Tulad ng alam mo, kapag nagpaparami ng mga expression na may mga kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay palaging nagdaragdag (a b * a c = a b + c). Ang batas sa matematika na ito ay hinango ni Archimedes, at nang maglaon, noong ika-8 siglo, ang mathematician na si Virasen ay lumikha ng isang talahanayan ng mga integer indicator. Sila ang nagsilbi para sa karagdagang pagtuklas ng logarithms. Ang mga halimbawa ng paggamit ng function na ito ay matatagpuan halos kahit saan kung saan kinakailangan na gawing simple ang masalimuot na multiplikasyon sa simpleng karagdagan. Kung gumugugol ka ng 10 minuto sa pagbabasa ng artikulong ito, ipapaliwanag namin sa iyo kung ano ang mga logarithms at kung paano gamitin ang mga ito. Simple at naa-access na wika.

Kahulugan sa matematika

Ang logarithm ay isang expression ng sumusunod na anyo: log a b=c, iyon ay, ang logarithm ng anumang hindi negatibong numero (iyon ay, anumang positibo) "b" sa pamamagitan ng base nito na "a" ay itinuturing na kapangyarihan ng "c" , kung saan dapat itaas ang base na "a", upang sa huli ay makuha ang halagang "b". Suriin natin ang logarithm gamit ang mga halimbawa, sabihin nating mayroong expression log 2 8. Paano mahahanap ang sagot? Ito ay napaka-simple, kailangan mong makahanap ng ganoong antas na mula 2 hanggang sa kinakailangang antas ay makakakuha ka ng 8. Matapos magawa ang ilang mga kalkulasyon sa iyong isip, nakuha namin ang numero 3! At tama, dahil ang 2 sa kapangyarihan ng 3 ay nagbibigay ng numero 8 sa sagot.

Mga uri ng logarithms

Para sa maraming mga mag-aaral at mag-aaral, ang paksang ito ay tila kumplikado at hindi maintindihan, ngunit sa katunayan, ang mga logarithms ay hindi nakakatakot, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kanilang pangkalahatang kahulugan at tandaan ang kanilang mga katangian at ilang mga patakaran. May tatlong natatanging uri ng logarithmic expression:

1. Natural logarithm ln a, kung saan ang base ay ang Euler number (e = 2.7).
2. Decimal a, kung saan ang base ay 10.
3. Ang logarithm ng anumang numero b sa base a>1.

Ang bawat isa sa kanila ay nalutas sa isang karaniwang paraan, kabilang ang pagpapagaan, pagbabawas at kasunod na pagbabawas sa isang logarithm gamit ang logarithmic theorems. Upang makuha ang tamang mga halaga ng logarithms, dapat isa tandaan ang kanilang mga katangian at ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon sa kanilang mga desisyon.

Mga panuntunan at ilang mga paghihigpit

Sa matematika, mayroong ilang mga tuntunin-limitasyon na tinatanggap bilang isang axiom, iyon ay, hindi sila napapailalim sa talakayan at totoo. Halimbawa, imposibleng hatiin ang mga numero sa zero, at imposible ring kunin ang ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero. Ang logarithms ay mayroon ding sariling mga panuntunan, na sumusunod kung saan madali mong matutunan kung paano magtrabaho kahit na may mahaba at malawak na logarithmic na expression:

• ang base na "a" ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero, at sa parehong oras ay hindi katumbas ng 1, kung hindi man mawawala ang kahulugan ng expression, dahil ang "1" at "0" sa anumang antas ay palaging katumbas ng kanilang mga halaga;
• kung a > 0, pagkatapos ay a b > 0, lumalabas na ang "c" ay dapat na mas malaki sa zero.

Paano malutas ang mga logarithms?

Halimbawa, ibinigay ang gawain upang mahanap ang sagot sa equation na 10 x \u003d 100. Napakadali, kailangan mong pumili ng gayong kapangyarihan sa pamamagitan ng pagtaas ng numero ng sampu kung saan nakakakuha tayo ng 100. Ito, siyempre, ay 10 2 \u003d 100.

Ngayon, katawanin natin ang expression na ito bilang isang logarithmic. Nakukuha namin ang log 10 100 = 2. Kapag nag-solve ng logarithms, halos lahat ng aksyon ay nagsasama-sama sa paghahanap ng antas kung saan dapat ilagay ang base ng logarithm upang makakuha ng isang naibigay na numero.

Upang tumpak na matukoy ang halaga ng isang hindi kilalang degree, dapat mong matutunan kung paano magtrabaho sa isang talahanayan ng mga degree. Mukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang ilang mga exponent ay maaaring mahulaan nang intuitive kung mayroon kang teknikal na mindset at kaalaman sa multiplication table. Gayunpaman, ang mas malalaking halaga ay mangangailangan ng power table. Maaari itong magamit kahit na sa mga hindi nakakaintindi ng kahit ano sa kumplikadong mga paksa sa matematika. Ang kaliwang column ay naglalaman ng mga numero (base a), ang pinakamataas na hilera ng mga numero ay ang halaga ng power c, kung saan itinaas ang numero a. Sa intersection sa mga cell, ang mga halaga ng mga numero ay tinutukoy, na kung saan ay ang sagot (a c = b). Kunin natin, halimbawa, ang pinakaunang cell na may numerong 10 at parisukat ito, nakukuha natin ang halaga na 100, na ipinahiwatig sa intersection ng ating dalawang cell. Ang lahat ay napakasimple at madali na kahit na ang pinakatunay na humanist ay mauunawaan!

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ito ay lumalabas na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang exponent ay ang logarithm. Samakatuwid, ang anumang mathematical numerical expression ay maaaring isulat bilang isang logarithmic equation. Halimbawa, ang 3 4 =81 ay maaaring isulat bilang logarithm ng 81 hanggang base 3, na apat (log 3 81 = 4). Para sa mga negatibong kapangyarihan, ang mga patakaran ay pareho: 2 -5 = 1/32 isinulat namin bilang isang logarithm, nakukuha namin ang log 2 (1/32) = -5. Isa sa mga pinakakaakit-akit na seksyon ng matematika ay ang paksa ng "logarithms". Isasaalang-alang namin ang mga halimbawa at solusyon ng mga equation na medyo mas mababa, kaagad pagkatapos pag-aralan ang kanilang mga katangian. Ngayon tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga hindi pagkakapantay-pantay at kung paano makilala ang mga ito mula sa mga equation.

Ang isang expression ng sumusunod na form ay ibinigay: log 2 (x-1) > 3 - ito ay isang logarithmic inequality, dahil ang hindi kilalang halaga na "x" ay nasa ilalim ng sign ng logarithm. At din sa expression ng dalawang dami ay inihambing: ang logarithm ng nais na numero sa base ng dalawa ay mas malaki kaysa sa numero tatlo.

Ang pinakamahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga equation na may logarithms (halimbawa, ang logarithm ng 2 x = √9) ay nagpapahiwatig ng isa o higit pang tiyak na mga numerical value sa sagot, habang kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, parehong saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga at ang mga puntos na lumalabag sa pagpapaandar na ito. Bilang resulta, ang sagot ay hindi isang simpleng hanay ng mga indibidwal na numero, tulad ng sa sagot ng equation, ngunit isang tuluy-tuloy na serye o hanay ng mga numero.

Mga pangunahing teorema tungkol sa logarithms

Kapag nilulutas ang mga primitive na gawain sa paghahanap ng mga halaga ng logarithm, maaaring hindi alam ang mga katangian nito. Gayunpaman, pagdating sa logarithmic equation o inequalities, una sa lahat, kinakailangan na malinaw na maunawaan at mailapat sa pagsasanay ang lahat ng mga pangunahing katangian ng logarithms. Makikilala natin ang mga halimbawa ng mga equation mamaya, suriin muna natin ang bawat pag-aari nang mas detalyado.

1. Ang pangunahing pagkakakilanlan ay ganito ang hitsura: a logaB =B. Nalalapat lamang ito kung ang a ay mas malaki sa 0, hindi katumbas ng isa, at ang B ay mas malaki sa zero.
2. Ang logarithm ng produkto ay maaaring katawanin sa sumusunod na formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sa kasong ito, ang paunang kinakailangan ay: d, s 1 at s 2 > 0; a≠1. Maaari kang magbigay ng patunay para sa formula na ito ng logarithms, na may mga halimbawa at solusyon. Hayaan ang log a s 1 = f 1 at log a s 2 = f 2 , pagkatapos ay a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Nakukuha namin na s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (degree properties ), at higit pa sa kahulugan: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, na dapat patunayan.
3. Ang logarithm ng quotient ay ganito ang hitsura: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Ang theorem sa anyo ng isang formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo: log a q b n = n/q log a b.

Ang formula na ito ay tinatawag na "property of the degree of the logarithm". Ito ay kahawig ng mga katangian ng mga ordinaryong degree, at ito ay hindi nakakagulat, dahil ang lahat ng matematika ay nakasalalay sa mga regular na postulates. Tingnan natin ang patunay.

Hayaang mag-log a b \u003d t, ito ay lumabas na t \u003d b. Kung itataas mo ang parehong bahagi sa kapangyarihan m: a tn = b n ;

ngunit dahil a tn = (a q) nt/q = b n , kaya mag-log a q b n = (n*t)/t, pagkatapos ay mag-log a q b n = n/q log a b. Napatunayan na ang theorem.

Mga halimbawa ng mga problema at hindi pagkakapantay-pantay

Ang pinakakaraniwang uri ng mga problema sa logarithm ay mga halimbawa ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga ito ay matatagpuan sa halos lahat ng mga libro ng problema, at kasama rin sa ipinag-uutos na bahagi ng mga pagsusulit sa matematika. Upang makapasok sa isang unibersidad o makapasa sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, kailangan mong malaman kung paano lutasin nang tama ang mga naturang gawain.

Sa kasamaang palad, walang iisang plano o pamamaraan para sa paglutas at pagtukoy ng hindi kilalang halaga ng logarithm, gayunpaman, ang ilang mga patakaran ay maaaring ilapat sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng matematika o logarithmic equation. Una sa lahat, dapat mong malaman kung ang expression ay maaaring gawing simple o bawasan sa isang pangkalahatang anyo. Maaari mong pasimplehin ang mahabang logarithmic expression kung gagamitin mo nang tama ang mga katangian ng mga ito. Kilalanin natin sila sa lalong madaling panahon.

Kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, kinakailangan upang matukoy kung anong uri ng logarithm ang mayroon tayo sa harap natin: ang isang halimbawa ng isang expression ay maaaring maglaman ng natural na logarithm o isang decimal.

Narito ang mga halimbawa ln100, ln1026. Ang kanilang solusyon ay bumababa sa katotohanan na kailangan mong matukoy ang antas kung saan ang base 10 ay magiging katumbas ng 100 at 1026, ayon sa pagkakabanggit. Para sa mga solusyon ng natural na logarithms, dapat isalapat ang logarithmic na pagkakakilanlan o ang kanilang mga katangian. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problemang logarithmic ng iba't ibang uri.

Paano Gumamit ng Mga Logarithm Formula: May Mga Halimbawa at Solusyon

Kaya, tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mga pangunahing theorems sa logarithms.

1. Ang pag-aari ng logarithm ng produkto ay maaaring gamitin sa mga gawain kung saan kinakailangan upang mabulok ang isang malaking halaga ng bilang b sa mas simpleng mga kadahilanan. Halimbawa, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ang sagot ay 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - tulad ng nakikita mo, sa pamamagitan ng paglalapat ng ikaapat na katangian ng antas ng logarithm, nalutas namin sa unang tingin ang isang kumplikado at hindi malulutas na expression. Kinakailangan lamang na i-factor ang base at pagkatapos ay alisin ang mga halaga ng exponent mula sa tanda ng logarithm.

Mga gawain mula sa pagsusulit

Ang mga logarithm ay madalas na matatagpuan sa mga pagsusulit sa pasukan, lalo na ang maraming problema sa logarithmic sa Unified State Exam (pagsusulit ng estado para sa lahat ng nagtapos sa paaralan). Karaniwan ang mga gawaing ito ay naroroon hindi lamang sa bahagi A (ang pinakamadaling bahagi ng pagsusulit ng pagsusulit), kundi pati na rin sa bahagi C (ang pinakamahirap at napakaraming gawain). Ang pagsusulit ay nagpapahiwatig ng tumpak at perpektong kaalaman sa paksang "Natural logarithms".

Ang mga halimbawa at paglutas ng problema ay kinuha mula sa mga opisyal na bersyon ng pagsusulit. Tingnan natin kung paano nalutas ang mga naturang gawain.

Ibinigay na log 2 (2x-1) = 4. Solusyon:
isulat muli natin ang expression, pinasimple ito ng kaunting log 2 (2x-1) = 2 2 , sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm nakukuha natin na 2x-1 = 2 4 , samakatuwid 2x = 17; x = 8.5.

• Ang lahat ng logarithms ay pinakamahusay na bawasan sa parehong base upang ang solusyon ay hindi masalimuot at nakakalito.
• Ang lahat ng mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay ipinahiwatig bilang positibo, samakatuwid, kapag kinuha ang exponent ng exponent ng expression, na nasa ilalim ng sign ng logarithm at bilang base nito, ang expression na natitira sa ilalim ng logarithm ay dapat na positibo.

Sa tutorial na video na ito, titingnan namin ang paglutas ng isang medyo seryosong logarithmic equation, kung saan hindi mo lamang kailangan hanapin ang mga ugat, ngunit piliin din ang mga nasa isang partikular na segment.

Gawain C1. Lutasin ang equation. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation na ito na kabilang sa pagitan.

Isang tala tungkol sa mga logarithmic equation

Gayunpaman, taun-taon, lumalapit sa akin ang mga mag-aaral na nagsisikap na lutasin ang mga ito, sa totoo lang, mahirap equation, ngunit sa parehong oras hindi nila maintindihan: saan sila magsisimula at kung paano lumapit sa logarithms? Ang ganitong problema ay maaaring lumitaw kahit na sa malakas, handang-handa na mga mag-aaral.

Bilang isang resulta, marami ang nagsimulang matakot sa paksang ito, o kahit na itinuturing ang kanilang sarili na bobo. Kaya, tandaan: kung hindi mo malutas ang gayong equation, hindi ito nangangahulugan na ikaw ay hangal. Dahil, halimbawa, maaari mong harapin ang equation na ito halos pasalita:

log 2 x = 4

At kung hindi ito totoo, hindi mo na babasahin ang tekstong ito ngayon, dahil naging abala ka sa mas simple at mas makamundong mga gawain. Siyempre, may tututol na ngayon: "Ano ang kinalaman ng pinakasimpleng equation na ito sa aming malusog na disenyo?" Sumasagot ako: anumang logarithmic equation, gaano man ito kakomplikado, sa kalaunan ay bumaba sa ganoong simple, verbally solved constructions.

Siyempre, kinakailangan na lumipat mula sa mga kumplikadong logarithmic equation sa mas simple hindi sa tulong ng pagpili o pagsasayaw na may tamburin, ngunit ayon sa malinaw, matagal nang tinukoy na mga patakaran, na tinatawag na - mga panuntunan para sa pag-convert ng mga logarithmic expression. Ang pag-alam sa kanila, madali mong malalaman kahit ang pinaka-sopistikadong mga equation sa pagsusulit sa matematika.

At tungkol sa mga tuntuning ito ang pag-uusapan natin sa aralin ngayon. Go!

Paglutas ng logarithmic equation sa problema C1

Kaya't lutasin natin ang equation:

Una sa lahat, pagdating sa logarithmic equation, naaalala natin ang pangunahing taktika - kung masasabi ko, ang pangunahing panuntunan para sa paglutas ng mga logarithmic equation. Ito ay binubuo ng mga sumusunod:

Canonical form theorem. Anumang logarithmic equation, anuman ang kasama nito, anuman ang logarithms, anuman ang base, at anuman ang c mayroon sa sarili nito, ito ay kinakailangan upang dalhin ito sa isang equation ng form:

log a f (x ) = log a g (x )

Kung titingnan natin ang ating equation, agad nating napapansin ang dalawang problema:

1. Sa kaliwa meron kami ang kabuuan ng dalawang numero, isa sa mga ito ay hindi isang logarithm sa lahat.
2. Sa kanan ay medyo isang logarithm, ngunit sa base nito ay isang ugat. At ang logarithm sa kaliwa ay may 2 lamang, i.e. magkaiba ang mga base ng logarithms sa kaliwa at sa kanan.

Kaya nakabuo kami ng isang listahan ng mga isyu na naghihiwalay sa aming equation mula doon canonical equation, kung saan kailangan mong bawasan ang anumang logarithmic equation sa proseso ng paglutas. Kaya, ang paglutas ng aming equation sa yugtong ito ay bumabagsak sa pag-aalis ng dalawang problemang inilarawan sa itaas.

Ang anumang logarithmic equation ay maaaring malutas nang mabilis at madali kung mababawasan sa canonical form nito.

Ang kabuuan ng logarithms at ang logarithm ng produkto

Magpatuloy tayo sa pagkakasunud-sunod. Una, harapin natin ang istraktura na nakatayo sa kaliwa. Ano ang masasabi natin tungkol sa kabuuan ng dalawang logarithms? Tandaan natin ang napakagandang formula:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Ngunit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang na sa aming kaso ang unang termino ay hindi isang logarithm sa lahat. Kaya, kailangan mong katawanin ang yunit bilang isang logarithm sa base 2 (ibig sabihin 2, dahil ang logarithm sa base 2 ay nasa kaliwa). Paano ito gagawin? Muli, tandaan ang kahanga-hangang formula:

a = log b b a

Dito kailangan mong maunawaan: kapag sinabi namin ang "Anumang base b", ibig sabihin namin na ang b ay hindi pa rin maaaring maging isang arbitrary na numero. Kung magpasok tayo ng isang numero sa logarithm, ang ilang mga numero ay agad na nakapatong dito. mga paghihigpit, ibig sabihin: ang base ng logarithm ay dapat na mas malaki sa 0 at hindi dapat katumbas ng 1. Kung hindi, ang logarithm ay sadyang walang saysay. Isulat natin ito:

0 < b ≠ 1

Tingnan natin kung ano ang mangyayari sa ating kaso:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Ngayon ay muling isulat natin ang ating buong equation na nasa isip ang katotohanang ito. At agad kaming nag-aplay ng isa pang panuntunan: ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto ng mga argumento. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Mayroon kaming bagong equation. Gaya ng nakikita mo, ito ay mas malapit na sa canonical alignment na ating pinagsusumikapan. Ngunit may isang problema, isinulat namin ito sa anyo ng pangalawang punto: ang aming mga logarithms, na nasa kaliwa at sa kanan, iba't ibang batayan. Lumipat tayo sa susunod na hakbang.

Mga panuntunan para sa pagkuha ng mga kapangyarihan mula sa logarithm

Kaya ang logarithm sa kaliwa ay may base na 2 lang, at ang logarithm sa kanan ay may ugat sa base. Ngunit hindi rin ito problema, kung matatandaan natin na mula sa mga batayan mula sa mga argumento ng logarithm ay maaaring dalhin sa isang kapangyarihan. Isulat natin ang isa sa mga panuntunang ito:

log a b n = n log a b

Pagsasalin sa wika ng tao: maaari mong kunin ang degree mula sa base ng logarithm at ilagay ito sa harap bilang isang kadahilanan. Ang numero n "migrate" sa labas ng logarithm at naging isang koepisyent sa harap.

Maaari rin nating alisin ang kapangyarihan sa base ng logarithm. Magiging ganito ang hitsura:

Sa madaling salita, kung aalisin mo ang kapangyarihan sa argumento ng logarithm, ang kapangyarihang ito ay isinulat din bilang isang kadahilanan sa harap ng logarithm, ngunit hindi bilang isang numero, ngunit bilang kapalit ng 1/k.

Gayunpaman, hindi lang iyon! Maaari nating pagsamahin ang dalawang formula na ito at makabuo ng sumusunod na formula:

Kapag ang exponent ay nasa parehong base at argumento ng isang logarithm, makakatipid tayo ng oras at pasimplehin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pag-alis ng mga exponent mula sa base at argumento nang sabay-sabay. Sa kasong ito, kung ano ang nasa argumento (sa aming kaso, ito ang koepisyent n) ay nasa numerator. At kung ano ang degree sa base, a k , ay mapupunta sa denominator.

At ang mga formula na ito ang gagamitin natin ngayon upang mabawasan ang ating logarithms sa parehong base.

Una sa lahat, pipili tayo ng mas marami o hindi gaanong magandang base. Malinaw, ang deuce sa base ay mas kaaya-aya na magtrabaho kasama kaysa sa ugat. Kaya't subukan nating ibase sa 2 ang pangalawang logarithm. Isulat natin ang logarithm na ito nang hiwalay:

Ano ang magagawa natin dito? Alalahanin ang power formula na may rational exponent. Sa madaling salita, maaari nating isulat ang mga ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent. At pagkatapos ay kinuha namin ang kapangyarihan ng 1/2 mula sa parehong argumento at ang base ng logarithm. Binabawasan namin ang dalawa sa mga coefficient sa numerator at denominator sa harap ng logarithm:

Sa wakas, muling isinulat namin ang orihinal na equation na isinasaalang-alang ang mga bagong coefficient:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Nakuha namin ang canonical logarithmic equation. Parehong sa kaliwa at sa kanan mayroon kaming logarithm sa parehong base 2. Bilang karagdagan sa mga logarithm na ito, walang mga coefficient, walang mga termino alinman sa kaliwa o sa kanan.

Dahil dito, maaari nating alisin ang tanda ng logarithm. Siyempre, isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan. Ngunit bago natin gawin iyon, bumalik tayo at gumawa ng kaunting paglilinaw tungkol sa mga fraction.

Paghahati ng Fraction sa Fraction: Mga Karagdagang Pagsasaalang-alang

Hindi lahat ng estudyante ay nauunawaan kung saan nanggaling ang mga salik sa harap ng tamang logarithm at kung saan sila pupunta. Isulat natin itong muli:

Unawain natin kung ano ang fraction. Sumulat tayo:

At ngayon naaalala namin ang panuntunan para sa paghahati ng mga praksiyon: upang hatiin sa 1/2, kailangan mong i-multiply sa baligtad na bahagi:

Siyempre, para sa kaginhawaan ng karagdagang mga kalkulasyon, maaari nating isulat ang dalawa bilang 2/1 - at ito ang ating naobserbahan bilang pangalawang koepisyent sa proseso ng solusyon.

Sana ngayon ay naiintindihan na ng lahat kung saan nagmumula ang pangalawang coefficient, kaya diretso tayo sa paglutas ng ating canonical logarithmic equation.

Pag-alis ng tanda ng logarithm

Ipinaaalala ko sa iyo na ngayon ay maaari nating alisin ang mga logarithms at iwanan ang sumusunod na expression:

2(9x2 + 5) = 8x4 + 14

Palawakin natin ang mga bracket sa kaliwa. Nakukuha namin:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

Ilipat natin ang lahat mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanan:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

Nagbibigay kami ng mga katulad at nakakuha ng:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

Maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng 2 upang gawing simple ang mga coefficient, at makuha natin ang:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

Bago sa amin ay ang karaniwan biquadratic equation, at ang mga ugat nito ay madaling kalkulahin sa mga tuntunin ng discriminant. Kaya't isulat natin ang discriminant:

D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

Fine, "beautiful" ang Discriminant, ang ugat nito ay 7. Iyon nga lang, we consider the X's himself. Ngunit sa kasong ito, ang mga ugat ay hindi x, ngunit x 2, dahil mayroon tayong biquadratic equation. Kaya ang aming mga pagpipilian ay:

Mangyaring tandaan: kinuha namin ang mga ugat, kaya magkakaroon ng dalawang sagot, dahil. parisukat - kahit function. At kung isusulat lang natin ang ugat ng dalawa, mawawala na lang ang pangalawang ugat.

Ngayon ay pininturahan namin ang pangalawang ugat ng aming biquadratic equation:

Muli, kinukuha namin ang arithmetic square root ng magkabilang panig ng aming equation at kumuha ng dalawang ugat. Gayunpaman, tandaan:

Hindi sapat na itumbas lamang ang mga argumento ng logarithms sa canonical form. Tandaan ang saklaw!

Sa kabuuan, mayroon kaming apat na ugat. Ang lahat ng mga ito ay talagang mga solusyon sa aming orihinal na equation. Tingnan: sa aming orihinal na logarithmic equation, sa loob ng logarithms ay alinman sa 9x 2 + 5 (ang function na ito ay palaging positibo), o 8x 4 + 14 - ito ay palaging positibo. Samakatuwid, ang domain ng kahulugan ng logarithms ay nasiyahan sa anumang kaso, kahit na anong ugat ang makuha natin, na nangangahulugan na ang lahat ng apat na ugat ay mga solusyon sa ating equation.

Mahusay, ngayon ay lumipat tayo sa ikalawang bahagi ng problema.

Pagpili ng mga ugat ng isang logarithmic equation sa isang segment

Pinipili namin mula sa aming apat na ugat ang mga nasa pagitan [−1; 8/9]. Bumalik kami sa aming mga ugat, at ngayon ay isasagawa namin ang kanilang pagpili. Upang magsimula, iminumungkahi kong gumuhit ng isang coordinate axis at markahan ang mga dulo ng segment dito:

Ang parehong mga punto ay lilim. Yung. sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, interesado kami sa may kulay na segment. Ngayon haharapin natin ang mga ugat.

Mga ugat na hindi makatwiran

Magsimula tayo sa hindi makatwirang mga ugat. Tandaan na 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Ito ay sumusunod mula dito na ang ugat ng dalawa ay hindi nahuhulog sa segment ng interes sa amin. Katulad nito, nakukuha natin ang negatibong ugat: mas mababa ito sa −1, ibig sabihin, nasa kaliwa ng segment ng interes sa atin.

makatwirang mga ugat

May dalawang ugat na natitira: x = 1/2 at x = −1/2. Pansinin natin na ang kaliwang dulo ng segment (−1) ay negatibo, at ang kanang dulo (8/9) ay positibo. Samakatuwid, sa isang lugar sa pagitan ng mga dulong ito ay matatagpuan ang numero 0. Ang ugat x = −1/2 ay nasa pagitan ng −1 at 0, i.e. isasama sa huling sagot. Ginagawa namin ang parehong sa root x = 1/2. Ang ugat na ito ay nakasalalay din sa segment na isinasaalang-alang.

Napakadaling tiyakin na ang bilang na 8/9 ay mas malaki sa 1/2. Ibawas natin ang mga numerong ito sa isa't isa:

Nakuha namin ang fraction na 7/18 > 0, na sa kahulugan ay nangangahulugan na 8/9 > 1/2.

Markahan natin ang mga angkop na ugat sa coordinate axis:

Ang huling sagot ay dalawang ugat: 1/2 at −1/2.

Paghahambing ng mga hindi makatwirang numero: isang unibersal na algorithm

Sa konklusyon, nais kong bumalik muli sa mga hindi makatwirang numero. Gamit ang kanilang halimbawa, makikita natin ngayon kung paano ihambing ang mga rational at irrational na dami sa matematika. Upang magsimula, mayroong isang tik na V sa pagitan nila - ang senyas na "higit pa" o "mas mababa", ngunit hindi pa natin alam kung saang direksyon ito nakadirekta. Sumulat tayo:

Bakit kailangan natin ng anumang mga algorithm sa paghahambing? Ang katotohanan ay sa problemang ito kami ay napakaswerte: sa proseso ng paglutas, lumitaw ang isang paghihiwalay na numero 1, tungkol sa kung saan maaari nating sabihin:

Gayunpaman, hindi mo palaging makikita ang gayong numero sa paglipat. Samakatuwid, subukan nating ihambing ang ating mga numero nang direkta.

Paano ito nagawa? Ginagawa namin ang parehong bilang sa mga karaniwang hindi pagkakapantay-pantay:

1. Una, kung mayroon tayong mga negatibong coefficient sa isang lugar, pararamihin natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa −1. Syempre pagpapalit ng tanda. Ang ganitong tik V ay magbabago sa isang - Λ.
2. Ngunit sa aming kaso, ang magkabilang panig ay positibo na, kaya hindi na kailangang baguhin ang anumang bagay. Ang kailangan talaga ay parisukat sa magkabilang panig para maalis ang radikal.

Kung, kapag naghahambing ng mga hindi makatwiran na numero, hindi posible na kunin ang isang naghihiwalay na elemento habang naglalakbay, inirerekumenda ko ang pagsasagawa ng gayong paghahambing "sa noo" - inilalarawan ito bilang isang ordinaryong hindi pagkakapantay-pantay.

Kapag nilulutas ito, ganito ang hitsura:

Ngayon ang lahat ay madaling ihambing. Ang katotohanan ay na 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Iyon lang, nakatanggap kami ng isang mahigpit na patunay na ang lahat ng mga numero ay minarkahan ng tama sa linya ng numero x at sa eksaktong pagkakasunud-sunod kung saan dapat talaga ang mga ito. Walang magrereklamo tungkol sa naturang desisyon, kaya tandaan: kung hindi mo agad makita ang naghihiwalay na numero (sa aming kaso, ito ay 1), pagkatapos ay huwag mag-atubiling isulat ang konstruksiyon sa itaas, multiply, parisukat - at sa huli ikaw ay makakakuha ng magandang hindi pagkakapantay-pantay. Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay magiging malinaw kung aling numero ang mas malaki at alin ang mas maliit.

Sa pagbabalik sa ating problema, nais kong muling itawag ang iyong pansin sa kung ano ang ginawa natin sa pinakasimula pa noong paglutas ng ating equation. Ibig sabihin, tiningnan naming mabuti ang aming orihinal na logarithmic equation at sinubukang bawasan ito sa kanonikal logarithmic equation. Kung saan mayroon lamang logarithms sa kaliwa at kanan - nang walang anumang karagdagang mga termino, coefficients sa harap, atbp. Hindi namin kailangan ng dalawang logarithms sa base a o b, katulad ng isang logarithm na katumbas ng isa pang logarithm.

Bilang karagdagan, ang mga base ng logarithms ay dapat ding pantay. Kasabay nito, kung ang equation ay binubuo ng tama, pagkatapos ay sa tulong ng elementarya logarithmic transformations (ang kabuuan ng logarithms, pag-convert ng isang numero sa isang logarithm, atbp.), Bawasan namin ang equation na ito sa canonical one.

Samakatuwid, simula ngayon, kapag nakakita ka ng logarithmic equation na hindi agad nalutas "sa noo", hindi ka dapat mawala o subukang maghanap ng sagot. Ito ay sapat na upang sundin ang mga hakbang na ito:

1. Dalhin ang lahat ng mga libreng elemento sa logarithm;
2. Pagkatapos ay idagdag ang mga logarithms na ito;
3. Sa resultang konstruksiyon, ang lahat ng logarithms ay humahantong sa parehong base.

Bilang isang resulta, makakakuha ka ng isang simpleng equation, na nalutas sa pamamagitan ng elementarya na paraan ng algebra mula sa mga materyales ng grade 8-9. Sa pangkalahatan, pumunta sa aking site, magsanay sa paglutas ng mga logarithms, lutasin ang mga logarithmic equation na tulad ko, lutasin ang mga ito nang mas mahusay kaysa sa akin. At iyon lang para sa akin. Kasama mo si Pavel Berdov. Hanggang sa muli!

Ano ang logarithm?

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobrang...")

Ano ang logarithm? Paano malutas ang mga logarithms? Ang mga tanong na ito ay nakalilito sa maraming nagtapos. Ayon sa kaugalian, ang paksa ng logarithms ay itinuturing na kumplikado, hindi maintindihan at nakakatakot. Lalo na - mga equation na may logarithms.

Ito ay ganap na hindi totoo. Ganap! ayaw maniwala? Mabuti. Ngayon, sa loob ng mga 10 - 20 minuto:

1. Intindihin ano ang logarithm.

2. Matutong lutasin ang isang buong klase ng mga exponential equation. Kahit na hindi mo pa naririnig ang tungkol sa kanila.

3. Matutong magkalkula ng mga simpleng logarithms.

Bukod dito, para dito kakailanganin mo lamang malaman ang talahanayan ng pagpaparami, at kung paano itataas ang isang numero sa isang kapangyarihan ...

Pakiramdam ko ay nagdududa ka ... Well, panatilihin ang oras! Go!

Una, lutasin ang sumusunod na equation sa iyong isip:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala ang isang partikular na tao o makipag-ugnayan sa kanya.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming gawain at napakahalagang maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit sa paglutas ng mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithm ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

Ang kakanyahan ng ari-arian na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isang tao ay madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.