction sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation ay hindi naglalaho, at ito ay hindi napakadaling matukoy ang ODZ, dahil ito ay kailangang malutas ang isang algebraic equation ng ikalimang degree. Samakatuwid, tatanggi kaming hanapin ang ODZ pabor sa pagsuri sa mga ugat. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga ito sa halip na ang variable na x sa expression x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, nakuha pagkatapos ng pagpapalit, at ihambing ang mga ito sa zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Kaya, ang 1/2, 6 at −2 ay ang gustong mga ugat ng orihinal na fractionally rational equation, at ang 7 at −1 ay mga extraneous na ugat.

Sagot:

1/2 , 6 , −2 .

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng isang fractional rational equation.

Desisyon.

Una nating mahanap ang mga ugat ng equation (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng dalawang equation: ang square 5·x 2 −7·x−1=0 at ang linear x−2=0 . Ayon sa pormula ng mga ugat ng quadratic equation, nakakahanap tayo ng dalawang ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon tayong x=2.

Ang pagsuri kung ang denominator ay hindi nawawala sa nahanap na mga halaga ng x ay medyo hindi kasiya-siya. At upang matukoy ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng variable x sa orihinal na equation ay medyo simple. Samakatuwid, kikilos tayo sa pamamagitan ng ODZ.

Sa aming kaso, ang ODZ ng variable x ng orihinal na fractionally rational equation ay binubuo ng lahat ng mga numero, maliban sa mga kung saan ang kundisyon x 2 +5·x−14=0 ay nasiyahan. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay x=−7 at x=2, mula sa kung saan napagpasyahan natin ang tungkol sa ODZ: ito ay binubuo ng lahat ng x tulad na .

Ito ay nananatiling suriin kung ang mga natagpuang ugat at x=2 ay nabibilang sa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga. Ang mga ugat - nabibilang, samakatuwid, sila ang mga ugat ng orihinal na equation, at ang x=2 ay hindi nabibilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous na ugat.

Sagot:

Magiging kapaki-pakinabang din ang pag-isipan nang hiwalay sa mga kaso kung saan ang isang numero ay nasa numerator sa isang fractional rational equation ng form, iyon ay, kapag ang p (x) ay kinakatawan ng ilang numero. Kung saan

• kung ang numerong ito ay iba sa zero, kung gayon ang equation ay walang mga ugat, dahil ang fraction ay zero kung at kung ang numerator nito ay zero;
• kung ang numerong ito ay zero, kung gayon ang ugat ng equation ay anumang numero mula sa ODZ.

Halimbawa.

Desisyon.

Dahil mayroong isang non-zero na numero sa numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng equation, para sa walang x ay maaaring ang halaga ng fraction na ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.

Sagot:

walang ugat.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Desisyon.

Ang numerator ng fraction sa kaliwang bahagi ng fractional rational equation na ito ay zero, kaya ang halaga ng fraction na ito ay zero para sa anumang x kung saan ito ay may katuturan. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation na ito ay anumang halaga ng x mula sa DPV ng variable na ito.

Ito ay nananatiling upang matukoy ang hanay na ito ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kabilang dito ang lahat ng naturang halaga x kung saan x 4 +5 x 3 ≠0. Ang mga solusyon ng equation x 4 +5 x 3 \u003d 0 ay 0 at −5, dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x + 5) \u003d 0, at ito naman, ay katumbas ng kumbinasyon. ng dalawang equation x 3 \u003d 0 at x +5=0 , mula sa kung saan makikita ang mga ugat na ito. Samakatuwid, ang nais na hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay anumang x , maliban sa x=0 at x=−5 .

Kaya, ang isang fractionally rational equation ay may walang katapusang maraming solusyon, na anumang mga numero maliban sa zero at minus lima.

Sagot:

Sa wakas, oras na para pag-usapan ang paglutas ng mga arbitrary fractional rational equation. Maaari silang isulat bilang r(x)=s(x) , kung saan ang r(x) at s(x) ay mga rational expression, at kahit isa sa mga ito ay fractional. Sa hinaharap, sinasabi namin na ang kanilang solusyon ay nabawasan sa paglutas ng mga equation ng form na pamilyar sa amin.

Alam na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda ay humahantong sa isang katumbas na equation, kaya ang equation r(x)=s(x) ay katumbas ng equation r(x)−s (x)=0 .

Alam din namin na ang alinman ay maaaring magkapareho sa expression na ito. Kaya, palagi nating mababago ang rational expression sa kaliwang bahagi ng equation r(x)−s(x)=0 sa isang magkaparehong pantay na rational fraction ng form .

Kaya pumunta tayo mula sa orihinal na fractional rational equation r(x)=s(x) sa equation , at ang solusyon nito, tulad ng nalaman natin sa itaas, ay bumababa sa paglutas ng equation p(x)=0 .

Ngunit narito, kinakailangang isaalang-alang ang katotohanan na kapag pinapalitan ang r(x)−s(x)=0 ng , at pagkatapos ay sa p(x)=0 , maaaring lumawak ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga ng variable x .

Samakatuwid, ang orihinal na equation r(x)=s(x) at ang equation na p(x)=0 , na ating napuntahan, ay maaaring hindi katumbas, at sa pamamagitan ng paglutas ng equation na p(x)=0 , makakakuha tayo ng mga ugat na magiging mga extraneous na ugat ng orihinal na equation r(x)=s(x) . Posibleng tukuyin at huwag isama ang mga extraneous na ugat sa sagot, alinman sa pamamagitan ng pagsasagawa ng check, o sa pamamagitan ng pagsuri na kabilang sila sa ODZ ng orihinal na equation.

Binubuod namin ang impormasyong ito sa algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation r(x)=s(x). Upang malutas ang fractional rational equation r(x)=s(x) , dapat ang isa

• Kumuha ng zero sa kanan sa pamamagitan ng paglipat ng expression mula sa kanang bahagi na may kabaligtaran na palatandaan.
• Magsagawa ng mga aksyon na may mga fraction at polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, at sa gayon ay ginagawa itong isang rational fraction ng form.
• Lutasin ang equation na p(x)=0 .
• Kilalanin at ibukod ang mga extraneous na ugat, na ginagawa sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation o sa pamamagitan ng pagsuri sa kanilang pag-aari sa ODZ ng orihinal na equation.

Para sa higit na kalinawan, ipapakita namin ang buong chain ng paglutas ng mga fractional rational equation:
.

Tingnan natin ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa na may detalyadong paliwanag ng solusyon upang linawin ang ibinigay na bloke ng impormasyon.

Halimbawa.

Lutasin ang isang fractional rational equation.

Desisyon.

Kami ay kikilos alinsunod sa nakuha lamang na algorithm ng solusyon. At unang inilipat namin ang mga termino mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwang bahagi, bilang isang resulta ay ipinapasa namin ang equation .

Sa ikalawang hakbang, kailangan nating i-convert ang fractional rational expression sa kaliwang bahagi ng resultang equation sa anyo ng isang fraction. Upang gawin ito, ginagawa namin ang pagbabawas ng mga rational fraction sa isang common denominator at gawing simple ang resultang expression: . Kaya dumating tayo sa equation.

Sa susunod na hakbang, kailangan nating lutasin ang equation na −2·x−1=0 . Hanapin ang x=−1/2 .

Ito ay nananatiling suriin kung ang nahanap na numero −1/2 ay isang extraneous na ugat ng orihinal na equation. Upang gawin ito, maaari mong suriin o hanapin ang ODZ variable x ng orihinal na equation. Ipakita natin ang parehong mga diskarte.

Magsimula tayo sa isang tseke. Pinapalitan natin ang numerong −1/2 sa halip na ang variable na x sa orihinal na equation, nakukuha natin ang , na pareho, −1=−1. Ang pagpapalit ay nagbibigay ng tamang numerical equality, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Ngayon ay ipapakita namin kung paano isinasagawa ang huling hakbang ng algorithm sa pamamagitan ng ODZ. Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng orihinal na equation ay ang hanay ng lahat ng mga numero, maliban sa −1 at 0 (para sa x=−1 at x=0, ang mga denominator ng mga fraction ay nawawala). Ang ugat na x=−1/2 na matatagpuan sa nakaraang hakbang ay kabilang sa ODZ, samakatuwid, ang x=−1/2 ay ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

−1/2 .

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Kailangan nating lutasin ang isang fractionally rational equation, dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang ng algorithm.

Una, inilipat namin ang termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, nakukuha namin .

Pangalawa, binabago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi: . Bilang resulta, dumating tayo sa equation x=0 .

Ang ugat nito ay halata - ito ay zero.

Sa ika-apat na hakbang, nananatili itong malaman kung ang ugat na natagpuan ay hindi isang labas para sa orihinal na fractionally rational equation. Kapag ito ay pinalitan sa orihinal na equation, ang expression ay nakuha. Malinaw, hindi ito makatuwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Kung saan napagpasyahan namin na ang 0 ay isang extraneous na ugat. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

7 , na humahantong sa equation . Mula dito maaari nating tapusin na ang expression sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng mula sa kanang bahagi, iyon ay, . Ngayon ay ibawas namin mula sa parehong bahagi ng triple: . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula saan, at higit pa.

Ipinapakita ng tseke na ang parehong natagpuang mga ugat ay ang mga ugat ng orihinal na fractional rational equation.

Sagot:

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Una sa lahat, upang matutunan kung paano gumawa ng mga rational fraction na walang mga error, kailangan mong matutunan ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon. At hindi lamang upang matuto - dapat silang kilalanin kahit na ang mga sine, logarithms at ugat ay kumikilos bilang mga termino.

Gayunpaman, ang pangunahing tool ay ang factorization ng numerator at denominator ng isang rational fraction. Ito ay maaaring makamit sa tatlong magkakaibang paraan:

1. Sa totoo lang, ayon sa pinaikling formula ng multiplikasyon: pinapayagan ka nitong i-collapse ang isang polynomial sa isa o higit pang mga kadahilanan;
2. Sa pamamagitan ng pag-factor ng square trinomial sa mga salik sa pamamagitan ng discriminant. Ang parehong paraan ay ginagawang posible upang i-verify na ang anumang trinomial ay hindi maaaring i-factorize;
3. Ang paraan ng pagpapangkat ay ang pinaka-kumplikadong tool, ngunit ito lang ang gagana kung hindi gumana ang naunang dalawa.

Tulad ng malamang na nahulaan mo mula sa pamagat ng video na ito, muli nating pag-uusapan ang tungkol sa mga rational fraction. Literal na ilang minuto ang nakalipas, natapos ko ang isang aralin kasama ang isang ikasampung baitang, at doon ay sinuri namin nang tumpak ang mga ekspresyong ito. Samakatuwid, ang araling ito ay partikular na inilaan para sa mga mag-aaral sa high school.

Tiyak na marami na ang magtatanong: "Bakit natututo ang mga estudyante sa grade 10-11 ng mga simpleng bagay gaya ng rational fractions, dahil ginagawa ito sa grade 8?". Ngunit iyon ang gulo, na karamihan sa mga tao ay "dumaan" lamang sa paksang ito. Sa mga baitang 10-11, hindi na nila naaalala kung paano ginagawa ang multiplication, division, subtraction at pagdaragdag ng rational fractions mula grade 8, at sa simpleng kaalaman na ito, mas maraming kumplikadong istruktura ang nabubuo, tulad ng paglutas ng logarithmic, trigonometric equation. at marami pang iba kumplikadong mga expression, kaya halos walang magagawa sa mataas na paaralan nang walang mga rational fraction.

Mga formula para sa paglutas ng mga problema

Bumaba tayo sa negosyo. Una sa lahat, kailangan natin ng dalawang katotohanan - dalawang hanay ng mga formula. Una sa lahat, kailangan mong malaman ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ ay ang pagkakaiba ng mga parisukat;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ ay ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ay ang kabuuan ng mga cube;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ay ang pagkakaiba ng mga cube.

Sa kanilang dalisay na anyo, hindi sila matatagpuan sa anumang mga halimbawa at sa totoong seryosong mga ekspresyon. Samakatuwid, ang aming gawain ay matutong makakita ng mas kumplikadong mga konstruksyon sa ilalim ng mga titik na $a$ at $b$, halimbawa, logarithms, roots, sines, atbp. Matututuhan lamang ito sa pamamagitan ng patuloy na pagsasanay. Iyon ang dahilan kung bakit ang paglutas ng mga rational fraction ay ganap na kinakailangan.

Ang pangalawa, medyo halatang formula ay ang factorization ng isang square trinomial:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ ay mga ugat.

Napag-usapan namin ang teoretikal na bahagi. Ngunit paano lutasin ang mga tunay na rational fraction, na isinasaalang-alang sa grade 8? Magpa-practice kami ngayon.

Gawain 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Subukan nating ilapat ang mga formula sa itaas sa paglutas ng mga rational fraction. Una sa lahat, gusto kong ipaliwanag kung bakit kailangan ang factorization. Ang katotohanan ay na sa unang sulyap sa unang bahagi ng gawain, nais kong bawasan ang kubo na may parisukat, ngunit ito ay ganap na imposible, dahil sila ay mga termino sa numerator at sa denominator, ngunit sa anumang kaso ay mga kadahilanan. .

Ano nga ba ang abbreviation? Ang pagbabawas ay ang paggamit ng pangunahing panuntunan para sa pagtatrabaho sa gayong mga expression. Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay maaari nating i-multiply ang numerator at denominator sa parehong numero maliban sa "zero". Sa kasong ito, kapag binawasan natin, kung gayon, sa kabaligtaran, hinahati natin sa parehong numero maliban sa "zero". Gayunpaman, dapat nating hatiin ang lahat ng mga termino sa denominator sa parehong numero. Hindi mo magagawa iyon. At may karapatan tayong bawasan ang numerator na may denominator lamang kapag pareho ang mga ito ay factorized. Gawin natin.

Ngayon ay kailangan mong makita kung gaano karaming mga termino ang nasa isang partikular na elemento, alinsunod dito, alamin kung aling formula ang kailangan mong gamitin.

Ibahin natin ang bawat expression sa isang eksaktong cube:

Isulat muli natin ang numerator:

\[((\kaliwa(3a \kanan)))^(3))-((\kaliwa(4b \kanan))^(3))=\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(((\kaliwa) (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]

Tingnan natin ang denominator. Pinalawak namin ito ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\kaliwa(b-2 \kanan)\kaliwa(b+2 \ tama)\]

Ngayon tingnan natin ang pangalawang bahagi ng expression:

Numerator:

Ito ay nananatiling makitungo sa denominator:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\kaliwa(b+2 \kanan))^(2))\]

Muli nating isulat ang buong konstruksyon, na isinasaalang-alang ang mga katotohanan sa itaas:

\[\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(((\kaliwa(3a \kanan)))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2 )) \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kaliwa(b+2 \kanan))^(2)))( ((\kaliwa(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2)))=\]

\[=\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan))\]

Nuances ng multiply rational fractions

Ang pangunahing konklusyon mula sa mga konstruksyon na ito ay ang mga sumusunod:

• Hindi lahat ng polynomial ay maaaring i-factorize.
• Kahit na ito ay nabulok, kailangang maingat na tingnan kung aling partikular na formula para sa pinaikling multiplikasyon.

Upang gawin ito, una, kailangan nating tantyahin kung gaano karaming mga termino ang mayroon (kung mayroong dalawa, kung gayon ang magagawa natin ay palawakin ang mga ito alinman sa pamamagitan ng kabuuan ng pagkakaiba ng mga parisukat, o sa pamamagitan ng kabuuan o pagkakaiba ng mga cube; at kung may tatlo sa kanila, pagkatapos ito , natatangi, alinman sa parisukat ng kabuuan o parisukat ng pagkakaiba). Madalas na nangyayari na alinman sa numerator o denominator ay hindi nangangailangan ng factorization, maaari itong maging linear, o ang discriminant nito ay magiging negatibo.

Gawain #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Sa pangkalahatan, ang pamamaraan para sa paglutas ng problemang ito ay hindi naiiba sa nauna - magkakaroon lamang ng higit pang mga aksyon, at sila ay magiging mas magkakaibang.

Magsimula tayo sa unang bahagi: tingnan ang numerator nito at gumawa ng mga posibleng pagbabago:

Ngayon tingnan natin ang denominator:

Sa pangalawang bahagi: walang magagawa sa numerator, dahil ito ay isang linear na expression, at imposibleng alisin ang anumang kadahilanan mula dito. Tingnan natin ang denominator:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\kaliwa(x-2 \right ))^(2))\]

Pumunta kami sa ikatlong bahagi. Numerator:

Ating harapin ang denominator ng huling fraction:

Isulat muli natin ang expression na isinasaalang-alang ang mga katotohanan sa itaas:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \kanan))(\kaliwa(2x-1 \kanan)\kaliwa(2x+1 \kanan))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \kanan))\]

Nuances ng solusyon

Tulad ng nakikita mo, hindi lahat at hindi palaging nakasalalay sa mga pinaikling formula ng pagpaparami - kung minsan sapat lang ito upang i-bracket ang isang pare-pareho o isang variable. Gayunpaman, mayroon ding kabaligtaran na sitwasyon, kapag napakaraming mga termino o ang mga ito ay binuo sa paraang ang pormula para sa pinaikling multiplikasyon sa kanila ay karaniwang imposible. Sa kasong ito, isang unibersal na tool ang tutulong sa amin, ibig sabihin, ang paraan ng pagpapangkat. Ito ang ilalapat natin ngayon sa susunod na problema.

Gawain #3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Tingnan natin ang unang bahagi:

\[((a)^(2))+ab=a\kaliwa(a+b \kanan)\]

\[=5\kaliwa(a-b \kanan)-\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(a+b \kanan)=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(5-1\kaliwa(a+b \kanan )\kanan)=\]

\[=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(5-a-b \kanan)\]

Isulat muli natin ang orihinal na expression:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bracket:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\kaliwa(a-5 \kanan)))^(2))-((b)^(2))=\kaliwa(a-5-b \kanan)\kaliwa(a-5+b \kanan)\]

Dahil hindi ma-grupo ang dalawang elemento, nag-grupo kami ng tatlo. Ito ay nananatiling makitungo lamang sa denominator ng huling fraction:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(a+b \kanan)\]

Ngayon ay muling isulat natin ang ating buong istraktura:

\[\frac(a\kaliwa(a+b \kanan))(\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(5-a-b \kanan))\cdot \frac(\kaliwa(a-5-b \kanan) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \kaliwa(a-b \kanan))^(2)))\]

Ang problema ay nalutas, at wala nang higit pa ang maaaring pasimplehin dito.

Nuances ng solusyon

Naisip namin ang pagpapangkat at nakakuha ng isa pang napakalakas na tool na nagpapalawak ng mga posibilidad para sa factorization. Ngunit ang problema ay na sa totoong buhay ay walang magbibigay sa atin ng gayong pinong mga halimbawa, kung saan mayroong ilang mga praksyon na kailangan lamang i-factor ang numerator at denominator, at pagkatapos, kung maaari, bawasan ang mga ito. Ang mga totoong expression ay magiging mas kumplikado.

Malamang, bilang karagdagan sa pagpaparami at paghahati, magkakaroon ng mga pagbabawas at pagdaragdag, lahat ng uri ng mga bracket - sa pangkalahatan, kailangan mong isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Ngunit ang pinakamasama ay kapag ang pagbabawas at pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan nilang bawasan sa isang karaniwan. Upang gawin ito, ang bawat isa sa kanila ay kailangang i-decomposed sa mga kadahilanan, at pagkatapos ay ang mga fraction na ito ay mababago: magbigay ng mga katulad at marami pa. Paano ito gagawin nang tama, mabilis, at sa parehong oras makuha ang hindi malabo na tamang sagot? Ito ang pag-uusapan natin ngayon gamit ang halimbawa ng sumusunod na konstruksyon.

Gawain #4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \kanan)\]

Isulat natin ang unang bahagi at subukang harapin ito nang hiwalay:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Lumipat tayo sa pangalawa. Kalkulahin natin ang discriminant ng denominator:

Hindi ito nagfa-factor, kaya isinusulat namin ang sumusunod:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\kaliwa(x+3 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))-3x+9 \kanan)) \]

Isinulat namin ang numerator nang hiwalay:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Samakatuwid, ang polynomial na ito ay hindi maaaring i-factorize.

Ang maximum na maaari naming gawin at mabulok, nagawa na namin.

Sa kabuuan, muling isinulat namin ang aming orihinal na konstruksyon at makakuha ng:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\kaliwa(x+3 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))-3x+9 \kanan))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Lahat, ang gawain ay nalutas.

Sa totoo lang, hindi ganoon kahirap ang gawain: ang lahat ay madaling isinaalang-alang doon, ang mga katulad na termino ay mabilis na ibinigay, at lahat ay nabawasan nang maganda. Kaya ngayon subukan nating lutasin ang problema nang mas seryoso.

Gawain bilang 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Una, harapin natin ang unang panaklong. Sa simula pa lang, pinaghiwalay namin ang denominator ng pangalawang fraction:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x-2 \right)\ kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2) \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+4 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ngayon ay magtrabaho tayo sa pangalawang bahagi:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ kaliwa(x-2 \kanan))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Bumalik kami sa aming orihinal na disenyo at sumulat:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Pangunahing puntos

Muli, ang mga pangunahing katotohanan ng video tutorial ngayon:

1. Kailangan mong malaman "sa pamamagitan ng puso" ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon - at hindi lamang alam, ngunit magagawang makita sa mga ekspresyong iyon na makakatagpo mo sa mga totoong problema. Ang isang kahanga-hangang tuntunin ay makakatulong sa atin dito: kung mayroong dalawang termino, ito ay alinman sa pagkakaiba ng mga parisukat, o ang pagkakaiba o kabuuan ng mga cube; kung tatlo, maaari lamang itong maging parisukat ng kabuuan o pagkakaiba.
2. Kung ang anumang konstruksyon ay hindi mabulok gamit ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami, kung gayon ang karaniwang formula para sa pagsasaliksik ng mga trinomyal sa mga salik o ang paraan ng pagpapangkat ay makakatulong sa amin.
3. Kung ang isang bagay ay hindi gumana, maingat na tingnan ang orihinal na expression - at kung ang anumang pagbabago ay kinakailangan dito. Marahil ito ay sapat lamang na alisin ang multiplier mula sa bracket, at ito ay madalas na pare-pareho lamang.
4. Sa mga kumplikadong expression kung saan kailangan mong magsagawa ng ilang mga aksyon sa isang hilera, huwag kalimutang dalhin sa isang karaniwang denominator, at pagkatapos lamang nito, kapag ang lahat ng mga praksyon ay nabawasan dito, siguraduhing dalhin ang pareho sa bagong numerator, at pagkatapos ay i-factor muli ang bagong numerator - posible na - ay mababawasan.

Iyan lang ang gusto kong sabihin sa iyo ngayon tungkol sa mga rational fraction. Kung ang isang bagay ay hindi malinaw, mayroon pa ring maraming mga video tutorial sa site, pati na rin ang maraming mga gawain para sa isang malayang solusyon. Kaya manatili sa amin!