Mga totoong numero. Pagtataya ng mga totoong numero sa pamamagitan ng mga finite decimal fraction.

Ang tunay o tunay na numero ay isang mathematical abstraction na nagmula sa pangangailangang sukatin ang geometriko at pisikal na dami ng mundo sa paligid natin, gayundin ang pagsasagawa ng mga operasyon tulad ng pagkuha ng ugat, pagkalkula ng logarithms, at paglutas ng mga algebraic equation. Kung ang mga natural na numero ay lumitaw sa proseso ng pagbibilang, mga rational na numero - mula sa pangangailangan na gumana sa mga bahagi ng isang kabuuan, kung gayon ang mga tunay na numero ay inilaan para sa pagsukat ng tuluy-tuloy na dami. Kaya, ang pagpapalawak ng stock ng mga numero na isinasaalang-alang ay humantong sa hanay ng mga tunay na numero, na, bilang karagdagan sa mga rational na numero, kasama rin ang iba pang mga elemento na tinatawag na hindi nakapangangatwiran numero .

Ganap na pagkakamali at ang limitasyon nito.

Hayaang mayroong ilang numerical value, at ang numerical value na itinalaga dito ay itinuturing na eksakto, pagkatapos ay sa ilalim ng ang error ng tinatayang halaga ng numerical value (pagkakamali) nauunawaan ang pagkakaiba sa pagitan ng eksaktong at tinatayang halaga ng isang numerical na halaga: . Ang error ay maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Ang halaga ay tinatawag kilalang approximation sa eksaktong halaga ng isang numeric na halaga - anumang numero na ginagamit sa halip na ang eksaktong halaga. Ang pinakasimpleng quantitative measure ng error ay absolute error. Ganap na pagkakamali Tinatayang halaga ay tinatawag na halaga, tungkol sa kung saan ito ay kilala na: Relative error at limitasyon nito.

Ang kalidad ng pagtatantya ay mahalagang nakasalalay sa tinatanggap na mga yunit ng pagsukat at mga sukat ng mga dami, samakatuwid ipinapayong iugnay ang error ng isang dami at ang halaga nito, kung saan ipinakilala ang konsepto ng kamag-anak na error. Relatibong error Ang tinatayang halaga ay tinatawag na halaga kung saan alam na: . Ang kamag-anak na error ay madalas na ipinahayag bilang isang porsyento. Ang paggamit ng mga kamag-anak na error ay maginhawa, sa partikular, dahil hindi sila nakasalalay sa sukat ng mga dami at mga yunit ng pagsukat.

Mga hindi makatwirang equation

Ang isang equation kung saan ang isang variable ay nakapaloob sa ilalim ng tanda ng ugat ay tinatawag na hindi makatwiran. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ang mga solusyon na nakuha ay nangangailangan ng pagpapatunay, dahil, halimbawa, ang isang hindi tamang pagkakapantay-pantay kapag ang pag-squaring ay maaaring magbigay ng tamang pagkakapantay-pantay. Sa katunayan, ang isang hindi tamang pagkakapantay-pantay kapag naka-squad ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Minsan ito ay mas maginhawa upang malutas ang mga hindi makatwirang equation gamit ang katumbas na mga transition.

I-square natin ang magkabilang panig ng equation na ito; Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, dumating tayo sa isang quadratic equation; at isuot natin ito.

Mga kumplikadong numero. Mga aksyon sa mga kumplikadong numero.

Mga kumplikadong numero - isang extension ng hanay ng mga tunay na numero, karaniwang tinutukoy. Ang anumang kumplikadong numero ay maaaring katawanin bilang isang pormal na kabuuan x + iy, saan x at y- tunay na mga numero, i- imaginary unit Ang mga kumplikadong numero ay bumubuo ng isang algebraically closed field - nangangahulugan ito na ang polynomial ng degree n na may mga kumplikadong coefficient ay may eksakto n kumplikadong mga ugat, iyon ay, ang pangunahing teorama ng algebra ay totoo. Isa ito sa mga pangunahing dahilan ng malawakang paggamit ng mga kumplikadong numero sa pananaliksik sa matematika. Bilang karagdagan, ang paggamit ng mga kumplikadong numero ay ginagawang posible na maginhawa at compact na bumalangkas ng maraming mathematical na modelo na ginagamit sa matematikal na pisika at natural na agham - electrical engineering, hydrodynamics, cartography, quantum mechanics, theory of oscillations, at marami pang iba.

Paghahambing a + bi = c + di ibig sabihin nun a = c at b = d(dalawang kumplikadong mga numero ay pantay-pantay kung at kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay).

Dagdag ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Pagbabawas ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Pagpaparami

Numeric function. Mga paraan upang magtakda ng isang function

Sa matematika, ang function ng numero ay isang function na ang mga domain at value ay mga subset ng mga set ng numero—karaniwan ay ang hanay ng mga tunay na numero o ang hanay ng mga kumplikadong numero.

Verbal: Gamit ang natural na wika, ang Y ay katumbas ng integer na bahagi ng X. Analytical: Paggamit ng analytical formula f (x) = x !

Graphical Via graph Fragment ng function graph.

Tabular: Paggamit ng talahanayan ng mga halaga

Mga pangunahing katangian ng pag-andar

1) Saklaw ng pag-andar at saklaw ng pag-andar . Saklaw ng pag-andar x(variable x) kung saan ang function y=f(x) tinukoy.

Saklaw ng pag-andar y na tinatanggap ng function. Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.2 ) Function na zero) Monotonicity ng function . Pagtaas ng function Pagbaba ng function . Pati function X f(-x) = f(x). kakaibang function- isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X f(-x) = -f(x. Tinatawag ang function limitado walang limitasyon .7) Periodicity ng function. Function f(x) - periodical panahon ng pag-andar

Mga function na graph. Ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph sa pamamagitan ng isang function

Function Graph- set ng mga puntos na ang abscissas ay wastong mga halaga ng argumento x, at ang mga ordinate ay ang mga katumbas na halaga ng function y .

Tuwid na linya- graph ng isang linear function y=ax+b. Ang function na y ay tumataas nang monotonically para sa isang > 0 at bumababa para sa a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- graph ng square trinomial function y \u003d ax 2 + bx + c. Mayroon itong patayong axis ng simetrya. Kung a > 0, may pinakamababa kung a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Hyperbola- function graph. Kapag ang a > O ay matatagpuan sa I at III quarters, kapag a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) o y - x (a< 0).

Logarithmic function y = log a x(a > 0)

trigonometriko function. Kapag gumagawa ng trigonometriko function, ginagamit namin radian sukat ng mga anggulo. Pagkatapos ang pag-andar y= kasalanan x kinakatawan ng isang graph (Larawan 19). Ang kurba na ito ay tinatawag sinusoid .

Function Graph y= cos x ipinapakita sa fig. 20; isa rin itong sine wave na nagreresulta mula sa paglipat ng graph y= kasalanan x kasama ang axis X iniwan ng /2.

Mga pangunahing katangian ng mga pag-andar. Monotonicity, evenness, oddness, periodicity ng mga function.

Saklaw ng pag-andar at saklaw ng pag-andar . Saklaw ng pag-andar ay ang hanay ng lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x(variable x) kung saan ang function y=f(x) tinukoy.

Saklaw ng pag-andar ay ang set ng lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.2 ) Function na zero- ay ang halaga ng argument, kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.3 ) Mga agwat ng constancy ng function- ang mga hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.4 ) Monotonicity ng function .

Pagtaas ng function(sa isang tiyak na pagitan) - isang function kung saan ang mas malaking halaga ng argument mula sa pagitan na ito ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function.

Pagbaba ng function(sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa pagitan na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.5 ) Kahit na (kakaibang) function . Pati function- isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis. kakaibang function- isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = -f(x). Ang graph ng odd function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.6 ) Limitado at walang limitasyong mga function. Tinatawag ang function limitado, kung mayroong positibong numerong M tulad na |f (x) | ≤ M para sa lahat ng halaga ng x. Kung walang ganoong numero, kung gayon ang function ay walang limitasyon .7) Periodicity ng function. Function f(x) - periodical, kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function ang mga sumusunod ay may hawak na: f (x+T) = f (x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag panahon ng pag-andar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

Mga pana-panahong pag-andar. Mga panuntunan para sa paghahanap ng pangunahing panahon ng isang function.

Pana-panahong pag-andar ay isang function na inuulit ang mga value nito pagkatapos ng ilang nonzero period, ibig sabihin, hindi nagbabago ang value nito kapag ang isang fixed nonzero number (period) ay idinagdag sa argument. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. Ay mali mga pahayag tungkol sa kabuuan ng mga periodic function: Ang kabuuan ng 2 function na may katapat (kahit basic) na mga panahon T 1 at T 2 ay isang function na may period LCM ( T 1 ,T 2). Ang kabuuan ng 2 tuluy-tuloy na function na may hindi katumbas na panahon (kahit basic) ay isang non-periodic na function. Walang mga panaka-nakang pag-andar na hindi katumbas ng isang pare-pareho na ang mga panahon ay mga numerong hindi matutumbasan.

Pag-plot ng mga function ng kapangyarihan.

Pag-andar ng kapangyarihan. Ito ang function: y = palakol n, saan a,n- permanente. Sa n= 1 ang nakukuha natin direktang proporsyonalidad : y =palakol; sa n = 2 - parisukat na parabola; sa n = 1 - baligtad na proporsyonalidad o hyperbole. Kaya, ang mga function na ito ay mga espesyal na kaso ng isang power function. Alam namin na ang zero na kapangyarihan ng anumang numero maliban sa zero ay katumbas ng 1, samakatuwid, kapag n= 0 ang power function ay nagiging pare-pareho: y =a, ibig sabihin. ang graph nito ay isang tuwid na linya na kahanay ng axis X, hindi kasama ang pinagmulan ng mga coordinate (pakipaliwanag kung bakit?). Lahat ng mga kasong ito (na may a= 1) ay ipinapakita sa Fig. 13 ( n 0) at Fig.14 ( n < 0). Отрицательные значения x ay hindi isinasaalang-alang dito, dahil pagkatapos ay ang ilang mga pag-andar:

Baliktad na pag-andar

Baliktad na pag-andar- isang function na binabaligtad ang dependence na ipinahayag ng function na ito. Ang function ay kabaligtaran sa function kung ang mga sumusunod na pagkakakilanlan ay hawak: para sa lahat para sa lahat

Limitasyon ng isang function sa isang punto. Mga pangunahing katangian ng limitasyon.

Ang ugat ng nth degree at ang mga katangian nito.

Ang nth root ng isang numero a ay isang numero na ang ika-n na kapangyarihan ay katumbas ng a.

Kahulugan: Ang arithmetic root ng nth degree ng number a ay isang non-negative na numero, ang nth power nito ay katumbas ng a.

Ang mga pangunahing katangian ng mga ugat:

Degree sa arbitrary real exponent at mga katangian nito.

Hayaang magbigay ng positibong numero at arbitrary na tunay na numero. Ang numero ay tinatawag na degree, ang numero ay ang base ng degree, ang numero ay ang exponent.

Sa pamamagitan ng kahulugan ito ay ipinapalagay:

Kung at mga positibong numero, at anumang tunay na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

.

.

Power function, ang mga katangian nito at mga graph

Pag-andar ng kapangyarihan kumplikadong variable f (z) = z n na may isang integer exponent ay tinutukoy gamit ang analytic na pagpapatuloy ng isang katulad na function ng isang tunay na argumento. Para dito, ginagamit ang exponential form ng pagsulat ng mga kumplikadong numero. ang power function na may integer exponent ay analytic sa buong complex plane, bilang produkto ng isang limitadong bilang ng mga pagkakataon ng identity mapping f (z) = z. Ayon sa uniqueness theorem, ang dalawang pamantayang ito ay sapat para sa uniqueness ng resultang analytic na pagpapatuloy. Gamit ang kahulugang ito, maaari nating agad na tapusin na ang power function ng isang kumplikadong variable ay may makabuluhang pagkakaiba mula sa tunay na katapat nito.

Ito ay isang function ng form , . Ang mga sumusunod na kaso ay isinasaalang-alang:

a). Kung , kung gayon . Pagkatapos , ; kung ang numero ay even, ang function ay even (i.e. para sa lahat ); kung kakaiba ang numero, kakaiba ang function (iyon ay, para sa lahat).

Ang exponential function, mga katangian nito at mga graph

Exponential function- mathematical function.

Sa totoong kaso, ang base ng degree ay ilang di-negatibong totoong numero, at ang argumento ng function ay isang tunay na exponent.

Sa teorya ng mga kumplikadong pag-andar, ang isang mas pangkalahatang kaso ay isinasaalang-alang, kapag ang isang arbitrary na kumplikadong numero ay maaaring isang argumento at isang exponent.

Sa pinaka-pangkalahatang paraan - ikaw v, ipinakilala ni Leibniz noong 1695.

Ang kaso kapag ang numero e ay gumaganap bilang batayan ng antas ay partikular na naka-highlight. Ang ganitong function ay tinatawag na exponent (totoo o kumplikado).

Ari-arian ; ; .

mga exponential equation.

Magpatuloy tayo nang direkta sa mga exponential equation. Upang malutas ang isang exponential equation, kinakailangang gamitin ang sumusunod na theorem: Kung ang mga degree ay pantay at ang mga base ay pantay, positibo at naiiba sa isa, kung gayon ang kanilang mga exponent ay pantay din. Patunayan natin ang theorem na ito: Let a>1 and a x =a y .

Patunayan natin na sa kasong ito x=y. Ipagpalagay ang kabaligtaran ng kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan, i.e. sabihin natin na x>y o na x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Pareho sa mga resultang ito ay sumasalungat sa hypothesis ng theorem. Samakatuwid, x=y, na kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan.

Ang teorama ay napatunayan din para sa kaso kapag 0 0 at a≠1.

exponential inequalities

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo (o mas kaunti) para sa a(x) >0 at nalulutas batay sa mga katangian ng exponential function: para sa 0 < а (х) < 1 kapag nagkukumpara f(x) at g(x) ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago, at kung kailan a(x) > 1- ay iniligtas. Ang pinakamahirap na kaso para sa a(x)< 0 . Dito maaari lamang kaming magbigay ng isang pangkalahatang indikasyon: upang matukoy kung anong mga halaga X mga tagapagpahiwatig f(x) at g(x) maging integer, at pumili mula sa kanila ng mga makakatugon sa kundisyon. Sa wakas, kung mananatili ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay a(x) = 0 o a(x) = 1(halimbawa, kapag hindi mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay), dapat ding isaalang-alang ang mga kasong ito.

Logarithms at ang kanilang mga katangian

Logarithm ng isang numero b sa pamamagitan ng dahilan a (mula sa Griyegong λόγος - "salita", "relasyon" at ἀριθμός - "numero") ay tinukoy bilang isang tagapagpahiwatig ng antas kung saan dapat itaas ang base a para makuha ang numero b. Pagtatalaga: . Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang mga entry at ay katumbas. Halimbawa: dahil . Ari-arian

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Logarithmic function, mga katangian at mga graph nito.

Ang logarithmic function ay isang function ng form f (x) = log isang x, tinukoy sa

Domain:

Saklaw ng halaga:

Ang graph ng anumang logarithmic function ay dumadaan sa punto (1; 0)

Ang derivative ng logarithmic function ay:

Logarithmic Equation

Ang isang equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng sign ng logarithm ay tinatawag na logarithmic equation. Ang pinakasimpleng halimbawa ng isang logarithmic equation ay ang equation log a x \u003d b (kung saan a > 0, at 1). Ang kanyang desisyon x = a b .

Paglutas ng mga equation batay sa kahulugan ng logarithm, halimbawa, ang equation log a x \u003d b (a\u003e 0, ngunit 1) may solusyon x = a b .

paraan ng potentiation. Ang ibig sabihin ng potentiation ay ang paglipat mula sa pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga logarithms patungo sa pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng mga ito:

kung log a f (x) = log a g (x), pagkatapos f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , a 1 .

Paraan para sa pagbabawas ng logarithmic equation sa isang quadratic.

Ang paraan ng pagkuha ng logarithm ng parehong bahagi ng equation.

Paraan para sa pagbabawas ng logarithms sa parehong base.

Logarithmic inequalities.

Ang isang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang variable lamang sa ilalim ng tanda ng logarithm ay tinatawag na isang logarithmic: log a f (x) > log a g (x).

Kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, dapat isaalang-alang ng isa ang mga pangkalahatang katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang pag-aari ng monotonicity ng logarithmic function at ang domain ng kahulugan nito. Hindi pagkakapantay-pantay log a f (x) > log a g (x) ay katumbas ng isang sistema f (x) > g (x) > 0 para sa isang > 1 at sistema 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Radian na pagsukat ng mga anggulo at arko. Sine, cosine, tangent, cotangent.

sukat ng antas. Narito ang yunit ng pagsukat degree ( pagtatalaga ) - ay ang pag-ikot ng sinag sa pamamagitan ng 1/360 ng isang buong rebolusyon. Kaya, ang buong pag-ikot ng sinag ay 360. Ang isang degree ay binubuo ng 60 minuto ( kanilang pagtatalaga '); isang minuto - ayon sa pagkakabanggit sa 60 segundo ( minarkahan ng ").

sukat ng radian. Tulad ng alam natin mula sa planimetry (tingnan ang talata na "Length of the arc" sa seksyong "Locus of points. Circle and circle"), ang haba ng arc l, radius r at ang kaukulang gitnang anggulo ay nauugnay sa pamamagitan ng: = l / r.

Ang formula na ito ay sumasailalim sa kahulugan ng radian na sukat ng mga anggulo. Kaya kung l = r, pagkatapos ay = 1, at sinasabi namin na ang anggulo ay katumbas ng 1 radian, na tinutukoy: = 1 masaya. Kaya, mayroon kaming sumusunod na kahulugan ng sukat ng radian:

Ang radian ay ang gitnang anggulo, na ang haba ng arko at radius ay pantay(A m B = AO, Fig. 1). Kaya, ang radian na sukat ng isang anggulo ay ang ratio ng haba ng isang arko na iginuhit ng isang arbitrary na radius at nakapaloob sa pagitan ng mga gilid ng anggulong ito sa radius ng arko.

Ang mga trigonometriko na pag-andar ng mga talamak na anggulo ay maaaring tukuyin bilang ang ratio ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Sinus:

Cosine:

Tangent:

Cotangent:

Trigonometric function ng isang numeric na argumento

Kahulugan .

Ang sine ng x ay ang bilang na katumbas ng sine ng anggulo sa x radians. Ang cosine ng isang numero x ay ang bilang na katumbas ng cosine ng anggulo sa x radians .

Ang iba pang mga trigonometriko na pag-andar ng isang numerical na argumento ay parehong tinukoy X .

Mga formula ng multo.

Mga formula ng karagdagan. Doble at kalahating mga formula ng argumento.

Doble.

( ; .

Trigonometric function at ang kanilang mga graph. Mga pangunahing katangian ng trigonometriko function.

Trigonometric function- uri ng elementarya function. Karaniwan silang tinutukoy sinus (kasalanan x), cosine (kasi x), padaplis (tg x), cotangent (ctg x), Ang mga function na trigonometriko ay karaniwang binibigyang kahulugan sa geometriko, ngunit maaari silang tukuyin nang analytical sa mga tuntunin ng mga kabuuan ng serye o bilang mga solusyon sa ilang partikular na differential equation, na nagpapahintulot sa amin na palawigin ang domain ng kahulugan ng mga function na ito sa mga kumplikadong numero.

Function y sinx ang mga katangian at graph nito

Ari-arian:

2. E (y) \u003d [-1; isa].

3. Ang function na y \u003d sinx ay kakaiba, dahil, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ng isang trigonometric angle kasalanan(- x)= - y/R = - sinx, kung saan ang R ay ang radius ng bilog, ang y ay ang ordinate ng punto (Fig.).

4. T \u003d 2n - ang pinakamaliit na positibong panahon. Talaga,

sin(x+p) = sinx.

may Ox axis: sinx= 0; x = pn, nОZ;

na may y-axis: kung x = 0, pagkatapos ay y = 0.6. Mga agwat ng tuluy-tuloy:

sinx > 0, kung xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , kung xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Sine sign sa quarters

y > 0 para sa mga anggulo a ng una at ikalawang quarter.

sa< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Mga agwat ng monotonicity:

y= sinx tumataas sa bawat isa sa mga pagitan [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz at bumababa sa bawat pagitan , nнz.

8. Extreme point at extreme point ng function:

xmax= p/2 + 2pn, nнz; y max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

Mga Katangian ng Function y= cosx at ang kanyang iskedyul:

Ari-arian:

2. E (y) \u003d [-1; isa].

3. Pag-andar y= cosx- kahit, dahil sa kahulugan ng cosine ng trigonometric angle cos (-a) = x/R = cosa sa trigonometric circle (rice)

4. T \u003d 2p - ang pinakamaliit na positibong panahon. Talaga,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Mga intersection point na may coordinate axes:

na may Ox axis: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

na may y-axis: kung x = 0, pagkatapos ay y = 1.

6. Mga pagitan ng sign constancy:

cos > 0, kung xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , kung xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Ito ay napatunayan sa isang trigonometric na bilog (Fig.). Mga palatandaan ng cosine sa quarters:

x > 0 para sa mga anggulo a ng una at ikaapat na kuwadrante.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Mga agwat ng monotonicity:

y= cosx tumataas sa bawat isa sa mga pagitan [-p + 2pn; 2pn],

nнz at bumababa sa bawat pagitan , nнz.

Mga Katangian ng Function y= tgx at ang balangkas nito: mga ari-arian -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Function y = tgx - kakaiba

tgx > 0

tgx< 0 para sa xн (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Tingnan ang figure para sa mga palatandaan ng tangent sa quarters.

6. Mga agwat ng monotonicity:

y= tgx tumataas sa bawat pagitan

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Extreme point at extreme point ng function:

8. x = p/2 + pn, nнz - mga patayong asymptotes

Mga Katangian ng Function y= ctgx at ang kanyang iskedyul:

Ari-arian:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Pag-andar y= ctgx- kakaiba.

4. T \u003d p - ang pinakamaliit na positibong panahon.

5. Mga agwat ng sign constancy:

ctgx > 0 para sa xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 para sa xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Cotangent sign para sa quarters, tingnan ang figure.

6. Pag-andar sa= ctgx tumataas sa bawat isa sa mga pagitan (pn; p + pn), nОZ.

7. Extremum point at extremums ng isang function y= ctgx hindi.

8. Function Graph y= ctgx ay isang tangentoid, nakuha sa pamamagitan ng paglipat ng plot y=tgx kasama ang Ox axis sa kaliwa ng p/2 at pagpaparami ng (-1) (Fig)

Inverse trigonometriko function, ang kanilang mga katangian at mga graph

Inverse trigonometriko function (mga pabilog na function , arcfunctions) ay mga mathematical function na kabaligtaran sa trigonometriko function. Ang mga inverse trigonometric function ay karaniwang may kasamang anim na function: arcsine , arc cosine , arko padaplis ,arccotanges. Ang pangalan ng inverse trigonometric function ay nabuo mula sa pangalan ng katumbas na trigonometric function sa pamamagitan ng pagdaragdag ng prefix na "ark-" (mula sa lat. arko- arko). Ito ay dahil sa ang katunayan na ang geometrically ang halaga ng inverse trigonometric function ay maaaring iugnay sa haba ng arc ng isang unit circle (o ang anggulo na subtend sa arc na ito) na tumutugma sa isa o ibang segment. Paminsan-minsan sa banyagang panitikan ay gumagamit sila ng mga pagtatalaga tulad ng sin −1 para sa arcsine, atbp.; ito ay itinuturing na hindi ganap na tama, dahil ang pagkalito sa pagtaas ng isang function sa kapangyarihan ng −1 ay posible. Pangunahing ratio

Function y=arcsinX, mga katangian at mga graph nito.

arcsine numero m ang anggulong ito ay tinatawag x para sa kung aling Function y= kasalanan x y= arcsin x ay mahigpit na tumataas. (ang pag-andar ay kakaiba).

Function y=arccosX, mga katangian at graph nito.

Arc cosine numero m ang anggulong ito ay tinatawag x, para sa

Function y= cos x tuloy-tuloy at may hangganan sa buong linya ng numero nito. Function y= arccos x ay mahigpit na bumababa. cos (arccos x) = x sa arccos (cos y) = y sa D(arccos x) = [− 1; 1], (domain), E(arccos x) = . (saklaw ng mga halaga). Mga katangian ng arccos function (ang function ay sentral na simetriko na may paggalang sa punto

Function y=arctgX, mga katangian at graph nito.

Arctangent numero m Tinatawag ang isang anggulo na α na ang Function ay tuloy-tuloy at nakatali sa buong totoong linya nito. Ang pag-andar ay mahigpit na tumataas.

sa

mga katangian ng pag-andar ng arctg

,

.

Function y=arcctg, mga katangian at graph nito.

Arc padaplis numero m ang anggulong ito ay tinatawag x, para sa

Ang function ay tuloy-tuloy at nakatali sa buong totoong linya nito.

Ang pag-andar ay mahigpit na bumababa. sa 0< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки para sa anumang x .

.

Ang pinakasimpleng trigonometriko equation.

Kahulugan. mga equation ng wada kasalanan x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, saan x

Mga espesyal na kaso ng trigonometriko equation

Kahulugan. mga equation ng wada kasalanan x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, saan x- variable, aR, ay tinatawag simpleng trigonometriko equation.

Trigonometric equation

Axioms ng stereometry at mga kahihinatnan mula sa kanila

Pangunahing figure sa espasyo: mga punto, linya at eroplano. Ang mga pangunahing katangian ng mga punto, linya at eroplano, hinggil sa kanilang magkaparehong pag-aayos, ay ipinahayag sa mga axiom.

A1. Sa pamamagitan ng anumang tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, may pumasa sa isang eroplano, at higit pa rito, isa lamang. A2. Kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, ang lahat ng mga punto ng linya ay nasa eroplanong iyon.

Magkomento. Kung ang isang linya at isang eroplano ay may isang karaniwang punto lamang, kung gayon ang mga ito ay sinasabing magsalubong.

A3. Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplanong ito ay namamalagi.

	A at bumalandra sa linya a.

Bunga 1. Sa pamamagitan ng isang linya at isang punto na hindi nakahiga dito ay dumadaan sa isang eroplano, at higit pa rito, isa lamang. Bunga 2. Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na tuwid na linya, at higit pa rito, isa lamang.

Mutual arrangement ng dalawang linya sa espasyo

Dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation

bumalandra sa isang punto.

Paralelismo ng isang linya at isang eroplano.

Kahulugan 2.3 Ang isang linya at isang eroplano ay tinatawag na parallel kung wala silang mga karaniwang puntos. Kung ang linya a ay parallel sa eroplanong α, pagkatapos ay sumulat ng || a. Theorem 2.4 Sign ng parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Kung ang isang linya sa labas ng eroplano ay parallel sa isang linya sa eroplano, ang linyang iyon ay parallel din sa mismong eroplano. Patunay Hayaan ang b α, a || b at a α (pagguhit 2.2.1). Patunayan natin sa pamamagitan ng kontradiksyon. Hayaan ang isang hindi maging parallel sa α, pagkatapos ay ang linya a intersects ang eroplano α sa ilang punto A. Bukod dito, A b, dahil a || b. Ayon sa criterion ng skew lines, ang lines a at b ay skew. Dumating tayo sa isang kontradiksyon. Teorama 2.5 Kung ang eroplanong β ay dumaan sa linyang a parallel sa eroplanong α at i-intersect ang eroplanong ito sa kahabaan ng linya b, kung gayon b || a. Patunay Sa katunayan, ang mga linyang a at b ay hindi liko, dahil sila ay nasa eroplanong β. Bukod dito, ang mga linyang ito ay walang karaniwang mga punto, dahil ang isang || a. Kahulugan 2.4 Ang linya b ay tinatawag minsan na bakas ng eroplanong β sa eroplanong α.

Tumawid ng mga tuwid na linya. Tanda ng mga nagsasalubong na linya

Ang mga linya ay tinatawag na intersecting kung ang sumusunod na kundisyon ay natutugunan: Kung akala natin na ang isa sa mga linya ay kabilang sa isang arbitrary na eroplano, ang kabilang linya ay magsa-intersect sa eroplanong ito sa isang punto na hindi kabilang sa unang linya. Sa madaling salita, dalawang linya sa three-dimensional na Euclidean space ay nagsalubong kung walang eroplanong naglalaman ng mga ito. Sa madaling salita, dalawang linya sa espasyo na walang mga karaniwang punto, ngunit hindi magkatulad.

Theorem (1): Kung ang isa sa dalawang linya ay nasa isang tiyak na eroplano, at ang kabilang linya ay nagsalubong sa eroplanong ito sa isang puntong hindi nakahiga sa unang linya, kung gayon ang mga linyang ito ay liko.

Theorem (2): Sa bawat isa sa dalawang intersecting na linya ay dumadaan ang isang eroplanong parallel sa kabilang linya, at bukod dito, isa lamang.

Theorem (3): Kung ang mga gilid ng dalawang anggulo ay magkakaugnay na nakadirekta, kung gayon ang mga naturang anggulo ay pantay.

Paralelismo ng mga linya. Mga katangian ng parallel na eroplano.

Parallel (minsan - isosceles) tuwid na mga linya tinatawag na mga tuwid na linya na nasa parehong eroplano at maaaring magkasabay o hindi magsalubong. Sa ilang mga kahulugan ng paaralan, ang mga magkatugmang linya ay hindi itinuturing na magkatulad; ang gayong kahulugan ay hindi isinasaalang-alang dito. Ang Properties Parallelism ay isang binary equivalence relation, samakatuwid, hinahati nito ang buong hanay ng mga linya sa mga klase ng mga linyang parallel sa isa't isa. Sa pamamagitan ng anumang ibinigay na punto, maaaring mayroong eksaktong isang linya na kahanay sa ibinigay na isa. Ito ay isang natatanging pag-aari ng Euclidean geometry, sa ibang mga geometry ang numero 1 ay pinalitan ng iba (sa Lobachevsky's geometry mayroong hindi bababa sa dalawang ganoong linya) 2 parallel na linya sa espasyo ay nasa parehong eroplano. b Sa intersection ng 2 parallel na linya ng isang pangatlo, tinatawag sekante: Ang secant ay kinakailangang mag-intersect sa parehong linya. Kapag tumatawid, 8 sulok ang nabuo, ang ilang mga pares na katangian ay may mga espesyal na pangalan at katangian: Nagsisinungaling si Cross pantay ang mga anggulo. Kanya-kanyang pantay ang mga anggulo. Unilateral ang mga anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°.

Perpendicularity ng isang linya at isang eroplano.

Tinatawag na linya na nag-intersect sa isang eroplano patayo ang eroplanong ito kung ito ay patayo sa bawat linya na nasa ibinigay na eroplano at dumadaan sa punto ng intersection.

ALAMAT NG PERPENDICULARITY NG ISANG LINE AT EROPLO.

Kung ang isang linya na nagsasalubong sa isang eroplano ay patayo sa dalawang linya sa eroplanong iyon na dumadaan sa punto ng intersection ng ibinigay na linya at ang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplano.

1st PROPERTY NG PERPENDICULAR LINES AND EROPLO .

Kung ang isang eroplano ay patayo sa isa sa dalawang parallel na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa.

2nd PROPERTY NG PERPENDICULAR LINES AND EROPLO .

Dalawang linya na patayo sa parehong eroplano ay parallel.

Tatlong perpendicular theorem

Hayaan AB- patayo sa eroplano α, AC- pahilig at c- isang tuwid na linya sa eroplano α na dumadaan sa punto C at perpendicular projection BC. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya CK parallel sa isang tuwid na linya AB. Diretso CK patayo sa eroplano α (dahil ito ay parallel sa AB), at samakatuwid ang anumang linya ng eroplanong ito, samakatuwid, CK patayo sa linya c AB at CK eroplano β (parallel na linya ay tumutukoy sa isang eroplano, at isa lamang). Diretso c ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplano β, ito BC sa pamamagitan ng kondisyon at CK sa pamamagitan ng pagbuo, nangangahulugan ito na patayo ito sa anumang linya na kabilang sa eroplanong ito, na nangangahulugang patayo din ito sa isang linya AC .

Converse ng tatlong perpendicular theorem

Kung ang isang tuwid na linya na iginuhit sa isang eroplano sa pamamagitan ng base ng isang hilig na linya ay patayo sa hilig na linya, kung gayon ito ay patayo din sa projection nito.

Hayaan AB- patayo sa eroplano a , AC- pahilig at kasama- tuwid na linya sa eroplano a dumadaan sa base ng slope Sa. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya SC, parallel sa linya AB. Diretso SC patayo sa eroplano a(sa pamamagitan ng teorama na ito, dahil ito ay parallel AB), at samakatuwid ang anumang linya ng eroplanong ito, samakatuwid, SC patayo sa linya kasama. Gumuhit sa pamamagitan ng mga parallel na linya AB at SC eroplano b(Ang magkatulad na linya ay tumutukoy sa isang eroplano, at isa lamang). Diretso kasama patayo sa dalawang tuwid na linya na nakahiga sa isang eroplano b, Ito AC sa pamamagitan ng kondisyon at SC sa pamamagitan ng pagbuo, nangangahulugan ito na patayo ito sa anumang linya na kabilang sa eroplanong ito, na nangangahulugang patayo din ito sa isang linya araw. Sa madaling salita, projection araw patayo sa linya kasama nakahiga sa eroplano a .

Perpendicular at pahilig.

Perpendikular, na ibinaba mula sa isang partikular na punto patungo sa isang partikular na eroplano, ay tinatawag na isang segment na nagkokonekta sa isang ibinigay na punto na may isang punto sa eroplano at nakahiga sa isang tuwid na linya na patayo sa eroplano. Ang dulo ng segment na ito, na nakahiga sa isang eroplano, ay tinatawag ang base ng patayo .

pahilig, iginuhit mula sa isang partikular na punto patungo sa isang partikular na eroplano, ay anumang segment na nagkokonekta sa ibinigay na punto sa isang punto sa eroplano na hindi patayo sa eroplano. Ang dulo ng isang segment na nasa isang eroplano ay tinatawag ang base ng hilig. Ang segment na nagkokonekta sa mga base ng patayo ng hilig na linya, na iginuhit mula sa parehong punto, ay tinatawag pahilig na projection .

Kahulugan 1. Ang isang patayo sa isang partikular na linya ay isang segment ng linya na patayo sa isang partikular na linya na may isa sa mga dulo nito sa kanilang intersection point. Ang dulo ng isang segment na nasa isang partikular na linya ay tinatawag na base ng patayo.

Kahulugan 2. Ang isang pahilig na linya na iginuhit mula sa isang partikular na punto patungo sa isang partikular na linya ay isang segment na nagkokonekta sa ibinigay na punto sa anumang punto sa linya na hindi ang base ng patayo na bumaba mula sa parehong punto patungo sa ibinigay na linya. AB - patayo sa eroplano α.

AC - pahilig, CB - projection.

C - ang base ng hilig, B - ang base ng patayo.

Ang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano.

Anggulo sa pagitan ng linya at eroplano Anumang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at ang projection nito sa eroplanong ito ay tinatawag.

Dihedral anggulo.

Dihedral anggulo- isang spatial geometric figure na nabuo sa pamamagitan ng dalawang kalahating eroplano na nagmumula sa isang tuwid na linya, pati na rin ang isang bahagi ng espasyo na napapalibutan ng mga kalahating eroplano na ito. Half planes ang tawag mga mukha dihedral na anggulo, at ang kanilang karaniwang tuwid na linya - gilid. Ang mga anggulo ng dihedral ay sinusukat ng isang linear na anggulo, iyon ay, ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng isang dihedral angle na may isang eroplanong patayo sa gilid nito. Ang bawat polyhedron, regular o irregular, convex o concave, ay may dihedral angle sa bawat gilid.

Perpendicularity ng dalawang eroplano.

TANDA NG PERPENDICULARITY NG EROPLO.

Kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa isa pang eroplano, ang mga eroplanong ito ay patayo.

Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo

"Kudinskaya secondary school No. 2"

Mga paraan upang malutas ang mga hindi makatwirang equation

Nakumpleto ni: Egorova Olga,

Superbisor:

Guro

matematika,

mas mataas na kwalipikasyon

Panimula....……………………………………………………………………………………… 3

Seksyon 1. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation…………………………………6

1.1 Paglutas ng mga hindi makatwirang equation ng bahagi C……………………………………………………21

Seksyon 2. Mga indibidwal na gawain…………………………………………….....………...24

Mga sagot………………………………………………………………………………………….25

Bibliograpiya…….…………………………………………………………………….26

Panimula

Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang paaralang pangkalahatang edukasyon ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng isang modernong tao. Halos lahat ng bagay na nakapaligid sa isang modernong tao ay konektado lahat sa isang paraan o iba pa sa matematika. Mga kamakailang pagsulong sa pisika, teknolohiya at teknolohiya ng impormasyon walang pag-aalinlangan na ang mga bagay ay mananatiling pareho sa hinaharap. Samakatuwid, ang solusyon ng maraming praktikal na problema ay binabawasan sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangang matutunan upang malutas. Ang isa sa mga uri na ito ay hindi makatwiran na mga equation.

Mga hindi makatwirang equation

Ang isang equation na naglalaman ng hindi alam (o isang rational algebraic expression mula sa hindi kilalang) sa ilalim ng radical sign ay tinatawag hindi makatwirang equation. Sa elementarya na matematika, ang mga solusyon sa mga hindi makatwirang equation ay hinahanap sa hanay ng mga tunay na numero.

Anumang irrational equation sa tulong ng elementary algebraic operations (multiplication, division, raising both parts of the equation to integer power) ay maaaring gawing rational algebraic equation. Dapat tandaan na ang resultang rational algebraic equation ay maaaring hindi katumbas ng orihinal na irrational equation, ibig sabihin, ito ay maaaring maglaman ng "dagdag" na mga ugat na hindi magiging mga ugat ng orihinal na irrational equation. Samakatuwid, nang matagpuan ang mga ugat ng nakuhang rational algebraic equation, kinakailangang suriin kung ang lahat ng ugat ng rational equation ay magiging ugat ng irrational equation.

Sa pangkalahatang kaso, mahirap ipahiwatig ang anumang unibersal na pamamaraan para sa paglutas ng anumang hindi makatwiran na equation, dahil ito ay kanais-nais na bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo ng orihinal na irrational equation, hindi lamang ilang uri ng rational algebraic equation ang nakuha, kabilang sa mga ugat ng na magkakaroon ng mga ugat ng hindi makatwirang equation na ito, ngunit isang rational algebraic equation na nabuo mula sa mga polynomial na kasing liit ng antas hangga't maaari. Ang pagnanais na makuha ang rational algebraic equation na nabuo mula sa mga polynomial ng pinakamaliit na posibleng antas ay natural, dahil ang paghahanap ng lahat ng mga ugat ng isang rational algebraic equation ay maaaring maging isang mahirap na gawain, na maaari nating ganap na malutas sa isang limitadong bilang lamang. ng mga kaso.

Mga uri ng hindi makatwirang equation

Ang paglutas ng mga hindi makatwirang equation ng kahit na antas ay palaging nagdudulot ng mas maraming problema kaysa sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation ng kakaibang antas. Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation ng kakaibang antas, walang pagbabago sa ODV. Samakatuwid, sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang mga hindi makatwirang equation, ang antas ng kung saan ay kahit na. Mayroong dalawang uri ng mga irrational equation:

2..

Isaalang-alang natin ang una sa kanila.

odz equation: f(x)≥ 0. Sa ODZ, ang kaliwang bahagi ng equation ay palaging hindi negatibo, kaya ang isang solusyon ay maaari lamang umiral kapag g(x)≥ 0. Sa kasong ito, ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo, at exponentiation 2 n nagbibigay ng katumbas na equation. Nakukuha namin iyon

Bigyang-pansin natin ang katotohanang habang Awtomatikong ginagawa ang ODZ, at hindi mo ito maisusulat, ngunit ang kundisyong(x) Dapat suriin ang ≥ 0.

Tandaan: Ito ay isang napakahalagang kondisyon ng pagkakapareho. Una, pinalalaya nito ang mag-aaral mula sa pangangailangang mag-imbestiga, at pagkatapos makahanap ng mga solusyon, suriin ang kundisyon f(x) ≥ 0 - ang hindi negatibiti ng radikal na pagpapahayag. Pangalawa, nakatutok ito sa pagsuri sa kondisyong(x) ≥ 0 ay ang nonnegativity ng kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, pagkatapos ng pag-squaring, ang equation ay malulutas ibig sabihin, dalawang equation ang nalutas nang sabay-sabay (ngunit sa magkaibang pagitan ng numerical axis!):

1. - saan g(x)≥ 0 at

2. - kung saan ang g(x) ≤ 0.

Samantala, marami, ayon sa ugali ng paaralan sa paghahanap ng ODZ, ang eksaktong kabaligtaran sa paglutas ng mga naturang equation:

a) suriin, pagkatapos makahanap ng mga solusyon, ang kundisyon f(x) ≥ 0 (na awtomatikong nasiyahan), gumawa ng mga error sa aritmetika at makakuha ng hindi tamang resulta;

b) huwag pansinin ang kondisyong(x) ≥ 0 - at muli ang sagot ay maaaring mali.

Tandaan: Ang kundisyon ng equivalence ay partikular na kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang mga trigonometric equation, kung saan ang paghahanap ng ODZ ay nauugnay sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, na mas mahirap kaysa sa paglutas ng mga trigonometric equation. Sinusuri sa trigonometriko equation kahit na mga kondisyon g(x) Ang ≥ 0 ay hindi laging madaling gawin.

Isaalang-alang ang pangalawang uri ng mga hindi makatwirang equation.

. Hayaan ang equation . Ang kanyang ODZ:

Sa ODZ, ang magkabilang panig ay hindi negatibo, at ang pag-squaring ay nagbibigay ng katumbas na equation f(x) =g(x). Samakatuwid, sa ODZ o

Sa ganitong paraan ng solusyon, sapat na upang suriin ang hindi negatibo ng isa sa mga pag-andar - maaari kang pumili ng isang mas simple.

Seksyon 1. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation

1 paraan. Paglaya mula sa mga radikal sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagtaas ng magkabilang panig ng equation sa kaukulang natural na kapangyarihan

Ang pinakakaraniwang ginagamit na paraan para sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay ang paraan ng pagpapalaya mula sa mga radical sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagtaas ng magkabilang bahagi ng equation sa kaukulang natural na antas. Sa kasong ito, dapat tandaan na kapag ang parehong bahagi ng equation ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, ang resultang equation ay katumbas ng orihinal, at kapag ang parehong bahagi ng equation ay itinaas sa isang even na kapangyarihan, ang resultang ang equation, sa pangkalahatan, ay hindi katumbas ng orihinal na equation. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagtataas sa magkabilang panig ng equation sa kahit anong pantay na kapangyarihan. Ang operasyong ito ay nagreresulta sa equation , na ang hanay ng mga solusyon ay ang unyon ng mga hanay ng mga solusyon: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Gayunpaman, sa kabila ang disbentaha na ito, ito ay ang pamamaraan para sa pagpapataas ng parehong bahagi ng equation sa ilang (kadalasan kahit na) kapangyarihan na ang pinakakaraniwang pamamaraan para sa pagbabawas ng isang hindi makatwirang equation sa isang rational equation.

Lutasin ang equation:

saan ay ilang polynomial. Sa bisa ng kahulugan ng pagpapatakbo ng pagkuha ng ugat sa hanay ng mga totoong numero, ang mga tinatanggap na halaga ng hindi kilalang https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Dahil ang parehong mga bahagi ng 1st equation ay squared, maaaring lumabas na hindi lahat ng mga ugat ng 2nd equation ay magiging mga solusyon sa orihinal na equation, ito ay kinakailangan upang suriin ang mga ugat.

Lutasin ang equation:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Ang pagtaas ng magkabilang panig ng equation sa isang kubo, nakukuha namin

Dahil https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Ang huling equation ay maaaring may mga ugat na, sa pangkalahatan, ay hindi mga ugat ng equation ).

Itinaas namin ang magkabilang panig ng equation na ito sa isang cube: . Muli naming isinusulat ang equation sa anyong x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Sa pamamagitan ng pagsuri, itinatatag namin na ang x1 = 0 ay isang extraneous na ugat ng equation (-2 ≠ 1), at ang x2 = 1 ay nakakatugon sa orihinal na equation.

Sagot: x = 1.

2 paraan. Pagpapalit ng isang katabing sistema ng mga kondisyon

Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation na naglalaman ng mga radical na pantay-pantay, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat sa mga sagot, na hindi laging madaling matukoy. Upang gawing mas madaling makilala at itapon ang mga extraneous na ugat, sa kurso ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay agad itong pinalitan ng isang katabing sistema ng mga kondisyon. Ang mga karagdagang hindi pagkakapantay-pantay sa sistema ay talagang isinasaalang-alang ang ODZ ng equation na niresolba. Maaari mong mahanap ang ODZ nang hiwalay at isaalang-alang ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas mainam na gumamit ng halo-halong mga sistema ng mga kondisyon: mas kaunting panganib na makalimutan ang isang bagay, hindi isinasaalang-alang ito sa proseso ng paglutas ng equation. Samakatuwid, sa ilang mga kaso ay mas makatwiran na gamitin ang paraan ng paglipat sa halo-halong mga sistema.

Lutasin ang equation:

Sagot: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ang equation na ito ay katumbas ng system

Sagot: ang equation ay walang mga solusyon.

3 paraan. Gamit ang mga katangian ng nth root

Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, ginagamit ang mga katangian ng ugat ng ika-n degree. arithmetic root n- ika digri mula sa gitna a tumawag sa isang hindi negatibong numero, n- i na ang degree ay katumbas ng a. Kung ang n- kahit( 2n), pagkatapos ay isang ≥ 0, kung hindi man ay wala ang ugat. Kung ang n- kakaiba( 2 n+1), kung gayon ang a ay anuman at = - ..gif" width="45" height="19"> Pagkatapos:

2.

3.

4.

5.

Ang paglalapat ng alinman sa mga formula na ito, nang pormal (nang hindi isinasaalang-alang ang ipinahiwatig na mga paghihigpit), dapat itong isipin na ang ODZ ng kaliwa at kanang bahagi ng bawat isa sa kanila ay maaaring magkakaiba. Halimbawa, ang expression ay tinukoy sa f ≥ 0 at g ≥ 0, at ang expression ay tulad ng sa f ≥ 0 at g ≥ 0, pati na rin ang f ≤ 0 at g ≤ 0.

Para sa bawat isa sa mga formula 1-5 (nang hindi isinasaalang-alang ang ipinahiwatig na mga paghihigpit), ang ODZ ng kanang bahagi nito ay maaaring mas malawak kaysa sa ODZ ng kaliwa. Ito ay sumusunod mula dito na ang mga pagbabagong-anyo ng equation na may pormal na paggamit ng mga formula 1-5 "mula kaliwa pakanan" (tulad ng pagkakasulat) ay humantong sa isang equation na bunga ng orihinal. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat ng orihinal na equation, kaya ang pag-verify ay isang mandatoryong hakbang sa paglutas ng orihinal na equation.

Ang mga pagbabagong-anyo ng mga equation na may pormal na paggamit ng mga formula 1-5 "mula kanan pakaliwa" ay hindi katanggap-tanggap, dahil posible na hatulan ang ODZ ng orihinal na equation, at samakatuwid ay ang pagkawala ng mga ugat.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

na bunga ng orihinal. Ang solusyon ng equation na ito ay binabawasan sa paglutas ng set ng mga equation .

Mula sa unang equation ng set na ito makikita natin ang https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> mula sa kung saan natin makikita . Kaya, ang mga ugat ng ang equation na ito ay maaari lamang maging mga numero ( -1) at (-2) Ang pagpapatunay ay nagpapakita na ang parehong natagpuang mga ugat ay nakakatugon sa equation na ito.

Sagot: -1,-2.

Lutasin ang equation: .

Solusyon: batay sa mga pagkakakilanlan, palitan ang unang termino ng . Tandaan na bilang kabuuan ng dalawang di-negatibong numero sa kaliwang bahagi. "Alisin" ang module at, pagkatapos magdala ng mga katulad na termino, lutasin ang equation. Since , nakuha namin ang equation . Simula at , pagkatapos ay https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Sagot: x = 4.25.

4 na paraan. Pagpapakilala ng mga bagong variable

Ang isa pang halimbawa ng paglutas ng mga hindi makatwirang equation ay ang paraan kung saan ang mga bagong variable ay ipinakilala, kung saan nakuha ang alinman sa isang mas simpleng irrational equation o isang rational equation.

Ang solusyon ng hindi makatwiran na mga equation sa pamamagitan ng pagpapalit ng equation sa kahihinatnan nito (na may kasunod na pagsusuri ng mga ugat) ay maaaring isagawa tulad ng sumusunod:

1. Hanapin ang ODZ ng orihinal na equation.

2. Pumunta mula sa equation sa corollary nito.

3. Hanapin ang mga ugat ng resultang equation.

4. Suriin kung ang mga natagpuang ugat ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Ang tseke ay ang mga sumusunod:

A) ang pag-aari ng bawat natagpuang ugat ng ODZ sa orihinal na equation ay sinusuri. Ang mga ugat na iyon na hindi kabilang sa ODZ ay extraneous para sa orihinal na equation.

B) para sa bawat ugat na kasama sa ODZ ng orihinal na equation, ito ay sinusuri kung ang kaliwa at kanang bahagi ng bawat isa sa mga equation na lumabas sa proseso ng paglutas ng orihinal na equation at itinaas sa isang pantay na kapangyarihan ay may parehong mga palatandaan. Ang mga ugat na iyon kung saan ang mga bahagi ng anumang equation na itinaas sa isang pantay na kapangyarihan ay may iba't ibang mga palatandaan ay extraneous para sa orihinal na equation.

C) tanging ang mga ugat na kabilang sa ODZ ng orihinal na equation at kung saan ang parehong bahagi ng bawat isa sa mga equation na lumitaw sa proseso ng paglutas ng orihinal na equation at itinaas sa isang pantay na kapangyarihan ay may parehong mga palatandaan na sinusuri sa pamamagitan ng direktang pagpapalit sa ang orihinal na equation.

Ang ganitong paraan ng solusyon na may ipinahiwatig na paraan ng pag-verify ay ginagawang posible upang maiwasan ang masalimuot na mga kalkulasyon sa kaso ng direktang pagpapalit ng bawat isa sa mga natagpuang ugat ng huling equation sa orihinal.

Lutasin ang hindi makatwirang equation:

.

Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng equation na ito:

Setting , pagkatapos ng pagpapalit ay nakuha namin ang equation

o ang katumbas nitong equation

na maaaring tingnan bilang isang quadratic equation para sa . Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha namin

.

Samakatuwid, ang hanay ng solusyon ng orihinal na hindi makatwirang equation ay ang unyon ng mga hanay ng solusyon ng sumusunod na dalawang equation:

, .

I-cube ang magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation na ito, at makakakuha tayo ng dalawang rational algebraic equation:

, .

Ang paglutas ng mga equation na ito, nalaman namin na ang hindi makatwirang equation na ito ay may iisang ugat na x = 2 (walang pag-verify na kailangan, dahil ang lahat ng pagbabago ay katumbas).

Sagot: x = 2.

Lutasin ang hindi makatwirang equation:

Tukuyin ang 2x2 + 5x - 2 = t. Pagkatapos ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo . Sa pamamagitan ng pag-squaring sa magkabilang bahagi ng resultang equation at pagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha natin ang equation , na isang kinahinatnan ng nauna. Mula dito nahanap natin t=16.

Pagbabalik sa hindi kilalang x, nakukuha natin ang equation na 2x2 + 5x - 2 = 16, na resulta ng orihinal. Sa pamamagitan ng pagsuri, tinitiyak namin na ang mga ugat nito x1 \u003d 2 at x2 \u003d - 9/2 ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 paraan. Pagbabago ng Equation ng Pagkakakilanlan

Kapag nilulutas ang mga hindi makatwirang equation, hindi dapat simulan ng isa ang paglutas ng isang equation sa pamamagitan ng pagtataas ng parehong bahagi ng mga equation sa isang natural na kapangyarihan, sinusubukang bawasan ang solusyon ng isang hindi makatwirang equation sa paglutas ng isang rational algebraic equation. Una, kinakailangan upang makita kung posible na gumawa ng ilang magkatulad na pagbabago ng equation, na maaaring makabuluhang gawing simple ang solusyon nito.

Lutasin ang equation:

Ang hanay ng mga wastong halaga para sa equation na ito: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Hatiin ang equation na ito sa .

.

Nakukuha namin:

Para sa a = 0, ang equation ay walang mga solusyon; para sa , ang equation ay maaaring isulat bilang

para sa equation na ito ay walang mga solusyon, dahil para sa alinman X, na kabilang sa hanay ng mga tinatanggap na halaga ng equation, ang expression sa kaliwang bahagi ng equation ay positibo;

kapag may solusyon ang equation

Isinasaalang-alang na ang hanay ng mga tinatanggap na solusyon ng equation ay tinutukoy ng kundisyon , sa wakas ay nakuha namin ang:

Kapag nilulutas ang hindi makatwirang equation na ito, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> ang solusyon sa equation ay . Para sa lahat ng iba pang value X ang equation ay walang mga solusyon.

HALIMBAWA 10:

Lutasin ang hindi makatwirang equation: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Ang solusyon ng quadratic equation ng system ay nagbibigay ng dalawang ugat: x1 \u003d 1 at x2 \u003d 4. Ang una sa nakuha na mga ugat ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ng system, samakatuwid x \u003d 4.

Mga Tala.

1) Ang pagsasagawa ng magkakaparehong pagbabago ay nagpapahintulot sa amin na gawin nang walang pag-verify.

2) Ang hindi pagkakapantay-pantay x - 3 ≥0 ay tumutukoy sa magkatulad na pagbabago, at hindi sa domain ng equation.

3) Mayroong bumababa na function sa kaliwang bahagi ng equation, at isang pagtaas ng function sa kanang bahagi ng equation na ito. Ang mga graph ng pagbaba at pagtaas ng mga function sa intersection ng kanilang mga domain ng kahulugan ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang karaniwang punto. Malinaw, sa aming kaso, ang x = 4 ay ang abscissa ng intersection point ng mga graph.

Sagot: x = 4.

6 na paraan. Gamit ang domain ng kahulugan ng mga function kapag nilulutas ang mga equation

Ang pamamaraang ito ay pinaka-epektibo kapag nilulutas ang mga equation na kinabibilangan ng mga function https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> at hanapin ang mga kahulugan ng lugar nito (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, pagkatapos ay kailangan mong suriin kung ang equation ay totoo sa mga dulo ng agwat, bukod pa rito, kung a< 0, а b >0, pagkatapos ay kinakailangan upang suriin ang mga agwat (a;0) at . Ang pinakamaliit na integer sa E(y) ay 3.

Sagot: x = 3.

8 paraan. Paglalapat ng derivative sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga equation gamit ang derivative method, ginagamit ang pamamaraan ng pagtatantya.

HALIMBAWA 15:

Lutasin ang equation: (1)

Solusyon: Dahil https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, o (2). Isaalang-alang ang function ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> at samakatuwid ay tumataas. Samakatuwid, ang equation ay katumbas ng isang equation na may ugat na ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

HALIMBAWA 16:

Lutasin ang hindi makatwirang equation:

Ang domain ng kahulugan ng function ay isang segment. Hanapin natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng value ng function na ito sa interval . Upang gawin ito, nakita namin ang derivative ng function f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Hanapin natin ang mga value ng function f(x) sa mga dulo ng segment at sa punto : Kaya, Ngunit at, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay posible lamang sa ilalim ng kondisyon https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Ipinapakita ng verification na ang numero 3 ang ugat ng equation na ito.

Sagot: x = 3.

9 na pamamaraan. Functional

Sa mga pagsusulit, minsan ay nag-aalok sila upang malutas ang mga equation na maaaring isulat sa form , kung saan mayroong isang tiyak na function.

Halimbawa, ilang equation: 1) 2) . Sa katunayan, sa unang kaso , sa pangalawang kaso . Samakatuwid, lutasin ang mga hindi makatwirang equation gamit ang sumusunod na pahayag: kung ang isang function ay mahigpit na tumataas sa set X at para sa alinmang , kung gayon ang mga equation, atbp., ay katumbas sa set X .

Lutasin ang hindi makatwirang equation: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> mahigpit na tumataas sa set R, at https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > na may kakaibang ugat Samakatuwid, ang katumbas na equation (1) ay mayroon ding kakaibang ugat

Sagot: x = 3.

HALIMBAWA 18:

Lutasin ang hindi makatwirang equation: (1)

Sa bisa ng kahulugan ng square root, nakuha namin na kung ang equation (1) ay may mga ugat, kung gayon sila ay kabilang sa set https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" taas="47" >.(2)

Isaalang-alang ang function na https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> mahigpit na tumataas sa set na ito para sa anumang ..gif" width="100" height ="41"> na may iisang ugat Samakatuwid, at katumbas nito sa set X ang equation (1) ay may iisang ugat

Sagot: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Solusyon: Ang equation na ito ay katumbas ng isang mixed system

Petsa ng publikasyon: 2016-03-23

Maikling Paglalarawan: ...

MGA HALIMBAWA NG PAGSOLBA NG EQUATIONS GAMIT ANG ILANG ORIHINAL NA TEKNIK.

1
. Solusyon ng mga hindi makatwirang equation.

1. Pamamaraan ng pagpapalit.

1.1.1 Lutasin ang equation .

Tandaan na ang mga palatandaan ng x sa ilalim ng radical ay iba. Ipinakilala namin ang notasyon

, .

pagkatapos,

Magsagawa tayo ng termino-by-term na pagdaragdag ng parehong bahagi ng equation.

At mayroon tayong sistema ng mga equation

kasi a + b = 4, pagkatapos

Ang Z ay nagbabasa: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Sagot: x \u003d 1.

1.1.2. Lutasin ang Equation .

Ipinakilala namin ang notasyon: , ; , .

Ibig sabihin:

Pagdaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation, mayroon tayong .

At mayroon tayong sistema ng mga equation

a + b = 2, , , ,

Bumalik tayo sa sistema ng mga equation:

, .

Nang malutas ang equation para sa (ab), mayroon tayong ab = 9, ab = -1 (-1 extraneous root, dahil , .).

Ang sistemang ito ay walang mga solusyon, na nangangahulugan na ang orihinal na equation ay wala ring solusyon.

Sagot: walang solusyon.

1. 1. Lutasin ang equation: .

Ipinakilala namin ang notasyon , kung saan . Tapos , .

, ,

Isaalang-alang ang tatlong kaso:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, isang \u003d 1, 1  [ 0; 1). [isa; 2). a = 2.

Solusyon: [ 1 ; 2].

Kung ang , tapos , , .

Sagot: .

1.2. Paraan para sa pagsusuri sa kaliwa at kanang bahagi (ang pangunahing pamamaraan).

Ang majorant method ay isang paraan para sa paghahanap ng boundedness ng isang function.

Majorization - paghahanap ng mga punto ng paghihigpit ng function. Si M ang majorant.

Kung mayroon tayong f(x) = g(x) at ang ODZ ay kilala, at kung

, , pagkatapos

1. 1. Lutasin ang equation: .

ODZ: .

Isaalang-alang ang kanang bahagi ng equation.

Ipakilala natin ang isang function. Ang graph ay isang parabola na may vertex A(3 ; 2).

Ang pinakamaliit na halaga ng function na y(3) = 2, ibig sabihin.

Isaalang-alang ang kaliwang bahagi ng equation.

Ipakilala natin ang isang function. Gamit ang derivative, madaling mahanap ang maximum ng isang function na naiba sa x  (2 ; 4).

Sa ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Meron kami .

Bilang resulta, , pagkatapos

Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation batay sa mga kondisyon sa itaas:

Ang paglutas ng unang equation ng system, mayroon kaming x = 3. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng halagang ito sa pangalawang equation, tinitiyak namin na ang x = 3 ay ang solusyon sa system.

Sagot: x = 3.

1.3. Application ng function na monotonicity.

1.3.1. Lutasin ang equation:

Tungkol sa DZ: , dahil  .

Ito ay kilala na ang kabuuan ng pagtaas ng mga function ay isang pagtaas ng function.

Ang kaliwang bahagi ay isang pagtaas ng function. Ang kanang bahagi ay isang linear function (k=0). Ang graphical na interpretasyon ay nagpapahiwatig na ang ugat ay natatangi. Nahanap namin ito sa pamamagitan ng pagpili, mayroon kaming x = 1.

Patunay:

Ipagpalagay na mayroong isang ugat x 1 na mas malaki kaysa sa 1, kung gayon

kasi x 1 >1,

.Napagpasyahan namin na walang mga ugat na higit sa isa.

Katulad nito, mapapatunayan ng isa na walang mga ugat na mas mababa sa isa.

Kaya ang x=1 ay ang tanging ugat.

Sagot: x = 1.

1.3.2. Lutasin ang equation:

Tungkol sa DZ: [ 0.5 ; + ), dahil mga. .

Ibahin natin ang equation,

Ang kaliwang bahagi ay isang pagtaas ng function (ang produkto ng pagtaas ng mga function), ang kanang bahagi ay isang linear function (k = 0). Ang geometric na interpretasyon ay nagpapakita na ang orihinal na equation ay dapat magkaroon ng isang ugat na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng angkop, x = 7.

Pagsusuri:

Maaari itong patunayan na walang iba pang mga ugat (tingnan ang halimbawa sa itaas).

Sagot: x = 7.

2. Logarithmic equation.

1. Paraan para sa pagtatantya ng kaliwa at kanang bahagi.

2.1.1. Lutasin ang equation: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Tantyahin natin ang kaliwang bahagi ng equation.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Pagkatapos ay mag-log 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Tantyahin natin ang kanang bahagi ng equation.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Ang orihinal na equation ay maaari lamang magkaroon ng solusyon kung ang magkabilang panig ay katumbas ng apat.

ibig sabihin

Sagot: x = 1.

Para sa malayang trabaho.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Sagot: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Sagot: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Sagot: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Sagot: x \u003d 3.

2.2. Gamit ang monotonicity ng function, ang pagpili ng mga ugat.

2.2.1. Lutasin ang equation: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Gawin natin ang pagbabago 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Pagkatapos x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, pagkatapos

log 2 t = 20 - t .

Ang function na y = log 2 t ay tumataas, at ang function na y = 20 - t ay bumababa. Ang geometric na interpretasyon ay nagpapaunawa sa atin na ang orihinal na equation ay may isang ugat, na madaling mahanap sa pamamagitan ng pagpili ng t = 16.

Ang paglutas ng equation na 2x - x 2 + 15 = 16, nakita namin na x = 1.

Sinusuri upang matiyak na tama ang napiling halaga.

Sagot: x = 1.

2.3. Ilang "kawili-wiling" logarithmic equation.

2.3.1. Lutasin ang Equation .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Lumipat tayo sa equation

, , ,

Lumipat tayo sa katumbas na equation

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, o cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 o cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Suriin natin ang mga nahanap na halaga sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito sa ODZ.

1) kung x = 15 , kung gayon (15 - 15) cos 15 > 0,

Mali ang 0 > 0.

x = 15 - ay hindi ang ugat ng equation.

2) kung x = 2  k, k Z, pagkatapos (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, tandaan na 15  5 . Meron kami

k > 2.5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) kung x =  + 2 l, l Z, pagkatapos ay ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Mayroon kaming: l< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Sagot: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ...).

3. Trigonometric equation.

3.1. Paraan para sa pagtatantya ng kaliwa at kanang bahagi ng equation.

4.1.1. Lutasin ang equation na cos3x cos2x = -1.

Unang paraan..

0.5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Dahil cos x - 1 , cos 5 x - 1, napagpasyahan namin na cos x+ cos 5 x> -2, samakatuwid

sumusunod sa sistema ng mga equation

c os x = -1,

kasi 5 x = - 1.

Paglutas ng equation cos x= -1, nakukuha namin X=  + 2 k, kung saan k Z.

Ang mga halagang ito X ay mga solusyon din ng equation cos 5 x= -1, kasi

kasi 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

kaya, X=  + 2 k, kung saan k Z , ay lahat ng solusyon ng system, at samakatuwid ay ang orihinal na equation.

Sagot: X=  (2k + 1), k Z.

Ang pangalawang paraan.

Maipapakita na ang hanay ng mga sistema ay sumusunod mula sa orihinal na equation

dahil 2 x = - 1,

kasi 3 x = 1.

dahil 2 x = 1,

kasi 3 x = - 1.

Ang paglutas ng bawat sistema ng mga equation, nakita natin ang unyon ng mga ugat.

Sagot: x = (2  hanggang + 1), k Z.

Para sa malayang trabaho.

Lutasin ang mga equation:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Sagot: walang solusyon.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Sagot: walang solusyon.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Sagot: x = 2 sa, k Z.

3.1.5. kasalanan x kasalanan 3 x = -1. Sagot: x = /2 +  sa, k Z.

3.1.6. cos 8 x + kasalanan 7 x = 1. Sagot: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

1.1 Mga hindi makatwirang equation

Ang mga hindi makatwirang equation ay madalas na nakakaharap sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika, dahil sa tulong nila ang kaalaman sa mga konsepto tulad ng mga katumbas na pagbabago, domain ng kahulugan, at iba pa ay madaling masuri. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi makatwiran na equation, bilang panuntunan, ay batay sa posibilidad ng pagpapalit (sa tulong ng ilang mga pagbabagong-anyo) ng isang hindi makatwiran na equation sa isang makatwiran, na alinman ay katumbas ng orihinal na hindi makatwiran na equation o ang kinahinatnan nito. Kadalasan, ang magkabilang panig ng equation ay nakataas sa parehong kapangyarihan. Ang equivalence ay hindi nilalabag kapag ang parehong bahagi ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan. Kung hindi, kinakailangang suriin ang mga nahanap na solusyon o tantiyahin ang tanda ng parehong bahagi ng equation. Ngunit may iba pang mga trick na maaaring maging mas epektibo sa paglutas ng mga hindi makatwirang equation. Halimbawa, ang trigonometric substitution method.

Halimbawa 1: Lutasin ang Equation

Simula noon . Samakatuwid, maaaring ilagay ng isa . Ang equation ay kukuha ng form

Ilagay natin kung saan, kung gayon

.

.

Sagot: .

Algebraic na Solusyon

Simula noon . Ibig sabihin, , para mapalawak mo ang module

.

Sagot: .

Ang paglutas ng isang equation sa isang algebraic na paraan ay nangangailangan ng isang mahusay na kasanayan sa pagsasagawa ng magkatulad na pagbabago at karampatang paghawak ng mga katumbas na transition. Ngunit sa pangkalahatan, ang parehong mga diskarte ay katumbas.

Halimbawa 2: Lutasin ang Equation

.

Solusyon gamit ang trigonometric substitution

Ang domain ng equation ay ibinibigay ng hindi pagkakapantay - pantay , na katumbas ng kondisyon , pagkatapos . Samakatuwid, maaari nating ilagay ang . Ang equation ay kukuha ng form

Simula noon . Buksan natin ang panloob na module

Ilagay natin , pagkatapos

.

Ang kundisyon ay nasiyahan sa pamamagitan ng dalawang halaga at .

.

.

Sagot: .

Algebraic na Solusyon

.

Ipaalam sa amin parisukat ang equation ng unang set sistema, makuha namin

Hayaan mo, kung gayon. Ang equation ay muling isusulat sa form

Sa pamamagitan ng pagsuri ay itinatatag namin na iyon ang ugat, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa binomial nakuha namin ang agnas ng kanang bahagi ng equation sa mga kadahilanan

Lumipat tayo mula sa variable patungo sa variable , nakukuha natin

.

kundisyon matugunan ang dalawang halaga

.

Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa orihinal na equation, nakuha natin na iyon ang ugat.

Ang paglutas ng equation ng pangalawang sistema ng orihinal na populasyon sa katulad na paraan, nalaman natin na ito ay ugat din.

Sagot: .

Kung sa nakaraang halimbawa ang algebraic na solusyon at ang solusyon gamit ang trigonometric substitution ay katumbas, kung gayon sa kasong ito ang substitution solution ay mas kumikita. Kapag nilulutas ang isang equation sa pamamagitan ng algebra, kailangang lutasin ng isa ang isang hanay ng dalawang equation, iyon ay, sa square ng dalawang beses. Matapos ang di-katumbas na pagbabagong ito, dalawang equation ng ika-apat na antas na may mga hindi makatwirang coefficient ang nakuha, na tinutulungan ng kapalit na mapupuksa. Ang isa pang kahirapan ay ang pagpapatunay ng mga nahanap na solusyon sa pamamagitan ng pagpapalit sa orihinal na equation.

Halimbawa 3. Lutasin ang equation

.

Solusyon gamit ang trigonometric substitution

Simula noon . Tandaan na ang negatibong halaga ng hindi alam ay hindi maaaring maging solusyon sa problema. Sa katunayan, binabago namin ang orihinal na equation sa anyo

.

Ang factor sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng equation ay positibo, ang kanang bahagi ng equation ay positibo rin, kaya ang factor sa kaliwang bahagi ng equation ay hindi maaaring negatibo. Kaya lang, kaya mo naman ilagay Ang orihinal na equation ay muling isusulat sa anyo

Simula noon at . Ang equation ay kukuha ng form

Hayaan . Lumipat tayo mula sa equation patungo sa katumbas na sistema

.

Ang mga numero at ang mga ugat ng quadratic equation

.

Algebraic solution I-square natin ang magkabilang panig ng equation

Ipinakilala namin ang kapalit , pagkatapos ay isusulat ang equation sa form

Ang pangalawang ugat ay kalabisan, kaya isaalang-alang ang equation

.

Simula noon .

Sa kasong ito, ang algebraic na solusyon ay teknikal na mas simple, ngunit kinakailangang isaalang-alang ang solusyon sa itaas gamit ang isang trigonometric substitution. Ito ay dahil, una, sa hindi karaniwang katangian ng pagpapalit mismo, na sumisira sa stereotype na ang paggamit ng trigonometric substitution ay posible lamang kapag . Ito ay lumiliko na kung ang trigonometric substitution ay makakahanap din ng aplikasyon. Pangalawa, mayroong isang tiyak na kahirapan sa paglutas ng trigonometric equation , na nababawasan sa pamamagitan ng pagpapakilala ng pagbabago sa isang sistema ng mga equation. Sa isang tiyak na kahulugan, ang kapalit na ito ay maaari ding ituring na hindi pamantayan, at ang pamilyar dito ay nagbibigay-daan sa iyo upang pagyamanin ang arsenal ng mga trick at pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation.

Halimbawa 4. Lutasin ang equation

.

Solusyon gamit ang trigonometric substitution

Dahil ang isang variable ay maaaring tumagal sa anumang tunay na halaga, inilalagay namin . Pagkatapos

,

Bilang .

Ang orihinal na equation, na isinasaalang-alang ang mga pagbabagong isinagawa, ay kukuha ng anyo

Dahil , hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng , nakukuha namin

Hayaan , pagkatapos . Ang equation ay kukuha ng form

.

Dahil sa pagpapalit , nakakakuha tayo ng set ng dalawang equation

.

Hiwalay nating lutasin ang bawat set equation.

.

Hindi maaaring maging isang halaga ng sine, tulad ng para sa anumang mga halaga ng argumento.

.

Bilang at ang kanang bahagi ng orihinal na equation ay positibo, pagkatapos . Mula sa kung saan ito ay sumusunod na .

Ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil .

Kaya ang orihinal na equation ay may isang ugat

.

Algebraic na Solusyon

Ang equation na ito ay madaling "i-on" sa isang rational equation ng ikawalong degree sa pamamagitan ng pag-square sa parehong bahagi ng orihinal na equation. Ang paghahanap para sa mga ugat ng nagresultang rational equation ay mahirap, at ang isang mataas na antas ng talino sa paglikha ay kinakailangan upang makayanan ang gawain. Samakatuwid, ipinapayong malaman ang ibang paraan ng paglutas, hindi gaanong tradisyonal. Halimbawa, ang pagpapalit na iminungkahi ni I. F. Sharygin.

Ilagay natin , pagkatapos

Ibahin natin ang kanang bahagi ng equation :

Isinasaalang-alang ang mga pagbabagong-anyo, ang equation kukuha ng form

.

Nagpakilala kami ng kapalit, kung gayon

.

Ang pangalawang ugat ay kalabisan, samakatuwid, at .

Kung ang ideya ng paglutas ng equation ay hindi alam nang maaga , kung gayon ang paglutas sa karaniwang paraan sa pamamagitan ng pag-square sa magkabilang bahagi ng equation ay may problema, dahil ang resulta ay isang equation ng ikawalong degree, na ang mga ugat ay lubhang mahirap hanapin. Ang solusyon gamit ang trigonometric substitution ay mukhang mahirap. Maaaring mahirap hanapin ang mga ugat ng equation, kung hindi mo napapansin na ito ay paulit-ulit. Ang solusyon ng equation na ito ay nangyayari gamit ang apparatus ng algebra, kaya maaari nating sabihin na ang iminungkahing solusyon ay pinagsama. Sa loob nito, ang impormasyon mula sa algebra at trigonometry ay nagtutulungan para sa isang layunin - upang makakuha ng solusyon. Gayundin, ang solusyon ng equation na ito ay nangangailangan ng maingat na pagsasaalang-alang ng dalawang kaso. Ang solusyon sa pagpapalit ay teknikal na mas simple at mas maganda kaysa sa paggamit ng isang trigonometric substitution. Ito ay kanais-nais na malaman ng mga mag-aaral ang paraan ng pagpapalit na ito at ilapat ito upang malutas ang mga problema.

Binibigyang-diin namin na ang paggamit ng trigonometric substitution para sa paglutas ng mga problema ay dapat na may kamalayan at makatwiran. Maipapayo na gumamit ng pagpapalit sa mga kaso kung saan ang solusyon sa ibang paraan ay mas mahirap o kahit imposible. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa, na, hindi katulad ng nauna, ay mas madali at mas mabilis na malutas sa karaniwang paraan.