Mga tiyak na integral online sa site upang pagsama-samahin ang materyal na saklaw ng mga mag-aaral at mga mag-aaral. At sanayin ang iyong mga praktikal na kasanayan. Ang kumpletong solusyon ng mga tiyak na integral online para sa iyo sa ilang sandali ay makakatulong sa iyong matukoy ang lahat ng mga yugto ng proseso. Mga online na integral - online na tiyak na integral. Ilang mga online integral sa site para sa buong pagsasama-sama ng materyal na saklaw ng mga mag-aaral at mga mag-aaral at pagsasanay sa kanilang mga praktikal na kasanayan. Ang kumpletong solusyon ng mga tiyak na integral online para sa iyo sa ilang sandali ay makakatulong sa iyong matukoy ang lahat ng mga yugto ng proseso. Mga online na integral - online na tiyak na integral. Para sa amin, ang pagkuha ng isang tiyak na integral online ay tila hindi isang bagay na sobrang natural, na pinag-aralan ang paksang ito mula sa isang aklat ng mga kilalang may-akda. Maraming salamat sa kanila at ipinapahayag namin ang paggalang sa mga indibidwal na ito. Makakatulong ito upang matukoy ang tiyak na integral online na serbisyo para sa pagkalkula ng mga naturang problema sa isang sandali. Ipasok lamang ang tamang data at lahat ay magiging Maganda! Anumang tiyak na integral bilang solusyon sa problema ay magdaragdag sa literacy ng mga mag-aaral. Ito ang pangarap ng bawat sloth, at tayo ay walang exception, aminin natin ito nang tapat. Kung pinamamahalaan mo pa ring kalkulahin ang tiyak na integral online gamit ang solusyon nang libre, mangyaring isulat ang address ng website sa lahat ng gustong gumamit nito. Tulad ng sinasabi nila, magbahagi ng isang kapaki-pakinabang na link - at ang mga mababait na tao ay magpapasalamat sa iyo para sa regalo. Ito ay magiging lubhang kawili-wili upang pag-aralan ang isang problema kung saan ang isang tiyak na integral ay malulutas ng calculator sa sarili nitong, at hindi sa gastos ng pag-aaksaya ng iyong mahalagang oras. Kaya nga mga makina sila para ararohin ang mga tao. Gayunpaman, ang solusyon ng mga tiyak na integral online ay hindi para sa bawat site, at ito ay madaling suriin, ibig sabihin, ito ay sapat na upang kumuha ng isang kumplikadong halimbawa at subukang lutasin ito gamit ang bawat naturang serbisyo. Mararamdaman mo ang pagkakaiba sa sarili mong balat. Kadalasan, ang paghahanap ng isang tiyak na integral online nang walang anumang pagsisikap ay magiging mahirap at ang iyong sagot ay magiging katawa-tawa laban sa background ng pangkalahatang larawan ng resulta. Mas mainam na kunin muna ang kurso ng isang batang manlalaban. Anumang solusyon ng mga hindi wastong integral sa online ay binabawasan muna sa pagkalkula ng hindi tiyak, at pagkatapos, sa pamamagitan ng teorya ng mga limitasyon, upang kalkulahin, bilang panuntunan, ang mga one-sided na limitasyon mula sa mga expression na nakuha na may pinalit na mga hangganan A at B. Na isinasaalang-alang ang tiyak na integral online na may isang detalyadong solusyon na iyong ipinahiwatig, napagpasyahan namin na nagkamali ka sa ikalimang hakbang, lalo na kapag gumagamit ng formula ng pagbabago ng variable ng Chebyshev. Maging maingat sa iyong susunod na desisyon. Kung ang iyong online na calculator ay hindi makuha ang iyong tiyak na integral sa unang pagkakataon, pagkatapos ay una sa lahat ito ay nagkakahalaga ng pag-double check sa nakasulat na data sa naaangkop na mga form sa site. Siguraduhing maayos ang lahat at pumunta, Go-Go! Para sa bawat mag-aaral, ang balakid ay ang pagkalkula ng mga hindi wastong integral online kasama ang guro mismo, dahil isa itong pagsusulit, o isang colloquium, o isang pagsubok lamang sa isang pares. Sa sandaling ang ibinigay na hindi wastong integral online na calculator ay nasa iyong pagtatapon , pagkatapos ay agad na magmaneho sa ibinigay na function, palitan ang ibinigay na mga limitasyon sa pagsasama at mag-click sa pindutang Solve, pagkatapos nito ay magiging available sa iyo ang isang buong detalyadong sagot. At gayon pa man ito ay mabuti kapag mayroong isang kahanga-hangang site bilang isang site, dahil ito ay parehong libre at madaling gamitin, naglalaman din ito ng maraming mga seksyon. na ginagamit ng mga mag-aaral araw-araw, isa sa mga ito ay isang tiyak na integral online na may ganap na solusyon. Sa parehong seksyon, maaari mong kalkulahin ang hindi wastong integral online na may isang detalyadong solusyon para sa karagdagang aplikasyon ng sagot pareho sa instituto at sa gawaing pang-inhinyero. Mukhang hindi mahirap para sa lahat na matukoy ang isang tiyak na integral online, kung ang isang halimbawa ay malulutas nang maaga nang walang upper at lower bounds, iyon ay, hindi ang integral ng Leibniz, ngunit ang hindi tiyak na integral. Ngunit narito kami ay tiyak na hindi sumasang-ayon sa iyo, dahil sa unang tingin ay maaaring mukhang ganoon, ngunit mayroong isang makabuluhang pagkakaiba, paghiwalayin natin ang lahat. Ang solusyon ay nagbibigay ng tulad ng isang tiyak na integral hindi sa isang tahasang anyo, ngunit bilang isang resulta ng pagbabago ng expression sa isang limitasyon ng halaga. Sa madaling salita, dapat munang lutasin ng isa ang integral sa pagpapalit ng mga simbolikong halaga ng mga hangganan, at pagkatapos ay kalkulahin ang limitasyon alinman sa infinity o sa isang tiyak na punto. Mula dito, ang pagkalkula ng isang tiyak na integral online na may isang solusyon nang libre ay nangangahulugan ng walang iba kundi ang kumakatawan sa eksaktong solusyon gamit ang Newton-Leibniz formula. Kung isasaalang-alang namin ang aming tiyak na integral, tutulungan ka ng calculator na kalkulahin ito sa loob ng ilang segundo bago ang iyong mga mata. Ang ganitong pagmamadali ay kailangan ng lahat na gustong makayanan ang gawain sa lalong madaling panahon at mapalaya para sa mga personal na gawain. Hindi ka dapat maghanap ng mga site sa Internet na hihilingin sa iyo na magparehistro, pagkatapos ay maglagay muli ng pera sa balanse, at lahat para sa kapakanan ng ilang matalinong tao na naghahanda ng solusyon ng ilang mga integral na parang online. Tandaan na ang address na Math24 ay isang libreng serbisyo para sa paglutas ng maraming problema sa matematika, kabilang ang tutulungan ka naming makahanap ng isang tiyak na integral online, at upang matiyak ito, mangyaring suriin ang aming pahayag na may mga partikular na halimbawa. Ilagay ang integrand sa naaangkop na field, pagkatapos ay tukuyin ang alinman sa mga walang katapusang halaga ng limitasyon (sa kasong ito, ang solusyon ng mga hindi wastong integral ay kakalkulahin at makukuha online), o itakda ang iyong numerical o simbolikong mga hangganan at ang tiyak na online integral na may isang detalyadong solusyon ay ipapakita sa pahina pagkatapos ng pag-click sa pindutang "Solusyon ". Hindi ba ito totoo - ito ay napaka-simple, hindi nangangailangan ng anumang karagdagang mga aksyon mula sa iyo, nang walang bayad, na siyang pinakamahalagang bagay, at sa parehong oras ay epektibo. Magagamit mo mismo ang serbisyo upang ang tiyak na integral online na calculator ay magdadala sa iyo ng pinakamataas na benepisyo, at makakakuha ka ng komportableng estado nang hindi pinipigilan ang pagiging kumplikado ng lahat ng proseso ng pag-compute, hayaan kaming gawin ang lahat para sa iyo at ipakita ang buong kapangyarihan ng teknolohiya ng computer sa modernong mundo. Kung sumisid ka sa kagubatan ng pinaka kumplikadong mga formula at pag-aralan ang pagkalkula ng mga hindi wastong integral online sa iyong sarili, kung gayon ito ay kapuri-puri, at maaari mong kunin ang pagkakataong magsulat ng isang PhD thesis, ngunit bumalik tayo sa mga katotohanan ng buhay mag-aaral. . At sino ang isang mag-aaral? Una sa lahat, ito ay isang binata, masigla at masayahin, na gustong magkaroon ng oras upang makapagpahinga at gawin ang kanyang takdang-aralin! Samakatuwid, inalagaan namin ang mga mag-aaral na nagsisikap na makahanap ng hindi wastong integral online na calculator sa kalakhan ng pandaigdigang network, at narito ito para sa iyong pansin - ang site ay ang pinakakapaki-pakinabang na online solver para sa mga kabataan. Sa pamamagitan ng paraan, kahit na ang aming serbisyo ay ipinakita bilang isang katulong sa mga mag-aaral at mga mag-aaral, ito ay ganap na angkop para sa sinumang inhinyero, dahil maaari naming gawin ang anumang uri ng mga gawain at ang kanilang solusyon ay ipinakita sa isang propesyonal na format. Halimbawa, nag-aalok kami ng isang tiyak na integral online na may isang solusyon sa buong anyo sa mga yugto, iyon ay, ang bawat lohikal na bloke (subtask) ay itinalaga ng isang hiwalay na tala kasama ang lahat ng mga kalkulasyon sa kurso ng pangkalahatang proseso ng solusyon. Ito, siyempre, ay pinapasimple ang pang-unawa ng mga multi-stage na sequential na mga layout, at sa gayon ay ang bentahe ng proyekto ng site sa mga katulad na serbisyo para sa paghahanap ng isang hindi wastong integral online na may isang detalyadong solusyon.

nandito ka ba =) Hindi, hindi ko sinubukang takutin ang sinuman, ngunit ang paksa ng mga hindi tamang integral ay isang napakagandang paglalarawan kung gaano kahalaga na hindi magpatakbo ng mas mataas na matematika at iba pang eksaktong agham. Upang makabisado ang aralin sa site, ang lahat ay naroroon - sa isang detalyado at naa-access na form, magkakaroon ng pagnanais ....

So, simulan na natin. Sa matalinghagang pagsasalita, ang isang hindi wastong integral ay isang "advanced" na tiyak na integral, at sa katunayan ay walang napakaraming mga paghihirap sa kanila, bukod pa rito, ang isang hindi wastong integral ay may napakagandang geometric na kahulugan.

Ano ang ibig sabihin ng pagkalkula ng hindi wastong integral?

Kalkulahin ang Maling Integral - ibig sabihin, humanap ng NUMBER(eksaktong kapareho ng sa tiyak na integral), o patunayan na ito ay nag-iiba(iyon ay, napupunta sa infinity sa halip na isang numero).

Ang mga hindi wastong integral ay may dalawang uri.

Hindi wastong integral na may walang katapusang (mga) limitasyon ng pagsasama

Minsan ang gayong hindi wastong integral ay tinatawag hindi wastong integral ng unang uri. Sa pangkalahatan, ang isang hindi wastong integral na may walang katapusang limitasyon ay kadalasang ganito: . Paano ito naiiba sa isang tiyak na integral? Sa itaas na limitasyon. Ito ay walang katapusan:

Hindi gaanong karaniwan ang mga integral na may walang katapusang mas mababang limitasyon o may dalawang walang katapusang limitasyon: , at isasaalang-alang namin ang mga ito sa ibang pagkakataon - kapag natikman mo :)

Well, ngayon suriin natin ang pinakasikat na kaso. Sa karamihan ng mga halimbawa, ang integrand function tuloy-tuloy sa pagitan at ito mahalagang katotohanan upang suriin muna! Para sa kung may mga gaps, pagkatapos ay may mga karagdagang nuances. Para sa definiteness, ipinapalagay namin na kahit na pagkatapos ay ang tipikal curvilinear trapezoid magiging ganito ang hitsura:

Tandaan na ito ay walang hanggan (hindi nakatali sa kanan), at hindi wastong integral numerical na katumbas ng lugar nito. Sa kasong ito, posible ang mga sumusunod na opsyon:

1) Ang unang pumasok sa isip ay: “dahil ang pigura ay walang hanggan, kung gayon ”, sa madaling salita, infinite din ang lugar. Kaya maaaring ito ay. Sa kasong ito, sinasabi namin na ang hindi wastong integral diverges.

2) Pero. Bagama't kabalintunaan ito, ang lugar ng isang walang katapusang pigura ay maaaring katumbas ng ... isang may hangganang numero! Halimbawa: . Maaaring ito ay? Madali. Sa pangalawang kaso, ang hindi wastong integral nagtatagpo.

3) Tungkol sa ikatlong opsyon sa ibang pagkakataon.

Kailan naghihiwalay ang isang hindi wastong integral at kailan ito nagtatagpo? Depende ito sa integrand, at titingnan natin ang mga konkretong halimbawa sa lalong madaling panahon.

Ngunit ano ang mangyayari kung ang isang walang katapusang curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa ibaba ng axis? Sa kasong ito, ang hindi wastong integral (nakakaiba) o katumbas ng isang may hangganang negatibong numero.

kaya, ang hindi wastong integral ay maaaring negatibo.

Mahalaga! Kapag ang ANUMANG hindi wastong integral ay inaalok sa iyo upang malutas, kung gayon, sa pangkalahatan, walang pinag-uusapan sa anumang lugar at hindi na kailangang gumawa ng isang guhit. Sinabi ko ang geometric na kahulugan ng hindi wastong integral para lang mas madaling maunawaan ang materyal.

Dahil ang hindi wastong integral ay halos kapareho sa tiyak na integral, pagkatapos ay naaalala natin ang Newton-Leibniz formula: . Sa katunayan, ang formula ay naaangkop din sa mga hindi wastong integral, kailangan lamang itong bahagyang mabago. Ano ang pinagkaiba? Sa walang katapusang itaas na limitasyon ng pagsasama: . Marahil, marami ang nahulaan na ito ay smacks ng paglalapat ng teorya ng mga limitasyon, at ang formula ay isusulat tulad ng sumusunod: .

Paano ito naiiba sa isang tiyak na integral? Oo, walang espesyal! Tulad ng sa isang tiyak na integral, kailangan mong mahanap ang antiderivative function (indefinite integral), mailapat ang Newton-Leibniz formula. Ang tanging bagay na naidagdag ay ang pagkalkula ng limitasyon. Kung sino ang masama sa kanila, matuto ng leksyon Mga limitasyon ng mga pag-andar. Mga halimbawa ng solusyon dahil mas mahusay na huli kaysa sa hukbo.

Isaalang-alang ang dalawang klasikong halimbawa:

Halimbawa 1

Para sa kalinawan, gagawa ako ng isang guhit, bagaman, binibigyang-diin ko muli, sa pagsasanay hindi kinakailangan na bumuo ng mga guhit sa gawaing ito.

Ang integrand ay tuloy-tuloy sa kalahating pagitan , na nangangahulugan na ang lahat ay maayos at ang hindi wastong integral ay maaaring kalkulahin gamit ang "regular" na paraan.

Application ng aming formula at ang solusyon ay ganito:

Iyon ay, ang hindi wastong integral ay diverges, at ang lugar ng shaded curvilinear trapezoid ay katumbas ng infinity.

Sa isinasaalang-alang na halimbawa, mayroon kaming pinakasimpleng tabular integral at ang parehong pamamaraan para sa paglalapat ng Newton-Leibniz formula tulad ng sa tiyak na integral. Ngunit ang formula na ito ay inilapat sa ilalim ng tanda ng limitasyon. Sa halip na ang karaniwang titik ng "dynamic" na variable, ang titik na "be" ay lilitaw. Hindi ito dapat malito o malito, dahil ang anumang titik ay hindi mas masama kaysa sa karaniwang "X".

Kung hindi mo maintindihan kung bakit kailan , kung gayon ito ay napakasama, alinman sa hindi mo naiintindihan ang pinakasimpleng mga limitasyon (at hindi mo naiintindihan kung ano ang limitasyon), o hindi mo alam kung ano ang graph ng isang logarithmic kamukha ng function. Sa pangalawang kaso, bisitahin ang aralin Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar.

Kapag nilulutas ang mga hindi wastong integral, napakahalagang malaman kung ano ang hitsura ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya!

Ang isang malinis na disenyo ng trabaho ay dapat magmukhang ganito:

“

! Kapag nagdidisenyo ng isang halimbawa, palagi naming inaantala ang solusyon at ipinapahiwatig kung ano ang mangyayari sa integrand – tuloy ba ito sa pagitan ng integration o hindi. Sa pamamagitan nito, tinutukoy namin ang uri ng hindi wastong integral at nagpapatunay ng mga karagdagang aksyon.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Gumawa tayo ng pagguhit:

Una, napansin namin ang sumusunod: ang integrand ay tuloy-tuloy sa kalahating pagitan . Mabuti. Paglutas gamit ang formula :

(1) Kinukuha namin ang pinakasimpleng integral ng isang power function (ang espesyal na kaso na ito ay nasa maraming talahanayan). Mas mainam na agad na ilipat ang minus na lampas sa limitasyon ng pag-sign upang hindi ito makakuha ng underfoot sa karagdagang mga kalkulasyon.

(2) Pinapalitan namin ang upper at lower limit ayon sa Newton-Leibniz formula.

(3) Ipinapahiwatig namin na kapag (Mga ginoo, ito ay matagal nang naiintindihan) at pasimplehin ang sagot.

Dito, ang lugar ng isang walang katapusang curvilinear trapezoid ay katumbas ng isang may hangganang numero! Hindi kapani-paniwala pero totoo.

Ang malinis na disenyo ng halimbawa ay dapat magmukhang ganito:

“

Ang integrand ay tuloy-tuloy sa

“

Ano ang gagawin kung nakatagpo ka ng isang mahalagang tulad - kasama sukdulan sa pagitan ng pagsasama? Nangangahulugan ito na mayroong isang typo sa halimbawa (Malamang) o isang advanced na antas ng edukasyon. Sa huling kaso, dahil sa mga katangian ng additivity, dapat isaalang-alang ng isa ang dalawang hindi wastong integral sa mga pagitan at pagkatapos ay harapin ang kabuuan.

Minsan, dahil sa isang typo o ang intensyon ng isang hindi wastong integral, maaari ito wala talaga, kaya, halimbawa, kung ang square root ng "x" ay ilagay sa denominator ng integral sa itaas, kung gayon ang bahagi ng integration interval ay hindi papasok sa domain ng kahulugan ng integrand sa lahat.

Bukod dito, ang isang hindi wastong integral ay maaaring wala kahit na sa lahat ng "maliwanag na kagalingan". Klasikong halimbawa: . Sa kabila ng katiyakan at pagpapatuloy ng cosine, ang gayong hindi wastong integral ay hindi umiiral! Bakit? Ito ay napaka-simple dahil:
- ay hindi umiiral kaukulang limitasyon.

At ang gayong mga halimbawa, bagaman bihira, ay matatagpuan sa pagsasanay! Kaya, bilang karagdagan sa convergence at divergence, mayroon ding ikatlong resulta ng solusyon na may buong sagot: "walang hindi wastong integral."

Dapat ding tandaan na ang isang mahigpit na kahulugan ng isang hindi wastong integral ay ibinibigay nang tumpak sa pamamagitan ng limitasyon, at ang mga nagnanais ay maaaring maging pamilyar dito sa literatura na pang-edukasyon. Kaya, ipinagpatuloy namin ang praktikal na aralin at nagpapatuloy sa mas makabuluhang mga gawain:

Halimbawa 3

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Una, subukan nating hanapin ang antiderivative function (indefinite integral). Kung nabigo tayong gawin ito, natural na hindi rin natin malulutas ang hindi tamang integral.

Alin sa mga integral ng talahanayan ang hitsura ng integrand? Ito ay nagpapaalala sa akin ng arc tangent: . Mula sa mga pagsasaalang-alang na ito, ang pag-iisip ay nagmumungkahi mismo na ito ay magiging maganda upang makakuha ng isang parisukat sa denominator. Ginagawa ito sa pamamagitan ng pagpapalit.

Palitan natin:

Ang hindi tiyak na integral ay natagpuan, walang saysay na magdagdag ng isang pare-pareho sa kasong ito.

Sa isang draft, palaging kapaki-pakinabang na magsagawa ng pagsusuri, iyon ay, upang pag-iba-iba ang resulta:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang hindi tiyak na integral ay natagpuan ng tama.

Ngayon nakita namin ang hindi wastong integral:

(1) Sinusulat namin ang solusyon alinsunod sa formula . Mas mainam na agad na ilipat ang pare-pareho na lampas sa limitasyon ng pag-sign upang hindi ito makagambala sa karagdagang mga kalkulasyon.

(2) Pinapalitan namin ang itaas at mas mababang mga limitasyon alinsunod sa formula ng Newton-Leibniz. Bakit sa ? Tingnan ang arc tangent graph sa paulit-ulit na inirerekomendang artikulo.

(3) Nakukuha namin ang huling sagot. Ang katotohanan na ito ay kapaki-pakinabang na malaman sa pamamagitan ng puso.

Maaaring hindi mahanap ng mga advanced na estudyante ang indefinite integral nang hiwalay, at hindi gamitin ang paraan ng pagpapalit, ngunit gamitin ang paraan ng pagbubuod ng function sa ilalim ng sign ng differential at lutasin ang hindi tamang integral "kaagad". Sa kasong ito, ang solusyon ay dapat magmukhang ganito:

“

Ang integrand ay tuloy-tuloy sa .

“

Halimbawa 4

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

! Ito ay isang tipikal na halimbawa, at ang mga katulad na integral ay napakakaraniwan. Gawin mong mabuti! Ang antiderivative function dito ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang buong parisukat, higit pang mga detalye tungkol sa pamamaraan ay matatagpuan sa aralin Pagsasama-sama ng ilang fraction.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Ang integral na ito ay maaaring malutas nang detalyado, iyon ay, unang hanapin ang hindi tiyak na integral sa pamamagitan ng pagbabago ng variable. At maaari mong malutas ito "kaagad" - sa pamamagitan ng pagbubuod ng function sa ilalim ng tanda ng kaugalian. Sino ang may ilang mathematical background.

Kumpletuhin ang mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang mga halimbawa ng mga solusyon ng mga hindi tamang integral na may walang katapusang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay matatagpuan sa pahina Mga Mahusay na Paraan para sa Paglutas ng Mga Maling Integral. Ang kaso kung saan ang parehong mga limitasyon sa pagsasama ay walang katapusan ay isinasaalang-alang din doon.

Mga hindi tamang integral ng walang hangganang function

O kaya hindi wastong integral ng pangalawang uri. Ang mga di-wastong integral ng pangalawang uri ay tusong "na-cipher" sa ilalim ng karaniwang tiyak na integral at magkapareho ang hitsura: Ngunit, hindi katulad ng tiyak na integral, ang integrand ay dumaranas ng walang katapusang discontinuity (walang umiiral): 1) sa punto , 2) o sa punto , 3) ​​​​o sa parehong mga punto nang sabay-sabay, 4) o kahit na sa pagitan ng pagsasama. Isasaalang-alang namin ang unang dalawang kaso, para sa mga kaso 3-4 sa dulo ng artikulo ay may link sa karagdagang aralin.

Isang halimbawa lamang para maging malinaw:. Ito ay tila isang tiyak na integral. Ngunit sa katunayan, ito ay isang hindi wastong integral ng pangalawang uri, kung papalitan natin ang halaga ng mas mababang limitasyon sa integrand, pagkatapos ay ang denominator ay naglalaho, iyon ay, ang integrand ay hindi umiiral sa puntong ito!

Sa pangkalahatan, kapag sinusuri ang hindi wastong integral palaging kinakailangan na palitan ang parehong mga limitasyon sa pagsasama sa integrand. Kaugnay nito, sinusuri din namin ang itaas na limitasyon: . Maganda ang lahat dito.

Ang curvilinear trapezoid para sa itinuturing na iba't-ibang ng hindi wastong integral sa panimula ay ganito ang hitsura:

Dito, halos lahat ay pareho sa integral ng unang uri.

Ang aming integral ay katumbas ng numero sa lugar ng may kulay na curvilinear trapezoid, na hindi nakatali mula sa itaas. Sa kasong ito, maaaring mayroong dalawang pagpipilian *: ang hindi wastong integral ay nag-iiba (ang lugar ay walang katapusan) o ang hindi wastong integral ay katumbas ng isang may hangganan na numero (iyon ay, ang lugar ng isang walang katapusan na pigura ay may hangganan!).

* bilang default, karaniwan naming ipinapalagay na umiiral ang hindi wastong integral

Ito ay nananatiling lamang upang baguhin ang Newton-Leibniz formula. Ito rin ay binago sa tulong ng limitasyon, ngunit ang limitasyon ay hindi na may posibilidad na infinity, ngunit sa halaga sa kanan. Madaling sundin ang pagguhit: sa kahabaan ng axis, dapat nating lapitan ang breaking point nang walang katapusan na malapit sa kanan.

Tingnan natin kung paano ito ipinatupad sa pagsasanay.

Halimbawa 6

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Ang integrand ay dumaranas ng walang katapusang break sa isang punto (huwag kalimutang suriin sa salita o sa isang draft kung ang lahat ay maayos sa itaas na limitasyon!)

Una, kinakalkula namin ang hindi tiyak na integral:

Kapalit:

Para sa mga nahihirapan sa pagpapalit, sumangguni sa aralin Pamamaraan ng pagpapalit sa hindi tiyak na integral.

Kinakalkula namin ang hindi wastong integral:

(1) Ano ang bago dito? Halos wala sa mga tuntunin ng pamamaraan. Ang tanging bagay na nagbago ay ang entry sa ilalim ng icon ng limitasyon: . Ang pagdaragdag ay nangangahulugan na kami ay naglalayon para sa halaga sa kanan (na lohikal - tingnan ang graph). Ang ganitong limitasyon sa teorya ng mga limitasyon ay tinatawag unilateral na limitasyon. Sa kasong ito mayroon tayo limitasyon sa kanang kamay.

(2) Pinapalitan namin ang upper at lower limit ayon sa Newton-Leibniz formula.

(3) Pagharap sa . Paano mo matutukoy kung saan patungo ang isang expression? Sa halos pagsasalita, kailangan mo lamang na palitan ang halaga dito, palitan ang tatlong quarter at ipahiwatig na . Pagsusuklay ng sagot.

Sa kasong ito, ang hindi wastong integral ay katumbas ng isang negatibong numero. Walang krimen dito, tanging ang kaukulang curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa ilalim ng axis.

At ngayon dalawang halimbawa para sa isang malayang desisyon.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Halimbawa 8

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang divergence nito.

Kung ang integrand ay hindi umiiral sa punto

Ang isang walang katapusang curvilinear trapezoid para sa isang hindi tamang integral ay karaniwang ganito ang hitsura.

Tiyak na integral

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

ay binuo sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga numerong $a,\,b$ ay may hangganan at ang $f(x)$ ay isang tuluy-tuloy na function. Kung ang isa sa mga pagpapalagay na ito ay nilabag, ang isa ay nagsasalita ng mga hindi wastong integral.

10.1 Mga hindi wastong integral ng unang uri

Lumilitaw ang hindi wastong integral ng unang uri kapag ang kahit isa sa mga numerong $a,\,b$ ay walang katapusan.

10.1.1 Kahulugan at mga pangunahing katangian

Isaalang-alang muna natin ang sitwasyon kapag ang mababang limitasyon ng pagsasama ay may hangganan at ang itaas na limitasyon ay katumbas ng $+\infty$; ang iba pang mga opsyon ay tatalakayin sa ibang pagkakataon. Para sa $f(x)$ tuloy-tuloy para sa lahat ng $x$ na interes sa amin, isaalang-alang ang integral

\begin(equation) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(equation)

Una sa lahat, ito ay kinakailangan upang maitaguyod ang kahulugan ng expression na ito. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang function

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

at isaalang-alang ang pag-uugali nito bilang $N\rightarrow +\infty$.

Kahulugan. Magkaroon ng limitasyon

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Pagkatapos ay sinasabi namin na ang hindi tamang integral ng unang uri (19) ay nagtatagpo at ang halaga na $A$ ay itinalaga dito, ang function mismo ay tinatawag na integrable sa pagitan ng $\left[ a, \, +\infty \right) $. Kung ang ipinahiwatig na limitasyon ay hindi umiiral o ito ay katumbas ng $\pm \infty$, kung gayon ang integral (19) ay sinasabing diverge.

Isaalang-alang ang integral

\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2). \]

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]

Sa kasong ito, ang antiderivative ng integrand ay kilala, kaya na

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]

Alam na ang $arctg N \rightarrow \pi /2 $ para sa $N \rightarrow +\infty$. Kaya, ang $I(N)$ ay may hangganan, ang aming hindi wastong integral ay nagtatagpo at katumbas ng $\pi /2$.

Ang converging improper integrals ng 1st kind ay mayroong lahat ng standard properties ng ordinary definite integrals.

1. Kung ang $f(x)$, $g(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$, kung gayon ang kanilang kabuuan ay $f(x)+g(x) Ang $ ay maisasama rin sa agwat na ito, at \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x) )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$, kung gayon para sa anumang pare-parehong $C$ ang function na $C\cdot f(x)$ ay maisasama rin sa interval na ito, at \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$ at $f(x)>0$ sa interval na ito, kung gayon ang \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Kung ang $f(x)$ ay maisasama sa pagitan na $\left[ a, \, +\infty \right)$, kung gayon para sa alinmang $b>a$ ang integral \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] ay nagtatagpo, at \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (additivity ng integral sa pagitan).

Ang mga pormula para sa pagbabago ng variable, pagsasama ng mga bahagi, atbp., ay wasto din. (na may natural na reserbasyon).

Isaalang-alang ang integral

\begin(equation) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(equation)

Ipinakilala namin ang pag-andar

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Sa kasong ito, ang antiderivative ay kilala, kaya na

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]

para sa $k \neq 1$,

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]

para sa $k = 1$. Isinasaalang-alang ang pag-uugali para sa $N \rightarrow +\infty$, napagpasyahan namin na ang integral (20) ay nagtatagpo para sa $k>1$, at nag-iiba para sa $k \leq 1$.

Isaalang-alang natin ngayon ang opsyon kapag ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay katumbas ng $-\infty$, at ang nasa itaas ay may hangganan, i.e. isaalang-alang ang mga integral

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Gayunpaman, ang variant na ito ay maaaring bawasan sa nauna kung gagawin natin ang pagbabago ng mga variable $x=-s$ at pagkatapos ay palitan ang mga limitasyon ng pagsasama, upang

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Isaalang-alang natin ngayon ang kaso kapag mayroong dalawang walang katapusang limitasyon, i.e. integral

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

kung saan ang $f(x)$ ay tuloy-tuloy para sa lahat ng $x \in \mathbb(R)$. Hatiin natin ang pagitan sa dalawang bahagi: kunin ang $c \in \mathbb(R)$, at isaalang-alang ang dalawang integral,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Kahulugan. Kung ang parehong integral na $I_1$, $I_2$ ay nagtatagpo, kung gayon ang integral (21) ay tinatawag na convergent, ito ay itinalaga ng halaga na $I=I_1+I_2$ (ayon sa interval additivity). Kung hindi bababa sa isa sa mga integral na $I_1$, $I_2$ ay nag-iiba, ang integral (21) ay sinasabing divergent.

Mapapatunayan na ang convergence ng integral (21) ay hindi nakasalalay sa pagpili ng puntong $c$.

Ang mga hindi tamang integral ng unang uri na may mga pagitan ng pagsasama $\left(-\infty, \, c \right]$ o $(-\infty, \, +\infty)$ ay mayroon ding lahat ng karaniwang katangian ng mga tiyak na integral (na may isang kaukulang repormulasyon na isinasaalang-alang ang pagpipiliang pagitan ng pagsasama).

10.1.2 Pamantayan para sa convergence ng mga hindi tamang integral ng unang uri

Theorem (ang unang tanda ng paghahambing). Hayaang maging tuluy-tuloy ang $f(x)$, $g(x)$ para sa $x>a$, at hayaang $0 a$. Pagkatapos

1. Kung ang integral na \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] ay nagtatagpo, ang integral na \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx ay nagtatagpo rin. \] 2. Kung ang integral na \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] ay nag-iiba, ang integral na \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx ay naghihiwalay din. \]

Theorem (ang pangalawang tanda ng paghahambing). Hayaang maging tuluy-tuloy at positibo ang $f(x)$, $g(x)$ para sa $x>a$, at magkaroon ng hangganang limitasyon

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Pagkatapos ay ang mga integral

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

magkasabay o mag-diverge.

Isaalang-alang ang integral

\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Ang integrand ay isang positibong function sa integration interval. Dagdag pa, para sa $x \rightarrow +\infty$ mayroon kaming:

Ang $\sin x$ ay isang "maliit" na pagwawasto sa denominator. Mas tiyak, kung kukuha tayo ng $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, kung gayon

\[ \lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]

Sa paglalapat ng pangalawang criterion ng paghahambing, nakukuha natin ang konklusyon na ang ating integral ay nagtatagpo o nag-iiba nang sabay-sabay sa integral.

\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]

Gaya ng ipinakita sa nakaraang halimbawa, ang integral na ito ay nag-iiba ($k=1$). Samakatuwid, ang orihinal na integral ay nagkakaiba.

Kalkulahin ang hindi wastong integral o itatag ang convergence nito (divergence).

1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]

Mga hindi wastong integral ng unang uri: extension ng konsepto ng isang tiyak na integral sa mga kaso ng integral na may walang katapusan na itaas o mas mababang mga limitasyon ng pagsasama, o ang parehong mga limitasyon ng pagsasama ay walang katapusan.

Mga hindi wastong integral ng pangalawang uri: extension ng konsepto ng isang tiyak na integral sa mga kaso ng mga integral ng walang hangganang pag-andar, ang integrand ay hindi umiiral sa isang may hangganan na bilang ng mga punto ng may hangganang pagitan ng pagsasama, na nagiging infinity.

Para sa paghahambing. Kapag ipinakilala ang konsepto tiyak na integral ito ay ipinapalagay na ang function f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b], at ang pagitan ng pagsasama ay may hangganan, iyon ay, ito ay nililimitahan ng mga numero, at hindi ng infinity. Ang ilang mga gawain ay humahantong sa pangangailangang iwanan ang mga paghihigpit na ito. Ganito lumilitaw ang mga hindi wastong integral.

Ang geometric na kahulugan ng hindi wastong integral lumalabas na medyo simple. Kapag ang graph ng function y = f(x) ay nasa itaas ng axis baka, ang tiyak na integral ay nagpapahayag ng lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapalibutan ng isang curve y = f(x) , abscissa at ordinates x = a , x = b. Sa turn, ang hindi wastong integral ay nagpapahayag ng lugar ng isang walang hangganan (walang hanggan) curvilinear trapezoid na nakapaloob sa pagitan ng mga linya y = f(x) (nakalarawan sa ibaba ng pula) x = a at ang abscissa axis.

Ang mga hindi wastong integral ay parehong tinukoy para sa iba pang mga walang katapusang pagitan:

Ang lugar ng isang walang katapusang curvilinear trapezoid ay maaaring isang may hangganan na numero, at sa kasong ito ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent. Ang lugar ay maaari ding maging infinity, kung saan ang hindi wastong integral ay tinatawag na divergent.

Gamit ang limitasyon ng isang integral sa halip na ang hindi tamang integral mismo. Upang makalkula ang hindi wastong integral, kailangan mong gamitin ang limitasyon ng tiyak na integral. Kung ang limitasyong ito ay umiiral at may hangganan (hindi katumbas ng infinity), kung gayon ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent, kung hindi, ito ay divergent. Ano ang posibilidad ng variable sa ilalim ng limit sign sa kung tayo ay nakikitungo sa isang hindi wastong integral ng unang uri o ng pangalawang uri. Alamin natin ang tungkol dito ngayon.

Mga hindi tamang integral ng unang uri - na may walang katapusang mga limitasyon at ang kanilang tagpo

Mga hindi tamang integral na may walang katapusang limitasyon sa itaas

Kaya, ang talaan ng hindi wastong integral ay naiiba sa karaniwang tiyak na integral dahil ang itaas na limitasyon ng pagsasama ay walang katapusan.

Kahulugan. Isang hindi tamang integral na may walang katapusang itaas na limitasyon ng pagsasama mula sa tuluy-tuloy na function f(x) sa pagitan a dati ∞ ay tinatawag na limitasyon ng integral ng function na ito na may pinakamataas na limitasyon ng pagsasama b at ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a sa kondisyon na ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama ay lumalaki nang walang katiyakan, ibig sabihin.

.

Kung umiiral ang limitasyong ito at katumbas ng ilang numero, at hindi sa infinity, kung gayon ang hindi wastong integral ay tinatawag na convergent, at ang bilang na katumbas ng limitasyon ay kinukuha bilang halaga nito. Kung hindi ang hindi wastong integral ay tinatawag na divergent at walang halaga ang iniuugnay dito.

Halimbawa 1. Kalkulahin ang Di-wastong Integral(kung ito ay nagtatagpo).

Desisyon. Batay sa kahulugan ng hindi wastong integral, makikita natin

Dahil ang limitasyon ay umiiral at katumbas ng 1, kung gayon ang ibinigay hindi wastong integral converges at katumbas ng 1.

Sa sumusunod na halimbawa, ang integrand ay halos pareho sa halimbawa 1, tanging ang antas ng x ay hindi dalawa, ngunit ang titik alpha, at ang gawain ay pag-aralan ang hindi wastong integral para sa convergence. Iyon ay, ang tanong ay nananatiling masagot: sa anong mga halaga ng alpha ang hindi wastong integral na ito ay nagtatagpo, at sa anong mga halaga ito nagkakaiba?

Halimbawa 2. Siyasatin ang convergence ng isang hindi wastong integral(ang mas mababang limitasyon sa pagsasama ay mas malaki kaysa sa zero).

Desisyon. Ipagpalagay muna iyon, pagkatapos

Sa resultang expression, pumasa kami sa limitasyon sa:

Madaling makita na ang limitasyon sa kanang bahagi ay umiiral at katumbas ng zero kapag , ibig sabihin, at hindi umiiral kapag , ibig sabihin.

Sa unang kaso, iyon ay, kapag . Kung , kung gayon at wala.

Ang konklusyon ng aming pag-aaral ay ang mga sumusunod: hindi wastong integral converges sa at diverges sa .

Paglalapat sa pinag-aralan na uri ng hindi wastong integral ang Newton-Leibniz formula , maaari nating makuha ang sumusunod na halos kaparehong formula:

.

Ito ang pangkalahatang formula ng Newton-Leibniz.

Halimbawa 3. Compute Improper Integral(kung ito ay nagtatagpo).

Ang limitasyon ng integral na ito ay umiiral:

Ang pangalawang integral, na siyang kabuuan na nagpapahayag ng orihinal na integral:

Ang limitasyon ng integral na ito ay umiiral din:

.

Nahanap namin ang kabuuan ng dalawang integral, na siyang halaga rin ng orihinal na hindi wastong integral na may dalawang walang katapusang limitasyon:

Mga hindi wastong integral ng pangalawang uri - mula sa walang hangganang pag-andar at ang kanilang convergence

Hayaan ang function f(x) itinakda sa segment mula sa a dati b at walang limitasyon dito. Ipagpalagay na ang function ay napupunta sa infinity sa punto b , habang sa lahat ng iba pang mga punto ng segment ito ay tuloy-tuloy.

Kahulugan. Hindi wastong integral ng function f(x) sa segment mula sa a dati b ay tinatawag na limitasyon ng integral ng function na ito na may pinakamataas na limitasyon ng pagsasama c , kung kapag nagsusumikap c sa b ang pag-andar ay tumataas nang walang katiyakan, at sa punto x = b hindi tinukoy ang function, ibig sabihin.

.

Kung umiiral ang limitasyong ito, kung gayon ang hindi wastong integral ng pangalawang uri ay tinatawag na convergent, kung hindi man ay divergent.

Gamit ang formula ng Newton-Leibniz, nakukuha namin.