>>Math: Ano ang ibig sabihin ng notation y = f(x) sa mathematics

Ano ang ibig sabihin ng entry na y \u003d f (x) sa matematika

Kapag nag-aaral ng anumang tunay na proseso, karaniwang binibigyang pansin nila ang dalawang dami na kasangkot sa proseso (sa mas kumplikadong mga proseso, hindi dalawang dami ang kasangkot, ngunit tatlo, apat, atbp., ngunit hindi pa namin isinasaalang-alang ang mga naturang proseso): isa sa mga ito nagbabago na parang nag-iisa, anuman ang anuman (tinukoy namin ang gayong variable sa pamamagitan ng letrang x), at ang iba pang halaga ay tumatagal sa mga halaga na nakasalalay sa mga napiling halaga ng variable na x (tinukoy namin ang naturang dependent variable sa pamamagitan ng titik y). matematikal na modelo ang tunay na proseso ay tiyak ang talaan sa wikang matematikal ng pagtitiwala ng y sa x, i.e. relasyon sa pagitan ng x at y. Alalahanin muli na sa ngayon ay napag-aralan na natin ang mga sumusunod na modelo ng matematika: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2 .

May pagkakatulad ba ang mga mathematical model na ito? meron! Ang kanilang istraktura ay pareho: y = f(x).

Ang entry na ito ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: mayroong isang expression f (x) na may isang variable na x, sa tulong ng kung saan ang mga halaga ng variable y ay matatagpuan.

Mas gusto ng mga mathematician ang notasyon na y = f(x) para sa isang dahilan. Hayaan, halimbawa, f (x) \u003d x 2, i.e. nag-uusap kami tungkol sa mga function y = x 2. Ipagpalagay na kailangan nating pumili ng ilang mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng pag-andar. Sa ngayon ay nakasulat kami ng ganito:

kung x \u003d 1, pagkatapos ay y \u003d I 2 \u003d 1;
kung x \u003d - 3, pagkatapos ay y \u003d (- Z) 2 \u003d 9, atbp.

Kung gagamitin natin ang notasyon f (x) \u003d x 2, kung gayon ang notasyon ay nagiging mas matipid:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Kaya, nakilala namin ang isa pang fragment wikang matematikal: ang pariralang "ang halaga ng function na y \u003d x 2 sa punto x \u003d 2 ay 4" ay isinulat nang mas maikli:

"kung y \u003d f (x), kung saan f (x) \u003d x 2, pagkatapos f (2) \u003d 4."

At narito ang isang halimbawa ng isang baligtad na pagsasalin:

Kung y \u003d f (x), kung saan f (x) \u003d x 2, pagkatapos ay f (- 3) \u003d 9. Sa ibang paraan, ang halaga ng function na y \u003d x 2 sa punto x \u003d - 3 ay 9.

HALIMBAWA 1. Dahil sa isang function na y \u003d f (x), kung saan f (x) \u003d x 3. Kalkulahin:

a) f(1); b) f(- 4); c) f(o); d) f(2a);
e) f(a-1); f) f(3x); g) f(-x).

Desisyon. Sa lahat ng kaso, ang plano ng aksyon ay pareho: sa expression na f(x), kailangan mong palitan sa halip na x ang halaga ng argumento na ipinahiwatig sa mga bracket, at isagawa ang mga naaangkop na kalkulasyon at pagbabago. Meron kami:

Magkomento. Siyempre, sa halip na letrang f, maaari mong gamitin ang anumang iba pang titik (karamihan mula sa alpabetong Latin): g (x), h (x), s (x), atbp.

Halimbawa 2 Dalawang function ang ibinibigay: y \u003d f (x), kung saan f (x) \u003d x 2, at y \u003d g (x), kung saan g (x) \u003d x 3. Patunayan na:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)=-g(x).

Solusyon. a) Dahil f (x) \u003d x 2, pagkatapos ay f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2. Kaya, f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, pagkatapos ay f (- x) \u003d f (x)

b) Dahil g (x) \u003d x 3, pagkatapos g (- x) \u003d -x 3, i.e. g(-x) = -g(x).

Ang paggamit ng isang mathematical na modelo ng anyong y = f(x) ay lumalabas na maginhawa sa maraming mga kaso, lalo na, kapag ang tunay na proseso ay inilarawan ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang mga pagitan ng pagbabago ng independent variable.

Ilarawan natin ang ilang katangian ng function na y - f (x) gamit ang graph na binuo sa Figure 68 - ang ganitong paglalarawan ng mga katangian ay karaniwang tinatawag na pagbabasa ng graph.

Ang pagbabasa ng graph ay isang uri ng paglipat mula sa isang geometric na modelo (mula sa isang graphical na modelo) patungo sa isang verbal na modelo (sa isang paglalarawan ng mga katangian ng isang function). PERO
Ang plotting ay isang paglipat mula sa isang analytical na modelo (ito ay ipinakita sa kondisyon ng halimbawa 4) sa isang geometric na modelo.

Kaya, simulan nating basahin ang graph ng function na y \u003d f (x) (tingnan ang Fig. 68).

1. Ang independiyenteng variable na x ay tumatakbo sa lahat ng mga halaga mula -4 hanggang 4. Sa madaling salita, para sa bawat halaga ng x mula sa segment [-4, 4], maaari mong kalkulahin ang halaga ng function na f(x). Sinasabi nila ito: [-4, 4] - ang saklaw ng function.

Bakit, sa paglutas ng halimbawa 4, sinabi natin na imposibleng mahanap ang f(5)? Oo, dahil ang halaga x = 5 ay hindi kabilang sa saklaw ng function.

2. y naim = -2 (naabot ng function ang halagang ito sa x = -4); Sa nanb. = 2 (naaabot ng function ang halagang ito sa anumang punto ng kalahating pagitan (0, 4).

3. y = 0 kung 1 = -2 at kung x = 0; sa mga puntong ito, ang graph ng function na y = f(x) ay nag-intersect sa x-axis.

4. y > 0 kung x є (-2, 0) o kung x є (0, 4]; sa mga pagitan na ito, ang graph ng function na y \u003d f (x) ay matatagpuan sa itaas ng x-axis.

5. y< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Tumataas ang function sa pagitan [-4, -1], bumababa sa pagitan [-1, 0] at pare-pareho (hindi tumataas o bumababa) sa kalahating pagitan (0,4).

Habang pinag-aaralan natin ang mga bagong katangian ng mga function, ang proseso ng pagbabasa ng graph ay magiging mas matindi, makabuluhan at kawili-wili.

Talakayin natin ang isa sa mga bagong property na ito. Ang graph ng function na isinasaalang-alang sa halimbawa 4 ay binubuo ng tatlong sangay (ng tatlong "piraso"). Ang una at pangalawang sanga (isang tuwid na linya na segment y \u003d x + 2 at bahagi ng parabola) ay matagumpay na "sinamahan": ang segment ay nagtatapos sa punto (-1; 1), at ang seksyon ng parabola ay nagsisimula sa parehong punto . Ngunit ang pangalawa at pangatlong sangay ay hindi gaanong matagumpay na "pagsama": ang ikatlong sangay ("piraso" ng pahalang na linya) ay nagsisimula hindi sa punto (0; 0), ngunit sa punto (0; 4). Sinasabi ito ng mga mathematician: "ang function na y = f(x) ay sumasailalim sa break sa x = 0 (o sa puntong x = 0)". Kung ang function ay walang mga discontinuity point, kung gayon ito ay tinatawag na tuloy-tuloy. Kaya, ang lahat ng mga function na nakilala namin sa mga nakaraang talata (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) ay tuluy-tuloy.

Halimbawa 5. Nabigyan ng function. Kinakailangang buuin at basahin ang iskedyul nito.

Desisyon. Tulad ng nakikita mo, narito ang pag-andar ay ibinibigay ng isang medyo kumplikadong expression. Ngunit ang matematika ay isang solong at integral na agham, ang mga seksyon nito ay malapit na nauugnay sa bawat isa. Gamitin natin ang natutunan natin sa Kabanata 5 at bawasan algebraic fraction

ay may bisa lamang sa ilalim ng paghihigpit Samakatuwid, maaari nating reformulate ang problema tulad ng sumusunod: sa halip na ang function na y = x 2
isasaalang-alang namin ang function na y \u003d x 2, kung saan Bumuo kami ng parabola y \u003d x 2 sa coordinate plane xOy.
Ang linyang x = 2 ay nagsalubong dito sa punto (2; 4). Ngunit ayon sa kondisyon, nangangahulugan ito na dapat nating ibukod ang punto (2; 4) ng parabola mula sa pagsasaalang-alang, kung saan minarkahan natin ang puntong ito sa pagguhit gamit ang isang magaan na bilog.

Kaya, ang graph ng function ay binuo - ito ay isang parabola y \u003d x 2 na may "punched out" point (2; 4) (Fig. 69).

Lumipat tayo sa paglalarawan ng mga katangian ng function na y \u003d f (x), ibig sabihin, sa pagbabasa ng graph nito:

1. Ang independiyenteng variable na x ay tumatagal sa anumang mga halaga maliban sa x = 2. Nangangahulugan ito na ang domain ng function ay binubuo ng dalawang bukas na sinag (- 0 o, 2) at

2. y max = 0 (nakamit sa x = 0), y max _ ay hindi umiiral.

3. Ang function ay hindi tuloy-tuloy, ito ay dumaranas ng discontinuity sa x = 2 (sa puntong x = 2).

4. y = 0 kung x = 0.

5. y\u003e 0 kung x є (-oo, 0), kung x є (0, 2) at kung x є (B, + oo).
6. Bumababa ang function sa ray (- ω, 0], tumataas sa kalahating pagitan .

Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Math at school download

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Nilalaman ng aralin buod ng aralin suporta frame lesson presentation accelerative methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusuri sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga quests mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga tanong na retorika mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga litrato, mga larawang graphics, mga talahanayan, mga scheme ng katatawanan, mga anekdota, mga biro, mga parabula sa komiks, mga kasabihan, mga crossword puzzle, mga quote Mga add-on mga abstract articles chips for inquisitive cheat sheets textbooks basic and additional glossary of terms other Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa aklat-aralin na mga elemento ng pagbabago sa aralin na pinapalitan ng mga bago ang hindi na ginagamit na kaalaman Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon na mga rekomendasyong pamamaraan ng programa ng talakayan Pinagsanib na Aralin

Function $f(x)=|x|$

$|x|$ - module. Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: Kung ang tunay na numero ay hindi negatibo, kung gayon ang halaga ng modulo ay kapareho ng numero mismo. Kung ito ay negatibo, kung gayon ang halaga ng modulus ay tumutugma sa ganap na halaga ng ibinigay na numero.

Sa matematika, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

Halimbawa 1

Function $f(x)=[x]$

Ang function na $f\left(x\right)=[x]$ ay isang function ng integer na bahagi ng isang numero. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-round sa numero (kung hindi ito isang integer mismo) "pababa".

Halimbawa: $=2.$

Halimbawa 2

I-explore at i-plot natin ito.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Malinaw, ang function na ito ay tumatagal lamang ng mga halaga ng integer, ibig sabihin, $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Samakatuwid, ang function na ito ay magiging pangkalahatang anyo.
4. Ang $(0,0)$ ay ang tanging punto ng intersection sa mga coordinate axes.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Ang function ay may mga break point (function jumps) para sa lahat ng $x\in Z$.

Figure 2.

Function $f\left(x\right)=\(x\)$

Ang function na $f\left(x\right)=\(x\)$ ay ang function ng fractional na bahagi ng isang numero. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng "pagtatapon" ng integer na bahagi ng numerong ito.

Halimbawa 3

Paggalugad at pag-plot ng function graph

Function $f(x)=sign(x)$

Ang function na $f\left(x\right)=sign(x)$ ay isang sign function. Ipinapakita ng function na ito kung anong sign mayroon ang isang tunay na numero. Kung negatibo ang numero, ang function ay may halagang $-1$. Kung positibo ang numero, ang function ay katumbas ng isa. Kung ang halaga ng numero ay zero, ang halaga ng function ay kukuha din ng zero na halaga.

Kung ang isang set ng mga numero ay ibinigay X at ang paraan f, kung saan para sa bawat halaga XЄ X tumutugma lamang sa isang numero sa. Pagkatapos ito ay isinasaalang-alang ibinigay na function y = f(X), kung saan domain X(karaniwang tinutukoy D(f) = X). Isang grupo ng Y lahat ng halaga sa, kung saan mayroong kahit isang halaga XЄ X, ganyan y = f(X), tinatawag ang naturang set hanay ng mga halaga mga function f(pinakakaraniwang tinutukoy E(f)= Y).

O kaya solong variable dependence sa mula sa iba X, kung saan ang bawat halaga ng variable X mula sa isang tiyak na hanay D tumutugma sa iisang halaga ng variable sa, ay tinatawag na function.

Ang functional dependence ng variable y sa x ay kadalasang binibigyang-diin ng notasyong y(x), na binabasa ng y mula sa x.

Domain mga function sa(X), ibig sabihin, ang hanay ng mga halaga ng argumento nito X, na tinutukoy ng simbolo D(y), na binasa de mula sa y.

Saklaw ng mga halaga mga function sa(X), ibig sabihin, ang hanay ng mga halaga na ginagamit ng function na y ay tinutukoy ng simbolo E(sa), na nagbabasa ng e mula sa Y.

Ang mga pangunahing paraan upang tukuyin ang isang function ay:

a) analitikal(gamit ang formula y = f(X)). Kasama rin sa pamamaraang ito ang mga kaso kung saan ang function ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation. Kung ang isang function ay ibinigay ng isang formula, kung gayon ang domain ng kahulugan nito ay ang lahat ng mga halaga ng argumento kung saan ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng formula ay may mga halaga.

b) tabular(gamit ang isang talahanayan ng mga katumbas na halaga X at sa). Sa ganitong paraan, ang temperatura ng rehimen o mga halaga ng palitan ay madalas na itinakda, ngunit ang pamamaraang ito ay hindi kasinglinaw ng susunod;

sa) graphic(gamit ang tsart). Ito ay isa sa mga pinaka-visual na paraan upang magtakda ng isang function, dahil ang mga pagbabago ay agad na "nabasa" ayon sa graph. Kung ang function sa(X) ay ibinibigay ng graph, pagkatapos ay ang domain ng kahulugan nito D(y) ay ang projection ng graph papunta sa x-axis, at ang hanay ng mga halaga E(sa) - projection ng graph sa y-axis (tingnan ang figure).

G) pasalita. Ang pamamaraang ito ay kadalasang ginagamit sa mga problema, o sa halip sa paglalarawan ng kanilang mga kondisyon. Kadalasan ang pamamaraang ito ay pinapalitan ng isa sa itaas.

Mga pag-andar y = f(X), xЄ X, at y = g(X), xЄ X, ay tinatawag magkaparehong pantay sa isang subset M Sa X kung para sa bawat isa x 0 Є M patas na pagkakapantay-pantay f(X 0) = g(X 0).

Function Graph y = f(X) ay maaaring katawanin bilang isang hanay ng mga naturang punto ( X; f(X)) sa coordinate plane, kung saan X ay isang di-makatwirang variable, mula sa D(f). Kung ang f(X 0) = 0, kung saan X 0 pagkatapos ay ang punto na may mga coordinate ( x 0; 0) ay ang punto kung saan ang graph ng function y = f(X) bumabagtas sa O axis x. Kung 0Є D(f), pagkatapos ay ang punto (0; f(0)) ay ang punto kung saan ang graph ng function sa = f(x) bumabagtas sa O axis sa.

Numero X 0 ng D(f) mga function y = f(X) ay ang zero ng function, kapag f(X 0) = 0.

Gap M Sa D(f) Ito tuluy-tuloy na pagitan mga function y = f(X) kung alinman para sa isang arbitrary xЄ M tama f(X) > 0, o para sa isang arbitrary XЄ M tama f(X) < 0.

meron mga kagamitan, na gumuhit ng mga graph ng mga dependency sa pagitan ng mga dami. Ito ay mga barograph - mga aparato para sa pag-aayos ng pag-asa ng presyon ng atmospera sa oras, mga thermograph - mga aparato para sa pag-aayos ng pag-asa ng temperatura sa oras, mga cardiograph - mga aparato para sa graphic na pag-record ng aktibidad ng puso. Ang thermograph ay may drum, ito ay umiikot nang pantay-pantay. Ang sugat ng papel sa drum ay hinawakan ng isang recorder, na, depende sa temperatura, tumataas at bumaba at gumuhit ng isang tiyak na linya sa papel.

Mula sa representasyon ng isang function sa pamamagitan ng isang formula, maaari kang magpatuloy sa representasyon nito sa isang talahanayan at graph.

Kapag nag-aaral ng matematika, napakahalagang maunawaan kung ano ang isang function, ang mga domain at kahulugan nito. Sa tulong ng pag-aaral ng mga function sa isang extremum, maraming mga problema sa algebra ay maaaring malutas. Kahit na ang mga problema sa geometry kung minsan ay bumababa sa pagsasaalang-alang sa mga equation ng geometric figure sa isang eroplano.

Hayaany- ilang variable functionx; bukod pa rito, hindi mahalaga kung paano ibinigay ang function na ito: sa pamamagitan ng isang formula, isang talahanayan, o sa ibang paraan. Tanging ang mismong katotohanan ng pagkakaroon ng functional dependence na ito ay mahalaga, na nakasulat tulad ng sumusunod:y = f(x). Sulatf(ang unang titik ng salitang Latin na "functio" - function) ay hindi tumutukoy sa anumang halaga, tulad ng mga titiklog, kasalanan, tan sa mga talaan ng functiony= logx, y= kasalananx, y= kayumanggix. Pinag-uusapan lang nila ang ilang mga functional dependencies.ymula sax. Pagre-recordy = f (x) ayanumanfunctional dependency. Kung dalawang functional dependencies:ymula saxatzmula satnaiiba sa isa't isa, isinulat ang mga ito gamit ang iba't ibang mga titik:y = f (x) atz = F (t). Kung ang ilang mga dependency ay pareho, pagkatapos ay isinulat ang mga ito sa parehong titikf: y = f (x) atz = f (t). Kung ang expression para sa functional dependencyy = f (x) ay kilala, pagkatapos ay maaari itong isulat gamit ang parehong mga notasyon ng function. Halimbawa,y= kasalanan x o f(x) = kasalanan x. Ang parehong mga form ay ganap na katumbas. Minsan ginagamit din ang ibang anyo ng pagsulat: y (x). Ang ibig sabihin nito ay kapareho ng y = f (x).

Graphical na representasyon ng mga function.

Upang kumatawan sa isang functiony = f(x) sa anyo ng isang graph, kailangan mo:

1) Sumulat ng isang bilang ng mga halaga ng pag-andar at argumento nito sa talahanayan:

2) Ilipat ang mga coordinate ng mga punto ng function mula sa talahanayan patungo sa coordinate system,

pagpuna, alinsunod sa napiling sukat, ang mga halaga ng abscissas sa

mga palakolXat ang mga halaga ng mga ordinate sa axisY(Larawan 2). Bilang resulta, sa ating sistema

mga coordinate, isang serye ng mga puntos ang bubuoA, B, C, . . . , F.

3) Pagkonekta ng mga tuldokA, B, C, . . . , Fmakinis na curve, nakakakuha tayo ng graph ng isang naibigay

functional dependency.

Ang ganitong graphical na representasyon ng isang function ay nagbibigay ng visual na representasyon ng likas na katangian ng pag-uugali nito, ngunit ang katumpakan na nakamit sa kasong ito ay hindi sapat. Posibleng ang mga intermediate point na hindi naka-plot sa graph ay malayo sa iginuhit na makinis na kurba. Ang mga magagandang resulta ay nakadepende din sa isang malaking lawak sa isang mahusay na pagpili ng mga kaliskis. Samakatuwid, dapat itong matukoy function graph bilang lokus ng mga puntos , mga coordinate na M (x, y) ay konektado sa pamamagitan ng isang ibinigay na functional dependence .

Ang saklaw at saklaw ng pag-andar. Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero R. Nangangahulugan ito na ang argument ng function ay maaari lamang tumagal sa mga tunay na halaga kung saan tinukoy ang function, i.e. ito rin ay tumatanggap lamang ng mga tunay na halaga. Isang grupo ng X lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x, kung saan ang function y= f(x) tinukoy, tinatawag saklaw ng function. Isang grupo ng Y lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function ay tinatawag saklaw ng pag-andar. Ngayon ay maaari tayong magbigay ng mas tumpak na kahulugan ng function: tuntunin (batas) ng pagsusulatan sa pagitan ng set X at Y, kung saan para sa bawat elemento mula sa set X isa at isang elemento lamang mula sa set Y ang matatagpuan, ay tinatawag na function.