Ano ang derivative?
Kahulugan at kahulugan ng derivative ng isang function

Marami ang magugulat sa hindi inaasahang lokasyon ng artikulong ito sa kurso ng aking may-akda sa derivative ng isang function ng isang variable at mga aplikasyon nito. Pagkatapos ng lahat, tulad ng mula sa paaralan: isang karaniwang aklat-aralin, una sa lahat, ay nagbibigay ng isang kahulugan ng isang hinalaw, ang geometriko, mekanikal na kahulugan nito. Susunod, ang mga mag-aaral ay nakakahanap ng mga derivatives ng mga function sa pamamagitan ng kahulugan, at, sa katunayan, pagkatapos lamang ang diskarte sa pagkita ng kaibhan ay naperpekto gamit ang mga derivative table.

Ngunit mula sa aking pananaw, ang sumusunod na diskarte ay mas pragmatic: una sa lahat, ipinapayong UNAWAIN NG MABUTI limitasyon ng pag-andar, at lalo na infinitesimals. Sa katotohanan ay ang kahulugan ng derivative ay batay sa konsepto ng limitasyon, na hindi gaanong isinasaalang-alang sa kurso ng paaralan. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang makabuluhang bahagi ng mga batang mamimili ng kaalaman sa granite ay hindi mahusay na tumagos sa mismong kakanyahan ng derivative. Kaya, kung hindi ka sanay sa differential calculus, o matagumpay na naalis ng matalinong utak ang bagahe na ito sa paglipas ng mga taon, mangyaring magsimula sa mga limitasyon sa pag-andar. Sa parehong oras master / tandaan ang kanilang mga desisyon.

Ang parehong praktikal na kahulugan ay nagpapahiwatig na ito ay kumikita muna matutong maghanap ng mga derivatives, kasama ang derivatives ng mga kumplikadong function. Ang teorya ay isang teorya, ngunit, tulad ng sinasabi nila, gusto mong laging magkaiba. Sa pagsasaalang-alang na ito, mas mahusay na gawin ang mga nakalistang pangunahing aralin, at maaaring maging master ng pagkita ng kaibhan nang hindi man lang napagtanto ang kakanyahan ng kanilang mga aksyon.

Inirerekumenda kong simulan ang mga materyales sa pahinang ito pagkatapos basahin ang artikulo. Ang pinakasimpleng problema sa isang derivative, kung saan, sa partikular, ang problema ng tangent sa graph ng isang function ay isinasaalang-alang. Ngunit maaari itong maantala. Ang katotohanan ay maraming mga aplikasyon ng derivative ay hindi nangangailangan ng pag-unawa dito, at hindi nakakagulat na ang teoretikal na aralin ay lumitaw nang huli - kapag kailangan kong ipaliwanag paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas/pagbaba at mga extremum mga function. Bukod dito, siya ay nasa paksa sa loob ng mahabang panahon " Mga Function at Graph”, hanggang sa napagdesisyunan kong ilagay ito kanina.

Samakatuwid, mahal na mga teapot, huwag magmadali upang makuha ang kakanyahan ng hinalaw, tulad ng mga gutom na hayop, dahil ang saturation ay magiging walang lasa at hindi kumpleto.

Ang konsepto ng pagtaas, pagbaba, maximum, minimum ng isang function

Maraming mga tutorial ang humahantong sa konsepto ng isang derivative sa tulong ng ilang mga praktikal na problema, at nakagawa din ako ng isang kawili-wiling halimbawa. Isipin na kailangan nating maglakbay sa isang lungsod na maaaring maabot sa iba't ibang paraan. Agad naming itinatapon ang mga curved winding path, at isasaalang-alang lamang namin ang mga tuwid na linya. Gayunpaman, iba rin ang mga direksyon sa tuwid na linya: maaari kang makarating sa lungsod sa kahabaan ng patag na autobahn. O sa isang maburol na highway - pataas at pababa, pataas at pababa. Ang isa pang kalsada ay pataas lamang, at ang isa ay pababa sa lahat ng oras. Ang mga naghahanap ng kilig ay pipili ng ruta sa bangin na may matarik na bangin at matarik na pag-akyat.

Ngunit anuman ang iyong mga kagustuhan, ito ay kanais-nais na malaman ang lugar, o hindi bababa sa magkaroon ng topographical na mapa nito. Paano kung walang ganoong impormasyon? Pagkatapos ng lahat, maaari kang pumili, halimbawa, isang patag na landas, ngunit bilang isang resulta, natitisod sa isang ski slope na may nakakatawang Finns. Hindi ang katotohanan na ang navigator at kahit isang satellite image ay magbibigay ng maaasahang data. Samakatuwid, mainam na gawing pormal ang kaluwagan ng landas sa pamamagitan ng matematika.

Isaalang-alang ang ilang kalsada (side view):

Kung sakali, ipinaaalala ko sa iyo ang isang elementarya na katotohanan: ang paglalakbay ay nagaganap mula kaliwa hanggang kanan. Para sa pagiging simple, ipinapalagay namin na ang function tuloy-tuloy sa lugar na isinasaalang-alang.

Ano ang mga tampok ng graph na ito?

Sa mga pagitan function nadadagdagan, ibig sabihin, bawat isa sa susunod na halaga nito higit pa ang nauna. Sa halos pagsasalita, napupunta ang iskedyul baba taas(umakyat kami sa burol). At sa pagitan ang pag-andar bumababa- bawat susunod na halaga mas maliit ang nakaraan, at ang aming iskedyul ay napupunta itaas pababa(pababa sa dalisdis).

Bigyang-pansin din natin ang mga espesyal na puntos. Sa puntong narating natin maximum, ibig sabihin umiral tulad ng isang seksyon ng landas kung saan ang halaga ang magiging pinakamalaki (pinakamataas). Sa parehong punto, pinakamababa, at umiral tulad nito kapitbahayan, kung saan ang halaga ay ang pinakamaliit (pinakamababa).

Ang mas mahigpit na terminolohiya at mga kahulugan ay isasaalang-alang sa aralin. tungkol sa extrema ng function, ngunit sa ngayon ay pag-aralan natin ang isa pang mahalagang katangian: sa mga pagitan ang pag-andar ay tumataas, ngunit ito ay tumataas sa iba't ibang bilis. At ang unang bagay na nakakakuha ng iyong mata ay ang tsart ay tumataas sa pagitan mas cool kaysa sa pagitan. Posible bang sukatin ang tirik ng kalsada gamit ang mga mathematical tools?

Rate ng pagbabago ng function

Ang ideya ay ito: kumuha ng ilang halaga (basahin ang "delta x"), na tatawagin natin pagtaas ng argumento, at simulan natin ang "subukan ito" sa iba't ibang punto ng ating landas:

1) Tingnan natin ang pinakakaliwang punto: pag-bypass sa distansya , umakyat tayo sa slope sa isang taas (berdeng linya). Ang halaga ay tinatawag pagtaas ng function, at sa kasong ito ang pagtaas na ito ay positibo (ang pagkakaiba ng mga halaga sa kahabaan ng axis ay mas malaki kaysa sa zero). Gawin natin ang ratio , na siyang magiging sukatan ng tirik ng ating kalsada. Malinaw, ay isang napaka-tiyak na numero, at dahil ang parehong mga pagtaas ay positibo, kung gayon .

Pansin! Ang pagtatalaga ay ISA simbolo, iyon ay, hindi mo maaaring "punitin" ang "delta" mula sa "x" at isaalang-alang ang mga titik na ito nang hiwalay. Siyempre, nalalapat din ang komento sa simbolo ng pagtaas ng function.

Tuklasin natin ang katangian ng resultang fraction nang mas makabuluhan. Ipagpalagay na sa simula tayo ay nasa taas na 20 metro (sa kaliwang itim na tuldok). Ang pagkakaroon ng pagtagumpayan ang distansya ng mga metro (kaliwang pulang linya), kami ay nasa taas na 60 metro. Pagkatapos ay ang pagtaas ng function ay magiging metro (berdeng linya) at: . kaya, sa bawat metro itong bahagi ng kalsada tumataas ang taas karaniwan sa pamamagitan ng 4 na metro…nakalimutan mo ba ang iyong kagamitan sa pag-akyat? =) Sa madaling salita, ang constructed ratio ay nagpapakilala sa AVERAGE RATE NG PAGBABAGO (sa kasong ito, paglago) ng function.

Tandaan : Ang mga numerong halaga ng halimbawang pinag-uusapan ay tumutugma sa mga proporsyon ng pagguhit lamang ng humigit-kumulang.

2) Ngayon, pumunta tayo sa parehong distansya mula sa pinakakanang itim na tuldok. Dito ang pagtaas ay mas banayad, kaya ang pagtaas (crimson line) ay medyo maliit, at ang ratio kumpara sa nakaraang kaso ay magiging medyo katamtaman. Relatibong magsalita, metro at rate ng paglago ng function ay . Ibig sabihin, dito sa bawat metro ng kalsada ay nariyan karaniwan kalahating metro ang taas.

3) Isang maliit na pakikipagsapalaran sa gilid ng bundok. Tingnan natin ang tuktok na itim na tuldok na matatagpuan sa y-axis. Ipagpalagay natin na ito ay isang marka ng 50 metro. Muli nating napagtagumpayan ang distansya, bilang isang resulta kung saan nakita natin ang ating sarili na mas mababa - sa antas na 30 metro. Mula nang magawa ang kilusan itaas pababa(sa "kabaligtaran" na direksyon ng axis), pagkatapos ay ang pangwakas ang pagtaas ng function (taas) ay magiging negatibo: metro (kayumanggi na linya sa pagguhit). At sa kasong ito pinag-uusapan natin rate ng pagkabulok mga tampok: , iyon ay, para sa bawat metro ng landas ng seksyong ito, ang taas ay bumababa karaniwan sa pamamagitan ng 2 metro. Alagaan ang mga damit sa ikalimang punto.

Ngayon itanong natin ang tanong: ano ang pinakamahusay na halaga ng "pamantayan sa pagsukat" na gagamitin? Ito ay malinaw na ang 10 metro ay napaka-magaspang. Ang isang mahusay na dosenang bumps ay madaling magkasya sa kanila. Bakit may mga bumps, maaaring may malalim na bangin sa ibaba, at pagkatapos ng ilang metro - ang kabilang panig nito na may karagdagang matarik na pag-akyat. Kaya, sa isang sampung metro, hindi kami makakakuha ng isang naiintindihan na katangian ng naturang mga seksyon ng landas sa pamamagitan ng ratio.

Mula sa talakayan sa itaas, ang sumusunod na konklusyon ay sumusunod: mas maliit ang halaga, mas tumpak na ilalarawan natin ang kaginhawahan ng kalsada. Bukod dito, ang mga sumusunod na katotohanan ay totoo:

– Para sa anumang mga nakakataas na puntos maaari kang pumili ng isang halaga (kahit isang napakaliit) na akma sa loob ng mga hangganan ng isa o isa pang pagtaas. At nangangahulugan ito na ang katumbas na pagtaas ng taas ay magagarantiyahan na maging positibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay wastong magsasaad ng paglaki ng function sa bawat punto ng mga agwat na ito.

- Gayundin, para sa anumang slope point, mayroong isang halaga na ganap na magkasya sa slope na ito. Samakatuwid, ang katumbas na pagtaas sa taas ay malinaw na negatibo, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay magpapakita ng tama ng pagbaba sa function sa bawat punto ng ibinigay na pagitan.

– Ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang rate ng pagbabago ng function ay zero: . Una, ang zero height increment () ay tanda ng pantay na landas. At pangalawa, may iba pang mga kakaibang sitwasyon, mga halimbawa kung saan makikita mo sa figure. Isipin na dinala tayo ng tadhana sa pinakatuktok ng isang burol na may umaalingawngaw na mga agila o sa ilalim ng bangin na may umaalingawngaw na mga palaka. Kung gumawa ka ng isang maliit na hakbang sa anumang direksyon, kung gayon ang pagbabago sa taas ay magiging bale-wala, at maaari nating sabihin na ang rate ng pagbabago ng function ay talagang zero. Ang parehong pattern ay sinusunod sa mga punto.

Kaya, nilapitan namin ang isang kamangha-manghang pagkakataon upang ganap na tumpak na makilala ang rate ng pagbabago ng isang function. Pagkatapos ng lahat, ang mathematical analysis ay nagpapahintulot sa amin na idirekta ang pagtaas ng argumento sa zero: iyon ay, upang gawin itong infinitesimal.

Bilang resulta, lumitaw ang isa pang lohikal na tanong: posible bang makahanap ng kalsada at iskedyul nito ibang function, na sasabihin sa amin tungkol sa lahat ng flat, pataas, pababa, peak, lowlands, pati na rin ang rate ng pagtaas / pagbaba sa bawat punto ng landas?

Ano ang derivative? Kahulugan ng isang derivative.
Ang geometric na kahulugan ng derivative at differential

Mangyaring basahin nang mabuti at hindi masyadong mabilis - ang materyal ay simple at naa-access sa lahat! Okay lang kung sa ilang lugar ay may tila hindi masyadong malinaw, maaari mong palaging bumalik sa artikulo sa ibang pagkakataon. Sasabihin ko pa, kapaki-pakinabang na pag-aralan ang teorya nang maraming beses upang maunawaan nang husay ang lahat ng mga punto (ang payo ay partikular na nauugnay para sa mga "teknikal" na mga mag-aaral, kung kanino ang mas mataas na matematika ay may mahalagang papel sa proseso ng edukasyon).

Naturally, sa mismong kahulugan ng derivative sa isang punto, papalitan namin ito ng:

Ano ang narating natin? At kami ay dumating sa konklusyon na para sa isang function ayon sa batas ay nakahanay ibang function, na tinatawag na derivative function(o kaya lang derivative).

Ang derivative ay nagpapakilala rate ng pagbabago mga function. paano? Ang pag-iisip ay parang isang pulang sinulid mula pa sa simula ng artikulo. Isaalang-alang ang ilang punto mga domain mga function. Hayaang maging differentiable ang function sa isang naibigay na punto. Pagkatapos:

1) Kung , pagkatapos ay tumataas ang function sa puntong . At halatang meron pagitan(kahit na napakaliit) na naglalaman ng punto kung saan lumalaki ang function, at ang graph nito ay "mula sa ibaba hanggang sa itaas".

2) Kung , pagkatapos ay bumababa ang function sa puntong . At mayroong isang agwat na naglalaman ng isang punto kung saan bumababa ang function (ang graph ay "mula sa itaas hanggang sa ibaba").

3) Kung , kung gayon malapit nang walang katapusan malapit sa punto, pinapanatili ng function na pare-pareho ang bilis nito. Nangyayari ito, tulad ng nabanggit, para sa isang function-constant at sa mga kritikal na punto ng function, sa partikular sa pinakamababa at pinakamataas na puntos.

Ilang semantika. Ano ang ibig sabihin ng pandiwa na "magkaiba" sa malawak na kahulugan? Ang ibig sabihin ng pagkakaiba-iba ay ang pag-iisa ng isang tampok. Ang pagkakaiba ng function , "pinili" namin ang rate ng pagbabago nito sa anyo ng isang derivative ng function . At ano, nga pala, ang ibig sabihin ng salitang "derivative"? Function nangyari mula sa function.

Matagumpay na binibigyang-kahulugan ng mga termino ang mekanikal na kahulugan ng derivative :
Isaalang-alang natin ang batas ng pagbabago ng mga coordinate ng katawan, na nakasalalay sa oras, at ang pag-andar ng bilis ng paggalaw ng ibinigay na katawan. Ang function ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng body coordinate, samakatuwid ito ang unang derivative ng function na may paggalang sa oras: . Kung ang konsepto ng "galaw ng katawan" ay hindi umiiral sa kalikasan, kung gayon hindi magkakaroon derivative konsepto ng "bilis".

Ang acceleration ng isang katawan ay ang rate ng pagbabago ng bilis, samakatuwid: . Kung ang orihinal na mga konsepto ng "kilos ng katawan" at "bilis ng paggalaw ng katawan" ay hindi umiiral sa kalikasan, kung gayon hindi magkakaroon derivative ang konsepto ng acceleration ng isang katawan.

Synopsis ng isang bukas na aralin ng isang guro sa Pedagogical College No. 4 ng St. Petersburg

Martusevich Tatyana Olegovna

Petsa: 12/29/2014.

Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative.

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: visual, bahagyang eksplorasyon.

Ang layunin ng aralin.

Ipakilala ang konsepto ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang punto, alamin kung ano ang geometric na kahulugan ng derivative, makuha ang tangent equation at ituro kung paano hanapin ito.

Mga gawaing pang-edukasyon:

Upang makamit ang pag-unawa sa geometriko na kahulugan ng hinalaw; derivation ng tangent equation; matuto kung paano lutasin ang mga pangunahing problema;

upang magbigay ng pag-uulit ng materyal sa paksang "Kahulugan ng isang derivative";

lumikha ng mga kondisyon para sa kontrol (pagpipigil sa sarili) ng kaalaman at kasanayan.

Mga gawain sa pagpapaunlad:

upang itaguyod ang pagbuo ng mga kasanayan upang ilapat ang mga pamamaraan ng paghahambing, paglalahat, pag-highlight sa pangunahing bagay;

ipagpatuloy ang pag-unlad ng mathematical horizons, pag-iisip at pagsasalita, atensyon at memorya.

Mga gawaing pang-edukasyon:

upang itaguyod ang edukasyon ng interes sa matematika;

edukasyon ng aktibidad, kadaliang kumilos, kakayahang makipag-usap.

Uri ng aralin - isang pinagsamang aralin gamit ang ICT.

Kagamitan – pag-install ng multimedia, pagtatanghalMicrosoftkapangyarihanpunto.

Yugto ng aralin

Oras

Aktibidad ng guro

Mga aktibidad ng mag-aaral

1. Organisasyon sandali.

Mensahe tungkol sa paksa at layunin ng aralin.

Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative.

Ang layunin ng aralin.

Ipakilala ang konsepto ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang punto, alamin kung ano ang geometric na kahulugan ng derivative, makuha ang tangent equation at ituro kung paano hanapin ito.

Paghahanda sa mga mag-aaral para sa trabaho sa silid-aralan.

Paghahanda para sa trabaho sa klase.

Kamalayan sa paksa at layunin ng aralin.

Pagkuha ng tala.

2. Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal sa pamamagitan ng pag-uulit at pag-update ng mga pangunahing kaalaman.

Organisasyon ng pag-uulit at pag-update ng pangunahing kaalaman: mga kahulugan ng derivative at pagbabalangkas ng pisikal na kahulugan nito.

Pagbubuo ng kahulugan ng derivative at pagbabalangkas ng pisikal na kahulugan nito. Pag-uulit, pag-update at pagsasama-sama ng mga pangunahing kaalaman.

Organisasyon ng pag-uulit at pagbuo ng kasanayan sa paghahanap ng derivative ng isang power function at elementary functions.

Paghahanap ng derivative ng mga function na ito sa pamamagitan ng mga formula.

Pag-uulit ng mga katangian ng isang linear function.

Pag-uulit, pagdama ng mga guhit at mga pahayag ng guro

3. Paggawa gamit ang bagong materyal: paliwanag.

Pagpapaliwanag ng kahulugan ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento

Paliwanag ng geometric na kahulugan ng derivative.

Pagpapakilala ng bagong materyal sa pamamagitan ng mga verbal na paliwanag gamit ang mga imahe at visual aid: multimedia presentation na may animation.

Pagdama ng pagpapaliwanag, pag-unawa, mga sagot sa mga tanong ng guro.

Pagbubuo ng tanong sa guro kung sakaling mahirapan.

Pagdama ng bagong impormasyon, ang pangunahing pag-unawa at pag-unawa nito.

Pagbubuo ng mga tanong sa guro kung sakaling mahirapan.

Gumawa ng balangkas.

Pagbubuo ng geometric na kahulugan ng derivative.

Pagsasaalang-alang ng tatlong kaso.

Pagkuha ng mga tala, paggawa ng mga guhit.

4. Paggawa gamit ang bagong materyal.

Pangunahing pag-unawa at aplikasyon ng pinag-aralan na materyal, ang pagsasama-sama nito.

Sa anong punto ay positibo ang derivative?

Negatibo?

Katumbas ng zero?

Pag-aaral na maghanap ng isang algorithm para sa mga sagot sa mga tanong na ibinibigay ng iskedyul.

Pag-unawa at pag-unawa at paglalapat ng bagong impormasyon upang malutas ang isang problema.

5. Pangunahing pag-unawa at aplikasyon ng pinag-aralan na materyal, ang pagsasama-sama nito.

Mensahe ng kundisyon ng gawain.

Pagre-record ng kondisyon ng gawain.

Pagbubuo ng tanong sa guro kung sakaling mahirapan

6. Paglalapat ng kaalaman: malayang gawain na may likas na pagtuturo.

Lutasin ang problema sa iyong sarili:

Paglalapat ng nakuhang kaalaman.

Malayang gawain sa paglutas ng problema sa paghahanap ng derivative ng figure. Pagtalakay at pagpapatunay ng mga sagot sa mga pares, pagbabalangkas ng isang tanong sa guro kung sakaling mahirapan.

7. Paggawa gamit ang bagong materyal: paliwanag.

Derivation ng equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang punto.

Ang isang detalyadong paliwanag ng derivation ng equation ng tangent sa function graph sa isang punto, gamit bilang isang visual aid sa anyo ng isang multimedia presentation, mga sagot sa mga tanong ng mga mag-aaral.

Derivation ng tangent equation kasama ng guro. Mga sagot sa mga tanong ng guro.

Pagguhit, pagguhit.

8. Paggawa gamit ang bagong materyal: paliwanag.

Sa isang dialogue sa mga mag-aaral, ang derivation ng isang algorithm para sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang naibigay na punto.

Sa isang dialogue kasama ang guro, ang derivation ng isang algorithm para sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang naibigay na punto.

Pagkuha ng tala.

Mensahe ng kundisyon ng gawain.

Pagsasanay sa aplikasyon ng nakuhang kaalaman.

Organisasyon ng paghahanap para sa mga paraan upang malutas ang problema at ang kanilang pagpapatupad. detalyadong pagsusuri ng solusyon na may paliwanag.

Pagre-record ng kondisyon ng gawain.

Paggawa ng mga pagpapalagay tungkol sa mga posibleng paraan upang malutas ang problema sa pagpapatupad ng bawat aytem ng action plan. Paglutas ng problema kasama ng guro.

Pagtatala ng solusyon sa problema at ang sagot.

9. Paglalapat ng kaalaman: malayang gawain na may likas na pagtuturo.

Indibidwal na kontrol. Payo at tulong sa mga mag-aaral kung kinakailangan.

Pagpapatunay at pagpapaliwanag ng solusyon gamit ang presentasyon.

Paglalapat ng nakuhang kaalaman.

Malayang gawain sa paglutas ng problema sa paghahanap ng derivative ng figure. Pagtalakay at pagpapatunay ng mga sagot sa mga pares, pagbabalangkas ng isang tanong sa guro kung sakaling mahirapan

10. Takdang-Aralin.

§48, mga gawain 1 at 3, unawain ang solusyon at isulat ito sa isang kuwaderno na may mga larawan.

№ 860 (2,4,6,8),

Mensahe sa araling-bahay na may mga komento.

Pagre-record ng takdang-aralin.

11. Pagbubuod.

Inulit namin ang kahulugan ng derivative; ang pisikal na kahulugan ng hinalaw; katangian ng isang linear function.

Natutunan namin kung ano ang geometric na kahulugan ng derivative.

Natutunan namin na makuha ang equation ng tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang naibigay na punto.

Pagwawasto at paglilinaw ng mga resulta ng aralin.

Enumerasyon ng mga resulta ng aralin.

12. Pagninilay.

1. May aralin ka bang: a) madali; b) karaniwan; c) mahirap.

a) natutunan (a) ganap, maaari akong mag-aplay;

b) natutunan (a), ngunit mahirap ilapat;

c) hindi nakuha ito.

3. Multimedia presentation sa aralin:

a) nakatulong sa asimilasyon ng materyal; b) hindi tumulong sa asimilasyon ng materyal;

c) nakagambala sa asimilasyon ng materyal.

Pagsasagawa ng repleksyon.

Uri ng trabaho: 7

Kundisyon

Ang linyang y=3x+2 ay padaplis sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Hayaang x_0 ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=-12x^2+bx-10 kung saan dumadaan ang tangent sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, i.e. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function at ng padaplis, i.e. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Ang paglutas ng sistemang ito, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0=-1, pagkatapos b=3+24x_0=-21.

Sagot

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=-3x+4 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=-x^2+5x-7. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang slope ng linya sa graph ng function na y=-x^2+5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y"(x_0). Ngunit y"=-2x+5, so y"(x_0)=- 2x_0+5. Angular ang koepisyent ng linyang y=-3x+4 na tinukoy sa kundisyon ay -3.Ang magkatulad na linya ay may parehong mga slope.Samakatuwid, nakita namin ang isang halagang x_0 na =-2x_0 +5=-3.

Nakukuha namin ang: x_0 = 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang tangent ay dumadaan sa mga puntos na A(-6; 2) at B(-1; 1). Tukuyin sa pamamagitan ng C(-6; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=-6 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulong ABC (makikita sa pigura na ito ay matalim). Pagkatapos ang linyang AB ay bumubuo ng isang obtuse angle \pi -\alpha na may positibong direksyon ng Ox axis.

Tulad ng alam mo, ang tg(\pi -\alpha) ang magiging halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0. pansinin mo yan tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Mula dito, sa pamamagitan ng mga pormula ng pagbabawas, nakukuha namin ang: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=-2x-4 ay padaplis sa graph ng function na y=16x^2+bx+12. Hanapin ang b , dahil ang abscissa ng touch point ay mas malaki sa zero.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Hayaang ang x_0 ay ang abscissa ng punto sa graph ng function na y=16x^2+bx+12 kung saan

ay padaplis sa graph na ito.

Ang halaga ng derivative sa puntong x_0 ay katumbas ng slope ng tangent, iyon ay, y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sa kabilang banda, ang tangent point ay kabilang sa parehong graph ng function. at ang padaplis, iyon ay, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng x_0^2=1, na nangangahulugang alinman sa x_0=-1 o x_0=1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang mga touch point ay mas malaki kaysa sa zero, samakatuwid x_0=1, pagkatapos ay b=-2-32x_0=-34.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function na y=f(x) na tinukoy sa pagitan (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga punto kung saan ang padaplis sa graph ng function ay parallel sa tuwid na linya y=6.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang linyang y=6 ay parallel sa Ox axis. Samakatuwid, nakita namin ang mga naturang punto kung saan ang tangent sa function graph ay kahanay sa Ox axis. Sa chart na ito, ang mga nasabing puntos ay mga extremum point (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita mo, mayroong 4 na extremum point.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ang linyang y=4x-6 ay parallel sa tangent sa graph ng function na y=x^2-4x+9. Hanapin ang abscissa ng point of contact.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Ang slope ng tangent sa graph ng function na y \u003d x ^ 2-4x + 9 sa isang arbitrary point x_0 ay y "(x_0). Ngunit y" \u003d 2x-4, na nangangahulugang y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Ang slope ng tangent y \u003d 4x-7 na tinukoy sa kondisyon ay katumbas ng 4. Ang mga parallel na linya ay may parehong mga slope. Samakatuwid, nakita namin ang isang halaga na x_0 na 2x_0-4 \u003d 4. Nakukuha namin : x_0 \u003d 4.

Sagot

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa pagsusulit-2017. antas ng profile. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Uri ng trabaho: 7
Paksa: Ang geometric na kahulugan ng derivative. Tangent sa function na graph

Kundisyon

Ipinapakita ng figure ang graph ng function na y=f(x) at ang padaplis dito sa puntong may abscissa x_0. Hanapin ang halaga ng derivative ng function na f(x) sa puntong x_0.

Ipakita ang Solusyon

Desisyon

Mula sa figure, tinutukoy namin na ang padaplis ay dumadaan sa mga puntong A(1; 1) at B(5; 4). Tukuyin sa pamamagitan ng C(5; 1) ang punto ng intersection ng mga linyang x=5 at y=1, at sa pamamagitan ng \alpha ang anggulo BAC (makikita sa pigura na ito ay matalim). Pagkatapos ang linyang AB ay bumubuo ng isang anggulo \alpha na may positibong direksyon ng axis ng Ox.

Upang malaman ang geometric na halaga ng derivative, isaalang-alang ang graph ng function na y = f(x). Kumuha ng arbitrary point M na may mga coordinate (x, y) at isang point N malapit dito (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Iguhit natin ang mga ordinate na $\overline(M_(1) M)$ at $\overline(N_(1) N)$, at gumuhit ng linyang parallel sa OX axis mula sa puntong M.

Ang ratio na $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ ay ang padaplis ng anggulo $\alpha $1 na nabuo ng secant MN na may positibong direksyon ng OX axis. Habang ang $\Delta $x ay may posibilidad na maging zero, ang punto N ay lalapit sa M, at ang tangent MT sa curve sa punto M ay magiging limitasyon ng posisyon ng secant MN. Kaya, ang derivative f`(x) ay katumbas ng tangent ng anggulo na $\alpha $ na nabuo ng padaplis na kurba sa puntong M (x, y) na may positibong direksyon patungo sa axis ng OX - ang slope ng tangent (Fig. 1).

Figure 1. Graph ng isang function

Kapag kinakalkula ang mga halaga gamit ang mga formula (1), mahalagang huwag magkamali sa mga palatandaan, dahil ang pagtaas ay maaaring negatibo.

Ang punto N na nakahiga sa kurba ay maaaring lumapit sa M mula sa anumang panig. Kaya, kung sa Figure 1, ang tangent ay binibigyan ng kabaligtaran na direksyon, ang anggulo na $\alpha $ ay magbabago ng $\pi $, na makabuluhang makakaapekto sa tangent ng anggulo at, nang naaayon, ang slope.

Konklusyon

Kasunod nito, ang pagkakaroon ng derivative ay konektado sa pagkakaroon ng tangent sa curve y = f(x), at ang slope -- tg $\alpha $ = f`(x) ay may hangganan. Samakatuwid, ang tangent ay hindi dapat maging parallel sa OY axis, kung hindi, $\alpha $ = $\pi $/2, at ang tangent ng anggulo ay magiging infinite.

Sa ilang mga punto, ang tuluy-tuloy na kurba ay maaaring walang tangent o may tangent na parallel sa OY axis (Larawan 2). Kung gayon ang function ay hindi maaaring magkaroon ng derivative sa mga halagang ito. Maaaring mayroong anumang bilang ng mga naturang punto sa curve ng function.

Figure 2. Pambihirang mga punto ng curve

Isaalang-alang ang Figure 2. Hayaang maging zero ang $\Delta $x mula sa mga negatibo o positibong halaga:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Kung sa kasong ito ang mga relasyon (1) ay may isang may hangganang pasilyo, ito ay tinutukoy bilang:

Sa unang kaso, ang derivative sa kaliwa, sa pangalawa, ang derivative sa kanan.

Ang pagkakaroon ng limitasyon ay nagsasalita ng pagkakapantay-pantay at pagkakapantay-pantay ng kaliwa at kanang derivatives:

Kung ang kaliwa at kanang derivatives ay hindi pantay, pagkatapos ay sa puntong ito mayroong mga tangent na hindi parallel sa OY (punto M1, Fig. 2). Sa mga puntong M2, M3, ang mga relasyon (1) ay may posibilidad na walang katapusan.

Para sa N puntos sa kaliwa ng M2, $\Delta $x $

Sa kanan ng $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, ngunit ang expression ay f(x + $\Delta $x) din -- f(x) $

Para sa puntong $M_3$ sa kaliwa $\Delta $x $$ 0 at f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, i.e. ang mga expression (1) ay parehong positibo sa kaliwa at kanan at may posibilidad na +$\infty $ pareho kapag ang $\Delta $x ay lumalapit sa -0 at +0.

Ang kaso ng kawalan ng derivative sa mga partikular na punto ng linya (x = c) ay ipinapakita sa Figure 3.

Figure 3. Kawalan ng mga derivatives

Halimbawa 1

Ipinapakita ng Figure 4 ang graph ng function at ang tangent sa graph sa puntong may abscissa $x_0$. Hanapin ang halaga ng derivative ng function sa abscissa.

Desisyon. Ang derivative sa isang punto ay katumbas ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument. Pumili tayo ng dalawang puntos na may integer coordinates sa tangent. Hayaan, halimbawa, ang mga ito ay mga puntos F (-3.2) at C (-2.4).