Ano factorization? Ito ay isang paraan ng paggawa ng isang mahirap at kumplikadong halimbawa sa isang simple at maganda.) Napakalakas na trick! Ito ay nangyayari sa bawat hakbang kapwa sa elementarya na matematika at sa mas mataas na matematika.
Ang ganitong mga pagbabago sa matematikal na wika ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon. Sino ang wala sa paksa - maglakad sa link. Napakakaunti, simple at kapaki-pakinabang.) Ang kahulugan ng anumang magkatulad na pagbabago ay ang pagsulat ng ekspresyon sa ibang anyo habang pinapanatili ang kakanyahan nito.
Ibig sabihin mga factorization sobrang simple at naiintindihan. Mula mismo sa pamagat. Maaari mong kalimutan (o hindi alam) kung ano ang multiplier, ngunit maaari mong malaman na ang salitang ito ay nagmula sa salitang "multiply"?) Ang ibig sabihin ng Factoring ay: kumakatawan sa isang pagpapahayag bilang pagpaparami ng isang bagay sa isang bagay. Patawarin mo ako sa matematika at sa wikang Ruso ...) At iyon na.
Halimbawa, kailangan mong i-decompose ang numero 12. Maaari mong ligtas na isulat ang:
Kaya ipinakita namin ang numero 12 bilang isang multiplikasyon ng 3 sa 4. Pakitandaan na ang mga numero sa kanan (3 at 4) ay ganap na naiiba kaysa sa kaliwa (1 at 2). Ngunit alam natin na ang 12 at 3 4 pareho. Ang kakanyahan ng numero 12 mula sa pagbabagong-anyo hindi nagbago.
Posible bang mabulok ang 12 sa ibang paraan? Madali lang!
12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........
Ang mga pagpipilian sa agnas ay walang katapusan.
Ang pag-decompose ng mga numero sa mga kadahilanan ay isang kapaki-pakinabang na bagay. Malaki ang naitutulong nito, halimbawa, kapag nakikitungo sa mga ugat. Ngunit ang factorization ng algebraic expression ay hindi isang bagay na kapaki-pakinabang, ito ay - kailangan! Halimbawa lang:
Pasimplehin:
Yung hindi marunong magfactorize ng expression, magpahinga sa sideline. Sino ang nakakaalam kung paano - pinapasimple at nakakakuha ng:
Ang epekto ay kamangha-manghang, tama?) Sa pamamagitan ng paraan, ang solusyon ay medyo simple. Makikita mo para sa iyong sarili sa ibaba. O, halimbawa, tulad ng isang gawain:
Lutasin ang equation:
x 5 - x 4 = 0
Nagpasya sa isip, sa pamamagitan ng paraan. Sa tulong ng factorization. Sa ibaba ay malulutas natin ang halimbawang ito. Sagot: x 1 = 0; x2 = 1.
O, ang parehong bagay, ngunit para sa mga nakatatanda):
Lutasin ang equation:
Sa mga halimbawang ito, ipinakita ko pangunahing layunin factorizations: pagpapasimple ng fractional expression at solusyon ng ilang uri ng equation. Inirerekomenda kong tandaan ang panuntunan ng hinlalaki:
Kung mayroon tayong isang kahila-hilakbot na fractional expression sa harap natin, maaari nating subukang i-factor ang numerator at denominator. Kadalasan, ang fraction ay nababawasan at pinasimple.
Kung mayroon kaming isang equation sa harap namin, kung saan sa kanan ay zero, at sa kaliwa - hindi maintindihan kung ano, maaari mong subukang i-factor ang kaliwang bahagi. Minsan nakakatulong ito.)
Mga pangunahing pamamaraan ng factorization.
Narito ang mga pinakasikat na paraan:
4. Pagkabulok ng isang parisukat na trinomial.
Ang mga pamamaraang ito ay dapat tandaan. Nasa ganoong ayos. Ang mga kumplikadong halimbawa ay sinusuri para sa lahat ng posibleng paraan ng pagkabulok. At mas mahusay na mag-check in order, upang hindi malito ... Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod.)
1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.
Simple at maaasahang paraan. Hindi ito nagiging masama sa kanya! It happens either well or not at all.) Samakatuwid, siya ang una. Nakakaintindi kami.
Alam ng lahat (naniniwala ako!) ang panuntunan:
a(b+c) = ab+ac
O, mas pangkalahatan:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Gumagana ang lahat ng pagkakapantay-pantay mula kaliwa hanggang kanan, at kabaliktaran, mula kanan hanggang kaliwa. Maaari kang sumulat:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Iyan ang buong punto ng paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket.
Sa kaliwang bahagi a - karaniwang salik para sa lahat ng termino. Pinarami ng lahat.) Tama ang pinaka a ay na sa labas ng mga bracket.
Isasaalang-alang namin ang praktikal na aplikasyon ng pamamaraan na may mga halimbawa. Sa una, ang variant ay simple, kahit primitive.) Ngunit sa variant na ito ay markahan ko (sa berde) ang mga napakahalagang punto para sa anumang factorization.
Multiply:
ah+9x
Alin pangkalahatan ang multiplier ba sa parehong termino? X, siyempre! Aalisin namin ito sa mga bracket. Ginagawa namin ito. Agad naming isinusulat ang x sa labas ng mga bracket:
ax+9x=x(
At sa mga bracket ay isinusulat namin ang resulta ng paghahati bawat termino sa mismong x na ito. sa pagkakasunud-sunod:
Iyon lang. Siyempre, hindi kinakailangang magpinta sa gayong detalye, Ginagawa ito sa isip. Ngunit upang maunawaan kung ano ang, ito ay kanais-nais). Inaayos namin sa memorya:
Isinulat namin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket. Sa mga panaklong, isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng lahat ng mga termino sa pamamagitan ng napakakaraniwang kadahilanan na ito. Sa pagkakasunud-sunod.
Dito namin pinalawak ang expression ah+9x para sa mga multiplier. Ginawa itong pagpaparami ng x sa (a + 9). Pansinin ko na sa orihinal na expression mayroon ding multiplikasyon, kahit dalawa: a x at 9 x. Ngunit ito hindi na factorized! Dahil bilang karagdagan sa multiplikasyon, ang expression na ito ay naglalaman din ng karagdagan, ang "+" sign! At sa ekspresyon x(a+9) walang iba kundi multiplikasyon!
Paano kaya!? - Naririnig ko ang galit na boses ng mga tao - At sa mga bracket!?)
Oo, mayroong karagdagan sa loob ng mga bracket. Ngunit ang trick ay na habang ang mga bracket ay hindi binuksan, isinasaalang-alang namin ang mga ito parang isang letra. At ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na may mga bracket sa kabuuan nito, parang isang letra. Sa ganitong diwa, sa pagpapahayag x(a+9) walang iba kundi pagpaparami. Ito ang buong punto ng factorization.
Oo nga pala, may paraan ba para masuri kung tama ang ginawa namin? Madali! Ito ay sapat na upang i-multiply pabalik kung ano ang kinuha out (x) sa pamamagitan ng mga bracket at makita kung ito ay nagtrabaho out orihinal pagpapahayag? Kung ito ay gumana, lahat ay tip-top!)
x(a+9)=ax+9x
Nangyari.)
Walang problema sa primitive na halimbawang ito. Ngunit kung mayroong ilang mga termino, at kahit na may iba't ibang mga palatandaan ... Sa madaling salita, ang bawat ikatlong mag-aaral ay nagkakagulo). Samakatuwid:
Kung kinakailangan, suriin ang factorization sa pamamagitan ng inverse multiplication.
Multiply:
3ax+9x
Naghahanap kami ng isang karaniwang kadahilanan. Well, lahat ay malinaw sa X, ito ay maaaring matiis. meron pa ba pangkalahatan salik? Oo! Ito ay isang trio. Maaari mo ring isulat ang expression na tulad nito:
3x+3 3x
Dito ay agad na malinaw na ang karaniwang kadahilanan ay magiging 3x. Dito natin ilalabas:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Maghiwa-hiwalay.
At ano ang mangyayari kung kukuha ka x lang? Normal lang, walang espesyal:
3ax+9x=x(3a+9)
Magiging factorization din ito. Ngunit sa kamangha-manghang prosesong ito, kaugalian na ilatag ang lahat hanggang sa huminto ito, habang may pagkakataon. Dito sa mga bracket ay may pagkakataon na kumuha ng triple. Kunin:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Ang parehong bagay, lamang sa isang karagdagang aksyon.) Tandaan:
Kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, sinusubukan naming alisin maximum karaniwang multiplier.
Ipagpatuloy natin ang saya?
Factoring ang expression:
3ax+9x-8a-24
Ano ang ilalabas natin? Tatlo, X? No-ee... Hindi pwede. I remind you na pwede ka lang kumuha pangkalahatan multiplier yan sa lahat mga tuntunin ng pagpapahayag. Kaya pala siya pangkalahatan. Walang ganoong multiplier dito ... Ano, hindi ka maaaring mag-lay out!? Well, oo, kami ay natuwa, kung paano ... Kilalanin:
2. Pagpapangkat.
Sa totoo lang, halos hindi matatawag na independiyenteng paraan ng factorization ang pagpapangkat. Sa halip, ito ay isang paraan upang makawala sa isang kumplikadong halimbawa.) Kailangan mong pangkatin ang mga termino upang maging maayos ang lahat. Maaari lamang itong ipakita sa isang halimbawa. Kaya mayroon kaming isang expression:
3ax+9x-8a-24
Makikita na mayroong ilang karaniwang mga titik at numero. Pero... Heneral walang multiplier sa lahat ng termino. Huwag mawalan ng loob at pinuputol namin ang expression sa mga piraso. Grupo namin. Upang sa bawat piraso ay may isang karaniwang kadahilanan, mayroong isang bagay na ilalabas. Paano tayo magbebreak? Oo, panaklong lang.
Ipaalala ko sa iyo na ang mga bracket ay maaaring ilagay kahit saan at anumang paraan. Kung ang esensya lang ng halimbawa hindi nagbago. Halimbawa, magagawa mo ito:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)
Mangyaring bigyang-pansin ang pangalawang bracket! Ang mga ito ay pinangungunahan ng isang minus sign, at 8a at 24 maging positibo! Kung, para sa pag-verify, bubuksan namin ang mga bracket pabalik, magbabago ang mga palatandaan, at makukuha namin orihinal pagpapahayag. Yung. ang kakanyahan ng expression mula sa mga bracket ay hindi nagbago.
Ngunit kung maglalagay ka lamang ng mga panaklong, hindi isinasaalang-alang ang pagbabago ng tanda, halimbawa, tulad nito:
3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8a-24 )
ito ay magiging isang pagkakamali. Tama - na iba pa pagpapahayag. Palawakin ang mga bracket at magiging malinaw ang lahat. Hindi ka na makakapagpasya pa, oo ...)
Ngunit bumalik sa factorization. Tingnan ang mga unang bracket (3ax + 9x) at isipin, posible bang magtiis ng isang bagay? Well, nalutas namin ang halimbawang ito sa itaas, maaari naming alisin ito 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Pinag-aaralan namin ang pangalawang bracket, doon mo makukuha ang walo:
(8a+24)=8(a+3)
Ang aming buong ekspresyon ay magiging:
(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)
dumami? Hindi. Ang agnas ay dapat magresulta sa pagpaparami lamang, at mayroon tayong minus sign na sumisira sa lahat. Ngunit... Ang parehong mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan! Ito ay (a+3). Ito ay hindi walang kabuluhan na sinabi ko na ang mga bracket sa kabuuan ay, kumbaga, isang titik. Kaya ang mga bracket na ito ay maaaring alisin sa mga bracket. Oo, ganyan talaga ang tunog.)
Ginagawa namin tulad ng inilarawan sa itaas. Isulat ang karaniwang salik (a+3), sa pangalawang bracket ay isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng mga termino sa pamamagitan ng (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Lahat! Sa kanan, walang iba kundi multiplikasyon! Kaya matagumpay na nakumpleto ang factorization!) Narito ito:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Balikan natin ang esensya ng grupo.
Kung ang expression ay hindi pangkalahatan multiplier para sa lahat mga tuntunin, hinati namin ang expression na may mga bracket upang sa loob ng mga bracket ang karaniwang kadahilanan ay. Ilabas natin ito at tingnan kung ano ang mangyayari. Kung kami ay mapalad, at ang eksaktong parehong mga expression ay nananatili sa mga bracket, inaalis namin ang mga bracket na ito mula sa mga bracket.
Idagdag ko na ang pagpapangkat ay isang malikhaing proseso). Hindi ito palaging gumagana sa unang pagkakataon. ayos lang. Minsan kailangan mong magpalit ng mga termino, isaalang-alang ang iba't ibang opsyon sa pagpapangkat hanggang sa makakita ka ng magandang isa. Ang pangunahing bagay dito ay hindi mawalan ng puso!)
Mga halimbawa.
Ngayon, sa pagpapayaman sa kaalaman, maaari mo ring lutasin ang mga nakakalito na halimbawa.) Sa simula ng aralin, mayroong tatlo sa mga ito ...
Pasimplehin:
Sa katunayan, nalutas na natin ang halimbawang ito. Hindi mahahalata sa aking sarili.) Ipinaaalala ko sa iyo: kung bibigyan tayo ng isang kahila-hilakbot na bahagi, sinusubukan nating i-decompose ang numerator at denominator sa mga salik. Iba pang mga pagpipilian sa pagpapasimple hindi lang.
Well, ang denominator ay hindi nabubulok dito, ngunit ang numerator... Nabulok na natin ang numerator sa kurso ng aralin! Ganito:
3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)
Isinulat namin ang resulta ng pagpapalawak sa numerator ng fraction:
Ayon sa tuntunin ng pagbabawas ng mga fraction (ang pangunahing katangian ng isang fraction), maaari nating hatiin (sabay-sabay!) Ang numerator at denominator sa parehong numero, o expression. Fraction mula dito hindi nagbabago. Kaya hinati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng expression (3x-8). At dito at doon kami nakakakuha ng mga unit. Panghuling resulta ng pagpapasimple:
Binibigyang-diin ko sa partikular: ang pagbabawas ng isang fraction ay posible kung at kung sa numerator at denominator, bilang karagdagan sa pagpaparami ng mga expression walang kahit ano. Kaya naman ang pagbabago ng kabuuan (difference) sa pagpaparami napakahalaga na gawing simple. Siyempre, kung ang mga expression iba-iba, tapos walang mababawasan. Byvet. Ngunit ang factorization nagbibigay ng pagkakataon. Ang pagkakataong ito na walang agnas - ay hindi umiiral.
Halimbawa ng equation:
Lutasin ang equation:
x 5 - x 4 = 0
Tinatanggal ang karaniwang kadahilanan x 4 para sa mga bracket. Nakukuha namin:
x 4 (x-1)=0
Ipinapalagay namin na ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero pagkatapos at pagkatapos lamang kapag ang alinman sa mga ito ay katumbas ng zero. Kung may pag-aalinlangan, hanapin ako ng ilang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero.) Kaya't isinusulat namin, una ang unang kadahilanan:
Sa pagkakapantay-pantay na ito, ang pangalawang kadahilanan ay hindi nakakaabala sa amin. Kahit sino ay maaaring maging, gayon pa man, sa huli, magiging zero. Ano ang numero sa ikaapat na kapangyarihan ng zero? Zero lang! At wala nang iba pa ... Samakatuwid:
Nalaman namin ang unang kadahilanan, natagpuan namin ang isang ugat. Harapin natin ang pangalawang kadahilanan. Ngayon, wala kaming pakialam sa unang multiplier.):
Dito nakahanap kami ng solusyon: x 1 = 0; x2 = 1. Ang alinman sa mga ugat na ito ay umaangkop sa aming equation.
Isang napakahalagang tala. Tandaan na nalutas namin ang equation unti-unti! Ang bawat kadahilanan ay itinakda sa zero. hindi alintana ang iba pang mga kadahilanan. Sa pamamagitan ng paraan, kung sa naturang equation ay walang dalawang mga kadahilanan, tulad ng mayroon kami, ngunit tatlo, lima, hangga't gusto mo, kami ay magpapasya. katulad. Piraso-piraso. Halimbawa:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Ang nagbubukas ng mga bracket, nagpaparami ng lahat, ay magpakailanman na mabibitin sa equation na ito.) Ang tamang mag-aaral ay agad na makikita na walang anuman sa kaliwa maliban sa multiplikasyon, sa kanan - zero. At siya ay magsisimula (sa kanyang isip!) Upang equate sa zero ang lahat ng mga bracket sa pagkakasunud-sunod. At makukuha niya (sa 10 segundo!) ang tamang solusyon: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.
Mahusay, tama?) Ang ganitong eleganteng solusyon ay posible kung ang kaliwang bahagi ng equation hatiin sa maramihan. Malinaw ba ang pahiwatig?)
Well, ang huling halimbawa, para sa mga nakatatanda):
Lutasin ang equation:
Ito ay medyo katulad sa nauna, hindi ba?) Siyempre. Oras na para tandaan na sa ikapitong baitang algebra, sines, logarithms, at anumang bagay ay maaaring itago sa ilalim ng mga titik! Ang pag-factor ay gumagana sa lahat ng matematika.
Tinatanggal ang karaniwang kadahilanan lg4x para sa mga bracket. Nakukuha namin:
lg 4x=0
Ito ay isang ugat. Harapin natin ang pangalawang kadahilanan.
Narito ang huling sagot: x 1 = 1; x2 = 10.
Sana ay napagtanto mo ang kapangyarihan ng factoring sa pagpapasimple ng mga fraction at paglutas ng mga equation.)
Sa araling ito, nakilala natin ang pag-alis ng karaniwang salik at pagpapangkat. Nananatili itong harapin ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon at ang square trinomial.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Pag-factor ng isang polynomial. Bahagi 1
Factorization ay isang unibersal na pamamaraan na tumutulong sa paglutas ng mga kumplikadong equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang unang pag-iisip na dapat pumasok sa isip kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang zero ay nasa kanang bahagi ay ang subukang i-factor ang kaliwang bahagi.
Inilista namin ang pangunahing mga paraan upang i-factorize ang isang polynomial:
- inaalis ang karaniwang salik sa bracket
- paggamit ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami
- sa pamamagitan ng formula para sa factoring ng isang square trinomial
- paraan ng pagpapangkat
- paghahati ng isang polynomial sa isang binomial
- paraan ng hindi tiyak na coefficients
Sa artikulong ito ay tatalakayin natin ang unang tatlong pamamaraan nang detalyado, ang iba ay tatalakayin sa mga susunod na artikulo.
1. Pag-alis ng karaniwang salik sa bracket.
Upang alisin ang karaniwang kadahilanan sa bracket, kailangan mo munang hanapin ito. Karaniwang multiplier coefficient ay katumbas ng pinakamalaking karaniwang divisor ng lahat ng coefficient.
Bahagi ng liham ang karaniwang salik ay katumbas ng produkto ng mga expression na bumubuo sa bawat termino na may pinakamaliit na exponent.
Ang pamamaraan para sa pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan ay ganito ang hitsura:
Pansin!
Ang bilang ng mga termino sa mga bracket ay katumbas ng bilang ng mga termino sa orihinal na expression. Kung ang isa sa mga termino ay tumutugma sa karaniwang kadahilanan, kung gayon kapag ito ay hinati ng karaniwang kadahilanan, makakakuha tayo ng isa.
Halimbawa 1
I-factor ang polynomial:
Alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket. Upang gawin ito, una naming mahanap ito.
1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng lahat ng coefficients ng polynomial, i.e. mga numero 20, 35 at 15. Ito ay katumbas ng 5.
2. Itinakda namin na ang variable ay nakapaloob sa lahat ng mga termino, at ang pinakamaliit sa mga exponents nito ay 2. Ang variable ay nakapaloob sa lahat ng mga termino, at ang pinakamaliit sa mga exponents nito ay 3.
Ang variable ay nakapaloob lamang sa pangalawang termino, kaya hindi ito bahagi ng karaniwang kadahilanan.
Kaya ang karaniwang kadahilanan ay
3. Kinukuha namin ang kadahilanan gamit ang scheme sa itaas:
Halimbawa 2 Lutasin ang equation:
Desisyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation. Alisin natin ang kadahilanan sa mga bracket:
Kaya nakuha namin ang equation 
Itakda ang bawat salik na katumbas ng zero:
Nakukuha namin - ang ugat ng unang equation.
Mga ugat:
Sagot: -1, 2, 4
2. Factorization gamit ang pinaikling multiplication formula.
Kung ang bilang ng mga termino sa polynomial na ating isa-factor ay mas mababa sa o katumbas ng tatlo, pagkatapos ay susubukan nating ilapat ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
1. Kung ang polynomial aypagkakaiba ng dalawang termino, pagkatapos ay sinubukan naming mag-apply pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:
o formula ng pagkakaiba ng cube:
Narito ang mga titik at tukuyin ang isang numero o isang algebraic expression.
2. Kung ang polynomial ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon marahil ay maaari itong i-factor gamit mga formula para sa kabuuan ng mga cube:
3. Kung ang polynomial ay binubuo ng tatlong termino, susubukan naming mag-apply sum square formula:
o pagkakaiba square formula:
O subukan nating i-factorize formula para sa factoring ng isang square trinomial:
Narito at ang mga ugat ng quadratic equation 
Halimbawa 3Factoring ang expression:
Desisyon. Mayroon kaming kabuuan ng dalawang termino. Subukan nating ilapat ang formula para sa kabuuan ng mga cube. Upang gawin ito, kailangan mo munang katawanin ang bawat termino bilang isang cube ng ilang expression, at pagkatapos ay ilapat ang formula para sa kabuuan ng mga cube:
Halimbawa 4 Factoring ang expression: 
Solusyon. Bago sa amin ay ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression. Unang expression: , pangalawang expression:
Ilapat natin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat:
Buksan natin ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino, makukuha natin:
Alam na natin kung paano bahagyang gamitin ang factorization ng pagkakaiba ng mga degree - kapag pinag-aaralan ang paksang "Pagkakaiba ng mga parisukat" at "Pagkakaiba ng mga Cubes", natutunan nating irepresenta bilang isang produkto ang pagkakaiba ng mga expression na maaaring katawanin bilang mga parisukat o bilang mga cube ng ilang expression o numero.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami
Ayon sa mga formula ng pinaikling multiplikasyon:
ang pagkakaiba ng mga parisukat ay maaaring katawanin bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero o expression sa pamamagitan ng kanilang kabuuan
Ang pagkakaiba ng mga cube ay maaaring katawanin bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan
Transition sa pagkakaiba ng mga expression sa 4 na kapangyarihan
Batay sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, subukan nating i-factor ang expression na $a^4-b^4$
Alalahanin kung paano itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan - para dito, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami, ibig sabihin, $((a^n))^m=a^(n*m)$
Pagkatapos ay maaari mong isipin:
$a^4=(((a)^2))^2$
$b^4=(((b)^2))^2$
Kaya ang aming expression ay maaaring katawanin bilang $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$
Ngayon sa unang bracket ay muli nating nakuha ang pagkakaiba ng mga numero, na nangangahulugang maaari tayong muling mag-factor bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero o expression sa pamamagitan ng kanilang kabuuan: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$.
Ngayon ay kinakalkula namin ang produkto ng pangalawa at pangatlong bracket gamit ang panuntunan para sa produkto ng polynomial - pinarami namin ang bawat termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idagdag ang resulta. Upang gawin ito, i-multiply muna ang unang termino ng unang polynomial - $a$ - sa una at pangalawang termino ng pangalawa (sa pamamagitan ng $a^2$ at $b^2$), i.e. nakukuha natin ang $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, pagkatapos ay i-multiply natin ang pangalawang termino ng unang polynomial -$b$- sa una at pangalawang termino ng pangalawang polynomial (sa pamamagitan ng $a^2$ at $b^2$), ang mga iyon. kumuha ng $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ at idagdag ang mga resultang expression
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Isinulat namin ang pagkakaiba ng mga monomial ng ika-4 na antas, isinasaalang-alang ang kinakalkula na produkto:
$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \kaliwa(a-b\kanan)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
Transition sa pagkakaiba ng mga expression sa ika-6 na kapangyarihan
Batay sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, subukan nating i-factor ang expression na $a^6-b^6$
Alalahanin kung paano itinaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan - para dito, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami, ibig sabihin, $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$
Pagkatapos ay maaari mong isipin:
$a^6=(((a)^3))^2$
$b^6=(((b)^3))^2$
Kaya ang aming expression ay maaaring katawanin bilang $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$
Sa unang bracket nakuha namin ang pagkakaiba ng mga cubes ng monomials, sa pangalawa ang kabuuan ng mga cubes ng monomials, ngayon ay maaari nating muli na i-factor ang pagkakaiba ng mga cubes ng monomials bilang produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan $a^3-b^3=\kaliwa(a-b\kanan)( a^2+ab+b^2)$
Ang orihinal na expression ay tumatagal ng anyo
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\kaliwa(a^3+b^3\kanan)=\kaliwa(a-b\kanan)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$
Kinakalkula namin ang produkto ng pangalawa at pangatlong bracket gamit ang panuntunan para sa produkto ng mga polynomial - pinaparami namin ang bawat termino ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawang polynomial at idinagdag ang resulta.
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
Isinulat namin ang pagkakaiba ng mga monomial ng ika-6 na antas, na isinasaalang-alang ang kinakalkula na produkto:
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\kaliwa(a^3+b^3\kanan)=\kaliwa(a-b\kanan)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
Pag-factoring ang pagkakaiba ng kapangyarihan
Suriin natin ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga cube, ang pagkakaiba ng $4$ degrees, ang pagkakaiba ng $6$ degrees
Nakikita namin na sa bawat isa sa mga pagpapalawak na ito ay mayroong ilang pagkakatulad, na ginagawang pangkalahatan na nakukuha namin:
Halimbawa 1
I-factor ang $(32x)^(10)-(243y)^(15)$
Desisyon: Una, kinakatawan namin ang bawat monomial bilang ilang monomial sa kapangyarihan ng 5:
\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]
Ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba ng kapangyarihan
Larawan 1.
Kadalasan, ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga algebraic na expression na dapat munang mabulok sa mga salik, at pagkatapos, kapag natagpuan ang pareho sa kanila, hatiin ang numerator at denominator sa kanila, iyon ay, bawasan ang fraction. Ang isang buong kabanata ng isang aklat-aralin sa algebra sa ika-7 baitang ay nakatuon sa mga gawain sa pagsasaliksik ng isang polynomial. Maaaring gawin ang pag-factor 3 paraan, pati na rin ang kumbinasyon ng mga pamamaraang ito.
1. Paglalapat ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami
Tulad ng alam sa i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng iba pang polynomial at idagdag ang mga resultang produkto. Mayroong hindi bababa sa 7 (pitong) karaniwang mga kaso ng pagpaparami ng mga polynomial na kasama sa konsepto. Halimbawa,
Talahanayan 1. Factorization sa unang paraan
2. Pag-alis ng karaniwang salik sa bracket
Ang pamamaraang ito ay batay sa aplikasyon ng distributive law of multiplication. Halimbawa,
Hinahati namin ang bawat termino ng orihinal na expression sa pamamagitan ng salik na kinuha namin, at sa parehong oras ay nakukuha namin ang expression sa mga bracket (iyon ay, ang resulta ng paghahati sa kung ano ang kinuha namin ay nananatili sa mga bracket). Una sa lahat, kailangan mo matukoy nang tama ang multiplier, na dapat naka-bracket.
Ang polynomial sa mga bracket ay maaari ding maging karaniwang salik:
Kapag nagsasagawa ng "factorize" na gawain, ang isa ay dapat na maging maingat lalo na sa mga palatandaan kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket. Upang baguhin ang tanda ng bawat termino sa isang panaklong (b - a), inaalis namin ang karaniwang kadahilanan -1 , habang ang bawat termino sa bracket ay nahahati sa -1: (b - a) = - (a - b) .
Kung sakaling ang expression sa mga bracket ay parisukat (o sa anumang kahit na kapangyarihan), kung gayon ang mga numero sa loob ng mga bracket ay maaaring palitan ganap na libre, dahil ang mga minus na kinuha mula sa mga bracket ay magiging plus kapag pinarami: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 atbp…
3. Paraan ng pagpapangkat
Minsan hindi lahat ng termino sa expression ay may karaniwang salik, ngunit ilan lamang. Pagkatapos ay maaari mong subukan mga tuntunin ng pangkat sa mga bracket upang ang ilang kadahilanan ay maaaring alisin sa bawat isa. Pamamaraan ng pagpapangkat ay double bracketing ng mga karaniwang salik.
4. Paggamit ng ilang paraan nang sabay-sabay
Minsan kailangan mong mag-aplay hindi isa, ngunit ilang mga paraan upang i-factor ang isang polynomial sa mga kadahilanan nang sabay-sabay.
Ito ay isang buod sa paksa. "Factorization". Piliin ang mga susunod na hakbang:
- Pumunta sa susunod na abstract:
Upang ma-factorize, kinakailangan na gawing simple ang mga expression. Ito ay kinakailangan upang maaari pang mabawasan. Ang decomposition ng isang polynomial ay may katuturan kapag ang antas nito ay hindi mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang polynomial na may unang degree ay tinatawag na linear.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ang artikulo ay magbubunyag ng lahat ng mga konsepto ng agnas, mga teoretikal na pundasyon at mga pamamaraan para sa pag-factor ng isang polynomial.
Teorya
Teorama 1Kapag ang anumang polynomial na may degree n na may anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , ay kinakatawan bilang isang produkto na may pare-parehong salik na may pinakamataas na antas a n at n linear na salik (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , pagkatapos ay P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , kung saan x i , i = 1 , 2 , … , n - ito ang mga ugat ng polynomial.
Ang theorem ay inilaan para sa mga ugat ng kumplikadong uri x i , i = 1 , 2 , … , n at para sa kumplikadong coefficients a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Ito ang batayan ng anumang pagkabulok.
Kapag ang mga koepisyent ng anyong a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n ay tunay na mga numero, kung gayon ang mga kumplikadong ugat ay magaganap sa mga pares ng conjugate. Halimbawa, ang mga ugat x 1 at x 2 na nauugnay sa isang polynomial ng anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . Ang + a 1 x + a 0 ay itinuturing na kumplikadong conjugate, kung gayon ang iba pang mga ugat ay totoo, kaya't nakuha natin na ang polynomial ay nasa anyong P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, kung saan x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Magkomento
Ang mga ugat ng isang polynomial ay maaaring ulitin. Isaalang-alang ang patunay ng theorem ng algebra, ang mga kahihinatnan ng Bezout's theorem.
Pangunahing teorama ng algebra
Teorama 2Anumang polynomial na may degree n ay may hindi bababa sa isang ugat.
Ang teorama ni Bezout
Pagkatapos hatiin ang polynomial ng anyong P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s) , pagkatapos ay makuha natin ang natitira, na katumbas ng polynomial sa punto s , pagkatapos ay makuha natin
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , kung saan ang Q n - 1 (x) ay isang polynomial na may degree n - 1 .
Corollary mula sa teorama ni Bezout
Kapag ang ugat ng polynomial na P n (x) ay itinuturing na s , pagkatapos ay P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Ang kaakibat na ito ay sapat kapag ginamit upang ilarawan ang solusyon.
Factorization ng isang square trinomial
Ang isang parisukat na trinomial ng anyong a x 2 + b x + c ay maaaring i-factor sa mga linear na salik. pagkatapos ay makuha natin na a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , kung saan ang x 1 at x 2 ay mga ugat (kumplikado o tunay).
Ipinapakita nito na ang agnas mismo ay bumababa sa paglutas ng quadratic equation mamaya.
Halimbawa 1
I-factor ang isang square trinomial.
Desisyon
Kinakailangang hanapin ang mga ugat ng equation na 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang halaga ng discriminant ayon sa formula, pagkatapos ay makuha namin ang D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Kaya mayroon tayo nito
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Mula dito makuha natin na 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Upang maisagawa ang tseke, kailangan mong buksan ang mga bracket. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Pagkatapos ng pag-verify, nakarating kami sa orihinal na expression. Ibig sabihin, masasabi natin na tama ang pagpapalawak.
Halimbawa 2
I-factor ang isang parisukat na trinomial ng anyong 3 x 2 - 7 x - 11 .
Desisyon
Nakuha namin na kinakailangan upang kalkulahin ang nagresultang quadratic equation ng form 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Upang mahanap ang mga ugat, kailangan mong matukoy ang halaga ng discriminant. Nakukuha namin iyon
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816
Mula dito makuha natin na 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Halimbawa 3
I-factor ang polynomial 2 x 2 + 1.
Desisyon
Ngayon ay kailangan mong lutasin ang quadratic equation 2 x 2 + 1 = 0 at hanapin ang mga ugat nito. Nakukuha namin iyon
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Ang mga ugat na ito ay tinatawag na kumplikadong conjugate, na nangangahulugan na ang agnas mismo ay maaaring katawanin bilang 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Halimbawa 4
Palawakin ang parisukat na trinomial x 2 + 1 3 x + 1 .
Desisyon
Una kailangan mong lutasin ang isang quadratic equation ng form na x 2 + 1 3 x + 1 = 0 at hanapin ang mga ugat nito.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i
Ang pagkakaroon ng nakuha ang mga ugat, sumulat kami
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Magkomento
Kung negatibo ang value ng discriminant, mananatiling second-order polynomial ang mga polynomial. Kaya't sumusunod na hindi namin ibubulok ang mga ito sa mga linear na kadahilanan.
Mga pamamaraan para sa pag-factor ng polynomial ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa
Ipinagpapalagay ng agnas ang isang unibersal na pamamaraan. Karamihan sa lahat ng mga kaso ay batay sa isang corollary ng Bezout's theorem. Upang gawin ito, kailangan mong piliin ang halaga ng ugat x 1 at babaan ang antas nito sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa 1 sa pamamagitan ng paghahati sa (x - x 1) . Ang resultang polynomial ay kailangang mahanap ang root x 2 , at ang proseso ng paghahanap ay cyclical hanggang sa makakuha tayo ng kumpletong pagpapalawak.
Kung ang ugat ay hindi natagpuan, kung gayon ang iba pang mga pamamaraan ng factorization ay ginagamit: pagpapangkat, karagdagang mga termino. Ipinapalagay ng paksang ito ang solusyon ng mga equation na may mas matataas na kapangyarihan at mga coefficient ng integer.
Inalis ang karaniwang salik sa mga bracket
Isaalang-alang ang kaso kapag ang libreng termino ay katumbas ng zero, kung gayon ang anyo ng polynomial ay magiging P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + isang 1 x .
Makikita na ang ugat ng naturang polynomial ay magiging katumbas ng x 1 \u003d 0, pagkatapos ay maaari mong katawanin ang polynomial sa anyo ng isang expression P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Ang pamamaraang ito ay itinuturing na inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.
Halimbawa 5
I-factor ang third degree polynomial 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Desisyon
Nakikita namin na ang x 1 \u003d 0 ay ang ugat ng ibinigay na polynomial, pagkatapos ay maaari naming i-bracket ang x mula sa buong expression. Nakukuha namin:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Lumipat tayo sa paghahanap ng mga ugat ng square trinomial 4 x 2 + 8 x - 1. Hanapin natin ang discriminant at ang mga ugat:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Pagkatapos ay sinundan iyon
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Upang magsimula, isaalang-alang natin ang isang paraan ng agnas na naglalaman ng mga integer coefficient ng form na P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , kung saan ang coefficient ng pinakamataas na kapangyarihan ay 1 .
Kapag ang polynomial ay may integer na mga ugat, kung gayon sila ay itinuturing na mga divisors ng libreng termino.
Halimbawa 6
Palawakin ang expression na f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Desisyon
Isaalang-alang kung mayroong mga integer na ugat. Kinakailangan na isulat ang mga divisors ng numero - 18. Nakukuha natin iyon ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Ito ay sumusunod na ang polynomial na ito ay may mga integer na ugat. Maaari mong suriin ayon sa pamamaraan ng Horner. Ito ay napaka-maginhawa at nagbibigay-daan sa mabilis mong makuha ang expansion coefficients ng isang polynomial:
Kasunod nito na ang x \u003d 2 at x \u003d - 3 ay ang mga ugat ng orihinal na polynomial, na maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng anyo:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Bumaling tayo sa agnas ng isang square trinomial ng form x 2 + 2 x + 3 .
Dahil ang discriminant ay negatibo, nangangahulugan ito na walang tunay na ugat.
Sagot: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Magkomento
Pinapayagan na gumamit ng pagpili ng ugat at paghahati ng isang polynomial sa pamamagitan ng isang polynomial sa halip ng scheme ni Horner. Ipagpatuloy nating isaalang-alang ang pagpapalawak ng isang polynomial na naglalaman ng integer coefficients ng form na P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , ang pinakamataas na hindi katumbas ng isa.
Nagaganap ang kasong ito para sa mga fractional rational fraction.
Halimbawa 7
I-factor ang f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Desisyon
Kinakailangang baguhin ang variable y = 2 x , dapat pumasa ang isa sa isang polynomial na may mga coefficient na katumbas ng 1 sa pinakamataas na antas. Kailangan mong magsimula sa pamamagitan ng pagpaparami ng expression sa 4 . Nakukuha namin iyon
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Kapag ang resultang function ng form na g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ay may mga integer na ugat, kung gayon ang kanilang paghahanap ay kabilang sa mga divisors ng libreng termino. Magiging ganito ang entry:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng function na g (y) sa mga puntong ito upang makakuha ng zero bilang resulta. Nakukuha namin iyon
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Nakuha namin na ang y \u003d - 5 ay ang ugat ng equation ng form na y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, na nangangahulugang x \u003d y 2 \u003d - 5 2 ang ugat ng orihinal na function.
Halimbawa 8
Kinakailangang hatiin sa isang hanay na 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sa x + 5 2.
Desisyon
Sumulat kami at nakakuha:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Ang pagsuri sa mga divisors ay aabutin ng maraming oras, kaya mas kumikita na kunin ang factorization ng resultang square trinomial ng form x 2 + 7 x + 3. Sa pamamagitan ng equating sa zero, nakita namin ang discriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Kaya naman sinusunod iyon
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Mga artipisyal na trick kapag nagsasaliksik ng polynomial
Ang mga makatwirang ugat ay hindi likas sa lahat ng polynomial. Upang gawin ito, kailangan mong gumamit ng mga espesyal na pamamaraan upang makahanap ng mga kadahilanan. Ngunit hindi lahat ng polynomial ay maaaring mabulok o mairepresenta bilang isang produkto.
Pamamaraan ng pagpapangkat
May mga kaso kung kailan posible na pangkatin ang mga tuntunin ng isang polynomial upang makahanap ng isang karaniwang salik at alisin ito sa mga bracket.
Halimbawa 9
I-factor ang polynomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Desisyon
Dahil ang mga coefficient ay mga integer, kung gayon ang mga ugat ay maaari ding maging integer. Upang suriin, kinukuha namin ang mga halaga 1 , - 1 , 2 at - 2 upang makalkula ang halaga ng polynomial sa mga puntong ito. Nakukuha namin iyon
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Ipinapakita nito na walang mga ugat, kinakailangan na gumamit ng ibang paraan ng agnas at solusyon.
Kinakailangan ang pagpapangkat:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Pagkatapos pagsama-samahin ang orihinal na polynomial, kailangan itong katawanin bilang isang produkto ng dalawang square trinomial. Para magawa ito, kailangan nating i-factorize. nakukuha natin yan
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Magkomento
Ang pagiging simple ng pagpapangkat ay hindi nangangahulugan na sapat na madaling pumili ng mga termino. Walang tiyak na paraan upang malutas ito, samakatuwid ito ay kinakailangan na gumamit ng mga espesyal na theorems at mga patakaran.
Halimbawa 10
I-factor ang polynomial x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.
Desisyon
Ang binigay na polynomial ay walang integer na ugat. Ang mga tuntunin ay dapat igrupo. Nakukuha namin iyon
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Pagkatapos ng factoring, nakuha namin iyon
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Paggamit ng pinaikling multiplication at mga binomial na formula ng Newton upang i-factor ang isang polynomial
Ang hitsura ay madalas na hindi palaging ginagawang malinaw kung aling paraan ang gagamitin sa panahon ng agnas. Matapos magawa ang mga pagbabago, maaari kang bumuo ng isang linya na binubuo ng tatsulok ni Pascal, kung hindi man ay tinatawag silang binomial ng Newton.
Halimbawa 11
I-factor ang polynomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Desisyon
Kinakailangang i-convert ang expression sa form
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Ang pagkakasunod-sunod ng mga coefficient ng kabuuan sa mga bracket ay ipinahiwatig ng expression na x + 1 4 .
Kaya mayroon tayong x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3 = x + 1 4-3 .
Pagkatapos ilapat ang pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha namin
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Isaalang-alang ang expression na nasa pangalawang panaklong. Ito ay malinaw na walang mga kabayo doon, kaya ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat ay dapat na ilapat muli. Nakakakuha tayo ng expression na parang
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Halimbawa 12
I-factor ang x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Desisyon
Baguhin natin ang ekspresyon. Nakukuha namin iyon
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Kinakailangang ilapat ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga cube. Nakukuha namin:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Isang paraan para sa pagpapalit ng variable kapag nagfa-factor ng polynomial
Kapag binabago ang isang variable, ang antas ay nababawasan at ang polynomial ay pinangkat.
Halimbawa 13
I-factor ang isang polynomial ng anyong x 6 + 5 x 3 + 6 .
Desisyon
Sa pamamagitan ng kundisyon, malinaw na kailangang gumawa ng kapalit na y = x 3 . Nakukuha namin:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Ang mga ugat ng nagresultang quadratic equation ay y = - 2 at y = - 3, pagkatapos
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Kinakailangang ilapat ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng kabuuan ng mga cube. Nakukuha namin ang mga expression ng form:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Ibig sabihin, nakuha na natin ang ninanais na pagpapalawak.
Ang mga kaso na tinalakay sa itaas ay makakatulong sa pagsasaalang-alang at pag-factor ng polynomial sa iba't ibang paraan.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
