Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa palakasan. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Para sa kalinawan, lutasin natin ang sumusunod na problema:
Compute \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] kung \
Una sa lahat, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang isang numero ay kinakatawan sa algebraic form, ang isa pa - sa trigonometric form. Kailangan itong gawing simple at dalhin sa sumusunod na form
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Ang expression na \ ay nagsasabi na, una sa lahat, ginagawa namin ang pagpaparami at pagtaas sa ika-10 kapangyarihan ayon sa formula ng Moivre. Ang formula na ito ay binuo para sa trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero. Nakukuha namin:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Ang pagsunod sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kumplikadong numero sa trigonometric form, gagawin namin ang sumusunod:
Sa kaso natin:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Ginagawang tama ang fraction na \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], napagpasyahan namin na posibleng "i-twist" ang 4 na pagliko \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Sagot: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Ang equation na ito ay maaaring malutas sa ibang paraan, na bumulusok sa pagdadala ng 2nd number sa algebraic form, pagkatapos ay pagsasagawa ng multiplication sa algebraic form, pagsasalin ng resulta sa trigonometric form at paglalapat ng Moivre formula:
Saan ko malulutas ang isang sistema ng mga equation na may mga kumplikadong numero online?
Maaari mong malutas ang sistema ng mga equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa loob ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.
FEDERAL AGENCY PARA SA EDUKASYON
INSTITUSYON NG EDUKASYONAL NG ESTADO
HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION
"VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY"
PANGULO NG AGLEBRA AT GEOMETRY
Mga kumplikadong numero
(mga napiling gawain)
PANGHULING GAWAING KUALIFIKASYON
espesyalidad 050201.65 matematika
(na may karagdagang specialty 050202.65 informatics)
Nakumpleto ni: 5th year student
pisikal at matematika
faculty
Superbisor:
VORONEZH - 2008
1. Panimula……………………………………………………...…………..…
2. Mga kumplikadong numero (mga napiling problema)
2.1. Mga kumplikadong numero sa anyong algebraic……………………………..
2.2. Geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero …………………
2.3. Trigonometric na anyo ng mga kumplikadong numero
2.4. Paglalapat ng teorya ng mga kumplikadong numero sa solusyon ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na antas……………………………………………………………………………………
2.5. Mga kumplikadong numero at parameter………………………………………………….
3. Konklusyon………………………………………………………………………….
4. Listahan ng mga sanggunian……………………………………………………………………………………
1. Panimula
Sa programa ng matematika ng kurso sa paaralan, ang teorya ng numero ay ipinakilala gamit ang mga halimbawa ng mga hanay ng mga natural na numero, integer, rational, hindi makatwiran, i.e. sa hanay ng mga totoong numero na ang mga larawan ay pumupuno sa buong linya ng numero. Ngunit nasa ika-8 baitang ay walang sapat na stock ng mga tunay na numero, paglutas ng mga quadratic equation na may negatibong diskriminasyon. Samakatuwid, kinailangan na lagyang muli ang stock ng mga totoong numero ng mga kumplikadong numero, kung saan ang square root ng isang negatibong numero ay may katuturan.
Ang pagpili ng paksang "Complex Numbers", bilang paksa ng aking panghuling gawain sa kwalipikasyon, ay ang konsepto ng isang kumplikadong numero ay nagpapalawak ng kaalaman ng mga mag-aaral tungkol sa mga sistema ng numero, tungkol sa paglutas ng malawak na klase ng mga problema ng parehong algebraic at geometric na nilalaman, tungkol sa paglutas ng mga algebraic equation ng anumang antas at tungkol sa paglutas ng mga problema sa mga parameter.
Sa gawaing tesis na ito, isinasaalang-alang ang solusyon sa 82 problema.
Ang unang bahagi ng pangunahing seksyon na "Mga Kumplikadong Numero" ay nagbibigay ng mga solusyon sa mga problema sa mga kumplikadong numero sa algebraic form, tinutukoy ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, conjugation para sa mga kumplikadong numero sa algebraic form, ang antas ng isang haka-haka na yunit, ang modulus ng isang kumplikadong numero, at itinatakda din ang panuntunan sa pagkuha ng square root ng isang complex na numero.
Sa ikalawang bahagi, ang mga problema ay malulutas para sa geometric na interpretasyon ng mga kumplikadong numero sa anyo ng mga punto o vectors ng kumplikadong eroplano.
Ang ikatlong bahagi ay tumatalakay sa mga operasyon sa mga kumplikadong numero sa anyong trigonometric. Ginagamit ang mga formula: De Moivre at pagkuha ng isang ugat mula sa isang kumplikadong numero.
Ang ikaapat na bahagi ay nakatuon sa paglutas ng mga equation ng ika-3 at ika-4 na digri.
Kapag nilulutas ang mga problema ng huling bahagi na "Mga Kumplikadong Numero at Parameter", ang impormasyong ibinigay sa mga nakaraang bahagi ay ginagamit at pinagsama-sama. Ang isang serye ng mga problema sa kabanatang ito ay nakatuon sa pagtukoy ng mga pamilya ng mga linya sa kumplikadong eroplano na ibinigay ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may isang parameter. Sa bahagi ng mga pagsasanay, kailangan mong lutasin ang mga equation na may isang parameter (sa patlang C). May mga gawain kung saan ang isang kumplikadong variable ay sabay-sabay na nakakatugon sa ilang mga kundisyon. Ang isang tampok ng paglutas ng mga problema ng seksyong ito ay ang pagbawas ng marami sa kanila sa solusyon ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema) ng pangalawang antas, hindi makatwiran, trigonometriko na may isang parameter.
Ang isang tampok ng pagtatanghal ng materyal ng bawat bahagi ay ang paunang pagpapakilala ng mga teoretikal na pundasyon, at pagkatapos ay ang kanilang praktikal na aplikasyon sa paglutas ng mga problema.
Sa dulo ng thesis ay isang listahan ng mga ginamit na literatura. Sa karamihan sa kanila, ang teoretikal na materyal ay ipinakita sa sapat na detalye at sa isang madaling paraan, ang mga solusyon sa ilang mga problema ay isinasaalang-alang at ang mga praktikal na gawain ay ibinibigay para sa independiyenteng solusyon. Nais kong bigyan ng espesyal na pansin ang mga mapagkukunan tulad ng:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Mga kumplikadong numero at ang kanilang mga aplikasyon: Textbook. . Ang materyal ng manwal ay ipinakita sa anyo ng mga lektura at praktikal na pagsasanay.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Mga piling problema at teorema ng elementarya na matematika. Arithmetic at Algebra. Ang libro ay naglalaman ng 320 mga problema na may kaugnayan sa algebra, arithmetic at teorya ng numero. Sa kanilang likas na katangian, ang mga gawaing ito ay malaki ang pagkakaiba sa mga karaniwang gawain sa paaralan.
2. Mga kumplikadong numero (mga napiling problema)
2.1. Mga kumplikadong numero sa anyong algebra
Ang solusyon ng maraming problema sa matematika at pisika ay binabawasan sa paglutas ng mga algebraic equation, i.e. mga equation ng form
,kung saan ang a0 , a1 , …, an ay tunay na mga numero. Samakatuwid, ang pag-aaral ng algebraic equation ay isa sa pinakamahalagang katanungan sa matematika. Halimbawa, ang isang quadratic equation na may negatibong discriminant ay walang tunay na ugat. Ang pinakasimpleng naturang equation ay ang equation
.Upang magkaroon ng solusyon ang equation na ito, kailangang palawakin ang hanay ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng pagdaragdag dito ng ugat ng equation.
.Tukuyin natin ang ugat na ito bilang
. Kaya, ayon sa kahulugan, , o ,kaya naman,
. ay tinatawag na imaginary unit. Sa tulong nito at sa tulong ng isang pares ng mga tunay na numero, nabuo ang isang pagpapahayag ng anyo.Ang resultang expression ay tinawag na kumplikadong mga numero dahil naglalaman ang mga ito ng parehong tunay at haka-haka na mga bahagi.
Kaya, ang mga kumplikadong numero ay tinatawag na mga expression ng form
, at mga tunay na numero, at ilang simbolo na nakakatugon sa kundisyon . Ang numero ay tinatawag na tunay na bahagi ng kumplikadong numero, at ang bilang ay tinatawag na imaginary na bahagi nito. Ang mga simbolo , ay ginagamit upang italaga ang mga ito.Mga kumplikadong numero ng form
ay tunay na mga numero at, samakatuwid, ang hanay ng mga kumplikadong numero ay naglalaman ng hanay ng mga tunay na numero. Mga kumplikadong numero ng form
ay tinatawag na puro haka-haka. Dalawang kumplikadong numero ng anyo at tinatawag na pantay-pantay kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay, i.e. kung ang pagkakapantay-pantay , .Ang algebraic notation ng mga kumplikadong numero ay ginagawang posible na magsagawa ng mga operasyon sa mga ito ayon sa karaniwang mga tuntunin ng algebra.
Upang malutas ang mga problema sa mga kumplikadong numero, kailangan mong maunawaan ang mga pangunahing kahulugan. Ang pangunahing layunin ng artikulo sa pagsusuri na ito ay ipaliwanag kung ano ang mga kumplikadong numero at nagpapakita ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga pangunahing problema sa mga kumplikadong numero. Kaya, ang isang kumplikadong numero ay isang numero ng form z = a + bi, saan a, b- tunay na mga numero, na tinatawag na tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang kumplikadong numero, ayon sa pagkakabanggit, at nagsasaad a = Re(z), b=Im(z).
i ay tinatawag na imaginary unit. i 2 \u003d -1. Sa partikular, ang anumang tunay na numero ay maaaring ituring na kumplikado: a = a + 0i, kung saan ang a ay totoo. Kung a = 0 at b ≠ 0, kung gayon ang numero ay tinatawag na puro haka-haka.
Ipinakilala na namin ngayon ang mga operasyon sa mga kumplikadong numero.
Isaalang-alang ang dalawang kumplikadong numero z 1 = a 1 + b 1 i at z 2 = a 2 + b 2 i.
Isipin mo z = a + bi.
Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay nagpapalawak sa hanay ng mga tunay na numero, na siya namang nagpapalawak sa hanay ng mga rational na numero, at iba pa. Ang chain ng mga embeddings na ito ay makikita sa figure: N - natural na mga numero, Z - integer, Q - rational, R - real, C - complex. 
Representasyon ng mga kumplikadong numero
Algebraic notation.
Isaalang-alang ang isang kumplikadong numero z = a + bi, ang paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero ay tinatawag algebraic. Napag-usapan na natin nang detalyado ang paraan ng pagsulat na ito sa nakaraang seksyon. Madalas gamitin ang sumusunod na paglalarawang pagguhit 
trigonometrikong anyo.
Ito ay makikita mula sa figure na ang numero z = a + bi maaaring maisulat nang iba. Obvious naman yun a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, samakatuwid z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
ay tinatawag na argumento ng isang kumplikadong numero. Ang representasyong ito ng isang kumplikadong numero ay tinatawag trigonometrikong anyo. Ang trigonometriko na anyo ng notasyon ay minsan napaka-maginhawa. Halimbawa, ito ay maginhawang gamitin ito para sa pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang integer na kapangyarihan, ibig sabihin, kung z = rcos(φ) + rsin(φ)i, pagkatapos z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ang formula na ito ay tinatawag Ang formula ni De Moivre.
Demonstratibong anyo.
Isipin mo z = rcos(φ) + rsin(φ)i ay isang kumplikadong numero sa trigonometric form, isinusulat namin ito sa ibang anyo z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ang huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa Euler formula, kaya nakakuha kami ng bagong paraan ng pagsulat ng isang kumplikadong numero: z = muling iφ, na tinatawag na demonstrative. Ang form na ito ng notasyon ay napaka-maginhawa para sa pagtaas ng isang kumplikadong numero sa isang kapangyarihan: z n = r n e inφ, dito n hindi kinakailangang isang integer, ngunit maaaring isang arbitrary na tunay na numero. Ang paraan ng pagsulat na ito ay kadalasang ginagamit upang malutas ang mga problema.
Pangunahing teorama ng mas mataas na algebra
Isipin na mayroon tayong quadratic equation x 2 + x + 1 = 0 . Malinaw na ang discriminant ng equation na ito ay negatibo at wala itong tunay na ugat, ngunit lumalabas na ang equation na ito ay may dalawang magkaibang kumplikadong ugat. Kaya, ang pangunahing theorem ng mas mataas na algebra ay nagsasaad na ang anumang polynomial ng degree n ay may hindi bababa sa isang kumplikadong ugat. Ito ay sumusunod mula dito na ang anumang polynomial ng degree n ay may eksaktong n kumplikadong mga ugat, na isinasaalang-alang ang kanilang multiplicity. Ang theorem na ito ay isang napakahalagang resulta sa matematika at malawakang ginagamit. Ang isang simpleng kinahinatnan ng theorem na ito ay ang sumusunod na resulta: mayroong eksaktong n natatanging n-degree na ugat ng pagkakaisa.
Mga pangunahing uri ng mga gawain
Sa seksyong ito, isasaalang-alang ang mga pangunahing uri ng simpleng kumplikadong mga problema sa numero. Karaniwan, ang mga problema sa kumplikadong mga numero ay maaaring hatiin sa mga sumusunod na kategorya.
- Nagsasagawa ng mga simpleng operasyon ng aritmetika sa mga kumplikadong numero.
- Paghahanap ng mga ugat ng polynomial sa mga kumplikadong numero.
- Pagtaas ng mga kumplikadong numero sa isang kapangyarihan.
- Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero.
- Paglalapat ng mga kumplikadong numero upang malutas ang iba pang mga problema.
Ngayon isaalang-alang ang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problemang ito.
Ang pinakasimpleng mga operasyon ng aritmetika na may mga kumplikadong numero ay isinasagawa ayon sa mga patakaran na inilarawan sa unang seksyon, ngunit kung ang mga kumplikadong numero ay ipinakita sa mga trigonometriko o exponential na mga form, kung gayon sa kasong ito maaari silang ma-convert sa algebraic form at magsagawa ng mga operasyon ayon sa kilalang mga patakaran.
Ang paghahanap ng mga ugat ng polynomial ay kadalasang bumababa sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation. Ipagpalagay na mayroon tayong isang quadratic equation, kung ang discriminant nito ay hindi negatibo, kung gayon ang mga ugat nito ay magiging totoo at matatagpuan ayon sa isang kilalang formula. Kung ang discriminant ay negatibo, kung gayon D = -1∙a 2, saan a ay isang tiyak na numero, pagkatapos ay maaari naming katawanin ang discriminant sa form D = (ia) 2, samakatuwid √D = i|a|, at pagkatapos ay maaari mong gamitin ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation.
Halimbawa. Bumalik tayo sa quadratic equation na binanggit sa itaas x 2 + x + 1 = 0.
may diskriminasyon - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Ngayon ay madali nating mahahanap ang mga ugat: 
Ang pagpapataas ng mga kumplikadong numero sa isang kapangyarihan ay maaaring gawin sa maraming paraan. Kung nais mong itaas ang isang kumplikadong numero sa algebraic form sa isang maliit na kapangyarihan (2 o 3), pagkatapos ay magagawa mo ito sa pamamagitan ng direktang pagpaparami, ngunit kung ang antas ay mas malaki (sa mga problema ay madalas na mas malaki), pagkatapos ay kailangan mong isulat ang numerong ito sa trigonometric o exponential form at gumamit ng mga alam nang pamamaraan.
Halimbawa. Isaalang-alang ang z = 1 + i at itaas sa ikasampung kapangyarihan.
Sinusulat namin ang z sa exponential form: z = √2 e iπ/4 .
Pagkatapos z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Bumalik tayo sa algebraic form: z 10 = -32i.
Ang pag-extract ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero ay ang kabaligtaran na operasyon na may paggalang sa exponentiation, kaya ginagawa ito sa katulad na paraan. Upang kunin ang mga ugat, ang exponential form ng pagsulat ng isang numero ay kadalasang ginagamit.
Halimbawa. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng degree 3 ng pagkakaisa. Upang gawin ito, makikita natin ang lahat ng mga ugat ng equation z 3 = 1, hahanapin natin ang mga ugat sa exponential form.
Palitan sa equation: r 3 e 3iφ = 1 o r 3 e 3iφ = e 0 .
Kaya naman: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, kaya φ = 2πk/3.
Ang iba't ibang mga ugat ay nakuha sa φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Samakatuwid 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ay mga ugat.
O sa algebraic form: 
Ang huling uri ng mga problema ay kinabibilangan ng napakalaking iba't ibang mga problema at walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Narito ang isang simpleng halimbawa ng naturang gawain:
Hanapin ang halaga sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Kahit na ang pagbabalangkas ng problemang ito ay hindi tumutukoy sa mga kumplikadong numero, ngunit sa kanilang tulong madali itong malutas. Upang malutas ito, ang mga sumusunod na representasyon ay ginagamit: 
Kung papalitan natin ngayon ang representasyong ito sa kabuuan, kung gayon ang problema ay mababawasan sa kabuuan ng karaniwang geometric na pag-unlad.
Konklusyon
Ang mga kumplikadong numero ay malawakang ginagamit sa matematika, tinalakay ng artikulong ito sa pagsusuri ang mga pangunahing operasyon sa mga kumplikadong numero, inilarawan ang ilang mga uri ng karaniwang mga problema at maikling inilarawan ang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, para sa isang mas detalyadong pag-aaral ng mga posibilidad ng mga kumplikadong numero, inirerekomenda na gumamit ng espesyal na panitikan.
