Oras na para i-disassemble mga paraan ng pagkuha ng ugat. Ang mga ito ay batay sa mga katangian ng mga ugat, sa partikular, sa pagkakapantay-pantay, na totoo para sa anumang hindi negatibong numero b.

Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ang mga pangunahing pamamaraan ng pagkuha ng mga ugat.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - ang pagkuha ng mga ugat mula sa mga natural na numero gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang talahanayan ng mga cube, atbp.

Kung ang mga talahanayan ng mga parisukat, cube, atbp. ay wala sa kamay, ito ay lohikal na gamitin ang paraan ng pagkuha ng ugat, na kung saan ay nagsasangkot ng decomposing ang root number sa simpleng mga kadahilanan.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng paninirahan, na posible para sa mga ugat na may kakaibang exponents.

Panghuli, isaalang-alang ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong hanapin nang sunud-sunod ang mga digit ng halaga ng ugat.

Magsimula na tayo.

Gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang talahanayan ng mga cube, atbp.

Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga talahanayan ng mga parisukat, cube, atbp. ay nagbibigay-daan sa pagkuha ng mga ugat. Ano ang mga talahanayan na ito?

Ang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer mula 0 hanggang 99 kasama (ipinapakita sa ibaba) ay binubuo ng dalawang zone. Ang unang zone ng talahanayan ay matatagpuan sa isang kulay-abo na background; sa pamamagitan ng pagpili ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na haligi, pinapayagan ka nitong gumawa ng isang numero mula 0 hanggang 99. Halimbawa, pumili tayo ng isang hilera ng 8 sampu at isang haligi ng 3 mga yunit, kasama nito naayos namin ang bilang na 83. Ang pangalawang zone ay sumasakop sa natitirang bahagi ng talahanayan. Ang bawat isa sa mga cell nito ay matatagpuan sa intersection ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na hanay, at naglalaman ng parisukat ng kaukulang numero mula 0 hanggang 99 . Sa intersection ng aming napiling hilera na 8 sampu at column 3 ng isa, mayroong isang cell na may numerong 6889, na siyang parisukat ng numerong 83.

Ang mga talahanayan ng mga cube, mga talahanayan ng ikaapat na kapangyarihan ng mga numero mula 0 hanggang 99 at iba pa ay katulad ng talahanayan ng mga parisukat, tanging ang mga ito ay naglalaman ng mga cube, ikaapat na kapangyarihan, atbp. sa pangalawang zone. kaukulang mga numero.

Mga talahanayan ng mga parisukat, cube, ikaapat na kapangyarihan, atbp. pinapayagan kang mag-extract ng square roots, cube roots, fourth roots, atbp. ayon sa pagkakabanggit mula sa mga numero sa mga talahanayang ito. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng kanilang aplikasyon sa pagkuha ng mga ugat.

Sabihin nating kailangan nating kunin ang ugat ng nth degree mula sa numero a, habang ang numero a ay nakapaloob sa talahanayan ng nth degree. Ayon sa talahanayang ito, nakita natin ang bilang b na ang a=b n . Pagkatapos , samakatuwid, ang bilang b ang magiging ninanais na ugat ng nth degree.

Bilang halimbawa, ipakita natin kung paano kinukuha ang cube root ng 19683 gamit ang cube table. Nahanap namin ang numerong 19 683 sa talahanayan ng mga cube, mula dito nalaman namin na ang numerong ito ay isang kubo ng numero 27, samakatuwid, .

Malinaw na ang mga talahanayan ng n-th degrees ay napaka-maginhawa kapag kumukuha ng mga ugat. Gayunpaman, ang mga ito ay madalas na wala sa kamay, at ang kanilang compilation ay nangangailangan ng isang tiyak na tagal ng oras. Bukod dito, madalas na kinakailangan upang kunin ang mga ugat mula sa mga numero na hindi nakapaloob sa kaukulang mga talahanayan. Sa mga kasong ito, ang isa ay kailangang gumamit ng iba pang mga paraan ng pagkuha ng mga ugat.

Decomposition ng root number sa prime factor

Ang isang medyo maginhawang paraan upang kunin ang ugat mula sa isang natural na numero (kung, siyempre, ang ugat ay nakuha) ay upang mabulok ang root number sa mga pangunahing kadahilanan. Ang kanyang ang kakanyahan ay ang mga sumusunod: pagkatapos na ito ay medyo madali upang katawanin ito bilang isang antas na may nais na tagapagpahiwatig, na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang halaga ng ugat. Ipaliwanag natin ang puntong ito.

Hayaang makuha ang ugat ng ika-n degree mula sa isang natural na bilang a, at ang halaga nito ay katumbas ng b. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay a=b n ay totoo. Ang bilang b bilang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng lahat ng prime factor nito p 1 , p 2 , …, p m sa anyong p 1 p 2 p m , at ang root number a sa kasong ito ay kinakatawan bilang (p 1 p 2 ... p m) n . Dahil ang decomposition ng numero sa prime factor ay natatangi, ang decomposition ng root number a sa prime factor ay magmumukhang (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , na ginagawang posible na kalkulahin ang halaga ng root bilang .

Tandaan na kung ang factorization ng root number a ay hindi maaaring katawanin sa anyo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , kung gayon ang ugat ng nth degree mula sa naturang numero a ay hindi ganap na nakuha.

Ating harapin ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Kunin ang square root ng 144 .

Desisyon.

Kung bumaling tayo sa talahanayan ng mga parisukat na ibinigay sa nakaraang talata, malinaw na makikita na 144=12 2 , kung saan malinaw na ang square root ng 144 ay 12 .

Ngunit sa liwanag ng puntong ito, kami ay interesado sa kung paano ang ugat ay nakuha sa pamamagitan ng decomposing ang root number 144 sa prime kadahilanan. Tingnan natin ang solusyong ito.

Mag-decompose tayo 144 hanggang sa pangunahing mga kadahilanan:

Ibig sabihin, 144=2 2 2 2 3 3 . Batay sa nagresultang pagkabulok, ang mga sumusunod na pagbabago ay maaaring isagawa: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Kaya naman, .

Gamit ang mga katangian ng antas at mga katangian ng mga ugat, ang solusyon ay maaaring mabuo nang medyo naiiba: .

Sagot:

Upang pagsama-samahin ang materyal, isaalang-alang ang mga solusyon ng dalawa pang halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang root value.

Desisyon.

Ang prime factorization ng root number 243 ay 243=3 5 . kaya, .

Sagot:

Halimbawa.

Ang halaga ba ng ugat ay isang integer?

Desisyon.

Upang masagot ang tanong na ito, i-decompose natin ang root number sa mga prime factor at tingnan kung maaari itong katawanin bilang isang cube ng isang integer.

Mayroon kaming 285 768=2 3 3 6 7 2 . Ang resultang agnas ay hindi kinakatawan bilang isang cube ng isang integer, dahil ang antas ng prime factor 7 ay hindi isang multiple ng tatlo. Samakatuwid, ang cube root ng 285,768 ay hindi ganap na kinuha.

Sagot:

Hindi.

Pagkuha ng mga ugat mula sa mga fractional na numero

Panahon na upang malaman kung paano kinukuha ang ugat mula sa isang fractional number. Hayaang isulat ang fractional root number bilang p/q . Ayon sa pag-aari ng ugat ng quotient, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod tuntunin sa ugat ng fraction: Ang ugat ng isang fraction ay katumbas ng quotient ng paghahati ng ugat ng numerator sa ugat ng denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkuha ng ugat mula sa isang fraction.

Halimbawa.

Ano ang square root ng common fraction 25/169.

Desisyon.

Ayon sa talahanayan ng mga parisukat, nakita namin na ang square root ng numerator ng orihinal na fraction ay 5, at ang square root ng denominator ay 13. Pagkatapos . Kinukumpleto nito ang pagkuha ng ugat mula sa isang ordinaryong fraction 25/169.

Sagot:

Ang ugat ng isang decimal fraction o isang mixed number ay kinukuha pagkatapos palitan ang root number ng mga ordinaryong fraction.

Halimbawa.

Kunin ang cube root ng decimal na 474.552.

Desisyon.

Katawanin natin ang orihinal na decimal bilang isang karaniwang fraction: 474.552=474552/1000 . Pagkatapos . Nananatili itong kunin ang mga ugat ng kubo na nasa numerator at denominator ng resultang fraction. Bilang 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 at 1 000=10 3 , pagkatapos at . Ito ay nananatiling lamang upang makumpleto ang mga kalkulasyon .

Sagot:

.

Pag-extract ng ugat ng negatibong numero

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng paninirahan sa pagkuha ng mga ugat mula sa mga negatibong numero. Kapag nag-aaral ng mga ugat, sinabi namin na kapag ang exponent ng ugat ay isang kakaibang numero, kung gayon ang isang negatibong numero ay maaaring nasa ilalim ng tanda ng ugat. Ibinigay namin ang gayong mga notasyon ng sumusunod na kahulugan: para sa isang negatibong numero −a at isang kakaibang exponent ng ugat 2 n−1, mayroon kaming . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagbibigay panuntunan para sa pagkuha ng mga kakaibang ugat mula sa mga negatibong numero: upang kunin ang ugat ng negatibong numero, kailangan mong kunin ang ugat ng kabaligtaran na positibong numero, at maglagay ng minus sign sa harap ng resulta.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang root value.

Desisyon.

Ibahin natin ang orihinal na expression upang lumitaw ang isang positibong numero sa ilalim ng root sign: . Ngayon ay pinapalitan namin ang pinaghalong numero ng isang ordinaryong fraction: . Inilapat namin ang panuntunan ng pagkuha ng ugat mula sa isang ordinaryong fraction: . Ito ay nananatiling kalkulahin ang mga ugat sa numerator at denominator ng resultang fraction: .

Narito ang isang buod ng solusyon: .

Sagot:

.

Bitwise na Paghahanap ng Root Value

Sa pangkalahatang kaso, sa ilalim ng ugat ay isang numero na, gamit ang mga diskarteng tinalakay sa itaas, ay hindi maaaring katawanin bilang ika-n na kapangyarihan ng anumang numero. Ngunit sa parehong oras, mayroong isang pangangailangan upang malaman ang halaga ng isang ibinigay na ugat, hindi bababa sa hanggang sa isang tiyak na tanda. Sa kasong ito, upang kunin ang ugat, maaari kang gumamit ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyong patuloy na makakuha ng sapat na bilang ng mga halaga ng mga digit ng nais na numero.

Ang unang hakbang ng algorithm na ito ay upang malaman kung ano ang pinakamahalagang bit ng root value. Upang gawin ito, ang mga numerong 0, 10, 100, ... ay sunud-sunod na itinataas sa power n hanggang sa makuha ang isang numerong lampas sa root number. Pagkatapos ay ang numero na itinaas namin sa kapangyarihan ng n sa nakaraang hakbang ay magsasaad ng kaukulang mataas na pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, isaalang-alang ang hakbang na ito ng algorithm kapag kinukuha ang square root ng lima. Kinukuha namin ang mga numerong 0, 10, 100, ... at kuwadrado ang mga ito hanggang sa makakuha kami ng numerong mas malaki sa 5 . Mayroon kaming 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , na nangangahulugan na ang pinakamahalagang digit ay ang digit ng mga yunit. Ang halaga ng bit na ito, pati na rin ang mga mas mababa, ay makikita sa mga susunod na hakbang ng root extraction algorithm.

Ang lahat ng mga sumusunod na hakbang ng algorithm ay naglalayong sa sunud-sunod na pagpipino ng halaga ng ugat dahil sa ang katunayan na ang mga halaga ng susunod na mga digit ng nais na halaga ng ugat ay matatagpuan, simula sa pinakamataas at paglipat sa pinakamababa. . Halimbawa, ang halaga ng ugat sa unang hakbang ay 2 , sa pangalawa - 2.2 , sa pangatlo - 2.23 , at iba pa 2.236067977 ... . Ilarawan natin kung paano matatagpuan ang mga halaga ng mga bit.

Ang paghahanap ng mga bit ay isinasagawa sa pamamagitan ng enumeration ng kanilang mga posibleng halaga 0, 1, 2, ..., 9 . Sa kasong ito, ang ika-n na kapangyarihan ng mga kaukulang numero ay kinakalkula nang magkatulad, at inihahambing ang mga ito sa root number. Kung sa ilang yugto ang halaga ng antas ay lumampas sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng digit na tumutugma sa nakaraang halaga ay itinuturing na natagpuan, at ang paglipat sa susunod na hakbang ng algorithm ng pagkuha ng ugat ay ginawa, kung hindi ito mangyayari, kung gayon ang halaga ng digit na ito ay 9 .

Ipaliwanag natin ang lahat ng mga puntong ito gamit ang parehong halimbawa ng pagkuha ng square root ng lima.

Una, hanapin ang halaga ng digit ng mga yunit. Uulitin namin ang mga halaga 0, 1, 2, …, 9 , pagkalkula ayon sa pagkakabanggit 0 2 , 1 2 , …, 9 2 hanggang sa makakuha kami ng halagang mas malaki kaysa sa radical number 5 . Ang lahat ng mga kalkulasyong ito ay maginhawang ipinakita sa anyo ng isang talahanayan:

Kaya ang halaga ng digit ng mga yunit ay 2 (dahil 2 2<5 , а 2 3 >5). Lumipat tayo sa paghahanap ng halaga ng ikasampung puwesto. Sa kasong ito, i-square namin ang mga numero 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, paghahambing ng nakuha na mga halaga sa root number 5:

Mula noong 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , kung gayon ang halaga ng ikasampung lugar ay 2 . Maaari kang magpatuloy sa paghahanap ng halaga ng hundredths na lugar:

Kaya ang susunod na halaga ng ugat ng lima ay natagpuan, ito ay katumbas ng 2.23. At para patuloy kang makahanap ng mga halaga pa: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin ang pagkuha ng ugat na may katumpakan ng hundredths gamit ang isinasaalang-alang na algorithm.

Una, tukuyin natin ang senior digit. Upang gawin ito, i-cube namin ang mga numero 0, 10, 100, atbp. hanggang sa makakuha tayo ng numerong higit sa 2,151.186 . Mayroon kaming 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , kaya ang pinaka makabuluhang digit ay ang tens digit.

Tukuyin natin ang halaga nito.

Mula noong 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186 , kung gayon ang halaga ng sampung digit ay 1 . Lumipat tayo sa mga yunit.

Kaya, ang halaga ng isang lugar ay 2 . Lumipat tayo sa sampu.

Dahil kahit na ang 12.9 3 ay mas mababa sa radikal na numero 2 151.186 , ang halaga ng ikasampung lugar ay 9 . Ito ay nananatiling gawin ang huling hakbang ng algorithm, ito ay magbibigay sa amin ng halaga ng ugat na may kinakailangang katumpakan.

Sa yugtong ito, ang halaga ng ugat ay makikita hanggang sa daan-daang: .

Sa pagtatapos ng artikulong ito, nais kong sabihin na maraming iba pang mga paraan upang kunin ang mga ugat. Ngunit para sa karamihan ng mga gawain, ang mga napag-aralan natin sa itaas ay sapat na.

Bibliograpiya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Mga formula ng ugat. mga katangian ng square roots.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Sa nakaraang aralin, nalaman natin kung ano ang square root. Panahon na upang malaman kung ano ang mga ito mga pormula para sa mga ugat, ano ang mga mga katangian ng ugat at kung ano ang maaaring gawin sa lahat ng ito.

Mga Root Formula, Root Property, at Mga Panuntunan para sa Mga Aksyon na may Roots- ito ay mahalagang ang parehong bagay. Nakakagulat na kakaunti ang mga formula para sa square roots. Na, siyempre, nakalulugod! Sa halip, maaari kang magsulat ng marami sa lahat ng uri ng mga formula, ngunit tatlo lamang ang sapat para sa praktikal at kumpiyansa na gawaing may mga ugat. Lahat ng iba ay dumadaloy mula sa tatlong ito. Bagama't maraming naliligaw sa tatlong pormula ng mga ugat, oo ...

Magsimula tayo sa pinakasimpleng. Narito siya:

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Sa maraming kaalaman na isang tanda ng karunungang bumasa't sumulat, ang alpabeto ay nasa unang lugar. Ang susunod, ang parehong "sign" na elemento, ay ang mga kasanayan ng karagdagan-pagpaparami at, katabi ng mga ito, ngunit baligtad sa kahulugan, mga pagpapatakbo ng aritmetika ng pagbabawas-dibisyon. Ang mga kasanayang natutunan sa malayong paaralan ng pagkabata ay nagsisilbi nang tapat araw at gabi: TV, pahayagan, SMS, At saanman tayo magbasa, sumulat, magbilang, magdagdag, magbawas, magparami. At, sabihin mo sa akin, madalas ka bang mag-ugat sa buhay, maliban sa bansa? Halimbawa, tulad ng isang nakakaaliw na problema, tulad ng, ang square root ng numero 12345 ... Mayroon pa bang pulbura sa mga flasks ng pulbos? Kaya ba natin? Oo, walang mas madali! Nasaan ang aking calculator ... At kung wala ito, hand-to-hand, mahina?

Una, linawin natin kung ano ito - ang square root ng isang numero. Sa pangkalahatan, "upang i-extract ang ugat mula sa isang numero" ay nangangahulugang gawin ang operasyon ng aritmetika na kabaligtaran ng pagtaas sa isang kapangyarihan - dito mayroon kang pagkakaisa ng mga magkasalungat sa aplikasyon sa buhay. sabihin nating ang isang parisukat ay isang multiplikasyon ng isang numero sa pamamagitan ng kanyang sarili, ibig sabihin, tulad ng itinuro nila sa paaralan, X * X = A o sa ibang notasyon X2 = A, at sa mga salita - "X squared ay katumbas ng A". Kung gayon ang kabaligtaran na problema ay ganito ang tunog: ang parisukat na ugat ng numerong A, ay ang numerong X, na, kapag ikinakawad, ay katumbas ng A.

I-extract ang square root

Mula sa kurso ng aritmetika ng paaralan, ang mga pamamaraan ng pagkalkula "sa isang haligi" ay kilala, na tumutulong upang maisagawa ang anumang mga kalkulasyon gamit ang unang apat na operasyon ng aritmetika. Sayang ... Para sa parisukat, at hindi lamang parisukat, ang mga ugat ng naturang mga algorithm ay hindi umiiral. At sa kasong ito, paano kunin ang square root nang walang calculator? Batay sa kahulugan ng square root, mayroon lamang isang konklusyon - ito ay kinakailangan upang piliin ang halaga ng resulta sa pamamagitan ng sequential enumeration ng mga numero, ang parisukat na kung saan ay lumalapit sa halaga ng root expression. Tanging at lahat! Ang isang oras o dalawa ay hindi magkakaroon ng oras upang pumasa, dahil maaari mong kalkulahin gamit ang kilalang paraan ng pagpaparami sa isang "haligi", anumang square root. Kung mayroon kang mga kasanayan, sapat na ang ilang minuto para dito. Kahit na ang isang hindi masyadong advanced na calculator o PC user ay ginagawa ito sa isang mabilisang pag-unlad.

Ngunit seryoso, ang pagkalkula ng square root ay madalas na ginagawa gamit ang "artillery fork" na pamamaraan: una, kumuha sila ng isang numero na ang parisukat ay humigit-kumulang na tumutugma sa root expression. Mas mabuti kung ang "aming parisukat" ay bahagyang mas mababa kaysa sa expression na ito. Pagkatapos ay itinatama nila ang numero ayon sa kanilang sariling kasanayan sa pag-unawa, halimbawa, i-multiply sa dalawa, at ... i-square ito muli. Kung ang resulta ay mas malaki kaysa sa numero sa ilalim ng ugat, sunud-sunod na inaayos ang orihinal na numero, unti-unting lumalapit sa "kasama" nito sa ilalim ng ugat. Tulad ng nakikita mo - walang calculator, tanging ang kakayahang magbilang "sa isang hanay". Siyempre, mayroong maraming mga siyentipikong katwiran at na-optimize na mga algorithm para sa pagkalkula ng square root, ngunit para sa "paggamit sa bahay" ang pamamaraan sa itaas ay nagbibigay ng 100% kumpiyansa sa resulta.

Oo, halos nakalimutan ko, upang kumpirmahin ang aming tumaas na karunungang bumasa't sumulat, kinakalkula namin ang square root ng dating ipinahiwatig na numero 12345. Ginagawa namin ito nang sunud-sunod:

1. Kunin, puro intuitively, X=100. Kalkulahin natin: X * X = 10000. Ang intuition ay nasa itaas - ang resulta ay mas mababa sa 12345.

2. Subukan natin, din puro intuitively, X = 120. Pagkatapos: X * X = 14400. At muli, na may intuwisyon, ang pagkakasunud-sunod - ang resulta ay higit sa 12345.

3. Sa itaas, isang "tinidor" na 100 at 120 ang nakuha. Pumili tayo ng mga bagong numero - 110 at 115. Nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, 12100 at 13225 - ang tinidor ay makitid.

4. Sinusubukan namin ang "siguro" X = 111. Nakukuha namin ang X * X = 12321. Ang numerong ito ay medyo malapit na sa 12345. Alinsunod sa kinakailangang katumpakan, ang "angkop" ay maaaring ipagpatuloy o ihinto sa resulta na nakuha. Iyon lang. Tulad ng ipinangako - ang lahat ay napaka-simple at walang calculator.

Medyo may kasaysayan...

Maging ang mga Pythagorean, mga mag-aaral ng paaralan at mga tagasunod ng Pythagoras, ay naisipang gumamit ng square roots, 800 BC. at doon mismo, "bumangga sa" mga bagong tuklas sa larangan ng mga numero. At saan ito nanggaling?

1. Ang solusyon ng problema sa pagkuha ng ugat, ay nagbibigay ng resulta sa anyo ng mga numero ng isang bagong klase. Tinawag silang hindi makatwiran, sa madaling salita, "hindi makatwiran", dahil. hindi sila nakasulat bilang isang kumpletong numero. Ang pinaka-klasikong halimbawa ng ganitong uri ay ang square root ng 2. Ang kasong ito ay tumutugma sa pagkalkula ng dayagonal ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng 1 - narito ito, ang impluwensya ng Pythagorean school. Ito ay lumabas na sa isang tatsulok na may isang napaka tiyak na laki ng yunit ng mga gilid, ang hypotenuse ay may sukat na ipinahayag ng isang numero na "walang katapusan." Kaya sa matematika ay lumitaw

2. Napag-alaman na ang mathematical operation na ito ay naglalaman ng isa pang catch - ang pag-extract ng ugat, hindi natin alam kung anong square kung aling numero, positibo o negatibo, ang root expression. Ang kawalan ng katiyakan na ito, ang dobleng resulta mula sa isang operasyon, ay isinulat.

Ang pag-aaral ng mga problemang nauugnay sa hindi pangkaraniwang bagay na ito ay naging direksyon sa matematika na tinatawag na teorya ng isang kumplikadong variable, na may malaking praktikal na kahalagahan sa matematikal na pisika.

Nakapagtataka na ang pagtatalaga ng ugat - radikal - ay ginamit sa kanyang "Universal Arithmetic" ng parehong nasa lahat ng dako na I. Newton, at eksakto ang modernong anyo ng pagsulat ng ugat ay kilala mula noong 1690 mula sa aklat ng Frenchman Roll na "Algebra Manual. ".

Ang lugar ng isang parisukat na plot ng lupa ay 81 dm². Hanapin ang kanyang panig. Ipagpalagay na ang haba ng gilid ng parisukat ay X desimetro. Kung gayon ang lugar ng balangkas ay X² square decimetro. Dahil, ayon sa kondisyon, ang lugar na ito ay 81 dm², kung gayon X² = 81. Ang haba ng gilid ng isang parisukat ay isang positibong numero. Ang isang positibong numero na ang parisukat ay 81 ay ang numero 9. Kapag nilutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang numerong x, ang parisukat na kung saan ay 81, ibig sabihin, lutasin ang equation X² = 81. Ang equation na ito ay may dalawang ugat: x 1 = 9 at x 2 \u003d - 9, dahil 9² \u003d 81 at (- 9)² \u003d 81. Ang parehong mga numero 9 at - 9 ay tinatawag na square roots ng numero 81.

Tandaan na ang isa sa mga square root X Ang = 9 ay isang positibong numero. Ito ay tinatawag na arithmetic square root ng 81 at denoted na √81, kaya √81 = 9.

Arithmetic square root ng isang numero a ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng a.

Halimbawa, ang mga numero 6 at -6 ay ang mga square root ng 36. Ang numero 6 ay ang arithmetic square root ng 36, dahil ang 6 ay isang non-negative na numero at 6² = 36. Ang numero -6 ay hindi isang arithmetic root.

Arithmetic square root ng isang numero a isinasaad ng sumusunod: √ a.

Ang tanda ay tinatawag na arithmetic square root sign; a ay tinatawag na root expression. Pagpapahayag √ a basahin tulad nito: ang arithmetic square root ng isang numero a. Halimbawa, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Sa mga kaso kung saan malinaw na pinag-uusapan natin ang tungkol sa aritmetika na ugat, maikli nilang sinasabi: "ang square root ng a«.

Ang gawain ng paghahanap ng square root ng isang numero ay tinatawag na pagkuha ng square root. Ang pagkilos na ito ay kabaligtaran ng pag-squaring.

Ang anumang numero ay maaaring i-squad, ngunit hindi lahat ng numero ay maaaring maging square roots. Halimbawa, imposibleng kunin ang square root ng numero - 4. Kung mayroong ganoong ugat, kung gayon, tinutukoy ito ng titik X, makakakuha tayo ng maling pagkakapantay-pantay x² \u003d - 4, dahil mayroong isang hindi negatibong numero sa kaliwa, at isang negatibong numero sa kanan.

Pagpapahayag √ a may sense lang kapag isang ≥ 0. Ang kahulugan ng square root ay maaaring maikli na isulat bilang: √ isang ≥ 0, (√a)² = a. Pagkakapantay-pantay (√ a)² = a wasto para sa isang ≥ 0. Kaya, upang matiyak na ang square root ng isang di-negatibong numero a katumbas b, ibig sabihin, na √ a =b, kailangan mong suriin na ang sumusunod na dalawang kundisyon ay natutugunan: b ≥ 0, b² = a.

Ang square root ng isang fraction

kalkulahin natin. Tandaan na √25 = 5, √36 = 6, at tingnan kung ang pagkakapantay-pantay ay nananatili.

Bilang at , kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Kaya, .

Teorama: Kung ang a≥ 0 at b> 0, ibig sabihin, ang ugat ng fraction ay katumbas ng ugat ng numerator na hinati sa ugat ng denominator. Kinakailangang patunayan na: at .

Dahil √ a≥0 at √ b> 0, pagkatapos .

Sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan at pagtukoy ng square root napatunayan ang teorama. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin , ayon sa napatunayang teorama .

Pangalawang halimbawa: Patunayan mo iyan , kung a ≤ 0, b < 0. .

Isa pang halimbawa: Kalkulahin .

.

Pagbabago ng square root

Paglabas ng multiplier mula sa ilalim ng tanda ng ugat. Hayaang magbigay ng ekspresyon. Kung ang a≥ 0 at b≥ 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem sa ugat ng produkto, maaari nating isulat:

Ang ganitong pagbabago ay tinatawag na factoring out ang root sign. Isaalang-alang ang isang halimbawa;

Kalkulahin sa X= 2. Direktang pagpapalit X= 2 sa radikal na expression ay humahantong sa mga kumplikadong kalkulasyon. Maaaring gawing simple ang mga kalkulasyong ito kung aalisin muna natin ang mga salik sa ilalim ng root sign: . Ngayon pinapalitan ang x = 2, nakukuha natin ang:.

Kaya, kapag inaalis ang factor mula sa ilalim ng root sign, ang radical expression ay kinakatawan bilang isang produkto kung saan ang isa o higit pang mga kadahilanan ay ang mga parisukat ng mga di-negatibong numero. Ang root product theorem ay pagkatapos ay inilapat at ang ugat ng bawat kadahilanan ay kinuha. Isaalang-alang ang isang halimbawa: Pasimplehin ang expression na A = √8 + √18 - 4√2 sa pamamagitan ng pagkuha ng mga salik mula sa ilalim ng root sign sa unang dalawang termino, makakakuha tayo ng:. Binibigyang-diin namin na ang pagkakapantay-pantay balido lamang kapag a≥ 0 at b≥ 0. kung a < 0, то .

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga problema, nahaharap tayo sa malalaking numero kung saan kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat. Maraming mga mag-aaral ang nagpasiya na ito ay isang pagkakamali at sinimulang lutasin ang buong halimbawa. Sa anumang pagkakataon dapat itong gawin! Mayroong dalawang dahilan para dito:

1. Ang mga ugat ng malalaking numero ay nangyayari sa mga problema. Lalo na sa text;
2. Mayroong isang algorithm kung saan ang mga ugat na ito ay itinuturing na halos pasalita.

Isasaalang-alang namin ang algorithm na ito ngayon. Marahil ang ilang mga bagay ay tila hindi maintindihan sa iyo. Ngunit kung bibigyan mo ng pansin ang araling ito, makakakuha ka ng pinakamalakas na sandata laban sa parisukat na ugat.

Kaya ang algorithm:

1. Limitahan ang gustong ugat sa itaas at ibaba sa multiple ng 10. Kaya, babawasan namin ang hanay ng paghahanap sa 10 numero;
2. Mula sa 10 numerong ito, alisin ang mga tiyak na hindi maaaring maging ugat. Bilang resulta, 1-2 numero ang mananatili;
3. Kuwadrado ang 1-2 na numerong ito. Ang sa kanila, ang parisukat na katumbas ng orihinal na numero, ang magiging ugat.

Bago ilapat ang algorithm na ito ay gumagana sa pagsasanay, tingnan natin ang bawat indibidwal na hakbang.

Pinipigilan ng mga ugat

Una sa lahat, kailangan nating alamin kung aling mga numero ang matatagpuan sa ating ugat. Ito ay lubos na kanais-nais na ang mga numero ay isang maramihang ng sampu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kumuha kami ng isang serye ng mga numero:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ano ang ibinibigay sa atin ng mga numerong ito? Simple lang: nakakakuha tayo ng mga hangganan. Kunin, halimbawa, ang bilang na 1296. Ito ay nasa pagitan ng 900 at 1600. Samakatuwid, ang ugat nito ay hindi maaaring mas mababa sa 30 at mas malaki sa 40:

[caption ng figure]

Ang parehong ay sa anumang iba pang numero kung saan maaari mong mahanap ang square root. Halimbawa, 3364:

[caption ng figure]

Kaya, sa halip na isang hindi maintindihan na numero, nakakakuha kami ng isang napaka-espesipikong hanay kung saan namamalagi ang orihinal na ugat. Upang higit pang paliitin ang saklaw ng paghahanap, pumunta sa pangalawang hakbang.

Pag-aalis ng malinaw na labis na mga numero

Kaya, mayroon kaming 10 numero - mga kandidato para sa ugat. Natanggap namin ang mga ito nang napakabilis, nang walang kumplikadong pag-iisip at pagpaparami sa isang hanay. Panahon na para iwan ang nakaraan.

Maniwala ka man o hindi, ngayon ay babawasan namin ang bilang ng mga numero ng kandidato sa dalawa - at muli nang walang anumang kumplikadong mga kalkulasyon! Sapat na malaman ang espesyal na tuntunin. Heto na:

Ang huling digit ng parisukat ay nakasalalay lamang sa huling digit orihinal na numero.

Sa madaling salita, sapat na upang tingnan ang huling digit ng parisukat - at mauunawaan natin kaagad kung saan nagtatapos ang orihinal na numero.

Mayroon lamang 10 digit na maaaring nasa huling lugar. Subukan nating alamin kung ano ang kanilang nagiging kapag sila ay parisukat. Tingnan ang talahanayan:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ang talahanayan na ito ay isa pang hakbang patungo sa pagkalkula ng ugat. Tulad ng nakikita mo, ang mga numero sa pangalawang linya ay naging simetriko na may paggalang sa lima. Halimbawa:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Tulad ng nakikita mo, ang huling digit ay pareho sa parehong mga kaso. At nangangahulugan ito na, halimbawa, ang ugat ng 3364 ay kinakailangang magtatapos sa 2 o 8. Sa kabilang banda, naaalala natin ang paghihigpit mula sa nakaraang talata. Nakukuha namin ang:

[caption ng figure]

Ang mga pulang parisukat ay nagpapakita na hindi pa natin alam ang figure na ito. Ngunit pagkatapos ng lahat, ang ugat ay nasa pagitan ng 50 at 60, kung saan mayroon lamang dalawang numero na nagtatapos sa 2 at 8:

[caption ng figure]

Iyon lang! Sa lahat ng posibleng ugat, dalawang pagpipilian lang ang iniwan namin! At ito ay nasa pinakamahirap na kaso, dahil ang huling digit ay maaaring 5 o 0. At pagkatapos ay magkakaroon ng tanging kandidato para sa mga ugat!

Pangwakas na Pagkalkula

Kaya, mayroon kaming 2 numero ng kandidato na natitira. Paano mo malalaman kung alin ang ugat? Ang sagot ay malinaw: parisukat ang parehong mga numero. Ang isang parisukat ay magbibigay ng orihinal na numero, at magiging ugat.

Halimbawa, para sa numerong 3364, nakakita kami ng dalawang numero ng kandidato: 52 at 58. I-square natin ang mga ito:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Iyon lang! 58 pala ang ugat! Kasabay nito, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginamit ko ang formula ng mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Salamat dito, hindi mo na kinailangan pang i-multiply ang mga numero sa isang column! Ito ay isa pang antas ng pag-optimize ng mga kalkulasyon, ngunit, siyempre, ito ay ganap na opsyonal :)

Mga Halimbawa ng Pagkalkula ng Root

Maganda ang teorya, siyempre. Ngunit subukan natin ito sa pagsasanay.

[caption ng figure]

Una, alamin natin kung aling mga numero ang nasa 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ngayon tingnan natin ang huling numero. Ito ay katumbas ng 6. Kailan ito nangyayari? Lamang kung ang ugat ay nagtatapos sa 4 o 6. Makakakuha kami ng dalawang numero:

Ito ay nananatiling parisukat sa bawat numero at ihambing sa orihinal:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

ayos lang! Ang unang parisukat ay naging katumbas ng orihinal na numero. Kaya ito ang ugat.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[caption ng figure]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Tingnan natin ang huling numero:

1369 → 9;
33; 37.

I-square natin ito:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Narito ang sagot: 37.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[caption ng figure]

Nililimitahan namin ang bilang:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Tingnan natin ang huling numero:

2704 → 4;
52; 58.

I-square natin ito:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Nakuha namin ang sagot: 52. Ang pangalawang numero ay hindi na kailangang i-squad.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[caption ng figure]

Nililimitahan namin ang bilang:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Tingnan natin ang huling numero:

4225 → 5;
65.

Tulad ng nakikita mo, pagkatapos ng pangalawang hakbang, isang pagpipilian lamang ang natitira: 65. Ito ang nais na ugat. Ngunit i-square pa rin natin ito at suriin:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Lahat ay tama. Isinulat namin ang sagot.

Konklusyon

Naku, walang mas mahusay. Tingnan natin ang mga dahilan. Dalawa sila:

• Ipinagbabawal na gumamit ng mga calculator sa anumang normal na pagsusulit sa matematika, maging ito ang GIA o ang Unified State Examination. At sa pagdadala ng calculator sa silid-aralan, madali silang masisipa sa pagsusulit.
• Huwag maging tulad ng mga hangal na Amerikano. Na hindi tulad ng mga ugat - hindi sila maaaring magdagdag ng dalawang pangunahing numero. At sa paningin ng mga fraction, sa pangkalahatan sila ay nagiging masayang-maingay.