Sa artikulong ito, ipapakita namin kung paano mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo at numero sa trigonometry. Dito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng mga talaan, magbigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa konklusyon, gumuhit kami ng parallel sa pagitan ng mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent sa trigonometry at geometry.
Pag-navigate sa pahina.
Kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent
Sundan natin kung paano nabuo ang konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent sa kursong matematika ng paaralan. Sa mga aralin sa geometry, ibinibigay ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle. At kalaunan ay pinag-aralan ang trigonometrya, na tumutukoy sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot at ang numero. Ibinibigay namin ang lahat ng mga kahulugang ito, nagbibigay ng mga halimbawa at nagbibigay ng mga kinakailangang komento.
Talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok
Mula sa kurso ng geometry, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay kilala. Ang mga ito ay ibinibigay bilang ratio ng mga gilid ng isang tamang tatsulok. Ipinakita namin ang kanilang mga pormulasyon.
Kahulugan.
Sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa hypotenuse.
Kahulugan.
Cosine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Kahulugan.
Tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng tapat na binti sa katabing binti.
Kahulugan.
Cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa tapat na binti.
Ang notasyon ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ipinakilala din doon - sin, cos, tg at ctg, ayon sa pagkakabanggit.
Halimbawa, kung ang ABC ay isang tamang tatsulok na may tamang anggulo C, kung gayon ang sine ng talamak na anggulo A ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti BC sa hypotenuse AB, iyon ay, sin∠A=BC/AB.
Ang mga kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang matinding anggulo mula sa kilalang haba ng mga gilid ng isang right triangle, pati na rin mula sa mga kilalang halaga ng sine, cosine, tangent, cotangent at ang haba ng isa sa mga gilid, hanapin ang mga haba ng iba pang panig. Halimbawa, kung alam natin na sa isang kanang tatsulok ang leg AC ay 3 at ang hypotenuse AB ay 7 , maaari nating kalkulahin ang cosine ng acute angle A sa pamamagitan ng kahulugan: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Anggulo ng pag-ikot
Sa trigonometrya, sinimulan nilang tingnan ang anggulo nang mas malawak - ipinakilala nila ang konsepto ng anggulo ng pag-ikot. Ang anggulo ng pag-ikot, hindi tulad ng isang matinding anggulo, ay hindi limitado sa mga frame mula 0 hanggang 90 degrees, ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree (at sa radians) ay maaaring ipahayag ng anumang tunay na numero mula −∞ hanggang +∞.
Sa ganitong liwanag, ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay hindi na isang matinding anggulo, ngunit isang anggulo ng di-makatwirang magnitude - ang anggulo ng pag-ikot. Ang mga ito ay ibinibigay sa pamamagitan ng x at y na mga coordinate ng point A 1 , kung saan ang tinatawag na initial point A(1, 0) ay dumadaan pagkatapos itong umikot sa isang anggulo α sa paligid ng point O - ang simula ng isang rectangular Cartesian coordinate system at ang gitna ng bilog na yunit.
Kahulugan.
Sine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ordinate ng point A 1 , iyon ay, sinα=y .
Kahulugan.
cosine ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay tinatawag na abscissa ng punto A 1 , iyon ay, cosα=x .
Kahulugan.
Tangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 sa abscissa nito, iyon ay, tgα=y/x .
Kahulugan.
Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot Ang α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 sa ordinate nito, iyon ay, ctgα=x/y .
Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo α , dahil palagi nating matutukoy ang abscissa at ordinate ng isang punto, na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa pamamagitan ng anggulo α . At ang tangent at cotangent ay hindi tinukoy para sa anumang anggulo. Ang tangent ay hindi tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang paunang punto ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) o (0, −1) , at ito ay nagaganap sa mga anggulo 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Sa katunayan, sa ganitong mga anggulo ng pag-ikot, ang expression na tgα=y/x ay hindi makatwiran, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Tulad ng para sa cotangent, hindi ito tinukoy para sa mga naturang anggulo α kung saan ang panimulang punto ay papunta sa isang punto na may zero ordinate (1, 0) o (−1, 0) , at ito ang kaso para sa mga anggulo 180° k , k . ∈Z (π k rad).
Kaya, ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo ng pag-ikot, ang tangent ay tinukoy para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), at ang cotangent ay para sa lahat ng mga anggulo maliban sa 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Ang mga notasyong kilala na natin ay lumilitaw sa mga kahulugang sin, cos, tg at ctg, ginagamit din ang mga ito upang tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot (kung minsan ay makikita mo ang notasyong tan at cot na tumutugon sa tangent at cotangent). Kaya ang sine ng anggulo ng pag-ikot na 30 degrees ay maaaring isulat bilang sin30°, ang mga tala tg(−24°17′) at ctgα ay tumutugma sa tangent ng anggulo ng pag-ikot −24 degrees 17 minuto at ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α . Alalahanin na kapag isinusulat ang radian na sukat ng isang anggulo, ang notasyong "rad" ay madalas na tinanggal. Halimbawa, ang cosine ng isang anggulo ng pag-ikot ng tatlong pi rad ay karaniwang tinutukoy na cos3 π .
Sa pagtatapos ng talatang ito, nararapat na tandaan na sa pag-uusap tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot, ang pariralang "anggulo ng pag-ikot" o ang salitang "pag-ikot" ay madalas na tinanggal. Iyon ay, sa halip na ang pariralang "sine ng anggulo ng pag-ikot alpha", ang pariralang "sine ng anggulo ng alpha" ay karaniwang ginagamit, o kahit na mas maikli - "sine ng alpha". Ang parehong naaangkop sa cosine, at tangent, at cotangent.
Sabihin din natin na ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang acute angle sa isang right triangle ay pare-pareho sa mga kahulugan na ibinigay para sa sine, cosine, tangent, at cotangent ng isang rotation angle mula 0 hanggang 90 degrees. Papatunayan natin ito.
Numero
Kahulugan.
Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero Ang t ay isang numerong katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot sa t radians, ayon sa pagkakabanggit.
Halimbawa, ang cosine ng 8 π ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang numero na katumbas ng cosine ng isang anggulo ng 8 π rad. At ang cosine ng anggulo sa 8 π rad ay katumbas ng isa, samakatuwid, ang cosine ng numero 8 π ay katumbas ng 1.
May isa pang diskarte sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Binubuo ito sa katotohanan na ang bawat tunay na numero t ay itinalaga ng isang punto ng bilog ng yunit na nakasentro sa pinagmulan ng rectangular coordinate system, at ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito. Pag-isipan natin ito nang mas detalyado.
Ipakita natin kung paano naitatag ang pagsusulatan sa pagitan ng mga tunay na numero at mga punto ng bilog:
- ang numero 0 ay itinalaga ang panimulang punto A(1, 0) ;
- ang isang positibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa paligid ng bilog mula sa panimulang punto sa pakaliwa na direksyon at dumaan sa landas na may haba na t;
- ang negatibong numerong t ay nauugnay sa isang punto sa bilog ng yunit, na mapupuntahan natin kung lilipat tayo sa bilog mula sa panimulang punto sa direksyong pakanan at dadaan sa landas na may haba |t| .
Ngayon ay lumipat tayo sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng numerong t. Ipagpalagay natin na ang numerong t ay tumutugma sa isang punto ng bilog na A 1 (x, y) (halimbawa, ang numerong &pi/2; ay tumutugma sa puntong A 1 (0, 1) ).
Kahulugan.
Ang sine ng isang numero t ay ang ordinate ng unit circle point na tumutugma sa numerong t , iyon ay, sint=y .
Kahulugan.
Ang cosine ng isang numero Ang t ay tinatawag na abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numerong t , iyon ay, cost=x .
Kahulugan.
Tangent ng isang numero t ay ang ratio ng ordinate sa abscissa ng punto ng unit circle na tumutugma sa numerong t, iyon ay, tgt=y/x. Sa isa pang katumbas na pagbabalangkas, ang tangent ng numerong t ay ang ratio ng sine ng numerong ito sa cosine, iyon ay, tgt=sint/cost .
Kahulugan.
Cotangent ng isang numero Ang t ay ang ratio ng abscissa sa ordinate ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa bilang na t, iyon ay, ctgt=x/y. Ang isa pang pagbabalangkas ay ang mga sumusunod: ang padaplis ng numerong t ay ang ratio ng cosine ng numerong t sa sine ng numerong t : ctgt=cost/sint .
Dito ay napapansin namin na ang mga kahulugan na ibinigay ay sumasang-ayon sa kahulugan na ibinigay sa simula ng subsection na ito. Sa katunayan, ang punto ng bilog na yunit na tumutugma sa numerong t ay tumutugma sa puntong nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng panimulang punto sa isang anggulo ng t radian.
Ito rin ay nagkakahalaga ng paglilinaw sa puntong ito. Sabihin na nating may sin3 entry tayo. Paano maiintindihan kung ang sine ng numero 3 o ang sine ng anggulo ng pag-ikot ng 3 radian ay pinag-uusapan? Karaniwan itong malinaw mula sa konteksto, kung hindi, malamang na hindi ito mahalaga.
Trigonometric function ng angular at numerical argument
Ayon sa mga kahulugang ibinigay sa nakaraang talata, ang bawat anggulo ng pag-ikot α ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sinα, pati na rin ang halaga ng cosα. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga anggulo ng pag-ikot maliban sa 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ay tumutugma sa mga value na tgα , at maliban sa 180° k , k∈Z (π k rad ) ay ang mga halaga ng ctgα . Samakatuwid ang sinα, cosα, tgα at ctgα ay mga pag-andar ng anggulo α. Sa madaling salita, ito ay mga function ng angular argument.
Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga function na sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numerical argument. Sa katunayan, ang bawat tunay na numero t ay tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng sint , pati na rin ang gastos . Bilang karagdagan, ang lahat ng mga numero maliban sa π/2+π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value tgt , at ang mga numerong π·k , k∈Z ay tumutugma sa mga value na ctgt .
Tinatawag ang mga function na sine, cosine, tangent at cotangent pangunahing mga function ng trigonometriko.
Karaniwang malinaw mula sa konteksto na tayo ay nakikitungo sa mga trigonometriko na pag-andar ng isang angular na argumento o isang numerical na argumento. Kung hindi, maaari nating isaalang-alang ang independiyenteng variable bilang parehong sukatan ng anggulo (ang angle argument) at isang numeric na argumento.
Gayunpaman, pangunahing pinag-aaralan ng paaralan ang mga numeric na function, iyon ay, mga function na ang mga argumento, pati na rin ang kanilang mga katumbas na halaga ng function, ay mga numero. Samakatuwid, kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga pag-andar, ipinapayong isaalang-alang ang mga function ng trigonometriko bilang mga pag-andar ng mga numerical na argumento.
Koneksyon ng mga kahulugan mula sa geometry at trigonometry
Kung isasaalang-alang natin ang anggulo ng pag-ikot α mula 0 hanggang 90 degrees, kung gayon ang data sa konteksto ng trigonometrya ng kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng anggulo ng pag-ikot ay ganap na naaayon sa mga kahulugan ng sine, cosine , tangent at cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok, na ibinibigay sa kursong geometry. Patunayan natin ito.
Gumuhit ng unit circle sa rectangular Cartesian coordinate system na Oxy. Tandaan ang panimulang punto A(1, 0) . Iikot natin ito sa pamamagitan ng isang anggulo α mula 0 hanggang 90 degrees, makuha natin ang puntong A 1 (x, y) . Ibagsak natin ang patayo A 1 H mula sa puntong A 1 patungo sa axis ng Ox.
Madaling makita na sa isang kanang tatsulok ang anggulo A 1 OH ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti OH na katabi ng anggulong ito ay katumbas ng abscissa ng punto A 1, iyon ay, |OH |=x, ang haba ng binti A 1 H sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng punto A 1 , ibig sabihin, |A 1 H|=y , at ang haba ng hypotenuse OA 1 ay katumbas ng isa , dahil ito ang radius ng unit circle. Pagkatapos, ayon sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng isang matinding anggulo α sa isang tamang tatsulok A 1 OH ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, iyon ay, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . At sa pamamagitan ng kahulugan mula sa trigonometrya, ang sine ng anggulo ng pag-ikot α ay katumbas ng ordinate ng punto A 1, iyon ay, sinα=y. Ipinapakita nito na ang kahulugan ng sine ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng kahulugan ng sine ng anggulo ng pag-ikot α para sa α mula 0 hanggang 90 degrees.
Katulad nito, maipapakita na ang mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng isang matinding anggulo α ay pare-pareho sa mga kahulugan ng cosine, tangent, at cotangent ng anggulo ng pag-ikot α.
Bibliograpiya.
- Geometry. 7-9 baitang: pag-aaral. para sa pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev at iba pa]. - ika-20 ed. M.: Edukasyon, 2010. - 384 p.: may sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometry: Proc. para sa 7-9 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. V. Pogorelov. - 2nd ed. - M.: Enlightenment, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra at elementarya function: Textbook para sa mga mag-aaral ng grade 9 ng sekondaryang paaralan / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; In-edit ni Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin. - 4th ed. Moscow: Edukasyon, 1969.
- Algebra: Proc. para sa 9 na mga cell. avg. paaralan / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn at iba pa; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovich A. G. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Baitang 10. Sa 2 pm Bahagi 1: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed., idagdag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - I .: Education, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 na mga cell. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.
Sinus acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio kabaligtaran catheter sa hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: kasalanan α.
Cosine Ang acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: cos α.
Padaplis acute angle α ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: tg α.
Cotangent acute angle α ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: ctg α.
Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.
Mga Panuntunan:
Mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan sa isang tamang tatsulok:
(α - talamak na anggulo sa tapat ng binti b at katabi ng binti a . Gilid kasama - hypotenuse. β - ang pangalawang talamak na anggulo).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Habang tumataas ang talamak na anggulosinα attg α pagtaas, atcos α bumababa.
Para sa anumang matinding anggulo α:
kasalanan (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Halimbawang nagpapaliwanag:
Hayaan sa isang right triangle ABC
AB = 6,
BC = 3,
anggulo A = 30º.
Hanapin ang sine ng anggulo A at ang cosine ng anggulo B.
Desisyon .
1) Una, nakita namin ang halaga ng anggulo B. Ang lahat ay simple dito: dahil sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ay 90º, pagkatapos ang anggulo B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Kalkulahin ang kasalanan A. Alam natin na ang sine ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na paa sa hypotenuse. Para sa anggulo A, ang kabaligtaran na binti ay gilid BC. Kaya:
BC 3 1
kasalanan A = -- = - = -
AB 6 2
3) Ngayon ay kinakalkula namin ang cos B. Alam namin na ang cosine ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Para sa anggulo B, ang katabing binti ay ang parehong bahagi BC. Nangangahulugan ito na kailangan nating hatiin muli ang BC sa AB - iyon ay, gawin ang parehong mga aksyon tulad ng kapag kinakalkula ang sine ng anggulo A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Ang resulta ay:
kasalanan A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Mula dito sumusunod na sa isang tamang tatsulok ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng cosine ng isa pang talamak na anggulo - at kabaliktaran. Ito mismo ang ibig sabihin ng aming dalawang formula:
kasalanan (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Suriin natin itong muli:
1) Hayaan ang α = 60º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa sinus formula, nakukuha natin:
kasalanan (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Hayaan ang α = 30º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa formula ng cosine, nakukuha natin:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Para sa higit pa sa trigonometrya, tingnan ang seksyong Algebra)
Mga pagkakakilanlan ng trigonometric ay mga pagkakapantay-pantay na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo, na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang alinman sa mga function na ito, basta't alam ang iba.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Sinasabi ng pagkakakilanlan na ito na ang kabuuan ng parisukat ng sine ng isang anggulo at ang parisukat ng cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa, na sa pagsasanay ay ginagawang posible upang makalkula ang sine ng isang anggulo kapag ang cosine nito ay kilala at vice versa .
Kapag nagko-convert ng mga trigonometric expression, ang pagkakakilanlan na ito ay madalas na ginagamit, na nagbibigay-daan sa iyo upang palitan ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine ng isang anggulo sa isa at gampanan din ang pagpapalit na operasyon sa reverse order.
Paghahanap ng tangent at cotangent sa pamamagitan ng sine at cosine
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Ang mga pagkakakilanlang ito ay nabuo mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent. Pagkatapos ng lahat, kung titingnan mo, kung gayon sa kahulugan, ang ordinate ng y ay ang sine, at ang abscissa ng x ay ang cosine. Pagkatapos ang padaplis ay magiging katumbas ng ratio \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), at ang ratio \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- ay magiging isang cotangent.
Idinagdag namin na para lamang sa mga naturang anggulo \alpha kung saan ang mga trigonometric function na kasama sa mga ito ay may katuturan, ang mga pagkakakilanlan ay magaganap, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Halimbawa: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ay may bisa para sa \alpha anggulo na iba sa \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para sa isang anggulo na \alpha maliban sa \pi z , ang z ay isang integer.
Relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa lamang para sa mga anggulong \alpha na naiiba sa \frac(\pi)(2) z. Kung hindi, alinman sa cotangent o tangent ay hindi matutukoy.
Batay sa mga punto sa itaas, nakukuha natin iyon tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Kaya naman sinusunod iyon tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Kaya, ang tangent at cotangent ng isang anggulo kung saan sila nagkakaroon ng kahulugan ay magkatuwang na mga numero.
Mga ugnayan sa pagitan ng tangent at cosine, cotangent at sine
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- ang kabuuan ng parisukat ng tangent ng anggulo \alpha at 1 ay katumbas ng inverse square ng cosine ng anggulong ito. Ang pagkakakilanlan na ito ay wasto para sa lahat ng \alpha maliban sa \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- ang kabuuan ng 1 at ang parisukat ng cotangent ng anggulo \alpha , ay katumbas ng inverse square ng sine ng ibinigay na anggulo. Ang pagkakakilanlan na ito ay wasto para sa anumang \alpha maliban sa \pi z .
Mga halimbawang may solusyon sa mga problema gamit ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan
Halimbawa 1
Hanapin ang \sin \alpha at tg \alpha kung \cos \alpha=-\frac12 at \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Ipakita ang Solusyon
Desisyon
Ang mga function na \sin \alpha at \cos \alpha ay iniuugnay ng formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pagpapalit sa formula na ito \cos \alpha = -\frac12, nakukuha natin:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ang equation na ito ay may 2 solusyon:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Sa pamamagitan ng kondisyon \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Sa second quarter, positive ang sine, kaya \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Upang mahanap ang tg \alpha , ginagamit namin ang formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Halimbawa 2
Hanapin ang \cos \alpha at ctg \alpha kung at \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Ipakita ang Solusyon
Desisyon
Pagpapalit sa formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 kondisyong numero \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), nakukuha namin \kaliwa (\frac(\sqrt3)(2)\kanan)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ang equation na ito ay may dalawang solusyon \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Sa pamamagitan ng kondisyon \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Sa ikalawang quarter, ang cosine ay negatibo, kaya \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Upang mahanap ang ctg \alpha , ginagamit namin ang formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Alam natin ang mga katumbas na halaga.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Ang mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing kategorya ng trigonometry - isang sangay ng matematika, at hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa kahulugan ng isang anggulo. Ang pagkakaroon ng mathematical science na ito ay nangangailangan ng pagsasaulo at pag-unawa sa mga formula at theorems, pati na rin ang nabuong spatial na pag-iisip. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Upang mapagtagumpayan ang mga ito, dapat kang maging mas pamilyar sa mga function at formula ng trigonometriko.
Mga konsepto sa trigonometrya
Upang maunawaan ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kailangan mo munang magpasya kung ano ang isang tamang tatsulok at isang anggulo sa isang bilog, at kung bakit ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ng trigonometriko ay nauugnay sa kanila. Ang isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 degrees ay isang tamang tatsulok. Sa kasaysayan, ang figure na ito ay madalas na ginagamit ng mga tao sa arkitektura, nabigasyon, sining, astronomiya. Alinsunod dito, ang pag-aaral at pag-aaral ng mga katangian ng figure na ito, ang mga tao ay dumating sa pagkalkula ng kaukulang ratios ng mga parameter nito.
Ang mga pangunahing kategorya na nauugnay sa mga tamang tatsulok ay ang hypotenuse at ang mga binti. Ang hypotenuse ay ang gilid ng isang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay ang iba pang dalawang panig. Ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay palaging 180 degrees.
Ang spherical trigonometry ay isang seksyon ng trigonometry na hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit sa mga inilapat na agham tulad ng astronomy at geodesy, ginagamit ito ng mga siyentipiko. Ang isang tampok ng isang tatsulok sa spherical trigonometrya ay na ito ay palaging may kabuuan ng mga anggulo na higit sa 180 degrees.
Mga anggulo ng isang tatsulok
Sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti sa tapat ng nais na anggulo sa hypotenuse ng tatsulok. Alinsunod dito, ang cosine ay ang ratio ng katabing binti at hypotenuse. Ang parehong mga halagang ito ay palaging may halaga na mas mababa sa isa, dahil ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa binti.
Ang tangent ng isang anggulo ay isang halaga na katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti ng nais na anggulo, o sine sa cosine. Ang cotangent, sa turn, ay ang ratio ng katabing binti ng nais na anggulo sa kabaligtaran na cactet. Ang cotangent ng isang anggulo ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghahati ng unit sa halaga ng tangent.
bilog na yunit
Ang unit circle sa geometry ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Ang nasabing bilog ay itinayo sa Cartesian coordinate system, na ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinanggalingan, at ang paunang posisyon ng radius vector ay tinutukoy ng positibong direksyon ng X axis (abscissa axis). Ang bawat punto ng bilog ay may dalawang coordinate: XX at YY, iyon ay, ang mga coordinate ng abscissa at ordinate. Ang pagpili ng anumang punto sa bilog sa XX na eroplano, at pag-drop ng patayo mula dito sa abscissa axis, nakakakuha tayo ng isang tamang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng isang radius sa napiling punto (ipahiwatig natin ito sa pamamagitan ng titik C), isang patayo na iginuhit sa ang X axis (ang intersection point ay tinutukoy ng letrang G), at isang segment ang abscissa axis sa pagitan ng pinanggalingan (ang punto ay tinutukoy ng letrang A) at ang intersection point G. Ang resultang tatsulok na ACG ay isang tamang tatsulok na nakasulat sa isang bilog, kung saan ang AG ay ang hypotenuse, at ang AC at GC ay ang mga binti. Ang anggulo sa pagitan ng radius ng bilog AC at ang segment ng abscissa axis na may pagtatalagang AG, tinutukoy namin bilang α (alpha). Kaya, cos α = AG/AC. Dahil ang AC ay ang radius ng unit circle, at ito ay katumbas ng isa, lumalabas na cos α=AG. Katulad nito, kasalanan α=CG.
Bilang karagdagan, sa pag-alam sa mga datos na ito, matutukoy mo ang coordinate ng point C sa bilog, dahil cos α=AG, at sin α=CG, na nangangahulugan na ang point C ay may ibinigay na mga coordinate (cos α; sin α). Alam na ang tangent ay katumbas ng ratio ng sine sa cosine, matutukoy natin na tg α \u003d y / x, at ctg α \u003d x / y. Isinasaalang-alang ang mga anggulo sa isang negatibong sistema ng coordinate, maaari itong kalkulahin na ang mga halaga ng sine at cosine ng ilang mga anggulo ay maaaring negatibo.
Mga kalkulasyon at pangunahing mga formula
Mga halaga ng trigonometriko function
Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng bilog ng yunit, maaari nating makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa ilang mga anggulo. Ang mga halaga ay nakalista sa talahanayan sa ibaba.
Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan
Ang mga equation kung saan mayroong hindi kilalang halaga sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay tinatawag na trigonometric. Ang mga pagkakakilanlan na may halagang sin x = α, k ay anumang integer:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- kasalanan x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- kasalanan x = a, |a| > 1, walang solusyon.
- kasalanan x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Mga pagkakakilanlan na may value na cos x = a, kung saan ang k ay anumang integer:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, walang solusyon.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Mga pagkakakilanlan na may halagang tg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Mga pagkakakilanlan na may halagang ctg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Mga formula ng cast
Ang kategoryang ito ng mga pare-parehong pormula ay nagpapahiwatig ng mga pamamaraan kung saan maaari kang pumunta mula sa mga trigonometrikong pag-andar ng anyo hanggang sa mga pag-andar ng argumento, iyon ay, i-convert ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng anumang halaga sa kaukulang mga tagapagpahiwatig ng anggulo ng ang pagitan mula 0 hanggang 90 degrees para sa higit na kaginhawahan ng mga kalkulasyon.
Ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function para sa sine ng isang anggulo ay ganito ang hitsura:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- kasalanan(1800 - α) = kasalanan α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- kasalanan(3600 + α) = kasalanan α.
Para sa cosine ng isang anggulo:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Ang paggamit ng mga formula sa itaas ay posibleng napapailalim sa dalawang panuntunan. Una, kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang isang halaga (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), ang halaga ng function ay nagbabago:
- mula sa kasalanan hanggang sa cos;
- mula sa cos hanggang sa kasalanan;
- mula tg hanggang ctg;
- mula ctg hanggang tg.
Ang halaga ng function ay nananatiling hindi nagbabago kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ± a) o (2π ± a).
Pangalawa, ang tanda ng pinababang pag-andar ay hindi nagbabago: kung ito ay positibo sa una, ito ay nananatiling gayon. Ang parehong ay totoo para sa mga negatibong function.
Mga Formula sa Pagdaragdag
Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga halaga ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo ng pag-ikot sa mga tuntunin ng kanilang mga trigonometric na function. Ang mga anggulo ay karaniwang tinutukoy bilang α at β.
Ang mga formula ay ganito ang hitsura:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Ang mga formula na ito ay wasto para sa anumang mga anggulo α at β.
Mga formula ng doble at triple anggulo
Ang mga trigonometric na formula ng doble at triple na anggulo ay mga formula na nag-uugnay sa mga function ng mga anggulo 2α at 3α, ayon sa pagkakabanggit, sa mga trigonometric na function ng angle α. Nagmula sa mga pormula ng karagdagan:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Paglipat mula sa kabuuan patungo sa produkto
Isinasaalang-alang na ang 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), na pinasimple ang formula na ito, nakuha natin ang pagkakakilanlan sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Katulad nito, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan
Ang mga formula na ito ay sumusunod mula sa mga pagkakakilanlan para sa paglipat ng kabuuan sa produkto:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Mga formula ng pagbabawas
Sa mga pagkakakilanlan na ito, ang mga parisukat at kubiko na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng sine at cosine ng unang kapangyarihan ng maraming anggulo:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Pangkalahatang pagpapalit
Ang unibersal na trigonometric substitution formula ay nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), habang x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kung saan x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), habang x \u003d π + 2πn.
Mga espesyal na kaso
Ang mga partikular na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation ay ibinibigay sa ibaba (k ay anumang integer).
Pribado para sa sine:
| halaga ng kasalanan x | x na halaga |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk |
Cosine quotients:
| cos x na halaga | x na halaga |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Pribado para sa tangent:
| halaga ng tg x | x na halaga |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Cotangent quotients:
| ctg x halaga | x na halaga |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Theorems
Sine theorem
Mayroong dalawang bersyon ng theorem - simple at extended. Simple sine theorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sa kasong ito, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α, β, γ ay ang magkasalungat na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit.
Extended sine theorem para sa isang arbitrary triangle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Sa pagkakakilanlang ito, ang R ay tumutukoy sa radius ng bilog kung saan ang ibinigay na tatsulok ay nakasulat.
Cosine theorem
Ang pagkakakilanlan ay ipinapakita sa ganitong paraan: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Sa formula, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α ay ang anggulo sa tapat ng panig a.
Tangent theorem
Ang formula ay nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng mga tangent ng dalawang anggulo, at ang haba ng mga gilid sa tapat ng mga ito. Ang mga gilid ay may label na a, b, c, at ang katumbas na magkasalungat na anggulo ay α, β, γ. Ang formula ng tangent theorem: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Cotangent theorem
Iniuugnay ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok na may haba ng mga gilid nito. Kung ang a, b, c ay ang mga gilid ng isang tatsulok, at ang A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, ay ang kanilang magkasalungat na mga anggulo, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang kalahating perimeter ng tatsulok, ang mga sumusunod na pagkakakilanlan hawakan:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Mga aplikasyon
Ang trigonometrya ay hindi lamang isang teoretikal na agham na nauugnay sa mga mathematical formula. Ang mga katangian, teorema at panuntunan nito ay ginagamit sa pagsasanay ng iba't ibang sangay ng aktibidad ng tao - astronomy, nabigasyon sa himpapawid at dagat, teorya ng musika, geodesy, chemistry, acoustics, optika, electronics, arkitektura, ekonomiya, mechanical engineering, pagsukat ng trabaho, computer graphics, cartography, oceanography, at marami pang iba.
Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing konsepto ng trigonometry, kung saan maaari mong mathematically ipahayag ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at haba ng mga gilid sa isang tatsulok, at hanapin ang nais na dami sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan, theorems at mga panuntunan.
Lecture: Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang arbitrary na anggulo
Sine, cosine ng isang arbitrary na anggulo
Upang maunawaan kung ano ang trigonometriko function, lumiko tayo sa isang bilog na may radius ng unit. Ang bilog na ito ay nakasentro sa pinanggalingan sa coordinate plane. Upang matukoy ang mga ibinigay na function, gagamitin namin ang radius vector O, na nagsisimula sa gitna ng bilog, at sa punto R ay isang punto sa bilog. Ang radius vector na ito ay bumubuo ng isang anggulong alpha na may axis OH. Dahil ang bilog ay may radius na katumbas ng isa, kung gayon O = R = 1.
Kung mula sa punto R drop ng isang patayo sa axis OH, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang tamang tatsulok na may hypotenuse na katumbas ng isa.
Kung ang radius vector ay gumagalaw nang pakanan, kung gayon ang direksyon na ito ay tinatawag negatibo, ngunit kung ito ay gumagalaw ng counter-clockwise - positibo.
Ang sine ng isang anggulo O, ay ang ordinate ng punto R mga vector sa isang bilog.
Iyon ay, upang makuha ang halaga ng sine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate Sa sa ibabaw.
Paano nakuha ang halagang ito? Dahil alam natin na ang sine ng isang arbitrary na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, nakuha natin iyon
At dahil R=1, pagkatapos kasalanan(α) = y 0 .
Sa unit circle, ang ordinate value ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at mas malaki sa 1, na nangangahulugan na
Ang sine ay positibo sa una at ikalawang quarter ng unit circle, at negatibo sa ikatlo at ikaapat.
Cosine ng isang anggulo ibinigay na bilog na nabuo ng radius vector O, ay ang abscissa ng punto R mga vector sa isang bilog.
Iyon ay, upang makuha ang halaga ng cosine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate X sa ibabaw.
Ang cosine ng isang arbitrary na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse, nakuha natin iyon
At dahil R=1, pagkatapos cos(α) = x 0 .
Sa bilog ng yunit, ang halaga ng abscissa ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at mas malaki sa 1, na nangangahulugan na
Ang cosine ay positibo sa una at ikaapat na quadrant ng unit circle, at negatibo sa pangalawa at pangatlo.
padaplisdi-makatwirang anggulo ang ratio ng sine sa cosine ay kinakalkula.
Kung isasaalang-alang natin ang isang tamang tatsulok, kung gayon ito ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang bilog na yunit, kung gayon ito ang ratio ng ordinate sa abscissa.
Sa paghusga sa mga ugnayang ito, mauunawaan na ang tangent ay hindi maaaring umiral kung ang halaga ng abscissa ay zero, iyon ay, sa isang anggulo ng 90 degrees. Maaaring kunin ng tangent ang lahat ng iba pang halaga.
Ang tangent ay positibo sa una at ikatlong quarter ng unit circle, at negatibo sa pangalawa at ikaapat.
