(mula sa Greek λόγος - "salita", "relasyon" at ἀριθμός - "numero") na mga numero b sa pamamagitan ng dahilan a(log α b) ay tinatawag na ganoong numero c, at b= isang c, ibig sabihin, log α b=c at b=ac ay katumbas. Makatuwiran ang logarithm kung a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Sa ibang salita logarithm numero b sa pamamagitan ng dahilan a binabalangkas bilang isang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(umiiral lamang ang logarithm para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x= log α b, ay katumbas ng paglutas ng equation a x =b.

Halimbawa:

log 2 8 = 3 dahil 8=2 3 .

Tandaan namin na ang ipinahiwatig na pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang agad na matukoy halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas kasama. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa antas ng bilang.

Ang pagkalkula ng logarithm ay tinutukoy logarithm. Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang mga produkto ng mga kadahilanan ay binago sa kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay itataas sa kapangyarihan ng expression kung saan ginaganap ang potentiation. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa produkto ng mga salik.

Kadalasan, ang mga totoong logarithm na may mga base 2 (binary), e Euler number e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (decimal) ay ginagamit.

Sa yugtong ito, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang mga sample ng logarithms log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

At ang mga entry lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay walang katuturan, dahil sa una sa kanila isang negatibong numero ang inilalagay sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa - isang negatibong numero sa ang base, at sa pangatlo - at isang negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm at unit sa base.

Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang hiwalay sa mga kondisyon a > 0, a ≠ 1, b > 0. kahulugan ng logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinukuha ang mga paghihigpit na ito. Makakatulong ito sa amin sa pagkakapantay-pantay ng form na x = log α b, na tinatawag na pangunahing logarithmic identity, na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.

Kunin ang kundisyon a≠1. Dahil ang isa ay katumbas ng isa sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang pagkakapantay-pantay x=log α b maaari lamang umiral kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay magiging anumang tunay na numero. Upang maalis ang kalabuan na ito, kukunin namin a≠1.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon a>0. Sa a=0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm, maaari lamang umiral kapag b=0. At pagkatapos ay naaayon log 0 0 maaaring maging anumang hindi-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang hindi-zero na kapangyarihan ay zero. Upang maalis ang kalabuan na ito, ang kondisyon a≠0. At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pagsusuri ng makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga ng logarithm, dahil ang exponent na may rasyonal at hindi makatwiran na exponent ay tinukoy lamang para sa mga di-negatibong base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon a>0.

At ang huling kondisyon b>0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil x=log α b, at ang halaga ng antas na may positibong base a laging positibo.

Mga tampok ng logarithms.

Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng katangi-tangi mga tampok, na humantong sa kanilang malawakang paggamit upang lubos na mapadali ang masusing pagkalkula. Sa paglipat "sa mundo ng logarithms", ang multiplikasyon ay binago sa isang mas madaling karagdagan, paghahati sa pagbabawas, at pagtaas sa isang kapangyarihan at pagkuha ng isang ugat ay binago sa multiplikasyon at paghahati ng isang exponent, ayon sa pagkakabanggit.

Ang pagbabalangkas ng mga logarithms at isang talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa mga function ng trigonometric) ay unang nai-publish noong 1614 ng Scottish mathematician na si John Napier. Ang mga logarithmic table, na pinalaki at idinetalye ng ibang mga siyentipiko, ay malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng siyentipiko at inhinyero, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa magsimulang gumamit ng mga electronic calculator at computer.

Ang pokus ng artikulong ito ay logarithm. Dito ay ibibigay natin ang kahulugan ng logarithm, ipakita ang tinatanggap na notasyon, magbigay ng mga halimbawa ng logarithms, at pag-uusapan ang natural at decimal logarithms. Pagkatapos nito, isaalang-alang ang pangunahing logarithmic identity.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng logarithm

Ang konsepto ng isang logarithm ay lumitaw kapag nilutas ang isang problema sa isang tiyak na kahulugan na kabaligtaran, kapag kailangan mong hanapin ang exponent mula sa isang kilalang halaga ng antas at isang kilalang base.

Ngunit sapat na preamble, oras na para sagutin ang tanong na "ano ang logarithm"? Bigyan natin ng angkop na kahulugan.

Kahulugan.

Logarithm ng b sa base a, kung saan ang a>0 , a≠1 at b>0 ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang numerong a upang makuha ang b bilang resulta.

Sa yugtong ito, tandaan namin na ang binibigkas na salitang "logarithm" ay dapat na agad na magtaas ng dalawang kasunod na tanong: "anong numero" at "sa anong batayan." Sa madaling salita, walang logarithm, ngunit mayroon lamang logarithm ng isang numero sa ilang base.

Magpapakilala kami agad logarithm notation: ang logarithm ng numero b sa base a ay karaniwang tinutukoy bilang log a b . Ang logarithm ng numero b sa base e at ang logarithm sa base 10 ay may sariling mga espesyal na pagtatalaga lnb at lgb ayon sa pagkakabanggit, iyon ay, isinulat nila hindi log e b , ngunit lnb , at hindi log 10 b , ngunit lgb .

Ngayon ay maaari kang magdala ng: .
At ang mga talaan huwag magkaroon ng kahulugan, dahil sa una sa kanila mayroong isang negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa - isang negatibong numero sa base, at sa pangatlo - parehong negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm at isang yunit sa base.

Ngayon pag-usapan natin mga panuntunan para sa pagbabasa ng logarithms. Ang entry log a b ay binabasa bilang "logarithm ng b hanggang base a". Halimbawa, ang log 2 3 ay ang logarithm ng tatlo hanggang base 2, at ang logarithm ng dalawang integer dalawang base thirds ng square root ng lima. Ang logarithm sa base e ay tinatawag natural na logarithm, at ang notasyong lnb ay binabasa bilang "ang natural na logarithm ng b". Halimbawa, ang ln7 ay ang natural na logarithm ng pito, at babasahin natin ito bilang natural na logarithm ng pi. Ang logarithm sa base 10 ay mayroon ding espesyal na pangalan - decimal logarithm, at ang notation lgb ay binabasa bilang "decimal logarithm b". Halimbawa, ang lg1 ay ang decimal logarithm ng isa, at ang lg2.75 ay ang decimal logarithm ng dalawang punto pitumpu't limang daan.

Ito ay nagkakahalaga ng paninirahan nang hiwalay sa mga kondisyon a>0, a≠1 at b>0, kung saan ibinibigay ang kahulugan ng logarithm. Ipaliwanag natin kung saan nagmula ang mga paghihigpit na ito. Upang gawin ito, tutulungan tayo ng isang pagkakapantay-pantay ng form, na tinatawag na , na direktang sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.

Magsimula tayo sa a≠1 . Dahil ang isa ay katumbas ng isa sa anumang kapangyarihan, ang pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maging totoo para sa b=1, ngunit ang log 1 1 ay maaaring maging anumang tunay na numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, tinatanggap ang a≠1.

Patunayan natin ang pagiging angkop ng kondisyon a>0 . Sa a=0, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, magkakaroon tayo ng equality , na posible lamang sa b=0 . Ngunit ang log 0 0 ay maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Ang kalabuan na ito ay maiiwasan ng kondisyong a≠0 . At para sa isang<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Sa wakas, ang kundisyon b>0 ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0 , dahil , at ang halaga ng antas na may positibong base a ay palaging positibo.

Sa pagtatapos ng talatang ito, sinasabi namin na ang tininigan na kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa iyo na agad na ipahiwatig ang halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm ay isang tiyak na antas ng base. Sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm ay nagpapahintulot sa amin na igiit na kung b=a p , kung gayon ang logarithm ng numero b sa base a ay katumbas ng p . Ibig sabihin, ang equality log a a p =p ay totoo. Halimbawa, alam natin na 2 3 =8 , pagkatapos ay log 2 8=3 . Pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa artikulo.

Sa pag-unlad ng lipunan, ang pagiging kumplikado ng produksyon, nabuo din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa karaniwang paraan ng accounting ng karagdagan at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating sila sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng multiply repeated operation ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila, maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng logarithms.

Makasaysayang balangkas

Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos nauugnay sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Napakahusay ng serbisyo ng mga sinaunang mesa. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mga mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga degree sa anyo ng mga pangunahing numero, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang makatuwiran.

Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Ang mga bagong kumplikadong talahanayan ay pinagsama-sama para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.

Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas bago nakuha ng bagong operasyon sa algebra ang natapos nitong anyo. Ang logarithm ay tinukoy at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.

Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.

Tinatawag natin ngayon ang logarithm ng b upang ibase ang isang numerong x, na siyang kapangyarihan ng a, upang makuha ang numerong b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).

Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.

Kaya, ang binabalangkas na kahulugan ay naglalagay lamang ng isang paghihigpit, ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.

Mga uri ng logarithms

Ang klasikal na kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang isang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at walang interes. Tandaan: 1 sa anumang kapangyarihan ay 1.

Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kung ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.

Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa halaga ng kanilang base:

Mga tuntunin at paghihigpit

Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Bilang isang variant ng pahayag na ito, ito ay magiging: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.

Madaling makita mula sa nakaraang dalawang panuntunan na: log a(b p) = p * log a(b).

Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:

Magkomento. Huwag gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.

Para sa maraming mga siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician ang kilalang formula ng logarithmic theory of expansion sa isang polynomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kung saan ang n ay isang natural na bilang na mas malaki sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.

Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.

Dahil ang pamamaraang ito ay napakahirap at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit sila ng mga pre-compiled na talahanayan ng logarithms, na lubos na nagpabilis sa buong gawain.

Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na pinagsama-samang mga graph ng logarithms, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap para sa nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagbibigay-daan sa paggamit ng karaniwang ruler upang mahanap ang mga halaga ng function sa anumang iba pang punto. Sa mahabang panahon, ginamit ng mga inhinyero ang tinatawag na graph paper para sa mga layuning ito.

Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na noong ika-19 na siglo ay nakakuha ng tapos na anyo. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at mahirap na labis na timbangin ito. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.

Ang pagdating ng mga calculator at computer ay naging walang kabuluhan na gumamit ng anumang iba pang mga aparato.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga sumusunod na formula ay ginagamit upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms:

• Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Bilang resulta ng nakaraang bersyon: log a(b) = 1 / log b(a).

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:

• Magiging positibo lamang ang halaga ng logarithm kung ang base at argumento ay parehong mas malaki sa o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
• Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan ay napanatili; kung hindi, ito ay nagbabago.

Mga halimbawa ng gawain

Isaalang-alang ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:

Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa antas:

• Gawain 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang notasyon ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang square ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.

Praktikal na paggamit

Bilang isang purong kasangkapang pangmatematika, tila malayo sa totoong buhay na ang logarithm ay biglang naging napakahalaga sa paglalarawan ng mga bagay sa totoong mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa mga larangan ng kaalaman sa sangkatauhan.

Logarithmic dependencies

Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:

Mechanics at physics

Sa kasaysayan, ang mga mekanika at pisika ay palaging binuo gamit ang mga pamamaraan ng pananaliksik sa matematika at sa parehong oras ay nagsisilbing isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang mga logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Nagbibigay lamang kami ng dalawang halimbawa ng paglalarawan ng mga pisikal na batas gamit ang logarithm.

Posible upang malutas ang problema ng pagkalkula ng isang kumplikadong dami tulad ng bilis ng isang rocket gamit ang formula ng Tsiolkovsky, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:

V = I * ln(M1/M2), kung saan

• Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
• Ako ang tiyak na salpok ng makina.
• Ang M 1 ay ang inisyal na masa ng rocket.
• M 2 - pangwakas na masa.

Isa pang mahalagang halimbawa- ito ang paggamit sa pormula ng isa pang mahusay na siyentipiko, si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.

S = k * ln (Ω), kung saan

• Ang S ay isang thermodynamic na katangian.
• k ay ang Boltzmann constant.
• Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.

Chemistry

Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Narito ang dalawang halimbawa lamang:

• Ang Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
• Ang pagkalkula ng mga pare-pareho tulad ng autoprolysis index at ang kaasiman ng solusyon ay hindi rin kumpleto nang wala ang ating function.

Sikolohiya at biyolohiya

At ito ay ganap na hindi maintindihan kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng intensity ng pampasigla sa mas mababang halaga ng intensity.

Pagkatapos ng mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang tema ng logarithms ay malawakang ginagamit din sa biology. Ang buong volume ay maaaring isulat tungkol sa mga biyolohikal na anyo na naaayon sa logarithmic spirals.

Ibang lugar

Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng mga batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay konektado sa isang geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagsangguni sa website ng MatProfi, at mayroong maraming tulad na mga halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:

Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing batas ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Ipaliwanag natin nang mas madali. Halimbawa, ang \(\log_(2)(8)\) ay katumbas ng kapangyarihang \(2\) ay dapat na itaas upang makuha ang \(8\). Mula dito ay malinaw na ang \(\log_(2)(8)=3\).

Mga halimbawa:		\(\log_(5)(25)=2\)		kasi \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		kasi \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		kasi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento at base ng logarithm

Anumang logarithm ay may sumusunod na "anatomy":

Ang argumento ng logarithm ay karaniwang nakasulat sa antas nito, at ang base ay nakasulat sa subscript na mas malapit sa sign ng logarithm. At ang entry na ito ay binasa ng ganito: "ang logarithm ng dalawampu't lima hanggang sa base ng lima."

Paano makalkula ang logarithm?

Upang makalkula ang logarithm, kailangan mong sagutin ang tanong: sa anong antas dapat itaas ang base upang makuha ang argumento?

Halimbawa, kalkulahin ang logarithm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(4\) upang makuha ang \(16\)? Halatang pangalawa. Kaya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(5)\) upang makuha ang \(1\)? At anong antas ang gumagawa ng anumang numero bilang isang yunit? Syempre zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(\sqrt(7)\) upang makuha ang \(\sqrt(7)\)? Sa una - anumang numero sa unang antas ay katumbas ng sarili nito.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Sa anong kapangyarihan dapat itaas ang \(3\) upang makuha ang \(\sqrt(3)\)? Mula sa alam namin na iyon ay isang fractional na kapangyarihan, at samakatuwid ang square root ay ang kapangyarihan ng \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Halimbawa : Kalkulahin ang logarithm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Desisyon :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kailangan nating hanapin ang halaga ng logarithm, tukuyin natin ito bilang x. Ngayon ay gamitin natin ang kahulugan ng logarithm: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Anong mga link ang \(4\sqrt(2)\) at \(8\)? Dalawa, dahil ang parehong mga numero ay maaaring kinakatawan ng dalawa: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Sa kaliwa, ginagamit namin ang mga katangian ng degree: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) at \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Ang mga base ay pantay, nagpapatuloy kami sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa \(\frac(2)(5)\)
		Ang resultang ugat ay ang halaga ng logarithm

Sagot : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Bakit naimbento ang logarithm?

Upang maunawaan ito, lutasin natin ang equation: \(3^(x)=9\). Itugma lang ang \(x\) para gumana ang pagkakapantay-pantay. Siyempre, \(x=2\).

Ngayon lutasin ang equation: \(3^(x)=8\).Ano ang katumbas ng x? Iyon ang punto.

Ang pinaka mapanlikha ay magsasabi: "Ang X ay mas mababa ng kaunti sa dalawa." Paano eksaktong isusulat ang numerong ito? Upang masagot ang tanong na ito, nakabuo sila ng logarithm. Salamat sa kanya, ang sagot dito ay maaaring isulat bilang \(x=\log_(3)(8)\).

Gusto kong bigyang-diin na \(\log_(3)(8)\), pati na rin anumang logarithm ay isang numero lamang. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ito ay maikli. Dahil kung gusto naming isulat ito bilang isang decimal, magiging ganito ito: \(1.892789260714.....\)

Halimbawa : Lutasin ang equation \(4^(5x-4)=10\)

Desisyon :

\(4^(5x-4)=10\)		Ang \(4^(5x-4)\) at \(10\) ay hindi maaaring bawasan sa parehong base. Kaya dito hindi mo magagawa nang wala ang logarithm. Gamitin natin ang kahulugan ng logarithm: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		I-flip ang equation upang ang x ay nasa kaliwa
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bago tayo. Ilipat ang \(4\) sa kanan. At huwag matakot sa logarithm, ituring ito bilang isang regular na numero.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Hatiin ang equation sa 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Narito ang ating ugat. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ang sagot ay hindi pinili.

Sagot : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimal at natural na logarithms

Gaya ng nakasaad sa kahulugan ng logarithm, ang base nito ay maaaring maging anumang positibong numero maliban sa isang \((a>0, a\neq1)\). At sa lahat ng posibleng mga base, mayroong dalawa na madalas na nangyayari na ang isang espesyal na maikling notasyon ay naimbento para sa mga logarithms sa kanila:

Natural logarithm: isang logarithm na ang base ay ang Euler number \(e\) (katumbas ng humigit-kumulang \(2.7182818…\)), at ang logarithm ay isinusulat bilang \(\ln(a)\).

I.e, Ang \(\ln(a)\) ay kapareho ng \(\log_(e)(a)\)

Decimal logarithm: Ang logarithm na ang base ay 10 ay nakasulat na \(\lg(a)\).

I.e, Ang \(\lg(a)\) ay kapareho ng \(\log_(10)(a)\), kung saan ang \(a\) ay ilang numero.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Ang logarithms ay may maraming katangian. Ang isa sa kanila ay tinatawag na "Basic logarithmic identity" at ganito ang hitsura:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan. Tingnan natin kung paano eksaktong lumitaw ang formula na ito.

Alalahanin ang maikling kahulugan ng logarithm:

kung \(a^(b)=c\), kung gayon \(\log_(a)(c)=b\)

Ibig sabihin, ang \(b\) ay kapareho ng \(\log_(a)(c)\). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang \(\log_(a)(c)\) sa halip na \(b\) sa formula \(a^(b)=c\) . Ito ay naging \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ang pangunahing logarithmic identity.

Maaari mong mahanap ang natitirang mga katangian ng logarithms. Sa kanilang tulong, maaari mong pasimplehin at kalkulahin ang mga halaga ng mga expression na may logarithms, na mahirap direktang kalkulahin.

Halimbawa : Hanapin ang halaga ng expression na \(36^(\log_(6)(5))\)

Desisyon :

Sagot : \(25\)

Paano magsulat ng isang numero bilang isang logarithm?

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang anumang logarithm ay isang numero lamang. Totoo rin ang kabaligtaran: anumang numero ay maaaring isulat bilang logarithm. Halimbawa, alam namin na ang \(\log_(2)(4)\) ay katumbas ng dalawa. Pagkatapos ay maaari mong isulat ang \(\log_(2)(4)\) sa halip na dalawa.

Ngunit ang \(\log_(3)(9)\) ay katumbas din ng \(2\), kaya maaari mo ring isulat ang \(2=\log_(3)(9)\) . Katulad din sa \(\log_(5)(25)\), at sa \(\log_(9)(81)\), atbp. Ibig sabihin, lumalabas

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kaya, kung kailangan natin, maaari nating isulat ang dalawa bilang isang logarithm na may anumang base kahit saan (kahit sa isang equation, kahit sa isang expression, kahit na sa isang hindi pagkakapantay-pantay) - isinusulat lang natin ang squared base bilang isang argumento.

Ito ay pareho sa isang triple - maaari itong isulat bilang \(\log_(2)(8)\), o bilang \(\log_(3)(27)\), o bilang \(\log_(4)( 64) \) ... Dito isinulat namin ang base sa kubo bilang isang argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

At kasama ang apat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

At may minus one:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

At kasama ang isang ikatlo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Anumang numero \(a\) ay maaaring katawanin bilang isang logarithm na may base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Halimbawa : Hanapin ang halaga ng isang expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Desisyon :

Sagot : \(1\)

pangunahing katangian.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

parehong batayan

log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tingnan din:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

2.

3.

4. saan .

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga panuntunang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithms. Ang logarithms ay mga halimbawa ng mga solusyon.

Iniharap nila ang base at ang argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa isang antas na ang bilang b sa antas na ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

Tingnan din:

Ang logarithm ng numero b hanggang sa base a ay tumutukoy sa expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugan ng paghahanap ng gayong kapangyarihan x () kung saan totoo ang pagkakapantay-pantay

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Ang mga katangian sa itaas ay kailangang malaman, dahil, sa kanilang batayan, halos lahat ng mga problema at mga halimbawa ay nalutas batay sa logarithms. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng logarithms (3.4) ay madalas na nakatagpo. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga karaniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay kahit sampu, exponential o deuce.
Ang batayang sampung logarithm ay karaniwang tinatawag na batayang sampung logarithm at ito ay simpleng tinutukoy na lg(x).

Makikita sa tala na ang mga pangunahing kaalaman ay hindi nakasulat sa talaan. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay ang logarithm na ang batayan ay ang exponent (tinutukoy na ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang base two logarithm ay

Ang derivative ng logarithm ng function ay katumbas ng isang hinati ng variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng dependence

Ang materyal sa itaas ay sapat para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Para sa kapakanan ng pag-unawa sa materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng ari-arian ng logarithms, mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nakita namin

4. saan .

Ang isang tila kumplikadong expression gamit ang isang serye ng mga panuntunan ay pinasimple sa form

Paghahanap ng mga Halaga ng Logarithm

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Desisyon. Para sa pagkalkula, inilalapat namin ang mga katangian 5 at 13 hanggang sa huling termino

Palitan sa talaan at magluksa

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Unang antas.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kunin ang logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino

Ito ay simula pa lamang ng pagkilala sa mga logarithms at sa kanilang mga katangian. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang nakuhang kaalaman upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palalawakin namin ang iyong kaalaman para sa isa pang pantay na mahalagang paksa - logarithmic inequalities ...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang mga logarithm, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga panuntunang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithms ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay iba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang mga orihinal na expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay dumating upang iligtas. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponent. Kunin natin ang mga indicator: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itinaas sa isang antas na ang bilang b sa antas na ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa mga "advanced" na mga mag-aaral.

1. logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
2. ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.