Noong una kong nalaman ang tungkol sa prinsipyong ito, nagkaroon ako ng pakiramdam ng ilang uri ng mistisismo. Tila ang kalikasan ay misteryosong nag-uuri sa lahat ng posibleng paraan ng paggalaw ng system at pinipili ang pinakamahusay sa kanila.

Ngayon gusto kong pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa isa sa mga pinaka-kahanga-hangang pisikal na prinsipyo - ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos.

background

Mula noong panahon ni Galileo, kilala na ang mga katawan na hindi kumikilos ng anumang pwersa ay gumagalaw sa mga tuwid na linya, iyon ay, kasama ang pinakamaikling landas. Ang mga liwanag na sinag ay naglalakbay din sa mga tuwid na linya.

Kapag naaaninag, gumagalaw din ang liwanag sa paraang makapunta mula sa isang punto patungo sa isa pa sa pinakamaikling paraan. Sa larawan, ang pinakamaikling landas ay ang berdeng landas, kung saan ang anggulo ng saklaw ay katumbas ng anggulo ng pagmuni-muni. Anumang iba pang landas, tulad ng pula, ay magiging mas mahaba.

Ito ay madaling patunayan sa pamamagitan lamang ng pagpapakita ng mga landas ng mga sinag sa kabaligtaran ng salamin. Ang mga ito ay ipinapakita sa mga tuldok-tuldok na linya sa larawan.

Makikita na ang berdeng landas na ACB ay nagiging isang tuwid na linyang ACB'. At ang pulang landas ay nagiging putol na linyang ADB ', na, siyempre, ay mas mahaba kaysa sa berde.

Noong 1662, iminungkahi ni Pierre Fermat na ang bilis ng liwanag sa isang siksik na substansiya, tulad ng salamin, ay mas mababa kaysa sa hangin. Bago ito, ang pangkalahatang tinatanggap na bersyon ay Descartes, ayon sa kung saan ang bilis ng liwanag sa bagay ay dapat na mas malaki kaysa sa hangin upang makuha ang tamang batas ng repraksyon. Para kay Fermat, ang pag-aakala na ang liwanag ay maaaring gumalaw nang mas mabilis sa isang mas siksik na medium kaysa sa isang rarefied ay tila hindi natural. Samakatuwid, ipinapalagay niya na ang lahat ay eksaktong kabaligtaran at pinatunayan ang isang kamangha-manghang bagay - sa ilalim ng palagay na ito, ang ilaw ay na-refracted upang maabot ang patutunguhan nito sa pinakamababang oras.

Sa figure muli, ipinapakita ng berdeng kulay ang landas na aktwal na dinadaanan ng sinag ng liwanag. Ang landas na minarkahan ng pula ay ang pinakamaikling, ngunit hindi ang pinakamabilis, dahil ang ilaw ay may mas mahabang landas na maglalakbay sa salamin, at ang bilis nito ay mas mabagal sa loob nito. Ang pinakamabilis ay ang aktwal na landas ng light beam.

Ang lahat ng mga katotohanang ito ay nagmumungkahi na ang kalikasan ay kumikilos sa ilang makatwirang paraan, ang liwanag at mga katawan ay gumagalaw sa pinakamainam na paraan, na gumugugol ng kaunting pagsisikap hangga't maaari. Ngunit kung ano ang mga pagsisikap na ito, at kung paano kalkulahin ang mga ito, ay nanatiling isang misteryo.

Noong 1744, ipinakilala ni Maupertuis ang konsepto ng "aksyon" at bumalangkas ng prinsipyo kung saan ang tunay na tilapon ng isang particle ay naiiba sa anumang iba pa na ang aksyon para dito ay minimal. Gayunpaman, si Maupertuis mismo ay hindi makapagbigay ng malinaw na kahulugan kung ano ang katumbas ng aksyong ito. Ang isang mahigpit na pagbabalangkas sa matematika ng prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon ay binuo ng iba pang mga mathematician - Euler, Lagrange, at sa wakas ay ibinigay ni William Hamilton:

Sa wikang matematika, ang prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon ay nabalangkas nang maikli, ngunit hindi lahat ng mga mambabasa ay maaaring maunawaan ang kahulugan ng notasyong ginamit. Gusto kong subukang ipaliwanag ang prinsipyong ito nang mas malinaw at sa mas simpleng mga termino.

maluwag na katawan

Kaya, isipin na nakaupo ka sa isang kotse sa isang punto at sa isang punto ng oras ay bibigyan ka ng isang simpleng gawain: sa oras na kailangan mong magmaneho ng kotse patungo sa point .

Ang gasolina para sa kotse ay mahal at, siyempre, gusto mong gastusin ito nang kaunti hangga't maaari. Ang iyong sasakyan ay ginawa gamit ang pinakabagong mga super-teknolohiya at maaaring mapabilis o mag-decelerate nang mas mabilis hangga't gusto mo. Gayunpaman, ito ay idinisenyo sa paraang mas mabilis ang pagtakbo nito, mas maraming gasolina ang nauubos nito. Bukod dito, ang pagkonsumo ng gasolina ay proporsyonal sa parisukat ng bilis. Kung magmaneho ka ng dalawang beses nang mas mabilis, kumokonsumo ka ng 4 na beses na mas maraming gasolina sa parehong tagal ng oras. Bilang karagdagan sa bilis, ang pagkonsumo ng gasolina, siyempre, ay apektado ng masa ng kotse. Kung mas mabigat ang ating sasakyan, mas maraming gasolina ang nakonsumo nito. Ang pagkonsumo ng gasolina ng aming sasakyan sa bawat sandali ng oras ay , i.e. ay eksaktong katumbas ng kinetic energy ng kotse.

Kaya paano mo kailangang magmaneho upang makarating sa punto sa oras at gumamit ng kaunting gasolina hangga't maaari? Malinaw na kailangan mong pumunta sa isang tuwid na linya. Sa pagtaas ng distansya na nilakbay, ang gasolina ay eksaktong maubos. At pagkatapos ay maaari kang pumili ng iba't ibang mga taktika. Halimbawa, maaari kang mabilis na makarating sa punto nang maaga at umupo lamang, maghintay para sa darating na oras. Ang bilis ng pagmamaneho, at samakatuwid ang pagkonsumo ng gasolina sa bawat sandali ng oras, ay magiging mataas, ngunit ang oras ng pagmamaneho ay mababawasan din. Marahil ang pangkalahatang pagkonsumo ng gasolina sa kasong ito ay hindi magiging napakahusay. O maaari kang pumunta nang pantay-pantay, na may parehong bilis, na, nang hindi nagmamadali, eksaktong dumating sa sandali ng oras. O bahagi ng paraan upang pumunta nang mabilis, at bahagi nang mas mabagal. Ano ang pinakamahusay na paraan upang pumunta?

Lumalabas na ang pinakamainam, pinakamatipid na paraan sa pagmamaneho ay ang pagmamaneho sa isang pare-parehong bilis, tulad ng pagpunta sa punto sa eksaktong takdang oras. Ang anumang iba pang opsyon ay gagamit ng mas maraming gasolina. Maaari mong suriin ang iyong sarili gamit ang ilang mga halimbawa. Ang dahilan ay ang pagkonsumo ng gasolina ay tumataas sa parisukat ng bilis. Samakatuwid, habang tumataas ang bilis, tumataas ang pagkonsumo ng gasolina nang mas mabilis kaysa sa pagbaba ng oras ng pagmamaneho, at tumataas din ang pangkalahatang pagkonsumo ng gasolina.

Kaya, nalaman namin na kung ang isang kotse ay kumonsumo ng gasolina sa anumang naibigay na oras sa proporsyon sa kinetic energy nito, kung gayon ang pinaka-ekonomiko na paraan upang makapunta sa bawat punto sa eksaktong takdang oras ay ang pagmamaneho nang pantay-pantay at sa isang tuwid na linya, tulad ng gumagalaw ang isang katawan sa kawalan ng pwersang kumikilos dito.pwersa. Anumang iba pang paraan ng pagmamaneho ay magreresulta sa mas mataas na pangkalahatang pagkonsumo ng gasolina.

Sa larangan ng grabidad

Ngayon pagbutihin natin ng kaunti ang ating sasakyan. Ikabit natin dito ang mga jet engine para malayang lumipad ito sa anumang direksyon. Sa pangkalahatan, ang disenyo ay nanatiling pareho, kaya ang pagkonsumo ng gasolina muli ay nanatiling mahigpit na proporsyonal sa kinetic energy ng kotse. Kung ang gawain ay ibinigay na ngayon upang umalis mula sa isang punto sa oras at dumating sa isang punto sa oras t, kung gayon ang pinaka-ekonomiko na paraan, tulad ng dati, siyempre, ay lilipad nang pare-pareho at sa isang tuwid na linya upang makarating sa punto sa eksaktong takdang oras t. Ito ay muling tumutugma sa malayang paggalaw ng katawan sa tatlong-dimensional na espasyo.

Gayunpaman, isang hindi pangkaraniwang aparato ang na-install sa pinakabagong modelo ng kotse. Ang yunit na ito ay kayang gumawa ng gasolina nang literal mula sa wala. Ngunit ang disenyo ay tulad na kung mas mataas ang kotse, mas maraming gasolina ang ginagawa ng aparato sa anumang naibigay na oras. Ang output ng gasolina ay direktang proporsyonal sa taas kung saan ang sasakyan ay kasalukuyang matatagpuan. Gayundin, kung mas mabigat ang kotse, mas malakas ang aparato na naka-install dito at mas maraming gasolina ang ginagawa nito, at ang output ay direktang proporsyonal sa masa ng kotse. Ang apparatus ay naging tulad na ang output ng gasolina ay eksaktong katumbas ng (kung saan ang libreng pagbagsak ng acceleration), i.e. potensyal na enerhiya ng kotse.

Ang pagkonsumo ng gasolina sa bawat sandali ng oras ay katumbas ng kinetic energy minus ang potensyal na enerhiya ng kotse (minus ang potensyal na enerhiya, dahil ang naka-install na sasakyan ay gumagawa ng gasolina, at hindi gumagastos). Ngayon ang aming gawain ay ang pinaka-matipid na paggalaw ng kotse sa pagitan ng mga punto at ito ay nagiging mas mahirap. Ang rectilinear uniform motion sa kasong ito ay hindi ang pinaka-epektibo. Lumalabas na mas pinakamainam na umakyat ng kaunti, magtagal doon nang ilang sandali, na gumawa ng mas maraming gasolina, at pagkatapos ay bumaba sa punto. Sa tamang landas ng paglipad, ang kabuuang pagkonsumo ng gasolina dahil sa pag-akyat ay sasakupin ang mga karagdagang gastos sa gasolina para sa pagtaas ng haba ng landas at pagtaas ng bilis. Kung maingat na kalkulahin, ang pinakamatipid na paraan para sa isang kotse ay ang paglipad sa isang parabola, sa eksaktong parehong trajectory at sa eksaktong kaparehong bilis ng paglipad ng isang bato sa gravity field ng Earth.

Narito ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng paliwanag. Siyempre, posibleng maghagis ng bato mula sa isang punto sa maraming iba't ibang paraan upang maabot nito ang punto . Ngunit kailangan mong itapon ito sa paraang, na lumipad sa isang punto sa oras, ito ay tumama sa isang punto nang eksakto sa oras. Ang kilusang ito ang magiging pinakatipid para sa ating sasakyan.

Ang Lagrange function at ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos

Ngayon ay maaari nating ilipat ang pagkakatulad na ito sa tunay na pisikal na katawan. Ang isang analogue ng intensity ng pagkonsumo ng gasolina para sa mga katawan ay tinatawag na Lagrange function o Lagrangian (sa karangalan ng Lagrange) at tinutukoy ng titik . Ang Lagrangian ay nagpapakita kung gaano karaming "gasolina" ang kinokonsumo ng katawan sa isang partikular na oras. Para sa isang katawan na gumagalaw sa isang potensyal na larangan, ang Lagrangian ay katumbas ng kinetic energy nito na binawasan ang potensyal na enerhiya nito.

Isang analogue ng kabuuang halaga ng gasolina na natupok para sa buong oras ng paggalaw, i.e. ang halaga ng Lagrangian na naipon sa buong panahon ng paggalaw ay tinatawag na "action".

Ang prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon ay ang katawan ay gumagalaw sa paraang ang aksyon (na depende sa tilapon ng paggalaw) ay minimal. Sa kasong ito, hindi dapat kalimutan ng isa na ang paunang at pangwakas na mga kondisyon ay ibinibigay, i.e. kung saan ang katawan ay nasa oras at oras .

Sa kasong ito, ang katawan ay hindi kailangang lumipat sa isang pare-parehong gravitational field, na aming isinasaalang-alang para sa aming sasakyan. Maaari mong isaalang-alang ang ganap na magkakaibang mga sitwasyon. Ang isang katawan ay maaaring mag-oscillate sa isang goma band, mag-ugoy sa isang palawit o lumipad sa paligid ng Araw, sa lahat ng mga kaso na ito ay gumagalaw sa paraan upang mabawasan ang "kabuuang pagkonsumo ng gasolina" i.e. aksyon.

Kung ang sistema ay binubuo ng ilang mga katawan, kung gayon ang Lagrangian ng naturang sistema ay magiging katumbas ng kabuuang kinetic energy ng lahat ng mga katawan minus ang kabuuang potensyal na enerhiya ng lahat ng mga katawan. At muli, ang lahat ng mga katawan ay kikilos nang magkakasabay upang ang epekto ng buong sistema sa panahon ng naturang paggalaw ay minimal.

Hindi gaanong simple

Sa katunayan, dinaya ko nang kaunti sa pagsasabi na ang mga katawan ay palaging gumagalaw sa paraang mabawasan ang pagkilos. Bagama't sa napakaraming mga kaso ito ay totoo, posibleng mag-isip ng mga sitwasyon kung saan ang aksyon ay malinaw na hindi minimal.

Halimbawa, kumuha tayo ng bola at ilagay ito sa isang bakanteng espasyo. Sa ilang distansya mula dito, naglalagay kami ng nababanat na pader. Sabihin nating gusto nating mapunta ang bola sa parehong lugar pagkatapos ng ilang oras. Sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon, ang bola ay maaaring gumalaw sa dalawang magkaibang paraan. Una, mananatili lang siya. Pangalawa, maaari mo itong itulak patungo sa dingding. Aabot ang bola sa dingding, tumalbog ito at babalik. Malinaw na maaari mong itulak ito nang napakabilis na babalik ito sa eksaktong tamang oras.

Ang parehong mga variant ng paggalaw ng bola ay posible, ngunit ang aksyon sa pangalawang kaso ay magiging mas malaki, dahil sa lahat ng oras na ito ang bola ay lilipat na may non-zero kinetic energy.

Paano maililigtas ang prinsipyo ng pinakamaliit na pagkilos upang ito ay maging totoo sa mga ganitong sitwasyon? Pag-uusapan natin ito sa.

1. Kinematics ng isang materyal na punto. Ang isang materyal na punto ay nauunawaan bilang isang pisikal na bagay, geometrically katumbas ng isang mathematical point, ngunit may mass. Ang Kinematics ay isang sangay ng pisika na nag-aaral ng mga uri ng paggalaw ng mga katawan nang hindi isinasaalang-alang ang mga sanhi ng paggalaw. Ang posisyon ng isang punto sa espasyo ay nailalarawan sa pamamagitan ng radius vector. Ang radius-vector ng isang punto ay isang vector na ang simula ay tumutugma sa pinanggalingan ng coordinate system, at kung saan ang dulo ay tumutugma sa itinuturing na punto. r = i x + j y + k z. Ang bilis ay ang distansya na nilakbay ng isang katawan sa bawat yunit ng oras. v(t) = d r/dt. v(t) = i dx/dt+ j dy/dt + k dz/dt. Ang acceleration ay ang rate ng pagbabago ng bilis. a=d v/dt = d2 r/dt2= i d2x/dt2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt + n v2/R.

d r = v dt; d v = a dt, samakatuwid v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t2/2.

2. Dynamics ng isang materyal na punto. Mga batas ni Newton. Ang mga pangunahing konsepto sa dinamika ay ang konsepto ng masa at puwersa. Ang puwersa ay ang sanhi ng paggalaw, i.e. sa ilalim ng impluwensya ng puwersa ng katawan makakuha ng bilis. Ang puwersa ay isang dami ng vector. Ang masa ay isang sukatan ng inertia ng isang katawan. Ang produkto ng masa at bilis ay tinatawag na momentum. p= m v. Ang angular momentum ng isang materyal na punto ay ang vector L = r * p. Ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang materyal na punto ay tinatawag na vector M = r * F. Kung iiba natin ang expression para sa angular momentum, makukuha natin ang: d L/dt=d r/dt* p + r*d p/dt. Isinasaalang-alang na d r/dt= v at v parallel p, nakukuha natin d L/dt= M.Mga batas ni Newton. Ang unang batas ni Newton ay nagsasaad na ang isang katawan ay nagpapanatili ng isang estado ng pahinga o pare-parehong rectilinear motion kung walang ibang pwersa na kumilos dito o ang kanilang aksyon ay nabayaran. Ang ikalawang batas ni Newton ay nagsasaad na ang pagbabago sa momentum sa paglipas ng panahon ay isang pare-parehong halaga at katumbas ng kumikilos na puwersa d p/ dt = d / dt (m v) = md v/dt= F.Ito ang pangalawang batas ni Newton na nakasulat sa differential form. Sinasabi ng ikatlong batas ni Newton na sa pakikipag-ugnayan ng dalawang katawan, ang bawat isa sa kanila ay kumikilos sa isa't isa na may parehong halaga, ngunit kabaligtaran sa direksyon, puwersa. F 1 = - F 2 .

3. Ang dinamika ng sistema ng mga materyal na puntos. Mga batas sa konserbasyon. Ang sistema ng mga materyal na puntos ay ang kabuuan ng kanilang may hangganang bilang. Ang bawat punto ng system ay apektado ng panloob (mula sa iba pang mga punto) at panlabas na pwersa. Hayaan m ang masa, r i ang radius vector. x i , y i , z i - kurdon. i-th point. Ang impulse ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay ang kabuuan ng mga impulses ng mga materyal na punto na bumubuo sa sistema: p= Σ (i=1,n) p ako = [ p 1 + p 2 +…+ p n]. Ang angular momentum ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay ang kabuuan ng mga sandali ng momentum na bumubuo sa sistema ng mga materyal na puntos: L = Σ [ L i ] = Σ [ r ako* p ako ]. Ang puwersa na kumikilos sa isang sistema ng mga materyal na punto ay tinukoy bilang ang kabuuan ng lahat ng pwersa na kumikilos sa mga punto ng system, kabilang ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga punto ng system: F = Σ [ F i ], saan F ako = F i' + Σ(j ≠ i) F Ang ji ay ang puwersang kumikilos sa materyal na punto ng system, na tinutukoy ng index i. Binubuo ito ng panlabas na puwersa F i ’ at panloob na puwersa Σ(i ≠ j) [ F ji ], kumikilos sa punto bilang resulta ng pakikipag-ugnayan sa iba pang mga punto ng system. Pagkatapos: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Ayon sa ikatlong batas ni Newton Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, kaya F = Σ [ F ako']. Ang sandali ng puwersa na kumikilos sa isang sistema ng mga materyal na puntos ay ang kabuuan ng mga sandali ng puwersa na inilapat sa mga punto ng sistema M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ r ako* F i ] = Σ (i) [ r ako* F ako']. Para sa isang sistema ng mga materyal na puntos, ang equation ng paggalaw ay may anyo na d p/ dt = Σ = Σ [ F ako ].

Ang sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay isang haka-haka na punto na may radius vector R= 1/mΣ . Ang bilis ng galaw niya V=d R/dt. Pagkatapos ay ang equation ng motion m d V/dt= F. Ang equation ng mga sandali para sa sistema ng mga materyal na puntos d L/dt= M. Mga batas sa konserbasyon. Ang isang nakahiwalay na sistema ay isa na hindi apektado ng mga panlabas na puwersa. Sa kanya F= 0, kaya d p/dt = 0. Pagkatapos p= const. Sa isang nakahiwalay na sistema, ang sandali ng mga panlabas na pwersa M= 0. Samakatuwid, d L/dt = 0, ibig sabihin L= const. Ang pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto kapag ito ay gumagalaw sa pagitan ng dalawang posisyon ay katumbas ng gawaing ginawa ng puwersa. m 0 v 2 2/2 – m 0 v 1 2/2 = ∫(1,2) F d l o m 0 v 2 /2 + E p \u003d const.

4. Paggalaw sa isang sentral na simetriko na patlang. Mga batas ni Kepler. Ang patlang ay tinatawag na sentral kung ang potensyal na enerhiya ng katawan sa loob nito ay nakasalalay lamang sa distansya r sa isang tiyak na nakapirming punto. Puwersa F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/r na kumikilos sa particle, sa absolute value ay nakasalalay lamang sa r at nakadirekta sa bawat punto kasama ang radius vector. Kapag gumagalaw sa gitnang field, ang sandali ng system na may kaugnayan sa gitna ng field ay pinananatili. Para sa isang maliit na butil sandali M = [r*R]. Dahil ang mga vectors na M at r ay magkaparehong patayo, ang constancy ng M ay nangangahulugan na kapag ang particle ay gumagalaw, ang radius vector nito ay palaging nananatili sa parehong eroplano - ang eroplanong patayo sa M. Kaya, ang trajectory ng particle sa gitnang field ay ganap na namamalagi sa isang eroplano. Ipinapakilala ang mga polar coordinates r, φ sa loob nito, isinulat namin ang Lagrange function sa form L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Ang function na ito ay hindi tahasang naglalaman ng coordinate φ. Para sa naturang coordinate, ang pangkalahatang momentum p i katumbas nito ay ang integral ng paggalaw. Sa kasong ito, ang pangkalahatang momentum p φ = mr 2 φ(∙) ay tumutugma sa sandaling M z = M, upang ang M = mr 2 φ(∙) (1). Tandaan na para sa paggalaw ng eroplano ng isang particle sa gitnang larangan, ang batas na ito ay umamin ng isang simpleng geometric na interpretasyon. Ang expression na 1/2 r r d φ ay ang lugar ng sektor na nabuo ng dalawang walang katapusang malapit na radius vector at isang arc na elemento ng trajectory. Tinutukoy ito bilang df, isinusulat namin ang momentum ng particle sa anyo M = 2mf, kung saan ang derivative f ay tinatawag na sectorial velocity. Samakatuwid, ang konserbasyon ng momentum ay nangangahulugang ang patuloy na bilis ng sektoral - para sa pantay na mga yugto ng panahon, ang radius vector ng isang gumagalaw na punto ay naglalarawan ng mga pantay na lugar ( Pangalawang batas ni Kepler). Ang pagpapahayag ng φ(∙) sa pamamagitan ng M mula sa (1) at pagpapalit sa expression para sa enerhiya, nakukuha natin ang: E ​​= m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Kaya r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) o, paghihiwalay ng mga variable at pagsasama-sama: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. Dagdag pa, ang pagsulat ng (1) bilang dφ = M 2 /mr 2 dt, pinapalitan ang dt dito at pagsasama, makikita natin ang: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + const. Ang unang batas ni Kepler. Ang bawat planeta ay umiikot sa isang ellipse kasama ang Araw sa isa sa mga foci nito. Ang ikatlong batas ni Kepler. Ang mga parisukat ng sidereal period ng mga planeta ay magkakaugnay bilang mga cube ng mga semi-major axes ng kanilang mga orbit T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Ang Lagrange function at ang Lagrange equation ng isang sistema ng mga materyal na puntos. Mga integral ng paggalaw. Isaalang-alang ang isang saradong sistema ng mga materyal na puntos. Ang Lagrange function para dito ay may anyong L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), kung saan ang T = Σ (a) ay ang kinetic energy at ang U ay ang potensyal na enerhiya ng particle interaction. Pagkatapos ang mga equation ng paggalaw d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a ay kunin ang anyong m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Ang mga equation na ito ng paggalaw ay tinatawag na Newton's equation. Vector F a = - ∂U/∂r a ay tinatawag na puwersa. Kung hindi Cartesian coordinate ng mga puntos ang ginagamit upang ilarawan ang paggalaw, ngunit arbitrary generalized coordinate q i , pagkatapos ay upang makuha ang Lagrangian function, ito ay kinakailangan upang isagawa ang kaukulang pagbabagong-anyo: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)], atbp. Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa function na L= 1 / 2 Σ(a) – U, makuha namin ang gustong Lagrange function ng form L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Mga integral ng paggalaw. Mayroong mga pag-andar ng pangkalahatang mga coordinate na nagpapanatili ng mga pare-parehong halaga sa panahon ng paggalaw, depende lamang sa mga paunang kondisyon. Tinatawag silang mga integral ng paggalaw. Dahil sa homogeneity ng oras, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Ang pagpapalit ng ∂L/∂q i ayon sa Lagrange equation ng d/dt (∂L/∂q i (∙)), makuha natin ang dL/dt = Σ(i) o d/dt (Σ(i) - L) = 0 .Ito ay nagpapakita na ang dami E = Σ(i) – L, na tinatawag na enerhiya, ay hindi nagbabago, i.e. integral ng paggalaw. Dahil sa homogeneity ng espasyo sa isang walang katapusang maliit na paglipat ε, kapag ang lahat ng mga punto ng system ay inilipat ng ε = δr, ang pagbabago sa Lagrange function, katumbas ng δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], dapat katumbas ng zero, i.e. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Gamit ang Lagrange equation, nakukuha natin ang Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Pagkatapos ay ang quantity R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], na tinatawag na momentum, ay nananatiling hindi nagbabago, i.e. integral ng paggalaw. Dahil sa isotropy ng espasyo sa isang walang katapusang maliit na pag-ikot sa pamamagitan ng anggulo δφ, ang pagbabago sa Lagrange function na katumbas ng δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a] ay dapat na zero. Ginagawa ang pagbabago ∂L/∂ v a = p a at ∂L/∂ r a = p a (∙) sa view ng arbitrariness ng δφ, nakukuha namin ang d/dt Σ(a) [ r a p a ] = 0. Ang halaga М = Σ(a) [ r a p a ], na tinatawag na angular momentum, ay nananatiling pare-pareho, i.e. integral ng paggalaw.

6. Dynamics ng isang ganap na matibay na katawan. Tensor ng pagkawalang-galaw. Euler equation. Ang isang matibay na katawan ay isang sistema ng mga materyal na punto, ang distansya sa pagitan nito ay nananatiling pare-pareho. Para sa kumpletong paglalarawan ng galaw ng isang matibay na katawan, bilang karagdagan sa paggalaw ng isa sa mga punto nito, kinakailangang malaman ang paggalaw ng katawan malapit sa puntong ito bilang isang fixing point. Hayaang maayos ang katawan sa puntong O. Tinutukoy namin ang radius vector ng puntong m i na may paggalang sa O r ako, w ay ang instant angular velocity ng katawan, pagkatapos ay ang angular momentum L= Σ [ r ako* ako v i ] = Σ = wΣ - Σ . Ang pagkakapantay-pantay ng vector na ito ay maaaring isulat bilang tatlong projection sa mga coordinate axes L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Kung ganoon ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z nakukuha natin L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , kung saan J xx = Σ , J xy = Σ , ang iba ay magkatulad. Ang mga halagang J xx , J yy , J zz ay tinatawag na axial moments of inertia, at J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy ay tinatawag na centrifugal moments of inertia. Ang hanay ng mga halaga J ij ay tinatawag na inertia tensor. Ang mga elemento ng J ii ay tinatawag na dayagonal. Kung ang lahat ng mga off-diagonal na elemento ay katumbas ng zero, pagkatapos ay sinasabi nila na ang mga axes ng katawan na tumutugma sa mga coordinate axes ay ang mga pangunahing axes ng inertia, at ang mga dami ng J ii ay tinatawag na pangunahing mga sandali ng inertia. Ang nasabing tensor ay nabawasan sa isang diagonal na anyo.

Euler equation. Ang equation ng paggalaw ng sentro ng masa ng katawan ay may anyo na m d v 0 /dt = md/dt ( w * r 0) = F, saan r Ang 0 ay ang radius vector ng sentro ng masa ng katawan, na iginuhit mula sa punto ng attachment nito. Ito ay maginhawa upang idirekta ang mga axes ng coordinate system na nauugnay sa katawan kasama ang mga pangunahing axes ng inertia. Sa kasong ito, ang angular momentum ay nakakakuha ng isang simpleng anyo L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , at w i ay ang mga projection ng angular velocity papunta sa coordinate axes na gumagalaw nang magkasama kasama ang katawan. Gamit ang pangkalahatang pormula d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, maaari nating katawanin ang equation ng mga sandali tulad ng sumusunod: ∂ L/∂t + w * L = M. Isinasaalang-alang na L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , muli naming isinusulat ang equation na ito sa mga projection papunta sa mga axes ng gumagalaw na coordinate system: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Ang mga equation na ito ay tinatawag na Euler equation.

7. Paggalaw na nauugnay sa mga hindi inertial na frame ng sanggunian. Ang NISO ay isang sistema kung saan ang katawan ay gumagalaw nang may acceleration na may kaugnayan sa pahinga. mga sistema ng coordinate. Dito ang mga konsepto ng homogeneity at isotropy ng espasyo at oras ay hindi natutupad, dahil iba-iba ang tagal at haba sa NISO. Bilang karagdagan, nawala ang nilalaman ng batas ng 3rd Newton at ang mga batas sa konserbasyon. Ang dahilan para sa lahat ay ang mga puwersa ng pagkawalang-kilos na nauugnay lamang sa sistema ng coordinate, ang pusa. nakakaapekto sa paggalaw ng katawan. TAPOS. acceleration ay maaaring baguhin sa pamamagitan ng isang panlabas na puwersa o sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), kung saan ang Fi ay ang puwersa ng inertia, ang a ay ang acceleration. katawan sa IFR, a′-accel. ang parehong katawan sa NISO. Sa NISO, hindi natupad ang 1st Newton's law! Fi=-m(a′-a), ibig sabihin. ang mga inertial forces ay hindi sumusunod sa 3rd z-well ni Newton, dahil sila ay maikli ang buhay. Sa panahon ng paglipat mula sa ISO hanggang NISO, nawawala ang mga inertial na puwersa. Inertia Ang mga puwersa ay palaging nakadirekta laban sa mga talukap ng mata. panlabas na pwersa. Ang mga puwersa ng pagkawalang-kilos ay maaaring idagdag sa vectorially. Sa ISO: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . Ang mga konsepto ng absolute, relative at translational na bilis ay ipinakilala sa NISO: u 0 - absolute speed, isang 0 - relative acceleration. natutulog mga sistema ng coordinate.

u x 0 \u003d v + u x 0 ’; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ’ a x - relatibong bilis at acceleration. paggalaw mga sistema ng coordinate. (kamag-anak) ; v, a′-bilis. at binilisan. ang k′ ay tumutukoy. k, ibig sabihin. portable na bilis at acceleration

8. Ang prinsipyo ng pagkakaiba-iba ni Hamilton. (prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos).

Mayroong isang -function ng pangkalahatang coordinate, bilis, oras. Isaalang-alang ang isang 2S dimensional space, pagkatapos ay ang posisyon ng system S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L ay ang Lagrange function; S-aksyon. Ang function ng aksyon ay tinatawag na itnegral S=∫ Ldt=0, kasama ang pusa. kinuha kasama ang tunay na tilapon ng paggalaw, ang sistema ay magkakaroon ng isang minimum na halaga, i.e. S=Smin, δS=0. Yung. ang sistema mula 1 hanggang 2 ay gumagalaw sa isang tilapon na ang pagkilos nito ay minimal - ang prinsipyo ng Hamilton na hindi bababa sa pagkilos. L = T - U ay ang pagkakaiba sa pagitan ng kinetic at potensyal na enerhiya ng system. Ayon kay Hamilton, ang totoong tilapon ay tumutugma sa pinakamababang aksyon. Maghanap tayo ng trajectory. Ang aktwal na tilapon ay ang pinakamababang tilapon. S-functional. Hanapin natin ang min. δS = 0 unang variation. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg hindi ako umaasa sa isa't isa
=0
sa aktwal na trajectory, ang sumusunod na equation ay dapat matugunan:
- Lagrange equation (para sa anumang i= 1,…S).

9. Mga oscillation ng mga system na may isa at maraming antas ng kalayaan. Libre at sapilitang vibrations . Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang sistema ay may isang antas ng kalayaan. Ang isang matatag na equilibrium ay tumutugma sa ganoong posisyon ng system, sa pusa. kanyang potensyal. en. Ang U(q) ay may pinakamababa. Ang paglihis sa posisyong ito ay humahantong sa paglitaw ng isang puwersa - dU/dq, na may posibilidad na ibalik ang sistema. q 0 - pangkalahatang coordinate. Pinapalawak namin ang U(q) - U(q0) sa mga kapangyarihan at nakakuha ng U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 kung saan ang k \u003d U '' (q 0) ay isang positibong koepisyent . U(q 0) \u003d 0, tinutukoy namin ang x \u003d q - q 0 - ang paglihis ng coordinate mula sa halaga ng equilibrium, kung gayon ang U (x) \u003d kx 2 / 2 ay potensyal na enerhiya. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetic energy sa q = q0 at a(q0) = m makuha natin ang Lagrange function para sa isang system na nagsasagawa ng one-dimensional oscillations: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2/2. Ang equation ng paggalaw na naaayon sa function na ito ay magiging: mx(∙∙) + kx = 0 o x(∙∙) + w 2 x = 0, kung saan ang w = √(k/m) ay ang cyclic oscillation frequency. Ang solusyon sa mga ur-th na ito ay x \u003d isang cos (wt + α) kung saan ang a ay ang amplitude ng mga oscillations, ang wt + α ay ang yugto ng mga oscillations. pagkatapos. ang enerhiya ng oscillating system ay magiging E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Sapilitang panginginig ng boses. Sa kasong ito, kasama ang sarili nitong potensyal na enerhiya ½ kx 2, ang system ay mayroon ding potensyal na enerhiya U e (x, m) na nauugnay sa pagkilos ng isang panlabas na field. Alinsunod dito, ang Lagrange function ng naturang sistema ay magiging: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), kung saan ang F(t) ay isang panlabas na puwersa.

Ang katumbas na equation ng paggalaw ay magiging mx(∙∙) + kx = F(t), o x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Kung ang F(t) ay isang simpleng periodic function ng oras na may ilang frequency γ: F(t) = f cos(γt + β) kung gayon ang solusyon sa mga equation ng motion ay magiging: X = a cos(wt + α) + Ang f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a at α ay tinutukoy mula sa mga unang kundisyon. yun. sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersang nagtutulak, ang sistema ay gumagawa ng isang kilusan na kumakatawan sa isang kumbinasyon ng dalawang oscillations - na may natural na dalas ng sistema w at may dalas ng puwersang nagtutulak - γ. Mga oscillation ng mga system na may maraming antas ng kalayaan . Pot. en. ang sistema U(q i) ay may pinakamababa sa q i =q i 0 . Ang pagpapakilala ng maliliit na displacement x i = q i - q i 0 at pagpapalawak ng U sa mga ito na may katumpakan ng mga termino ng ika-2 order, nakuha namin ang potensyal. enerhiya: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. en. para sa naturang sistema ay magiging 1/2 Σ(i,k) , kung saan m ik =m ki . Ang Lagrange equation para sa naturang sistema ay magiging: L = 1/2 Σ(i,k) . Pagkatapos dL = Σ(i,k) . Naghahanap kami ng x k (t) sa anyo x k \u003d A k exp (-iwt), A k ay isang pare-pareho. Ang pagpapalit nito sa Lagrange equation, nakakakuha tayo ng isang sistema ng linear homogeneous equation. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - characteristic equation, ito ay may iba't ibang ugat w 2 α (α=1,2,….,s) w α - natural na frequency ng ang sistema. Ang isang partikular na solusyon ng sistema ay may anyo: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Ang pangkalahatang solusyon ay ang kabuuan ng lahat ng partikular na solusyon: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], kung saan Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Canonical equation ng Hamilton. Ang isang bilang ng mga pakinabang sa pag-aaral ng mga katanungan ng mekanika ay ang paglalarawan sa tulong ng pangkalahatang mga coordinate at momenta, ang paglipat mula sa isang hanay ng mga independiyenteng variable patungo sa isa pa ay maaaring gawin ng pagbabagong Legendre. Sa kasong ito, bumababa ito sa mga sumusunod. Ang kabuuang pagkakaiba ng mga function ng Lagrange bilang isang function ng mga coordinate at velocities ay: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ang expression na ito ay maaaring isulat bilang dL = Σ(i) + Σ(i) . Isulat muli natin ito sa anyong: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Ang halaga sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian ay ang enerhiya ng system na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate at momenta, at ito ay tinatawag na Hamiltonian function: H (p, q, t) = Σ (i) - L. Mula sa dif. equalities dH = - Σ(i) + Σ(i) sundin ang mga equation: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i ay ang Hamiltonian equation. Sa view ng kanilang pagiging simple at mahusay na proporsyon, sila ay tinatawag din. kanonikal. Mga bracket ng Poisson. Ang derivative ng oras ng anumang function F ng mga pangkalahatang coordinate, momenta at oras ay dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ p i dpi /dt]. Gamit ang mga equation ni Hamilton, maaari nating muling isulat ang equation na ito sa sumusunod na anyo: dF/dt = ∂F/∂t + , kung saan = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - tinatawag. ang Poisson bracket. Malinaw, ang equation ni Hamilton ay maaaring isulat gamit ang Poisson bracket.

11. Hamilton–Jacobi equation . Sa prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos, mayroon tayong S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Isaalang-alang ang aksyon (S) bilang isang dami na nagpapakilala sa paggalaw sa mga totoong trajectory. Batay sa Lagrange equation para sa pagbabago ng aksyon kapag lumilipat mula sa isang tilapon patungo sa isa pang tilapon malapit dito (na may isang antas ng kalayaan), nakukuha natin ang: δS = pδq o para sa anumang bilang ng mga antas ng kalayaan: δS = Σ(i) . Kasunod nito na ang mga partial derivatives ng aksyon na may paggalang sa mga coordinate ay katumbas ng katumbas na momenta: ∂S/∂q i = p i (1). Sa pamamagitan ng kahulugan, dS/dt = L, sa kabilang banda, isinasaalang-alang ang S bilang isang function ng mga coordinate at oras at gamit ang formula (1), mayroon tayong: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S /∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Kung ihahambing ang parehong expression, nakukuha natin ang ∂S/∂t = L - Σ(i) o ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Ang mga formula (1), (2) ay maaaring isulat nang magkasama bilang dS = Σ(i) – Hdt. At ang aksyon (S) mismo ay magiging S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Para sa H na walang t, S(q,t)=S 0 (q) - Et, kung saan ang S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] ay isang pinaikling aksyon at ang Еt ay pinalitan ng H(p ,q). Ang function na S(q,t) ay nakakatugon sa isang tiyak na dif. equation na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga impulses Р na may kaugnayan (2) sa mga derivatives ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… Ang ,q s ,t) = 0 ay isang equation sa mga partial derivatives ng 1st order na tinatawag. Hamilton-Jacobi equation. Kaya, para sa isang particle sa isang panlabas na field U(x,y,z,t) mayroon itong anyo: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Mga pagpapapangit at stress sa mga solido. Young's moduli, gupit. Ang ratio ng Poisson . Ang pagpapapangit ay isang pagbabago sa hugis at dami ng isang katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga panlabas na puwersa. Sa ilalim ng pagkilos ng isang panlabas na puwersa, nagbabago ang hugis ng katawan. Ang lahat ng mga deformation sa kalikasan ay maaaring bawasan sa 3 m pangunahing mga deformation: 1) pag-igting, compression; 2) gupitin; 3) pamamaluktot. Matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng homogenous at inhomogeneous na mga deformation. Kung ang lahat ng mga bahagi ay deformed sa parehong paraan, pagkatapos ito pare-parehong deformed. Kung ang lahat ng bahagi ng katawan ay magkakaiba, kung gayon ito inhomogeneously deformed. Ang batas ni Hooke ay nasiyahan sa rehiyon ng tanging nababanat na pagpapapangit.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F control = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; F control \u003d ESx / l 0. Tinukoy ng batas ni Hooke ang relasyon sa pagitan ng  at . k ay ang koepisyent ng pagkalastiko, depende ito sa mga geometric na sukat, ang materyal na kung saan ginawa ang katawan. E ang modulus ni Young. Ang modulus ni Young ay katumbas ng puwersa na dapat ilapat sa isang katawan ng unit cross-section upang ang katawan nito ay tumaas ng 2 beses. Ang isa pang uri ng deformation ay shear deformation, ito ay sinusunod kapag ang ibabaw ay inilapat tangentially; ito ay parallel sa shear deformation surface, na sinusunod sa ilalim ng pagkilos ng tangential forces, ibig sabihin, ang mga pwersa ay inilapat nang tangentially. Ψ~F t /S (shift angle). Ψ = nF t /S; n ay ang shift factor. F t = nS. (E> N, E~ 4N).

Ang dami ng relasyon sa pagitan ng E at N ay ibinibigay sa pamamagitan ng Poisson's ratio. N = E/(2(1+μ)), kung saan ang  ay ang ratio ng Poisson. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Tinutukoy ng ratio ng Poisson ang pagbabago sa mga transverse na sukat sa panahon ng pag-igting o pag-compress.  0.5.

13. Mechanics ng mga likido at gas. Para sa lahat ng likido at gas, ang pinag-isang parameter ay: density ρ, presyon P=F n /S. Sa mga likido at gas, nagaganap ang modulus ng Young, ngunit hindi nagaganap ang shear modulus |σ|=|P|, σ - stress. Kung ang likido (gas) ay hindi gumagalaw, kung gayon kami ay nakikitungo sa hydrostatics (aerostatics). Mga katangiang batas: Batas ni Pascal: ang labis na presyon na nilikha sa mga gas at likido ay pantay na ipinapadala sa lahat ng direksyon. Ang Zn Archimedes ay may bisa para sa parehong mga likido at gas. Ang puwersa ng Archimedes ay palaging kumikilos laban sa puwersa ng grabidad. Ang dahilan ng paglitaw ng puwersa ng Archimedes ay ang pagkakaroon ng isang katawan na may volume na V. Z-n Archimedes: Ang isang katawan sa isang likido o gas ay palaging apektado ng isang puwersa na katumbas ng bigat ng likido o gas na inilipat ng nakalubog na bahagi ng ang katawan, at itinuro nang patayo pataas. Kung MABIGAT ang F A >F, lumulutang ang katawan, kung vice versa, lumulubog. Kung ang isang likido (gas) ay dumadaloy, ang jet continuity equation ay idinagdag sa mga equation na ito. Ang trajectory ng paggalaw ng isang particle sa isang fluid ay tinatawag. kasalukuyang linya. Ang bahagi ng espasyo na nalilimitahan ng kasalukuyang linya ay tinatawag. kasalukuyang tubo. Ang likido sa stream tube ay maaaring dumaloy nang hindi gumagalaw o hindi nakatigil. Ang agos ay tinatawag istasyon kung sa pamamagitan ng isang ibinigay na seksyon ng kasalukuyang tubo bawat yunit. Ang oras ay pumasa sa parehong dami ng likido (gas), kung hindi, ang daloy ng di-static. Hayaan tayong magkaroon ng kasalukuyang tubo ng sumusunod na anyo: Kung ang daloy ng likido ay static. Pagkatapos m 1 =m 2 =…=m n bawat yunit ng oras, kung ang likido ay hindi mapipigil, pagkatapos ay ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, dahil ang likido ay hindi mapipiga ρ ay pare-pareho υ 1 S 1 = 2 = υ 2 S = υ n S n , υS=const; υ=const/S ay ang jet continuity equation. p d v/dt = ρ g– grad P – eq. Euler - 2nd order. Newton para sa mga likido at gas. Ang batas ay pinangangalagaan. Enerhiya sa mga likido at gas. Lv. Bernoulli. Id. Naz. Isang incompressible fluid kung saan ang viscous friction forces ay maaaring mapabayaan. Ang kinetic energy ay hindi ginugugol sa paggawa ng trabaho laban sa frictional forces. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – eq. Bernoulli, ρυ 2/2 – dynamic na presyon, ρgh – hydrostat. Presyon, P - presyon ng molekular. Mυ 2 /2 \u003d E K; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2/2. Lakas ng malapot na friction F A = ​​​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – Stokes force. Η - koepisyent. lagkit, Δυ/ΔZ - grad υ, r - mga sukat ng katawan. Ito ang formula ni Newton para sa viscous friction forces. Kung mayroong mga puwersa ng alitan sa likido, pagkatapos ay id. Ang likido ay nagiging malapot. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2. Kung ΔP = 0, pagkatapos ay υ 2 2 - υ 1 2 = 0, at walang daloy ng likido. Kung saan mas malaki ang P, mayroong mabilis. Hindi gaanong kasalukuyang. Kung tumaas ang cross section S, tataas ang P at bababa ang υ. Kung ang kasalukuyang tubo ay hindi nakahiga nang pahalang, pagkatapos ay υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - Formula ni Torricelli.

1. Prinsipyo ng Hamilton-Ostrogradsky

Ito ngayon ay naging isa sa mga pangunahing prinsipyo ng mekanika. Para sa holonomic mechanical system, maaari itong direktang makuha bilang resulta ng prinsipyo ng d'Alembert-Lagrange. Sa turn, ang lahat ng mga katangian ng paggalaw ng holonomic mechanical system ay maaaring makuha mula sa prinsipyo ng Hamilton-Ostrogradsky.

Isaalang-alang ang paggalaw ng isang sistema ng mga materyal na punto na may kaugnayan sa ilang inertial frame of reference sa ilalim ng pagkilos ng mga aktibong pwersa. Tukuyin natin ang mga coordinate ng Cartesian ng punto bilang at ang mga independiyenteng coordinate ng Lagrangian bilang Ang relasyon sa pagitan ng mga coordinate ng Cartesian at Lagrangian ay ibinibigay ng mga relasyon

Sa mga sumusunod, ipagpalagay namin na ang mga coordinate ay kinakatawan ng single-valued, tuloy-tuloy, at arbitraryong naiba-iba na mga function ng mga variable. Bilang karagdagan, ipagpapalagay namin na mula sa bawat posisyon ng system, ang mga parameter ay maaaring magbago pareho sa positibo at negatibong direksyon . Isasaalang-alang namin ang paggalaw ng system simula sa isang tiyak na sandali ng oras hanggang sa sandaling Hayaan ang paunang posisyon ng system na tumutugma sa mga halaga

Ang mga coordinate ng Lagrangian at ang posisyon ng system sa ngayon - mga halaga Ipakilala natin sa pagsasaalang-alang -dimensional na pinahabang espasyo ng mga coordinate at oras kung saan ang isang punto ay tumutugma sa bawat tiyak na posisyon ng system. Sa naturang pinalawak na -dimensional na espasyo, ang paggalaw ng system ay kinakatawan ng isang tiyak na kurba, na tatawaging tilapon ng sistema sa mga sumusunod. Dalawang puntos ang tumutugma sa inisyal at panghuling posisyon ng system dito. Sa aktwal na paggalaw ng system mula sa posisyon patungo sa posisyon, ang mga coordinate ng Lagrangian ay patuloy na nagbabago, na tumutukoy sa isang curve sa -dimensional na espasyo, na tatawagin natin ang tunay na tilapon ng system. Posibleng gawin ang system na lumipat alinsunod sa mga hadlang na ipinataw sa system mula sa posisyon patungo sa posisyon sa parehong agwat ng oras, ngunit kasama ang ibang trajectory, malapit sa tunay, nang hindi nababahala tungkol sa kasiyahan sa mga equation ng paggalaw. Tinatawag namin ang naturang trajectory sa -dimensional na espasyo bilang roundabout trajectory. Paghahambing ng mga galaw sa aktuwal at detour na mga trajectory, itakda natin sa ating sarili ang layunin ng pagtukoy sa aktwal na trajectory sa pagitan ng mga detour. Hayaan ang posisyon ng system sa isang sandali sa aktwal na tilapon ay minarkahan ng isang punto P, at ang posisyon ng system sa parehong oras sa isang rotonda na tilapon - na may isang puntong P (Larawan 252).

Ang isang segment na nagkokonekta sa dalawang punto sa magkaibang mga trajectory sa parehong oras ay kumakatawan sa posibleng paggalaw ng system sa sandaling ito. Ito ay tumutugma sa isang pagbabago sa mga coordinate ng Lagrangian sa sandaling ito kapag lumilipat mula sa posisyon P patungo sa posisyon P sa pamamagitan ng isang halaga. Ang posibleng ang paggalaw ng system ay tumutugma sa mga pagkakaiba-iba sa mga coordinate ng Cartesian, na maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba-iba ng mga coordinate ng Lagrange sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang ang isang arbitrary na isang parameter na pamilya ng "mga tilapon"

ang bawat isa ay nag-uugnay sa mga puntong dumadaan sa kanila sa mga oras, ayon sa pagkakabanggit, at hayaan ang halaga ng parameter na tumutugma sa aktwal na tilapon (direktang landas) na dinaraanan ng system sa oras mula sa posisyon patungo sa posisyon , ibig sabihin, lahat ng iba pang tilapon na nagkokonekta sa mga punto sa Ang paggalaw ng system sa anumang trajectory ay tumutugma sa isang pagbabago sa mga coordinate ng Lagrangian dahil sa isang pagbabago sa oras kung kailan nananatiling hindi nagbabago ang parameter na a. Ang parameter a ay magbabago lamang kapag lumipat mula sa isang tilapon patungo sa isa pa. Ang pagkakaiba-iba ng coordinate ay tutukuyin bilang sumusunod:

at ang time derivative ng coordinate ay magkakaroon ng form

Hayaang ang mga coordinate ng Lagrangian ay single-valued tuloy-tuloy na differentiable function ng . Pagkatapos

Ang mga nakuhang relasyon sa mekanika ay tinatawag na "permutable". Ang mga pagpapatakbo ng differentiation ay permutable lamang kapag ang lahat ng mga coordinate ay independyente at hindi konektado ng mga di-integrable na relasyon.

Ipakita natin na ang permutability ng mga operasyon ng variation at differentiation ay valid din para sa Cartesian coordinate. Hayaan

Isaalang-alang ang time derivative ng

Sa kabila,

Ang pagbabawas ng pangalawang pagkakapantay-pantay mula sa una, nakukuha natin

kung saan ito sumusunod

i.e. ang mga operasyon ng pagkita ng kaibhan at pagkakaiba-iba ay nababago rin para sa mga coordinate ng Cartesian, kung ang holonomic ideal na mga hadlang lamang ang ipapataw sa sistema ng mga materyal na puntos.

Magpatuloy tayo sa kahulugan ng aktwal na trajectory sa lahat ng mga detour. Ang aktwal na paggalaw ng system ay nangyayari alinsunod sa prinsipyo ng d'Alembert-Lagrange

na tumutukoy sa "trend" ng totoong paggalaw (aktwal na paggalaw) sa bawat sandali ng panahon. Isaalang-alang ang integral

kinuha kasama ang aktwal na trajectory ng system. Lahat ng pinaghahambing na mga tilapon ng system ay nagsisimula sa parehong oras at mula sa parehong punto sa -dimensional na espasyo. Lahat sila ay nagtatapos sa parehong punto sa parehong sandali sa oras. Samakatuwid, sa mga dulo ng mga trajectory sa , ang mga kondisyon

Binabago namin ang resultang equation sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi ng expression

at dahil ang mga pagkakaiba-iba ay naglaho sa mga dulo ng tilapon, mayroon kami

Dahil sa commutability ng mga operasyon ng differentiation at variation, mayroon kami

pagkatapos kung saan ang equation ay kinuha ang form

Sa form na ito, ang resultang equation ay nagpapahayag ng "prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos" ni Hamilton para sa mga pangkalahatang mekanikal na sistema. Sa totoong trajectory ng system, ang integral ng function ay naglalaho

Kung ang mga puwersang kumikilos sa sistema ay may puwersang pag-andar , kung gayon ang sumusunod na kaugnayan ay mayroong:

at ang equation sa itaas ay nasa anyo

Dahil ang variation ay hindi nauugnay sa isang pagbabago sa oras, ang mga operasyon ng variation at integration ay maaaring palitan:

i.e. ang integral sa totoong tilapon ay may nakatigil na halaga.

Ipinakita namin ang pangangailangan para sa isang nakatigil na halaga ng integral sa totoong tilapon. Ipakita natin na ang pagkawala ng integral variation ay isang sapat na kondisyon para sa aktwal na paggalaw ng system. Upang gawin ito, sapat na upang makuha ang mga equation ng paggalaw ng sistema mula sa prinsipyo ni Hamilton.

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na may holonomic ideal na mga hadlang, na ang posisyon ay tinutukoy ng mga coordinate ng Lagrangian at ang live na puwersa

depende sa pangkalahatang bilis, coordinate at oras. Isinasaalang-alang ang kilalang relasyon

Isulat muli natin ang prinsipyo ng Hamilton sa anyo

Nagsasagawa ng pagkakaiba-iba ng lakas-tao

at pagkatapos ay pagsasama-sama ng mga bahagi

dahil sa mga dulo ng pagitan ang mga pagkakaiba-iba ng mga coordinate ay katumbas ng zero, mula sa prinsipyo ng Hamilton na nakuha namin

Ang mga pagkakaiba-iba ay arbitrary at independiyente sa loob ng agwat, at pagkatapos, sa bisa ng pangunahing lemma ng calculus ng mga pagkakaiba-iba, ang pagkakapantay-pantay ay magiging posible lamang kapag ang lahat ng mga koepisyent ay nawala, ibig sabihin, kapag ang mga kondisyon

Ang mga resultang equation ay dapat na wasto sa aktwal na paggalaw ng mekanikal na sistema. Ang kasapatan ng prinsipyo ni Hamilton ay pinatunayan ng katotohanan na ang mga equation na ito ay ang mga equation ni Lagrange ng pangalawang uri, na naglalarawan sa paggalaw ng isang mekanikal na sistema kung saan ang holonomic ideal na mga hadlang ay ipinapataw.

Ang prinsipyo ng Hamilton para sa mga mekanikal na sistema na may holonomic ideal na mga hadlang ay maaari na ngayong mabuo bilang mga sumusunod:

Ang aktwal na paggalaw ng isang sistema na may holonomic ideal na koneksyon sa pagitan ng dalawang naibigay na posisyon ay naiiba sa kinematically na posibleng mga paggalaw sa pagitan ng mga posisyong ito na ginanap sa parehong agwat ng oras, dahil ang integral ay naglalaho sa tunay na paggalaw.

para sa lahat ng mga halaga na nakakatugon sa mga tinukoy na kundisyon.

Ang paggamit ng prinsipyo ng d'Alembert ay ginagawang posible na hindi isaalang-alang ang mga puwersa ng reaksyon ng mga bono at ginagawang posible na mag-aplay ng di-makatwirang pangkalahatang mga coordinate. Gayunpaman, ang pagkuha ng mga equation sa pangkalahatan na mga coordinate ay maaaring maging mahirap dahil sa pagkakaroon ng mga produktong scalar sa prinsipyo ng d'Alembert (2.13). Sa tulong ng mga pagbabagong-anyo ng coordinate, ang mga equation (2.13) ay maaaring ma-transform sa isang form na naglalaman lamang ng mga scalar function ng mga generalized na coordinate. Ipapahiwatig namin ang isa pang paraan, kapag ang isa ay pumasa mula sa prinsipyo ng d'Alembert patungo sa integral na prinsipyo ng variational. Ang derivation ng mga equation ng mechanics mula sa variational na prinsipyo ay naging posible upang makakuha ng maraming mahahalagang resulta. Sa hinaharap, ang mga prinsipyo ng variational ay nagsimulang gamitin sa ibang mga lugar ng teoretikal na pisika.

Isaalang-alang ang kaso kapag ang mga puwersa ay may potensyal. Pagkatapos ang virtual na gawain ng mga pwersa ay isusulat sa form (2.14)

Sa pangkalahatan, ang potensyal na enerhiya ay maaaring depende sa oras. Dahil ang pagkakaiba ay kinakalkula sa isang nakapirming halaga, hindi ito makakaapekto sa mga konklusyon sa anumang paraan. Kapag gumagamit ng mga pangkalahatang coordinate, ang potensyal na enerhiya ay sa huli ay isang function ng mga pangkalahatang coordinate. Pagkatapos ang pagkakaiba-iba ng potensyal na enerhiya ay magkakaroon ng anyo

(2.15)

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga expression (1.12), ang mga bahagyang derivatives ng potensyal na enerhiya na may paggalang sa mga pangkalahatang coordinate ay tinatawag Pangkalahatang pwersa:

Upang baguhin ang mga termino na may mga acceleration tungo sa isang pagkakaiba-iba mula sa isang scalar function, isinasama muna namin ang equation (2.9) sa oras: . (2.17)

(2.18)

Ipagpalagay namin na ang inisyal sa sandali ng oras at ang huling posisyon sa sandali ng oras ng sistema ng mga materyal na punto ay ibinibigay. Samakatuwid, para sa mga sandaling ito ng oras ito ay katumbas ng zero, at ang unang termino sa (2.18) ay naglalaho. Dahil ang mga variation ng coordinate ay isinasaalang-alang para sa mga nakapirming oras, ang derivative ng oras at variation ay maaaring palitan. Ang pangalawang termino sa (2.18) ay binago sa anyo

(2.19)

Ang parehong mga pagbabago ay maaaring gawin para sa lahat ng mga coordinate ng lahat ng mga materyal na punto. Isinasaalang-alang din namin ang expression (2.14) para sa virtual na gawain sa mga tuntunin ng potensyal na function. Bilang resulta, para sa integral (2.17) ay nakukuha natin

. (2.20) Ang pagkakaiba sa pagitan ng kinetic at potensyal na enerhiya na kasama sa huling mga integral sa formula (2.20) ay tinatawag Lagrange function at may marka ng titik . Ang Lagrange function ay nakasalalay sa mga coordinate at bilis ng mga punto ng materyal. Kapag pumasa sa pangkalahatang mga coordinate, ito ay ipinahayag sa mga tuntunin ng pangkalahatang mga coordinate at pangkalahatang bilis:

Maaaring hindi kasama ang oras sa Lagrange function. Ang integral mula sa (2.20) ay tinutukoy ng isang titik at tinatawag aksyon; (2.22)

Pagkatapos ipakilala ang mga notasyong ito, ang kundisyon (2.20) ay nasa anyo . (2.23)

Ang pagkakaiba-iba ng aksyon ay zero. Nangangahulugan ito na ang aksyon ay may extremum, tumatagal sa pinakamalaki o pinakamaliit na halaga, kung ang mga function na naglalarawan sa paggalaw ng mekanikal na sistema ay pinapalitan sa integral (2.22) bilang isang dependence. Samakatuwid, ang action extremum condition ay maaaring gamitin upang mahanap ang batas ng paggalaw ng isang sistema ng mga materyal na punto.

Ngayon ay maaari na tayong magbalangkas mahalagang prinsipyo, tinawag Prinsipyo ni Hamilton: Ang paggalaw ng isang mekanikal na sistema sa loob ng isang takdang panahon mula sa dati Nangyayari ito sa paraang may extremum ang aksyon.

Para sa mga konserbatibong sistema, ang prinsipyo ni Hamilton ay katumbas ng mga batas ni Newton. Samakatuwid, maaari itong isaalang-alang ang pangunahing prinsipyo ng mekanika, kung saan nagmula ang lahat ng mga equation ng mekanika. Ito ay isang variational na prinsipyo, dahil ang pag-asa ng mga pangkalahatang coordinate sa oras ay matatagpuan mula sa kondisyon ng minimum na integral ng aksyon. Ang isa sa mga pakinabang ng paglalapat ng prinsipyo ni Hamilton ay kasama lamang nito ang mga scalar function na maaaring kalkulahin muli sa mga arbitraryong pangkalahatang coordinate. Samakatuwid, ang mga equation na sumusunod mula sa variational na prinsipyo ay agad na nakasulat sa pangkalahatan na mga coordinate. Ang pagkuha ng mga equation ng mekanika mula sa variational na prinsipyo ay naging posible upang malutas ang isang bilang ng mga pangunahing katanungan ng klasikal na mekanika.

LECTURE 2 ELECTRON - WAVE AT PARTICLE

Tingnan natin ang eksperimentong ito. Ang mga electron ng isang tiyak na enerhiya, na lumilipad mula sa isang pinagmulan, ay isa-isang dumaan sa maliliit na butas sa isang hadlang na inilagay sa kanilang landas, at pagkatapos ay mahuhulog sa isang photographic plate, o sa isang luminescent na screen, kung saan sila ay nag-iiwan ng bakas. Matapos ang pagbuo ng photographic plate, makikita ng isa dito ang isang hanay ng mga alternating light at dark stripes, i.e. isang pattern ng diffraction, na isang medyo kumplikadong pisikal na kababalaghan, kabilang ang, sa katunayan, diffraction (ibig sabihin, ang pag-ikot ng isang balakid sa pamamagitan ng isang alon) at interference (superposisyon ng mga alon).

Nang walang pag-iisip sa mga detalye, isaalang-alang natin ang hindi pangkaraniwang bagay na ito. Pansinin namin ang mga sumusunod na puntos:

− parehong diffraction at interference na naobserbahan sa naturang eksperimento

kasama mga electron, pinag-uusapan nila ang pagpapakita ng mga katangian ng alon sa pamamagitan ng mga ito (at, sa pangkalahatan, sa pamamagitan ng mga microparticle), dahil ang mga alon lamang ang nakakapaglibot sa isang balakid at nagsasapawan sa isa't isa sa punto ng pagpupulong;

- kahit na ang mga electron ay dumaan sa butas nang paisa-isa (i.e. na may malaking pagitan), ang resultang pattern ng diffraction ay nananatiling kapareho ng sa napakalaking paghihimay, na nangangahulugang

tungkol sa ang pagpapakita ng mga katangian ng alon ng bawat indibidwal na elektron;

− upang ipaliwanag ang diffraction ng mga electron, kinakailangan na ihambing sa kanilang paggalaw ilang function ng wave, ang mga katangian nito ay dapat matukoy ang naobserbahang pattern ng diffraction. Ngunit dahil mayroong function ng wave, dapat mayroong wave equation, ang solusyon kung saan ang function na ito.

Kaya, sisimulan natin ang pag-aaral hindi ng equation mismo, ngunit ng function, i.e. mga solusyon sa wave equation. Ngunit una, naaalala natin ang prinsipyo ni Hamilton, na gumagana bilang isang axiom sa quantum mechanics.

PRINSIPYO NG HAMILTON

Noong 1833 Si Sir Hamilton, sa kanyang akdang "On a General Method of Expressing the Paths of Light and Planets by the Coefficients of a Certain Characteristic Function," ay nagpaliwanag ng ideya, na ang mga sumusunod:

Ang pagtatanghal ng mga batas ng mekanika ay karaniwang nagsisimula sa mga batas ni Newton. Ngunit, ang isa ay maaaring magsimula mula sa "ibang dulo", ibig sabihin, mula sa pagbabalangkas ng isang napaka-pangkalahatang pahayag, na tinatawag prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos. Ayon sa prinsipyong ito, ang tunay na paggalaw ng isang mekanikal na sistema (hindi katulad ng lahat ng iba pang naiisip nito

mga paggalaw) ay tumutugma sa sukdulan (at para sa isang sapat na maliit na agwat ng oras ∆ t = t 2 − t 1 − minimum) na halaga ng integral, na tinatawag na

ibinigay ng "aksyon" S = ∫ Ldt ,

kung saan ang L ay ilang function ng mga coordinate, velocities at, sa pangkalahatan, oras, na tinatawag na "Lagrange function".

Tulad ng ipinakita ni Hamilton, ang anumang dami sa mekanika ay tumutugma sa isang dami na kahalintulad nito sa geometrical na optika. Kaya, ang pagpapalaganap ng isang alon ng eroplano ay maaaring kinakatawan bilang isang displacement sa espasyo ng ibabaw ng isang pare-parehong yugto ϕ = const . Kasabay nito, ang paggalaw ng isang sistema ng magkatulad na mga punto ng materyal kasama ang isang bundle ng mga trajectory ay maaaring maiugnay sa paggalaw sa espasyo ng ilang ibabaw ng patuloy na pagkilos S = const . Ang pagkakatulad na "phase" - "aksyon" ay maaaring ipagpatuloy, kung gayon ang mga dami tulad ng enerhiya at dalas, pati na rin ang momentum at wave vector, ay magiging "katulad" (iyon ay, ang mga formula ay magkatulad, kahit na ang kahulugan ay naiiba).

E = − ∂ ∂ S t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S; k = ϕ .

− ″nabla″ operator na ipinakilala ni Hamilton

= ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k .

Ang optical-mechanical analogy na natuklasan ni Hamilton ay hindi nakaakit ng pansin sa loob ng higit sa 100 taon. At si de Broglie lamang ang nakaunawa sa kahalagahan ng pagkakatulad na ito para sa dalawahang katangian ng isang micro-object (tatalakayin natin ang kaugnayan ni de Broglie mamaya). Gayunpaman, para sa karagdagang trabaho, kailangan nating ihambing ang isang bagay sa isang mass ng pahinga at isang alon.

PLANE WAVE FORMULA.

Ayon sa prinsipyo ni Hamilton, ang one-dimensional na paggalaw ng isang electron (isang bagay na may rest mass) sa direksyon ng "x" axis ay maaaring iugnay sa isang eroplanong monochromatic wave:

	Ψ = A cos 2π					−νt
	Ψ = Isang kasalanan 2π					−νt

Ψ − amplitude (na may pinakamataas na absolute value A ),

λ - wavelength, ν - dalas, t - oras.

Ipakilala natin ang circular frequency ω = 2 πν at ang wave vector k = 2 λ π n ,

kung saan ang n ay isang unit vector na nagpapahiwatig ng direksyon ng paggalaw ng isang eroplanong alon; Pagkatapos:

Ψ = Acos(kx − ω t)

Ψ = Isang kasalanan(kx − ω t ) (6)

Ang expression (kx − ω t ) ay tinatawag na phase ng wave (ϕ ).

Mas maginhawang isulat ang expression (6) sa isang katumbas na kumplikadong anyo:

Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7)

kung saan ang A − ay maaari ding maging kumplikado. Ang expression na e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) ay ang Euler formula.

Ang function (8) ay periodic na may period 2 π n (n = 0, ± 1; ± 2;...). AT

(7) mayroong parehong wave at discrete na katangian na naaayon sa panahon (8). Kaya, ginawa namin ang unang hakbang patungo sa pagkuha ng function ng wave na maihahambing sa paggalaw ng isang libreng electron sa pamamagitan ng pagsulat ng formula (7).

MGA EKSPERIMENTO UPANG MAGHAHANAP NG MGA ELECTRONIC SHELLS.

Kaya, ang isang elektron ay maaaring maiugnay sa isang butil na walang rest mass, na nagpapakita ng mga katangian ng alon. Ang katotohanang ito ay unang hinulaang ng kilalang Pranses na pisiko na si Louis de Broglie noong 1924 batay sa prinsipyo ni Hamilton, at pagkatapos ay itinatag sa eksperimento noong 1927. Mga Amerikanong sina J. Davisson at A. Germer.

Iminungkahi ni Louis de Broglie na ang isang malayang gumagalaw na electron na may momentum p at enerhiya E ay maaaring iugnay sa isang wave na may wave vector k at frequency ω, at:

	p = h					(9) at E = h ω (10).

(Tandaan na h \u003d 2 h π \u003d 1.054 10 - 34 J s)

Ang mga relasyon na ito ay gumaganap ng isang natitirang papel sa kasaysayan ng paglikha ng quantum physics, dahil ang mga ito ay mga relasyon na napatunayan nang eksperimento. Unawain natin ang kakanyahan ng mga eksperimento nina Davisson at Gerrmer. Si Davisson, na pinag-aaralan ang pagmuni-muni ng mga electron mula sa mga solido, ay hinahangad na "masuri" ang pagsasaayos ng electric field na nakapalibot sa isang indibidwal na atom, i.e. naghanap ng mga electronic shell

ki atoms. Noong 1923 Kasama ang kanyang estudyanteng si G. Kansman, nakakuha siya ng mga kurba para sa pamamahagi ng mga nakakalat na electron sa mga anggulo depende sa bilis ng paunang (hindi nakakalat) na sinag.

Ang scheme ng pag-install ay napaka-simple, ang enerhiya ng beam, ang anggulo ng saklaw sa target, at ang posisyon ng detektor ay binago. Ayon sa klasikal na pisika, ang mga nakakalat na electron ay dapat lumipad palabas sa lahat ng direksyon. Ang kanilang intensity ay hindi dapat nakasalalay sa mga anggulo o enerhiya. Ito ang nangyari sa mga eksperimento nina Davisson at Kansman. Halos ..., ngunit mayroon pa ring maliit na maxima sa mga curve ng pamamahagi sa mga anggulo mula sa mga energies, ipinaliwanag sila ng inhomogeneity ng mga patlang na malapit sa mga target na atom. Iminungkahi ng mga German physicist na sina J. Frank at W. Elsasser na ito ay dahil sa electron diffraction. Nakatulong ang hindi pagkakaunawaan sa pagresolba sa kaso. Noong 1927 Si Davisson, kasama si Germer, ay nag-eksperimento sa isang nickel plate. Ang hangin ay hindi sinasadyang nakapasok sa pag-install, at ang ibabaw ng metal ay na-oxidized. Kinailangan na alisin ang oxide film sa pamamagitan ng pagsusubo ng kristal sa isang mataas na temperatura na pugon sa isang pagbabawas ng kapaligiran, pagkatapos ay ipinagpatuloy ang eksperimento. Ngunit iba ang resulta. Sa halip na isang monotonic (o halos monotonic) na pagbabago sa intensity ng mga nakakalat na electron na may anggulo, binibigkas na maxima at minima ang naobserbahan, ang posisyon kung saan nakasalalay sa enerhiya ng elektron. Ang dahilan para sa gayong matalim na pagbabago sa scattering pattern ay ang pagbuo ng nickel single crystals bilang resulta ng pagpapaputok, na nagsilbing diffraction gratings. Kung tama si de Broglie, at ang mga electron ay may mga katangian ng alon, kung gayon ang pattern ng scattering ay dapat maging katulad ng isang pattern ng X-ray, at ang pagkalkula ng pattern ng X-ray ay isinasagawa ayon sa formula ng Bragg, na kilala na. Kaya, para sa kaso na ipinapakita sa figure, ang anggulo α sa pagitan ng Bragg plane at ang direksyon ng maximum na pagkalat ng elektron ay 650 . Ang distansyang "a" na sinusukat ng pamamaraang X-ray sa pagitan ng mga eroplano sa Ni single crystal ay 0.091 nm.

Ang Bragg equation na naglalarawan sa posisyon ng maxima sa panahon ng diffraction ay may anyo: n λ = 2asin α (n ay isang integer).

Sa pag-aakalang n = 1 at paggamit ng mga pang-eksperimentong halaga ng ″a″

at ″ α ″ , nakukuha natin para sa λ :

λ = 2 0.091 sin 650 = 0.165 nm.

Formula ng De Broglie:

na nasa mahusay na pagsang-ayon sa eksperimento. Kasunod nito, ang mga katulad na resulta ay nakuha ni Tom-

son (1928) at noong 1930 ng maraming iba pang physicist.

Kaya, ang parehong eksperimento at teorya ay nagpakita ng duality ng pag-uugali ng elektron. Sa kabila ng rebolusyonaryong katangian ng pananaw na ito, ang panloob na istraktura ng elektron ay nanatiling hindi malinaw. Gayunpaman, ang mga kaganapan ay madalas na nangyayari sa agham, salamat sa kung saan posible na laktawan ang hindi malulutas na mga lugar ng kaalaman at gumawa ng ilang mga hakbang sa landas ng pag-unlad sa isang detour.

Noong 1920s, sa bukang-liwayway ng quantum mechanics, ang mga physicist ay nagtakda ng kanilang sarili ng isa pang gawain - upang bumuo ng mga mekanika ng microworld, i.e. hanapin ang mga batas na tumutukoy sa paggalaw ng isang electron sa iba't ibang kondisyon

kundisyon, nang hindi gumagamit ng mga modelong naglalarawan sa panloob na istraktura nito.

Kaya: mayroon kaming isang micro-object na may negatibong singil at isang tiyak na masa, na kahit papaano ay pinagsasama ang mga katangian ng isang alon at isang particle. Ang tanong ay: ano ang mga tampok ng pisikal na paglalarawan ng paggalaw ng naturang micro-object? Malinaw na ang isang feature. Ang paggalaw nang walang pagkawala ng enerhiya ay maaari lamang gawin ng isang particle na walang rest mass, na may eksklusibong mga katangian ng wave, iyon ay, isang photon. Ngunit ang isa pang tampok ng bagay na ito ay na ito ay walang pahinga. Ang pagsasama-sama ng dalawang tampok na ito ng isang microparticle ay nangangailangan ng mga espesyal na axiom, o mga prinsipyo. Ang isa sa mga pinakamahalagang prinsipyo para sa paglalarawan ng mga naturang bagay, na sa mailap na sandali ay nagbabago ng kanilang kakanyahan at nagpapakita ng alinman sa alon o corpuscular na mga katangian, ay ang prinsipyo ng kawalan ng katiyakan.