PAGLALAHAT NG ARALIN SA PAKSANG "FUNKSYON AT KANILANG MGA ARI-ARIAN".
Mga Layunin ng Aralin:
Methodical: pagtaas ng aktibidad na aktibong nagbibigay-malay ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng indibidwal-independiyenteng gawain at ang paggamit ng mga gawain sa pagsusulit ng isang umuunlad na uri.
Pagtuturo: ulitin ang elementarya function, ang kanilang mga pangunahing katangian at mga graph. Ipakilala ang konsepto ng mutually inverse functions. I-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa; mag-ambag sa pagsasama-sama ng mga kasanayan at kakayahan sa pagkalkula ng mga logarithms, sa aplikasyon ng kanilang mga katangian sa paglutas ng mga gawain ng isang hindi karaniwang uri; ulitin ang pagbuo ng mga graph ng mga function gamit ang mga pagbabagong-anyo at pagsubok ng mga kasanayan at kakayahan kapag nilutas ang mga pagsasanay sa kanilang sarili.
Pang-edukasyon: edukasyon ng katumpakan, katatagan, responsibilidad, kakayahang gumawa ng mga independiyenteng desisyon.
Pagbuo: bumuo ng mga kakayahan sa intelektwal, pagpapatakbo ng isip, pagsasalita, memorya. Bumuo ng pagmamahal at interes sa matematika; sa panahon ng aralin upang matiyak ang pag-unlad ng kalayaan ng pag-iisip ng mga mag-aaral sa mga gawaing pang-edukasyon.
Uri ng aralin: paglalahat at sistematisasyon.
Kagamitan: board, computer, projector, screen, literaturang pang-edukasyon.
Epigraph ng aralin:"Dapat ituro ang matematika sa ibang pagkakataon, upang maiayos nito ang isip."
(M.V. Lomonosov).
SA PANAHON NG MGA KLASE
Sinusuri ang takdang-aralin.
Pag-uulit ng exponential at logarithmic function na may base a = 2, paglalagay ng kanilang mga graph sa parehong coordinate plane, pagsusuri ng kanilang relatibong posisyon. Isaalang-alang ang pagtutulungan sa pagitan ng mga pangunahing katangian ng mga function na ito (OOF at FZF). Ibigay ang konsepto ng mutually inverse functions.
Isaalang-alang ang exponential at logarithmic function na may base a = ½ s
upang matiyak na ang pagtutulungan ng mga nakalistang katangian ay sinusunod at para sa
nababawasan ang magkabaligtaran na mga pag-andar.
Organisasyon ng independiyenteng gawain ng isang uri ng pagsubok para sa pag-unlad ng kaisipan
systematization operations sa paksang "Function and their properties".
MGA FUNCTION PROPERTY:
isa). y \u003d │x│;
2). Tumataas sa buong domain ng kahulugan;
3). OOF: (- ∞; + ∞) ;
4). y \u003d kasalanan x;
5). Bumababa sa 0< а < 1 ;
6). y \u003d x ³;
7). ORF: (0; + ∞);
walo). Pangkalahatang pag-andar;
siyam). y = √ x;
sampu). OOF: (0; + ∞);
labing-isa). Bumababa sa buong domain ng kahulugan;
12). y = kx + v;
labintatlo). OZF: (- ∞; + ∞) ;
labing-apat). Tumataas kapag k > 0;
labinlima). OOF: (- ∞; 0); (0; +∞);
labing-anim). y \u003d cos x;
17). Walang extremum point;
labing-walo). ORF: (- ∞; 0); (0; +∞);
labinsiyam). Bumababa sa< 0 ;
20). y \u003d x ²;
21). OOF: x ≠ πn;
22). y \u003d k / x;
23). Kahit na;
25). Bumababa kapag k > 0;
26). OOF: [ 0; +∞);
27). y \u003d tg x;
28). Tumataas sa< 0;
29). ORF: [ 0; +∞);
tatlumpu). kakaiba;
31). y = logx;
32). OOF: x ≠ πn/2;
33). y \u003d ctg x;
34). Tumataas kapag a > 1.
Sa panahon ng gawaing ito, magsagawa ng survey ng mga mag-aaral sa mga indibidwal na gawain:
No. 1. a) I-graph ang function 
b) I-graph ang function 
No. 2. a) Kalkulahin:
b) Kalkulahin:
No. 3. a) Pasimplehin ang expression 
at hanapin ang halaga nito sa
b) Pasimplehin ang pagpapahayag 
at hanapin ang halaga nito sa 
.
Takdang-Aralin: No. 1. Kalkulahin: a) 
;
sa) 
;
G) 
.
No. 2. Hanapin ang domain ng isang function: a) 
;
sa) 
; G) 
.
n1.doc
OGO SPO Ryazan Pedagogical College
SANAYSAY
Paksa: “Mga numeric na function at ang kanilang mga katangian. Direkta at baligtad na proporsyonal na dependencies»
Titova Elena Vladimirovna
Specialty: 050709 "Pagtuturo sa elementarya na may karagdagang pagsasanay sa larangan ng pre-school education"
Kurso: 1 Pangkat: 2
Kagawaran: paaralan
Pinuno: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Ryazan
Panimula…………………………………………………………………………3
Teoretikal na bahagi
Mga function ng numero
1.2 Mga paraan upang magtakda ng mga function…………………………………………………………….6
1.3 Mga Katangian ng Paggana ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
2. Direkta at kabaligtaran na mga sukat
2.1 Ang konsepto ng direktang proporsyonalidad………………..9
2.2 Mga katangian ng isang direktang proporsyonal na relasyon……………………………………………………….10
2.3 Ang konsepto ng inverse proportionality at mga katangian nito…………………………………………………………………………-
Praktikal na bahagi
3.1 Mga functional na propaedeutics sa paunang kurso ng matematika ... .11
3.2 Paglutas ng mga problema para sa proporsyonal na umaasa na dami……18
Konklusyon……………………………………………………………….21
Listahan ng mga ginamit na literatura………………………………..22
Panimula
Sa matematika, lumitaw ang ideya ng isang function kasama ang konsepto ng magnitude. Ito ay malapit na nauugnay sa geometric at mekanikal na mga representasyon. Ang terminong function (mula sa Latin - performance) ay unang ipinakilala ni Leibniz noong 1694. Sa pamamagitan ng pag-andar, naunawaan niya ang mga abscissas, ordinates at iba pang mga segment na nauugnay sa isang punto na naglalarawan sa isang tiyak na linya.
Sa unang kalahati ng siglo XVIII. nagkaroon ng paglipat mula sa isang visual na representasyon ng konsepto ng isang function patungo sa isang analytical na kahulugan. Ang Swiss mathematician na si Johann Bernoulli, at pagkatapos ay ang akademikong si Leonhard Euler, ay naniniwala na ang function
Ito ay analitikong pagpapahayag, binubuo ng isang variable at isang pare-pareho.
Sa madaling salita, ang function ay ipinahayag ng iba't ibang uri ng mga formula: y=ax+b, y==axІ+bx+c, atbp.
Ngayon alam natin na ang isang function ay maaaring ipahayag hindi lamang sa matematikal na wika, kundi pati na rin sa graphical. Ang pioneer ng pamamaraang ito ay si Descartes. Malaki ang papel ng pagtuklas na ito sa karagdagang pag-unlad ng matematika: nagkaroon ng transisyon mula sa mga puntos patungo sa mga numero, mula sa mga linya patungo sa mga equation, mula sa geometry hanggang sa algebra. Kaya, naging posible na makahanap ng mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema.
Sa kabilang banda, salamat sa paraan ng coordinate, naging posible na ilarawan ang magkakaibang mga dependency na geometriko.
Kaya, ang mga graph ay nagbibigay ng visual na representasyon ng likas na katangian ng ugnayan sa pagitan ng mga dami; kadalasang ginagamit ang mga ito sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya.
Ang mga pangunahing uso sa pag-unlad ng modernong edukasyon sa paaralan ay makikita sa mga ideya ng humanization, humanitarization, nakabatay sa aktibidad at nakasentro sa mag-aaral na diskarte sa organisasyon ng proseso ng edukasyon.
Sa puso ng pagtuturo ng matematika sa isang pangkalahatang paaralan ng edukasyon, ang prinsipyo ng priyoridad ng pag-unlad ng pagpapaandar ng edukasyon ay nauuna.
Samakatuwid, ang pag-aaral ng konsepto ng isang numerical function sa elementarya ay isang medyo makabuluhang bahagi sa pagbuo ng mga representasyon sa matematika ng mga mag-aaral. Para sa isang guro sa elementarya, kinakailangan na tumuon sa pag-aaral ng konseptong ito, dahil mayroong direktang kaugnayan sa pagitan ng pag-andar at maraming mga lugar ng aktibidad ng tao, na sa hinaharap ay makakatulong sa mga bata na makapasok sa mundo ng agham.
Bukod sa , ang mga mag-aaral, bilang panuntunan, ay pormal na natututo ng kahulugan ng konsepto ng pag-andar, walang holistic na pagtingin sa functional dependence, i.e. hindi maaaring magamit ang kanilang kaalaman sa paglutas ng mga problema sa matematika at praktikal; iugnay ang isang function na eksklusibo sa isang analytic na expression kung saan ang variable sa ipinahayag sa mga tuntunin ng isang variable X; hindi maaaring bigyang-kahulugan ang mga representasyon ng isang function sa iba't ibang mga modelo; nahihirapan kapag nag-plot ng mga function graph ayon sa mga katangian nito, atbp.
Ang mga dahilan para sa mga paghihirap na ito ay nauugnay hindi lamang at hindi gaanong sa paraan ng pag-aaral ng functional na materyal sa kurso ng algebra, ngunit sa hindi kahandaan ng pag-iisip ng mga mag-aaral para sa pang-unawa at asimilasyon ng konsepto ng "function".
Nangangahulugan ito na bago ang pagpapakilala ng konsepto ng "function", kinakailangan na magtrabaho sa pagbuo ng mga functional na kasanayan sa pag-iisip, upang "sa sandaling ang pangkalahatang ideya ng functional dependence ay dapat pumasok sa kamalayan ng mga mag-aaral, ito ang kamalayan ay sapat na inihanda para sa layunin at epektibo, at hindi lamang para sa pormal na pang-unawa ng isang bagong konsepto at mga kaugnay na ideya at kasanayan” (A.Ya. Khinchin)
1. Mga function ng numero
1.1 Pagbuo ng konsepto ng functional dependence sa matematika
Suriin natin ang kurso ng pag-unlad ng mga ideyang pedagogical sa larangan ng pagtuturo ng pinakamahalagang bahagi ng matematika - functional dependence.
Ang functional line ng kursong paaralan sa matematika ay isa sa mga nangungunang kurso sa algebra, algebra at simula ng pagsusuri. Ang pangunahing tampok ng materyal na pang-edukasyon ng linyang ito ay maaari itong magamit upang magtatag ng iba't ibang mga koneksyon sa pagtuturo ng matematika.
Sa paglipas ng ilang siglo, ang konsepto ng isang function ay nagbago at bumuti. Ang pangangailangang mag-aral ng functional dependence sa kursong paaralan ng matematika ay nasa pokus ng atensyon ng pedagogical press mula noong ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo. Ang mga kilalang metodologo tulad ng M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky ay nagbigay ng maraming pansin sa isyung ito sa kanilang mga gawa.
Ang pagbuo ng ideya ng functional dependence ay nagpatuloy sa maraming yugto:
Unang yugto- ang yugto ng pagpapakilala ng konsepto ng isang function (pangunahin sa pamamagitan ng analytical expression) sa kursong matematika ng paaralan.
Pangalawang yugto ang pagpapakilala ng konsepto ng isang function sa kurso ng high school algebra ay pangunahing nailalarawan sa pamamagitan ng paglipat sa isang graphical na representasyon ng functional dependence at ang pagpapalawak ng hanay ng mga pinag-aralan na function.
Ikatlong yugto Ang pag-unlad ng paaralan ng Russia ay nagsimula noong 20s. ikadalawampung siglo. Ang isang pagsusuri ng metodolohikal na panitikan ng panahon ng Sobyet ay nagpakita na ang pagpapakilala ng konsepto ng isang function sa isang kurso sa matematika ng paaralan ay sinamahan ng mainit na mga talakayan, at pinahintulutan kaming makilala ang apat na pangunahing problema sa paligid kung saan may mga pagkakaiba sa mga opinyon ng mga metodologo, ibig sabihin:
1) ang layunin at kahalagahan ng pag-aaral ng konsepto ng function ng mga mag-aaral;
2) mga diskarte sa pagtukoy ng isang function;
3) ang isyu ng functional propaedeutics;
4) ang lugar at dami ng functional na materyal sa kurso ng matematika ng paaralan.
Ikaapat na yugto dahil sa paglipat ng ekonomiya ng RSFSR sa isang nakaplanong batayan
Noong 1934, natanggap ng paaralan ang unang matatag na aklat-aralin ni A.P. Kiselev na "Algebra", binago sa ilalim ng pag-edit ng A.P. Barsukov sa dalawang bahagi.
Ang mga seksyon na "Mga Function at kanilang mga graph", "Quadratic function" ay kasama sa pangalawang bahagi nito. Bilang karagdagan, sa seksyong "Generalization ng konsepto ng degree" ang exponential function at ang graph nito ay isinasaalang-alang, at sa seksyong "Logarithms" - ang logarithmic function at ang graph nito.
Dito natukoy ang function sa pamamagitan ng konsepto ng isang variable: "Ang variable na iyon, ang mga numerical value na nagbabago depende sa mga numerical value ng isa pa, ay tinatawag na dependent variable, o isang function ng isa pang variable. ." Gayunpaman, hindi ito sumasalamin sa ideya ng korespondensiya at walang pagbanggit ng isang analytic na expression, na nagpapahintulot sa amin na tapusin na ang kahulugan na ito ay may isang makabuluhang disbentaha.
I. Ya. Si Khinchin ay nagbigay ng maraming pansin sa problemang ito sa kanyang mga gawa.
Itinuring ng siyentipiko ang pagbuo ng isang ideya ng isang function bilang isang pagpapakita ng pormalismo sa pagtuturo. Naniniwala siya na sa mataas na paaralan ang konsepto ng pag-andar ay dapat pag-aralan batay sa konsepto ng pagsusulatan.
Ang panahong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng kakulangan ng oras upang pag-aralan ang mga pag-andar, hindi inakala na mga sistema ng ehersisyo, hindi pagkakaunawaan ng mga mag-aaral sa tunay na kakanyahan ng konsepto ng pag-andar, mababang antas ng pagganap at graphic na mga kasanayan ng mga nagtapos sa paaralan.
Kaya, muling bumangon ang pangangailangan na repormahin ang pagtuturo ng matematika sa mga sekondaryang paaralan. Ang muling pagsasaayos ng lahat ng matematika ng paaralan sa batayan ng set-theoretic na diskarte ay minarkahan ang ikalimang yugto sa pagbuo ng ideya ng functional dependence. Ang ideya ng isang set-theoretic na diskarte ay isinagawa ng isang pangkat ng mga Pranses na siyentipiko na nagtagpo sa ilalim ng pseudonym ni Nicolas Bourbaki. Sa lungsod ng Roymond (France, 1959), isang internasyonal na kumperensya ang ginanap kung saan ang pagbagsak ng lahat ng mga kumbensiyonal na kurso ay ipinahayag. Ang pokus ay sa mga istruktura at pagkakaisa ng lahat ng matematika ng paaralan batay sa set theory.
Ang isang mahalagang papel sa pagbuo ng mga ideya ng reporma ay ginampanan ng mga artikulo ng V. L. Goncharov, kung saan itinuro ng may-akda ang kahalagahan ng maaga at pangmatagalang functional propaedeutics, na iminungkahi gamit ang mga pagsasanay na binubuo sa pagsasagawa ng isang bilang ng mga pre- tinukoy na mga pagpapalit ng numero sa parehong ibinigay na literal na expression.
Ang pagpapatatag ng mga programa at mga aklat-aralin ay lumikha ng saligan para sa paglitaw ng mga positibong pagbabago sa kalidad ng kaalaman sa pagganap ng mga mag-aaral. Sa huling bahagi ng mga ikaanimnapung taon at unang bahagi ng ikapitong dekada, kasama ang mga negatibong pagsusuri, nagsimulang lumitaw ang pindutin kung saan mayroong isang tiyak na pagpapabuti sa kaalaman ng mga nagtapos sa paaralan tungkol sa mga pag-andar at iskedyul. Gayunpaman, ang pangkalahatang antas ng pag-unlad ng matematika ng mga mag-aaral sa kabuuan ay nanatiling hindi sapat. Ang kurikulum ng paaralan ng matematika ay patuloy na naglalaan ng masyadong maraming oras sa pormal na pagsasanay at hindi nagbigay ng sapat na atensyon sa pagpapaunlad ng kakayahan ng mga mag-aaral na matuto nang nakapag-iisa.
1.2 Mga paraan upang magtakda ng mga function
Kaya, numeric function ay isang sulat sa pagitan ng numerical set R ng mga totoong numero, kung saan ang bawat numero mula sa set X ay tumutugma sa isang solong numero mula sa set R.
Alinsunod dito, kinakatawan ng X ang domain ng function (OOF).
Ang mismong function ay tinutukoy ng maliliit na letrang Latin (f, d, e, k).
Kung ang function na f ay tinukoy sa set X, kung gayon ang tunay na numero y na tumutugma sa numerong x mula sa set X ay tinutukoy bilang f(x) (y=f(x)).
Ang variable na x ay tinatawag argumento. Ang hanay ng mga numero ng anyong f(x) para sa lahat ng x ay tinatawag saklaw ng pag-andarf.
Kadalasan, ang mga function ay tinutukoy ng iba't ibang uri ng mga formula: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, kung saan ang x ay isang tunay na numero, y ay ang solong numero na naaayon dito.
Gayunpaman, gamit ang isang formula, maaari mong tukuyin isang grupo ng function, ang pagkakaiba nito ay tinutukoy lamang ng domain ng kahulugan:
Y= 2x-3, kung saan ang x ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero at y=2x-3,
X - kabilang sa hanay ng mga natural na numero.
Kadalasan, kapag tinukoy ang isang function gamit ang isang formula, ang OOF ay hindi ipinahiwatig (OOF ay ang domain ng expression na f (x)).
Ito rin ay medyo maginhawa upang kumatawan sa mga numerical function na biswal, i.e. gamit ang coordinate plane. 
1.3 Mga katangian ng function.
Tulad ng marami pang iba, may mga katangian ang mga numeric na function:
Pagtaas, pagbaba, monotonicity, domain ng kahulugan at saklaw ng isang function, boundedness at unbounded, evenness at oddness, periodicity.
Saklaw at saklaw ng isang function.
Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero R. Nangangahulugan ito na ang argumento ng isang function ay maaaring tumagal lamang ng mga tunay na halaga kung saan ang function ay tinukoy, i.e. ito rin ay tumatanggap lamang ng mga tunay na halaga. Ang set X ng lahat ng tinatanggap na tunay na halaga ng argumentong x kung saan ang function na y = f(x) ay tinukoy ay tinatawag na domain ng function. Ang hanay ng Y ng lahat ng tunay na halaga ng y na kinukuha ng isang function ay tinatawag na saklaw ng function. Ngayon ay maaari tayong magbigay ng mas tumpak na kahulugan ng isang function: ang panuntunan (batas) ng pagsusulatan sa pagitan ng mga set X at Y, ayon sa kung saan para sa bawat elemento mula sa set X, isa at isang elemento lamang mula sa set Y ang matatagpuan, ay tinatawag na a function. 
Ang isang function ay itinuturing na ibinigay kung: ang saklaw ng function X ay ibinigay; ang saklaw ng mga halaga ng function na Y ay ibinigay; ang panuntunan (batas) ng pagsusulatan ay kilala, at para sa bawat halaga ng argument ay isang halaga lamang ng function ang matatagpuan. Ang pangangailangang ito ng pagiging natatangi ng function ay sapilitan.
Limitado at walang limitasyong mga pag-andar. Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na | f(x) | M para sa lahat ng x value. Kung walang ganoong numero, ang function ay walang hangganan.
Kahit at kakaibang mga function. Kung para sa alinmang x mula sa domain ng function ang sumusunod ay mayroong: f (- x) = f (x), kung gayon ang function ay tinatawag na even; kung ito ay maganap: f (- x) = - f (x), kung gayon ang function ay tinatawag na kakaiba. Ang graph ng isang even function ay simetriko tungkol sa Y axis (Larawan 5), at ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan (Larawan 6). 
Pana-panahong pag-andar. Ang isang function na f (x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function, f (x + T) = f (x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang.
Ngunit ang pinakamahalagang pag-aari upang matutunan ang pag-andar sa mga pangunahing klase ay monotone.
Monotonic function. Kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 ang kundisyon x2 > x1 ay nagpapahiwatig ng f (x2) > f (x1), kung gayon ang function | f(x) | ay tinatawag na pagtaas; kung para sa alinmang x1 at x2 ang kundisyon x2 > x1 ay nagpapahiwatig ng f (x2)
2. Direkta at baligtad na proporsyonal na mga dependency.
2.1 Ang konsepto ng direktang proporsyonalidad.
Sa elementarya, ang pag-andar ay nagpapakita ng sarili sa anyo ng direkta at kabaligtaran na proporsyonal na mga dependency.
Direktang proporsyonalidad ay, una sa lahat, function, na maaaring ibigay gamit ang formula y=kx, kung saan ang k ay isang di-zero na tunay na numero. Ang pangalan ng function na y = kx ay nauugnay sa mga variable na x at y na nakapaloob sa formula na ito. Kung ang saloobin dalawang dami ay katumbas ng ilang numero maliban sa sero, pagkatapos ay tinatawag sila direktang proporsyonal.
K ay ang koepisyent ng proporsyonalidad.
Sa pangkalahatan, ang function na y=kx ay isang mathematical model ng maraming totoong sitwasyon na isinasaalang-alang sa paunang kurso ng matematika.
Halimbawa, sabihin natin na mayroong 2 kg ng harina sa isang pakete, at x ang mga naturang pakete ay binili, kung gayon ang buong masa ng biniling harina ay y. Ito ay maaaring isulat bilang isang pormula tulad nito: y=2x kung saan 2=k.
2.2 Mga katangian ng isang direktang proporsyonal na relasyon.
Ang direktang proporsyonalidad ay may ilang mga katangian:
Ang domain ng function na y=kx ay ang hanay ng mga tunay na numero R;
Ang isang graph ng direktang proporsyonalidad ay isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan;
Para sa k>0, ang function na y=kx ay tumataas sa buong domain ng kahulugan (para sa k
Kung ang function na f ay isang direktang proporsyonalidad, kung gayon ang (x1,y1),(x2,y2) ay mga pares ng katumbas na variable na x at y, kung saan ang x ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang x1/x2=y1/y2.
xilang beses na tumataas (bumababa) ang katumbas na positibong halaga ng y sa parehong halaga.
2.3 Ang konsepto ng inverse proportionality.
Inverse proportionality- Ito function, na maaaring ibigay gamit ang formula y=k/x, kung saan ang k ay isang di-zero na tunay na numero. Ang pangalan ng function na y = k/x ay nauugnay sa mga variable na x at y, ang produkto nito ay katumbas ng ilang tunay na numero na hindi katumbas ng zero.
Inverse Proportional Properties:
Ang domain ng kahulugan at ang saklaw ng function na y=k/x ay ang hanay ng mga tunay na numero R;
Ang graph ng direktang proporsyonalidad ay isang hyperbole;
Para sa k 0, ayon sa pagkakabanggit, ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, mga sanga - pababa)
Kung ang function na f ay inversely proportional, kung gayon ang (x1,y1),(x2,y2) ay mga pares ng katumbas na variable na x at y, kung saan ang x ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang x1/x2=y2/y1.
Kung ang mga halaga ng mga variablexatyay mga positibong tunay na numero, kung gayon
na may pagtaas (bumababa) na variablexilang beses na bumababa (tumataas) ang katumbas na halaga ng y sa parehong halaga.
Praktikal na bahagi
3.1 Mga functional na propaedeutics sa paunang kurso ng matematika
Ang konsepto ng functional dependence ay isa sa nangunguna sa matematikal na agham, kaya ang pagbuo ng konseptong ito sa mga mag-aaral ay isang mahalagang gawain sa may layuning aktibidad ng guro upang bumuo ng matematikal na pag-iisip at malikhaing aktibidad ng mga bata. Ang pag-unlad ng functional na pag-iisip ay nagsasaad, una sa lahat, ang pag-unlad ng kakayahang tumuklas ng mga bagong koneksyon, upang makabisado ang mga pangkalahatang diskarte at kasanayan sa pag-aaral.
Sa paunang kurso ng matematika, isang mahalagang papel ang dapat ibigay sa functional propaedeutics, na nagbibigay para sa paghahanda ng mga mag-aaral para sa pag-aaral ng mga sistematikong kurso sa algebra at geometry, at tinuturuan din sila sa dialectical na kalikasan ng pag-iisip, pag-unawa sa mga sanhi ng relasyon sa pagitan ng mga phenomena ng nakapaligid na katotohanan. Kaugnay nito, itatalaga namin ang mga pangunahing direksyon ng propaedeutic work sa paunang yugto ng pagtuturo ng paksa ayon sa programa ng L.G. Peterson:
Ang konsepto ng mga hanay, ang pagsusulatan ng mga elemento ng dalawang hanay at pag-andar. Pag-asa ng mga resulta ng mga operasyon ng aritmetika sa pagbabago ng mga bahagi.
Tabular, verbal, analytical, graphical na paraan ng pagtatakda ng function.
Linear dependency.
Coordinate system, una at pangalawang coordinate, ordered pair.
Paglutas ng pinakasimpleng pinagsama-samang mga problema: pag-compile at pagbibilang ng bilang ng mga posibleng permutasyon, mga subset ng mga elemento ng isang finite set..
Paggamit ng isang sistematikong enumeration ng mga natural na halaga ng isa at dalawang variable sa paglutas ng mga problema sa plot.
Pagpuno ng mga talahanayan na may mga kalkulasyon ng aritmetika, data mula sa mga kondisyon ng mga inilapat na problema. Pagpili ng data mula sa talahanayan ayon sa kundisyon.
Pag-asa sa pagitan ng mga proporsyonal na halaga; inilapat na pag-aaral ng kanilang mga graph.
Ang nilalaman ng paunang kurso ng matematika ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na makabuo ng ideya tungkol sa isa sa pinakamahalagang ideya ng matematika - ideya ng pagsang-ayon.Kapag nagsasagawa ng mga takdang-aralin para sa paghahanap ng mga halaga ng mga expression, pagpuno ng mga talahanayan, ang mga mag-aaral ay nagtatatag na ang bawat pares ng mga numero ay tumutugma sa hindi hihigit sa isang numero na nakuha bilang isang resulta. Gayunpaman, upang maunawaan ito, dapat suriin ang mga nilalaman ng mga talahanayan.
Gumawa ng lahat ng posibleng halimbawa ng pagdaragdag ng dalawang solong-digit na numero na may sagot na 12.
Kapag kinukumpleto ang gawaing ito, ang mga mag-aaral ay nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng dalawang hanay ng mga halaga ng termino. Ang itinatag na sulat ay isang function, dahil ang bawat halaga ng unang termino ay tumutugma sa isang solong halaga ng pangalawang termino sa isang pare-parehong kabuuan.
Mayroong 10 mansanas sa isang plorera. Ilang mansanas ang matitira kung 2 mansanas ang kukunin? 3 mansanas? 5 mansanas? Itala ang iyong solusyon sa talahanayan. Ano ang nakasalalay sa resulta? Ilang unit ang nababago nito? Bakit?
Ang problemang ito ay aktwal na nagpapakita ng pag-andar sa = 10 - X, kung saan ang variable X tumatagal ng mga halaga 2, 3, 5. Bilang resulta ng pagkumpleto ng gawaing ito, dapat tapusin ng mga mag-aaral: mas malaki ang subtrahend, mas maliit ang halaga ng pagkakaiba.
Ang ideya ng functional na sulat ay naroroon din sa mga pagsasanay ng form:
Ikonekta ang mga mathematical expression at ang kaukulang mga numerical value gamit ang isang arrow:
15 + 6 27 35
Panimula mga simbolo ng titik ay nagbibigay-daan sa iyo upang ipakilala sa mga mag-aaral ang pinakamahalagang konsepto ng modernong matematika - isang variable, isang equation, isang hindi pagkakapantay-pantay, na nag-aambag sa pag-unlad ng functional na pag-iisip, dahil ang ideya ng functional dependence ay malapit na nauugnay sa kanila. Kapag nagtatrabaho sa isang variable, napagtanto ng mga mag-aaral na ang mga titik na kasama sa expression ay maaaring kumuha ng iba't ibang mga numerical na halaga, at ang literal na expression mismo ay isang pangkalahatang notasyon ng mga numerical na expression.
Ang malaking kahalagahan ng propaedeutic ay ang karanasan ng mga mag-aaral na nakikipag-usap sa mga pagsasanay sa pagtatatag ng mga pattern sa mga numerical sequence at ang kanilang pagpapatuloy:
1, 2, 3, 4… (sa = X + 1)
1, 3, 5, 7… (sa= 2 X + 1)
konsepto dami, kasama ang konsepto ng numero, ay ang pangunahing konsepto ng paunang kurso ng matematika. Ang materyal ng seksyong ito ay ang pinakamayamang mapagkukunan para sa pagpapatupad ng hindi direktang functional propaedeutics. Una, ito ay ang pag-asa (inversely proportional) sa pagitan ng napiling yunit ng dami (sukat) at ang numerical na halaga nito (sukat) - mas malaki ang sukat, mas maliit ang bilang na nakuha bilang resulta ng pagsukat ng halaga sa panukalang ito. Samakatuwid, mahalaga na kapag nagtatrabaho sa bawat dami, ang mga mag-aaral ay nakakakuha ng karanasan sa pagsukat ng mga dami na may iba't ibang mga sukat upang sinasadyang pumili muna ng isang maginhawa, at pagkatapos ay isang solong sukat.
Pangalawa, kapag pinag-aaralan ang mga dami na nagpapakilala sa mga proseso ng paggalaw, trabaho, pagbili at pagbebenta, nabuo ang mga ideya tungkol sa ugnayan sa pagitan ng bilis, oras at distansya, presyo, dami at gastos sa proseso ng paglutas ng mga problema sa teksto ng mga sumusunod na uri - upang dalhin sa pagkakaisa (paghahanap ng ikaapat na proporsyonal), paghahanap ng hindi alam sa pamamagitan ng dalawang pagkakaiba, proporsyonal na dibisyon.
Ang partikular na kahirapan para sa mga mag-aaral ay ang pag-unawa sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na ito, dahil ang konsepto ng "proporsyonal na pag-asa" ay hindi paksa ng espesyal na pag-aaral at asimilasyon. Sa programa ng L.G. Ang pamamaraang ito ay nilulutas ni Peterson sa pamamagitan ng paggamit ng mga sumusunod na pamamaraan:
- Paglutas ng mga problema sa nawawalang data ("bukas" na kondisyon):
Ang Vasya ay 540 m mula sa bahay hanggang sa paaralan, at ang Pasha ay 480 m. Sino ang mas malapit na nakatira? Sino ang mas mabilis makarating doon?
Bumili si Sasha ng mga notebook para sa 30 rubles at mga lapis para sa 45 rubles. Anong mga bagay ang pinakaginastos niya? Anong mga item ang mas nabili niya?
Kapag sinusuri ang mga teksto ng mga gawaing ito, nalaman ng mga mag-aaral na kulang sila ng data at ang mga sagot sa mga tanong ay nakasalalay sa presyo at bilis.
- Ang pag-aayos ng mga kondisyon ng mga gawain hindi lamang sa isang talahanayan (tulad ng iminungkahi sa klasikal na pamamaraan), kundi pati na rin sa anyo ng isang diagram. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na "i-visualize" ang mga dependency na isinasaalang-alang sa problema. Kaya, kung ang mga gumagalaw na bagay ay sumasakop sa parehong distansya na 12 km sa iba't ibang oras (2 oras, 3 oras, 4 na oras, 6 na oras), pagkatapos gamit ang scheme, ang kabaligtaran na relasyon ay malinaw na binibigyang kahulugan - mas maraming bahagi (oras), mas maliit. bawat bahagi (bilis).
- Pagbabago ng isa sa data ng gawain at paghahambing ng mga resulta ng paglutas ng mga problema.
48 kg ng mansanas ang dinala sa kantina ng paaralan. Ilang mga kahon ang maaaring dalhin kung mayroong pantay na bilang ng mga mansanas sa lahat ng mga kahon?
Kumpletuhin ng mga mag-aaral ang kondisyon ng problema at ayusin ang ugnayan sa pagitan ng mga dami gamit ang iba't ibang paraan ng pagbubuo ng teoretikal na kaalaman - sa isang talahanayan, diagram at pasalita.
Narito ito ay kapaki-pakinabang na bigyang-pansin ang maramihang ratio ng mga dami na isinasaalang-alang - kung gaano karaming beses ang isa sa mga dami ay mas malaki, ang isa ay ang parehong bilang ng mga beses na mas malaki (mas mababa) na may pare-parehong pangatlo.
Sa elementarya, ang mga mag-aaral ay tahasang ipinakilala tabular, analytical, verbal, graphical na paraan ng pagtatakda ng mga function.
Kaya, halimbawa, ang ugnayan sa pagitan ng bilis, oras at distansya ay maaaring ipahayag bilang:
A) pasalita: "upang mahanap ang distansya, kailangan mong i-multiply ang bilis sa oras";
B) analitikal: s= v t;
C) talahanayan: v = 5 km / h
d) graphically (gamit ang isang coordinate beam o anggulo).
Isang graphical na paraan ng pagtukoy ng dependency sa pagitan ng v , t, s ay nagbibigay-daan sa iyo upang bumuo ng isang ideya ng bilis bilang isang pagbabago sa lokasyon ng isang gumagalaw na bagay sa bawat yunit ng oras (kasama ang karaniwang tinatanggap - bilang isang distansya na nilakbay bawat yunit ng oras) At isang paghahambing ng mga graph ng paggalaw ng dalawang katawan (independiyenteng gumagalaw sa bawat isa) ay nililinaw ang ideya ng bilis bilang isang dami na nagpapakilala sa bilis ng paggalaw.
Compound numeric expression(mayroon at walang panaklong), ang pagkalkula ng kanilang mga halaga ayon sa mga patakaran ng pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na mapagtanto na ang resulta ay nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon.
Ayusin ang mga bracket upang makuha mo ang tamang pagkakapantay-pantay.
20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26
Sa kurso ng L.G. Peterson, ang mga mag-aaral ay tahasang ipinakilala linear dependence, bilang isang espesyal na kaso ng isang function. Ang function na ito ay maaaring tukuyin ng isang formula ng form sa= kh + b, saan X- malayang variable, k at b- numero. Ang domain ng kahulugan nito ay ang set ng lahat ng tunay na numero.
Pagkatapos maglakbay ng 350 kilometro, ang tren ay nagsimulang gumalaw ng t oras sa bilis na 60 km/h. Ilang kilometro ang kabuuang nilakbay ng tren?(350 + 60 t)
Ang pagsasagawa ng mga gawain na may pinangalanang mga numero, alam ng mga mag-aaral ang pagtitiwala ang numerical na halaga ng mga dami mula sa paggamit ng iba't ibang mga yunit ng pagsukat.
Ang parehong segment ay sinukat muna sa sentimetro, pagkatapos ay sa mga decimeter. Sa unang kaso, nakakuha kami ng numerong 135 higit pa kaysa sa pangalawa. Ano ang haba ng segment sa sentimetro? (Pag-asa sa= 10 X)
Sa proseso ng pag-aaral ng paunang kurso ng matematika, ang mga mag-aaral ay bumubuo ng konsepto ng isang natural na serye ng mga numero, isang segment ng isang natural na serye, tinatanggap ang mga katangian ng isang natural na serye ng mga numero - infinity, orderliness, etc., form. ang ideya ng posibilidad ng isang walang limitasyong pagtaas sa isang natural na numero o isang pagbawas sa bahagi nito.
Sa kurso ng matematika sa mga baitang 3-4, binibigyang pansin ang pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano gamitin mga formula, ang kanilang independiyenteng konklusyon. Dito mahalaga na turuan ang mga mag-aaral na ipakita ang parehong impormasyon sa iba't ibang anyo - graphical at analytically, na nagbibigay sa mga mag-aaral ng karapatang pumili ng form alinsunod sa kanilang mga cognitive style.
Ang malaking interes sa mga mag-aaral ay ang mga gawain na nauugnay sa pagsusuri ng mga talahanayan ng mga variable na halaga, ang "pagtuklas" ng mga dependency sa pagitan nila at pagsulat sa anyo ng isang formula.
Kapag sinusuri ang mga numerong ipinakita sa talahanayan, madaling mapansin ng mga mag-aaral na ang mga numero sa unang hanay ay tumaas ng isa, ang mga numero sa pangalawang hanay ay tumaas ng apat. Ang gawain ng guro ay bigyang-pansin ang kaugnayan ng mga halaga ng mga variable a at b. Upang palakasin ang inilapat na oryentasyon ng edukasyon sa matematika, kinakailangan na "buhayin" ang sitwasyong ito, ilipat ito sa katayuan ng balangkas.
Upang mabuo ang kakayahan ng mga mag-aaral na kumuha ng mga pormula, kailangan mo silang turuan na isulat ang iba't ibang mga pahayag sa wikang matematika (sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay):
Ang isang panulat ay tatlong beses ang presyo ng isang lapis R = sa + 3);
Numero a kapag hinati sa 5 ay nagbibigay ng natitirang 2 ( a= 5 b + 2);
Ang haba ng parihaba ay 12 cm higit pa sa lapad ( a = b + 12).
Ang isang paunang kinakailangan ay ang talakayan ng mga posibleng pagpipilian para sa mga halaga ng mga dami na ito na may pagpuno sa naaangkop na mga talahanayan.
Isang espesyal na lugar sa kurso ng L.G. Si Peterson ay kumuha ng mga takdang-aralin na may kaugnayan sa pananaliksik sa matematika:
Isipin ang numero 16 bilang produkto ng dalawang salik sa magkaibang paraan. Para sa bawat pamamaraan, hanapin ang kabuuan ng mga salik. Sa anong kaso ka nakakuha ng pinakamaliit na halaga? Gawin din ang mga bilang 36 at 48. Ano ang hula?
Kapag nagsasagawa ng mga ganoong gawain (upang pag-aralan ang kaugnayan sa pagitan ng bilang ng mga sulok ng isang polygon at ang kabuuang halaga ng mga sukat ng antas ng mga anggulo, sa pagitan ng halaga ng perimeter ng mga figure ng iba't ibang mga hugis na may parehong lugar, atbp.), ang mga mag-aaral ay nagpapabuti ang kanilang mga kasanayan sa pagtatrabaho sa isang talahanayan, dahil ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa talahanayan. Bilang karagdagan, ang tabular na paraan ng pag-aayos ng solusyon ay ginagamit sa paglutas ng mga hindi pamantayang problema sa matematika sa pamamagitan ng paraan ng ordered enumeration o rational selection.
May 13 bata sa klase. Ang mga lalaki ay may kasing dami ng ngipin gaya ng mga babae sa daliri at paa. Ilang lalaki at ilang babae ang nasa klase? (Ang bawat batang lalaki ay may eksaktong 32 ngipin.)
Ang pagtuturo ng matematika ayon sa programa ng L.G. Binibigyan ni Peterson ang mga mag-aaral ng asimilasyon ng ugnayan sa pagitan ng mga resulta at mga bahagi ng mga operasyong aritmetika, nabuo ang isang ideya tungkol sa Ang "bilis" ng pagbabago ng resulta ng mga operasyon ng aritmetika depende sa pagbabago sa mga bahagi:
Mga Pagsasanay sa Komposisyon ng Numero;
Mga paraan ng pribadong pagkalkula (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 5 = 12 10: 2);
Pagsusuri ng kabuuan, pagkakaiba, produkto, kusyente.
Kapag nagsasagawa ng mga ganoong gawain, mahalagang ipakita ang impormasyong multisensory.
Paano magbabago ang kabuuan kung ang isang termino ay nadagdagan ng 10, at ang pangalawa ay nababawasan ng 5?
Paano magbabago ang lugar ng isang rektanggulo (o produkto ng dalawang numero) kung ang isa sa mga gilid (isa sa mga numero) ay nadagdagan ng 3?
Ang isang makabuluhang bahagi ng mga mag-aaral ay nagsasagawa ng mga katulad na gawain sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga partikular na halaga ng numero. Ang methodically literate sa sitwasyong ito ay graphically at analytically na magpapakahulugan sa kondisyon.
(a+ 3) · b = a· b+ 3 ·b
Ang konsepto ng function sa mataas na paaralan ay nauugnay sa sistema ng coordinate. Sa kurso ng L.G. Peterson ay naglalaman ng materyal para sa propaedeutic na gawain sa direksyong ito:
Numerical segment, numerical ray, coordinate ray;
Pythagorean table, mga coordinate sa eroplano (coordinate angle);
Mga tsart ng paggalaw;
Mga pie, column at line chart na biswal na kumakatawan sa ugnayan sa pagitan ng mga discrete value.
Kaya, ang pag-aaral ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, pagtaas at pagbaba ng bilang ng ilang mga yunit o ilang beses, ang ugnayan sa pagitan ng mga bahagi at ang mga resulta ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, paglutas ng mga problema para sa paghahanap ng ikaapat na proporsyonal, para sa koneksyon sa pagitan ng bilis, oras at distansya; presyo, dami at halaga; ang masa ng isang indibidwal na item, ang kanilang bilang at kabuuang masa; produktibidad ng paggawa, oras at trabaho; at iba pa, sa isang banda, pinagbabatayan ang pagbuo ng konsepto ng function, at sa kabilang banda, pinag-aaralan ang mga ito batay sa mga functional na konsepto. Dapat pansinin na ang graphic modeling ay may medyo malaking propaedeutic na halaga: graphic na interpretasyon ng pahayag ng problema, pagguhit, pagguhit, at higit pa. Ang impormasyong ipinakita sa graphical na anyo ay mas madaling maunawaan, malawak at sa halip ay may kondisyon, na idinisenyo upang magdala lamang ng impormasyon tungkol sa mga mahahalagang katangian ng bagay, upang mabuo ang mga graphic na kasanayan ng mga mag-aaral.
Bilang karagdagan, ang resulta ng propaedeutics ng functional dependence ay dapat na isang mataas na aktibidad ng pag-iisip ng mga mas batang mag-aaral, ang pag-unlad ng intelektwal, pangkalahatang paksa at tiyak na mga kasanayan at kakayahan sa matematika. Ang lahat ng ito ay lumilikha ng isang matatag na pundasyon hindi lamang para sa paglutas ng mga metodolohikal na problema ng elementarya na matematika - ang pagbuo ng mga kasanayan sa computational, ang kakayahang malutas ang mga problema sa teksto, atbp., kundi pati na rin para sa pagpapatupad ng pagbuo ng mga pagkakataon para sa nilalaman ng matematika at, hindi gaanong mahalaga, para sa matagumpay na pag-aaral ng mga tungkulin sa mataas na paaralan.
3.2 Paglutas ng mga problema para sa proporsyonal na umaasa na dami
Upang malutas ang isang problema ay nangangahulugan sa pamamagitan ng isang lohikal na tamang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon.
at mga operasyon na may tahasan o hindi direktang magagamit sa mga numero ng problema, dami,
relasyon upang matupad ang pangangailangan ng gawain (upang sagutin ang tanong nito).
Ang mga pangunahing sa matematika ay aritmetika at
algebraic mga paraan ng paglutas ng mga problema. Sa aritmetika paraan
ang sagot sa tanong ng problema ay matatagpuan bilang isang resulta ng pagsasagawa ng arithmetic
mga aksyon sa mga numero.
Ang iba't ibang mga pamamaraan ng aritmetika para sa paglutas ng parehong problema ay iba
mga relasyon sa pagitan ng data, data at hindi alam, data at kung ano ang hinahanap,
pinagbabatayan ng pagpili ng mga operasyong arithmetic, o isang pagkakasunud-sunod
paggamit ng mga ugnayang ito kapag pumipili ng mga aksyon.
Ang paglutas ng problema sa teksto sa paraang aritmetika ay isang kumplikadong aktibidad,
mapagpasyahan. Gayunpaman, maaari itong nahahati sa maraming yugto:
1. Pagdama at pagsusuri sa nilalaman ng gawain.
2. Maghanap at gumuhit ng isang plano para sa paglutas ng problema.
3. Pagpapatupad ng plano ng solusyon. Pagbubuo ng konklusyon sa katuparan ng pangangailangan
gawain (sagot sa tanong ng gawain).
4. Pagpapatunay ng solusyon at pag-aalis ng mga pagkakamali, kung mayroon man.
Mga problema para sa proporsyonal na paghahati ay ipinakilala sa iba't ibang paraan: maaari kang mag-alok
upang malutas ang isang nakahandang problema, o maaari mo munang isulat ito sa pamamagitan ng pagbabago ng problema
upang mahanap ang ikaapat na proporsyonal. Sa parehong mga kaso, ang tagumpay ng solusyon
ang mga problema para sa proporsyonal na paghahati ay matutukoy ng isang matatag na kakayahang malutas
problema ng paghahanap ng ikaapat na proporsyonal, samakatuwid, bilang
pagsasanay, ito ay kinakailangan upang magbigay para sa solusyon ng mga problema ng naaangkop na uri para sa paghahanap
ikaapat na proporsyonal. Iyon ang dahilan kung bakit mas gusto ang pangalawa.
pinangalanang mga opsyon para sa pagpapakilala ng mga problema para sa proporsyonal na dibisyon.
Ang paglipat sa paglutas ng mga nakahandang problema mula sa aklat-aralin, pati na rin ang mga problemang pinagsama-sama
guro, kabilang ang iba't ibang grupo ng mga dami, kailangan mo munang itatag kung ano
dami na tinutukoy sa gawain, pagkatapos ay isulat ang gawain nang maikli sa talahanayan,
na dati nang hinati ang tanong ng problema sa dalawang tanong, kung naglalaman ito ng salita
lahat. Ang desisyon, bilang panuntunan, ang mga mag-aaral ay gumaganap sa kanilang sarili, pagsusuri
isinasagawa lamang sa mga indibidwal na mag-aaral. Sa halip na isang maikling tala, maaari mong gawin
larawan. Halimbawa, kung ang problema ay nagsasalita tungkol sa mga piraso ng bagay, coils ng wire at
atbp., kung gayon maaari silang ilarawan bilang mga segment sa pamamagitan ng pagsulat ng kaukulang numerical
ang mga halaga ng mga dami na ito. Tandaan na hindi kinakailangang magsagawa ng maikling buod sa bawat pagkakataon.
record o pagguhit, kung ang mag-aaral, pagkatapos basahin ang problema, alam kung paano lutasin ito, kung gayon
hayaan siyang magpasya, at ang mga nahihirapan ay gagamit ng maikling tala o pagguhit
lutasin ang isang problema. Unti-unti, dapat na maging mas mahirap ang mga gawain sa pamamagitan ng pagpapakilala
karagdagang data (halimbawa: "Sa unang piraso mayroong 16 m ng bagay, at sa pangalawa
2 beses na mas kaunti.”) o sa pamamagitan ng pagtatanong (halimbawa: “Ilang metro
mayroon bang mas maraming bagay sa unang piraso kaysa sa pangalawa?).
Kapag pamilyar ka sa solusyon ng problema ng hindi katimbang na dibisyon, maaari kang pumunta
sa ibang paraan: lutasin muna ang mga nakahandang problema, at pagkatapos ay gumanap
pagbabago ng problema ng paghahanap ng ikaapat na proporsyonal sa problema ng
proporsyonal na paghahati at, pagkatapos malutas ang mga ito, ihambing ang parehong mga gawain sa kanilang sarili at
kanilang mga desisyon.
Ang paglalahat ng kakayahang malutas ang mga problema ng itinuturing na uri ay tinutulungan ng mga pagsasanay
kalikasang malikhain. Pangalanan natin ang ilan sa kanila.
Bago ito lutasin, kapaki-pakinabang na itanong kung alin sa mga tanong ng problema ang sasagutin sa sagot.
mas maraming bilang at bakit, at pagkatapos ng desisyon na suriin kung tumutugma ako sa species na ito
ang mga resultang numero, na magiging isa sa mga paraan upang suriin ang solusyon. Maaaring higit pa
alamin kung ang parehong mga numero ay maaaring makuha sa sagot at sa ilalim ng kung anong mga kondisyon.
Mga kapaki-pakinabang na pagsasanay para sa paghahanda ng mga problema ng mga mag-aaral sa kanilang kasunod na solusyon,
gayundin ang mga pagsasanay sa pagbabago ng gawain. Ito ay, una sa lahat, ang compilation
mga gawaing katulad ng mga nalutas. Kaya, pagkatapos malutas ang problema sa mga dami: presyo,
dami at gastos - iminumungkahi ang pag-iipon at paglutas ng isang katulad na problema sa
ang parehong dami o sa iba, tulad ng bilis, oras at distansya.
Ito ang pagsasama-sama ng mga gawain ayon sa kanilang solusyon, na nakasulat bilang hiwalay
mga aksyon, at sa anyo ng isang pagpapahayag, ito ay ang pagsasama-sama at solusyon ng mga problema ayon sa kanilang
maikling schematic notation
1 paraan:
X \u003d 15 * 30 / 8 \u003d 56 rubles 25 kopecks
2 paraan: ang halaga ng tela ay tumaas ng 15/8 beses, na nangangahulugan na ang pera ay babayaran ng 15/8 beses na higit pa
X \u003d 30 * 15/8 \u003d 56 rubles 25 kopecks
2. Isang maginoo ang tumawag ng karpintero at nag-utos na itayo ang bakuran. Binigyan niya siya ng 20 manggagawa at tinanong kung ilang araw sila magtatayo ng bakuran para sa kanya. Sumagot ang karpintero: sa loob ng 30 araw. At ang panginoon ay kailangang magtayo sa loob ng 5 araw, at para dito ay tinanong niya ang karpintero: gaano karaming mga tao ang kailangan mong magkaroon, upang maaari kang bumuo ng isang bakuran sa kanila sa loob ng 5 araw; at ang karpintero, na nalilito, ay nagtanong sa iyo, aritmetika: ilang tao ang kailangan niyang upahan upang magtayo ng isang bakuran sa loob ng 5 araw?
Isang hindi natapos na maikling kondisyon ang nakasulat sa pisara:
Opsyon ko: proporsyon
II opsyon: walang proporsyon
ako. 
II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 manggagawa
3. Kumuha sila ng 560 sundalo ng pagkain sa loob ng 7 buwan, at inutusan silang maglingkod sa loob ng 10 buwan, at nais nilang alisin ang mga tao sa kanilang sarili upang magkaroon ng sapat na pagkain sa loob ng 10 buwan. Ang tanong, ilang tao ang dapat bawasan?
lumang gawain.
Lutasin ang problemang ito nang walang proporsyon:
(Ang bilang ng mga buwan ay tumataas ng isang kadahilanan, na nangangahulugang ang bilang ng mga sundalo ay nababawasan ng isang kadahilanan.
560 - 392 = 168 (dapat bawasan ang mga sundalo)
Noong sinaunang panahon, para sa paglutas ng maraming uri ng mga problema, mayroong mga espesyal na patakaran para sa paglutas ng mga ito. Ang mga problema na pamilyar sa amin para sa direkta at kabaligtaran na proporsyonalidad, kung saan kinakailangan upang mahanap ang ikaapat sa pamamagitan ng tatlong halaga ng dalawang dami, ay tinawag na mga problema para sa "triple rule".
Kung para sa tatlong mga halaga, limang mga halaga ang ibinigay, at kinakailangan upang mahanap ang ikaanim, kung gayon ang panuntunan ay tinawag na "lima". Katulad nito, para sa apat na dami ay nagkaroon ng "rule of septenary". Ang mga gawain para sa paglalapat ng mga panuntunang ito ay tinatawag ding mga gawain para sa "komplikadong triple na panuntunan".
4.
Tatlong inahin ang nangitlog ng 3 sa loob ng 3 araw. Ilang itlog ang ilalagay ng 12 inahin sa loob ng 12 araw?
| Mga inahin | araw | itlog |
| 3 | 3 | 3 |
| 12 | 12 | X |
Kailangang malaman:
Ilang beses tumaas ang mga manok? (4 na beses)
Paano nagbago ang bilang ng mga itlog kung ang bilang ng mga araw ay hindi nagbago? (nadagdagan ng 4 na beses)
Ilang beses tumaas ang bilang ng mga araw? (4 na beses)
Paano nagbago ang bilang ng mga itlog? (nadagdagan ng 4 na beses)
X \u003d 3 * 4 * 4 \u003d 48 (itlog)
5
. Kung ang isang eskriba ay makakasulat ng 15 na mga sheet sa loob ng 8 araw, ilang mga eskriba ang kakailanganin upang magsulat ng 405 na mga sheet sa loob ng 9 na araw?
(Ang bilang ng mga eskriba ay tumataas mula sa pagdami ng mga sheet sa mga oras at bumababa
Mula sa pagdami ng araw ng trabaho 
(mga eskriba)).
Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong problema na may apat na dami.
6.
Para sa pag-iilaw sa 18 silid, 120 tonelada ng kerosene ang ginugol sa loob ng 48 araw, at 4 na lampara ang nasusunog sa bawat silid. Ilang araw ang tatagal ng 125 pounds ng kerosene kung 20 kwarto ang iluminado at 3 lamp ang ilawan sa bawat silid?
Ang bilang ng mga araw ng paggamit ng kerosene ay tumataas mula sa pagtaas ng dami ng kerosene sa
beses at mula sa pagbabawas ng mga lamp sa kalahati.
Bumababa ang bilang ng mga araw ng paggamit ng kerosene sa pagdami ng mga kwarto sa 20 beses.
X = 48 * * : = 60 (araw)
Sa wakas ay may X = 60. Nangangahulugan ito na ang 125 pounds ng kerosene ay sapat na para sa 60 araw.
Konklusyon
Ang sistemang metodolohikal para sa pag-aaral ng functional dependence sa elementarya, na binuo sa konteksto ng modular na edukasyon, ay isang integridad na binubuo ng ugnayan ng mga pangunahing bahagi (target, nilalaman, organisasyon, teknolohikal, diagnostic) at mga prinsipyo (modularity, mulat na pananaw, pagiging bukas, pokus ng edukasyon sa pag-unlad ng personalidad ng mag-aaral). , versatility ng methodological consulting).
Ang modular na diskarte ay isang paraan ng pagpapabuti ng proseso ng pag-aaral ng functional dependence sa mga mag-aaral sa elementarya, na nagpapahintulot sa: mga mag-aaral - upang makabisado ang sistema ng functional na kaalaman at mga pamamaraan ng pagkilos, praktikal (operational) na mga kasanayan; ang guro - upang bumuo ng kanilang pag-iisip sa matematika batay sa functional na materyal, upang linangin ang kalayaan sa pag-aaral.
Ang metodolohikal na suporta ng proseso ng pag-aaral ng mga pag-andar sa elementarya ay binuo batay sa mga modular na programa, na siyang batayan para sa pag-highlight ng mga pangunahing pattern na kinakailangan para sa pag-unawa sa paksa, matagumpay at kumpletong asimilasyon ng nilalaman ng materyal na pang-edukasyon, at ang pagtatamo ng mga mag-aaral ng matatag na kaalaman, kasanayan at kakayahan.
Bibliograpiya.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Teorya at kasanayan sa paglutas ng mga problema sa teksto: Proc. allowance para sa mga mag-aaral. mas mataas ped. aklat-aralin mga establisyimento. - M .: Publishing Center "Academy", 2002. -288 p.
Fridman L. M. Mathematics: Textbook para sa mga guro at mag-aaral ng mga unibersidad at kolehiyo ng pedagogical. - M .: School press, 2002. - 208s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Mga Batayan ng paunang kurso ng matematika: Proc. allowance para sa mga estudyante ped. uch - u ayon sa espesyal. “Ang pagtuturo sa mga unang baitang ay pangkalahatang edukasyon. paaralan" - M.: Enlightenment, 1998. - 320s.
Stoilova L.P. Mathematics: Textbook para sa mga mag-aaral. mas mataas Ped. aklat-aralin mga establisyimento. - M .: Publishing Center "Akakdemiya", 1999. - 424 p.
Pekhletsky I. D. Mathematics: Textbook. - 2nd stereotypical edition - M .: Publishing Center "Academy"; Mastery, 2002. – 304 p.
Kryuchkova V.V. Magtrabaho sa mga problema sa mga proporsyonal na halaga sa pagbuo ng mode: Gabay sa pamamaraan para sa mga guro sa simula. mga klase: Part 2 / Ryazan Regional Institute for the Development of Education. Ryazan, 1996. - 75s.
Padun T. A. Non-standard tasks in the course of elementary mathematics: Methodical. Inirerekomenda Upang matulungan ang mga guro sa elementarya / Ryaz. Rehiyon sa - t pag-unlad ng edukasyon. - Ryazan, 2003 - 85s.
Glazer G. I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan: IX - X na mga cell. Isang gabay para sa mga guro. - M.: Enlightenment, 1983. - 351 p., may sakit.
Dorofeev G.V. Humanitarian-oriented na kurso - ang batayan ng paksang "Mathematics" sa isang pangkalahatang paaralan ng edukasyon // Matematika sa paaralan. - 1997. - No. 4. - P.59-66, p. 59.
Mga aktwal na problema ng mga pamamaraan ng pagtuturo ng matematika sa elementarya. / Ed. M.I. Moro, A.M. Pyshkalo. - M.: Pedagogy, 1977. - 262 p.
Bantova M.A., Beltyukova G.V. Mga paraan ng pagtuturo ng matematika sa elementarya. - M.: Pedagogy, 1984. - 301 p.
Davydov V.V. Mathematics, grade 3: Isang aklat-aralin para sa isang 4 na taong elementarya. - M.: Publishing Center "Academy", 1998. - 212 p.
Moro M.I. at iba pa.Mathematics: Isang aklat-aralin para sa ika-3 baitang ng tatlong taong elementarya at ika-4 na baitang ng apat na taong elementarya. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Enlightenment, 1997. - 240 p.
Peterson L.G. Matematika, ika-3 baitang. Ch. 1, 2. Teksbuk para sa 4 na taong gulang na elementarya. - M.: Balass, 2001.
Ito ay isang sulat kung saan ang bawat elemento x mula sa set D, ayon sa ilang panuntunan, ay nauugnay sa isang tiyak na numero y, depende sa x. Notasyon: y = f(x) x y Independent variable o argument dependent variable o function value D(f) E(f) Domain ng function Domain ng function Numeric function na may domain D
Evenness ng isang function Ang isang function na y=f(x) ay tinatawag kahit na para sa anumang value x mula sa domain ng definition ang equality f(-x)=f(x) ay totoo. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na kakaiba kung para sa anumang halaga x mula sa domain ng kahulugan ang equality f(-x)=-f(x) ay totoo.
Monotonicity ng function (Pagtaas at pagbaba ng function) Ang function na y \u003d f (x) ay tinatawag na pagtaas sa set X є D (f), kung para sa anumang mga puntos x 1 at x 2 ng set X tulad na x 1 f (x 2) f (x 2)">
Paano mag-graph ng periodic function Kung ang function na y=f(x) ay may period T, pagkatapos ay para i-plot ang function graph, kailangan mo munang mag-plot ng branch (wave, part) ng graph sa anumang pagitan ng haba T, at pagkatapos ilipat ang sangay na ito sa kahabaan ng x axis sa kanan at kaliwa ng T, 2T, 3T, atbp.
Boundedness ng isang function Ang isang function na y=f(x) ay tinatawag na bounded mula sa ibaba sa set X є D(f) kung ang lahat ng mga value ng function na ito sa set X ay mas malaki kaysa sa isang tiyak na numero. (iyon ay, kung mayroong isang numero m na para sa anumang halaga x є X ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: f (x) > m. Ang function na y \u003d f (x) ay tinatawag na bounded mula sa itaas sa set X є D (f) kung ang lahat ng mga halaga ang function na ito sa set X ay mas mababa sa isang tiyak na numero (ibig sabihin, kung mayroong isang numero M na para sa anumang halaga x є X ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: f(x) m. Ang function na y =f(x) ay tinatawag na bounded mula sa itaas sa set X є D(f) kung ang lahat ng value ng function na ito sa set X ay mas mababa sa ilang numero (i.e., kung mayroong numerong M na para sa anumang halaga x є X ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: f(x)
Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function Ang bilang m ay tinatawag na pinakamaliit na halaga ng function na y \u003d f (x) sa set X є D (f), kung: 1) mayroong isang punto x o є X tulad na f (х o) \u003d m; 2) Para sa anumang halaga x є X, ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x)f(x o) ay nasiyahan. Ang numerong M ay tinatawag na pinakamalaking halaga ng function na y=f(x) sa set X є D(f) kung: na f(x o)=M; 2) Para sa anumang halaga x є X, ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) f (x o)
Convexity ng isang function Ang isang function ay convex paitaas sa pagitan ng X na may Dif) kung, sa pamamagitan ng pagkonekta ng alinmang dalawang punto ng graph nito sa abscissas mula sa X sa pamamagitan ng isang segment, nalaman namin na ang kaukulang bahagi ng graph ay nasa itaas ng iginuhit na segment. Itinuturing na ang isang function ay convex pababa sa pagitan ng X na may D(f) kung, sa pamamagitan ng pagkonekta ng alinmang dalawang punto ng graph nito sa abscissas mula sa X sa pamamagitan ng isang segment, nalaman namin na ang kaukulang bahagi ng graph ay nasa ibaba ng iginuhit segment
Ang continuity ng function Ang continuity ng function sa interval X ay nangangahulugan na ang graph ng function sa interval na ito ay walang break point (ibig sabihin, ito ay isang solidong linya). Magkomento. Sa katunayan, masasabi ng isa ang pagpapatuloy ng isang function kapag napatunayan na ang function ay tuloy-tuloy. Ngunit ang katumbas na kahulugan ay masalimuot at lampas sa ating lakas sa ngayon (ibibigay natin ito mamaya, sa § 26). Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa konsepto ng convexity. Samakatuwid, kapag tinatalakay ang dalawang katangian ng mga function na ito, sa ngayon ay patuloy tayong aasa sa mga visual-intuitive na representasyon.
Extremum point at function extremum. Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point ng function. Kahulugan. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function f kung para sa lahat ng x mula sa ilang kapitbahayan x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) f(x 0) ay nasiyahan. Kahulugan. Ang puntong x 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function f kung para sa lahat ng x mula sa ilang kapitbahayan x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) f(x 0) ay nasiyahan.
Scheme para sa pag-aaral ng function 1 - Domain ng kahulugan 2 - even (odd) 3 - ang pinakamaliit na positive period 4 - pagitan ng pagtaas at pagbaba 5 - point of extrema at extrema ng function 6 - boundedness ng function 7 - continuity ng function 8 - ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function 9 - Saklaw ng mga value 10 - convexity ng function
Numeric function tinatawag ang naturang sulat sa pagitan ng isang set ng numero X at marami R tunay na mga numero, kung saan ang bawat numero mula sa set X tumutugma sa isang solong numero mula sa isang set R. Isang grupo ng X tinawag saklaw ng function
. Ang mga function ay tinutukoy ng mga titik f, g, h atbp. Kung f ay isang function na tinukoy sa set X, pagkatapos ay ang tunay na numero y, naaayon sa bilang X kanilang karamihan X, madalas na tinutukoy f(x) at magsulat
y = f(x). variable X ay tinatawag na argumento. Ang hanay ng mga numero ng form f(x) tinawag saklaw ng pag-andar
Ang isang function ay tinukoy gamit ang isang formula. Halimbawa , y = 2X - 2. Kung, kapag tinutukoy ang isang function gamit ang isang formula, ang domain ng kahulugan nito ay hindi ipinahiwatig, pagkatapos ay ipinapalagay na ang saklaw ng function ay ang domain ng expression. f(x).
1. Tinatawag ang function monotonous sa ilang interval A, kung tumataas o bumababa ito sa interval na ito
2. Tinatawag ang function dumarami sa ilang pagitan A, kung para sa anumang mga numero sa kanilang set A ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan: .
Ang graph ng isang pagtaas ng function ay may isang tampok: kapag gumagalaw kasama ang abscissa axis mula kaliwa hanggang kanan kasama ang pagitan PERO tumaas ang mga ordinate ng mga graph point (Fig. 4).
3. Tinatawag ang function humihina sa ilang pagitan PERO, kung para sa anumang mga numero ang kanilang mga hanay PERO natupad ang kondisyon: .
Ang graph ng isang bumababa na function ay may isang tampok: kapag gumagalaw kasama ang abscissa axis mula kaliwa pakanan kasama ang pagitan PERO bumababa ang mga ordinate ng mga graph point (Larawan 4).
4. Tinatawag ang function kahit
sa ilang set X, kung ang kondisyon ay natugunan: 
.
Ang graph ng even function ay simetriko tungkol sa y-axis (Larawan 2).
5. Tinatawag ang function kakaiba
sa ilang set X, kung ang kondisyon ay natugunan: 
.
Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan (Larawan 2).
6. Kung function y = f(x)
f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamaliit na halaga
sa =f(x) sa X= x(Fig. 2, ang function ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga sa puntong may mga coordinate (0;0)).
7. Kung function y = f(x) ay tinukoy sa set X at mayroong umiiral na para sa anumang hindi pagkakapantay-pantay f(x) f(x), pagkatapos ay sinasabi namin na ang function y = f(x) tinatanggap pinakamataas na halaga sa =f(x) sa X= x(Fig. 4, ang function ay walang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga) .
Kung para sa function na ito y = f(x) pinag-aaralan lahat ng nakalistang properties, tapos sinasabi nila yan pag-aaral mga function.
Mga limitasyon.
Ang bilang A ay tinatawag na limitasyon ng f-ii dahil ang x ay may posibilidad na ∞ kung para sa alinmang E>0, mayroong δ (E)>0 na para sa lahat ng x ang hindi pagkakapantay-pantay |x|>δ ay natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay |F(x )-A| Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function dahil ang X ay may posibilidad na X 0 kung para sa alinmang E>0, mayroong δ (E)>0 na para sa lahat ng X≠X 0 ang hindi pagkakapantay-pantay |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| ONE-SIDED LIMITS. Kapag tinutukoy ang limitasyon, ang X na iyon ay may posibilidad na X0 sa isang arbitrary na paraan, iyon ay, mula sa anumang direksyon. Kapag ang X ay nasa X0, upang ito ay mas mababa sa X0 sa lahat ng oras, kung gayon ang limitasyon ay tinatawag na limitasyon sa puntong X0 sa kaliwa. O limitasyon sa kaliwang kamay. Ang limitasyon sa kanang kamay ay tinukoy nang katulad. Mga Seksyon:
Mathematics klase:
9
Uri ng aralin: Aralin ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman. Kagamitan: Nasasabi ang layunin ng aralin. Sinusuri ang takdang-aralin 1. Pangharap na survey. 2. Blitz survey: markahan sa pisara ang tamang sagot sa pagsusulit (Appendix 1, pp. 2-3). Gumagawa ng mga pagsasanay. 1. Lutasin ang Blg. 358 (a). Lutasin nang grapiko ang equation: . 2. Mga kard (apat na mahihinang estudyante ang magpapasya sa isang kuwaderno o sa pisara): 1) Hanapin ang halaga ng expression: a); b) 2) Hanapin ang domain ng kahulugan ng mga function: a) ; b) y = . 3. Lutasin ang Blg. 358 (a). Lutasin nang grapiko ang equation: .
Isang estudyante ang nagsosolve sa pisara, ang natitira sa isang notebook. Kung kinakailangan, tinutulungan ng guro ang mag-aaral. Isang rectangular coordinate system ang binuo sa interactive na whiteboard gamit ang AutoGraph program. Ang mag-aaral ay gumuhit ng kaukulang mga graph na may marker, humanap ng solusyon, isulat ang sagot. Pagkatapos ay susuriin ang gawain: ang isang formula ay ipinasok gamit ang keyboard, at ang graph ay dapat tumugma sa isa na iginuhit sa parehong coordinate system. Ang abscissa ng intersection ng mga graph ay ang ugat ng equation. Desisyon: Sagot: 8 Lutasin ang #360(a). I-plot at basahin ang graph ng function: Kumpletuhin ng mga mag-aaral ang gawain nang mag-isa. Ang pagtatayo ng graph ay sinusuri gamit ang programang "AutoGraph", ang mga katangian ay isinulat sa board ng isang mag-aaral (domain, range, parity, monotonicity, continuity, zero at constant sign, ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ). Desisyon: Ari-arian: 1) D( f) = (-); E( f) = , tumataas ng )
Sa panahon ng mga klase
1. Organisasyon sandali
Yugto ako ng aralin
II yugto ng aralin
III yugto ng aralin
.
