Ang parehong mga formula ay tama: \[(\malaki(S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac St \quad \quad \quad t=\dfrac Sv))\]
mula sa isang punto sa isang direksyon na may mga bilis \(v_1>v_2\) .

Kung ang \(l\) ay ang haba ng bilog, ang \(t_1\) ay ang oras pagkatapos kung saan sila ay nasa parehong punto sa unang pagkakataon, kung gayon:

Ibig sabihin, para sa \(t_1\) ang unang katawan ay sasakupin ang isang distansya na \(l\) na mas malaki kaysa sa pangalawang katawan.

Kung ang \(t_n\) ay ang oras pagkatapos kung saan sila ay nasa parehong punto \(n\) -th time, kung gayon ang sumusunod na formula ay totoo: \[(\large(t_n=n\cdot t_1))\]

\(\blacktriangleright\) Hayaang magsimulang gumalaw ang dalawang katawan mula sa iba't ibang mga punto sa parehong direksyon na may mga bilis \(v_1>v_2\) .

Kung gayon ang problema ay madaling mabawasan sa nakaraang kaso: kailangan mo munang hanapin ang oras \(t_1\) pagkatapos kung saan sila ay nasa parehong punto sa unang pagkakataon.
Kung sa sandali ng simula ng paggalaw ang distansya sa pagitan nila \(\buildrel\smile\over(A_1A_2)=s\), pagkatapos:

Gawain 1 #2677

Antas ng gawain: EGE mas madali

Nagsisimula ang dalawang atleta sa parehong direksyon mula sa magkasalungat na punto ng pabilog na track. Tumatakbo sila sa iba't ibang hindi pare-parehong bilis. Nabatid na sa sandaling naabutan ng mga atleta sa unang pagkakataon, huminto sila sa pagsasanay. Ilang lap pa ang tinakbo ng atleta sa mas mataas na average na bilis kaysa sa ibang atleta?

Tawagan muna natin ang atleta na may pinakamataas na average na bilis. Una, ang unang atleta ay kailangang tumakbo ng kalahating lap upang maabot ang panimulang punto ng pangalawang atleta. Pagkatapos nito, kailangan niyang tumakbo hangga't tumakbo ang pangalawang atleta (humigit-kumulang sa pagsasalita, pagkatapos tumakbo ang unang atleta ng kalahating bilog, bago ang pulong kailangan niyang tumakbo sa bawat metro ng track na tinakbo ng pangalawang atleta, at kasing dami ng ang pangalawang atleta ay tumakbo sa metrong ito).

Kaya, ang unang atleta ay tumakbo ng \(0.5\) higit pang mga lap.

Sagot: 0.5

Gawain 2 #2115

Antas ng gawain: EGE mas madali

Ang pusang si Murzik ay tumatakbo sa paligid ng asong si Sharik. Ang bilis ng Murzik at Sharik ay pare-pareho. Nabatid na ang Murzik ay tumatakbo ng \(1.5\) na mas mabilis kaysa sa Sharik at sa \(10\) minuto ay tumatakbo sila ng dalawang lap sa kabuuan. Sa ilang minuto tatakbo si Sharik ng isang lap?

Dahil ang Murzik ay tumatakbo ng \(1.5\) beses na mas mabilis kaysa sa Sharik, pagkatapos ay sa \(10\) minuto ang Murzik at Sharik sa kabuuan ay tumakbo sa parehong distansya na tatakbo ni Sharik sa \(10\cdot (1 + 1.5 ) = 25\) minuto . Samakatuwid, si Sharik ay tumatakbo ng dalawang lap sa \(25\) minuto, pagkatapos ay isang lap na Ball ay tumatakbo sa \(12.5\) minuto

Sagot: 12.5

Gawain 3 #823

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri

Mula sa punto A ng pabilog na orbit ng isang malayong planeta, dalawang meteorite ang sabay-sabay na lumipad sa parehong direksyon. Ang bilis ng unang meteorite ay 10,000 km/h na mas malaki kaysa sa bilis ng pangalawa. Nabatid na sa unang pagkakataon pagkatapos ng pag-alis, nagkita sila pagkatapos ng 8 oras. Hanapin ang haba ng orbit sa kilometro.

Sa sandaling sila ay unang nagkita, ang pagkakaiba sa mga distansya na kanilang nilakbay ay katumbas ng haba ng orbit.

Sa 8 oras ang pagkakaiba ay naging \(8 \cdot 10000 = 80000\) km.

Sagot: 80000

Gawain 4 #821

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri

Ang magnanakaw na nagnakaw ng handbag ay tumakas sa may-ari ng handbag sa isang pabilog na kalsada. Ang bilis ng magnanakaw ay 0.5 km/h higit pa sa bilis ng may-ari ng handbag na humahabol sa kanya. Makalipas ang ilang oras ay aabutan ng magnanakaw ang may-ari ng handbag sa pangalawang pagkakataon, kung ang haba ng kalsada na kanilang tinatahak ay 300 metro (ipagpalagay na naabutan niya ito sa unang pagkakataon pagkatapos na nakawin ang handbag) ?

Unang paraan:

Maaabutan ng magnanakaw ang may-ari ng handbag sa pangalawang pagkakataon sa sandaling ang distansya na kanyang tinatakbuhan ay magiging 600 metro na higit pa sa layo na tatakbo ng may-ari ng hanbag (mula sa sandali ng pagnanakaw).

Dahil ang kanyang bilis ay \(0.5 \) km / h higit pa, pagkatapos ay sa isang oras ay tumatakbo siya ng 500 metro pa, pagkatapos ay sa \ (1: 5 \u003d 0.2\) na oras ay tumatakbo siya \ (500: 5 \u003d 100 \) metro higit pa. Tatakbo siya nang 600 metro pa sa \(1 + 0.2 \u003d 1.2\) na oras.

Pangalawang paraan:

Hayaan ang \(v\) km/h ang bilis ng may-ari ng hanbag, kung gayon
\ (v + 0.5 \) km / h - ang bilis ng magnanakaw.
Hayaang ang \(t\) h ang oras kung kailan mahuli ng magnanakaw ang may-ari ng handbag sa pangalawang pagkakataon, pagkatapos
\(v\cdot t\) - ang distansya na tatakbo ng may-ari ng handbag sa \(t\) h,
Ang \((v + 0.5)\cdot t\) ay ang layo na tatakbo ng magnanakaw sa loob ng \(t\) oras.
Maaabutan ng magnanakaw ang maybahay ng hanbag sa pangalawang pagkakataon sa sandaling tumakbo siya nang eksaktong 2 lap kaysa sa kanya (iyon ay, \ (600 \) m \u003d \ (0.6 \) km), pagkatapos \[(v + 0.5)\cdot t - v\cdot t = 0.6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0.5\cdot t = 0.6,\] saan \(t = 1,2\) h.

Sagot: 1.2

Gawain 5 #822

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri

Dalawang nagmomotorsiklo ang magsisimula sa parehong oras mula sa parehong punto ng pabilog na track sa magkaibang direksyon. Ang bilis ng unang nakamotorsiklo ay doble ng bilis ng pangalawa. Isang oras pagkatapos ng simula, nagkita sila sa ikatlong pagkakataon (isipin na ang unang pagkakataon na nagkita sila pagkatapos ng simula). Hanapin ang bilis ng unang nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 40 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

Sa sandaling nagkita ang mga nakamotorsiklo sa ikatlong pagkakataon, ang kabuuang distansya na kanilang nilakbay ay \(3 \cdot 40 = 120\) km.

Dahil ang bilis ng una ay 2 beses na mas malaki kaysa sa bilis ng pangalawa, naglakbay siya mula sa 120 km na bahagi ng 2 beses na mas malaki kaysa sa pangalawa, iyon ay, 80 km.

Dahil sa pangatlong beses silang nagkita sa loob ng isang oras, ang una ay naglakbay ng 80 km sa isang oras. Ang bilis nito ay 80 km/h.

Sagot: 80

Gawain 6 #824

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri

Dalawang runner ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang diametrically opposite point ng isang circular track, ang haba nito ay 400 metro. Makalipas ang ilang minuto makakahabol ang mga mananakbo sa unang pagkakataon kung ang unang mananakbo ay tatakbo ng 1 kilometro nang higit sa isang oras kaysa sa pangalawa?

Sa isang oras, ang unang runner ay tumatakbo ng 1000 metro nang higit sa pangalawa, na nangangahulugang tatakbo siya ng 100 metro pa sa \ (60: 10 \u003d 6\) minuto.

Ang unang distansya sa pagitan ng mga runner ay 200 metro. Magkakapantay sila kapag ang unang mananakbo ay tumakbo ng 200 metro na higit sa pangalawa.

Mangyayari ito sa \(2 \cdot 6 = 12\) minuto.

Sagot: 12

Gawain 7 #825

Antas ng gawain: Katumbas ng Pinag-isang Estado na Pagsusuri

Isang turista ang umalis sa lungsod M sa isang pabilog na kalsada na 220 kilometro ang haba, at makalipas ang 55 minuto, isang motorista ang umalis sa lungsod M pagkatapos niya. 5 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang turista sa unang pagkakataon, at 4 na oras pagkatapos nito ay naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng turista. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

Unang paraan:

Matapos ang unang pagpupulong, naabutan ng motorista ang turista (sa pangalawang pagkakataon) pagkatapos ng 4 na oras. Sa oras ng pangalawang pagpupulong, ang motorista ay nagmaneho ng isang bilog nang higit pa sa dumaan na turista (iyon ay, \ (220 \) km).

Dahil sa loob ng 4 na oras na ito ay naabutan ng motorista ang turista ng \(220\) km, ang bilis ng motorista ay \(220: 4 \u003d 55\) km / h higit pa sa bilis ng turista.

Hayaan ngayon ang bilis ng turista \ (v \) km / h, pagkatapos bago ang unang pagpupulong ay pinamamahalaang niyang makapasa \ dumaan na ang driver \[(v + 55)\dfrac(5)(60) = \dfrac(v + 55)(12)\ \text(km).\] Pagkatapos ay \[\dfrac(v + 55)(12) = v,\] kung saan natin makikita ang \(v = 5\) km/h.

Pangalawang paraan:

Hayaan ang \(v\) km/h ang bilis ng turista.
Hayaang \(w\) km/h ang bilis ng motorista. Dahil \(55\) minuto \(+ 5\) minuto \(= 1\) oras, pagkatapos
\(v\cdot 1\) km - ang layo na nilakbay ng turista bago ang unang pagkikita. Dahil \(5\) minuto \(= \dfrac(1)(12)\) oras, pagkatapos
Ang \(w\cdot \dfrac(1)(12)\) km ay ang distansyang nilakbay ng motorista bago ang unang pagkikita. Ang mga distansya na kanilang nilakbay bago ang unang pagkikita ay: \ Sa susunod na 4 na oras, ang motorista ay nagmaneho nang higit pa kaysa sa turista na pumunta sa isang bilog (sa \(220\) \ \

Kapag gumagamit ng mga dami sa ehersisyo na nauugnay sa distansya (bilis, haba ng bilog), malulutas ang mga ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga ito sa paglipat sa isang tuwid na linya.

\

Ang pinakamalaking kahirapan para sa mga mag-aaral sa Moscow at iba pang mga lungsod, tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ay sanhi ng mga gawain para sa circular motion sa Unified State Examination, ang paghahanap para sa isang sagot kung saan nauugnay sa paggamit ng isang anggulo. Upang malutas ang ehersisyo, maaaring tukuyin ang circumference bilang bahagi ng isang bilog.

Maaari mong ulitin ang mga ito at iba pang mga algebraic na formula sa seksyong "Theoretical Reference". Upang matutunan kung paano ilapat ang mga ito sa pagsasanay, lutasin ang mga pagsasanay sa paksang ito sa "Catalogue".

Mga gawain para sa paggalaw sa isang pabilog na track. Mga gawain para sa paggalaw sa isang pabilog na track.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pagpipilian 1.


na katumbas ng 14 km. Ilang minuto na lang hahabol ang mga nakamotorsiklo
sa unang pagkakataon, kung ang bilis ng isa sa mga ito ay 21 km/h higit sa bilis
isa pa?
Mula sa isang punto ng pabilog na track, ang haba nito ay 14 km,

Ang bilis ng unang kotse ay 80 km/h, at pagkatapos ng 40 minuto
bilis

Umalis ang isang siklista sa punto A ng circular track. Makalipas ang 30 minuto ay siya
hindi pa bumabalik sa point A at from point A sinundan siya
nakamotorsiklo. 10 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya
siklista sa unang pagkakataon, at makalipas ang 30 minuto ay naabutan
siya sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng riles ay
ay katumbas ng 30 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Dalawang racer ang nakikipagkarera. Kailangan nilang magmaneho ng 60 laps
ring road na may haba na 3 km. Nagsimula ang magkabilang sakay
sa parehong oras, at ang una ay dumating sa linya ng pagtatapos nang mas maaga kaysa sa pangalawa sa pamamagitan ng 10 minuto.

ang unang driver ay nag-overtake sa pangalawa sa unang pagkakataon sa isang lap pagkatapos ng 15 minuto?
Ibigay ang iyong sagot sa km/h.


isang oras nang ang isa sa kanila ay may natitira pang 1 km bago matapos ang una
lap, sinabihan siya na nakumpleto ng pangalawang runner ang unang lap na 20 minuto

km/h ay mas mababa sa bilis ng segundo.




bakas sa metro kung ang pangalawang katawan ay bumalik sa punto A pagkatapos ng 36
minuto pagkatapos ng pulong.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Opsyon 2.
Dalawang sakay ang nagsisimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa
dalawang diametrically opposite point ng circular track, haba
na katumbas ng 16 km. After how many minutes yung mga nakamotorsiklo
equalize sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa mga ito ay 10 km/h
mas mabilis kaysa sa iba?

Dalawang kotse ang nagsisimula sa parehong oras sa parehong direksyon.
Ang bilis ng unang kotse ay 101 km/h, at 20 minuto pagkatapos
simula, nauna siya ng isang lap sa pangalawang sasakyan. Hanapin

Umalis ang isang siklista sa punto A ng circular track, at pagkatapos ng 50 minuto
Sinundan siya ng nakamotorsiklo. 5 minuto pagkatapos ipadala
si leniya ay naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at pagkatapos ng isa pang 30 minuto
pagkatapos ay naabutan siya sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis
nakamotorsiklo, kung ang haba ng track ay 50 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Dalawang racer ang nakikipagkarera. Kailangan nilang magmaneho ng 68 laps
ring road na may haba na 6 km. Nagsimula ang magkabilang sakay
sa parehong oras, at ang una ay dumating sa linya ng pagtatapos nang mas maaga kaysa sa pangalawa
15 minuto. Ano ang karaniwang bilis ng pangalawang sakay kung
nabatid na ang unang rider sa unang pagkakataon ay nalampasan ang pangalawa sa pamamagitan ng isang lap
pagkatapos ng 60 minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Dalawang runner ang nagsimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa parehong
sa parehong lugar sa circular track sa isang multi-lap run. Mamaya
isang oras nang ang isa sa kanila ay may natitira pang 3 km bago matapos ang una

pabalik. Hanapin ang bilis ng unang runner kung ito ay kilala na
5km/h mas mababa kaysa sa bilis ng segundo.
Mula sa punto A ng circular track, uniporme



mga landas sa metro kung ang pangalawang katawan ay bumalik sa punto A pagkatapos ng 20
minuto pagkatapos ng pulong.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Opsyon 3.
Dalawang sakay ang nagsisimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa
dalawang diametrically opposite point ng circular track, haba
na katumbas ng 20 km. Ilang minuto na lang hahabol ang mga nakamotorsiklo
sa unang pagkakataon, kung ang bilis ng isa sa mga ito ay 15 km/h higit sa bilis
isa pa?
Mula sa isang punto ng pabilog na track, ang haba nito ay 8 km,
Dalawang kotse ang nagsisimula sa parehong oras sa parehong direksyon.
Ang bilis ng unang kotse ay 114 km/h, at pagkatapos ng 20 minuto

pangalawang sasakyan. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

Sinundan siya ng nakamotorsiklo. 8 minuto pagkatapos
pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at pagkatapos ng isa pang 21
isang minuto pagkatapos nito ay naabutan siya sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis
nakamotorsiklo, kung ang haba ng track ay 35 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Dalawang racer ang nakikipagkarera. Kailangan nilang magmaneho ng 94 laps
ring road na may haba na 7.5 km. Nagsimula ang magkabilang sakay
sa parehong oras, at ang una ay dumating sa linya ng pagtatapos nang mas maaga kaysa sa pangalawa sa pamamagitan ng 18 minuto.
Ano ang average na bilis ng pangalawang rider kung ito ay kilala na
ang unang driver ay nag-overtake sa pangalawa sa unang pagkakataon sa pamamagitan ng isang lap sa loob ng 50 minuto?
Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Dalawang runner ang nagsimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa parehong
sa parehong lugar sa circular track sa isang multi-lap run. Mamaya
isang oras nang ang isa sa kanila ay may natitira pang 4 na kilometro bago matapos ang una
lap, sinabihan siya na nakumpleto ng pangalawang runner ang unang lap ng 6 na minuto
pabalik. Hanapin ang bilis ng unang runner kung ito ay kilala na 6
km/h ay mas mababa sa bilis ng segundo.
Mula sa punto A ng circular track, uniporme
dalawang katawan ang gumagalaw sa magkasalungat na direksyon. Ang unang katawan sa
sa sandali ng kanilang pagpupulong ay pumasa sa 300 metro na higit sa pangalawa, at
babalik sa punto A 5 minuto pagkatapos ng pulong. Hanapin ang haba
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Opsyon 4.
Dalawang sakay ang nagsisimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa
dalawang diametrically opposite point ng circular track, haba
na katumbas ng 40 km. After how many minutes yung mga nakamotorsiklo
equalize sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa mga ito ay 25 km/h
mas mabilis kaysa sa iba?
Mula sa isang punto ng pabilog na track, ang haba nito ay 12 km,
Dalawang kotse ang nagsisimula sa parehong oras sa parehong direksyon.
Ang bilis ng unang kotse ay 106 km/h, at 48 minuto pagkatapos
simula, nauna siya ng isang lap sa pangalawang sasakyan. Hanapin
ang bilis ng pangalawang sasakyan. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Umalis ang isang siklista sa punto A ng circular track, at pagkatapos ng 40 minuto
Sinundan siya ng nakamotorsiklo. Makalipas ang 10 minuto
pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at pagkatapos ng isa pang 36
minuto pagkatapos ay naabutan siya sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis
nakamotorsiklo, kung ang haba ng track ay 36 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
Dalawang rider ang kailangang magmaneho ng 85 laps sa ring track
8 km ang haba. Ang parehong mga sakay ay nagsimula sa parehong oras, at sa
ang unang pagtatapos ay dumating nang mas maaga kaysa sa pangalawa sa pamamagitan ng 17 minuto. Ano ang
ang average na bilis ng pangalawang sakay, kung ito ay kilala na ang unang sakay
sa unang pagkakataon ay nalampasan ang pangalawa sa isang bilog sa loob ng 48 minuto? Sagot sa
km/h
Dalawang runner ang nagsimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa parehong
sa parehong lugar sa circular track sa isang multi-lap run. Mamaya
isang oras nang ang isa sa kanila ay may natitira pang 7 km bago matapos ang una
lap, sinabi sa kanya na ang pangalawang runner ay tumakbo sa unang lap sa loob ng 3 minuto
pabalik. Hanapin ang bilis ng unang runner kung ito ay kilala na 8
km/h ay mas mababa sa bilis ng segundo.
Mula sa punto A ng circular track, uniporme
dalawang katawan ang gumagalaw sa magkasalungat na direksyon. Sa oras na sila
pulong, ang unang katawan ay naglalakbay ng 200 m higit sa pangalawa, at
babalik sa point A 25 minuto pagkatapos ng pulong. Hanapin ang haba

Shinkarev Egor Alexandrovich

Koleksyon ng mga problema

Mga hindi karaniwang gawain para sa paggalaw

Scientific superbisor ng proyekto Kudryavtseva Natalia Nikolaevna

Ang koleksyon ay naglalaman ng mga detalyadong solusyon sa mga problemang may kondisyong itinalaga sa mga sumusunod na grupo: circular motion, motion of extended bodies, at mga gawain para sa independiyenteng solusyon ay iminungkahi. Ang koleksyon ng mga gawain na ito ay maaaring gamitin upang bumuo ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri bilang paghahanda para sa Unified State Examination at Olympiads sa matematika. Ang koleksyon ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa mga baitang 8-11, mga guro para sa pag-aayos ng pagsasama-sama at pag-uulit ng mga gawain para sa paggalaw kapwa sa silid-aralan at sa mga ekstrakurikular na aktibidad.

Abakan 2017

Panimula ________________________________________________________3

Kabanata 1

§ 1.1. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa isang direksyon, sa isang pagkakataon mula sa isang punto

§ 1.2. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa isang direksyon, sa isang pagkakataon mula sa magkasalungat na punto ______________________________6

§ 1.3. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa isang direksyon, sa iba't ibang oras mula sa isang punto.………….7

§ 1.4. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa magkasalungat na direksyon, sa parehong oras mula sa isang punto.……………………..8

Kabanata 2

§ 2.1. Mga problema sa paggalaw ng dalawang pinahabang katawan sa isang direksyon

§ 2.2. Mga problema sa paggalaw ng dalawang pinahabang katawan patungo

§ 2.3. Mga problema sa paggalaw ng isang pinahabang katawan na may kaugnayan sa isa pang nakapirming katawan

§ 2.4. Mga problema sa paggalaw ng isang pinahabang katawan na may kaugnayan sa isang nakapirming punto

§ 2.5. Mga problema sa paggalaw ng isang pinahabang katawan at isang punto patungo

§ 2.6 mga gawain para sa paggalaw ng isang pinahabang katawan at isang punto sa isang direksyon ______

Panimula

Sa pagsasagawa, maraming mga kagiliw-giliw na gawain para sa paggalaw. Ang mga nakakaaliw na problema ay iniaalok sa iba't ibang olympiad at panghuling pagsusulit. Ang koleksyon na ito ay naglalaman lamang ng mga problema na may kondisyong inuri sa mga sumusunod na grupo: mga problema para sa paggalaw sa isang bilog, mga problema para sa paggalaw ng mga pinahabang katawan.

Sa bawat pangkat, ang mga subgroup ay nakikilala na naiiba sa bawat isa sa mga paraan ng paglutas.

Ang koleksyon ng mga problemang ito ay naglalaman ng mga koleksyon ng mga problema ng bawat uri na may mga sagot. Ang koleksyon ay naglalaman ng mga detalyadong solusyon sa mga problema ng bawat uri at nag-aalok ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon. Ang koleksyon ng mga gawain na ito ay maaaring gamitin upang bumuo ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri bilang paghahanda para sa OGE, ang Unified State Examination at math olympiads. Ang koleksyon ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa baitang 8-11, mga guro para sa pag-aayos ng pagsasama-sama at pag-uulit ng mga gawain para sa paggalaw, kapwa sa silid-aralan at sa mga ekstrakurikular na aktibidad.

Kabanata 1

Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog

§1.1 Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa isang direksyon, sa isang pagkakataon mula sa isang punto

Gawain: Mula sa isang punto ng pabilog na track, ang haba nito ay 14 km, dalawang kotse ang nagsimula nang sabay-sabay sa parehong direksyon. Ang bilis ng unang kotse ay 80 km/h, at 40 minuto pagkatapos ng pagsisimula ay nauuna ito ng isang lap sa pangalawang kotse. Hanapin ang bilis ng pangalawang kotse. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

Desisyon:

Bilis

Oras

Distansya

1st kotse

80 km/h

80*= km

2nd kotse

X km/h

x ⋅ km

Alam na sa 2/3 na oras ang unang kotse ay umikot sa bilog, iyon ay, 14 km higit pa kaysa sa pangalawa, gagawa kami ng isang equation.

X ⋅ +14;

2x=160 −14 ⋅ 3;

x=59 .

Sagot: 59 km/h

1. Dalawang runner ang nagsimula sa parehong oras sa parehong direksyon mula sa parehong lugar sa circuit sa isang multi-lap race. Makalipas ang isang oras, nang ang isa sa kanila ay may 1 km na natitira bago matapos ang unang lap, sinabi sa kanya na nakumpleto ng pangalawang runner ang unang lap 20 minuto ang nakalipas. Hanapin ang bilis ng unang runner kung alam na ito ay 8 km/h mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa.(13)( )

2. Dalawang magkakarera ang nagkakarera. Kailangan nilang magmaneho ng 60 laps sa isang 3 km na haba ng ring road. Magkasabay na nagsimula ang dalawang sakay, at ang una ay dumating sa finish line 10 minutong mas maaga kaysa sa pangalawa. Ano ang average na bilis ng pangalawang sakay kung alam na ang unang sakay ay nalampasan ang pangalawa sa unang pagkakataon sa pamamagitan ng isang lap sa loob ng 15 minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h. (108) ( )

3. Dalawang rider ang kailangang magmaneho ng 85 laps sa 8 km long ring track. Parehong nagsimula ang dalawang sakay, at ang una ay dumating sa finish line nang mas maaga kaysa sa pangalawa nang 17 minuto. Ano ang average na bilis ng pangalawang sakay kung alam na ang unang sakay ay nalampasan ang pangalawa sa unang pagkakataon sa pamamagitan ng isang lap sa loob ng 48 minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

(150)( )

4. Ang dalawang rider ay kailangang magmaneho ng 68 lap sa isang 6 km na haba ng ring track. Parehong nagsimula ang dalawang sakay, at ang una ay dumating sa finish line nang mas maaga kaysa sa pangalawa nang 15 minuto. Ano ang average na bilis ng pangalawang sakay kung alam na ang unang sakay ay nalampasan ang pangalawa sa unang pagkakataon sa pamamagitan ng isang lap sa loob ng 60 minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

(96 )( )

5. Dalawang puntos, na gumagalaw sa isang bilog sa parehong direksyon, ay nagtatagpo bawat 12 minuto, na ang una ay umiikot sa bilog nang 10 s na mas mabilis kaysa sa pangalawa. Anong bahagi ng bilog ang sinasaklaw ng bawat punto sa 1 s? (1/80 at 1/90 ng bilog)( )

§1.2. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa isang direksyon, sa isang pagkakataon mula sa diametrically tapat na mga punto

Gawain: Dalawang motorsiklista ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang magkasalungat na punto ng isang pabilog na track, ang haba nito ay 14 km. Sa ilang minuto makakahabol ang mga nakamotorsiklo sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa kanila ay 21 km/h na higit sa bilis ng isa?

Desisyon:

Bilis

Oras

Distansya

Unang nagmotorsiklo

X km/h

t h

xt km

Pangalawang nagmomotorsiklo

X + 21 km/h

t h

(x+21)t km

Hayaang ang mga nagmomotorsiklo ay nasa kalsada para sa parehong oras, katumbas ng t

oras. Para makahabol ang mga nagmomotorsiklo, dapat malampasan ng mas mabilis ang distansya na unang naghihiwalay sa kanila, katumbas ng kalahati ng haba ng track, ibig sabihin, 14:2 = 7 km. Samakatuwid, ang distansya na nilakbay ng pangalawang nakamotorsiklo ay 7 km na mas mahaba kaysa sa distansya na nilakbay ng una:

(x+21)t−xt=7;

21t=7

t=h

Kaya, ang mga nakamotorsiklo ay makakahabol pagkatapos ng t= oras o pagkatapos ng 20 minuto.

Bigyan natin ng isa pang solusyon

Ang isang mabilis na nagmomotorsiklo ay gumagalaw sa medyo mabagal na bilis na 21 km bawat oras, at dapat na malampasan ang 7 km na naghihiwalay sa kanila. Samakatuwid, aabutin siya ng isang katlo ng isang oras.

Sagot: 20 min

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

6.Dalawang motorsiklista ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang magkasalungat na punto ng isang pabilog na track, ang haba nito ay 22 km. Sa ilang minuto makakahabol ang mga nakamotorsiklo sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa kanila ay 20 km/h na mas mataas kaysa sa bilis ng isa? (33)

7. Dalawang motorsiklista ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang magkasalungat na punto ng isang pabilog na track, ang haba nito ay 5 km. Ilang minuto kaya aabutan ng mga nakamotorsiklo sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa kanila ay 5 km/h na higit sa bilis ng isa? (30) (https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

8 . Dalawang motorsiklista ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang magkasalungat na punto ng isang pabilog na track, ang haba nito ay 14 km. Sa ilang minuto makakahabol ang mga nakamotorsiklo sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa kanila ay 21 km/h na higit sa bilis ng isa? (20)

9 . Dalawang nagmomotorsiklo ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang magkasalungat na punto ng isang pabilog na track, ang haba nito ay 27 km. Sa ilang minuto makakahabol ang mga nakamotorsiklo sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa kanila ay 27 km/h na higit sa bilis ng isa? (tatlumpu)

10. Dalawang nagmomotorsiklo ang sabay na nagsisimula sa parehong direksyon mula sa dalawang magkatapat na punto ng isang pabilog na track, ang haba nito ay 6 km. Sa ilang minuto makakahabol ang mga nakamotorsiklo sa unang pagkakataon kung ang bilis ng isa sa kanila ay 9 km/h na higit sa bilis ng isa? (20)

§1.3. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa isang direksyon, sa iba't ibang oras mula sa isang punto

Gawain: Isang siklista ang umalis sa point A ng circular track, at pagkaraan ng 30 minuto ay sinundan siya ng isang nakamotorsiklo. 10 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at 30 minuto pagkatapos nito ay naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 30 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.

Desisyon:

Bilis

Oras

Distansya

1 pulong

siklista

X km/h

40min=h

Nakamotorsiklo

4X km/h

10 min=h

2 pulong

siklista

X km/h

Nakamotorsiklo

4X km/h

Sa oras ng unang pag-overtake, ang nakamotorsiklo ay naglakbay nang kasing dami sa loob ng 10 minuto gaya ng siklista sa loob ng 40 minuto, samakatuwid, ang kanyang bilis ay 4 na beses na mas mataas. Samakatuwid, kung ang bilis ng nagbibisikleta ay kinuha bilang x km/h, ang bilis ng nakamotorsiklo ay magiging 4x km/h at ang bilis ng kanilang paglapit ay magiging 3x km/h.

Sa kabilang banda, sa pangalawang pagkakataon ay naabutan ng nakamotorsiklo ang nagbibisikleta sa loob ng 30 minuto, sa panahong ito ay bumiyahe ito ng 30 km pa. Samakatuwid, ang bilis ng kanilang convergence ay 60 km / h.

Kaya, 3x=60 km/h, kung saan ang bilis ng siklista ay 20 km/h at ang bilis ng nakamotorsiklo ay 80 km/h.

Sagot: 80km/h.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

11 . Mula sa talataIsang siklista ang umalis sa circular track, at pagkaraan ng 10 minuto ay sinundan siya ng isang nakamotorsiklo. 2 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at 3 minuto pagkatapos nito ay naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 5 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h. (6) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm

12. Mula sa talataIsang siklista ang umalis sa circular track, at pagkaraan ng 40 minuto ay sinundan siya ng isang nakamotorsiklo. 8 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at 36 minuto pagkatapos nito ay naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 30 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h. (60) ( https://www.metodkopilka.ru/konspekt_uroka_matematiki_po_teme_reshenie_zadach_na_dvizhenie_po_okruzhnosti-59657.htm)

13. Isang siklista ang umalis sa puntong "A" ng circular track, at pagkaraan ng 50 minuto ay sinundan siya ng isang nakamotorsiklo. 10 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at 18 minuto pagkatapos nito, naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 15 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.(60)

14. Isang siklista ang umalis sa puntong "A" ng circular track, at pagkaraan ng 30 minuto ay sinundan siya ng isang nakamotorsiklo. 8 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at 12 minuto pagkatapos nito, naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 15 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h. (95)

15. Isang siklista ang umalis sa puntong "A" ng circular track, at pagkaraan ng 40 minuto ay sinundan siya ng isang nakamotorsiklo. 10 minuto pagkatapos ng pag-alis, naabutan niya ang siklista sa unang pagkakataon, at 36 minuto pagkatapos nito ay naabutan niya ito sa pangalawang pagkakataon. Hanapin ang bilis ng nakamotorsiklo kung ang haba ng track ay 36 km. Ibigay ang iyong sagot sa km/h.(75)

§1.4. Mga gawain para sa paggalaw sa isang bilog, sa magkasalungat na direksyon, sa parehong oras mula sa isang punto

W impyerno acha 1: Ang ilang puntong A ay kinuha sa bilog. Dalawang katawan ang sabay-sabay na umalis sa puntong ito at gumagalaw nang pantay-pantay kasama ang ibinigay na bilog sa magkasalungat na direksyon. Sa sandali ng kanilang pagpupulong, lumabas na ang unang katawan ay naglakbay ng 10 metro na higit sa pangalawa. Bilang karagdagan, ang unang katawan ay dumating sa punto A pagkatapos ng 9 segundo, at ang pangalawa - 16 segundo pagkatapos ng pulong. Tukuyin ang circumference sa metro.

Desisyon:

Oras

Distansya

1st point

X km/h

t h

xt km

2nd point

y km/h

t h

Ytkm

Hayaang ang x ay ang bilis ng isang punto na gumagalaw nang pakanan at ang y ay ang bilis ng isa. Pagkatapos bago ang pulong, ang unang punto ay lalampas sa distansya xt, at ang pangalawa ay lalampas sa distansya yt.

Matapos matugunan ang unang punto sa panimulang punto, kailangan mong pumunta sa parehong distansya na napunta sa pangalawa bago ang pulong, at ang unang punto ay gumugugol ng oras na ito na katumbas ng 10 s, at ang pangalawa, sa kabaligtaran, ay kailangang pumunta ang distansya na napunta sa una bago ang pulong, at ginugugol nito sa 16 p. Nakukuha namin ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay:

Xt=16y

Yt=9x

Ipahayag natin ang oras ng paggalaw ng mga puntos bago matugunan ang t

t= =

Saan tayo kukuha

x=

Ayon sa kondisyon, ang unang katawan ay naglakbay ng 10 m higit pa kaysa sa pangalawa, iyon ay

16y-9x=10

Pinapalitan namin ang isa sa mga hindi alam sa equation na ito:

16 y-12 y =10

At nakita namin ang Y=2.5 mula sa kung saan x= .

Ang kabuuang haba ng bilog ay: 70

Sagot: Ang circumference ay 70 metro.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

16. Dalawang katawan na gumagalaw sa magkaibang direksyon kasama ang isang bilog na 500 m ang haba na may pare-parehong bilis ay nagtatagpo bawat 125 segundo. Kapag gumagalaw sa isang direksyon, ang unang katawan ay nakakahabol sa pangalawa tuwing 12.5 segundo. Hanapin ang bilis ng bawat katawan. (22 at 18)

17. Mula sa punto A ng pabilog na track, dalawang katawan ang sabay-sabay na nagsisimula sa magkatulad na paggalaw sa magkasalungat na direksyon. Sa oras na magkita sila, ang unang katawan ay naglalakbay nang 100 metro nang higit sa pangalawa, at babalik sa point A 9 minuto pagkatapos ng pulong. Hanapin ang haba ng landas sa metro kung ang pangalawang katawan ay babalik sa point A 16 minuto pagkatapos ng pulong. (700)

18. Dalawang katawan na gumagalaw sa isang bilog sa parehong direksyon ay nagtatagpo bawat 112 minuto, at gumagalaw sa magkasalungat na direksyon - bawat 16 minuto. Sa pangalawang kaso, ang distansya sa pagitan ng mga katawan ay bumaba mula 40 m hanggang 26 m sa 12 s. Ilang metro kada minuto ang dinadaanan ng bawat katawan at ano ang circumference? (1120 m; 40 m/min, 30 m/min)

19. Sa 2.4

20. Sa 2.4

Kabanata 2

Mga problema sa paggalaw ng mga pinahabang katawan

§2.1. Mga problema sa paggalaw ng dalawang pinahabang katawan sa isang direksyon

Gawain: Sa pamamagitan ng dagat, dalawang tuyong barkong kargamento ang sumusunod sa magkatulad na mga kurso sa isang direksyon: ang una ay 130 metro ang haba, ang pangalawa ay 120 metro ang haba. Una, ang pangalawang bulk carrier ay nahuhuli sa una, at sa ilang sandali, ang distansya mula sa popa ng unang bulk carrier hanggang sa busog ng pangalawa ay 600 metro. 11 minuto pagkatapos nito, ang unang bulk carrier ay nahuhuli sa pangalawa upang ang distansya mula sa popa ng pangalawang bulk carrier hanggang sa busog ng una ay 800 metro. Ilang kilometro bawat oras ang bilis ng unang cargo ship na mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa? (http://www.ug.ru/method_article/519)

Desisyon:

Oras

Distansya

2 - 1

X m/min

11 min

600+130+120+800= 1650 m

Ang distansya na nilakbay ng bow 2 ng bulk carrier ay katumbas ng: ang unang distansya mula sa bow 2 ng bulk carrier hanggang sa stern 1(600) + ang haba 1(130) + ang haba 2(120) + ang pangwakas distansya mula sa busog 1 hanggang sa stern 2(800) = 1650 m

V= S: t

V = 1650: 11= 150 m/min = 9 km/h

Sagot: 9 km/h

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

21. Ang mga pampasaherong tren at kargamento ay naglalakbay sa parehong direksyon kasama ang dalawang parallel na riles ng tren sa bilis na 80 km/h at 50 km/h, ayon sa pagkakabanggit. Ang haba ng isang freight train ay 800 metro. Hanapin ang haba ng pampasaherong tren kung ang oras na kailangan nito para makapasa sa freight train ay 2 minuto. Ibigay ang iyong sagot sa metro. (200)

22. Sa pamamagitan ng dagat, dalawang tuyong cargo ship ang sumusunod sa magkatulad na mga kurso sa isang direksyon: ang una ay 110 metro ang haba, ang pangalawa ay 70 metro ang haba. Una, ang pangalawang bulk carrier ay nahuhuli sa una, at sa ilang sandali, ang distansya mula sa popa ng unang bulk carrier hanggang sa busog ng pangalawa ay 200 metro. 8 minuto pagkatapos nito, ang unang bulk carrier ay nahuhuli sa pangalawa upang ang distansya mula sa popa ng pangalawang bulk carrier hanggang sa busog ng una ay 500 metro. Sa ilang kilometro bawat oras ang bilis ng unang cargo ship ay mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa? (6.6)

( )

23. Sa pamamagitan ng dagat, dalawang barge ang sumusunod sa magkatulad na kurso sa isang direksyon: ang una ay 70 metro ang haba, ang pangalawa ay 30 metro ang haba. Una, ang pangalawang barge ay nahuhuli sa una, at sa ilang sandali, ang distansya mula sa popa ng unang barge hanggang sa busog ng pangalawa ay 250 metro. 14 minuto pagkatapos nito, nasa likod na ng pangalawa ang unang barge kaya 350 metro ang distansya mula sa popa ng pangalawang barge hanggang sa busog ng una. Ilang kilometro bawat oras ang bilis ng unang barge na mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa? (3)

( )

24. Sa pamamagitan ng dagat, dalawang barge ang sumusunod sa magkatulad na mga kurso sa isang direksyon: ang una ay 60 metro ang haba, ang pangalawa ay 40 metro ang haba. Una, ang pangalawang barge ay nahuhuli sa una, at sa ilang sandali, ang distansya mula sa popa ng unang barge hanggang sa busog ng pangalawa ay 200 metro. 18 minuto pagkatapos nito, nasa likod na ng pangalawa ang unang barge kaya't 300 metro ang layo mula sa stern ng pangalawang barge hanggang sa busog ng una. Ilang kilometro bawat oras ang bilis ng unang barge na mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa? (2.1)

( )

25 . Sa pamamagitan ng dagat, dalawang tuyong barkong kargamento ang sumusunod sa magkatulad na mga kurso sa isang direksyon: ang una ay 120 metro ang haba, ang pangalawa ay 80 metro ang haba. Una, ang pangalawang bulk carrier ay nahuhuli sa una, at sa ilang sandali, ang distansya mula sa popa ng unang bulk carrier hanggang sa busog ng pangalawa ay 400 metro. 12 minuto pagkatapos nito, ang unang bulk carrier ay nahuhuli sa pangalawa upang ang distansya mula sa popa ng pangalawang bulk carrier hanggang sa busog ng una ay 600 metro. Sa ilang kilometro bawat oras ang bilis ng unang cargo ship ay mas mababa kaysa sa bilis ng pangalawa? (6)

( )

§3

Mga gawain para sa digital recording ng isang numero

Gawain 1: Hanapin ang pinakamaliit na apat na digit na numero na mahahati sa 11 na ang produkto ng mga digit nito ay 12.

Desisyon:

Ang numero ay dapat na isang multiple ng 11, iyon ay, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga digit sa kahit na mga posisyon at ang mga digit sa mga kakaibang posisyon ay isang multiple ng 11, isaalang-alang ang kaso kapag ang kanilang pagkakaiba ay 0. Tandaan na ang 0 ay hindi dapat mangyari, dahil kailan multiplied by 0 we get 0 Since the number is the smallest, let's take the first digit 1. The number will take the form 1bcd. At kaya 1 + c = b + d at c×b×d=12. Bukod dito, kung kinakatawan natin ang 12 bilang isang produkto ng 3 numero, pagkatapos ay makakakuha tayo ng 12 = 2 × 3 × 2, habang ang 2 + 2 = 3 + 1 at makakakuha tayo ng 1232

Sagot: 1232

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

26. Humanap ng apat na digit na numero na isang multiple ng 22 at ang produkto ng mga digit ay 40. Ipahiwatig ang isa sa mga numero sa iyong sagot.

27. Humanap ng apat na digit na numero na isang multiple ng 22 at ang produkto ng mga digit ay 60. Ipahiwatig ang isa sa mga numero sa iyong sagot.

28. Humanap ng apat na digit na numero na isang multiple ng 18 at ang produkto ng mga digit nito ay 24. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang alinman sa naturang numero.

29. Humanap ng apat na digit na numero na mahahati sa 33, ang produkto kung saan ang mga digit ay 40. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang alinman sa gayong numero.

30. Hanapin ang pinakamaliit na apat na digit na numero na mahahati ng 11 na ang produkto ng mga digit nito ay 12

Gawain 2: Maghanap ng anim na digit na natural na numero na nakasulat lamang bilang 1 at 0 at nahahati sa 24.

Desisyon:

Upang ang isang numero ay mahahati ng 24, ito ay dapat na mahahati ng 3 at 8.
Ang isang numero ay nahahati sa 8 kung ang huling tatlong digit nito ay bumubuo ng isang numero na mahahati ng 8.

Ang nais na numero ay isinusulat lamang ng mga zero at isa, na nangangahulugang nagtatapos ito sa 000. Ang numero ay nahahati sa 3 kung ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3. Dahil ang huling tatlong digit ng numero ay mga zero, ang unang tatlo ay dapat na mga. Kaya, ang tanging numero na nakakatugon sa kondisyon ng problema ay ang bilang na 111,000.
Sagot: 111000

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

31. Humanap ng anim na digit na natural na numero na isinulat lamang bilang 2 at 0 at nahahati sa 120. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang alinman sa gayong numero.

32. Humanap ng anim na digit na natural na numero na isinusulat lamang bilang 1 at 5 at nahahati sa 45. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang alinman sa gayong numero.

33. Humanap ng anim na digit na natural na numero na nakasulat lamang bilang 2 at 3 at nahahati sa 6.

34. Humanap ng anim na digit na natural na numero na nakasulat lamang bilang 7 at 3 at nahahati sa 11.

35. Humanap ng anim na digit na natural na numero na nakasulat lamang bilang 3, 4, 9 at 5 at nahahati sa 9.

36. Hanapin ang pinakamaliit na natural na numero na mahahati sa 36 na naglalaman ng lahat ng 10 digit.

37. Humanap ng anim na digit na natural na numero na mahahati sa 47, na nakasulat lamang sa mga numerong 2, 8, at 0.

Gawain 3: Ang kabuuan ng mga digit ng tatlong-digit na natural na numerong A ay nahahati sa 12. Ang kabuuan ng mga digit ng numerong A + 6 ay nahahati din ng 12, hanapin ang pinakamaliit na posibleng bilang A.

Solusyon: Para sa kaginhawahan, tawagan natin ang aming numerong abc. Ang bawat titik ay nagpapahiwatig ng isang hiwalay na digit ng numerong A: a - daan-daan, b - sampu, c - mga yunit. Ang kabuuan ng mga digit na a + b + c ay dapat na mahahati sa 12. Ipagpalagay natin na ito ang kaso, at subukang pumili ng isang numerong A + 6 upang ang kabuuan ng mga digit nito ay mahahati din ng 12. Tandaan na ang kabuuan ng mga digit ng numerong A + 6 ay dapat na iba sa kabuuan ng mga digit ng numerong A sa pamamagitan ng 12, 24, ... Kung hindi, hindi ito mahahati ng 12. Isaalang-alang ang lahat ng posibleng opsyon:

Pagpipilian 1. Kung c<4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.

Pagpipilian 2. Kung c ≥ 4 at b<9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.

Pagpipilian 3. Kung c ≥ 4, b = 9, a<9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.

Pagpipilian 4. Kung c ≥ 4, b = 9, a = 9, ang bagong numerong A + 6 ay magiging: A + 6 = 100(c - 4) Ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay: 1 + 0 + 0 + c - 4 \u003d c - 3 Ang kabuuan ng mga digit ng numero A na may \u003d 9 at b \u003d 9 ay: 9 + 9 + c \u003d c + 18 Lumalabas na ang 2 sa mga numerong ito ay naiiba ng 21 (18 - (-3)). Hindi gagana ang opsyong ito. Kaya, ang mga digit ng abc ay dapat tumutugma sa c ≥ 4, b = 9, a< 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1

Sagot: 699

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

38. Ang kabuuan ng mga digit ng isang natural na tatlong-digit na numero A ay nahahati sa 13. Ang kabuuan ng mga digit ng numerong A + 5 ay nahahati din ng 13. Hanapin ang naturang numero A.

39. Ang kabuuan ng mga digit ng isang natural na tatlong-digit na numerong A ay nahahati sa 12. Ang kabuuan ng mga digit ng numerong A + 6 ay nahahati din ng 12. Hanapin ang pinakamaliit na numerong A na tumutugon sa kondisyon A > 700.

40. Maghanap ng tatlong-digit na numero A na mayroong lahat ng sumusunod na katangian:

ang kabuuan ng mga digit ng A ay nahahati sa 6

ang kabuuan ng mga digit ng numerong A + 3 ay nahahati din ng 6

Ang numero A ay higit sa 350 at mas mababa sa 400

Ibigay ang iyong sagot bilang isang numero.

§4

Mga gawain para sa pagkiskis at pagdaragdag ng mga numero

Gawain 1: I-cross out ang tatlong digit sa numerong 123456 upang ang resultang numero ay mahahati sa 27. Ipahiwatig ang numero sa iyong sagot.

Desisyon:

Magsimula tayo sa mga numero na nagsisimula sa numero 1, upang hindi masira ang pagkakasunud-sunod:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Sa mga numerong ito, ang 135 ay nahahati sa 27 (13–8 5= –27)
Susunod, suriin namin ang mga numero na nagsisimula sa numero 2:
234, 235, 236, 245, 246, 256

Sinusuri ang mga numero na nagsisimula sa 3:
345, 346, 356.
Walang numero ang mahahati sa 27.
Lumipat tayo sa mga numero na nagsisimula sa numero 4.
456: hindi mahahati ng 27.
Kaya, nakukuha natin ang numerong 135

Sagot: 135

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

41. Mag-cross out ng tatlong digit sa numerong 123456 upang ang resultang numero ay mahahati sa 35. Ipahiwatig ang numero sa iyong sagot.

42. I-cross out ang tatlong digit sa numerong 123456 upang ang resultang numero ay mahahati sa 5. Ipahiwatig ang numero sa iyong sagot.

43. Mag-cross out ng tatlong digit sa numerong 85417627 upang ang resultang numero ay mahahati sa 18. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang eksaktong isang resultang numero.

44. Mag-cross out ng tatlong digit sa numerong 141565041 upang ang resultang numero ay mahahati sa 30. Sa sagot tukuyin eksaktong isang resultang numero.

45. Tumawid ang numerong 181615121 ay may tatlong digit upang ang resultang numero ay mahahati sa 12. Sa iyong sagot, ipahiwatig ang alinman sa gayong numero.

Gawain 2: Sa numerong 26, idagdag sa kaliwa at sa kanan ng numero upang ang resultang numero ay isang multiple ng 45.

Desisyon:

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay dapat na mahahati sa 9, ang numero mismo ay dapat na mahahati ng 5., kaya ang huling digit ay 0 o 5. at pagkatapos ay piliin natin ang unang digit.

1260 at 5265.

Sagot: 1260 o 5262

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

46. ​​​​Magdagdag ng isang digit sa kaliwa at kanan sa numerong 374 upang ang resultang numero ay mahahati ng 45.

47. Magtalaga ng isang digit sa kaliwa at kanan ng 1022 upang ang resultang anim na digit na numero ay mahahati sa 7, 8, 9.

48. Magdagdag ng isang digit sa kaliwa at kanan ng numerong 15 upang ang resultang numero ay mahahati sa 15.

49. Sa numerong 10, magdagdag ng isang digit sa kaliwa at kanang isang digit upang makakuha ng numero na isang multiple ng 72.

50. Sa numerong 2012, magdagdag ng dalawang digit sa kanan upang ang resultang anim na digit na numero ay mahahati sa 36.

Mga sagot sa mga gawain:

1. 1125

2. 1044

3. 1245

4. 3225

5. 4312

6. 6

7. 5

8. 3

9. 321 0

10. 3211

11. 11

12. 5

13. 1152

14. 1152

15. 2120

16. 20

17. 20

18. 10

19. 35

20. 10

21. 30

22. 24

23. 25

24. 24

25. 54

26. 1254

27. 2156

28. 3222

29. 2541

30. 1232

31. 222000

32. 111555

33. 333222

34. 377333

35. 333459

36. 1023457896

37. 282000

38. 899

39. 798

40. 369

41. 245

42. 12345

43. 54162

44. 115650

45. 181512

46. 43740

47. 910224

48. 1155

49. 4104

50. 420120

Bibliograpiya:

1) Kaalaman sa paaralan - portal [Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: https://znanija.com/task/, libre. - Pamagat mula sa screen.

2) mail. en- portal [Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: https://answer.mail.ru/question/, libre. - Pamagat mula sa screen.

3) GAMITIN: 4000 mga gawain na may mga sagot sa matematika. Lahat ng mga gawain "Saradong segment". Pangunahing at mga antas ng profile / I. V. Yashchenko, I. R. Vysotsky, A. V. Zabelin, P. I. Zakharov, S. L. Krupetsky, V. B. Nekrasov, M. A. Positselskaya, S. E Positselsky, E. A. Semenko, A. V. Semenov, V. A. A. A. Smir Sonov, V. A. A. S. Khovanp. Shestakov, D. E. Shnol ; ed. I. V. Yashchenko. - M .: Publishing house "Exam", 2015. - 686, p. (Serye "Bank of USE na mga gawain")

4) Mathematician - portal [Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: http://mathemachka.ru/, libre. - Pamagat mula sa screen.

5) Mga problema ng mathematical Olympiads / I. L. Babinskaya. - M. : Ang pangunahing edisyon ng pisikal at matematikal na panitikan ng Nauka publishing house, 1975. - 109, p.

6) Buksan ang bangko ng mga gawain ng USE sa matematika - portal [Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: http://base.mathege.ru/, libre. - Pamagat mula sa screen.

7) Paghahanda para sa Unified State Examination at ang OGE - mga pagsusuri para sa personal - portal [Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: http://worksbase.ru/, libre. - Pamagat mula sa screen.

Demo na bersyon ng entrance exam
sa ika-8 mathematical class ng GBOU Lyceum No. 1535. Stage 1
1) Hanapin ang halaga ng expression:

Desisyon:

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng paggalaw ng isang turista mula sa lungsod A patungo sa lungsod B, at sa daan sila ay huminto. tukuyin:
a) Sa anong distansya (sa km) mula sa lungsod A huminto ang turista?
b) Ano ang bilis ng turista (sa km/h) pagkatapos huminto?
c) Ano ang average na bilis ng turista (sa km/h) kapag lumilipat mula A hanggang B?

Solusyon: a) sagot: 9; b) 18-9=9, 7-5=2, kaya 9:2=4.5 km/h; c) 18:5=3.6 km/h.

3) Dalhin ang polynomial (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16) sa karaniwang anyo/
Solusyon: (p+3)(p+4)(p-4)-p((1-p)(-p)-16)=(p+3)(p 2 -16)-p(p 2 - p-16)=p 3 +3p 2 -16p-48- p 3 +p 2 +16p=4p 2 -48

4) Hanapin ang ugat ng expression equation: 8 15: x=4 17 2 6
Desisyon:

5) Gamit ang data ng figure, hanapin ang sukat ng antas ng anggulo α


Solusyon: 136°+44°=180°, kaya magkaparehas ang mga linya. Samakatuwid, ∠ CBA=44°, ∠ BCA=56°, kaya ∠α=180°-44°-56°=80°.

6) Ano ang ugat ng equation

Solusyon: i-multiply ang lahat ng termino sa 30, bababa ang mga denominador:

7) Hanapin ang halaga ng isang numeric na expression:

Desisyon:

8) Kung ang isa sa mga katabing gilid ng parisukat ay nabawasan ng 2 cm, at ang isa ay nadagdagan ng 6 cm, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang rektanggulo na ang lugar ay katumbas ng lugar ng rektanggulo, na lalabas mula sa parehong orihinal na parisukat, kung ang isa sa mga katabing gilid nito ay hindi binago, at ang iba pang pagtaas ng 3 cm Ano (sa square centimeters) ang lugar ng orihinal na parisukat?
Desisyon. Hayaan x- gilid ng isang parisukat. Gumawa tayo ng equation:
(x-2)(x+6)=x(x+3);
x 2 +4x-12=x 2 +3x;
x=12
Ang lugar ng orihinal na parisukat ay 12 12=144 cm 2 .

9) Itakda ang formula sa isang linear na function, ang graph kung saan sa 0xy coordinate system ay dumadaan sa punto Т(209,908) at hindi sumasalubong sa graph ng equation na 9x+3y=14
Desisyon. Muli naming isinusulat ang equation sa form

Ang formula ng isang linear function sa pangkalahatang anyo ay y=kx+b. Kung ang graph ng kinakailangang equation ay hindi sumasalubong sa graph ng ibinigay na equation, kung gayon k=-3. Samakatuwid, 908=-3 209 + b, kung saan b=1535.
Ang formula ng gustong linear function: y=-3x+1535

10) Mayroong isang piraso ng isang haluang metal na tanso at lata na may kabuuang masa na 24 kg, na naglalaman ng 45% na tanso. Ilang kilo ng purong lata ang dapat idagdag sa piraso ng haluang metal na ito upang ang magreresultang bagong haluang metal ay naglalaman ng 40% tanso?
Desisyon. Kung ang isang haluang metal ng tanso at lata ay naglalaman ng 45% na tanso, pagkatapos ay naglalaman ito ng 55% na lata. Kung ang bagong haluang metal ay naglalaman ng 40% tanso, pagkatapos ay naglalaman ito ng 60% na lata. Hayaang x ang bilang ng kg ng purong lata na idaragdag sa haluang metal. Gumawa tayo ng equation:
0.55 24 + x = 0.6 (x+24)
x-0.6x=0.6 24- 0.55 24
0.4x=0.05 24
x=3
Sagot: 3 kg.
Tala ng tagapagturo sa matematika: maaari kang magbasa nang higit pa tungkol sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga haluang metal at pinaghalong sa artikulong Mga kalamangan at kawalan ng iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga haluang metal at pinaghalong

11) Ayon sa figure, na nagpapakita ng mga graph ng dalawang linear function at isang parabola, hanapin ang abscissa ng point T.

Desisyon. Ang tuwid na linya na y=5x at ang parabola y=x 2 ay nagsalubong sa dalawang punto. Hanapin natin ang abscissas ng mga puntong ito gamit ang equation na 5x=x 2 . Samakatuwid x 1 =0; x2=5. Kaya ang ordinate ng intersection point ay 25
Ang linya kung saan ang puntong T ay dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate (5;25) at (0;27). Ang equation ng isang tuwid na linya sa pangkalahatang anyo: y=kx+b. Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga punto ng linya sa halip na x at y, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation:


Ang puntong T ay may ordinate na katumbas ng zero. Kaya naman

Sagot. 67.5.

12) Mula sa punto A ng pabilog na track, dalawang bagay ang sabay na nagsisimula ng magkatulad na paggalaw sa magkasalungat na direksyon. Sa oras na magkita sila, ang unang bagay ay naglalakbay nang 100 metro nang higit sa pangalawa, at babalik sa punto A 9 minuto pagkatapos ng pulong. Hanapin ang haba ng track sa metro kung ang pangalawang bagay ay bumalik sa point A 16 minuto pagkatapos ng pulong.
Tandaan. Sa Internet, maaari kang makahanap ng mga site kung saan ang mga naturang problema ay nalutas sa pamamagitan ng isang quadratic equation. Samantala, ang gawaing ito ay inilaan para sa mga pumapasok sa ika-8 baitang. Iyon ay, ang paglutas ng problemang ito, alam ang quadratic equation na naipasa sa ika-8 baitang, ay hindi tama. Hindi na kailangang ilapat ang programa sa ika-8 baitang upang malutas ang isang problemang tinutugunan sa mga nasa ikapitong baitang. Nasa ibaba ang isang solusyon na hindi nangangailangan ng quadratic equation
Desisyon. Hayaang t ang oras hanggang sa magkita ang mga bagay, v 1 - ang bilis ng unang bagay, v 2 - ang bilis ng pangalawang bagay.
Pagkatapos v 1 · t - v 2 · t = 100, dahil sa oras ng pagpupulong ang unang bagay ay naglakbay ng 100 m higit pa. Dahil ang v 2 t ay ang landas na ipinasa ng unang bagay pagkatapos ng pulong, ang v 1 ay ang bilis nito at bumalik ito sa punto A pagkatapos ng 9 minuto, pagkatapos ay maaari tayong gumawa ng equation

Ganun din
. Tatlong equation ang bumubuo ng isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

Hatiin natin ang 1st equation sa 2nd. Kunin:

saan

kaya,

Ang pagpapalit ng ekspresyong ito sa unang equation, nakukuha natin ang t=12 min

Ang pagpapalit ng huling expression at t=12 sa ikatlong equation ng system, nakukuha natin:

mula rito

Ayon sa kondisyon, ang haba ng ruta sa metro ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagdaragdag ng landas ng unang bagay sa pulong at ang landas ng pangalawang bagay sa pulong. I.e

Sagot. 700 metro

13) Ang isang equilateral triangle na MPL ay itinayo sa gilid ng ML ng parisukat na MNKL, at ang puntong P ay matatagpuan sa loob ng parisukat. Hanapin ang sukat ng antas ng anggulo ng LPK.
Desisyon

Sa pamamagitan ng kundisyon ML=PL=KL; triangle PLM ay equilateral, kaya ang lahat ng mga anggulo ay 60°, kaya ∠PLK=30°. Kaya, ∠LPK=(180°-30°): 2=75°.

14) I-factorize: (isusulat kaagad ang mga solusyon)

Alexander Anatolyevich, tutor sa matematika. 8-968-423-9589. Mayroon akong matagumpay na karanasan sa paghahanda ng mga mag-aaral para sa lyceum na ito, kabilang ang ika-8 baitang ng espesyalisasyon sa matematika at mga klase ng iba pang mga espesyalisasyon. Para sa mga naghahanda na pumasok sa Lyceum No. 1535, pati na rin sa iba pang mga lyceum, mahalagang maunawaan na ang mga tunay na pagpipilian para sa mga pagsusulit sa pasukan ay medyo naiiba sa mga demonstrasyon. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang malutas ang iba pang katulad na mga gawain.

Opsyon sa Paglutas 238 Larina Unified State Examination 2018. Isang detalyadong pagsusuri ng mga gawain 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 mula sa alexlarin.net. Alex Larin 238 timing: 7-12)5:34 13)15:15 14)18:05 15)26:51 twitter:https://twitter.com/mrMathlesson
VK group: https://vk.com/mr.mathlesson
website:
Mga halimbawa ng mga gawain: 1) Ang pool ay may hugis ng isang parihabang parallelepiped. Ang haba, lapad at lalim nito ay 25 m, 12 m at 2 m, ayon sa pagkakabanggit. Para sa lining sa ilalim at mga dingding ng pool, napagpasyahan na bumili ng mga tile sa presyo na 500 rubles. bawat metro kuwadrado. Gaano karaming mga rubles ang magagastos sa pagbili kung ito ay pinlano na magdagdag ng isang hugis-parihaba na landas na 1 m ang lapad mula sa parehong tile sa kahabaan ng perimeter ng pool? 2) Ipinapakita ng graph ang pagbabago sa pressure sa steam turbine pagkatapos ng startup. Ang oras sa minuto ay naka-plot sa abscissa axis, ang presyon sa atmospheres ay naka-plot sa ordinate axis. Tukuyin mula sa graph kung ilang minuto ang lumipas mula sa pagsisimula ng turbine hanggang sa sandaling naabot ng presyon sa unang pagkakataon ang pinakamataas na halaga nito. 3) Hanapin ang lugar ng tatsulok na ABC kung ang gilid ng cell ay 4. 4) Mayroong 8 magkaparehong pares ng guwantes sa counter, ngunit ang isang pares ay may hindi mahahalata na kasal sa loob ng parehong guwantes. Sa panahon ng angkop, ang lahat ng guwantes ay pinaghalo. Hinati ng nagbebenta ang lahat ng guwantes nang sapalaran sa 4 na grupo ng 4 na piraso. Ano ang posibilidad na ang parehong may sira na guwantes ay nasa parehong pangkat? 5) Lutasin ang equation. Kung ang equation ay may higit sa isang ugat, ipahiwatig ang mas maliit sa mga ugat sa iyong sagot. 6) Hanapin ang acute angle sa pagitan ng mga bisectors ng acute angle ng right triangle. Ibigay ang iyong sagot sa antas. 7) Ang figure ay nagpapakita ng isang graph y \u003d f "(x) - ang derivative ng function na f (x) na tinukoy sa pagitan (-4; 10) . Hanapin ang bilang ng mga punto kung saan ang tangent sa graph y \ u003d f (x) ay parallel sa linyang y \u003d x o kasabay nito. 8) Ang taas ng regular na triangular pyramid ay tatlong beses na mas mababa kaysa sa gilid ng base. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng gilid ng gilid at ang eroplano ng ang base ng pyramid. Ibigay ang sagot sa degrees. 10) Pagkatapos ng ulan, maaaring tumaas ang lebel ng tubig sa balon. Tinutukoy ito ng batang lalaki sa pamamagitan ng pagsukat sa oras ng pagbagsak ng t ng maliliit na bato sa balon at pagkalkula ng formula h = 5t. Bago ang ulan, ang oras ng pagbagsak ng mga pebbles ay 1.4 s. Sa anong minimum na taas dapat tumaas ang antas ng tubig pagkatapos ng ulan upang ang nasusukat na oras ay magbago ng higit sa 0.2 s? 11) Mula sa mga punto A ng circular track sabay-sabay na nagsisimula sa magkatulad na paggalaw sa magkasalungat na direksyon ng dalawang katawan. Sa oras na magkita sila, ang unang katawan ay naglalakbay ng 200 m higit sa pangalawa, at babalik sa point A 25 minuto pagkatapos ng pulong. Hanapin ang haba ng landas sa metro kung ang pangalawang katawan o babalik sa punto A 36 minuto pagkatapos ng pulong. 14) Sa triangular pyramid ABCD, ang haba ng lahat ng mga gilid ay pantay. Ang puntong P ay katumbas ng layo mula sa vertices A at D, at alam na ang PB = PC at ang linyang PB ay patayo sa taas ng tatsulok na ACD, na ibinaba mula sa vertex D. a) Patunayan na ang puntong P ay nasa intersection ng mga taas ng piramide ABCD. b) Kalkulahin ang volume ng pyramid ABCD kung alam na Link sa orihinal na pinagmulan ng variant:
#mrMathlesson #Larin #USE #profile #mathematics