Maaaring magsimula ang aralin sa kwento ng guro.

Vashchenko N.M., sa aralin

Sa sinaunang Greece, ang lahat ng mga mananalumpati ay tinuruan ng geometry. Sa pintuan ng paaralan ay nakasulat: "Siya na hindi nakakaalam ng geometry, hayaan siyang huwag pumasok dito." Bakit? Oo, dahil ang geometry ay nagtuturo upang patunayan. Ang pananalita ng isang tao ay nakakumbinsi lamang kapag pinatunayan niya ang kanyang mga konklusyon. Sa kanilang pangangatwiran, madalas na ginagamit ng mga tao ang paraan ng patunay, na tinatawag na "sa pamamagitan ng kontradiksyon".

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng gayong mga patunay.

Halimbawa 1 Ang mga scout ay binigyan ng gawain na alamin kung mayroong isang haligi ng tangke ng kaaway sa ibinigay na nayon. Ang komandante ng reconnaissance ay nag-uulat: kung mayroong isang haligi ng tangke sa nayon, magkakaroon ng mga bakas ng mga uod, ngunit hindi namin sila nakita.

Iskema ng pangangatwiran. Kinakailangang patunayan: walang kolum. Kumbaga may column. Pagkatapos ay dapat may mga bakas. Contradiction - walang bakas. Konklusyon: ang palagay ay hindi tama, na nangangahulugan na walang haligi ng tangke.

Halimbawa 2 Ang doktor pagkatapos suriin ang isang may sakit na bata ay nagsabi:

“Walang tigdas ang bata. Kung siya ay nagkaroon ng tigdas, pagkatapos ay magkakaroon ng isang pantal sa kanyang katawan, ngunit walang pantal."

Ang pangangatuwiran ng doktor ay isinagawa din ayon sa pamamaraan sa itaas.

Ang tanong ay tinanong: "Ano ang kakanyahan ng paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon?" - at isang talahanayan ay nai-post (Talahanayan 5).

Sa pamamagitan ng pagkakasalungatan posible na malutas ang mga dating kilalang problema.

1. Ibinigay: a||b, mga linya c at isang intersect. Patunayan: magkasalubong ang mga linyang c at b.

Patunay.

1) Ipagpalagay na b||c.

2) Pagkatapos ay lumabas na ang dalawang magkaibang linya a at b ay dumadaan sa puntong O (ang punto ng intersection ng mga linya a at c), na kahanay ng linya b.

3) Ito ay sumasalungat sa axiom ng parallel lines.

Konklusyon: nangangahulugan ito na mali ang ating pag-aakala, ngunit ang hinihiling na patunayan ay totoo, ibig sabihin, na ang mga linya ay nagsalubong.

2. Ibinigay: A, B, C - mga punto ng linya a, AB = 5 cm, AC = 2 cm, BC = 7 cm. Patunayan:

Patunay.

1) Ipagpalagay na ang punto C ay nasa pagitan ng mga punto A at B.

2) Pagkatapos, ayon sa axiom ng pagsukat ng mga segment AB = AC + CBA

3) Ito ay sumasalungat sa kundisyon: AB \u003d AC + CB, dahil AB \u003d 5 cm, AC + C5 \u003d 9 cm.

Konklusyon: Ang punto C ay hindi nasa pagitan ng mga punto A at B.

3. Ibinigay: AB - kalahating linya, C AB, AC< АВ. Patunayan:

Patunay.

1) Ipagpalagay na ang punto B ay nasa pagitan ng mga punto A at C.

2) Pagkatapos, ayon sa axiom ng pagsukat ng mga segment AB + BC = AC, i.e. AB

3) Ito ay sumasalungat sa kalagayan ng problema: AS<АВ.

Konklusyon: Ang punto B ay hindi nasa pagitan ng mga punto A at C.

Ang paglutas ng problema ay nakasulat sa mga notebook. Upang matutunan ng mga mag-aaral ang kakanyahan ng paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng pagkakasalungatan, pati na rin upang makatipid ng oras sa paglutas ng mga problema, maaari kang gumamit ng mga hint card na gawa sa makapal na papel at ipinasok sa mga plastic bag. Dapat punan ng estudyante ang mga nawawalang lugar sa plastic wrap. Ang mga tape record ay madaling mabura, at samakatuwid ang mga card ay maaaring gamitin nang paulit-ulit.

Ang card ay mukhang:

Ipagpalagay ang kabaligtaran ng kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan, i.e.

Ito ay sumusunod mula sa pagpapalagay na (batay sa ……

Nakakakuha tayo ng kontradiksyon.

Nangangahulugan ito na ang aming palagay ay mali, ngunit kung ano ang kinakailangan upang mapatunayan ay totoo, i.e.

Takdang aralin:

n. "Patunay sa pamamagitan ng pagsalungat" § 2 sa mga salitang: "Ipaliwanag natin ito ...".

1. Patunayan na kung MN = 8 m, MK = 5 m, NK- 10 m, kung gayon ang mga puntong M, N at K ay hindi nakahiga sa isang tuwid na linya.

2. Patunayan na kung<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Patunayan ang Theorem 1.1 sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Kadalasan kapag nagpapatunay ng mga theorems, ang paraan ng patunay ay ginagamit. salungat. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakakatulong upang maunawaan ang bugtong. Subukang lutasin ito.

Isipin ang isang bansa kung saan ang isang taong hinatulan ng kamatayan ay hiniling na pumili ng isa sa dalawang magkatulad na hitsura na mga papel: ang isa ay nagsasabing "kamatayan", ang isa ay nagsasabing "buhay". Sinisiraan ng mga kaaway ang isang naninirahan sa bansang ito. At upang wala siyang pagkakataong makatakas, ginawa nila ito na sa likod ng magkabilang piraso ng papel, kung saan dapat siyang pumili ng isa, nakasulat ang "kamatayan". Nalaman ito ng mga kaibigan at ipinaalam sa convict. Hiniling niya na huwag sabihin kahit kanino ang tungkol dito. Inilabas ang isa sa mga papel. At nanatili upang mabuhay. Paano niya ito nagawa?

Sagot. Nilunok ng convict ang pinili niyang piraso ng papel. Upang matukoy kung aling lot ang nahulog sa kanya, tiningnan ng mga hukom ang natitirang piraso ng papel. Nakasulat dito: "kamatayan." Pinatunayan nito na siya ay masuwerte, naglabas siya ng isang papel na may nakasulat na: "buhay."

Tulad ng kaso na sinasabi ng bugtong, dalawang kaso lamang ang posible sa panahon ng patunay: posible ... o imposible ... Kung maaari mong tiyakin na ang una ay imposible (sa piraso ng papel na ang nakuha ng mga hukom, nakasulat: "kamatayan"), pagkatapos ay maaari nating tapusin kaagad na ang pangalawang posibilidad ay wasto (sa pangalawang piraso ng papel ay nakasulat: "buhay").

Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay isinasagawa tulad ng sumusunod.

1) Itatag kung anong mga opsyon ang sa prinsipyong posible kapag nilutas ang isang problema o nagpapatunay ng isang teorama. Maaaring mayroong dalawang opsyon (halimbawa, kung ang mga linyang isinasaalang-alang ay patayo o hindi); Maaaring mayroong tatlo o higit pang mga pagpipilian sa sagot (halimbawa, kung anong anggulo ang nakuha: acute, straight o obtuse).

2) Patunayan. Na wala sa mga opsyon na kailangan nating tanggihan ang maisasagawa. (Halimbawa, kung kinakailangan upang patunayan na ang mga linya ay patayo, tinitingnan namin kung ano ang mangyayari kung isasaalang-alang namin ang mga hindi patayo na linya. Bilang isang patakaran, posible na itatag na sa kasong ito ang alinman sa mga konklusyon ay sumasalungat sa kung ano ang ibinigay sa kondisyon, at samakatuwid ay imposible.

3) Batay sa katotohanan na ang lahat ng hindi kanais-nais na konklusyon ay itinapon at isa lamang (kanais-nais) ang nananatiling hindi isinasaalang-alang, napagpasyahan namin na siya ang tama.

Solusyonan natin ang problema gamit ang proof by contradiction.

Ibinigay: ang mga linyang a at b ay tulad na ang anumang linya na nagsalubong sa a ay nagsalubong din b.

Gamit ang paraan ng patunay "sa pamamagitan ng kontradiksyon", patunayan na ang isang ll b.

Patunay.

Dalawang kaso lamang ang posible:

1) ang mga linya a at b ay parallel (buhay);

2) ang mga linya a at b ay hindi magkatulad (kamatayan).

Kung posible na ibukod ang hindi kanais-nais na kaso, pagkatapos ay nananatiling tapusin na ang pangalawa sa dalawang posibleng mga kaso ay magaganap. Upang itapon ang hindi kanais-nais na kaso, isipin natin kung ano ang mangyayari kung ang mga linya a at b ay magsalubong:

Sa pamamagitan ng pag-aakalang, anumang linya na nag-intersect sa a ay nag-intersect din b. Samakatuwid, kung posible na makahanap ng hindi bababa sa isang linya na nagsa-intersect sa a ngunit hindi nagsa-intersect sa b, ang kasong ito ay dapat na itapon. Makakahanap ka ng maraming mga linya na gusto mo: sapat na upang gumuhit sa anumang punto ng K ng linya a, maliban sa puntong M, ang linyang KS na kahanay ng b:

Dahil ang isa sa dalawang posibleng kaso ay itinapon, agad na makapag-conclude anong ll b.

May tanong ka ba? Hindi alam kung paano patunayan ang isang teorama?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ang patunay na "mula sa kabaligtaran" (sa Latin na "reductio ad absurdum") ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na ang mismong proseso ng pagpapatunay ng isang opinyon ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapabulaanan sa kabaligtaran na paghatol. Ang isang antithesis ay maaaring mapatunayang mali sa pamamagitan ng pagtatatag ng katotohanan na ito ay hindi tugma sa isang tunay na panukala.

Karaniwan ang ganitong paraan ay biswal na ipinapakita gamit ang isang formula kung saan ang A ay ang antithesis at ang B ay ang katotohanan. Kung ang solusyon ay lumabas na ang presensya ng variable A ay humahantong sa mga resulta na naiiba sa B, kung gayon ang A ay napatunayang mali.

Patunay "sa pamamagitan ng kontradiksyon" nang walang paggamit ng katotohanan

Mayroon ding mas madaling patunay ng kasinungalingan ng "kabaligtaran" - ang antithesis. Ang nasabing formula-rule ay nagsasabi: "Kung ang isang kontradiksyon ay lumitaw sa formula kapag ang paglutas sa variable A, A ay mali." Hindi mahalaga kung negatibo o apirmatibo ang antithesis. Bilang karagdagan, ang isang mas simpleng paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay naglalaman lamang ng dalawang katotohanan: ang thesis at antithesis, ang katotohanan B ay hindi ginagamit. Ito ay lubos na pinasimple ang proseso ng patunay.

Apagogue

Sa proseso ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon (na tinatawag ding "reduction to absurdity"), madalas na ginagamit ang apagogy. Ito ay isang lohikal na pamamaraan, ang layunin nito ay patunayan ang kamalian ng anumang paghatol upang ang isang kontradiksyon ay maihayag nang direkta dito o sa mga kahihinatnan na nagmumula dito. Ang kontradiksyon ay maaaring ipahayag sa pagkakakilanlan ng malinaw na magkakaibang mga bagay o bilang mga konklusyon: conjunction o pares B at hindi B (totoo at hindi totoo).

Ang pagtanggap ng ebidensya "sa pamamagitan ng kontradiksyon" ay kadalasang ginagamit. Sa maraming mga kaso, hindi posible na patunayan ang hindi tama ng isang paghatol sa anumang iba pang paraan. Bilang karagdagan sa apagogy, mayroon ding isang paradoxical na anyo ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ginamit ang form na ito sa "Mga Elemento" ni Euclid at kumakatawan sa sumusunod na panuntunan: Ang A ay itinuturing na napatunayan kung posible na ipakita ang "tunay na kasinungalingan" ng A.

Kaya, ang proseso ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon (tinatawag din itong hindi direkta at apogogical na ebidensya) ay ang mga sumusunod. Ang isang kabaligtaran na opinyon ay iniharap, ang mga kahihinatnan ay deduced mula sa antithesis na ito, kung saan ang mali ay hinahanap. Nakahanap sila ng katibayan na kabilang sa mga kahihinatnan ay mayroon ngang mali. Mula dito ay napaghihinuha na ang antithesis ay mali, at dahil ang antithesis ay mali, ang lohikal na konklusyon ay sumusunod na ang katotohanan ay nakapaloob sa thesis.

Tinutukoy ng Explanatory Dictionary of Mathematical Terms ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ng isang theorem na kabaligtaran ng inverse theorem. "Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay isang paraan ng pagpapatunay ng isang teorem (pangungusap), na binubuo sa pagpapatunay hindi ang teorem mismo, ngunit ang katumbas nito (katumbas), kabaligtaran na kabaligtaran (reverse to opposite) theorem. Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay ginagamit kapag ang direktang teorama ay mahirap patunayan, ngunit ang kabaligtaran ay mas madali. Kapag nagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, ang konklusyon ng teorama ay pinalitan ng negasyon nito, at sa pamamagitan ng pangangatwiran ay dumating ang isa sa negasyon ng kondisyon, i.e. sa isang kontradiksyon, sa kabaligtaran (kabaligtaran sa kung ano ang ibinigay; ang pagbawas na ito sa kahangalan ay nagpapatunay sa teorama.

Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay kadalasang ginagamit sa matematika. Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay batay sa batas ng ibinukod na gitna, na binubuo sa katotohanan na sa dalawang pahayag (mga pahayag) A at A (negasyon ng A), ang isa sa kanila ay totoo at ang isa ay mali./ Paliwanag na diksyunaryo ng mga termino sa matematika: Isang gabay para sa mga guro / O. V. Manturov [at iba pa]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.

Hindi mas mabuting ipahayag nang lantaran na ang paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay hindi isang pamamaraang matematikal, bagama't ginagamit ito sa matematika, na ito ay isang lohikal na pamamaraan at nabibilang sa lohika. Wasto bang sabihin na ang proof by contradiction ay "ginagamit tuwing mahirap patunayan ang isang direktang teorama", kung sa katunayan ito ay ginagamit kung, at kung, walang kapalit para dito.

Ang katangian ng ugnayan sa pagitan ng direkta at kabaligtaran na mga theorems ay nararapat ding espesyal na pansin. "Ang isang kabaligtaran na teorama para sa isang ibinigay na teorem (o sa isang ibinigay na teorem) ay isang teorem kung saan ang kundisyon ay ang konklusyon, at ang konklusyon ay ang kondisyon ng ibinigay na teorem. Ang theorem na ito na may kaugnayan sa converse theorem ay tinatawag na direct theorem (initial). Kasabay nito, ang converse theorem sa converse theorem ay ang ibinigay na theorem; samakatuwid, ang direkta at kabaligtaran theorems ay tinatawag na mutually inverse. Kung ang direktang (ibinigay) na teorama ay totoo, kung gayon ang kabaligtaran na teorama ay hindi palaging totoo. Halimbawa, kung ang isang quadrilateral ay isang rhombus, kung gayon ang mga dayagonal nito ay magkaparehong patayo (direktang teorem). Kung ang mga diagonal sa isang quadrilateral ay magkaparehong patayo, kung gayon ang quadrilateral ay isang rhombus - hindi ito totoo, ibig sabihin, ang converse theorem ay hindi totoo./ Paliwanag na diksyunaryo ng mga termino sa matematika: Isang gabay para sa mga guro / O. V. Manturov [at iba pa]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.

Ang paglalarawang ito ng relasyon sa pagitan ng direkta at kabaligtaran na mga theorems ay hindi isinasaalang-alang ang katotohanan na ang kondisyon ng direktang teorama ay kinuha bilang ibinigay, nang walang patunay, upang ang kawastuhan nito ay hindi ginagarantiyahan. Ang kondisyon ng inverse theorem ay hindi kinuha bilang ibinigay, dahil ito ang konklusyon ng napatunayang direktang teorama. Ang kawastuhan nito ay nakumpirma ng patunay ng direktang teorama. Ang mahalagang lohikal na pagkakaiba sa pagitan ng mga kondisyon ng direkta at kabaligtaran na mga teorema ay lumalabas na mapagpasyahan sa tanong kung aling mga teorema ang maaari at kung alin ang hindi mapapatunayan ng lohikal na pamamaraan mula sa kabaligtaran.

Ipagpalagay natin na mayroong isang direktang teorama sa isip, na maaaring patunayan ng karaniwang pamamaraan ng matematika, ngunit ito ay mahirap. Binubalangkas namin ito sa isang pangkalahatang anyo sa isang maikling anyo tulad ng sumusunod: mula sa PERO dapat E . Simbolo PERO ay may halaga ng ibinigay na kondisyon ng theorem, tinatanggap nang walang patunay. Simbolo E ay ang konklusyon ng theorem na patunayan.

Patunayan natin ang direktang teorama sa pamamagitan ng kontradiksyon, lohikal paraan. Ang lohikal na pamamaraan ay nagpapatunay ng isang teorama na mayroon hindi mathematical kondisyon, at lohikal kundisyon. Ito ay maaaring makuha kung ang mathematical na kondisyon ng theorem mula sa PERO dapat E , suplemento na may kabaligtaran na kondisyon mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E .

Bilang isang resulta, ang isang lohikal na magkasalungat na kondisyon ng bagong teorama ay nakuha, na kinabibilangan ng dalawang bahagi: mula sa PERO dapat E at mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E . Ang resultang kondisyon ng bagong teorama ay tumutugma sa lohikal na batas ng ibinukod na gitna at tumutugma sa patunay ng theorem sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Ayon sa batas, ang isang bahagi ng magkasalungat na kondisyon ay mali, ang isa pang bahagi ay totoo, at ang pangatlo ay hindi kasama. Ang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon ay may sariling gawain at layunin na itatag kung aling bahagi ng dalawang bahagi ng kondisyon ng teorama ang mali. Sa sandaling matukoy ang maling bahagi ng kundisyon, matutukoy na ang kabilang bahagi ay ang tunay na bahagi, at ang pangatlo ay hindi kasama.

Ayon sa paliwanag na diksyunaryo ng mga termino sa matematika, "Ang patunay ay pangangatwiran, kung saan ang katotohanan o kamalian ng anumang pahayag (paghatol, pahayag, teorama) ay itinatag". Patunay salungat mayroong isang talakayan sa kurso kung saan ito itinatag kasinungalingan(absurdity) ng konklusyon na sumusunod mula sa mali kundisyon ng theorem na pinatutunayan.

Ibinigay: mula sa PERO dapat E at mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E .

Patunayan: mula sa PERO dapat E .

Patunay: Ang lohikal na kondisyon ng theorem ay naglalaman ng kontradiksyon na nangangailangan ng paglutas nito. Ang kontradiksyon ng kondisyon ay dapat mahanap ang resolusyon nito sa patunay at resulta nito. Ang resulta ay lumalabas na mali kung ang pangangatwiran ay walang kamali-mali at hindi nagkakamali. Ang dahilan para sa isang maling konklusyon na may lohikal na tamang pangangatwiran ay maaari lamang maging isang magkasalungat na kondisyon: mula sa PERO dapat E at mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E .

Walang anino ng pagdududa na ang isang bahagi ng kundisyon ay mali, at ang isa pa sa kasong ito ay totoo. Ang parehong mga bahagi ng kondisyon ay may parehong pinagmulan, tinatanggap bilang ibinigay, ipinapalagay, pantay na posible, pantay na tinatanggap, atbp. Sa kurso ng lohikal na pangangatwiran, walang isang solong lohikal na tampok ang natagpuan na makilala ang isang bahagi ng kondisyon mula sa iba pa. Samakatuwid, sa parehong lawak, mula sa PERO dapat E At siguro mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E . Pahayag mula sa PERO dapat E maaaring mali, pagkatapos ay ang pahayag mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E magiging totoo. Pahayag mula sa PERO Huwag mong gawin iyan E maaaring mali, pagkatapos ay ang pahayag mula sa PERO dapat E magiging totoo.

Samakatuwid, imposibleng patunayan ang direktang teorama sa pamamagitan ng paraan ng kontradiksyon.

Ngayon ay patunayan natin ang parehong direktang teorama sa pamamagitan ng karaniwang pamamaraan ng matematika.

Ibinigay: PERO .

Patunayan: mula sa PERO dapat E .

Patunay.

1. Mula sa PERO dapat B

2. Mula sa B dapat AT (ayon sa naunang napatunayang teorama)).

3. Mula sa AT dapat G (ayon sa naunang napatunayang teorama).

4. Mula sa G dapat D (ayon sa naunang napatunayang teorama).

5. Mula sa D dapat E (ayon sa naunang napatunayang teorama).

Batay sa batas ng transitivity, mula sa PERO dapat E . Ang direktang teorama ay pinatutunayan ng karaniwang pamamaraan.

Hayaang magkaroon ng tamang converse theorem ang proven direct theorem: mula sa E dapat PERO .

Patunayan natin ito sa pamamagitan ng karaniwan mathematical paraan. Ang patunay ng inverse theorem ay maaaring ipahayag sa simbolikong anyo bilang isang algorithm ng mga pagpapatakbo ng matematika.

Ibinigay: E

Patunayan: mula sa E dapat PERO .

Patunay.

!. Mula sa E dapat D

1. Mula sa D dapat G (sa pamamagitan ng dati nang napatunayang inverse theorem).

2. Mula sa G dapat AT (sa pamamagitan ng dati nang napatunayang inverse theorem).

3. Mula sa AT Huwag mong gawin iyan B (hindi totoo ang kabaligtaran). kaya lang mula sa B Huwag mong gawin iyan PERO .

Sa sitwasyong ito, walang saysay na ipagpatuloy ang mathematical proof ng inverse theorem. Ang dahilan para sa sitwasyon ay lohikal. Imposibleng palitan ang isang maling inverse theorem ng kahit ano. Samakatuwid, ang kabaligtaran na teorama na ito ay hindi maaaring patunayan ng karaniwang pamamaraan ng matematika. Ang lahat ng pag-asa ay upang patunayan ang kabaligtaran na teorama sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Upang mapatunayan ito sa pamamagitan ng kontradiksyon, kinakailangan na palitan ang kondisyong pangmatematika nito ng isang lohikal na magkasalungat na kondisyon, na sa kahulugan nito ay naglalaman ng dalawang bahagi - mali at totoo.

Inverse theorem mga claim: mula sa E Huwag mong gawin iyan PERO . Ang kalagayan niya E , kung saan sumusunod ang konklusyon PERO , ay ang resulta ng pagpapatunay ng direktang teorama sa pamamagitan ng karaniwang pamamaraang matematikal. Ang kundisyong ito ay dapat panatilihin at dagdagan ng pahayag mula sa E dapat PERO . Bilang resulta ng pagdaragdag, ang isang magkasalungat na kondisyon ng bagong inverse theorem ay nakuha: mula sa E dapat PERO at mula sa E Huwag mong gawin iyan PERO . Batay sa mga ito lohikal magkasalungat na kondisyon, ang converse theorem ay maaaring patunayan ng tama lohikal pangangatwiran lamang, at lamang, lohikal kabaligtaran na pamamaraan. Sa isang patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, ang anumang mga aksyon at operasyon sa matematika ay nasa ilalim ng mga lohikal at samakatuwid ay hindi binibilang.

Sa unang bahagi ng magkasalungat na pahayag mula sa E dapat PERO kundisyon E ay pinatunayan ng patunay ng direktang teorama. Sa ikalawang bahagi mula sa E Huwag mong gawin iyan PERO kundisyon E ay ipinapalagay at tinanggap nang walang patunay. Ang isa sa kanila ay mali at ang isa ay totoo. Kinakailangang patunayan kung alin sa kanila ang hindi totoo.

Patunayan namin sa tama lohikal pangangatwiran at nalaman na ang resulta nito ay isang mali, walang katotohanang konklusyon. Ang dahilan para sa isang maling lohikal na konklusyon ay ang magkasalungat na lohikal na kondisyon ng teorama, na naglalaman ng dalawang bahagi - mali at totoo. Ang maling bahagi ay maaari lamang maging isang pahayag mula sa E Huwag mong gawin iyan PERO , kung saan E tinanggap nang walang patunay. Ito ang pinagkaiba nito E mga pahayag mula sa E dapat PERO , na pinatunayan ng patunay ng direktang teorama.

Samakatuwid, ang pahayag ay totoo: mula sa E dapat PERO , na dapat patunayan.

Konklusyon: tanging ang converse theorem ay pinatutunayan ng lohikal na pamamaraan mula sa kabaligtaran, na may direktang teorama na pinatunayan ng pamamaraang matematika at hindi mapapatunayan ng pamamaraang matematika.

Ang konklusyon na nakuha ay nakakakuha ng isang pambihirang kahalagahan na may kaugnayan sa paraan ng patunay sa pamamagitan ng pagkakasalungatan ng mahusay na teorama ni Fermat. Ang napakalaking karamihan ng mga pagtatangka na patunayan ito ay hindi nakabatay sa karaniwang pamamaraan ng matematika, ngunit sa lohikal na paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ang patunay ng Great Theorem ni Fermat Wiles ay walang pagbubukod.

Sa madaling salita, iminungkahi ni Gerhard Frey na ang equation ng Fermat's Last Theorem x n + y n = z n , saan n > 2 , ay may mga solusyon sa mga positibong integer. Ang parehong mga solusyon ay, sa pamamagitan ng palagay ni Frey, ang mga solusyon ng kanyang equation
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , na ibinibigay ng elliptic curve nito.

Tinanggap ni Andrew Wiles ang kahanga-hangang pagtuklas kay Frey at, sa tulong nito, sa pamamagitan ng mathematical pinatunayan ng pamamaraan na ang paghahanap na ito, iyon ay, ang elliptic curve ni Frey, ay hindi umiiral. Samakatuwid, walang equation at ang mga solusyon nito na ibinibigay ng isang non-existent elliptic curve.Samakatuwid, Wiles ay dapat na concluded na walang equation ng Fermat's Last Theorem at Fermat's Theorem mismo. Gayunpaman, kinuha niya ang mas katamtamang konklusyon na ang equation ng Fermat's Last Theorem ay walang mga solusyon sa positive integers.

Maaaring ito ay isang hindi maikakaila na katotohanan na tinanggap ni Wiles ang isang palagay na direktang kabaligtaran ng kahulugan sa sinabi ng Huling Teorama ni Fermat. Inoobliga nito si Wiles na patunayan ang Huling Teorama ni Fermat sa pamamagitan ng kontradiksyon. Tularan natin ang kanyang halimbawa at tingnan kung ano ang mangyayari sa halimbawang ito.

Ang Huling Teorama ni Fermat ay nagsasaad na ang equation x n + y n = z n , saan n > 2

Ayon sa lohikal na paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, ang pahayag na ito ay pinapanatili, tinatanggap bilang ibinigay nang walang patunay, at pagkatapos ay pupunan ng isang pahayag na kabaligtaran sa kahulugan: ang equation x n + y n = z n , saan n > 2 , ay may mga solusyon sa mga positibong integer.

Ang hypothesized na pahayag ay tinatanggap din bilang ibinigay, nang walang patunay. Ang parehong mga pahayag, na isinasaalang-alang mula sa punto ng view ng mga pangunahing batas ng lohika, ay pantay na tinatanggap, pantay sa mga karapatan at pantay na posible. Sa pamamagitan ng tamang pangangatwiran, kinakailangan na itatag kung alin sa mga ito ang mali, upang pagkatapos ay matukoy na ang ibang pahayag ay totoo.

Ang tamang pangangatwiran ay nagtatapos sa isang mali, walang katotohanan na konklusyon, ang lohikal na dahilan nito ay maaari lamang maging isang magkasalungat na kondisyon ng theorem na pinatutunayan, na naglalaman ng dalawang bahagi ng isang direktang kabaligtaran na kahulugan. Sila ang lohikal na dahilan ng walang katotohanan na konklusyon, ang resulta ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon.

Gayunpaman, sa kurso ng lohikal na tamang pangangatwiran, walang nakitang isang palatandaan kung saan posible na maitaguyod kung aling partikular na pahayag ang mali. Maaari itong maging isang pahayag: ang equation x n + y n = z n , saan n > 2 , ay may mga solusyon sa mga positibong integer. Sa parehong batayan, maaari itong maging pahayag: ang equation x n + y n = z n , saan n > 2 , ay walang mga solusyon sa mga positibong integer.

Bilang resulta ng pangangatwiran, maaari lamang magkaroon ng isang konklusyon: Ang Huling Teorama ni Fermat ay hindi mapapatunayan ng kontradiksyon.

Magiging ibang-iba ang bagay kung ang Huling Teorama ni Fermat ay isang kabaligtaran na teorama na mayroong direktang teorama na pinatunayan ng karaniwang pamamaraang matematikal. Sa kasong ito, maaari itong mapatunayan sa pamamagitan ng kontradiksyon. At dahil ito ay isang direktang teorama, ang patunay nito ay dapat na nakabatay hindi sa lohikal na paraan ng pagpapatunay sa pamamagitan ng kontradiksyon, ngunit sa karaniwang pamamaraan ng matematika.

Ayon kay D. Abrarov, ang Academician na si V. I. Arnold, ang pinakasikat na kontemporaryong Russian mathematician, ay tumugon sa patunay ni Wiles na "aktibong may pag-aalinlangan". Sinabi ng akademiko: "hindi ito tunay na matematika - ang tunay na matematika ay geometriko at may malakas na ugnayan sa pisika." Ang pahayag ng akademya ay nagpapahayag ng pinakadiwa ng di-matematikong patunay ni Wiles ng Huling Teorama ni Fermat.

Sa pamamagitan ng kontradiksyon, imposibleng patunayan na ang equation ng Huling Teorem ni Fermat ay walang mga solusyon, o mayroon itong mga solusyon. Ang pagkakamali ni Wiles ay hindi mathematical, ngunit lohikal - ang paggamit ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon kung saan ang paggamit nito ay walang saysay at hindi nagpapatunay sa Huling Teorama ni Fermat.

Hindi rin napatunayan ang Huling Teorama ni Fermat gamit ang karaniwang pamamaraang matematikal kung naglalaman ito binigay: ang equation x n + y n = z n , saan n > 2 , ay walang mga solusyon sa mga positibong integer, at kung kinakailangan upang patunayan: ang equation x n + y n = z n , saan n > 2 , ay walang mga solusyon sa mga positibong integer. Sa form na ito, walang teorama, ngunit isang tautolohiya na walang kahulugan.

Ang aralin ay idinisenyo para sa 2 akademya. oras.

Target: pag-aralan ang iba't ibang paraan ng ebidensya (direktang pangangatwiran, ang paraan ng "sa pamamagitan ng kontradiksyon" at baligtad na pangangatwiran), na naglalarawan ng pamamaraan ng pangangatwiran. Isaalang-alang ang paraan ng mathematical induction.

Teoretikal na materyal Mga pamamaraan ng patunay

Kapag nagpapatunay ng mga teorema, ginagamit ang lohikal na pangangatwiran. Ang mga patunay sa computer science ay isang mahalagang bahagi ng pagsuri sa kawastuhan ng mga algorithm. Ang pangangailangan para sa patunay ay lumitaw kapag kailangan nating itatag ang katotohanan ng isang pahayag ng form (AB). Mayroong ilang mga karaniwang uri ng ebidensya, kabilang ang mga sumusunod:

Direktang pangangatwiran (patunay).

Ipinapalagay namin na ang pahayag A ay totoo at nagpapakita ng bisa ng B. Ang pamamaraang ito ng patunay ay hindi kasama ang sitwasyon kung ang A ay totoo at ang B ay mali, dahil dito at sa kasong ito lamang na ang implikasyon (AB) ay tumatagal sa isang maling halaga (tingnan ang Talahanayan).

Kaya, ang direktang patunay ay mula sa pagsasaalang-alang sa mga argumento hanggang sa pagpapatunay ng thesis, ibig sabihin, ang katotohanan ng thesis ay direktang pinatutunayan ng mga argumento. Ang pamamaraan ng patunay na ito ay ang mga sumusunod: mula sa ibinigay na mga argumento (a, b, c,...) isang mapapatunayang thesis ay dapat sumunod q.

Ang ganitong uri ng ebidensya ay isinasagawa sa hudisyal na kasanayan, sa agham, sa kontrobersya, sa mga akda ng mga mag-aaral, sa pagtatanghal ng materyal ng isang guro, atbp.

Mga halimbawa:

1. Ang guro sa aralin na may direktang patunay ng thesis na "Ang mga tao ang lumikha ng kasaysayan", ay nagpapakita; Una sa lahat na ang mga tao ay ang lumikha ng materyal na kayamanan, Pangalawa, pinatutunayan ang napakalaking papel ng mga popular na masa sa pulitika, ipinapaliwanag kung paano sa modernong panahon ang mga tao ay aktibong nakikipaglaban para sa kapayapaan at demokrasya, pangatlo, ay nagpapakita ng malaking papel nito sa paglikha ng espirituwal na kultura.

2. Sa mga aralin sa kimika, ang direktang katibayan ng pagkasunog ng asukal ay maaaring ipakita sa anyo ng isang kategoryang syllogism: Ang lahat ng carbohydrates ay nasusunog. Ang asukal ay isang carbohydrate. Ang asukal ay nasusunog.

Sa modernong fashion magazine na "Burda", ang tesis na "Ang inggit ay ang ugat ng lahat ng kasamaan" ay pinatunayan sa tulong ng direktang ebidensya ng mga sumusunod na argumento: "Ang inggit ay hindi lamang nakakalason sa pang-araw-araw na buhay ng mga tao, ngunit maaari ring humantong sa mas malubhang kahihinatnan. , samakatuwid, kasama ng paninibugho, galit at poot, walang alinlangan na isa sa mga pinakamasamang katangian ng karakter. Gumagapang nang hindi mahahalata, ang inggit ay masakit at malalim. Ang isang tao ay naiinggit sa kapakanan ng iba, naghihirap mula sa kamalayan na ang isang tao ay mas mapalad.

2. Baliktarin ang pangangatwiran(patunay) . Ipinapalagay namin na ang pahayag B ay mali at nagpapakita ng kamalian ng A. Ibig sabihin, sa katunayan, direkta naming sinusuri ang katotohanan ng implikasyon ((hindi B)  (hindi A)), na, ayon sa talahanayan, ay lohikal na katumbas sa katotohanan ng orihinal na pahayag (A  B).

3. Ang pamamaraan "sa pamamagitan ng kontradiksyon".

Ang pamamaraang ito ay kadalasang ginagamit sa matematika. Hayaan a- isang thesis o theorem na patunayan. Ipinapalagay namin sa pamamagitan ng kontradiksyon na a mali, ibig sabihin, totoo hindi(o ). Mula sa palagay hinuhusgahan natin ang mga kahihinatnan na sumasalungat sa realidad o dati nang napatunayang teorema. Meron kami
, kung saan - mali, samakatuwid, ang negasyon nito ay totoo, i.e. , na, ayon sa batas ng dalawang pinahahalagahan na klasikal na lohika ( →a) nagbibigay a. Kaya totoo a, na dapat patunayan.

Maraming mga halimbawa ng patunay "sa pamamagitan ng kontradiksyon" sa kursong matematika ng paaralan. Kaya, halimbawa, ang theorem ay pinatunayan na mula sa isang puntong nakahiga sa labas ng isang tuwid na linya, isang patayo lamang ang maaaring ihulog sa tuwid na linyang ito. Sa pamamagitan ng pagkakasalungatan, ang sumusunod na teorama ay napatunayan din: "Kung ang dalawang linya ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon sila ay parallel." Ang patunay ng theorem na ito ay direktang nagsisimula sa mga salitang: "Ipagpalagay na kabaligtaran, ibig sabihin, na ang mga linya AB at CD hindi parallel."