Integral (pangwakas) na anyo. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto: ang pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa ilang displacement nito ay katumbas ng algebraic sum ng gawain ng lahat ng pwersang kumikilos sa puntong ito sa parehong displacement.

Ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema ay nabuo: ang pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema kapag ito ay gumagalaw mula sa isang posisyon patungo sa isa pa ay katumbas ng kabuuan ng gawain ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa sistema sa panahon ng paggalaw na ito:

Sa kaso ng isang hindi nababagong sistema, ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na pwersa sa anumang displacement ay katumbas ng zero (), pagkatapos

Batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya. Kapag ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa na may potensyal, ang mga pagbabago sa kinetic energy ng system ay tinutukoy ng mga dependencies:

saan,

Ang kabuuan ng kinetic at potensyal na enerhiya ng isang sistema ay tinatawag kabuuang mekanikal na enerhiya mga sistema.

Sa gayon, Kapag ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw sa isang nakatigil na potensyal na larangan, ang kabuuang mekanikal na enerhiya ng sistema sa panahon ng paggalaw ay nananatiling hindi nagbabago.

Gawain. Ang isang mekanikal na sistema, sa ilalim ng impluwensya ng grabidad, ay gumagalaw mula sa isang estado ng pahinga. Isinasaalang-alang ang sliding friction ng katawan 3, pagpapabaya sa iba pang mga puwersa ng paglaban at ang mga masa ng mga thread na ipinapalagay na hindi mapalawak, matukoy ang bilis at acceleration ng katawan 1 sa sandaling ang landas na dinaanan nito ay nagiging pantay. s(Larawan 3.70).

Sa gawain, tanggapin:

Solusyon. Ang mekanikal na sistema ay kumikilos sa pamamagitan ng mga aktibong pwersa , , . Ang paglalapat ng prinsipyo ng pagpapalaya sa system mula sa mga hadlang, ipapakita namin ang mga reaksyon ng hinged-fixed na suporta 2 at ang magaspang na hilig na ibabaw. Ilarawan namin ang mga direksyon ng mga bilis ng mga katawan ng system na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang katawan 1 ay pababang.

Lutasin natin ang problema sa pamamagitan ng paglalapat ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema:

saan T at ito ang kinetic energy ng system sa inisyal at panghuling posisyon; - ang algebraic na kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa sistema upang ilipat ang sistema mula sa unang posisyon patungo sa huling posisyon; - ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na pwersa ng sistema sa parehong pag-aalis.

Para sa system na isinasaalang-alang, na binubuo ng ganap na matibay na mga katawan na konektado sa pamamagitan ng mga hindi mapalawak na mga thread:

Dahil ang system ay nagpapahinga sa paunang posisyon, kung gayon . Kaya naman:

Ang kinetic energy ng system ay ang kabuuan ng kinetic energies ng mga katawan 1, 2, 3:

Ang kinetic energy ng load 1 na pasulong ay katumbas ng:

Kinetic energy ng block 2 na umiikot sa paligid ng isang axis Oz, patayo sa drawing plane:

Kinetic energy ng katawan 3 sa pasulong na paggalaw nito:

kaya,

Ang expression para sa kinetic energy ay naglalaman ng hindi kilalang mga bilis ng lahat ng mga katawan sa system. Ang kahulugan ay dapat magsimula sa . Alisin natin ang mga hindi kinakailangang hindi alam sa pamamagitan ng paglikha ng mga equation ng mga koneksyon.

Ang mga constraint equation ay walang iba kundi ang kinematic na relasyon sa pagitan ng mga bilis at paggalaw ng mga puntos sa system. Kapag binubuo ang mga constraint equation, ipahahayag namin ang lahat ng hindi kilalang mga bilis at paggalaw ng mga katawan ng system sa pamamagitan ng bilis at paggalaw ng load 1.

Ang bilis ng anumang punto sa gilid ng maliit na radius ay katumbas ng bilis ng body 1, pati na rin ang produkto ng angular speed ng body 2 at ang radius ng pag-ikot r:

Mula dito ipinapahayag namin ang angular velocity ng body 2:

Ang bilis ng pag-ikot ng anumang punto sa gilid ng isang bloke ng malaking radius, sa isang banda, ay katumbas ng produkto ng bilis ng angular ng bloke at ang radius ng pag-ikot, at sa kabilang banda, ang bilis ng katawan 3 :

Ang pagpapalit ng halaga ng angular velocity, nakukuha natin:

Ang pagkakaroon ng pinagsamang mga expression (a) at (b) sa ilalim ng mga paunang kondisyon, isinulat namin ang ratio ng mga displacement ng mga punto ng system:

Alam ang mga pangunahing pag-asa ng mga bilis ng mga punto ng system, bumalik tayo sa pagpapahayag ng kinetic energy at pinapalitan ang mga equation (a) at (b) dito:

Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan 2 ay katumbas ng:

Ang pagpapalit ng mga halaga ng masa ng katawan at ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan 2, isinulat namin:

Pagpapasiya ng kabuuan ng trabaho ng lahat ng panlabas na puwersa ng sistema sa isang naibigay na pag-aalis.

Ngayon, ayon sa theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema, tinutumbasan namin ang mga halaga T At

Ang bilis ng body 1 ay nakuha mula sa expression (g)

Ang acceleration ng body 1 ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng pagkakapantay-pantay (g) na may paggalang sa oras.

Ipakilala natin ang konsepto ng isa pang pangunahing dynamic na katangian ng paggalaw - kinetic energy. Ang kinetic energy ng isang materyal na punto ay isang scalar na dami na katumbas ng kalahati ng produkto ng masa ng punto at ang parisukat ng bilis nito.

Ang yunit ng pagsukat para sa kinetic energy ay kapareho ng trabaho (sa SI - 1 J). Hanapin natin ang relasyon na nag-uugnay sa dalawang dami na ito.

Isaalang-alang natin ang isang materyal na punto na may mass na gumagalaw mula sa isang posisyon kung saan ito ay may bilis patungo sa isang posisyon kung saan ang bilis nito

Upang makuha ang ninanais na pag-asa, buksan natin ang equation na nagpapahayag ng pangunahing batas ng dinamika. Ang pag-project ng parehong bahagi nito sa tangent patungo sa trajectory ng point M, na nakadirekta sa direksyon ng paggalaw, nakuha natin

Katawanin natin ang tangential acceleration ng puntong kasama dito sa form

Bilang isang resulta, nakita namin iyon

I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito at ilagay ito sa ilalim ng differential sign. Pagkatapos, sa pagpuna na kung saan ang elementarya na gawain ng puwersa, nakukuha natin ang pagpapahayag ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang punto sa differential form:

Ang pagkakaroon ngayon ng pinagsamang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa loob ng mga limitasyon na tumutugma sa mga halaga ng mga variable sa mga punto, sa wakas ay mahahanap natin

Ang equation (52) ay nagpapahayag ng theorem tungkol sa pagbabago sa kinetic energy ng isang punto sa huling anyo: ang pagbabago sa kinetic energy ng isang punto sa panahon ng ilang displacement ay katumbas ng algebraic sum ng gawain ng lahat ng pwersa na kumikilos sa punto sa ang parehong displacement.

Ang kaso ng hindi malayang paggalaw. Kapag ang punto ay gumagalaw sa isang di-libreng paraan, ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (52) ay isasama ang gawain ng ibinigay na (aktibong) pwersa at ang gawain ng reaksyon ng pagkabit. Limitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang sa paggalaw ng isang punto sa isang nakatigil na makinis (walang friction) na ibabaw o kurba. Sa kasong ito, ang reaksyon N (tingnan ang Fig. 233) ay ididirekta nang normal sa tilapon ng punto at. Pagkatapos, ayon sa formula (44), ang reaction work ng isang nakatigil na makinis na ibabaw (o curve) para sa anumang paggalaw ng punto ay magiging katumbas ng zero, at mula sa equation (52) makuha natin

Dahil dito, kapag gumagalaw sa isang nakatigil na makinis na ibabaw (o kurba), ang pagbabago sa kinetic energy ng isang punto ay katumbas ng kabuuan ng gawaing ginawa sa paggalaw na ito ng mga aktibong pwersa na inilapat sa punto.

Kung ang ibabaw (curve) ay hindi makinis, kung gayon ang gawain ng friction force ay idaragdag sa gawain ng mga aktibong pwersa (tingnan ang § 88). Kung ang ibabaw (curve) ay gumagalaw, kung gayon ang absolute displacement ng point M ay maaaring hindi patayo sa N at pagkatapos ay ang reaksyong work N ay hindi magiging katumbas ng zero (halimbawa, ang reaction work ng elevator platform).

Pagtugon sa suliranin. Ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy [formula (52)] ay nagbibigay-daan, alam kung paano nagbabago ang bilis ng isang punto kapag gumagalaw ang isang punto, upang matukoy ang gawain ng mga kumikilos na pwersa (ang unang problema ng dinamika) o, alam ang gawain ng ang kumikilos na pwersa, upang matukoy kung paano nagbabago ang bilis ng isang punto kapag gumagalaw (ang pangalawang problema ng dynamics ). Kapag nilulutas ang pangalawang problema, kapag ibinigay ang mga puwersa, kinakailangan upang kalkulahin ang kanilang trabaho. Tulad ng makikita sa mga formula (44), (44), ito ay magagawa lamang kapag ang mga puwersa ay pare-pareho o nakadepende lamang sa posisyon (coordinate) ng gumagalaw na punto, tulad ng puwersa ng elasticity o gravity (tingnan ang § 88 ).

Kaya, ang formula (52) ay maaaring direktang gamitin upang malutas ang pangalawang problema ng dinamika, kapag ang data at kinakailangang dami sa problema ay kinabibilangan ng: mga puwersang kumikilos, ang displacement ng isang punto at ang mga inisyal at huling bilis nito (ibig sabihin, mga dami ), at ang mga puwersa ay dapat na pare-pareho o depende lamang sa posisyon (coordinate) ng punto.

Ang theorem sa differential form [formula (51)] ay maaaring, siyempre, ilapat para sa anumang kumikilos na pwersa.

Problema 98. Ang isang load na tumitimbang ng kg, na itinapon nang may bilis mula sa punto A, na matatagpuan sa taas (Fig. 235), ay may bilis sa punto ng pagkahulog C. Tukuyin kung ano ang gawaing ginawa ng air resistance force na kumikilos sa load sa panahon ng paggalaw nito

Solusyon. Habang gumagalaw ang load, kumikilos ang puwersa ng gravity P at ang puwersa ng air resistance R sa load. Ayon sa theorem sa pagbabago sa kinetic energy, kung isasaalang-alang ang load bilang isang materyal na punto, mayroon tayong

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, dahil ayon sa formula na nakita natin

Problema 99. Sa ilalim ng mga kondisyon ng problema 96 (tingnan ang [§ 84), tukuyin kung aling landas ang dadaanan ng load bago huminto (tingnan ang Fig. 223, kung saan ang unang posisyon ng load, at ang huling posisyon).

Solusyon. Ang pag-load, tulad ng sa problema 96, ay ginagampanan ng mga puwersa P, N, F. Upang matukoy ang distansya ng pagpepreno, isinasaalang-alang na ang mga kondisyon ng problemang ito ay kasama rin ang isang pare-parehong puwersa F, gagamitin namin ang teorama sa pagbabago sa kinetic energy

Sa kaso na isinasaalang-alang - ang bilis ng pagkarga sa sandali ng paghinto). Bilang karagdagan, dahil ang mga puwersa P at N ay patayo sa displacement, Bilang isang resulta, nakukuha namin mula sa kung saan namin matatagpuan

Ayon sa mga resulta ng problema 96, ang oras ng pagpepreno ay tumataas sa proporsyon sa paunang bilis, at ang distansya ng pagpepreno, tulad ng nakita namin, ay proporsyonal sa parisukat ng paunang bilis. Kapag inilapat sa transportasyon sa lupa, ipinapakita nito kung paano tumataas ang panganib sa pagtaas ng bilis.

Problema 100. Ang isang load ng timbang P ay sinuspinde sa isang thread na may haba l Ang sinulid kasama ang load ay pinalihis mula sa patayo sa isang anggulo (Larawan 236, a) at pinakawalan nang walang paunang bilis. Kapag gumagalaw, kumikilos ang isang resistance force R sa load, na tinatayang pinapalitan namin ng average na halaga nito. Hanapin ang bilis ng load sa oras na ang thread ay gumagawa ng isang anggulo sa vertical

Solusyon. Isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng problema, muli naming ginagamit ang Theorem (52):

Ang pagkarga ay ginagampanan ng puwersa ng gravity P, ang reaksyon ng sinulid ng paglaban, na kinakatawan ng average na halaga nito R. Para sa puwersa P, ayon sa formula (47) para sa puwersa N, dahil sa wakas ay nakuha natin, para sa puwersa. dahil, ayon sa formula (45) ito ay magiging (ang haba ng s ng arko ay katumbas ng radius ng produkto l bawat gitnang anggulo). Bilang karagdagan, ayon sa mga kondisyon ng problema Bilang resulta, ang pagkakapantay-pantay (a) ay nagbibigay ng:

Sa kawalan ng paglaban, nakukuha natin mula dito ang kilalang pormula ng Galileo, na malinaw na wasto din para sa bilis ng isang malayang pagbagsak ng pagkarga (Larawan 236, b).

Sa problemang isinasaalang-alang Pagkatapos, ang pagpapakilala ng isa pang notasyon - ang average na puwersa ng paglaban sa bawat yunit ng timbang ng pagkarga), sa wakas ay nakuha namin

Problema 101. Sa isang undeformed state, ang valve spring ay may haba na cm. Kapag ang valve ay ganap na nakabukas, ang haba nito ay cm, at ang taas ng valve lift ay cm (Fig. 237). Spring stiffness valve timbang kg. Ang pagpapabaya sa mga epekto ng gravity at mga puwersa ng paglaban, tukuyin ang bilis ng balbula sa sandaling ito ay sarado.

Solusyon, Gamitin natin ang equation

Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang trabaho ay ginagawa lamang ng nababanat na puwersa ng tagsibol. Pagkatapos, ayon sa formula (48) ito ay magiging

Sa kasong ito

Bilang karagdagan, ang pagpapalit ng lahat ng mga halagang ito sa equation (a), sa wakas ay nakuha namin

Problema 102. Ang isang load na nakalagay sa gitna ng isang elastic beam (Fig. 238) ay nagpapalihis dito ng isang halaga (statistical deflection ng beam). Kapag pinabayaan ang bigat ng beam, alamin kung ano ang pinakamataas na deflection nito kung ang load nahuhulog sa sinag mula sa taas H.

Solusyon. Tulad ng sa nakaraang problema, gagamitin namin ang equation (52) upang malutas. Sa kasong ito, ang paunang bilis ng pagkarga at ang huling bilis nito (Sa sandali ng maximum na pagpapalihis ng beam) ay katumbas ng zero at ang equation (52) ay nasa anyo.

Ang gawain dito ay ginagampanan ng gravitational force P sa displacement at ang elastic force ng beam F sa displacement. Bukod dito, dahil para sa beam na Pinapalitan ang mga dami na ito sa pagkakapantay-pantay (a), nakukuha natin

Ngunit kapag ang pagkarga ay nasa equilibrium sa sinag, ang puwersa ng grabidad ay balanse ng puwersa ng pagkalastiko, samakatuwid, ang nakaraang pagkakapantay-pantay ay maaaring ilarawan sa anyo

Paglutas ng quadratic equation na ito at isinasaalang-alang na ayon sa mga kondisyon ng problema ay dapat nating mahanap

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kapag ito ay lumabas Samakatuwid, kung ang isang load ay inilagay sa gitna ng isang pahalang na sinag, kung gayon ang pinakamataas na pagpapalihis nito kapag binabaan ang pagkarga ay magiging katumbas ng dalawang beses sa static. Kasunod nito, magsisimulang mag-oscillate ang load kasama ang beam sa paligid ng posisyon ng equilibrium. Sa ilalim ng impluwensya ng paglaban, ang mga oscillation na ito ay magpapalamig at ang sistema ay magiging balanse sa isang posisyon kung saan ang pagpapalihis ng sinag ay katumbas ng

Problema 103. Tukuyin ang pinakamababang vertically directed initial velocity na dapat ibigay sa katawan upang ito ay tumaas mula sa ibabaw ng Earth hanggang sa ibinigay na taas H (Fig. 239). distansya mula sa sentro ng Earth. Pabayaan ang resistensya ng hangin.

Solusyon. Isinasaalang-alang ang katawan bilang isang materyal na punto na may masa, ginagamit namin ang equation

Ang gawain dito ay ginagawa ng gravitational force F. Pagkatapos, gamit ang formula (50), na isinasaalang-alang na sa kasong ito kung saan ang R ay ang radius ng Earth, nakukuha natin

Dahil sa pinakamataas na punto, na may nahanap na halaga ng trabaho, ang equation (a) ay nagbibigay

Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso:

a) hayaang ang H ay napakaliit kumpara sa R. Pagkatapos - isang halaga na malapit sa zero. Ang paghahati sa numerator at denominator na nakukuha natin

Kaya, para sa maliit na H nakarating tayo sa pormula ni Galileo;

b) hanapin natin sa kung anong paunang bilis ang itinapon na katawan ay mapupunta sa infinity. Hinahati ang numerator at denominator sa A, makukuha natin

Tingnan: ang artikulong ito ay nabasa nang 49915 beses

Pdf Pumili ng wika... Russian Ukrainian English

Maikling pagsusuri

Ang buong materyal ay dina-download sa itaas, pagkatapos piliin ang wika

Dalawang kaso ng pagbabago ng mekanikal na paggalaw ng isang materyal na punto o sistema ng mga puntos:

1. ang mekanikal na paggalaw ay inililipat mula sa isang mekanikal na sistema patungo sa isa pa bilang mekanikal na paggalaw;
2. Ang mekanikal na paggalaw ay nagiging isa pang anyo ng paggalaw ng bagay (sa anyo ng potensyal na enerhiya, init, kuryente, atbp.).

Kapag ang pagbabago ng mekanikal na paggalaw nang walang paglipat nito sa ibang anyo ng paggalaw ay isinasaalang-alang, ang sukatan ng mekanikal na paggalaw ay ang vector ng momentum ng isang materyal na punto o mekanikal na sistema. Ang sukatan ng puwersa sa kasong ito ay ang vector ng puwersang salpok.

Kapag ang mekanikal na paggalaw ay nagiging isa pang anyo ng paggalaw ng bagay, ang kinetic energy ng isang materyal na punto o mekanikal na sistema ay kumikilos bilang isang sukatan ng mekanikal na paggalaw. Ang sukat ng pagkilos ng puwersa kapag binabago ang mekanikal na paggalaw sa ibang anyo ng paggalaw ay ang gawain ng puwersa

Kinetic energy

Ang kinetic energy ay ang kakayahan ng katawan na malampasan ang isang balakid habang gumagalaw.

Kinetic energy ng isang materyal na punto

Ang kinetic energy ng isang materyal na punto ay isang scalar na dami na katumbas ng kalahati ng produkto ng masa ng punto at ang parisukat ng bilis nito.

Kinetic energy:

• nailalarawan ang parehong mga paggalaw ng pagsasalin at pag-ikot;
• ay hindi nakasalalay sa direksyon ng paggalaw ng mga punto ng system at hindi nailalarawan ang mga pagbabago sa mga direksyon na ito;
• nagpapakilala sa pagkilos ng parehong panloob at panlabas na pwersa.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema

Ang kinetic energy ng system ay katumbas ng kabuuan ng kinetic energies ng mga katawan ng system. Ang kinetic energy ay nakasalalay sa uri ng paggalaw ng mga katawan ng system.

Pagpapasiya ng kinetic energy ng isang solidong katawan para sa iba't ibang uri ng paggalaw.

Kinetic energy ng translational motion
Sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin, ang kinetic energy ng katawan ay katumbas ng T=m V 2/2.

Ang sukat ng inertia ng isang katawan sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin ay masa.

Kinetic energy ng rotational motion ng isang katawan

Sa panahon ng rotational motion ng isang katawan, ang kinetic energy ay katumbas ng kalahati ng produkto ng moment of inertia ng katawan na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot at ang square ng angular velocity nito.

Ang isang sukatan ng inertia ng isang katawan sa panahon ng rotational motion ay ang moment of inertia.

Ang kinetic energy ng isang katawan ay hindi nakadepende sa direksyon ng pag-ikot ng katawan.

Kinetic energy ng plane-parallel motion ng isang katawan

Sa plane-parallel motion ng isang katawan, ang kinetic energy ay katumbas ng

Trabaho ng puwersa

Ang gawain ng puwersa ay nagpapakilala sa pagkilos ng isang puwersa sa isang katawan sa panahon ng ilang paggalaw at tinutukoy ang pagbabago sa velocity modulus ng gumagalaw na punto.

Pangunahing gawain ng puwersa

Ang elementarya na gawain ng isang puwersa ay tinukoy bilang isang scalar na dami na katumbas ng produkto ng projection ng puwersa papunta sa tangent sa trajectory, na nakadirekta sa direksyon ng paggalaw ng punto, at ang infinitesimal na displacement ng punto, na nakadirekta sa kahabaan nito. padaplis.

Trabaho na ginawa sa pamamagitan ng puwersa sa huling pag-alis

Ang gawaing ginawa ng isang puwersa sa isang panghuling pag-alis ay katumbas ng kabuuan ng gawain nito sa mga elementarya.

Ang gawain ng isang puwersa sa isang panghuling displacement M 1 M 0 ay katumbas ng integral ng elementarya na gawain kasama ang displacement na ito.

Ang gawain ng isang puwersa sa displacement M 1 M 2 ay inilalarawan ng lugar ng figure, na limitado ng abscissa axis, ang curve at ang mga ordinate na naaayon sa mga puntos na M 1 at M 0.

Ang yunit ng pagsukat para sa work of force at kinetic energy sa SI system ay 1 (J).

Theorems tungkol sa gawain ng puwersa

Teorama 1. Ang gawaing ginawa ng resultang puwersa sa isang tiyak na pag-aalis ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng gawaing ginawa ng mga puwersang bahagi sa parehong displacement.

Teorama 2. Ang gawaing ginawa ng isang pare-parehong puwersa sa nagresultang pag-aalis ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng gawaing ginawa ng puwersang ito sa mga displacement ng bahagi.

kapangyarihan

Ang kapangyarihan ay isang dami na tumutukoy sa gawaing ginagawa ng isang puwersa bawat yunit ng oras.

Ang yunit ng pagsukat ng kapangyarihan ay 1W = 1 J/s.

Mga kaso ng pagtukoy sa gawain ng mga pwersa

Gawain ng mga panloob na pwersa

Ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na puwersa ng isang matibay na katawan sa panahon ng anumang paggalaw ay zero.

Gawain ng grabidad

Trabaho ng nababanat na puwersa

Gawain ng friction force

Trabaho ng mga puwersa na inilapat sa isang umiikot na katawan

Ang elementarya na gawain ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis ay katumbas ng produkto ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa axis ng pag-ikot at ang pagtaas sa anggulo ng pag-ikot.

Rolling resistance

Sa contact zone ng nakatigil na silindro at ng eroplano, nangyayari ang lokal na pagpapapangit ng contact compression, ang stress ay ipinamamahagi ayon sa isang elliptical na batas, at ang linya ng pagkilos ng resultang N ng mga stress na ito ay tumutugma sa linya ng pagkilos ng pagkarga. puwersa sa silindro Q. Kapag ang silindro ay gumulong, ang pamamahagi ng pagkarga ay nagiging walang simetriko na may pinakamataas na paglipat patungo sa paggalaw. Ang resultang N ay inilipat sa halagang k - ang braso ng rolling friction force, na tinatawag ding rolling friction coefficient at may dimensyon ng haba (cm)

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto

Ang pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa isang tiyak na displacement ay katumbas ng algebraic na kabuuan ng lahat ng pwersang kumikilos sa punto sa parehong displacement.

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema

Ang pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema sa isang tiyak na displacement ay katumbas ng algebraic sum ng panloob at panlabas na pwersa na kumikilos sa mga materyal na punto ng system sa parehong displacement.

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang solid body

Ang pagbabago sa kinetic energy ng isang matibay na katawan (hindi nagbabagong sistema) sa isang tiyak na pag-aalis ay katumbas ng kabuuan ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa mga punto ng system sa parehong pag-aalis.

Kahusayan

Mga puwersang kumikilos sa mga mekanismo

Ang mga puwersa at pares ng puwersa (mga sandali) na inilalapat sa isang mekanismo o makina ay maaaring nahahati sa mga pangkat:

1. Mga puwersa sa pagmamaneho at mga sandali na gumaganap ng positibong trabaho (inilapat sa mga link sa pagmamaneho, halimbawa, presyon ng gas sa piston sa isang panloob na combustion engine).

2. Mga puwersa at sandali ng paglaban na gumagawa ng negatibong gawain:

• kapaki-pakinabang na pagtutol (ginagawa nila ang trabaho na kinakailangan mula sa makina at inilalapat sa mga hinihimok na link, halimbawa, ang paglaban ng pagkarga na itinaas ng makina),
• mga puwersa ng paglaban (halimbawa, mga puwersa ng alitan, paglaban sa hangin, atbp.).

3. Gravity forces at elastic forces ng springs (parehong positive at negative work, habang ang work para sa isang buong cycle ay zero).

4. Mga puwersa at sandali na inilapat sa katawan o tumayo mula sa labas (reaksyon ng pundasyon, atbp.), Na hindi gumagana.

5. Mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga link na kumikilos sa mga kinematic na pares.

6. Ang mga inertial na puwersa ng mga link, na sanhi ng masa at paggalaw ng mga link na may acceleration, ay maaaring magsagawa ng positibo, negatibong trabaho at hindi gumaganap ng trabaho.

Gawain ng mga puwersa sa mga mekanismo

Kapag ang makina ay nagpapatakbo sa isang matatag na estado, ang kinetic energy nito ay hindi nagbabago at ang kabuuan ng gawain ng mga puwersa sa pagmamaneho at mga puwersa ng paglaban na inilapat dito ay zero.

Ang gawaing ginugol sa pagpapaandar ng makina ay ginugol sa pagtagumpayan ng kapaki-pakinabang at nakakapinsalang mga pagtutol.

Kahusayan ng mekanismo

Ang mekanikal na kahusayan sa panahon ng tuluy-tuloy na paggalaw ay katumbas ng ratio ng kapaki-pakinabang na gawain ng makina sa gawaing ginugol sa pagtatakda ng makina sa paggalaw:

Ang mga elemento ng makina ay maaaring konektado sa serye, parallel at halo-halong.

Kahusayan sa koneksyon ng serye

Kapag ang mga mekanismo ay konektado sa serye, ang pangkalahatang kahusayan ay mas mababa kaysa sa pinakamababang kahusayan ng isang indibidwal na mekanismo.

Kahusayan sa parallel na koneksyon

Kapag ang mga mekanismo ay konektado sa parallel, ang pangkalahatang kahusayan ay mas malaki kaysa sa pinakamababa at mas mababa kaysa sa pinakamataas na kahusayan ng isang indibidwal na mekanismo.

Format: pdf

Wika: Russian, Ukrainian

Halimbawa ng pagkalkula ng isang spur gear
Isang halimbawa ng pagkalkula ng spur gear. Ang pagpili ng materyal, pagkalkula ng mga pinahihintulutang stress, pagkalkula ng contact at baluktot na lakas ay natupad.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa beam bending
Sa halimbawa, ang mga diagram ng transverse forces at mga baluktot na sandali ay itinayo, isang mapanganib na seksyon ang natagpuan at isang I-beam ang napili. Sinuri ng problema ang pagbuo ng mga diagram gamit ang differential dependencies at nagsagawa ng comparative analysis ng iba't ibang cross section ng beam.

Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa shaft torsion
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang bakal na baras sa isang ibinigay na diameter, materyal at pinapayagang diin. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng torques, shear stresses at twist angles ay itinayo. Ang sariling timbang ng baras ay hindi isinasaalang-alang

Isang halimbawa ng paglutas ng problema ng tension-compression ng isang baras
Ang gawain ay upang subukan ang lakas ng isang steel bar sa tinukoy na pinahihintulutang mga stress. Sa panahon ng solusyon, ang mga diagram ng mga longitudinal na pwersa, normal na mga stress at displacements ay itinayo. Ang sariling timbang ng pamalo ay hindi isinasaalang-alang

Application ng theorem sa konserbasyon ng kinetic energy
Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa konserbasyon ng kinetic energy ng isang mekanikal na sistema

Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang sistema na may matibay na katawan, bloke, pulley at spring.

Nilalaman

Ang gawain

Ang mekanikal na sistema ay binubuo ng mga timbang 1 at 2, isang stepped pulley 3 na may step radii R 3 = 0.3 m, r 3 = 0.1 m at radius ng gyration na may kaugnayan sa axis ng rotation ρ 3 = 0.2 m, block 4 radius R 4 = 0.2 m at movable block 5. Block 5 ay itinuturing na solid homogenous cylinder. Coefficient ng friction ng load 2 sa eroplano f = 0,1 . Ang mga katawan ng system ay konektado sa bawat isa sa pamamagitan ng mga thread na itinapon sa mga bloke at sugat sa pulley 3. Ang mga seksyon ng mga thread ay parallel sa kaukulang mga eroplano. Ang isang spring na may stiffness coefficient c = ay nakakabit sa movable block 5 280 N/m.

Sa ilalim ng impluwensya ng puwersa F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, depende sa displacement s ng punto ng aplikasyon nito, ang sistema ay nagsisimulang lumipat mula sa isang estado ng pahinga. Ang pagpapapangit ng tagsibol sa sandaling magsimula ang paggalaw ay zero. Kapag gumagalaw, ang pulley 3 ay inaaksyunan ng isang pare-parehong sandali M = 1.6 Nm mga puwersa ng paglaban (mula sa alitan sa mga bearings). Masa ng katawan: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Tukuyin ang halaga ng sentro ng masa ng katawan 5 V C 5 sa sandali sa oras kung kailan ang displacement s ng load 1 ay nagiging katumbas ng s 1 = 0.2 m.

Tandaan. Kapag nilulutas ang isang problema, gamitin kinetic energy change theorem.

Ang solusyon sa problema

Ibinigay: R 3 = 0.3 m, r 3 = 0.1 m, ρ 3 = 0.2 m, R 4 = 0.2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, s 1 = 0.2 m.

Hanapin: V C 5 .

Mga variable na pagtatalaga

R 3 , r 3- radii ng pulley hakbang 3;
ρ 3 - radius ng inertia ng pulley 3 na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot;
R 5 - block radius 5;
V 1 , V 2 - bilis ng katawan 1 at 2;
ω 3 - angular na bilis ng pag-ikot ng pulley 3;
V C 5 - bilis ng sentro ng masa C 5 bloke 5;
ω 5 - angular na bilis ng pag-ikot ng block 5;
s 1 , s 2 - paggalaw ng mga katawan 1 at 2;
φ 3 - anggulo ng pag-ikot ng kalo 3;
s C 5 - paggalaw ng sentro ng masa C 5 bloke 5;
s A, s B - gumagalaw na mga punto A at B.

Pagtatatag ng mga kinematic na relasyon

Magtatag tayo ng kinematic relations. Dahil ang mga load 1 at 2 ay konektado ng isang thread, ang kanilang mga bilis ay pantay:
V 2 = V 1.
Dahil ang thread na nagkokonekta sa mga load 1 at 2 ay nasugatan sa panlabas na yugto ng pulley 3, ang mga punto ng panlabas na yugto ng pulley 3 ay gumagalaw nang may bilis na V 2 = V 1. Kung gayon ang angular na bilis ng pag-ikot ng pulley ay:
.
Bilis ng sentro ng masa V C 5 Ang block 5 ay katumbas ng bilis ng mga puntos ng panloob na yugto ng pulley 3:
.
Ang bilis ng point K ay zero. Samakatuwid, ito ang instantaneous speed center ng block 5. Angular velocity ng rotation ng block 5:
.
Ang bilis ng punto B - ang libreng dulo ng tagsibol - ay katumbas ng bilis ng punto A:
.

Ipahayag natin ang mga bilis sa mga tuntunin ng V C 5 .
;
;
.

Ngayon ay i-install natin koneksyon sa pagitan ng mga galaw ng katawan at mga anggulo ng pag-ikot pulley at block. Dahil ang velocities at angular velocities ay mga time derivatives ng mga displacement at mga anggulo ng pag-ikot
,
pagkatapos ay ang parehong mga koneksyon ay magiging sa pagitan ng mga displacement at mga anggulo ng pag-ikot:
s 2 = s 1;
;
;
.

Pagpapasiya ng kinetic energy ng system

Hanapin natin ang kinetic energy ng system. Ang Load 2 ay gumagawa ng translational motion na may bilis na V 2 . Ang pulley 3 ay gumaganap ng rotational motion na may angular rotation speed ω 3 . Ang Block 5 ay nagsasagawa ng plane-parallel motion. Ito ay umiikot na may angular velocity ω 5 at ang sentro ng masa nito ay gumagalaw nang may bilis V C 5 . Kinetic energy ng system:
.

Dahil ang radius ng inertia ng pulley na nauugnay sa axis ng pag-ikot ay ibinigay, ang sandali ng inertia ng pulley na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot ay tinutukoy ng formula:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Dahil ang block 5 ay isang solidong homogenous na silindro, ang sandali ng pagkawalang-galaw na nauugnay sa sentro ng masa ay katumbas ng
.

Gamit ang kinematic relations, ipinapahayag namin ang lahat ng bilis sa pamamagitan ng V C 5 at palitan ang mga expression para sa mga sandali ng inertia sa formula para sa kinetic energy.
,
kung saan kami pumasok sa pare-pareho
kg.

Kaya, natagpuan namin ang pag-asa ng kinetic energy ng system sa bilis ng sentro ng mass V C 5 gumagalaw na bloke:
, kung saan m = 75 kg.

Pagpapasiya ng dami ng gawain ng mga panlabas na puwersa

Isaalang-alang ang mga panlabas na puwersa, kumikilos sa sistema.
Kasabay nito, hindi namin isinasaalang-alang ang mga puwersa ng pag-igting ng mga thread, dahil ang mga thread ay hindi mapalawak at, samakatuwid, hindi sila gumagawa ng trabaho. Para sa kadahilanang ito, hindi namin isinasaalang-alang ang mga panloob na stress na kumikilos sa mga katawan, dahil sila ay ganap na solid.
Ang katawan 1 (na may zero na masa) ay ginagampanan ng isang ibinigay na puwersa F.
Ang load 2 ay pinaandar ng gravity P 2 = m 2 g 2 at friction force F T .
Ang pulley 3 ay pinaandar ng gravity P 3 = m 3 g, N axis pressure force 3 at ang sandali ng alitan ay pinipilit si M.
Ang pulley 4 (na may zero mass) ay apektado ng puwersa ng presyon ng N axis 4 .
Ang movable block 5 ay inaaksyunan ng gravity P 5 = m 5 g, ang elastic force F y ng spring at ang tension force ng thread T K sa point K.

Ang gawain na ginagawa ng isang puwersa kapag inililipat ang punto ng aplikasyon nito sa pamamagitan ng isang maliit na displacement ay katumbas ng scalar product ng mga vector, iyon ay, ang produkto ng mga ganap na halaga ng mga vectors F at ds sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan sila. Ang isang ibinigay na puwersa na inilapat sa katawan 1 ay parallel sa paggalaw ng katawan 1. Samakatuwid, ang gawaing ginagawa sa pamamagitan ng puwersa kapag ang katawan 1 ay gumagalaw sa isang distansya s 1 ay katumbas ng:


J.

Isaalang-alang ang pagkarga 2. Ito ay ginagampanan ng puwersa ng gravity P 2 , puwersa ng presyon sa ibabaw N 2 , puwersa ng pag-igting ng thread T 23 , T 24 at friction force F T . Dahil ang load ay hindi gumagalaw sa vertical na direksyon, ang projection ng acceleration nito sa vertical axis ay zero. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga projection ng mga puwersa sa vertical axis ay katumbas ng zero:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Pwersa ng friction:
F T = f N 2 = f m 2 g.
Forces P 2 at N 2 patayo sa displacement s 2 , kaya hindi sila gumagawa ng trabaho.
Gawain ng friction force:
J.

Kung isasaalang-alang natin ang pag-load 2 bilang isang nakahiwalay na sistema, kailangan nating isaalang-alang ang gawaing ginawa ng mga puwersa ng pag-igting ng mga thread T 23 at T 24 . Gayunpaman, interesado kami sa buong sistema, na binubuo ng mga katawan 1, 2, 3, 4 at 5. Para sa gayong sistema, ang mga puwersa ng pag-igting ng mga thread ay panloob na pwersa. At dahil ang mga thread ay hindi mapalawak, ang kabuuan ng kanilang trabaho ay zero. Sa kaso ng load 2, kailangan mo ring isaalang-alang ang mga puwersa ng pag-igting ng mga thread na kumikilos sa pulley 3 at block 4. Ang mga ito ay pantay-pantay sa magnitude at kabaligtaran sa direksyon sa pwersa T 23 at T 24 . Samakatuwid, ang gawaing ginawa ng mga puwersa ng pag-igting ng mga thread 23 at 24 sa pag-load 2 ay katumbas ng magnitude at kabaligtaran sa pag-sign sa gawaing ginawa ng mga puwersa ng pag-igting ng mga thread na ito sa pulley 3 at block 4. Bilang resulta, ang halaga ng ang gawaing ginawa ng mga puwersa ng pag-igting ng mga thread ay zero.

Isaalang-alang ang pulley 3. Dahil ang sentro ng masa nito ay hindi gumagalaw, ang gawaing ginawa ng gravity P 3 katumbas ng zero.
Dahil C axis 3 ay hindi gumagalaw, pagkatapos ay ang puwersa ng presyon ng N axis 3 hindi gumagawa ng trabaho.
Ang gawaing ginawa ng metalikang kuwintas ay kinakalkula nang katulad sa gawaing ginawa ng puwersa:
.
Sa aming kaso, ang mga vectors ng sandali ng mga puwersa ng friction at ang anggulo ng pag-ikot ng pulley ay nakadirekta sa kahabaan ng axis ng pag-ikot ng pulley, ngunit kabaligtaran sa direksyon. Samakatuwid, ang gawain ng sandali ng mga puwersa ng alitan:
J.

Tingnan natin ang block 5.
Dahil ang bilis ng punto K ay zero, ang puwersa T K ay hindi gumagawa ng trabaho.
Sentro ng masa ng bloke C 5 lumipat ng layo s C 5 pataas. Samakatuwid, ang gawaing ginawa ng gravity ng bloke ay:
J.
Ang gawaing ginawa ng nababanat na puwersa ng tagsibol ay katumbas ng pagbabago sa potensyal na enerhiya ng tagsibol na may minus sign. Dahil ang tagsibol ay hindi deformed sa una, pagkatapos
J.

Ang kabuuan ng gawain ng lahat ng pwersa:

J.

Application ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang system

Ilapat natin ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng system sa integral form.
.
Dahil ang sistema ay nagpapahinga sa simula, ang kinetic energy nito sa simula ng paggalaw nito ay
T 0 = 0 .
Pagkatapos
.
Mula rito
MS.

Ang kinetic energy ng isang mekanikal na sistema ay binubuo ng mga kinetic energies ng lahat ng mga punto nito:

Ang pagkakaiba-iba ng bawat bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito na may paggalang sa oras, nakukuha natin

Gamit ang batayang batas ng dinamika sa Upang ika-titik ng sistema m k 2i k= Fj., dumating tayo sa pagkakapantay-pantay

Ang scalar product ng force F at velocity v sa punto ng paggamit nito ay tinatawag puwersang kapangyarihan at magpakilala R:

Gamit ang bagong notasyong ito, kinakatawan namin ang (11.6) sa sumusunod na anyo:

Ang resultang pagkakapantay-pantay ay nagpapahayag ng kaugalian na anyo ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy: ang rate ng pagbabago ng kinetic energy ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng kabuuan ng jpowers ng lahat ng cm na kumikilos sa system.

Paglalahad ng derivative f sa (8.5) sa fraction form -- at gumaganap

pagkatapos ay paghiwalayin ang mga variable, makuha namin:

saan dT- kinetic energy differential, i.e. ang pagbabago nito sa isang napakaliit na yugto ng panahon dr, dr k = k dt - kilusang elementarya kay- ika-mga punto ng system, i.e. paggalaw sa oras dt.

Scalar product ng force F at elementary displacement Dr ang mga punto ng aplikasyon nito ay tinatawag pangunahing gawain pwersa at magpakilala dA:

Gamit ang mga katangian ng scalar na produkto, maaari nating katawanin ang elementarya na gawain ng puwersa din sa anyo

Dito ds = dr - haba ng arko ng trajectory ng force application point, na tumutugma sa elementary displacement nito s/g; A- ang anggulo sa pagitan ng mga direksyon ng force vector F at ng elementary displacement vector c/r; F„ F y , F,- mga projection ng force vector F papunta sa mga axes ng Cartesian; dx, dy, dz - projection papunta sa Cartesian axes ng vector ng elementary displacement s/g.

Isinasaalang-alang ang notasyon (11.9), ang pagkakapantay-pantay (11.8) ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo:

mga. ang pagkakaiba ng kinetic energy ng system ay katumbas ng kabuuan ng elementarya na gawa ng lahat ng pwersang kumikilos sa system. Ang pagkakapantay-pantay na ito, tulad ng (11.7), ay nagpapahayag ng kaugalian na anyo ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy, ngunit naiiba mula sa (11.7) dahil hindi ito gumagamit ng mga derivatives, ngunit infinitesimal increments - differentials.

Nagsasagawa ng termino-by-term na pagsasama ng pagkakapantay-pantay (11.12), nakukuha namin

kung saan ang mga sumusunod ay ginagamit bilang mga limitasyon sa pagsasama: 7 0 - kinetic energy ng system sa isang sandali sa oras? 0 ; 7) - kinetic energy ng system sa sandali ng oras tx.

Mga tiyak na integral sa paglipas ng panahon o A(F):

Tandaan 1. Upang kalkulahin ang trabaho, kung minsan ay mas maginhawang gumamit ng non-arc parameterization ng trajectory MS), at coordinate M(x(t), y(/), z(f)). Sa kasong ito, para sa elementarya ay natural na kumuha ng representasyon (11.11), at kumakatawan sa curvilinear integral sa anyo:

Isinasaalang-alang ang notasyon (11.14) ng trabaho sa isang may hangganang displacement, ang pagkakapantay-pantay (11.13) ay nasa anyo

at kumakatawan sa panghuling anyo ng theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema.

Theorem 3. Ang pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema kapag ito ay gumagalaw mula sa inisyal na posisyon hanggang sa huling posisyon ay katumbas ng kabuuan ng gawain ng lahat ng pwersang kumikilos sa mga punto ng sistema sa panahon ng paggalaw na ito.

Magkomento 2. Isinasaalang-alang ng kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (11.16) ang gawain nang buong lakas, kumikilos sa sistema, parehong panlabas at panloob. Gayunpaman, may mga mekanikal na sistema kung saan ang kabuuang gawain na ginawa ng lahat ng panloob na pwersa ay zero. Egos kaya tinatawag hindi nababagong mga sistema, kung saan hindi nagbabago ang mga distansya sa pagitan ng mga nakikipag-ugnayang materyal na punto. Halimbawa, isang sistema ng mga solidong katawan na konektado sa pamamagitan ng mga frictionless na bisagra o nababaluktot na hindi nababagong mga thread. Para sa gayong mga sistema, sa pagkakapantay-pantay (11.16) sapat na upang isaalang-alang lamang ang gawain ng mga panlabas na puwersa, i.e. Ang theorem (11.16) ay nasa anyo: