Sa madaling salita, ito ay mga gulay na niluto sa tubig ayon sa isang espesyal na recipe. Isasaalang-alang ko ang dalawang paunang bahagi (salad ng gulay at tubig) at ang natapos na resulta - borscht. Sa geometriko, maaari itong isipin bilang isang rektanggulo, na ang isang gilid ay kumakatawan sa lettuce at ang kabilang panig ay kumakatawan sa tubig. Ang kabuuan ng dalawang panig na ito ay magsasaad ng borscht. Ang dayagonal at lugar ng naturang "borscht" na parihaba ay puro matematikal na konsepto at hindi kailanman ginagamit sa mga recipe ng borscht.
Paano nagiging borscht ang lettuce at tubig mula sa matematikal na pananaw? Paano magiging trigonometry ang kabuuan ng dalawang segment ng linya? Upang maunawaan ito, kailangan namin ng mga linear na angular function.
Hindi ka makakahanap ng anuman tungkol sa mga linear na angular na function sa mga aklat-aralin sa matematika. Ngunit kung wala sila ay walang matematika. Ang mga batas ng matematika, tulad ng mga batas ng kalikasan, ay gumagana kahit alam natin ang tungkol sa kanilang pag-iral o hindi.
Ang mga linear na angular function ay mga batas sa karagdagan. Tingnan kung paano nagiging geometry ang algebra at nagiging trigonometry ang geometry.
Posible bang gawin nang walang mga linear na angular function? Posible, dahil namamahala pa rin ang mga mathematician nang wala sila. Ang daya ng mga mathematician ay palagi nilang sinasabi sa amin ang tungkol sa mga problemang iyon na alam nila mismo kung paano lutasin, at hindi kailanman pinag-uusapan ang mga problemang iyon na hindi nila kayang lutasin. Tingnan mo. Kung alam namin ang resulta ng karagdagan at isang termino, ginagamit namin ang pagbabawas upang mahanap ang iba pang termino. Lahat. Hindi namin alam ang iba pang mga problema at hindi namin alam kung paano lutasin ang mga ito. Ano ang dapat nating gawin kung alam lamang natin ang resulta ng karagdagan at hindi alam ang parehong termino? Sa kasong ito, ang resulta ng karagdagan ay dapat na mabulok sa dalawang termino gamit ang mga linear na angular function. Susunod, kami mismo ang pumili kung ano ang maaaring maging isang termino, at ang mga linear na angular na function ay nagpapakita kung ano ang dapat na pangalawang termino upang ang resulta ng karagdagan ay eksakto kung ano ang kailangan namin. Maaaring mayroong walang katapusang bilang ng mga naturang pares ng termino. Sa pang-araw-araw na buhay, nagkakasundo tayo nang hindi nabubulok ang kabuuan; sapat na para sa atin ang pagbabawas. Ngunit sa siyentipikong pananaliksik sa mga batas ng kalikasan, ang pagbubulok ng kabuuan sa mga bahagi nito ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang.
Ang isa pang batas ng karagdagan na hindi gustong pag-usapan ng mga mathematician (isa pa sa kanilang mga trick) ay nangangailangan na ang mga termino ay may parehong mga yunit ng pagsukat. Para sa salad, tubig, at borscht, ang mga ito ay maaaring mga yunit ng timbang, dami, halaga, o yunit ng pagsukat.
Ang figure ay nagpapakita ng dalawang antas ng pagkakaiba para sa mathematical . Ang unang antas ay ang mga pagkakaiba sa larangan ng mga numero, na ipinahiwatig a, b, c. Ito ang ginagawa ng mga mathematician. Ang pangalawang antas ay ang mga pagkakaiba sa larangan ng mga yunit ng pagsukat, na ipinapakita sa mga square bracket at ipinapahiwatig ng titik U. Ito ang ginagawa ng mga physicist. Maiintindihan natin ang ikatlong antas - mga pagkakaiba sa lugar ng mga bagay na inilalarawan. Ang iba't ibang mga bagay ay maaaring magkaroon ng parehong bilang ng magkaparehong mga yunit ng pagsukat. Kung gaano ito kahalaga, makikita natin sa halimbawa ng borscht trigonometry. Kung magdaragdag kami ng mga subscript sa parehong unit designation para sa iba't ibang object, masasabi namin nang eksakto kung ano ang mathematical quantity na naglalarawan sa isang partikular na object at kung paano ito nagbabago sa paglipas ng panahon o dahil sa aming mga aksyon. Sulat W Magtatalaga ako ng tubig na may sulat S Itatalaga ko ang salad na may sulat B- borsch. Ito ang magiging hitsura ng mga linear na angular function para sa borscht.
Kung kukuha tayo ng ilang bahagi ng tubig at ilang bahagi ng salad, magkakasama silang magiging isang bahagi ng borscht. Narito iminumungkahi kong magpahinga ka ng kaunti mula sa borscht at alalahanin ang iyong malayong pagkabata. Tandaan kung paano tayo tinuruan na pagsamahin ang mga kuneho at itik? Ito ay kinakailangan upang mahanap kung gaano karaming mga hayop doon. Ano ang itinuro sa atin na gawin noon? Tinuruan kaming paghiwalayin ang mga yunit ng pagsukat mula sa mga numero at magdagdag ng mga numero. Oo, anumang isang numero ay maaaring idagdag sa anumang iba pang numero. Ito ay isang direktang landas patungo sa autism ng modernong matematika - ginagawa namin ito nang hindi maintindihan kung ano, hindi maintindihan kung bakit, at hindi gaanong nauunawaan kung paano ito nauugnay sa katotohanan, dahil sa tatlong antas ng pagkakaiba, ang mga mathematician ay nagpapatakbo sa isa lamang. Mas tama na matutunan kung paano lumipat mula sa isang yunit ng pagsukat patungo sa isa pa.
Ang mga kuneho, itik, at maliliit na hayop ay mabibilang nang pira-piraso. Ang isang karaniwang yunit ng pagsukat para sa iba't ibang mga bagay ay nagbibigay-daan sa amin upang idagdag ang mga ito nang sama-sama. Ito ay isang bersyon ng problema ng mga bata. Tingnan natin ang isang katulad na problema para sa mga matatanda. Ano ang makukuha mo kapag nagdagdag ka ng mga kuneho at pera? Mayroong dalawang posibleng solusyon dito.
Unang pagpipilian. Tinutukoy namin ang market value ng mga bunnies at idinagdag namin ito sa magagamit na halaga ng pera. Nakuha namin ang kabuuang halaga ng aming kayamanan sa mga tuntunin sa pananalapi.
Pangalawang opsyon. Maaari mong idagdag ang bilang ng mga kuneho sa bilang ng mga banknote na mayroon kami. Matatanggap namin ang halaga ng mga movable property sa mga piraso.
Gaya ng nakikita mo, pinapayagan ka ng parehong batas sa karagdagan na makakuha ng iba't ibang resulta. Ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang eksaktong nais nating malaman.
Ngunit bumalik tayo sa aming borscht. Ngayon ay makikita natin kung ano ang mangyayari para sa iba't ibang mga halaga ng anggulo ng mga linear na angular function.
Ang anggulo ay zero. Mayroon kaming salad, ngunit walang tubig. Hindi kami marunong magluto ng borscht. Ang halaga ng borscht ay zero din. Hindi ito nangangahulugan na ang zero borscht ay katumbas ng zero na tubig. Maaaring magkaroon ng zero borscht na may zero salad (right angle).
Para sa akin personal, ito ang pangunahing mathematical na patunay ng katotohanan na . Hindi binabago ng Zero ang numero kapag idinagdag. Nangyayari ito dahil ang karagdagan mismo ay imposible kung mayroon lamang isang termino at ang pangalawang termino ay nawawala. Maaari mong maramdaman ito ayon sa gusto mo, ngunit tandaan - ang lahat ng mga operasyong matematika na may zero ay naimbento mismo ng mga mathematician, kaya itapon ang iyong lohika at hangal na siksikin ang mga kahulugan na naimbento ng mga mathematician: "imposible ang paghahati sa zero", "anumang numero na pinarami ng zero equals zero” , “beyond the puncture point zero” at iba pang kalokohan. Sapat nang tandaan na ang zero ay hindi isang numero, at hindi ka na muling magtatanong kung ang zero ay natural na numero o hindi, dahil ang tanong na ito ay karaniwang nawawalan ng kahulugan: paano maituturing na isang bagay na hindi isang numero. numero? Ito ay tulad ng pagtatanong kung anong kulay ang isang invisible na kulay ay dapat na uriin bilang. Ang pagdaragdag ng zero sa isang numero ay kapareho ng pagpipinta na may pintura na wala doon. Nagwagayway kami ng dry brush at sinabi sa lahat na "nagpinta kami." Pero lumihis ako ng konti.
Ang anggulo ay mas malaki sa zero ngunit mas mababa sa apatnapu't limang degree. Marami kaming lettuce, ngunit kulang ang tubig. Bilang isang resulta, makakakuha tayo ng makapal na borscht.
Ang anggulo ay apatnapu't limang digri. Mayroon kaming pantay na dami ng tubig at salad. Ito ang perpektong borscht (patawarin mo ako, chef, ito ay matematika lamang).
Ang anggulo ay mas malaki sa apatnapu't limang digri, ngunit mas mababa sa siyamnapung digri. Mayroon kaming maraming tubig at kaunting salad. Makakakuha ka ng likidong borscht.
Tamang anggulo. Mayroon kaming tubig. Ang lahat ng natitira sa salad ay mga alaala, habang patuloy naming sinusukat ang anggulo mula sa linya na minarkahan ang salad. Hindi kami marunong magluto ng borscht. Ang halaga ng borscht ay zero. Sa kasong ito, kumapit at uminom ng tubig habang mayroon ka nito)))
Dito. Isang bagay na tulad nito. Maaari akong magkuwento ng iba pang mga kuwento dito na higit na angkop dito.
Dalawang magkakaibigan ang may bahagi sa isang karaniwang negosyo. Matapos patayin ang isa sa kanila, napunta ang lahat sa isa pa.
Ang paglitaw ng matematika sa ating planeta.
Ang lahat ng mga kuwentong ito ay sinabi sa wika ng matematika gamit ang mga linear na angular function. Sa ibang pagkakataon, ipapakita ko sa iyo ang tunay na lugar ng mga function na ito sa istruktura ng matematika. Pansamantala, bumalik tayo sa borscht trigonometry at isaalang-alang ang mga projection.
Sabado, Oktubre 26, 2019
Miyerkules, Agosto 7, 2019
Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa, kailangan nating isaalang-alang ang isang walang katapusang hanay. Ang punto ay ang konsepto ng "infinity" ay nakakaapekto sa mga mathematician tulad ng isang boa constrictor na nakakaapekto sa isang kuneho. Ang nanginginig na katakutan ng infinity ay nag-aalis ng mga mathematician ng sentido komun. Narito ang isang halimbawa:
Ang orihinal na pinagmulan ay matatagpuan. Ang Alpha ay kumakatawan sa totoong numero. Ang equal sign sa mga expression sa itaas ay nagpapahiwatig na kung magdagdag ka ng isang numero o infinity sa infinity, walang magbabago, ang resulta ay magiging parehong infinity. Kung kukunin natin ang walang katapusang hanay ng mga natural na numero bilang isang halimbawa, kung gayon ang itinuturing na mga halimbawa ay maaaring katawanin sa form na ito:
Upang malinaw na patunayan na sila ay tama, ang mga mathematician ay gumawa ng maraming iba't ibang mga pamamaraan. Sa personal, tinitingnan ko ang lahat ng mga pamamaraang ito bilang mga shaman na sumasayaw gamit ang mga tamburin. Sa totoo lang, lahat sila ay naiintindihan na ang ilan sa mga kuwarto ay walang tao at ang mga bagong bisita ay lumilipat, o ang ilan sa mga bisita ay itinapon sa corridor upang magbigay ng puwang para sa mga bisita (napakatao). Iniharap ko ang aking pananaw sa gayong mga desisyon sa anyo ng isang pantasyang kuwento tungkol sa Blonde. Ano ang batayan ng aking pangangatwiran? Ang paglipat ng walang katapusang bilang ng mga bisita ay tumatagal ng walang katapusang tagal ng oras. Pagkatapos naming lisanin ang unang silid para sa isang panauhin, ang isa sa mga bisita ay palaging maglalakad sa koridor mula sa kanyang silid patungo sa susunod na silid hanggang sa katapusan ng oras. Siyempre, ang kadahilanan ng oras ay maaaring hindi papansinin, ngunit ito ay nasa kategoryang "walang batas na isinulat para sa mga tanga." Ang lahat ay nakasalalay sa kung ano ang ginagawa natin: pagsasaayos ng katotohanan sa mga teoryang matematika o kabaliktaran.
Ano ang isang "walang katapusang hotel"? Ang isang walang katapusang hotel ay isang hotel na palaging may anumang bilang ng mga bakanteng kama, gaano man karaming mga kuwarto ang inookupahan. Kung ang lahat ng mga silid sa walang katapusang "bisita" na koridor ay inookupahan, mayroong isa pang walang katapusang koridor na may "mga bisita" na silid. Magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga naturang koridor. Bukod dito, ang "walang katapusan na hotel" ay may walang katapusang bilang ng mga palapag sa walang katapusang bilang ng mga gusali sa walang katapusang bilang ng mga planeta sa walang katapusang bilang ng mga uniberso na nilikha ng walang katapusang bilang ng mga Diyos. Hindi nagagawa ng mga mathematician na ilayo ang kanilang mga sarili sa mga pang-araw-araw na problema: palaging may isang Diyos-Allah-Buddha, mayroon lamang isang hotel, mayroon lamang isang koridor. Kaya't sinisikap ng mga mathematician na i-juggle ang mga serial number ng mga kuwarto sa hotel, na kinukumbinsi kami na posibleng "ipilit ang imposible."
Ipapakita ko sa iyo ang lohika ng aking pangangatwiran gamit ang halimbawa ng isang walang katapusang hanay ng mga natural na numero. Una kailangan mong sagutin ang isang napaka-simpleng tanong: gaano karaming mga hanay ng mga natural na numero ang naroroon - isa o marami? Walang tamang sagot sa tanong na ito, dahil kami mismo ang nag-imbento ng mga numero; ang mga numero ay hindi umiiral sa Kalikasan. Oo, ang Kalikasan ay mahusay sa pagbibilang, ngunit para dito gumagamit siya ng iba pang mga tool sa matematika na hindi pamilyar sa atin. Sasabihin ko sa iyo kung ano ang iniisip ng Kalikasan sa ibang pagkakataon. Dahil nag-imbento tayo ng mga numero, tayo mismo ang magdedesisyon kung ilang set ng natural na numero ang mayroon. Isaalang-alang natin ang parehong mga pagpipilian, bilang angkop sa mga tunay na siyentipiko.
Opsyon isa. "Bigyan tayo" ng isang solong set ng mga natural na numero, na tahimik na nakalagay sa istante. Kinukuha namin ang set na ito mula sa istante. Iyon lang, wala nang ibang natural na numero ang natitira sa istante at wala nang madadala. Hindi kami makakapagdagdag ng isa sa set na ito, dahil mayroon na kami nito. Paano kung gusto mo talaga? Walang problema. Maaari tayong kumuha ng isa mula sa set na nakuha na natin at ibalik ito sa istante. Pagkatapos nito, maaari kaming kumuha ng isa mula sa istante at idagdag ito sa kung ano ang natitira namin. Bilang resulta, muli tayong makakakuha ng walang katapusang hanay ng mga natural na numero. Maaari mong isulat ang lahat ng aming mga manipulasyon tulad nito:
Isinulat ko ang mga aksyon sa algebraic notation at sa set theory notation, na may detalyadong listahan ng mga elemento ng set. Isinasaad ng subscript na mayroon kaming isa at tanging hanay ng mga natural na numero. Lumalabas na ang hanay ng mga natural na numero ay mananatiling hindi nagbabago lamang kung ang isa ay ibabawas mula dito at ang parehong yunit ay idinagdag.
Opsyon dalawa. Marami kaming iba't ibang infinite set ng natural na numero sa aming shelf. Binibigyang-diin ko - IBA, sa kabila ng katotohanan na sila ay halos hindi makilala. Kunin natin ang isa sa mga set na ito. Pagkatapos ay kukuha kami ng isa mula sa isa pang hanay ng mga natural na numero at idagdag ito sa set na nakuha na namin. Maaari pa nga tayong magdagdag ng dalawang set ng natural na numero. Ito ang makukuha natin:
Ang mga subscript na "isa" at "dalawa" ay nagpapahiwatig na ang mga elementong ito ay kabilang sa iba't ibang hanay. Oo, kung magdadagdag ka ng isa sa isang walang katapusan na hanay, ang resulta ay magiging isang walang katapusan na hanay, ngunit hindi ito magiging katulad ng orihinal na hanay. Kung nagdagdag ka ng isa pang infinite set sa isang infinite set, ang resulta ay isang bagong infinite set na binubuo ng mga elemento ng unang dalawang set.
Ang hanay ng mga natural na numero ay ginagamit para sa pagbibilang sa parehong paraan tulad ng isang ruler ay para sa pagsukat. Ngayon isipin na nagdagdag ka ng isang sentimetro sa ruler. Magiging ibang linya ito, hindi katumbas ng orihinal.
Maaari mong tanggapin o hindi tanggapin ang aking pangangatwiran - ito ay iyong sariling negosyo. Ngunit kung sakaling makatagpo ka ng mga problema sa matematika, isaalang-alang kung sinusunod mo ang landas ng maling pangangatwiran na tinatahak ng mga henerasyon ng mga mathematician. Pagkatapos ng lahat, ang pag-aaral ng matematika, una sa lahat, ay bumubuo ng isang matatag na stereotype ng pag-iisip sa atin, at pagkatapos ay nagdaragdag lamang sa ating mga kakayahan sa pag-iisip (o, sa kabaligtaran, ay nag-aalis sa atin ng malayang pag-iisip).
pozg.ru
Linggo, Agosto 4, 2019
Tinatapos ko ang isang postscript sa isang artikulo tungkol sa at nakita ko ang kahanga-hangang tekstong ito sa Wikipedia:
Mababasa natin: "... ang mayamang teoretikal na batayan ng matematika ng Babylon ay walang holistic na katangian at nabawasan sa isang hanay ng mga disparate na pamamaraan, wala ng isang karaniwang sistema at base ng ebidensya."
Wow! Kung gaano tayo katalino at kung gaano natin nakikita ang pagkukulang ng iba. Mahirap ba para sa atin na tingnan ang modernong matematika sa parehong konteksto? Bahagyang binabanggit ang teksto sa itaas, personal kong nakuha ang sumusunod:
Ang mayamang teoretikal na batayan ng modernong matematika ay hindi holistic at nababawasan sa isang hanay ng magkakaibang mga seksyon, na wala ng isang karaniwang sistema at base ng ebidensya.
Hindi ako lalayo upang kumpirmahin ang aking mga salita - mayroon itong wika at mga kumbensyon na naiiba sa wika at mga kumbensyon ng maraming iba pang sangay ng matematika. Ang parehong mga pangalan sa iba't ibang sangay ng matematika ay maaaring magkaroon ng iba't ibang kahulugan. Gusto kong italaga ang isang buong serye ng mga publikasyon sa mga pinaka-halatang pagkakamali ng modernong matematika. Hanggang sa muli.
Sabado, Agosto 3, 2019
Paano hatiin ang isang set sa mga subset? Upang gawin ito, kailangan mong magpasok ng bagong yunit ng pagsukat na naroroon sa ilan sa mga elemento ng napiling hanay. Tingnan natin ang isang halimbawa.
Nawa'y magkaroon tayo ng marami A binubuo ng apat na tao. Ang set na ito ay nabuo batay sa "mga tao." Tukuyin natin ang mga elemento ng set na ito sa pamamagitan ng titik A, ang subscript na may numero ay magsasaad ng serial number ng bawat tao sa set na ito. Ipakilala natin ang isang bagong yunit ng pagsukat na "kasarian" at tukuyin ito sa pamamagitan ng titik b. Dahil likas sa lahat ng tao ang mga sekswal na katangian, pinaparami namin ang bawat elemento ng set A batay sa kasarian b. Pansinin na ang aming hanay ng "mga tao" ay naging isang hanay na ngayon ng "mga taong may mga katangian ng kasarian." Pagkatapos nito maaari nating hatiin ang mga sekswal na katangian sa lalaki bm at pambabae bw mga katangiang sekswal. Ngayon ay maaari na tayong maglapat ng mathematical na filter: pipili tayo ng isa sa mga sekswal na katangiang ito, kahit alin - lalaki o babae. Kung ang isang tao ay mayroon nito, pagkatapos ay i-multiply natin ito ng isa, kung walang ganoong palatandaan, pinarami natin ito ng zero. At pagkatapos ay gumagamit kami ng regular na matematika ng paaralan. Tingnan mo ang nangyari.
Pagkatapos ng multiplikasyon, pagbabawas at muling pagsasaayos, napunta kami sa dalawang subset: ang subset ng mga lalaki Bm at isang subset ng kababaihan Bw. Ang mga mathematician ay nangangatuwiran sa halos parehong paraan kapag inilapat nila ang set theory sa pagsasanay. Ngunit hindi nila sinasabi sa amin ang mga detalye, ngunit binibigyan kami ng natapos na resulta - "maraming tao ang binubuo ng isang subset ng mga lalaki at isang subset ng mga babae." Naturally, maaari kang magkaroon ng isang katanungan: gaano katama nailapat ang matematika sa mga pagbabagong nakabalangkas sa itaas? Ako ay nangangahas na tiyakin sa iyo na, sa esensya, ang mga pagbabagong-anyo ay ginawa nang tama; sapat na upang malaman ang matematikal na batayan ng aritmetika, Boolean algebra at iba pang sangay ng matematika. Ano ito? Sa ibang pagkakataon sasabihin ko sa iyo ang tungkol dito.
Tulad ng para sa mga superset, maaari mong pagsamahin ang dalawang set sa isang superset sa pamamagitan ng pagpili sa unit ng pagsukat na nasa mga elemento ng dalawang set na ito.
Gaya ng nakikita mo, ginagawa ng mga yunit ng pagsukat at ordinaryong matematika ang set theory bilang isang relic ng nakaraan. Isang palatandaan na ang lahat ay hindi maayos sa set theory ay ang mga mathematician ay nakabuo ng kanilang sariling wika at notasyon para sa set theory. Ang mga mathematician ay kumilos bilang mga shaman minsan. Ang mga shaman lamang ang nakakaalam kung paano "tama" ilapat ang kanilang "kaalaman." Itinuturo nila sa atin ang "kaalaman" na ito.
Bilang konklusyon, gusto kong ipakita sa iyo kung paano minamanipula ang mga mathematician .
Lunes, Enero 7, 2019
Noong ikalimang siglo BC, ang sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno ng Elea ay bumalangkas ng kanyang tanyag na aporias, na ang pinakatanyag ay ang aporia na "Achilles at ang Pagong". Narito kung ano ang tunog nito:
Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at isang libong hakbang sa likod nito. Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo sa distansyang ito, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay tumakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy sa ad infinitum, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.
Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Itinuring nilang lahat ang aporia ni Zeno sa isang paraan o iba pa. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy hanggang sa araw na ito, ang siyentipikong komunidad ay hindi pa nakakakuha ng isang karaniwang opinyon sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... matematikal na pagsusuri, set theory, bagong pisikal at pilosopikal na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang binubuo ng panlilinlang.
Mula sa isang mathematical point of view, si Zeno sa kanyang aporia ay malinaw na nagpakita ng paglipat mula sa dami sa . Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na mga permanenteng. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paggamit ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailapat sa aporia ni Zeno. Ang paglalapat ng ating karaniwang lohika ay humahantong sa atin sa isang bitag. Kami, dahil sa pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa katumbas na halaga. Mula sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na kayang malampasan ni Achilles ang pagong.
Kung iikot natin ang ating karaniwang lohika, ang lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na bahagi ng kanyang landas ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."
Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa reciprocal na mga yunit. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:
Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras na katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang hakbang sa unahan ng pagong.
Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi mapaglabanan ng bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles and the Tortoise". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.
Ang isa pang kawili-wiling aporia ng Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:
Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nagpapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.
Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang isang lumilipad na arrow ay nagpapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. Ang isa pang punto ay kailangang tandaan dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy kung ang isang kotse ay gumagalaw, kailangan mo ng dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto ng oras, ngunit hindi mo matukoy ang distansya mula sa kanila. Upang matukoy ang distansya sa isang kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa iba't ibang mga punto sa espasyo sa isang punto sa oras, ngunit mula sa kanila hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya. ). Ang gusto kong bigyan ng espesyal na pansin ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng iba't ibang pagkakataon para sa pananaliksik.
Ipapakita ko sa iyo ang proseso na may isang halimbawa. Pinipili namin ang "pulang solid sa isang tagihawat" - ito ang aming "buo". Kasabay nito, nakikita natin na ang mga bagay na ito ay may busog, at mayroong walang busog. Pagkatapos nito, pumili kami ng bahagi ng "buo" at bumubuo ng isang set "na may busog". Ito ay kung paano nakukuha ng mga shaman ang kanilang pagkain sa pamamagitan ng pagtali sa kanilang itinakdang teorya sa katotohanan.
Ngayon gawin natin ang isang maliit na trick. Kunin natin ang "solid na may tagihawat na may busog" at pagsamahin ang mga "buo" na ito ayon sa kulay, pagpili ng mga pulang elemento. Nakakuha kami ng maraming "pula". Ngayon ang pangwakas na tanong: ang mga resultang set ay "na may busog" at "pula" sa parehong hanay o dalawang magkaibang hanay? Mga shaman lang ang nakakaalam ng sagot. Mas tiyak, sila mismo ay walang alam, ngunit tulad ng sinasabi nila, ito ay mangyayari.
Ang simpleng halimbawang ito ay nagpapakita na ang set theory ay ganap na walang silbi pagdating sa realidad. Ano ang sikreto? Bumuo kami ng isang set ng "pulang solid na may tagihawat at isang busog." Ang pagbuo ay naganap sa apat na magkakaibang mga yunit ng pagsukat: kulay (pula), lakas (solid), pagkamagaspang (bugaw), dekorasyon (na may busog). Isang hanay lamang ng mga yunit ng pagsukat ang nagpapahintulot sa amin na sapat na ilarawan ang mga tunay na bagay sa wika ng matematika. Ito ang hitsura nito.
Ang titik na "a" na may iba't ibang mga indeks ay nagpapahiwatig ng iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Ang mga yunit ng pagsukat kung saan ang "buo" ay nakikilala sa paunang yugto ay naka-highlight sa mga bracket. Ang yunit ng pagsukat kung saan nabuo ang hanay ay kinuha mula sa mga bracket. Ang huling linya ay nagpapakita ng huling resulta - isang elemento ng set. Tulad ng nakikita mo, kung gumagamit kami ng mga yunit ng pagsukat upang bumuo ng isang set, kung gayon ang resulta ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng aming mga aksyon. At ito ay matematika, at hindi ang pagsasayaw ng mga shaman na may mga tamburin. Ang mga shaman ay maaaring "intuitively" na dumating sa parehong resulta, na pinagtatalunan na ito ay "halata," dahil ang mga yunit ng pagsukat ay hindi bahagi ng kanilang "pang-agham" na arsenal.
Gamit ang mga unit ng pagsukat, napakadaling hatiin ang isang set o pagsamahin ang ilang set sa isang superset. Tingnan natin ang algebra ng prosesong ito.
Lecture: Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang arbitrary na anggulo
Sine, cosine ng isang arbitrary na anggulo
Upang maunawaan kung ano ang mga function ng trigonometriko, tingnan natin ang isang bilog na may radius ng unit. Ang bilog na ito ay may sentro sa pinanggalingan sa coordinate plane. Upang matukoy ang mga ibinigay na function gagamitin namin ang radius vector O, na nagsisimula sa gitna ng bilog, at sa punto R ay isang punto sa bilog. Ang radius vector na ito ay bumubuo ng isang anggulong alpha na may axis OH. Dahil ang bilog ay may radius na katumbas ng isa, kung gayon O = R = 1.
Kung mula sa punto R ibaba ang patayo sa axis OH, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang tamang tatsulok na may hypotenuse na katumbas ng isa.
Kung ang radius vector ay gumagalaw nang pakanan, kung gayon ang direksyon na ito ay tinatawag negatibo, kung ito ay gumagalaw nang pakaliwa - positibo.
Sine ng anggulo O, ay ang ordinate ng punto R vector sa isang bilog.
Iyon ay, upang makuha ang halaga ng sine ng isang naibigay na anggulo alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate U sa ibabaw.
Paano nakuha ang halagang ito? Dahil alam natin na ang sine ng isang arbitrary na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse, nakuha natin iyon
At dahil R=1, Iyon kasalanan(α) = y 0 .
Sa isang unit circle, ang ordinate value ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at mas malaki sa 1, ibig sabihin
Ang sine ay kumukuha ng positibong halaga sa una at ikalawang quarter ng unit circle, at negatibo sa ikatlo at ikaapat.
Cosine ng anggulo ibinigay na bilog na nabuo ng radius vector O, ay ang abscissa ng punto R vector sa isang bilog.
Iyon ay, upang makuha ang halaga ng cosine ng isang naibigay na anggulo ng alpha, kinakailangan upang matukoy ang coordinate X sa ibabaw.
Ang cosine ng isang di-makatwirang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse, nakukuha natin iyon
At dahil R=1, Iyon cos(α) = x 0 .
Sa unit circle, ang abscissa value ay hindi maaaring mas mababa sa -1 at mas malaki sa 1, ibig sabihin
Ang cosine ay kumukuha ng positibong halaga sa una at ikaapat na quarter ng unit circle, at negatibo sa pangalawa at pangatlo.
Padaplisdi-makatwirang anggulo Ang ratio ng sine sa cosine ay kinakalkula.
Kung isasaalang-alang natin ang isang tamang tatsulok, kung gayon ito ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Kung pinag-uusapan natin ang bilog ng yunit, kung gayon ito ang ratio ng ordinate sa abscissa.
Sa paghusga sa mga ugnayang ito, mauunawaan na ang tangent ay hindi maaaring umiral kung ang halaga ng abscissa ay zero, iyon ay, sa isang anggulo ng 90 degrees. Maaaring kunin ng tangent ang lahat ng iba pang halaga.
Ang tangent ay positibo sa una at ikatlong quarter ng unit circle, at negatibo sa pangalawa at ikaapat.
Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay itinayo sa Cartesian coordinate system. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinagmulan ng mga coordinate, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng axis (sa aming halimbawa, ito ang radius).
Ang bawat punto sa bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang axis coordinate at ang axis coordinate. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang tungkol sa itinuturing na tamang tatsulok. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang isang tatsulok. Ito ay hugis-parihaba dahil ito ay patayo sa axis.
Ano ang katumbas ng tatsulok? Tama iyan. Bilang karagdagan, alam namin na iyon ang radius ng bilog ng yunit, na nangangahulugang . I-substitute natin ang value na ito sa ating formula para sa cosine. Narito kung ano ang mangyayari:
Ano ang katumbas ng tatsulok? Aba, syempre,! Palitan ang halaga ng radius sa formula na ito at makuha ang:
Kaya, masasabi mo ba kung anong mga coordinate ang mayroon ang isang puntong kabilang sa isang bilog? Well, hindi pwede? Paano kung napagtanto mo iyon at mga numero lamang? Saang coordinate ito tumutugma? Well, siyempre, ang mga coordinate! At sa anong coordinate ito tumutugma? Tama, mga coordinate! Kaya, panahon.
Ano ang at katumbas ng? Tama, gamitin natin ang kaukulang mga kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon, a.
Paano kung mas malaki ang anggulo? Halimbawa, tulad ng sa larawang ito:
Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, lumiko tayo muli sa isang kanang tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok: anggulo (bilang katabi ng isang anggulo). Ano ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa isang anggulo? Tama, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng trigonometriko function:
Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay nalalapat sa anumang pag-ikot ng radius vector.
Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay kasama ang positibong direksyon ng axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na halaga, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot pakanan - negatibo.
Kaya, alam natin na ang isang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng isang bilog ay o. Posible bang paikutin ang radius vector sa o sa? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, samakatuwid, ang radius vector ay gagawa ng isang buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.
Sa pangalawang kaso, iyon ay, ang radius vector ay gagawa ng tatlong buong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.
Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba sa pamamagitan ng o (kung saan ang anumang integer) ay tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang anggulo. Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok, atbp. Maaaring ipagpatuloy ang listahang ito nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat ng pangkalahatang formula o (kung saan ang anumang integer)
Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang mga halaga:
Narito ang isang unit circle para tulungan ka:
Nahihirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:
Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang anggulo sa ay tumutugma sa isang punto na may mga coordinate, samakatuwid:
Hindi umiiral;
Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang mga sagot.
Mga sagot:
ay wala
ay wala
ay wala
ay wala
Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:
Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:
Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at, na ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat tandaan:
Huwag matakot, ngayon ay magpapakita kami sa iyo ng isang halimbawa medyo simple upang matandaan ang kaukulang mga halaga:
Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo (), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo. Alam ang mga halagang ito, medyo simple upang maibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:
Alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa. Ang numerator na " " ay tutugma at ang denominator " " ay tutugma. Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinahiwatig sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan ang lahat ng mga halaga mula sa talahanayan.
Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog
Posible bang makahanap ng isang punto (mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng sentro ng bilog, ang radius nito at anggulo ng pag-ikot?
Well, siyempre kaya mo! Ilabas na natin pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto.
Halimbawa, narito ang isang bilog sa harap namin:
Ibinigay sa amin na ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa pamamagitan ng degrees.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang coordinate ng punto ay tumutugma sa haba ng segment. Ang haba ng segment ay tumutugma sa coordinate ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay pantay. Ang haba ng isang segment ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:
Tapos meron tayo niyan para sa point coordinate.
Gamit ang parehong lohika, nakita namin ang y coordinate na halaga para sa punto. kaya,
Kaya, sa pangkalahatan, ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:
Mga coordinate ng gitna ng bilog,
radius ng bilog,
Ang anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector.
Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay katumbas ng zero at ang radius ay katumbas ng isa:
Well, subukan natin ang mga formula na ito sa pamamagitan ng pagsasanay sa paghahanap ng mga puntos sa isang bilog?
1. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
2. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
3. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa.
4. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.
5. Ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.
Nagkakaproblema sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto sa isang bilog?
Lutasin ang limang halimbawang ito (o maging mahusay sa paglutas ng mga ito) at matututunan mong hanapin ang mga ito!
1.
Mapapansin mo yan. Ngunit alam natin kung ano ang tumutugma sa isang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:
2. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:
Mapapansin mo yan. Alam namin kung ano ang tumutugma sa dalawang buong rebolusyon ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Sa pag-alam nito, nakita namin ang kinakailangang mga coordinate ng punto:
Ang sine at cosine ay mga halaga ng talahanayan. Naaalala namin ang kanilang mga kahulugan at nakuha:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
3. Ang bilog ng yunit ay nakasentro sa isang punto, na nangangahulugang maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:
Mapapansin mo yan. Ilarawan natin ang halimbawang pinag-uusapan sa figure:
Ang radius ay gumagawa ng mga anggulo na katumbas ng at may axis. Ang pag-alam na ang mga halaga ng talahanayan ng cosine at sine ay pantay, at nang matukoy na ang cosine dito ay kumukuha ng negatibong halaga at ang sine ay kumukuha ng positibong halaga, mayroon tayo:
Ang ganitong mga halimbawa ay tinalakay nang mas detalyado kapag pinag-aaralan ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko sa paksa.
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
4.
Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon)
Upang matukoy ang kaukulang mga palatandaan ng sine at cosine, bumuo kami ng isang bilog at anggulo ng yunit:
Tulad ng makikita mo, ang halaga, iyon ay, ay positibo, at ang halaga, iyon ay, ay negatibo. Alam ang mga halaga ng tabular ng kaukulang mga function ng trigonometriko, nakuha namin na:
Palitan natin ang nakuha na mga halaga sa aming formula at hanapin ang mga coordinate:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
5. Upang malutas ang problemang ito, gumagamit kami ng mga formula sa pangkalahatang anyo, kung saan
Mga coordinate ng gitna ng bilog (sa aming halimbawa,
Circle radius (ayon sa kondisyon)
Anggulo ng pag-ikot ng radius ng vector (ayon sa kondisyon).
Palitan natin ang lahat ng mga halaga sa formula at makuha ang:
at - mga halaga ng talahanayan. Tandaan at palitan natin ang mga ito sa formula:
Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.
BUOD AT BATAYANG FORMULA
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.
Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.
Ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayo) na bahagi sa katabing (malapit) na bahagi.
Ang cotangent ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na bahagi sa kabaligtaran (malayong) gilid.
Alalahanin natin ang kurso sa matematika ng paaralan at pag-usapan kung ano ang tangent at kung paano hanapin ang tangent ng isang anggulo. Una, tukuyin natin kung ano ang tinatawag na tangent. Sa isang kanang tatsulok, ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang katabing binti ay ang isa na nakikilahok sa pagbuo ng anggulo, ang kabaligtaran na binti ay ang isa na matatagpuan sa tapat ng anggulo.
Gayundin, ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng anggulong ito sa cosine nito. Upang maunawaan, alalahanin natin kung ano ang sine at cosine ng isang anggulo. Ang sine ng isang talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse, ang cosine ay ang ratio ng katabing bahagi sa hypotenuse.
Mayroon ding cotangent, ito ay kabaligtaran ng tangent. Ang cotangent ay ang ratio ng katabing gilid sa kabaligtaran at, nang naaayon, ang ratio ng cosine ng anggulo sa sine nito.
Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay mga trigonometric na function ng isang anggulo; ipinapakita nila ang relasyon sa pagitan ng mga anggulo at gilid ng isang tatsulok at tumutulong sa pagkalkula ng mga gilid ng isang tatsulok.
Kalkulahin ang tangent ng isang matinding anggulo
Paano mahahanap ang tangent sa isang tatsulok? Upang hindi mag-aksaya ng oras sa paghahanap para sa tangent, maaari kang makahanap ng mga espesyal na talahanayan na nagpapahiwatig ng mga function ng trigonometriko ng maraming mga anggulo. Sa mga problema sa geometry ng paaralan, ang ilang mga anggulo ay karaniwan, at hinihiling sa mga guro na isaulo ang mga halaga ng kanilang mga sine, cosine, tangent at cotangent. Nag-aalok kami sa iyo ng isang maliit na plato na may mga kinakailangang halaga ng mga anggulong ito.
Kung ang anggulo na ang tangent na kailangan mong hanapin ay hindi ipinakita sa talahanayang ito, maaari kang gumamit ng dalawang mga formula, na ipinakita namin sa itaas sa pandiwang anyo.
Ang unang paraan upang kalkulahin ang tangent ng isang anggulo ay upang hatiin ang haba ng kabaligtaran na binti sa haba ng katabi. Sabihin nating ang kabaligtaran na bahagi ay 4, at ang katabing bahagi ay 8. Upang mahanap ang padaplis, kailangan mo ng 4:8. Ang tangent ng anggulo ay magiging ½ o 0.5.
Ang pangalawang paraan upang makalkula ang tangent ay upang hatiin ang halaga ng sine ng isang naibigay na anggulo sa halaga ng cosine nito. Halimbawa, binibigyan kami ng isang anggulo ng 45 degrees. Ang kasalanan nito = ugat ng dalawa na hinati ng dalawa; ang cos nito ay katumbas ng parehong numero. Ngayon hinati namin ang sine sa pamamagitan ng cosine at makakuha ng tangent na katumbas ng isa.
Nangyayari na kailangan mong gamitin nang eksakto ang formula na ito, ngunit isang elemento lamang ang kilala - alinman sa sine o cosine. Sa kasong ito, magiging kapaki-pakinabang na tandaan ang formula
sin2 α + cos2 α = 1. Ito ang pangunahing trigonometric identity. Sa pamamagitan ng pagpapahayag ng isang hindi kilalang elemento sa mga tuntunin ng isang kilala, maaari mong malaman ang kahulugan nito. At alam ang sine at cosine, hindi mahirap hanapin ang padaplis.
At kung ang geometry ay malinaw na hindi ang iyong pagtawag, ngunit kailangan mo pa ring gawin ang iyong araling-bahay, maaari mong gamitin ang online na calculator para sa pagkalkula ng tangent ng isang anggulo.
Sinabi namin sa iyo gamit ang mga simpleng halimbawa kung paano hanapin ang tangent. Gayunpaman, ang mga kondisyon ng gawain ay maaaring maging mas mahirap at hindi laging posible na mabilis na malaman ang lahat ng kinakailangang data. Sa kasong ito, ang Pythagorean theorem at iba't ibang trigonometric function ay makakatulong sa iyo.
Ang talahanayan ay naglalaman ng mga tangent na halaga mula 0° hanggang 360°.
Ang isang talahanayan ng mga tangent ay kailangan kapag wala kang calculator sa kamay. Upang malaman kung ano ang tangent ng isang anggulo, hanapin lamang ito sa talahanayan. Una, isang maikling bersyon ng talahanayan:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Tangent table para sa 0°-180°
|
|
|
Tangent table para sa 180° - 360°
|
|
|
Mayroon ding mga sumusunod na talahanayan ng trigonometric function sa geometry: table of sines, table of cosines at table of cotangents.
Lahat para sa pag-aaral » Matematika sa paaralan » Talaan ng mga tangent ng mga anggulo (anggulo, halaga)
Upang i-bookmark ang isang pahina, pindutin ang Ctrl+D.
Isang pangkat na may maraming kapaki-pakinabang na impormasyon (mag-subscribe kung mayroon kang Unified State Exam o Unified State Exam):
Mga palatandaan ng trigonometriko function
Ang tanda ng trigonometric function ay nakasalalay lamang sa coordinate quadrant kung saan matatagpuan ang numerical argument.
Noong nakaraang pagkakataon, natutunan naming i-convert ang mga argumento mula sa radian measure sa isang degree measure (tingnan ang aralin na "Radian at degree na sukat ng isang anggulo"), at pagkatapos ay tukuyin ang parehong coordinate quarter. Ngayon, alamin natin ang sign ng sine, cosine at tangent.
Ang anggulo α ay ang ordinate (y coordinate) ng isang punto sa isang trigonometric na bilog na nangyayari kapag ang radius ay pinaikot ng anggulo α.
Ang anggulo α ay ang abscissa (x coordinate) ng isang punto sa isang trigonometric na bilog na nangyayari kapag ang radius ay pinaikot ng anggulo α.
Ang anggulo α ay ang ratio ng sine sa cosine.
O, kung saan ay ang parehong bagay, ang ratio ng y coordinate sa x coordinate.
Notasyon: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Ang lahat ng mga kahulugang ito ay pamilyar sa iyo mula sa algebra ng mataas na paaralan. Gayunpaman, hindi kami interesado sa mga kahulugan mismo, ngunit sa mga kahihinatnan na lumitaw sa trigonometriko na bilog. Tingnan mo:
Ang asul na kulay ay nagpapahiwatig ng positibong direksyon ng OY axis (ordinate axis), ang pula ay nagpapahiwatig ng positibong direksyon ng OX axis (abscissa axis).
Sa "radar" na ito ang mga palatandaan ng trigonometric function ay nagiging halata. Sa partikular:
- sin α > 0 kung ang anggulo α ay nasa I o II coordinate quadrant. Ito ay dahil, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sine ay isang ordinate (y coordinate).
At ang y coordinate ay tiyak na positibo sa I at II coordinate quarters;
- cos α > 0, kung ang anggulo α ay nasa 1st o 4th coordinate quadrant. Dahil doon lamang ang x coordinate (aka abscissa) ay mas malaki sa zero;
- tan α > 0 kung ang anggulo α ay nasa I o III coordinate quadrant. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan: pagkatapos ng lahat, tan α = y: x, samakatuwid ito ay positibo lamang kung saan ang mga palatandaan ng x at y ay nagtutugma.
Nangyayari ito sa unang quarter ng coordinate (dito x > 0, y > 0) at sa ikatlong quarter ng coordinate (x< 0, y < 0).
Para sa kalinawan, tandaan natin ang mga palatandaan ng bawat trigonometric function - sine, cosine at tangent - sa magkahiwalay na "radar". Nakukuha namin ang sumusunod na larawan:
Tandaan: sa aking mga talakayan ay hindi ako nagsalita tungkol sa ikaapat na trigonometriko function - cotangent.
Ang katotohanan ay ang mga palatandaan ng cotangent ay nag-tutugma sa mga palatandaan ng tangent - walang mga espesyal na patakaran doon.
Ngayon ay ipinapanukala kong isaalang-alang ang mga halimbawang katulad ng mga problemang B11 mula sa pagsubok sa Unified State Exam sa matematika, na naganap noong Setyembre 27, 2011. Pagkatapos ng lahat, ang pinakamahusay na paraan upang maunawaan ang teorya ay ang pagsasanay. Maipapayo na magkaroon ng maraming pagsasanay. Siyempre, ang mga kondisyon ng mga gawain ay bahagyang nabago.
Gawain. Tukuyin ang mga palatandaan ng trigonometric function at expression (ang mga halaga ng mga function mismo ay hindi kailangang kalkulahin):
- kasalanan(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- kasalanan (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Ang plano ng aksyon ay ito: una naming kino-convert ang lahat ng mga anggulo mula sa radian measures sa degrees (π → 180°), at pagkatapos ay tingnan kung saang coordinate quarter matatagpuan ang resultang numero.
Ang pag-alam sa quarters, madali nating mahahanap ang mga palatandaan - ayon sa mga alituntuning inilarawan lamang. Meron kami:
- kasalanan (3π/4) = kasalanan (3 · 180°/4) = kasalanan 135°. Dahil 135° ∈ , ito ay isang anggulo mula sa II coordinate quadrant. Ngunit ang sine sa ikalawang quarter ay positibo, kaya sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. kasi 210° ∈ , ito ang anggulo mula sa ikatlong coordinate quadrant, kung saan negatibo ang lahat ng cosine.
Samakatuwid cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Dahil 300° ∈ , tayo ay nasa IV quarter, kung saan ang tangent ay kumukuha ng mga negatibong halaga. Samakatuwid tan (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Ating harapin ang sine: kasi 135° ∈ , ito ang ikalawang quarter kung saan positibo ang mga sine, i.e.
sin (3π/4) > 0. Ngayon ay nagtatrabaho kami sa cosine: 150° ∈ - muli sa ikalawang quarter, ang mga cosine doon ay negatibo. Samakatuwid cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Tinitingnan natin ang cosine: 120° ∈ ay ang II coordinate quarter, kaya cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Ang padaplis doon ay positibo, kaya tan (π/4) > 0. Muli tayong makakakuha ng produkto kung saan ang mga salik ay may iba't ibang palatandaan. Dahil ang "minus sa pamamagitan ng plus ay nagbibigay ng minus", mayroon tayong: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Nagtatrabaho kami sa sine: mula noong 150° ∈ , pinag-uusapan natin ang II coordinate quarter, kung saan positibo ang mga sine.
Samakatuwid, ang sin (5π/6) > 0. Katulad nito, ang 315° ∈ ay ang IV coordinate quarter, ang mga cosine doon ay positibo.
Samakatuwid cos (7π/4) > 0. Nakuha namin ang produkto ng dalawang positibong numero - ang ganitong expression ay palaging positibo. Napaghihinuha namin: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
Ngunit ang anggulo 135° ∈ ay ang ikalawang quarter, i.e. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Dahil ang "minus by plus ay nagbibigay ng minus sign," mayroon tayong: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tinitingnan natin ang argumentong cotangent: 240° ∈ ay ang III coordinate quarter, samakatuwid ctg (4π/3) > 0. Katulad nito, para sa tangent na mayroon tayo: 30° ∈ ay ang I coordinate quarter, i.e. ang pinakasimpleng anggulo. Samakatuwid tan (π/6) > 0. Muli tayong may dalawang positibong expression - magiging positibo rin ang kanilang produkto.
Samakatuwid cot (4π/3) tg (π/6) > 0.
Sa wakas, tingnan natin ang ilang mas kumplikadong mga problema. Bilang karagdagan sa pag-uunawa ng tanda ng trigonometriko function, kakailanganin mong gumawa ng kaunting matematika dito - eksakto kung paano ito ginagawa sa mga totoong problema B11. Sa prinsipyo, ito ay halos tunay na mga problema na aktwal na lumilitaw sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika.
Hanapin ang sin α kung sin2 α = 0.64 at α ∈ [π/2; π].
Dahil ang sin2 α = 0.64, mayroon tayong: sin α = ±0.8.
Ang natitira na lang ay magpasya: plus o minus? Sa pamamagitan ng kundisyon, anggulo α ∈ [π/2; π] ay ang II coordinate quarter, kung saan ang lahat ng mga sine ay positibo. Dahil dito, ang kasalanan α = 0.8 - ang kawalan ng katiyakan na may mga palatandaan ay inalis.
Gawain. Hanapin ang cos α kung cos2 α = 0.04 at α ∈ [π; 3π/2].
Pareho kaming kumilos, i.e.
kunin ang square root: cos2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Sa pamamagitan ng kundisyon, anggulo α ∈ [π; 3π/2], ibig sabihin. Pinag-uusapan natin ang ikatlong coordinate quarter. Ang lahat ng mga cosine doon ay negatibo, kaya cos α = −0.2.
Gawain. Hanapin ang sin α kung sin2 α = 0.25 at α ∈ .
Mayroon tayong: sin2 α = 0.25 ⇒ sin α = ±0.5.
Trigonometric function ng anumang anggulo
Muli nating tinitingnan ang anggulo: α ∈ ay ang IV coordinate quarter, kung saan, tulad ng alam natin, ang sine ay magiging negatibo. Kaya, napagpasyahan natin: sin α = −0.5.
Gawain. Hanapin ang tan α kung tan2 α = 9 at α ∈ .
Ang lahat ay pareho, para lamang sa padaplis.
Kunin ang square root: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Ngunit ayon sa kondisyon, ang anggulo α ∈ ay ang I coordinate quarter. Lahat ng trigonometriko function, incl. tangent, may positive, so tan α = 3. Ayan!
